Найти вектор он перпендикулярен векторам. Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

Инструкция

Если исходный вектор изображен на чертеже в прямоугольной двухмерной системе координат и перпендикулярный ему нужно построить там же, исходите из определения перпендикулярности векторов на плоскости. Оно гласит, что угол между такой парой направленных отрезков должен быть равен 90°. Таких векторов можно построить бесконечное . Поэтому начертите в любом удобном месте плоскости перпендикуляр к исходному вектору, отложите на нем отрезок, равный длине заданной упорядоченной пары точек и назначьте один из его концов началом перпендикулярного вектора. Сделайте это с помощью транспортира и линейки.

Если же исходный вектор задан двухмерными координатами ā = (X₁;Y₁), исходите из того, что скалярное произведение пары перпендикулярных векторов должно быть равно нулю. Это значит, что вам надо подобрать для искомого вектора ō = (X₂,Y₂) такие координаты, при которых будет выполняться равенство (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Это можно сделать так: выберите любое ненулевое значение для координаты X₂, а координату Y₂ рассчитайте по формуле Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например, для вектора ā = (15;5) будет вектор ō, с абсциссой, равной единице, и ординатой, равной -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).

Для трехмерной и любой другой ортогональной системы координат верно то же самое необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов - их скалярное произведение должно быть равно нулю. Поэтому, если исходный направленный отрезок задан координатами ā = (X₁,Y₁,Z₁), подберите для перпендикулярной ему упорядоченной пары точек ō = (X₂,Y₂,Z₂) такие координаты, при которых выполняется условие (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Проще всего присвоить X₂ и Y₂ единичные значения, а Z₂ рассчитать из упростившегося равенства Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Например, для вектора ā = (3,5,4) эта приобретет такой вид: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тогда абсциссу и ординату перпендикулярного вектора примите за единицу, а в этом случае будет равна -(3+5)/4 = -2.

Источники:

• найти вектор если он перпендикулярный

Перпендикулярными называются вектора , угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.

Вам понадобится

• - транспортир;
• - циркуль;
• - линейка.

Инструкция

Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.

Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.

Единичный вектор находится: , где– модуль вектора.

Ответ:
.

Примечание. Координаты единичного вектора должны быть не больше единицы.

6.3. Найти длину и направляющие косинусы вектора . Сравните с ответом в предыдущем пункте. Сделайте выводы.

Длина вектора – это есть его модуль:

А направляющие косинусы мы можем найти по формуле одного из способов задания векторов:

Из полученного мы видим, что направляющие косинусы это и есть координаты единичного вектора.

Ответ:
,
,
,
.

6.4. Найти
.

Необходимо выполнить действия умножения вектора на число, сложения и модуль.

Почленно перемножаем координаты векторов на число.

Почленно складываем координаты векторов.

Находим модуль вектора.

Ответ:

6.5. Определить координаты вектора
, коллинеарного вектору, зная, что
и он направлен в сторону, противоположную вектору.

Вектор коллинеарен вектору, значит, его единичный вектор равен единичному векторутолько со знаком минус, т.к. направлен в противоположную сторону.

Единичный вектор имеет длину равную 1, значит, если его умножить на 5, то его длинна будет равна пяти.

Находим

Ответ:

6.6. Вычислить скалярные произведения
и
. Перпендикулярны ли векторыи,имежду собой?

Выполним скалярное произведение векторов.

Если вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Мы видим, что в нашем случае вектораиперпендикулярны.

Ответ:
,
, векторы не перпендикулярны.

Примечание. Геометрический смысл скалярного произведения малоприменим на практике, но все-таки существует. Результат такого действия можно изобразить и вычислить геометрически.

6.7. Найти работу, совершённую материальной точкой к которой приложена сила
, при перемещении её из точки B в точку С.

Физический смысл скалярного произведения – это работа. Вектор силы здесь , вектор перемещения – это
. А произведение этих векторов и будет искомой работой.

Находим работу

6.8. Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

Из определения, скалярного произведения векторов получим формулу нахождения угла: .

В
нутренний угол будем искать как угол между векторами, выходящими из одной точки.

Для нахождения внешнего угла нужно совмещать вектора, таким образом, чтоб они выходили из одной точки. Рисунок это поясняет.

Стоит заметить, что
, только имеют разные начальные координаты.

Находим необходимые вектора и углы

Ответ: внутренний угол при вершине А = , внешний угол при вершине В =.

6.9. Найти проекции векторов: и

Вспомним вектора-орты:
,
,
.

Проекция находится также из скалярного произведения

–проекция b на a .

Ранее полученные нами вектора

,
,

Находим проекцию

Находим вторую проекцию

Ответ:
,

Примечание. Знак минуса при нахождении проекции означает то, что проекция опускается не на сам вектор, а в противоположную сторону, на линию на которой лежит этот вектор.

6.10. Вычислить
.

Выполним векторное произведение векторов

Найдем модуль

Синус угла между векторами найдём из определения векторного произведения векторов

Ответ:
,
,
.

6.11. Найти площадь треугольника ABC и длину высоты, опушенной из точки С.

Геометрический смысл модуля векторного произведения состоит в том, что это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Площадь треугольника также можно найти как произведение высоты, на основание, делённое на два, из этого можно вывести формулу нахождения высоты.

Таким образом, найдём высоту

Ответ:
,
.

6.12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и.

Результатом скалярного произведения есть вектор, который перпендикулярный двум исходным. А единичный вектор – это вектор, делённый на его длину.

Ранее, нами было найдено:

,

Ответ:
.

6.13. Определить величину и направляющие косинусы момента силы
, приложенной к А относительно точки С.

Физический смысл векторного произведения – это момент силы. Приведём иллюстрацию к данному заданию.

Находим момент силы

Ответ:
.

6.14. Лежат ли векторы ,ив одной плоскости? Могут ли эти векторы образовывать базис пространства? Почему? Если могут, разложите по этому базису вектор
.

Чтобы проверить лежат ли вектора в одной плоскости необходимо выполнить смешанное произведение этих векторов.

Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, вектора не лежат в одной плоскости (не компланарные) и могут образовывать базис. Разложим по этому базису.

Разложим по базису, решив уравнение

Ответ: Векторы ,ине лежат в одной плоскости.
.

6.15. Найти
. Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD.

Геометрический смысл смешанного произведения в том, что это объём параллелепипеда образованного этими векторами.

Объём же пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.

Объём пирамиды, ещё можно найти так:

Получим формулу нахождения высоты

Находим высоту

Ответ: объём = 2.5, высота =.

6.16. Вычислить
и
.

–над этим заданием предлагаем вам подумать самим.

–выполним произведение.

Ранее было получено

Ответ:
.

6.17. Вычислить

Выполним действия по частям

3)

Суммируем полученные значения

Ответ:
.

6.18. Найти вектор
, зная, что он перпендикулярен векторами, а его проекция на векторравна 5.

Разобьем данную задачу на две подзадачи

1) Найдём вектор, перпендикулярный векторам ипроизвольной длинны.

Перпендикулярный вектор мы получим в результате векторного произведения

Ранее, нами было найдено:

Искомый вектор отличается лишь длинной, от полученного

2) Найдем через уравнение

6.19. Найти вектор
, удовлетворяющий условиям
,
,
.

Рассмотрим более детально данные условия.

Это система линейных уравнений. Составим и решим данную систему.

Ответ:

6.20. Определить координаты какого-либо вектора
, компланарного с векторамии, и перпендикулярного вектору
.

В данном задании два условия: компланарность векторов и перпендикулярность, выполним сначала первое условие, а потом второе.

1) Если вектора компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю.

Отсюда получим некоторую зависимость координат вектора

Найдем вектор .

2) Если вектора перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю

Мы получили вторую зависимость координат искомого вектора

Для любого значения вектор будет удовлетворять условиям. Подставим
.

Ответ:
.

Аналитическая геометрия

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение 1

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° (π 2 радиан) называют перпендикулярными .

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов .

Теорема 1

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.

Доказательство 1

Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Вторая часть доказательства

При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ найдем косинус. Тогда получим cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) , на плоскости и (a → , b →) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Пример 1

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Решение

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Пример 2

Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.

Решение

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты (1 , - 1 , 0) и (1 , 2 , 2) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

Выражение не равно нулю, (i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j →) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Пример 3

Даны векторы a → = (1 , 0 , - 2) и b → = (λ , 5 , 1) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Решение

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + (- 2) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Пример 4

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

Решение

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С, следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = (a x , a y) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = (a x , a y) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = - a x · b x a y .

Пример 5

Дан вектор с координатами a → = (- 2 , 2) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Решение

Обозначим искомый вектор как b → (b x , b y) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = - 2 - 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = (1 2 , 1) является вектором, перпендикулярным a → .

Ответ: b → = (1 2 , 1) .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = (a x , a y , a z) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = (a x , a y , a z) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → - ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = (a x , a y , a z) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Пример 6

Дан вектор с координатами a → = (1 , 2 , 3)   . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Решение

Обозначим искомый вектор за b → = (b x , b y , b z) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = - (2 · b y + 3 · b z)

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → (- 5 , 1 , 1) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Пример 7

Заданы векторы b → = (0 , 2 , 3) и a → = (2 , 1 , 0) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Решение

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 - k → · 1 · 0 - j → · 2 · 3 - i → · 0 · 2 = 3 · i → + (- 6) · j → + 4 · k →

Ответ: (3 , - 6 , 4) - координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В разделе на вопрос найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам заданный автором Anna Afanasyeva лучший ответ это Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Ответ от 22 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам

Ответ от Простереть [новичек]
Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Ответ от ЇАЙКА [гуру]
Примерно решай так; Но, сначала сама прочитай все!! !
Вычислите скалярное произведение векторов d и r, если d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Модуль вектора a равен 4, модуль вектора b равен 6. Угол между векторами a и b равен 60 градусам, вектор с перпендикулярен векторам a и b.
Точки Е и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем AE=ED, BF: FC = 4: 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = вектору AB и вектор n = вектору AD. б) Может ли при каком – нибудь значении x выполняться равенство вектор EF = x умножить на вектор CD. .

ом. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Определение 1

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Определение 2

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Определение 3

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: \overline{AB} - вектор AB , имеющий начало в точке A , а конец в точке B .

Иначе одной маленькой буквой: \overline{a} (рис. 1).

Определение 4

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Обозначение: \overline{0} .

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Определение 6

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

\overline{α}\overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Теорема 1

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

Доказательство.

Необходимость: Пусть нам даны векторы \overline{α} и \overline{β} , которые имеют координаты (α_1,α_2,α_3) и (β_1,β_2,β_3) , соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство

Так как векторы \overline{α} и \overline{β} перпендикулярны, то угол между ними равняется 90^0 . Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.

\overline{α}\cdot \overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡90^\circ =|\overline{α}||\overline{β}|\cdot 0=0

Достаточность: Пусть верно равенство \overline{α}\cdot \overline{β}=0 . Докажем, что векторы \overline{α} и \overline{β} будут перпендикулярны друг другу.

По определению 6, будет верно равенство

|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})=0

Cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})=0

∠(\overline{α},\overline{β})=90^\circ

Следовательно, векторы \overline{α} и \overline{β} будут перпендикулярны друг другу.

Теорема доказана.

Пример 1

Доказать, что векторы с координатами (1,-5,2) и (2,1,3/2) перпендикулярны.

Доказательство.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

\overline{α}\cdot \overline{β}=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}=2\cdot 5+3=0

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Определение 7

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: \overline{α}х\overline{β} х .

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix} х

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Пример 2

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами \overline{α}=(1,2,3) и \overline{β}=(-1,0,3)

Найдем векторное произведение данных векторов.

\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&2&3\\-1&0&3\end{vmatrix}=(6-0)\overline{i}-(3+3)\overline{j}+(0+2)\overline{k}=6\overline{i}-6\overline{j}+2\overline{k}=(6,6,2) х