Как получается число е. Мировые константы "пи" и "e" в основных законах физики и физиологии

В HTML цвет можно задавать тремя способами:

Задание цвета в HTML по его названию

Некоторые цвета можно задавать по их названию, используя в качестве значения название цвета на английском языке. Самые распространенные ключевые слова: black (черный), white (белый), red (красный), green (зеленый), blue (синий) и др:

Цвет текста – красный

Наиболее популярные цвета стандарта Консорциума Всемирной паутины (англ. World Wide Web Consortium, W3C):

Название	Название	Название	Название
Black	Gray	Silver	White
Yellow	Lime	Aqua	Fuchsia
Red	Green	Blue	Purple
Maroon	Olive	Navy	Teal

Пример использования различных цветовых названий:

Пример: задание цвета по его названию

Попробуй сам »

Заголовок на красном фоне

Заголовок на оранжевом фоне

Заголовок на фоне лайм

Белый текст на синем фоне

Заголовок на красном фоне

Заголовок на оранжевом фоне

Заголовок на фоне лайм

Белый текст на синем фоне

Задание цвета с помощью RGB

При отображении различных цветов на мониторе за основу берется RGB-палитра. Любой цвет получают, смешивая три основных: R — красный (red) , G — зеленый (green) , В — синий (blue) . Яркость каждого цвета задается одним байтом и, следовательно, может принимать значения от 0 до 255. Например, RGB (255,0,0) отображается как красный, так как красный устанавливается в его самое высокое значение (255), а остальные установлены в 0. Также можно задавать цвет в процентном отношении. Каждый из параметров обозначает уровень яркости соответствующего цвета. Например: значения rgb(127, 255, 127) и rgb(50%, 100%, 50%) будут задавать одинаковый зеленый цвет средней насыщенности:

Пример: Задание цвета с помощью RGB

Попробуй сам »

rgb(127, 255, 127)

rgb(50%, 100%, 50%)

rgb(127, 255, 127)

rgb(50%, 100%, 50%)

Задание цвета по шестнадцатеричному значению

Значения R G B также могут быть указаны с помощью шестнадцатеричных (HEX) значений цвета в форме: #RRGGBB, где RR (красный), GG (зеленый) и BB (синий) являются шестнадцатеричными значениями от 00 до FF (так же, как десятичное 0-255). Шестнадцатеричная система, в отличие десятичной системы, базируется, как следует из ее названия, на числе 16. Шестнадцатеричная система использует следующие знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F. Здесь цифры от 10 до 15 заменены латинскими буквами. Числа больше 15 в шестнадцатеричной системе представляют из себя объединением двух знаков в одно значение. Например, наибольшему числу 255 в десятичной системе соответствует самое высокое значение FF в шестнадцатеричной системе. В отличие десятичной системы, перед шестнадцатеричным числом ставят символ решетки # , например, #FF0000 отображается как красный цвет, так как красный устанавливается в его самое высокое значение (FF), а остальным цветам установлено минимальное значение (00). Знаки после символа решетки # можно набирать как прописными, так и строчными. Шестнадцатеричная система позволяет использовать сокращенную форму вида #rgb, где каждый символ равнозначен удвоенному. Так, запись #f7O следует расценивать как #ff7700.

Пример: Цвет HEX

Попробуй сам »

красный: #FF0000

зеленый: #00FF00

синий: #0000FF

красный: #FF0000

зеленый: #00FF00

синий: #0000FF

красный+зеленый=желтый: #FFFF00

красный+синий=фиолетовый: #FF00FF

зеленый+синий=голубой: #00FFFF

Список широко распространённых цветов (название, HEX и RGB):

Английское название	Русское название	HEX	RGB
Amaranth	Амарантовый	#E52B50	229	43	80
Amber	Янтарный	#FFBF00	255	191	0
Aqua	Сине-зеленый	#00FFFF	0	255	255
Azure	Лазурный	#007FFF	0	127	255
Black	Черный	#000000	0	0	0
Blue	Синий	#0000FF	0	0	255
Bondi Blue	Вода пляжа Бонди	#0095B6	0	149	182
Brass	Латунный	#B5A642	181	166	66
Brown	Коричневый	#964B00	150	75	0
Cerulean	Лазурный	#007BA7	0	123	167
Dark spring green	Тёмный весенне-зелёный	#177245	23	114	69
Emerald	Изумрудный	#50C878	80	200	120
Eggplant	Баклажановый	#990066	153	0	102
Fuchsia	Фуксия	#FF00FF	255	0	255
Gold	Золотой	#FFD700	250	215	0
Gray	Серый	#808080	128	128	128
Green	Зелёный	#00FF00	0	255	0
Indigo	Индиго	#4B0082	75	0	130
Jade	Нефритовый	#00A86B	0	168	107
Lime	Лайм	#CCFF00	204	255	0
Malachite	Малахитовый	#0BDA51	11	218	81
Navy	Тёмно-синий	#000080	0	0	128
Ochre	Охра	#CC7722	204	119	34
Olive	Оливковый	#808000	128	128	0
Orange	Оранжевый	#FFA500	255	165	0
Peach	Персиковый	#FFE5B4	255	229	180
Pumpkin	Тыква	#FF7518	255	117	24
Purple	Фиолетовый	#800080	128	0	128
Red	Красный	#FF0000	255	0	0
Saffron	Шафрановый	#F4C430	244	196	48
Sea Green	Зелёное море	#2E8B57	46	139	87
Swamp green	Болотный	#ACB78E	172	183	142
Teal	Сине-зелёный	#008080	0	128	128
Ultramarine	Ультрамариновый	#120A8F	18	10	143
Violet	Фиолетовый	#8B00FF	139	0	255
Yellow	Жёлтый	#FFFF00	255	255	0

Коды цветов (фон) по насыщенности и оттенку.

Коды цветов в CSS используются для указания цвета. Как правило, коды цвета или цветовые значения используются для установки цвета либо для переднего плана элемента (например, цвет текста, ссылки), либо для фона элемента (цвет фона, блока). Они также могут использоваться для изменения цвета кнопки, границ, маркера, при наведении и других декоративных эффектов.

Вы можете задать свои значения цвета в различных форматах. В следующей таблице перечислены все возможные форматы:

Ниже более подробно описаны перечисленные форматы.

Цвета CSS - шестнадцатеричные коды

Шестнадцатеричный код цвета - это шестизначное представление цвета. Первые две цифры (RR) - представляют собой красное значение, следующие две - это зеленое значение (GG), а последние - синее значение (BB).

Цвета CSS - короткие шестнадцатеричные коды

Короткий шестнадцатеричный код цвета - это более короткая форма шестизначной нотации. В этом формате каждая цифра повторяется, чтобы получить эквивалентное шестизначное значение цвета. Например: #0F0 становится #00FF00.

Шестнадцатеричное значение может быть взято из любого графического программного обеспечения, такого как Adobe Photoshop, Core Draw и др.

Каждому шестнадцатеричному коду цвета в CSS будет предшествовать знак хеша «#». Ниже приведены примеры использования шестнадцатеричных обозначений.

Цвета CSS - RGB значения

RGB значение - это код цвета, который задается с помощью свойства rgb(). Это свойство принимает три значения: по одному для красного, зеленого и синего. Значение может быть целым числом, от 0 до 255, или процентом.

Примечание: не все браузеры поддерживают свойство rgb() цвета, поэтому не рекомендуется его использовать.

Ниже приведен пример, показывающий несколько цветов с использованием значений RGB.

Генератор цветовых кодов

Вы можете создавать миллионы цветовых кодов с помощью нашего сервиса .

Безопасные цвета браузера

Ниже представлена таблица из 216 цветов, которые наиболее безопасные и независимые от компьютера. Эти цвета в CSS варьируются от 000000 до FFFFFF шестнадцатеричного кода. Они безопасны в использовании, поскольку гарантируют, что все компьютеры будут правильно отображать цвет при работе с 256 цветовой палитрой.

Таблица «безопасных» цветов в CSS
#000000	#000033	#000066	#000099	#0000CC	#0000FF
#003300	#003333	#003366	#003399	#0033CC	#0033FF
#006600	#006633	#006666	#006699	#0066CC	#0066FF
#009900	#009933	#009966	#009999	#0099CC	#0099FF
#00CC00	#00CC33	#00CC66	#00CC99	#00CCCC	#00CCFF
#00FF00	#00FF33	#00FF66	#00FF99	#00FFCC	#00FFFF
#330000	#330033	#330066	#330099	#3300CC	#3300FF
#333300	#333333	#333366	#333399	#3333CC	#3333FF
#336600	#336633	#336666	#336699	#3366CC	#3366FF
#339900	#339933	#339966	#339999	#3399CC	#3399FF
#33CC00	#33CC33	#33CC66	#33CC99	#33CCCC	#33CCFF
#33FF00	#33FF33	#33FF66	#33FF99	#33FFCC	#33FFFF
#660000	#660033	#660066	#660099	#6600CC	#6600FF
#663300	#663333	#663366	#663399	#6633CC	#6633FF
#666600	#666633	#666666	#666699	#6666CC	#6666FF
#669900	#669933	#669966	#669999	#6699CC	#6699FF
#66CC00	#66CC33	#66CC66	#66CC99	#66CCCC	#66CCFF
#66FF00	#66FF33	#66FF66	#66FF99	#66FFCC	#66FFFF
#990000	#990033	#990066	#990099	#9900CC	#9900FF
#993300	#993333	#993366	#993399	#9933CC	#9933FF
#996600	#996633	#996666	#996699	#9966CC	#9966FF
#999900	#999933	#999966	#999999	#9999CC	#9999FF
#99CC00	#99CC33	#99CC66	#99CC99	#99CCCC	#99CCFF
#99FF00	#99FF33	#99FF66	#99FF99	#99FFCC	#99FFFF
#CC0000	#CC0033	#CC0066	#CC0099	#CC00CC	#CC00FF
#CC3300	#CC3333	#CC3366	#CC3399	#CC33CC	#CC33FF
#CC6600	#CC6633	#CC6666	#CC6699	#CC66CC	#CC66FF
#CC9900	#CC9933	#CC9966	#CC9999	#CC99CC	#CC99FF
#CCCC00	#CCCC33	#CCCC66	#CCCC99	#CCCCCC	#CCCCFF
#CCFF00	#CCFF33	#CCFF66	#CCFF99	#CCFFCC	#CCFFFF
#FF0000	#FF0033	#FF0066	#FF0099	#FF00CC	#FF00FF
#FF3300	#FF3333	#FF3366	#FF3399	#FF33CC	#FF33FF
#FF6600	#FF6633	#FF6666	#FF6699	#FF66CC	#FF66FF
#FF9900	#FF9933	#FF9966	#FF9999	#FF99CC	#FF99FF
#FFCC00	#FFCC33	#FFCC66	#FFCC99	#FFCCCC	#FFCCFF
#FFFF00	#FFFF33	#FFFF66	#FFFF99	#FFFFCC	#FFFFFF

Все знают геометрический смысл числа π - это длина окружности с единичным диаметром:

А вот смысл другой важной константы, e , имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590... (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.

Число e по определению - предел функции y = (1 + 1 / x ) x при x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.

Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.

Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = k x . Эта функция обладает уникальным свойством при k = e , которое можно показать графически так:

В точке 0 функция принимает значение e 0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e 1 = e . Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e ). В точке 2 значение e 2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.

Среди всех функций y = k x (например, 2 x , 10 x , π x и т. д.), функция e x - единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (e x )´ = e x . Почему-то именно число e = 2,7182818284590... нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.

Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.

Числа π и e входят в мою любимую формулу - формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант - ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е :

e iπ + 1 = 0

Почему число 2,7182818284590... в комплексной степени 3,1415926535...i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.

Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.

Как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.

Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от до равна . Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia , которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между и , и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium . В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :

правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил
и
Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для продолжалась так же, как в приведенном образце, (каждый раз прибавляем по ), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .

| Число Эйлера (Е)

e - основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число называют числом Эйлера или числом Непера . Обозначается строчной латинской буквой «e ».

История

Число e впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Джона Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию e , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется e , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма e , но само число e в его работе не упоминается.

Следующее появление числа e снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу e . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы xy = 1 равнобочной гиперболы на промежутке от 1 до e равна 1. Это свойство делает e основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида y = ka x . И снова появляется десятичный логарифм e , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр . Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к e , но само число e остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число e не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia , которая содержит разложение в ряд log(1 + x) . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию e . Число e явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число e в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между 2 и 3, и это мы можем рассматривать как первое приближение числа e . Хотя мы принимаем это за определение e , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения x = a t мы находим, что t = log a x , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число e появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение b . Наконец у e появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

Леонард Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что неудивительно, что обозначение e также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву e из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что e взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая e в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с e . Он показал, что

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа e :

Правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа e в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил

Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность e . Действительно, если бы непрерывная дробь для (e - 1) / 2 , продолжалась так же, как в приведенном образце, 6,10,14,18,22,26, (каждый раз прибавляем по 4), то она никогда бы не прервалась, и (e -1) / 2 (а значит, и e ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность e .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа e , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа e . В действительности, нужно около 120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа e .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа e . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число e e алгебраическим. Последний результат в этом направлении - это то, что по крайней мере одно из чисел e e и e e 2 является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа e . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа e , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма e .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e .