Мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат: U (∞, ε ) = {z ∈ | | z | > ε}. Точка z = ∞ является изолированной особой точкой аналитической функции w = f (z ), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной , при этом точка z = ∞ переходит в точку z 1 = 0, функция w = f (z ) примет вид . Типом особой точки z = ∞ функции w = f (z ) будем называть тип особой точки z 1 = 0 функции w = φ (z 1). Если разложение функции w = f (z ) по степеням z в окрестности точки z = ∞, т.е. при достаточно больших по модулю значениях z , имеет вид , то, заменив z на , получим . Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки z = ∞ определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням z в окрестности точки z = 0. Поэтому
1. Точка z = ∞ - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена A 0);
2. Точка z = ∞ - полюс n -го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым A n ·z n ;
3. Точка z = ∞ - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.

При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если z = ∞ - устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если z = ∞ - полюс, то этот предел бесконечен, если z = ∞ - существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный) .

Примеры: 1. f (z ) = -5 + 3 z 2 - z 6 . Функция уже является многочленом по степеням z , старшая степень - шестая, поэтому z
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим z на , тогда . Для функции φ (z 1) точка z 1 = 0 - полюс шестого порядка, поэтому для f (z ) точка z = ∞ - полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням z затруднительно, поэтому найдём : ; предел существует и конечен, поэтому точка z
3. . Правильная часть разложения по степеням z содержит бесконечно много слагаемых, поэтому z = ∞ - существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что не существует.

Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке .

Для конечной особой точки a , где γ - контур, не содержащий других, кроме a , особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке).

Определим аналогичным образом: , где Γ − - контур, ограничивающий такую окрестность U (∞, r ) точки z = ∞, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (т.е. по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура Γ − . Изменим направление обхода контура Γ − : . По основной теореме о вычетах , где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,

,

т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком .

Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов : если функция w = f (z ) аналитична всюду в плоскости С , за исключением конечного числа особых точек z 1 , z 2 , z 3 , …, z k , то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.

Отметим, что если z = ∞ - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции , очевидно, ; z = 0 - единственная конечная особая точка этой функции, поэтому , несмотря на то, что , т.е. z = ∞ - устранимая особая точка.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf (z ), есливне круга некоторого радиуса R ,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf (z ).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену
Функция

будет иметь особенность в точкеζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга
других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0), функция
может быть разложена в ряд Лорана по степенямζ . Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z , то ряды по положительным и отрицательным степенямz ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

Примеры. 1.
. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2.
. Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z 0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f (z ) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf (z ) может быть представлена единственным образом рядом Лорана:
где

Определение. Вычетом аналитической функцииf (z ) в изолированной особой точкеz 0

называется комплексное число, равное значению интеграла
, взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz 0 .

Вычет обозначается символом Res [f (z ),z 0 ].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с -1 ряда Лорана:

.

Пример. Найти вычет функции
.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с -1 получится при умножении слагаемых приn = 0:Res[f (z ),i ] =
}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f (z ) имеет в т.z 0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z 0) и перейдем к пределу при
. В результате получим:Res[f (z ),z 0 ] =
Так, в

последнем примере имеем Res[f (z ),i ] =
.

Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию

на
(m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m − 1) раз.

В этом случае имеем: Res[f (z ),z 0 ]

Пример. Найти вычет функции
в т.z= −1.

{Res[f (z ), −1] }

Если некоторая последовательность сходится к конечному числу a , то пишут
.
Ранее мы ввели в рассмотрение бесконечно большие последовательности . Мы приняли, что они являются сходящимися и обозначили их пределы символами и . Эти символы обозначают бесконечно удаленные точки . Они не принадлежат множеству действительных чисел. Но понятие предела позволяет ввести такие точки и дает инструмент для изучения их свойств с помощью действительных чисел.

Определение
Бесконечно удаленная точка , или бесконечность без знака, - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность.
Бесконечно удаленная точка плюс бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с положительными членами.
Бесконечно удаленная точка минус бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с отрицательными членами.

Для любого действительного числа a имеют место следующее неравенства:
;
.

Используя действительные числа, мы ввели понятие окрестности бесконечно удаленной точки .
Окрестностью точки является множество .
Наконец, окрестностью точки является множество .
Здесь M - произвольное, сколь угодно большое действительные число.

Таким образом, мы расширили множество действительных чисел, введя в него новые элементы. В связи с этим, имеет место следующее определение:

Расширенной числовой прямой или расширенным множеством действительных чисел называется множество действительных чисел , дополненное элементами и :
.

Вначале мы выпишем свойства, которыми обладают точки и . Далее рассмотрим вопрос строгого математического определения операций для этих точек и доказательства этих свойств.

Свойства бесконечно удаленных точек

Сумма и разность .
; ;
; ;

Произведение и частное .
; ; ;
;
;
; ; .

Связь с действительными числами .
Пусть a - произвольное действительное число. Тогда
; ;
; ; ; .
Пусть a > 0 . Тогда
; ; .
Пусть a < 0 . Тогда
; .

Неопределенные операции .
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Доказательства свойств бесконечно удаленных точек

Определение математических операций

Мы уже дали определения для бесконечно удаленных точек. Теперь мы должны определить для них математические операции. Поскольку мы определили эти точки посредством последовательностей, то и операции с этими точками также следует определить, используя последовательности.

Итак, суммой двух точек
c = a + b ,
принадлежащих расширенному множеству действительных чисел,
,
мы будем называть предел
,
где и - произвольные последовательности, имеющие пределы
и .

Аналогичным образом определяются операции вычитания, умножения и деления. Только, в случае деления, элементы в знаменателе дроби не должны быть равными нулю.
Тогда разность двух точек:
- это предел: .
Произведение точек:
- это предел: .
Частное:
- это предел: .
Здесь и - произвольные последовательности, чьи пределы равны a и b , соответственно. В последнем случае, .

Доказательства свойств

Для доказательства свойств бесконечно удаленных точек, нам нужно использовать свойства бесконечно больших последовательностей.

Рассмотрим свойство:
.
Для его доказательства, мы должны показать, что
,

Другими словами нам нужно доказать, что сумма двух последовательностей, сходящихся к плюс бесконечности, сходится к плюс бесконечности.

1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Аналогичным способом доказываются и другие свойства. В качестве примера приведем еще одно доказательство.

Докажем, что:
.
Для этого мы должны показать, что
,
где и - произвольные последовательности, с пределами и .

То есть нам нужно доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.

Докажем это. Поскольку и , то имеются некоторые функции и , так что для любого положительного числа M 1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Неопределенные операции

Часть математических операций с бесконечно удаленными точками не определены. Чтобы показать их неопределенность, нужно привести пару частных случаев, когда результат операции зависит от выбора входящих в них последовательностей.

Рассмотрим такую операцию:
.
Легко показать, что если и , то предел суммы последовательностей зависит от выбора последовательностей и .

Действительно, возьмем . Пределы этих последовательностей равны . Предел суммы

равен бесконечности.

Теперь возьмем . Пределы этих последовательностей также равны . Но предел их суммы

равен нулю.

То есть при условии, что и , значение предела суммы может принимать различные значения. Поэтому операция не определена.

Аналогичным способом можно показать неопределенность остальных операции, представленных выше.

Бесконечно удаленная точка.

Пусть функция аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки). Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Положим и, тогда будет аналитиче-ской в некоторой окрестности точки Последняя будет для особой точкой того же типа, что и для ибо. Лорановское разложение в окрестности можно получить простой заменой в лорановском разложении в окрестности. Но при такой замене правильная часть заменяется главной, и обратно. Таким образом, справедлива

Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконечно удалённой точке, лорановское разложение функции в окрестности этой точки вовсе не содержит положительных степеней, в случае полюса содержит конечное их число, а в случае существенной особенности - бесконечное.

Если имеет в точке устранимую особенность, то обычно говорят, что она аналитична в бесконечности , и принимают. В этом случае функция, очевидно, ограничена и в некоторой окрестности точки.

Пусть функция аналитична в полной поскости. Из аналитичности функции в бесконечно удаленной точке следует её ограниченность в окрестности этой точки; пусть при. С другой стороны, из аналитичности в замкнутом круге следует её ограниченность в этом круге; пусть в нём. Но тогда функция ограничена во всей плоскости: для всех имеем. Таким образом, теореме Лиувилля можно придать следующую форму.

Теорема 2. Если функция аналитична в полной плоскости, то она постоянна.

Введем теперь понятие вычета в бесконечно удаленной точке . Пусть функция аналитична в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки); под вычетом функции в бесконечности понимают

где - достаточно большая окружность, проходимая по часовой стрелке (так что окружность точки остается слева).

Из этого определения непосредственно следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при в лорановском её разложении в окрестности точки, взятому с обратным знаком:

Теорема 3. Если функция имеет в полной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Доказательство. В самом деле, пусть а 1 ,…а n – конечные особые точки функции и - окружность, содержащая их все внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и определению вычета в бесконечно удаленной точке имеем:

Ч.т.д.

Приложения теории вычетов к вычислению интегралов.

Пусть требуется вычислить интеграл от действительной функции по какому-нибудь (конечному или бесконечному) отрезку (a,b ) оси х . Дополним (a , b ) некоторой кривой, ограничивающей вместе с (a , b ) область, и аналитически продолжим в.

К построенному аналитическому продолжению применяем теорему о вычетах:

(1)

Если интеграл по удается вычислить или выразить через искомый интеграл, то задача вычисления решена.

В случае бесконечных отрезков (a , b ) обычно рассматривают семейства неограниченно расширяющихся контуров интегрирования, которые строят так, чтобы в результате предельного перехода получить интеграл по (a , b ). В этом случае интеграл по в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его предел, который часто оказывается равен нулю.

Весьма полезной при этом оказывается следующая

Лемма (Жордана). Если на некоторой последовательности дуг окружностей,(, а фиксировано) функция стремится к нулю равномерно относительно, то для

. (2)

Доказательство. Обозначим

По условиям леммы при также стремится к нулю, причем Пусть a >0; на дугах АВ и CD имеем.

Следовательно, и интеграл по дугам АВ , CD стремится к нулю при.

Поскольку при справедливо неравенство, то на дуге ВЕ

Поэтому и, таким образом, также стремится к нулю при. Если на дуге СЕ полярный угол отсчитывать по часовой стрелке, то для получится такая же оценка. В случае, когда доказательство упрощается, т.к. будет излишней оценка интеграла по дугам АВ и CD . Лемма доказана .

Замечание 1. Последовательность дуг окружностей в лемме можно заменить семейством дуг

тогда, если функция при стремится на к нулю равномерно относительно то для

. (3)

Доказательство остается в силе.

Замечание 2. Заменим переменную: iz=p , тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами, и мы получим, что для любой функции F (p ), стремящейся на к нулю при равномерно относительно и для любого положительного t

. (4)

Заменяя в (4) р на (-р ) мы получим, что в тех же условиях для

, (5)

где - дуга окружности (см. рис.).

Рассмотрим примеры вычисления интегралов.

Пример 1. .

Выберем вспомогательную функцию. Т.к. функция на удовлетворяет неравенству, то она равномерно стремится к нулю при, и по лемме Жордана, при

Для имеем по теореме о вычетах

В пределе при получаем:

Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем

Пример 2. Для вычисления интеграла

возьмем вспомогательную функцию. Контур интегрирования обходит особую точку z =0. По теореме Коши

Из леммы Жордана видно, что. Для оценки рассмотрим лорановское разложение в окрестности точки z =0

где - регулярная в точке z =0 функция. Отсюда видно, что

Таким образом, теорему Коши можно переписать в виде

Заменяя в первом интеграле х на – х , получим, что он равен, поэтому имеем

В пределе при и окончательно:

. (7)

Пример 3. Вычислить интеграл

Введем вспомогательную функцию и выберем контур интегрирования таким же, как и в предыдущем примере. Внутри этого контура логарифм допускает выделение однозначной ветви. Пусть означает ту ветвь, которая определяется неравенством. Функция имеет в точке z=i полюс второго порядка с вычетом

По теореме о вычетах.

При, начиная с некоторого достаточно большого R , следовательно, .

Аналогично при, начиная с некоторого достаточно малого r , следовательно

В первом интеграле после замены z=-x получим:

и, таким образом, в пределе при имеем:

Сравнение действительных и мнимых частей дает:

, .

Пример 4. Для интеграла

выберем вспомогательную функцию и контур, указанный на рисунке. Внутри контура однозначен, если считать, что.

На верхнем и нижнем берегах разреза, входящих в этот контур, принимает соответственно значения и, поэтому интегралы от взаимно уничтожаются, что дает возможность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса первого порядка функции с вычетами соответственно равными:

где. Применяя теорему о вычетах, получим:

В соответствии со сказанным выше имеем:

Так же как и в предыдущем примере, докажем, что, и тогда в пределе, при будем иметь:

Отсюда, сравнивая мнимые части, получим:

Пример5. Вычислить главное значение особого интеграла

Выберем вспомогательную функцию и контур, изобра-женный на рисунке. Внутри контура функция регулярна. На нижнем берегу разреза вдоль положительной полуоси. Таким образом, по теореме Коши:

(8).

Очевидно, что при и при. Вдоль, имеем соответственно и, где  меняется от 0 до и от до соответственно. Следовательно,

Переходя в (8) к пределу при получим, таким образом,

откуда искомый интеграл равен

Пример 6. Вычислить интеграл

Рассмотрим функцию. Проведем разрез *) .

Положим. При обходе против часовой стрелки замкнутого пути (см. рис., пунктир) и получают приращение,

следовательно, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 получает также приращение. Таким образом, во внешности разреза функция распадается на 3 регулярные ветви, отличающиеся друг от друга выбором исходного элемента функции, т.е. значением в некоторой точке.

Будем рассматривать ту ветвь функции, которая на верхнем берегу разреза (-1,1) принимает положительные значения, и возьмем контур,

___________________

*) На самом деле проведены два разреза: и, однако, на оси х правее точки х =1 функция непрерывна: над разрезом, под разрезом.

изображенный на рисмунке. На берегу I имеем, т.е. , на берегу II (после обхода точки z =1 по часовой стрелке) (т.е.), т.е. , интегралы же по окружностям и, очевидно, стремятся к нулю **) при. Следовательно, по теореме Коши для многосвязных областей

Для вычисления воспользуемся разложением ветви 1/ в окрестности бесконечно удаленной точки. Вынесем из-под знака корня, тогда получим, где и - ветви этих функций, положи-тельные на отрезке (1,) действительной оси.

на отрезке действительной оси. Разлагая последние по формуле бинома:

находим вычет выбранной ветви 1/ в бесконечно удаленной точке: (коэффициент при 1/ z с обратным знаком). Но интеграл равен этому вычету, помноженному на, т.е. имеем, откуда окончательно

Пример 7. Рассмотрим интеграл.

__________________

**) Рассмотрим, например интеграл по. На имеем, т.е.

Положим, тогда, таким образом,

Внутри окружности подинтегральная функция имеет один полюс II порядка с вычетом

По теореме о вычетах имеем

Пример 8. Аналогично вычислим интеграл

После подстановки имеем:

Один из полюсов подынтегральной функции лежит внутри единичной окружности, а другой - вне её, ибо по свойству корней квадратного уравнения, при этом в силу условия, эти корни действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах

(9)

где - полюс, лежащий внутри окружности. Т.к. правая часть (9) действительна, то она дает искомый интеграл

Определение
Окрестностью действительной точки x 0 называется любой открытый интервал, содержащий эту точку:
.
Здесь ε 1 и ε 2 - произвольные положительные числа.

Эпсилон - окрестностью точки x 0 называется множество точек, расстояние от которых до точки x 0 меньше ε :
.

Проколотой окрестностью точки x 0 называется окрестность этой точки, из которой исключили саму точку x 0 :
.

Окрестности конечных точек

В самом начале было дано определение окрестности точки. Ее обозначают как . Но можно явно указать, что окрестность зависит от двух чисел, используя соответствующие аргументы:
(1) .
То есть окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу .

Приравняв ε 1 к ε 2 , получим эпсилон - окрестность:
(2) .
Эпсилон - окрестность - это множество точек, принадлежащее открытому интервалу с равноудаленными концами.
Разумеется, букву эпсилон можно заменить на любую другую и рассматривать δ - окрестность, σ - окрестность, и т.д.

В теории пределов можно использовать определение окрестности, основанное как на множестве (1), так и на множестве (2). Использование любой из этих окрестностей дает эквивалентные результаты (см. ). Но определение (2) проще, поэтому часто используют именно эпсилон - окрестность точки, определяемую из (2).

Также широко используют понятия левосторонних, правосторонних и проколотых окрестностей конечных точек. Приводим их определения.

Левосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный на действительной оси слева от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Правосторонняя окрестность действительной точки x 0 - это полуоткрытый интервал, расположенный справа от точки x 0 , включая саму точку:
;
.

Проколотые окрестности конечных точек

Проколотые окрестности точки x 0 - это те же самые окрестности, из которых исключена сама точка. Они обозначаются с кружочком над буквой. Приводим их определения.

Проколотая окрестность точки x 0 :
.

Проколотая эпсилон - окрестность точки x 0 :
;
.

Проколотая левосторонняя окрестность :
;
.

Проколотая правосторонняя окрестность :
;
.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Наряду с конечными точками, также вводят окрестности бесконечно удаленных точек. Все они являются проколотыми, поскольку не существует бесконечно удаленного действительного числа (бесконечно удаленная точка определяется как предел бесконечно большой последовательности).

.
;
;
.

Можно было определить окрестности бесконечно удаленных точек и так:
.
Но вместо M мы используем , чтобы окрестность с меньшим ε являлась подмножеством окрестности с большим ε , как и для окрестностей конечных точек.

Свойство окрестности

Далее мы используем очевидное свойство окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). Оно заключается в том, что окрестности точек с меньшими значениями ε являются подмножествами окрестностей с большими значениями ε . Приводим более строгие формулировки.

Пусть есть конечная или бесконечно удаленная точка. И пусть .
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
.

Также справедливы и обратные утверждения.

Эквивалентность определений предела функции по Коши

Теперь покажем, что в определении предела функции по Коши, можно использовать как произвольную окрестность , так и окрестность с равноудаленными концами .

Теорема
Определения предела функции по Коши, в которых используются произвольные окрестности и окрестности с равноудаленными концами эквивалентны.

Доказательство

Сформулируем первое определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке (конечной или бесконечно удаленной), если для любых положительных чисел существуют такие числа , зависящие от и , что для всех , принадлежит соответствующей окрестности точки a :
.

Сформулируем второе определение предела функции .
Число a является пределом функции в точке , если для любого положительного числа существует такое число , зависящее от , что для всех :
.

Доказательство 1 ⇒ 2

Докажем, что если число a является пределом функции по 1-му определению, то оно также является пределом и по 2-му определению.

Пусть выполняется первое определение. Это означает, что имеются такие функции и , так что для любых положительных чисел выполняется следующее:
при , где .

Поскольку числа и произвольные, то приравняем их:
.
Тогда имеются такие функции и , так что для любого выполняется следующее:
при , где .

Заметим, что .
Пусть есть наименьшее из положительных чисел и . Тогда, согласно отмеченному выше ,
.
Если , то .

То есть мы нашли такую функцию , так что для любого выполняется следующее:
при , где .
Это означает, что число a является пределом функции и по второму определению.

Доказательство 2 ⇒ 1

Докажем, что если число a является пределом функции по 2-му определению, то оно также является пределом и по 1-му определению.

Пусть выполняется второе определение. Возьмем два положительных числа и . И пусть - наименьшее из них. Тогда, согласно второму определению, имеется такая функция , так что для любого положительного числа и для всех , следует, что
.

Но согласно , . Поэтому из того, что следует, что
.

Тогда для любых положительных чисел и , мы нашли два числа , так что для всех :
.

Это означает, что число a является пределом и по первому определению.

Теорема доказана.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.