Два равносильных. Равносильные формулы алгебры логики

Раздел 2. Логическая равносильность формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний

Отношение равносильности

С помощью таблиц истинности можно установить, при каких наборах значений истинности входящих переменных формула будет принимать истинное или ложное значение (а также высказывание, имеющее соответствующую логическую структуру), какие формулы будут тавтологиями или противоречиями, а также установить, являются ли две данные формулы равносильными.

В логике говорят, что два предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Слово «одновременно» в этой фразе неоднозначно. Так, для предложений «Завтра будет вторник» и «Вчера было воскресенье» это слово имеет буквальный смысл: в понедельник они оба истинны, а в остальные дни недели – оба ложны. Для уравнений «х = 2 » и «2х = 4 » «одновременно» означает «при одних и тех же значениях переменной». Прогнозы «Завтра будет дождь» и «Неверно, что завтра не будет дождя» одновременно подтвердятся (окажутся истинными) либо не подтвердятся (окажутся ложными). В сущности, это один и тот же прогноз, выраженный в двух разных формах, которые можно представить формулами Х и . Эти формулы одновременно принимают значение «истина» либо значение «ложь». Для проверки достаточно составить таблицу истинности:

Х
1	0	1
0	1	0

Видим, что значения истинности в первом и последнем столбцах совпадают. Такие формулы, как и соответствующие им предложения, естественно считать равносильными.

Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция – тавтология.

Равносильность двух формул записывается так: (читается: формула F 1 равносильна формуле F 2 ).

Проверить, равносильны ли формулы, можно тремя способами: 1) составить их эквиваленцию и с помощью таблицы истинности проверить, не является ли она тавтологией; 2) для каждой формулы составить таблицу истинности и сравнить итоговые результаты; если в итоговых столбцах при одинаковых наборах значений переменных значения истинности обеих формул будут равны, то формулы являются равносильными; 3) с помощью равносильных преобразований.

Пример 2.1: Выяснить, являются ли формулы равносильными: 1) , ; 2) , .

1) Воспользуемся для определения равносильности первым способом, то есть выясним, является ли эквиваленция формул и тавтологией.

Составим эквиваленцию формул: . Полученная формула содержит две различные переменные (А и В ) и 6 операций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Значит, в соответствующей таблице истинности будет 5 строк и 8 столбцов:

А	В
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Из итогового столбца таблицы истинности видно, что составленная эквиваленция является тавтологией и, значит, .

2) Для того чтобы выяснить являются ли формулы и равносильными, используем второй способ, то есть составим для каждой из формул таблицу истинности и сравним итоговые столбцы. (Замечание . Для того чтобы эффективно использовать второй способ, необходимо, чтобы все составленные таблицы истинности начинались одинаково, то есть наборы значений переменных были одинаковы в соответствующих строках .)

В формуле две различные переменные и 2 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 4 столбца:

А	В
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

В формуле две различные переменные и 3 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 5 столбцов:

А	В
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Сравнивая итоговые столбцы составленных таблиц истинности (так как таблицы начинаются одинаково, мы можем не обращать внимание на наборы значений переменных), видим, что они не совпадают и, следовательно, формулы не равносильны ().

Выражение не является формулой (так как символ « » не относится к какой-либо логической операции). Оно выражает отношение между формулами (также как равенство между числами, параллельность между прямыми и т.п.).

Справедлива теорема о свойствах отношения равносильности:

Теорема 2.1. Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

1) рефлексивно: ;

2) симметрично: если , то ;

3) транзитивно: если и , то .

Законы логики

Равносильности формул логики высказываний часто называют законами логики . Перечислим наиболее важные из них:

1. – закон тождества.

2. – закон исключенного третьего

3. – закон противоречия

4. – дизъюнкция с нулем

5. – конъюнкция с нулем

6. – дизъюнкция с единицей

7. – конъюнкция с единицей

8. – закон двойного отрицания

9. – коммутативность конъюнкции

10. – коммутативность дизъюнкции

11. – ассоциативность конъюнкции

12. – ассоциативность дизъюнкции

13. – дистрибутивность конъюнкции

14. – дистрибутивность дизъюнкции

15. – законы идемпотентности

16. ; – законы поглощения

17. ; – законы де Моргана

18. – закон, выражающий импликацию через дизъюнкцию

19. – закон контрапозиции

20. – законы, выражающие эквиваленцию через другие логические операции

Законы логики используются для упрощения сложных формул и для доказательства тождественной истинности или ложности формул.

Равносильные преобразования. Упрощение формул

Если в равносильные формулы всюду вместо какой-нибудь переменной подставить одну и ту же формулу, то вновь полученные формулы также окажутся равносильными в соответствии с правилом подстановки. Таким способом из каждой равносильности можно получить сколько угодно новых равносильностей.

Пример 1: Если в законе де Моргана вместо Х подставить , а вместо Y подставить , то получим новую равносильность . Справедливость полученной равносильности легко проверить с помощью таблицы истинности.

Если какую-нибудь формулу , являющуюся частью формулы F , заменить формулой , равносильной формуле , то полученная формула окажется равносильной формуле F .

Тогда для формулы из примера 2 можно провести следующие замены:

– закон двойного отрицания;

– закон де Моргана;

– закон двойного отрицания;

– закон ассоциативности;

– закон идемпотентности.

По свойству транзитивности отношения равносильности можем утверждать, что .

Замену одной формулы другой, ей равносильной, называют равносильным преобразованием формулы.

Под упрощением формулы, не содержащей знаков импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая не содержит отрицаний неэлементарных формул (в частности, двойных отрицаний) или содержит в совокупности меньшее число знаков конъюнкции и дизъюнкции, чем исходная.

Пример 2.2: Упростим формулу .

На первом шаге мы применили закон, преобразующий импликацию в дизъюнкцию. На втором шаге применили коммутативный закон. На третьем шаге применили закон идемпотентности. На четвертом – закон де Моргана. И на пятом – закон двойного отрицания.

Замечание 1 . Если некоторая формула является тавтологией, то и всякая равносильная ей формула также является тавтологией.

Таким образом, равносильные преобразования можно также применять для доказательства тождественной истинности тех или иных формул. Для этого данную формулу нужно равносильными преобразованиями привести к одной из формул, которые являются тавтологиями.

Замечание 2 . Некоторые тавтологии и равносильности объединены в пары (закон противоречия и закон альтернативы, коммутативный, ассоциативный законы и т.д.). В этих соответствиях проявляется так называемый принцип двойственности .

Две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, называются двойственными , если каждую из них можно получить из другой заменой знаков соответственно на .

Принцип двойственности утверждает следующее:

Теорема 2.2: Если две формулы, не содержащие знаков импликации и эквиваленции, равносильны, то и двойственные им формулы также равносильны.

Нормальные формы

Нормальная форма – это синтаксически однозначный способ записи формулы, реализующей данную функцию.

Пользуясь известными законами логики, всякую формулу можно преобразовать в равносильную ей формулу вида , где и каждое – либо переменная, либо отрицание переменной, либо конъюнкция переменных или их отрицаний. Другими словами, любую формулу можно привести к равносильной ей формуле простого стандартного вида, которой будет являться дизъюнкция элементов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию отдельных различных логических переменных либо со знаком отрицания, либо без него.

Пример 2.3: В больших формулах или при многократных преобразованиях принято знак конъюнкции опускать (по аналогии со знаком умножения): . Мы видим, что после проведенных преобразований формула представляет собой дизъюнкцию трех конъюнкций.

Такая форма называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Отдельный элемент ДНФ называется элементарной конъюнкцией или конституентой единицы.

Аналогично любую формулу можно привести к равносильной ей формуле, которая будет являться конъюнкцией элементов, каждый из которых будет представлять собой дизъюнкцию логических переменных со знаком отрицания или без него. То есть, каждую формулу можно привести к равносильной ей формуле вида , где и каждое – либо переменная, либо отрицание переменной, либо дизъюнкция переменных или их отрицаний. Такая форма называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Пример 2.4:

Отдельный элемент КНФ называется элементарной дизъюнкцией или конституентой нуля.

Очевидно, что каждая формула имеет бесконечно много ДНФ и КНФ.

Пример 2.5: Найдем несколько ДНФ для формулы .

Совершенные нормальные формы

СДНФ (совершенная ДНФ) – это такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные конъюнкции не повторяются.

СКНФ (совершенная КНФ) – это такая КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу, элементарные дизъюнкции не повторяются.

Пример 2.6: 1) – СДНФ

2) 1 - СКНФ

Сформулируем характерные признаки СДНФ (СКНФ).

1) Различны все члены дизъюнкции (конъюнкции);

2) Различны все члены каждой конъюнкции (дизъюнкции);

3) Ни одна конъюнкция (дизъюнкция) не содержит одновременно переменную и ее отрицание;

4) Каждая конъюнкция (дизъюнкция) содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу.

Как мы видим, характерные признаки (но не формы!) удовлетворяют определению двойственности, поэтому достаточно разобраться с одной формой, чтобы научиться получать обе.

Из ДНФ (КНФ) с помощью равносильных преобразований легко можно получить СДНФ (СКНФ). Так как правила получения совершенных нормальных форм также являются двойственными, то подробно разберем правило получения СДНФ, а правило получения СКНФ сформулируйте самостоятельно, используя определение двойственности.

Общее правило приведения формулы к СДНФ с помощью равносильных преобразований:

Для того чтобы привести формулу F , не являющуюся тождественно ложной, к СДНФ, достаточно:

1) привести ее к какой-нибудь ДНФ;

2) удалить члены дизъюнкции, содержащие переменную вместе с ее отрицанием (если таковые имеются);

3) из одинаковых членов дизъюнкции (если таковые имеются) удалить все, кроме одного;

4) из одинаковых членов каждой конъюнкции (если такие имеются) удалить все, кроме одного;

5) если в какой-нибудь конъюнкции не содержится переменной из числа переменных, входящих в исходную формулу, добавить к этой конъюнкции член и применить соответствующий дистрибутивный закон;

6) если в полученной дизъюнкции окажутся одинаковые члены, воспользоваться предписанием 3.

Полученная формула и является СДНФ данной формулы.

Пример 2.7: Найдем СДНФ и СКНФ для формулы .

Так как ДНФ для данной формулы уже найдена (см. Пример 2.5), то начнем с получения СДНФ:

2) в полученной дизъюнкции нет переменных вместе с их отрицаниями;

3) в дизъюнкции нет одинаковых членов;

4) ни в одной конъюнкции нет одинаковых переменных;

5) первая элементарная конъюнкция содержит все переменные из числа входящих в исходную формулу, а во второй элементарной конъюнкции не хватает переменной z , поэтому добавим в нее член и применим дистрибутивный закон: ;

6) легко заметить, что в дизъюнкции появились одинаковые члены, поэтому убираем один (предписание 3);

3) уберем одну из одинаковых дизъюнкций: ;

4) в оставшихся дизъюнкциях нет одинаковых членов;

5) ни в одной из элементарных дизъюнкций нет всех переменных из числа входящих в исходную формулу, поэтому дополним каждую из них конъюнкцией : ;

6) в полученной конъюнкции нет одинаковых дизъюнкций, поэтому найденная конъюнктивная форма является совершенной.

Так как в совокупности СКНФ и СДНФ формулы F 8 членов, то скорее всего они найдены верно.

Каждая выполнимая (опровержимая) формула имеет одну единственную СДНФ и одну единственную СКНФ. Тавтология не имеет СКНФ, а противоречие – СДНФ.

Определение. Два уравнения f 1 (х) = g 1 (х) и f 2 (х) = g 2 (х) называют­ся равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х 2 - 9 = 0 и (2 х + 6)( х - 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и урав­нения (3х + 1)-2 = х 2 - + 1 и х 2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением на­зывается равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать рав­носильные уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение f(х) и g(х) задано на множестве и h (x ) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(х) = g(х) (1)и f(х) + h (x ) = g(х) + h (x ) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т 1 - множество решений уравнения (1), а через Т 2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т 1 = Т 2 . Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т 1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т 2 является корнем урав­нения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a ? Т 1 , и при подста­новке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a) , а выражение h(х) обращает в числовое выражение h (a ), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинно­го равенства f(a) = g(a) числовое выражение h (a ). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенст­во f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т 1 с T 2 .

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а ? T 2 и при подста­новке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h (a ) = g(a) + h (a ). Прибавим к обеим частям этого равенства чис­ловое выражение -h (a ), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. T 2 с Т 1 .

Так как Т 1 с Т 2 и Т 2 с Т 1 , то по определению равных множеств Т 1 = Т 2 , а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выраже­ние с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то лее число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не об­ращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = g(х) и f(х) · h (x ) = g(х) · h (x ) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, кото­рое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения ум­ножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Решение уравнений с одной переменной

Решим уравнение 1- x /3 = x /6, x ? R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования	Обоснование преобразования
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: (6-2х )/ 6 = х /6	Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения.
2. Отбросим общий знаменатель: 6-2х = х	Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.
3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с проти­воположным знаком: 6 = х +2х .	Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х .	Выполнили тождественное пре­образование выражения.
5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2.	Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - ко­рень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х ? R . Разделим обе части на х , получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Не­трудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0·(0 - 1) = 2·0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы поте­ряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравне­ния состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Пере­несем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Выне­сем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и толь­ко в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x = 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х ·9):24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х ·9 = 24·3, или х ·9 = 72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72:9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения

1 . Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х -3)·5 = 12х ; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;

б) ( х -3)·5 = 12; д) (х -3)· y =12х ;

в) (х -3)·17 + 12; е) х 2 - 2х + 5 = 0.

2. Уравнение 2 х 4 + 4 х 2 -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3. В уравнении (х + ...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4. Сформулируйте условия, при которых:

а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);

б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х) .

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х ) = -8;

6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;

в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

a)(7x +4)/2 – x = (3x -5)/2;

б) x –(3x -2)/5 = 3 – (2x -5)/3;

в)(2- х )2- х (х + 1,5) = 4.

8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на вы­ражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение 2/(2-x ) – ½ = 4/((2-x )x ); х ? R . Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70)·4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;

б) 560: (х + 9) - 56; г) (х - 13581):709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

1. Два равносильных игрока играют в игру, ничьи в которой исключаются. Какова вероятность для первого игрока выиграть: а) одну партию из двух? б) две из четырех? в) три из шести?

Ответ: а) ; б) ; в)

3. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две - правее.

Ответ:

4.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Ответ: .

5.Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных мальчиков и девочек окажется поровну.

Ответ: 0,0782

6. Магазин получил 500 бутылок в стеклянной таре. Вероятность того, что при перевозке любая из бутылок окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) не менее двух; г) хотя бы одну.

Ответ: а) 0,22; б) 0,20; в) 0,80; г) 0,95

7. Автомобильный завод выпускает 80% автомобилей без существенных дефектов. Какова вероятность того, что среди 600 автомобилей, поступивших с завода на автомобильную биржу, окажется не менее 500 автомобилей без существенных дефектов?

Ответ: 0,02.

8. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать, что относительная частота появлений герба отклонится от вероятности р =0,5 появления герба при одном бросании монеты не более, чем на 0,02?

Ответ: n ≥ 2401.

9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых событий постоянна и равна p =0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Ответ: а) , б) , в) .

10. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях.

Ответ:

11. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p =0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01.

Ответ: n = 1764.

12. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Ответ: .

13. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n , при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Открытый урок по математике "Схема Бернули. Решение задач по схеме Бернули и Лапласа"

Дидактическая: приобретение умений и навыков работы со схемой Бернулли для вычисления вероятностей.

Развивающая: развитие навыков применения знаний на практике, формирование и развитие функционального мышления студентов, развитие навыков сравнения, анализа и синтеза, навыков работы в паре, расширение профессионального лексикона.

Как можно поиграть в эту игру:

Воспитательная: воспитание интереса к предмету через практическое применение теории, достижение сознательного усвоения учебного материала студентов, формирование умения работать в коллективе, правильного использования компьютерных терминов, интереса к науке, уважения к будущей профессии.

Научность знаний: Б

Тип урока: комбинированное занятие:

• закрепление пройденного на предыдущих занятиях материала;
• тематическая, информационно-проблемная технология;
• обобщение и закрепление изученного на данном занятии материала.

Метод обучения: объяснительно – иллюстративный, проблемный.

Контроль знаний: фронтальный опрос, решение задач, презентация.

Материально-техническое оснащение урока. компьютер, мультимедийный проектор.

Методическое обеспечение: справочные материалы, презентация по теме урока, кроссворд.

Ход урока

1. Организационный момент: 5 мин.

(приветствие, готовность группы к занятию).

2. Проверка знаний:

Проверить фронтально по слайдам вопросы: 10 мин.

• определения раздела “Теория вероятностей”
• основное понятие раздела “Теория вероятностей”
• какие события изучает “Теория вероятностей”
• характеристика случайного события
• классическое определение вероятностей

Подведение итогов. 5 мин.

3. Решение задач по рядам: 5 мин.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадает четное и меньшее 5 число очков?

Задача 2. В коробке девять одинаковых радиоламп, три из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?

Задача 3. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе 1-го зала есть билеты, равна 0,3, в кассе 2-го зала – 0,2, а в кассе 3-го зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час имеется возможность купить билет хотя бы на один фильм?

4. Проверка у доски способов решения задач. Приложение 1. 5 мин.

5ю Вывод по решению задач:

Вероятность появления события одинаковая для каждой задачи: m и n – const

6. Целеполагание через задачу: 5 мин.

Задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Какова вероятность выиграть две партии из четырех?

Какова вероятность выиграть три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Вопрос. Подумайте и назовите, чем отличаются вопросы данной задачи от вопросов предыдущих задач?

Рассуждением, сравнением добиться ответа: в вопросах m и n – разные.

7. Тема урока:

Вычисление вероятности появления события к раз из n опытов при р-const.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0

или Приложение 2 формула Бернулли, где k,n-малые числа где q = 1-p

Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли. 5 мин

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Так как P4 (2)> P6 (3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

8. Задача.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

k=70, n=243 Отсюда следует k и n — большие числа. Значит, по формуле Бернулли считать сложно. Для таких случаев применяется локальная формула Лапласа:

Приложение 3 для положительных значений х приведена в приложении 4 ; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей и = .

9. Составляем алгоритм решения задачи: 5 мин.

• найдем значение х и округляем до сотых (0,01);
• по таблице функции Лапласа найдем;
• подставим значение функции Лапласа в формулу Лапласа

10. Решение задачи с разбором у доски. Приложение 5. 10 мин.

11. Обобщение информации урока через презентации

• краткая информация о разделе “Теория вероятностей”; 5 мин.
• исторические материалы об ученых Бернулли и Лапласе. 5 мин.