Однофакторный дисперсионный анализ корреляционной таблице. Множественное сравнение: процедура Тьюки-Крамера

Предположим, что на автоматической линии несколько станков параллельно выполняют одинаковую операцию. Для правильного планирования последующей обработки важно знать, насколько однотипны средние размеры деталей, получаемые на параллельно работающих станках. Здесь имеет место лишь один фактор, влияющий на размер деталей, это станки, на которых они изготовляются. Необходимо выяснить, насколько существенно влияние этого фактора на размеры деталей. Предположим, что совокупности размеров деталей, изготовленных на каждом станке, имеют нормальное распределение и равные дисперсии.

Имеем т станков, следовательно, т совокупностей или уровней, на которых произведено n 1 , n 2 ,..., п т наблюдений. Для простоты рассуждений предположим, что n 1 =n 2 =…= п т. Размеры деталей, составляющие n i наблюдений на i -м уровне, обозначим х i 1 ,х i 2 ,..., x in . Тогда все наблюдения можно представить в виде таблицы, которая называется матрицей наблюдений (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Уровни	Результаты наблюдений
1	2	…	j	…	n
	x 11	x 12	…	x 1 j	…	x 1 n
	x 21	x 22	…	x 2 j	…	x 2 n
	x 31	x 32	…	x 3 j	…	x 3 n
…	…	…	…	…	…	…
i	x i1	x i2	…	x i j	…	x i n
…	…	…	…	…	…	…
m	x m1	x m2	…	x mj	…	x mn

Будем полагать, что для i -го уровня п наблюдений имеют среднюю β i , равную сумме общей средней µ и вариации ее, обусловленной i -м уровнем фактора, т.е. β i = µ + γ i . Тогда одно наблюдение можно представить в следующем виде:

x i j = µ + γ i . +ε ij = β i +ε ij (3.1)

где µ - общая средняя; γ i - эффект, обусловленный i -м уровнем фактора; ε ij - вариация результатов внутри отдельного уровня.

Член ε ij характеризует влияние всех не учтенных моделью (3.1) факторов. Согласно обшей задаче дисперсионного анализа нужно оценить существенность влияния фактора γ на размеры деталей. Общую вариацию переменной x i j можно разложить на части, одна из которых характеризует влияние фактора γ, другая - влияние неучтенных факторов. Для этого необходимо найти оценку общей средней µ и оценки средних по уровням β i . Очевидно, что оценкой β является средняя арифметическая п наблюдений i-го уровня, т.е.

Звездочка в индексе при х означает, что наблюдения фиксированы на i-м уровне. Средняя арифметическая всей совокупности наблюдений является оценкой общей средней µ, т.е.

Найдем сумму квадратов отклонений x i j от , т.е.

Представим ее в виде (3.2)

Причем =

Но = 0, так как это есть сумма отклонений переменных одной совокупности от средней арифметической этой же совокупности, т.е. вся сумма равна нулю. Второй член суммы (3.2) запишем в виде:

Или

Слагаемое является суммой квадратов разностей между средними уровней и средней всей совокупности наблюдений. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений между группами и характеризует расхождение между уровнями. Величину , называют также рассеиванием по факторам, т.е. рассеиванием за счет исследуемого фактора.

Слагаемое является суммой квадратов разностей между отдельными наблюдениями и средней i-го уровня. Эта сумма называется суммой квадратов отклонений внутри группы и характеризует расхождение между наблюдениями i-го уровня. Величину называют также остаточным рассеиванием, т.е. рассеиванием за счет неучтенных факторов.

Величину называется общей или полной суммой квадратов отклонений отдельных наблюдений от общей средней .

Зная суммы квадратов SS, SS 1 и SS 2 , можно оценить несмещенные оценки соответствующих дисперсий - общей, межгрупповой и внутригрупповой (таблица 3.2).

Если влияние всех уровней фактора γ одинаково, то и - оценки общей дисперсии.

Тогда для оценки существенности влияния фактора γ достаточно проверить нулевую гипотезу H 0: = .

Для этого вычисляют критерий Фишера F B = , с числом степеней свободы k 1 = т - 1 и k 2 = т(п - 1). Затем по таблице F-распределения (см. таблицу распределения критерия Фишера) для уровня значимости α находят критическое значение F кр.

Таблица 3.2

Если F B > F кр то нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о существенном влиянии фактора γ.

При F B < F кр нет основания отвергать нулевую гипотезу и можно считать, что влияние фактора γ несущественно.

Сравнивая межгрупповую и остаточную дисперсии, по величине их отношения судят, насколько сильно проявляется влияние факторов.

Пример 3.1. Имеется четыре партии тканей для спецодежды. Из каждой партии отобрано по пять образцов и проведены испытания на определение величины разрывной нагрузки. Результаты испытаний приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Номер партии, т

Требуется выяснить, существенно ли влияние различных партий сырья на величину разрывной нагрузки.

Решение.

В данном случае т = 4, п = 5. Среднюю арифметическую каждой строки вычисляем по формуле

Имеем: =(200+140+170+145+165)/5=164; =170; =202; = 164.

Найдем среднюю арифметическую всей совокупности:

Вычислим величины, необходимые для построения табл. 3.4:

· сумму квадратов отклонений между группами SS 1 , с k 1 =т –1=

4-1=3 степенями свободы:

· сумму квадратов отклонений внутри группы SS 2 с k 2 = тп – т= =20-4=16 степенями свободы:

· полную сумму квадратов SS c k=mn-1=20-1=19 степенями свободы:

По найденным значениям оценим дисперсию, по формулам (табл. 3.2) составим (табл. 3.4) для рассматриваемого примера.

Таблица 3.4

Проведем статистический анализ по критерию Фишера. Вычислим F B = =(4980 1/3)/(7270 1/16) =1660/454,4= 3,65.

По таблице F-распределения (см. приложения) находим значение F Kp при k 2 = 16 и k 1 = 3 степенях свободы и уровне значимости α = 0,01. Имеем F Kp = 5,29.

Вычисленное значение F B меньше табличного, поэтому можно утверждать, что нулевая гипотеза не отвергается, а это значит, что различие между тканями в партиях не влияет на величину разрывной нагрузки.

В пакете Анализ данных инструмент Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Рассмотрим работу пакета для проведения однофакторного дисперсионного анализа.

Решим пример 3.1, используя инструмент Однофакторный дисперсионный анализ.

Применение статистики в этой заметке будет показано на сквозном примере. Предположим, что вы - руководитель производства в компании Perfect Parachute («Идеальный парашют»). Парашюты изготавливаются из синтетических волокон, поставляемых четырьмя разными поставщиками. Одной из основных характеристик парашюта является его прочность. Вам необходимо убедиться, что все поставляемые волокна обладают одинаковой прочностью. Чтобы ответить на этот вопрос, следует разработать схему эксперимента, в ходе которого измеряется прочность парашютов, сотканных из синтетических волокон разных поставщиков. Информация, полученная в ходе этого эксперимента, позволит определить, какой поставщик обеспечивают наибольшую прочность парашютов.

Многие приложения связаны с экспериментами, в которых рассматривается несколько групп или уровней одного фактора. Некоторые факторы, например, температура обжига керамики, могут иметь несколько числовых уровней (т.е. 300°, 350°, 400° и 450°). Другие факторы, например, местоположение товаров в супермаркете, могут иметь категориальные уровни (например, первый поставщик, второй поставщик, третий поставщик, четвертый поставщик). Однофакторные эксперименты, в ходе которых экспериментальные единицы случайным образом распределяются по группам или уровням фактора, называются полностью рандомизированными.

Использование F -критерия для оценки разностей между несколькими математическими ожиданиями

Если числовые измерения фактора в группах являются непрерывными и выполняются некоторые дополнительные условия, для сравнения математических ожиданий нескольких групп применяется дисперсионный анализ (ANOVA - An alysis o f Va riance). Дисперсионный анализ, использующий полностью рандомизированные планы, называется однофакторной процедурой ANOVA. В некотором смысле термин дисперсионный анализ является неточным, поскольку при этом анализе сравниваются разности между математическими ожиданиями групп, а не между дисперсиями. Однако сравнение математических ожиданий осуществляется именно на основе анализа вариации данных. В процедуре ANOVA полная вариация результатов измерений подразделяется на межгрупповую и внутригрупповую (рис. 1). Внутригрупповая вариация объясняется ошибкой эксперимента, а межгрупповая - эффектами условий эксперимента. Символ с обозначает количество групп.

Рис. 1. Разделение вариации в полностью рандомизированном эксперименте

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Предположим, что с групп извлечено из независимых генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Нулевая гипотеза заключается в том, что математические ожидания генеральных совокупностей одинаковы: Н 0: μ 1 = μ 2 = … = μ с . Альтернативная гипотеза гласит, что не все математические ожидания одинаковы: Н 1 : не все μ j одинаковы j = 1, 2, …, с).

На рис. 2 представлена истинная нулевая гипотеза о математических ожиданиях пяти сравниваемых групп при условии, что генеральные совокупности имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Пять генеральных совокупностей, связанных с разными уровнями фактора, идентичны. Следовательно, они накладываются одна на другую, имея одинаковые математическое ожидание, вариацию и форму.

Рис. 2. Пять генеральных совокупностей имеют одинаковое математическое ожидание: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5

С другой стороны, предположим, что на самом деле нулевая гипотеза является ложной, причем четвертый уровень имеет наибольшее математическое ожидание, первый уровень - чуть меньшее математическое ожидание, а остальные уровни - одинаковые и еще меньшие математические ожидания (рис. 3). Обратите внимание на то, что за исключением величины математических ожиданий все пять генеральных совокупностей идентичны (т.е. имеют одинаковую изменчивость и форму).

Рис. 3. Наблюдается эффект условий эксперимента: μ 4 > μ 1 > μ 2 = μ 3 = μ 5

При проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий нескольких генеральных совокупностей полная вариация разделяется на две части: межгрупповую вариацию, обусловленную разностями между группами, и внутригрупповую, обусловленную разностями между элементами, принадлежащими одной группе. Полная вариация выражается полной суммой квадратов (SST – sum of squares total). Поскольку нулевая гипотеза заключается в том, что математические ожидания всех с групп равны между собой, полная вариация равна сумме квадратов разностей между отдельными наблюдениями и общим средним (среднее средних) , вычисленным по всем выборкам. Полная вариация:

где - общее среднее, X ij - i -e наблюдение в j -й группе или уровне, n j - количество наблюдений в j -й группе, n - общее количество наблюдений во всех группах (т.е. n = n 1 + n 2 + … + n c ), с - количество изучаемых групп или уровней.

Межгрупповая вариация , называемая обычно межгрупповой суммой квадратов (SSA – sum of squares among groups), равна сумме квадратов разностей между выборочным средним каждой группы j и общим средним , умноженных на объем соответствующей группы n j :

где с - количество изучаемых групп или уровней, n j - количество наблюдений в j -й группе, j - среднее значение j -й группы, - общее среднее.

Внутригрупповая вариация , называемая обычно внутригрупповой суммой квадратов (SSW – sum of squares withing groups), равна сумме квадратов разностей между элементами каждой группы и выборочным средним этой группы j :

где Х ij - i -й элемент j -й группы, j - среднее значение j -й группы.

Поскольку сравнению подвергаются с уровней фактора, межгрупповая сумма квадратов имеет с – 1 степеней свободы. Каждый из с уровней обладает n j – 1 степенями свободы, поэтому внутригрупповая сумма квадратов имеет n – с степеней свободы, и

Кроме того, общая сумма квадратов имеет n – 1 степеней свободы, поскольку каждое наблюдение Х ij сравнивается с общим средним , вычисленным по всем n наблюдениям. Если каждую из этих сумм разделить на соответствующее количество степеней свободы, возникнут три вида дисперсии: межгрупповая (mean square among - MSA), внутригрупповая (mean square within - MSW) и полная (mean square total - MST):

Несмотря на то что основное предназначение дисперсионного анализа - сравнить математические ожидания с групп, чтобы выявить эффект условий эксперимента, его название обусловлено тем, что главным инструментом является анализ дисперсий разного типа. Если нулевая гипотеза является истинной, и между математическими ожиданиями с групп нет существенных различий, все три дисперсии - MSA, MSW и MST - являются оценками дисперсии σ 2 , присущей анализируемым данным. Таким образом, чтобы проверить нулевую гипотезу Н 0: μ 1 = μ 2 = … = μ с и альтернативную гипотезу Н 1 : не все μ j одинаковы j = 1, 2, …, с ), необходимо вычислить статистику F -критерия, представляющую собой отношение двух дисперсий, MSA и MSW. Тестовая F -статистика в однофакторном дисперсионном анализе

Статистика F -критерия подчиняется F -распределению с с – 1 степенями свободы в числителе MSA и n – с степенями свободы в знаменателе MSW . При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная F F U , присущего F -распределению с с – 1 n – с степенями свободы в знаменателе. Таким образом, как показано на рис. 4, решающее правило формулируется следующим образом: нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, если F > F U ; в противном случае она не отклоняется.

Рис. 4. Критическая область дисперсионного анализа при проверке гипотезы Н 0

Если нулевая гипотеза Н 0 является истинной, вычисленная F -статистика близка к 1, поскольку ее числитель и знаменатель являются оценками одной и той же величины - дисперсии σ 2 , присущей анализируемым данным. Если нулевая гипотеза Н 0 является ложной (и между математическими ожиданиями разных групп существует значительная разница), вычисленная F -статистика будет намного больше единицы, поскольку ее числитель, MSA, помимо естественной изменчивости данных, оценивает эффект условий эксперимента или разности между группами, в то время как знаменатель MSW оценивает лишь естественную изменчивость данных. Таким образом, процедура ANOVA представляет собой F -критерий, в котором при заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная F -статистика больше верхнего критического значения F U , присущего F -распределению с с – 1 степенями свободы в числителе и n – с степенями свободы в знаменателе, как показано на рис. 4.

Для иллюстрации однофакторного дисперсионного анализа вернемся к сценарию, изложенному в начале заметки. Цель эксперимента - определить, имеют ли парашюты, сотканные из синтетического волокна, полученного от разных поставщиков, одинаковую прочность. В каждой из групп соткано по пять парашютов. Группы разделены по поставщикам- Поставщик 1, Поставщик 2, Поставщик 3 и Поставщик 4. Прочность парашютов измеряется с помощью специального устройства, испытывающего ткань на разрыв с двух сторон. Сила, необходимая для разрыва парашюта, измеряется по особой шкале. Чем выше сила разрыва, тем прочнее парашют. Excel позволяет провести анализ F -статистики одним кликом. Пройдите по меню Данные → Анализ данных , и выберите строку Однофакторный дисперсионный анализ , заполните открывшееся окно (рис. 5). Результаты эксперимента (сила разрыва), некоторые описательные статистики и результаты однофакторного дисперсионного анализа представлены на рис. 6.

Рис. 5. Окно Однофакторный дисперсионный анализ Пакета анализа Excel

Рис. 6. Показатели прочности парашютов, сотканных из синтетических волокон, полученных от разных поставщиков, описательные статистики и результаты однофакторного дисперсионного анализа

Анализ рисунка 6 показывает, что между выборочными средними наблюдается некоторая разница. Средняя прочность волокон, полученных от первого поставщика, равна 19,52, от второго - 24,26, от третьего - 22,84 и от четвертого - 21,16. Можно ли назвать эту разницу статистически значимой? Распределение силы разрыва продемонстрировано на диаграмме разброса (рис. 7). На ней ясно видны разности как между группами, так и внутри них. Если бы объем каждой группы был больше, для их анализа можно было бы применить диаграмму «ствол и листья», блочную диаграмму или график нормального распределения.

Рис. 7. Диаграмма разброса прочности парашютов, сотканных из синтетических волокон, полученных от четырех поставщиков

Нулевая гипотеза утверждает, что между средними показателями прочности нет существенных различий: Н 0: μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 . Альтернативная гипотеза заключается в том, что существует по крайней мере один поставщик, у которого средняя прочность волокон отличается от других: Н 1 : не все μ j одинаковы (j = 1, 2, …, с ).

Общее среднее (см. рис. 6) =СРЗНАЧ(D12:D15) = 21,945; для определения также можно усреднить все 20 исходных чисел: =СРЗНАЧ(A3:D7). Значения дисперсий рассчитываются Пакетом анализа и отражаются в табличке Дисперсионный анализ (см. рис. 6): SSA = 63,286, SSW = 97,504, SST = 160,790 (см. колонку SS таблицы Дисперсионный анализ рисунка 6). Средние значения вычисляются путем деления этих сумм квадратов на соответствующее количество степеней свободы. Поскольку с = 4, а n = 20, получаем следующие значения степеней свободы; для SSA: с – 1 = 3; для SSW: n – c = 16; для SST: n – 1 = 19 (см. колонку df ). Таким образом: MSA = SSA / (с – 1) = 21,095; MSW = SSW / (n – c ) = 6,094; MST = SST / (n – 1 ) = 8,463 (см. колонку MS ). F -статистика = MSA / MSW = 3,462 (см. колонку F ).

Верхнее критическое значение F U , характерное для F -распределения, определяется по формуле =F.ОБР(0,95;3;16) = 3,239. Параметры функции =F.ОБР(): α = 0,05, числитель имеет три степени свободы, а знаменатель - 16. Таким образом, вычисленная F -статистика, равная 3,462, превышает верхнее критическое значение F U = 3,239, нулевая гипотеза отклоняется (рис. 8).

Рис. 8. Критическая область дисперсионного анализа при уровне значимости, равном 0,05, если числитель имеет три степени свободы, а знаменатель -16

р -значение, т.е. вероятность того, что при истинной нулевой гипотезе F -статистика не меньше 3,46, равно 0,041 или 4,1% (см. колонку р-Значение таблицы Дисперсионный анализ рисунка 6). Поскольку эта величина не превышает уровень значимости α = 5%, нулевая гипотеза отклоняется. Более того, р -значение свидетельствует о том, что вероятность обнаружить такую или большую разность между математическими ожиданиями генеральных совокупностей при условии, что на самом деле они одинаковы, равна 4,1%.

Итак. Между четырьмя выборочными средними существует разница. Нулевая гипотеза заключалась в том, что все математические ожидания четырех генеральных совокупностей равны между собой. В этих условиях мера полной изменчивости (т.е. полная вариация SST) прочности всех парашютов вычисляется путем суммирования квадратов разностей между каждым наблюдением X ij и общим средним . Затем полная вариация разделялась на два компонента (см. рис. 1). Первый компонент представлял собой межгрупповую вариацию SSA, а второй - внутригрупповую SSW.

Чем объясняется изменчивость данных? Иначе говоря, почему все наблюдения не одинаковы? Одна из причин заключается в том, что разные фирмы поставляют волокна разной прочности. Это частично объясняет, почему группы имеют разные математические ожидания: чем сильнее эффект условий эксперимента, тем больше разность между математическими ожиданиями групп. Другой причиной изменчивости данных является естественная изменчивость любого процесса, в данном случае - производства парашютов. Даже если бы все волокна приобретались у одного и того же поставщика, их прочность была бы неодинаковой при прочих равных условиях. Поскольку этот эффект проявляется в каждой из групп, он называется внутригрупповой вариацией.

Разности между выборочными средними называются межгрупповой вариацией SSA. Часть внутригрупповой вариации, как уже указывалось, объясняется принадлежностью данных разным группам. Однако даже если бы группы были совершенно одинаковыми (т.е. нулевая гипотеза была бы истинной), межгрупповая вариация все равно существовала. Причина этого заключается в естественной изменчивости процесса производства парашютов. Поскольку выборки разные, их выборочные средние отличаются друг от друга. Следовательно, если нулевая гипотеза является истинной, как межгрупповая, так и внутригрупповая изменчивость представляют собой оценку изменчивости генеральной совокупности. Если нулевая гипотеза является ложной, межгрупповая гипотеза будет больше. Именно этот факт лежит в основе F -критерия для сравнения разностей между математическими ожиданиями нескольких групп.

После выполнения однофакторного дисперсионного анализа и обнаружения значительной разницы между фирмами остается неизвестным, какой же из поставщиков существенно отличается от остальных. Нам известно лишь, что математические ожидания генеральных совокупностей не равны. Иначе говоря, по крайней мере одно из математических ожиданий существенно отличается от других. Чтобы определить, какой из поставщиков отличается от других, можно воспользоваться процедурой Тьюки , использующей попарное сравнение между поставщиками. Эта процедура была разработана Джоном Тьюки. Впоследствии он и К. Крамер независимо друг от друга модифицировали эту процедуру для ситуаций, в которых объемы выборок отличаются друг от друга.

Множественное сравнение: процедура Тьюки-Крамера

В нашем сценарии для сравнения прочности парашютов использовался однофакторный дисперсионный анализ. Обнаружив значительные различия между математическими ожиданиями четырех групп, необходимо определить, какие именно группы отличаются друг от друга. Хотя существует несколько способов решить эту задачу, мы опишем лишь процедуру множественного сравнения Тьюки-Крамера. Этот метод является примером процедур апостериорного сравнения (post hoc comparison), поскольку проверяемая гипотеза формулируется после анализа данных. Процедура Тьюки-Крамера позволяет одновременно сравнить все пары групп. На первом этапе вычисляются разности X j – X j ’ , где j ≠ j ’ , между математическими ожиданиями с(с – 1)/2 групп. Критический размах процедуры Тьюки-Крамера вычисляется по формуле:

где Q U - верхнее критическое значение распределения стьюдентизированного размаха, имеющего с степеней свободы в числителе и n – с степеней свободы в знаменателе.

Если объемы выборок не одинаковы, критический размах вычисляется для каждой пары математических ожиданий отдельно. На последнем этапе каждая из с(с – 1)/2 пар математических ожиданий сравнивается с соответствующим критическим размахом. Элементы пары считаются значимо различными, если модуль разности |X j – X j ’ | между ними превышает критический размах.

Применим процедуру Тьюки-Крамера к задаче о прочности парашютов. Поскольку компания, производящая парашюты, имеет четыре поставщика, следует проверить 4(4 – 1)/2 = 6 пар поставщиков (рис. 9).

Рис. 9. Попарные сравнения выборочных средних

Поскольку все группы имеют одинаковый объем (т.е. все n j = n j ’ ), достаточно вычислить только один критический размах. Для этого по таблице Дисперсионного анализа (рис. 6) определим величину MSW = 6,094. Затем найдем величину Q U при α = 0,05, с = 4 (число степеней свободы в числителе) и n – с = 20 – 4 = 16 (число степеней свободы в знаменателе). К сожалению, я не нашел соответствующей функции в Excel, так что воспользовался таблицей (рис. 10).

Рис. 10. Критическое значение стьюдентизированного размаха Q U

Получаем:

Поскольку лишь 4,74 > 4,47 (см. нижнюю таблицу рис. 9), статистически значимая разница существует между первым и вторым поставщиком. Все остальные пары имеют выборочные средние, которые не позволяют говорить о их различии. Следовательно, средняя прочность парашютов, сотканных из волокон, приобретенных у первого поставщика, значимо меньше, чем у второго.

Необходимые условия однофакторного дисперсионного анализа

При решении задачи о прочности парашютов мы не проверяли, выполняются ли условия, при которых можно использовать однофакторный F -критерий. Как же узнать, можно ли применять однофакторный F -критерий при анализе конкретных экспериментальных данных? Однофакторный F -критерий можно применять, только если выполняются три основных предположения: экспериментальные данные должны быть случайными и независимыми, иметь нормальное распределение, а их дисперсии должны быть одинаковыми.

Первое предположение - случайность и независимость данных - должно выполняться всегда, поскольку корректность любого эксперимента зависит от случайности выбора и/или процесса рандомизации. Чтобы избежать искажения результатов, необходимо, чтобы данные извлекались из с генеральных совокупностей случайно и независимо друг от друга. Аналогично данные должны быть случайным образом распределенными по с уровням интересующего нас фактора (экспериментальным группам). Нарушение этих условий может серьезно исказить результаты дисперсионного анализа.

Второе предположение - нормальность - означает, что данные извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Как и для t -критерия, однофакторный дисперсионный анализ на основе F -критерия относительно мало чувствителен к нарушению этого условия. Если распределение не слишком значительно отличается от нормального, уровень значимости F -критерия изменяется мало, особенно если объем выборок достаточно велик. Если же условие о нормальности распределения нарушается серьезно, следует применять .

Третье предположение - однородность дисперсии - означает, что дисперсии каждой генеральной совокупности равны между собой (т.е. σ 1 2 = σ 2 2 = … = σ j 2). Это предположение позволяет решить, разделять или объединять внутригрупповые дисперсии. Если объемы групп совпадают, условие однородности дисперсии слабо влияет на выводы, полученные с помощью F -критерия. Однако, если объемы выборок неодинаковы, нарушение условия о равенстве дисперсий может серьезно исказить результаты дисперсионного анализа. Таким образом, следует стремиться к тому, чтобы объемы выборок были одинаковыми. Одним из методов проверки предположения об однородности дисперсии является критерий Левенэ , описанный ниже.

Если из всех трех условий нарушается лишь условие об однородности дисперсии, можно применять процедуру, аналогичную t -критерию, использующему раздельную дисперсию (подробнее см. ). Однако, если предположения о нормальном распределении и однородности дисперсии нарушаются одновременно, необходимо выполнить нормализацию данных и уменьшить разности между дисперсиями или применить непараметрическую процедуру.

Критерий Левенэ для проверки однородности дисперсии

Несмотря на то что F -критерий относительно устойчив к нарушениям условия о равенстве дисперсий в группах, грубое нарушение этого предположения существенно влияет на уровень значимости и мощность критерия. Возможно, одним из наиболее мощных является критерий Левенэ . Для проверки равенства дисперсий с генеральных совокупностей проверим следующие гипотезы:

Н 0: σ 1 2 = σ 2 2 = … = σ j 2

Н 1 : не все σ j 2 одинаковы (j = 1, 2, …, с )

Модифицированный критерий Левенэ основан на утверждении, что если изменчивость в группах одинакова, для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий можно применить анализ дисперсии абсолютных величин разностей между наблюдениями и медианами групп. Итак, сначала следует вычислить абсолютные величины разностей между наблюдениями и медианами в каждой группе, а затем выполнить однофакторный дисперсионный анализ полученных абсолютных величин разностей. Для иллюстрации критерия Левенэ вернемся к сценарию, изложенному в начале заметки. Используя данные, представленные на рис. 6, проведем аналогичный анализ, но в отношении модулей разниц исходных данных и медиан по каждой выборке отдельно (рис. 11).

Дисперсионный анализ есть совокупность статистических методов, предназначенных для проверки гипотез о связи между определенными признаками и исследуемыми факторами, которые не имеют количественного описания, а также для установления степени влияния факторов и их взаимодействия. В специальной литературе его часто называют ANOVA (от англоязычного названия Analysis of Variations). Впервые этот метод был разработан Р. Фишером в 1925 г.

Виды и критерии дисперсионного анализа

Этот метод используется для исследования связи между качественными (номинальными) признаками и количественной (непрерывной) переменной. По сути, он осуществляет тестирование гипотезы о равенстве средних арифметических нескольких выборок. Таким образом, его можно рассматривать как параметрический критерий для сравнения центров сразу нескольких выборок. Если использовать этот метод для двух выборок, то результаты дисперсионного анализа будут идентичны результатам t-критерия Стьюдента. Однако, в отличие от других критериев, это исследование позволяет изучить проблему более детально.

Дисперсионный анализ в статистике базируется на законе: сумма квадратов отклонений объединенной выборки равна сумме квадратов внутригрупповых отклонений и сумме квадратов межгрупповых отклонений. Для исследования используется критерий Фишера для установления значимости различия межгрупповых дисперсий от внутригрупповых. Однако для этого необходимыми предпосылками являются нормальность распределения и гомоскедастичность (равенство дисперсий) выборок. Различают одномерный (однофакторный) дисперсионный анализ и многомерный (многофакторный). Первый рассматривает зависимость исследуемой величины от одного признака, второй - сразу от многих, а также позволяет выявить связь между ними.

Факторы

Факторами называют контролируемые обстоятельства, что влияют на конечный результат. Его уровнем или способом обработки называют значение, которое характеризует конкретное проявление этого условия. Эти цифры обычно подают в номинальной или порядковой шкале измерений. Часто выходные значения измеряют в количественных или порядковых шкалах. Тогда возникает проблема группировки выходных данных в ряде наблюдений, что соответствуют примерно одинаковым числовым значениям. Если количество групп взять чрезмерно большим, то количество наблюдений в них может оказаться недостаточным для получения надежных результатов. Если брать число чрезмерно малым, это может привести к потере существенных особенностей влияния на систему. Конкретный способ группировки данных зависит от объема и характера варьирования значений. Количество и размеры интервалов при однофакторном анализе чаще всего определяют по принципу равных промежутков или по принципу равных частот.

Задачи дисперсионного анализа

Итак, существуют случаи, когда нужно сравнить две или больше выборок. Именно тогда и целесообразно применение дисперсионного анализа. Название метода указывает на то, что выводы делают на основе исследования составляющих дисперсии. Суть изучения состоит в том, что общее изменение показателя разбивают на составляющие части, которые соответствуют действию каждого отдельно взятого фактора. Рассмотрим ряд задач, которые решает типичный дисперсионный анализ.

Пример 1

В цехе есть ряд станков - автоматов, которые изготавливают определенную деталь. Размер каждой детали - это случайная величина, которая зависит от настройки каждого станка и случайных отклонений, возникающих в процессе изготовления деталей. Нужно по данным измерений размеров деталей определить, одинаково ли настроены станки.

Пример 2

Во время изготовления электрического аппарата используют различные типы изоляционной бумаги: конденсаторную, электротехническую и др. Аппарат можно пропитать различными веществами: эпоксидной смолой, лаком, смолой МЛ-2 и др. Утечки можно устранять под вакуумом при повышенном давлении, при нагреве. Пропитывать можно методом погружения в лак, под непрерывной струей лака и т. п. Электрический аппарат в целом заливают определенным компаундом, вариантов которого есть несколько. Показателями качества являются электрическая прочность изоляции, температура перегрева обмотки в рабочем режиме и ряд других. Во время отработки технологического процесса изготовления аппаратов надо определить, как влияет каждый из перечисленных факторов на показатели аппарата.

Пример 3

Троллейбусное депо обслуживает несколько троллейбусных маршрутов. На них работают троллейбусы различных типов, и оплату за проезд собирают 125 контролеров. Руководство депо интересует вопрос: как сравнить экономические показатели работы каждого контролера (выручку) учитывая различные маршруты, различные типы троллейбусов? Как определить экономическую целесообразность выпуска троллейбусов определенного типа на тот или другой маршрут? Как установить обоснованные требования к величине выручки, которую приносит кондуктор, на каждом маршруте в различных типах троллейбусов?

Задача по выбору метода состоит в том, как получить максимум информации относительно влияния на конечный результат каждого фактора, определить числовые характеристики такого влияния, их надежность при минимальных затратах и за максимально короткое время. Решить такие задачи позволяют методы дисперсионного анализа.

Однофакторный анализ

Исследование своей целью ставит оценку величины влияния конкретного случая на анализируемый отзыв. Другой задачей однофакторного анализа может быть сравнение двух или нескольких обстоятельств друг с другом с целью определения разницы их влияния на отзыв. Если нулевую гипотезу отвергают, то следующим этапом будет количественное оценивание и построение доверительных интервалов для полученных характеристик. В случае, когда нулевая гипотеза не может быть отброшенной, обычно ее принимают и делают вывод о сущности влияния.

Однофакторный дисперсионный анализ может стать непараметрическим аналогом рангового метода Краскела-Уоллиса. Он разработан американскими математиком Уильямом Краскелом и экономистом Вильсоном Уоллисом в 1952 г. Этот критерий назначен для проверки нулевой гипотезы о равенстве эффектов влияния на исследуемые выборки с неизвестными, но равными средними величинами. При этом количество выборок должно быть больше двух.

Критерий Джонкхиера (Джонкхиера-Терпстра) был предложен независимо друг от друга нидерландским математиком Т. Дж. Терпстром в 1952 г. и британским психологом Е. Р. Джонкхиером в 1954 г. Его применяют тогда, когда заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по росту влияния исследуемого фактора, который измеряют в порядковой шкале.

М - критерий Бартлетта, предложенный британским статистиком Маурисом Стивенсоном Бартлеттом в 1937 г., применяют для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нескольких нормальных генеральных совокупностей, с которых взяты исследуемые выборки, в общем случае имеющие различные объемы (число каждой выборки должно быть не меньше четырех).

G - критерий Кохрена, который открыл американец Вильям Геммел Кохрен в 1941 г. Его используют для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нормальных генеральных совокупностей по независимым выборкам равного объема.

Непараметрический критерий Левене, предложенный американским математиком Ховардом Левене в 1960 г., является альтернативой критерия Бартлетта в условиях, когда нет уверенности в том, что исследуемые выборки подчиняются нормальному распределению.

В 1974 г. американские статистики Мортон Б. Браун и Алан Б. Форсайт предложили тест (критерий Брауна-Форсайта), который несколько отличается от критерия Левене.

Двухфакторный анализ

Двухфакторный дисперсионный анализ применяют для связанных нормально распределенных выборок. На практике часто используют и сложные таблицы этого метода, в частности те, в которых каждая ячейка содержит набор данных (повторные измерения), соответствующих фиксированным значениям уровней. Если предположения, необходимые для применения двухфакторного дисперсионного анализа, не выполняются, то используют непараметрический ранговый критерий Фридмана (Фридмана, Кендалла и Смита), разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом в конце 1930 г. Этот критерий не зависит от типа распределения.

Предполагается только, что распределение величин является одинаковым и непрерывным, а сами они независимы одна от другой. При проверке нулевой гипотезы выходные данные подают в форме прямоугольной матрицы, в которой строки соответствуют уровням фактора В, а столбцы - уровням А. Каждая ячейка таблицы (блока) может быть результатом измерений параметров на одном объекте или на группе объектов при постоянных значениях уровней обоих факторов. В этом случае соответствующие данные подают как средние значения определенного параметра по всем измерениям или объектам исследуемой выборки. Для применения критерия выходных данных необходимо перейти от непосредственных результатов измерений к их рангу. Ранжирование осуществляют по каждой строке отдельно, то есть величины упорядочивают для каждого фиксированного значения.

Критерий Пейджа (L-критерий), предложенный американским статистиком Е. Б. Пейджем в 1963 г., предназначен для проверки нулевой гипотезы. Для больших выборок применяют аппроксимацию Пейджа. Они при условии реальности соответствующих нулевых гипотез подчиняются стандартному нормальному распределению. В случае, когда в строках исходной таблицы есть одинаковые значения, необходимо использовать средние ранги. При этом точность выводов будет тем хуже, чем больше будет количеств таких совпадений.

Q - критерий Кохрена, предложенный В. Кохреном в 1937 г. Его используют в случаях, когда группы однородных субъектов подвергаются воздействиям, количество которых превышает два и для которых возможны два варианта отзывов - условно-отрицательный (0) и условно-положительный (1). Нулевая гипотеза состоит из равенства эффектов влияния. Двухфакторный дисперсионный анализ дает возможность определить существование эффектов обработки, однако не дает возможности установить, для каких именно столбцов существует этот эффект. При решении данной проблемы применяют метод множественных уравнений Шеффе для связанных выборок.

Многофакторный анализ

Задача многофакторного дисперсионного анализа возникает тогда, когда нужно определить влияние двух или большего количества условий на определенную случайную величину. Исследование предусматривает наличие одной зависимой случайной величины, измеренной в шкале разницы или отношений, и нескольких независимых величин, каждая из которых выражена в шкале наименований или в ранговой. Дисперсионный анализ данных является достаточно развитым разделом математической статистики, который имеет массу вариантов. Концепция исследования общая как для однофакторного, так и для многофакторного. Сущность ее состоит в том, что общую дисперсию разбивают на составляющие, что соответствует определенной группировке данных. Каждой группировке данных соответствует своя модель. Здесь мы рассмотрим только основные положения, нужные для понимания и практического использования наиболее применяемых его вариантов.

Дисперсионный анализ факторов требует достаточно внимательного отношения к сбору и подаче входных данных, а особенно к интерпретации результатов. В отличие от однофакторного, результаты которого можно условно разместить в определенной последовательности, результаты двухфакторного требуют более сложного представления. Еще сложнее ситуация возникает, когда есть три, четыре или больше обстоятельств. Из-за этого в модель достаточно редко включают больше трех (четырех) условий. Примером может быть возникновение резонанса при определенной величине емкости и индуктивности электрического круга; проявление химической реакции при определенной совокупности элементов, из которых построена система; возникновение аномальных эффектов в сложных системах при определенном совпадении обстоятельств. Наличие взаимодействия может в корне изменить модель системы и иногда привести к переосмыслению природы явлений, с которыми имеет дело экспериментатор.

Многофакторный дисперсионный анализ с повторными опытами

Данные измерений достаточно часто можно группировать не по двум, а по большему количеству факторов. Так, если рассматривать дисперсионный анализ срока службы покрышек колес троллейбуса с учетом обстоятельств (завод-производитель и маршрут, на котором эксплуатируются покрышки), то можно выделить как отдельное условие сезон, во время которого эксплуатируются покрышки (а именно: зимняя и летняя эксплуатация). В результате будем иметь задачу трехфакторного метода.

При наличии большего количества условий подход такой же, как и в двухфакторном анализе. Во всех случаях модель пытаются упростить. Явление взаимодействия двух факторов проявляется не так часто, а тройное взаимодействие бывает только в исключительных случаях. Включают то взаимодействие, для которого есть предыдущая информация и серьезные основания, чтобы ее учесть в модели. Процесс выделения отдельных факторов и их учета относительно простой. Поэтому часто возникает желание выделить больше обстоятельств. Этим не следует увлекаться. Чем больше условий, тем менее надежной становится модель и тем больше вероятность ошибки. Сама модель, в которую входит большое количество независимых переменных, становится достаточно сложной для интерпретации и неудобной для практического использования.

Общая идея дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ в статистике - это метод получения результатов наблюдений, зависимых от различных одновременно действующих обстоятельств, и оценки их влияния. Управляемую переменную величину, которая соответствует способу воздействия на объект исследования и в некоторый период времени приобретает определенное значение, называют фактором. Они могут быть качественными и количественными. Уровни количественных условий приобретают определенное значение на числовой шкале. Примерами являются температура, давление прессования, количество вещества. Качественные факторы - это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, наполнители. Их уровням соответствует шкала наименований.

К качественным можно отнести также вид упаковочного материала, условия хранения лекарственной формы. Сюда же рационально отнести степень измельчения сырья, фракционный состав гранул, имеющих количественное значение, однако плохо поддающихся регулированию, если использовать количественную шкалу. Число качественных факторов зависит от вида лекарственной формы, а также физических и технологических свойств лекарственных веществ. Например, из кристаллических веществ можно получать таблетки прямым прессованием. В этом случае достаточно провести выбор скользящих и смазывающих веществ.

Примеры качественных факторов для различных видов лекарственных форм

Настойки. Состав экстрагента, тип экстрактора, способ подготовки сырья, способ получения, способ фильтрации.
Экстракты (жидкие, густые, сухие). Состав экстрагента, способ экстракции, тип установки, способ удаления экстрагента и балластных веществ.
Таблетки. Состав вспомогательных веществ, наполнители, разрыхлители, связующие, смазывающие и скользящие вещества. Способ получения таблеток, вид технологического оборудования. Вид оболочки и ее компонентов, пленкообразователи, пигменты, красители, пластификаторы, растворители.
Инъекционные растворы. Вид растворителя, способ фильтрации, природа стабилизаторов и консервантов, условия стерилизации, способ заполнения ампул.
Суппозитории. Состав суппозиторной основы, способ получения суппозиториев, наполнителей, упаковки.
Мази. Состав основы, структурные компоненты, способ приготовления мази, вид оборудования, упаковка.
Капсулы. Вид оболочечного материала, способ получения капсул, тип пластификатора, консерванта, красителя.
Линименты. Способ получения, состав, тип оборудования, тип эмульгатора.
Суспензии. Вид растворителя, вид стабилизатора, метод диспергирования.

Примеры качественных факторов и их уровней, изучаемых в процессе изготовления таблеток

Разрыхлитель. Крахмал картофельный, глина белая, смесь натрия гидрокарбоната с кислотой лимонной, магния карбонат основной.
Связывающий раствор. Вода, крахмальный клейстер, сахарный сироп, раствор метилцеллюлозы, раствор оксипропилметилцеллюлозы, раствор поливинилпирролидона, раствор поливинилового спирта.
Скользящая вещество. Аэросил, крахмал, тальк.
Наполнитель. Сахар, глюкоза, лактоза, натрия хлорид, фосфат кальция.
Смазывающее вещество. Стеариновая кислота, полиэтиленгликоль, парафин.

Модели дисперсионного анализа в исследовании уровня конкурентоспособности государства

Одним из важнейших критериев оценки состояния государства, по которым проводится оценка уровня его благосостояния и социально-экономического развития, является конкурентоспособность, то есть совокупность свойств, присущих национальной экономике, которые определяют способность государства конкурировать с другими странами. Определив место и роль государства на мировом рынке, можно установить четкую стратегию обеспечения экономической безопасности в международных масштабах, ведь она является залогом положительных взаимоотношений России со всеми игроками мирового рынка: инвесторами, кредиторами, правительствами государств.

Для сравнения уровня конкурентоспособности государств проводится ранжирование стран с помощью комплексных индексов, которые включают различные взвешенные показатели. В основу этих индексов заложены ключевые факторы, влияющие на экономическое, политическое и т. п. положение. Комплекс моделей исследования конкурентоспособности государства предусматривает использование методов многомерного статистического анализа (в частности, это дисперсионный анализ (статистика), эконометрическое моделирование, принятие решений) и включает следующие основные этапы:

Формирование системы показателей-индикаторов.
Оценку и прогнозирование индикаторов конкурентоспособности государства.
Сравнение показателей-индикаторов конкурентоспособности государств.

А теперь рассмотрим содержание моделей каждого из этапов данного комплекса.

На первом этапе с помощью методов экспертного изучения формируется обоснованный комплекс экономических показателей-индикаторов оценки конкурентоспособности государства с учетом специфики ее развития на основе международных рейтингов и данных статистических отделов, отражающих состояние системы в целом и ее процессов. Выбор этих показателей обоснован необходимостью отобрать те из них, которые наиболее полно с точки зрения практики позволяют определить уровень государства, его инвестиционную привлекательность и возможности относительной локализации существующих потенциальных и реально действующих угроз.

Основные показатели-индикаторы международных рейтинг-систем - это индексы:

Глобальной конкурентоспособности (ИГК).
Экономической свободы (ИЭС).
Развития человеческого потенциала (ИРЧП).
Восприятия коррупции (ИВК).
Внутренних и внешних угроз (ИВЗЗ).
Потенциала международного влияния (ИПМВ).

Второй этап предусматривает оценку и прогнозирование индикаторов конкурентоспособности государства по международным рейтингам для исследуемых 139 государств мира.

Третий этап предусматривает сравнение условий конкурентоспособности государств при помощи методов корреляционно-регрессионного анализа.

Используя результаты исследования можно определить характер протекания процессов в целом и по отдельным составляющим конкурентоспособности государства; проверить гипотезу о влиянии факторов и их взаимосвязи при соответствующем уровне значимости.

Реализация предложенного комплекса моделей позволит не только оценить сложившуюся ситуацию уровня конкурентоспособности и инвестиционной привлекательности государств, но и проанализировать недостатки управления, предупредить ошибки неправильных решений, не допустить развития кризиса в государстве.

Дисперсионный анализ

1. Понятие дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ -это анализ изменчивости признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов. В зарубежной литературе дисперсионный анализ часто обозначается как ANOVA, что переводится как анализ вариативности (Analysis of Variance).

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака вычленить вариативность иного рода:

а) вариативность обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных;

б) вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независимых переменных;

в) случайную вариативность, обусловленную всеми другими неизвестными переменными.

Вариативность, обусловленная действием исследуемых переменных и их взаимодействием, соотносится со случайной вариативностью. Показателем этого соотношения является критерий F Фишера.

В формулу расчета критерия F входят оценки дисперсий, то есть параметров распределения признака, поэтому критерий F является параметрическим критерием.

Чем в большей степени вариативность признака обусловлена исследуемыми переменными (факторами) или их взаимодействием, тем выше эмпирические значения критерия .

Нулевая гипотеза в дисперсионном анализе будет гласить, что средние величины исследуемого результативного признака во всех градациях одинаковы.

Альтернативная гипотеза будет утверждать, что средние величины результативного признака в разных градациях исследуемого фактора различны.

Дисперсионный анализ позволяет нам констатировать изменение признака, но при этом не указывает направление этих изменений.

начнем рассмотрение дисперсионного анализа с простейшего случая, когда исследуется действие только одной переменной (одного фактора).

2. Однофакторный дисперсионный анализ для несвязанных выборок

2.1. Назначение метода

Метод однофакторного дисперсионного анализа применяется в тех случаях, когда исследуются изменения результативного признака под влиянием изменяющихся условий или градаций какого-либо фактора. В данном варианте метода влиянию каждой из градаций фактора подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех. (Градаций может быть и две, но в этом случае мы не сможем установить нелинейных зависимостей и более разумным представляется использование более простых).

Непараметрическим вариантом этого вида анализа является критерий Н Крускала-Уоллиса.

Гипотезы

H 0: Различия между градациями фактора (разными условиями) являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

H 1: Различия между градациями фактора (разными условиями) являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

2.2. Ограничения метода однофакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок

1. Однофакторный дисперсионный анализ требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытуемых в каждой градации.

2. Результативный признак должен быть нормально распределен в исследуемой выборке.

Правда, обычно не указывается, идет ли речь о распределении признака во всей обследованной выборке или в той ее части, которая составляет дисперсионный комплекс.

3. Пример решения задачи методом однофакторного дисперсионного анализа для несвязанных выборок на примере:

Три различные группы из шести испытуемых получили списки из десяти слов. Первой группе слова предъявлялись с низкой скоростью -1 слово в 5 секунд, второй группе со средней скоростью - 1 слово в 2 секунды, и третьей группе с большой скоростью - 1 слово в секунду. Было предсказано, что показатели воспроизведения будут зависеть от скорости предъявления слов. Результаты представлены в Табл. 1.

Количество воспроизведенных слов Таблица 1

№ испытуемого	низкая скорость	средняя скорость	высокая скорость








Общая сумма

H 0: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

H 1: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы. Используя экспериментальные значения, представленные в Табл. 1, установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчета критерия F.

Расчет основных величин для однофакторного дисперсионного анализа представим в таблице:

Таблица 2

Таблица 3

Последовательность операций в однофакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок

Часто встречающееся в этой и последующих таблицах обозначение SS - сокращение от "суммы квадратов" (sum of squares). Это сокращение чаще всего используется в переводных источниках.

SS факт означает вариативность признака, обусловленную действием исследуемого фактора;

SS общ - общую вариативность признака;

S CA -вариативность, обусловленную неучтенными факторами, "случайную" или "остаточную" вариативность.

MS - "средний квадрат", или математическое ожидание суммы квадратов, усредненная величина соответствующих SS.

df - число степеней свободы, которое при рассмотрении непараметрических критериев мы обозначили греческой буквой v .

Вывод: H 0 отклоняется. Принимается H 1 . Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы (α=0,05). Итак, скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.

Пример решения задачи в Excel представлен ниже:

Исходные данные:

Используя команду: Сервис->Анализ данных->Однофакторный дисперсионный анализ, получим следующие результаты:

Курсовая работа по математике

Введение

Понятие дисперсионного анализа

Однофакторный дисперсионный анализ (Практическая реализация в IBM SPSS Statistics 20)

Однофакторный дисперсионный анализ (Практическая реализация в Microsoft Office 2013)

Заключение

Список использованных источников

Введение

Актуальность темы. Развитие математической статистики начинается с работ знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса в 1795 году и до сих пор развивается. В статистическом анализе существует параметрический метод «Однофакторный дисперсионный анализ». В настоящее время его используют в экономике при проведении исследования рынка для сопоставимости результатов (например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга, в психологии при проведении различного рода исследований), при составлении научных тестов сравнения, или исследовании каких-либо социальных групп, ну и для решении задач по статистике.

Цель работы. Познакомится с таким статистическим методом, как однофакторный дисперсионный анализ, а так же с реализацией его на ПК в различных программах и выполнить сравнение этих программ.

Изучить теорию однофакторного дисперсионного анализа.

Изучить программы для решения задач на однофакторный анализ.

Провести сравнительный анализ данных программ.

Достижения работы: Практическая часть работы полностью проделана автором: подбор программ, подбор задач, их решение на ПК, после проведен сравнительный анализ. В теоритической части проведена классификация групп дисперсионного анализа. Данная работа была апробирована в качестве доклада на студенческой научной сессии «Избранные вопросы высшей математики и методики преподавании математики»

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, заключения, содержания и списка литературы, включающего 4 наименования. Полный объём работы - 25 страниц печатного текста. Работа содержит 1 пример решенный 2 программами.

Понятие дисперсионного анализа

Часто возникает необходимость исследовать влияние одной или нескольких независимых переменных (факторов) на одну или несколько зависимых переменных (результативных признаков), подобные задачи можно решать методами дисперсионного анализа, автором которого является Р. Фишер.

Дисперсионный анализ ANOVA - совокупность статистических методов обработки данных, позволяющих анализировать изменчивость одного или нескольких результативных признаков под влиянием контролируемых факторов (независимых переменных) . Здесь под фактором понимается некоторая величина, определяющая свойства исследуемого объекта или системы, т.е. причина, влияющая на конечный результат. При проведении дисперсионного анализа важно правильно выбрать источник и объект влияния, т.е. определить зависимые и независимые переменные.

В зависимости от признаков классификации различают несколько классификационных групп дисперсионного анализа (табл. 1).

По количеству учитываемых факторов:Однофакторный анализ - исследуется влияние одного фактора;Многофакторный анализ - изучается одновременное воздействие двух или более факторов.По наличию связи между выборками значений:Анализ несвязанных (различных) выборок - проводится, когда имеется несколько групп объектов исследования, находящихся в разных условиях. (Проверяется нулевая гипотеза H0: среднее значение зависимой переменной одинаково в разных условиях замера, т.е. не зависит от исследуемого фактора.);Анализ связанных (одних и тех же) выборок - проводится для двух и более замеров, проведенных на одной и той же группе исследуемых объектов в разных условиях. Здесь возможно влияние неучтенного фактора, которое можно ошибочно приписать изменению условий.По количеству зависимых переменных, подверженных воздействию факторов.Одномерный анализ (АNOVA или АМСОVА - ковариационный анализ) - воздействию факторов подвержена одна зависимая переменная;Многомерный анализ (МАNОVА - многомерный дисперсионный анализ или МАNСОVА - многомерный ковариационный анализ) - воздействию факторов подвержено несколько зависимых переменных.По цели исследования.Детерминированные - уровни всех факторов заранее фиксированы и проверяется именно их влияние (проверяется гипотеза H0 об отсутствии различий между средними уровнями);Случайные - уровни каждого фактора получены как случайная выборка из генеральной совокупности уровней фактора (проверяется гипотеза Н0 о том, что дисперсия средних значений отклика, вычисленная для различных уровней фактора, не отлична от нуля);

В однофакторном дисперсионном анализе проводится проверка статистической значимости различий выборочных средних двух или более совокупностей для этого предварительно формируются гипотезы.

Нулевая гипотеза H0: средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора (или градациях фактора) одинаковы

Альтернативная гипотеза H1: средние величины результативного признака во всех условиях действия фактора различны.

Методы дисперсионного анализа могут применяться для нормально распределенных совокупностей (многомерные аналоги параметрических тестов) и для совокупностей, не имеющих определенных распределений (многомерные аналоги непараметрических тестов). В первом случае необходимо предварительно установить, что распределение результативного признака является нормальным. Для проверки нормальности распределения признака можно использовать показатели асимметрии A =, , и эксцесса E =, , где , . - значение результативного признака и его среднее значение; - среднеквадратическое отклонение результативного признака; .

Число наблюдений;

Ошибки репрезентативности для показателей A и E

Если показатели асимметрии и эксцесса не превышают более чем в 3 раза свои ошибки репрезентативности, т.е. А <3тА и Е <3тЕ, то распределение можно считать нормальным. Для нормальных распределений показатели А и Е равны нулю.

Данные, относящиеся к одному условию действия фактора (к одной градации), называют дисперсионным комплексом. При проведении дисперсионного анализа должно соблюдаться равенство дисперсий между комплексами. При этом выбор элементов должен осуществляться случайным образом.

Во втором случае, когда выборочные совокупности имеют произвольные распределения, используются непараметрические (ранговые) аналоги однофакторного дисперсионного анализа (критерии Крускала - Уоллиса, Фридмана).

Рассмотрим графическую иллюстрацию зависимости ставки доходности акций от положения дел в экономике страны (рис. 1, а). Здесь исследуемым фактором является уровень состояния экономики (точнее, три уровня ее состояния), а результативным признаком - ставка доходности. Приведенное распределение показывает, что данный фактор оказывает существенное влияние на доходность, т.е. с улучшением дел в экономике растет и доходность акций, что не противоречит здравому смыслу.

Заметим, что выбранный фактор имеет градации, т.е. его величина изменялась при переходе от одной градации к другой (от одного состояния экономики к другому).

Рис. 1. Соотношение влияние фактора и внутригруппового разброса: а-существенное влияние фактора; б - незначимое влияние фактора

Группа градаций фактора является лишь частным случаем, кроме того, фактор может иметь градации, представленные даже в номинальной шкале. Потому чаще говорят не о градациях фактора, а о различных условиях его действия.

Рассмотрим теперь идею дисперсионного анализа, в основе которой лежит правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

Общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов

Межгрупповая дисперсия, обусловленная влиянием всех прочих факторов;

Средняя внутригрупповая дисперсия, вызванная влиянием группировочного признака.

Влияние группированного признака хорошо видно на рис.1 а, так как влияние фактора существенно по сравнению с внутригрупповым разбросом, следовательно, межгрупповая дисперсия будет больше внутригрупповой ( > ), а на рис. 1, б наблюдается обратная картина: здесь преобладает внутригрупповой разброс и практически отсутствует влияние фактора.

На этом же принципе построен и дисперсионный анализ, только в нем используются не дисперсии, а средние квадратов отклонений (, , ), являющиеся несмещенными оценками соответствующих дисперсий. Их получают делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы

Совокупности в целом;

Внутригрупповые средние;

Межгрупповые средние;

Общая средняя по всем измерениям (по всем группам);

Групповая средняя для j-й градации фактора.

Математические ожидания соответственно для внутригрупповой и межгрупповой суммы квадратов отклонений вычисляются по формулам: (Модеь с фиксированным фактором),

Е () = Е () = , то нулевая гипотеза H0 об отсутствии различий между средними подтверждается, следовательно, исследуемый фактор не оказывает существенного влияния (см. рис. 1, б). Если фактическое значение F-критерия Фишера F= Е () /Е () окажется больше критического то нулевая гипотеза H0 при уровне значимости , отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1, - о существенном воздействии фактора рис. 1, а. .

Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ, который рассматривает только одну переменную называется однофакторным дисперсионным анализом (One -Way ANOVA).

Имеется группа из п объектов наблюдения с измеренными значениями некоторой исследуемой переменной. На переменную оказывает воздействие некоторый качественный фактор с несколькими уровнями (градациями) воздействия. Измеренные значения переменной при различных уровнях фактора приведены в таблице 2 (они также могут быть представлены в матричном виде).

Таблица 2.

Табличная форма задания исходных данных для однофакторного анализа

Номер объекта наблюдения ()Значения переменной при уровне(градации) фактора (самый низкий)(низкий)… (самый высокий)1 2 … n … .Здесь каждый уровень может содержать разное количество откликов, измеренных при одном уровне фактора, тогда каждому столбцу будет соответствовать свое значение . Требуется оценить значимость влияния данного фактора на исследуемую переменную. Для решения этой задачи может использоваться однофакторная модель дисперсионного анализа. Однофакторная дисперсионная модель.

Значение исследуемой переменой для -го объекта наблюдения при -м уровне фактора;

Групповая средняя для - го уровня фактора;

Эффект, обусловленный влиянием -го уровня фактора;

Случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов. Итак выделим основные ограничения использования дисперсионного анализа:

Равенство нулю математического ожидания случайной компоненты: = 0.

Случайная компонента , а следовательно, и имеют нормальный закон распределения.

Число градаций факторов должно быть не менее трех.

Данная модель в зависимости от уровней фактора с помощью F-критерия Фишера позволяет проверить одну из нулевых гипотез.

При выполнении дисперсионного анализа для связанных выборок возможна проверка еще одной нулевой гипотезы H0{и) - индивидуальные различия между объектами наблюдения выражены не более, чем различия, обусловленные случайными причинами.

Однофакторный дисперсионный анализ

(Практическая реализация в IBM SPSS Statistics 20)

Исследователя интересует вопрос, как изменяется определенный признак в разных условиях действия переменной (фактора). Изучается действие только одной переменной (фактора) на исследуемый признак. Мы уже рассмотрели пример из экономики теперь приведем пример из психологии например, как изменяется время решения задачи при разных условиях мотивации испытуемых (низкой, средней, высокой мотивации) или при разных способах предъявления задачи (устно, письменно или в виде текста с графиками и иллюстрациями), в разных условиях работы с задачей (в одиночестве, в комнате с преподавателем, в классе). В первом случае фактором является мотивация, во втором - степень наглядности, в третьем - фактор публичности.

В данном варианте метода влиянию каждой из градаций подвергаются разные выборки испытуемых. Градаций фактора должно быть не менее трех.

Пример 1. Три различные группы из шести испытуемых получили списки из десяти слов. Первой группе слова предъявлялись с низкой скоростью -1 слово в 5 секунд, второй группе со средней скоростью - 1 слово в 2 секунды, и третьей группе с большой скоростью - 1 слово в секунду. Было предсказано, что показатели воспроизведения будут зависеть от скорости предъявления слов (табл. 3) .

Таблица 3

Количество воспроизведенных слов

ИспытуемогоГруппа 1 низкая скоростьГруппа 2 средняя скоростьГруппа 3 высокая скорость187427853953454656626874суммы433724среднее7,176,174,00

Сформулируем гипотезы: различия в объеме воспроизведения слов между группами являются не более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы: Различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы.

Решение проведем в среде SPSS по следующему алгоритму

Запустим программу SPSS

Введем числовые значения в окне данные

Рис. 1. Ввод значений в SPSS

В окне Переменные опишем все исходные данные, согласно условию

Задачи

Рисунок 2 Окно переменные

Для наглядности в графе метка опишем название таблиц

В графе Значения опишем номер каждой группы

Рисунок 3 Метки значений

Все это делается для наглядности т.е. этими настройками можно пренебречь

В графе шкала, во втором столбце нужно поставить значение номинальная

В окне данные закажем однофакторный дисперсионный анализ с помощью меню «Анализ» Сравнение средних

Однофакторный дисперсионный анализ…

Рисунок 4 Функция Однофакторный дисперсионный анализ

В открывшемся диалоговом окне Однофакторный дисперсионный анализ выделим зависимую переменную и внесем ее в список зависимых, а переменную фактор в окно фактор

Рисунок 5 выделение списка зависимых и фактора

Настроим некоторые параметры для качественного выведения данных

Рисунок 6 Параметры для качественного выведения данных

Вычисления по выбранному алгоритму однофакторного дисперсионного анализа начинается после щелчка ОК

По окончанию вычислений в окне просмотра выводятся результаты расчета

Описательные статистикиГруппаNСреднееСтд. ОтклонениеСтд. Ошибка95% доверительный интервал для среднегоМинимумМаксимумНижняя границаВерхняя границанизкая скорость67,171,472,6015,628,7159средняя скорость66,171,472,6014,627,7148высокая скорость64,001,414,5772,525,4826Итого185,781,927,4544,826,7429Таблица 2. Описательные статистики

В таблице Описательные статистики приведены основные показатели по скоростям в группах и их итоговые значения

Количество наблюдений в каждой группе и суммарное

Среднее - среднее арифметическое наблюдений в каждой группе и по всем группам вместе

Стд. Отклонение, Стд. Ошибка - среднее квадратическое отклонение и стандартные отклонения

% доверительный интервал для среднего - эти интервалы являются наиболее точными для каждой группы и по всем группам вместе , нежели если взять интервалы ниже или выше этих границ.

Минимум, Максимум - минимальные и максимальные значения для каждой группы, которые услышали испытуемые

однофакторный дисперсионный случайный

Критерий однородности дисперсийгруппаСтатистика Ливиняст.св.1ст.св.2Знч.,089215,915

Критерий однородности Ливиня используется для проверки дисперсий на гомогенность(однородность). В данном случае он подтверждает незначимость различий между дисперсиями, поскольку значение = 0.915 т.е явно больше 0.05. Поэтому результаты полученные с помощью дисперсионного анализа признаются корректными.

В таблице однофакторный дисперсионный анализ приведены результаты Однофакторного ДА

Сумма квадратов «между группами» представляет собой сумму квадратов разностей между общим средним значением и средними значениями в каждой группе с учетом весовых коэффициентов, равных числу объектов в группе

«Внутри групп» представляет собой сумму квадратов разностей среднего значения каждой группы и каждого значения этой группы

Столбец «ст.св.» содержит число степеней свободы V:

Межгрупповое (v=число групп - 1);

Внутригрупповое (v=число объектов - число групп - 1);

«средний квадрат» содержит отношение суммы квадратов к числу степеней свободы.

В столбце «F» приведено отношение среднего квадрата между группами к среднему квадрату внутри групп.

В столбце «знч» содержится значение вероятности того, что наблюдаемые различия случайны

Таблица 4 Формулы

Графики средних

По графику видно, что он убывает. Так же можно определить по таблице Fк k1=2, k2=15 табличное значение статистики равно 3,68. По правилу если , то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Для нашего примера (7.45>3.68), следовательно принимается альтернативная гипотеза. Таким образом возвращаясь к условию задачи можно сделать вывод нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная : различия в объеме воспроизведения слов между группами являются более выраженными, чем случайные различия внутри каждой группы ). Т.о. скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения.

Однофакторный дисперсионный анализ

(Практическая реализация в Microsoft Office 2013)

На этом же примере рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ в Microsoft Office 2013

Решение задачи в Microsoft Excel

Откроем Microsoft Excel.

Рисунок 1. Запись данных в Excel

Преобразуем данные в числовой формат. Для этого на вкладке главное есть пункт Формат а в нем есть подпункт Формат ячейки. На экранe появится окно Формат ячеек. Рис. 2 Выберем Числовой формат и введенные данные преобразуются. Как показано на Рис.3

Рисунок 2 Преобразуем в числовой формат

Рисунок 3 Результат после преобразование

На вкладке данные есть пункт анализ данных кликнем по нему.

Выберем Однофакторный дисперсионный анализ

Рисунок 6 Анализ данных

На экране появится окно Однофакторный дисперсионный анализ для проведения дисперсионного анализа данных (Рис.7). Произведем настройку параметров

Рис. 7 Настройка параметров для однофакторного анализа

Щелкнем мышью в поле Входной интервал. Выделим диапазон ячеек B2::F9, данные в котором нужно проанализировать. В поле Входной интервал группы элементов управления Входные данные, появится указанный диапазон.

Если в группе элементов управления Входные данные не установлен переключатель по строкам, то установите его, чтобы программа Ехcel воспринимала группы данных по строкам.

Если нужно Установите флажок Метки в первой строке в группе элементов управления Входные данные, если первый столбец выделенного диапазона данных содержит названия строк.

В поле ввода Альфа группы элементов управления Входные данные по умолчанию отображается величина 0,05, которая связана с вероятностью возникновения ошибки в дисперсионном анализе.

Если в группе элементов управления Параметры вывода не установлен переключатель выходной интервал то установим его либо выберем переключатель новый рабочий лист, чтобы данные были перенесены на новый лист.

Нажмем кнопку ОК, чтобы закрыть окно Однофакторный дисперсионный анализ. Появятся результаты дисперсионного анализа (Рис.8).

Рисунок 8 Вывод данных

В диапазоне ячеек А4:Е7 расположены результаты описательной статистики. В строке 4 находятся названия параметров, в строках 5 - 7 - статистические значения, вычисленные по партиям. В столбце «Счет» расположены количества измерений, в столбце «Сумма» - суммы величин, в столбце «Среднее» - средние арифметические значения, в столбце «Дисперсия» - дисперсии.

Полученные результаты показывают, что наибольшая средняя разрывная нагрузка в партии №1, а наибольшая дисперсия разрывной нагрузки -в партии №2, №1.

В диапазоне ячеек А10:G15 отображается информация, касающаяся существенности расхождений между группами данных. В строке 11 находятся названия параметров дисперсионного анализа, в строке 12 - результаты межгрупповой обработки, в строке 13 - результаты внутригрупповой обработки, а в строке 15 - суммы значений этих двух строк.

В столбце SS расположены величины варьирования, т.е. суммы квадратов по всем отклонениям. Варьирование, как и дисперсия, характеризует разброс данных.

В столбце df находятся значения чисел степеней свободы. Данные числа указывают на количество независимых отклонений, по которым будет вычисляться дисперсия. Например, межгрупповое число степеней свободы равняется разности количеству групп данных и единицы. Чем больше число степеней свободы, тем выше надежность дисперсионных параметров. Данные степеней свобод в таблице показывают, что для внутригрупповых результатов надежность выше, чем для межгрупповых параметров.

В столбце MS расположены величины дисперсии, которые определяются отношением варьирования и числа степеней свобод. Дисперсия характеризует степень разброса данных, но в отличие от величины варьирования, не имеет прямой тенденции увеличиваться с ростом числа степеней свобод. Из таблицы видно, что межгрупповая дисперсия значительно больше внутригрупповой дисперсии.

В столбце F находится, значение F-статистики, вычисляемое отношением межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

В столбце F критическое расположено F-критическое значение, рассчитываемое по числу степеней свободы и величине Альфа. F-статистика и F-критическое значение используют критерий Фишера-Снедекора.

Если F-статистика больше F-критического значения, то можно утверждать, что различия между группами данных носят неслучайный характер. т.е. на уровне значимости α = 0,05 (с надежностью 0,95) нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная: что скорость предъявления слов влияет на объем их воспроизведения. В столбце Р-значение находится значение вероятности того, что расхождение между группами случайно. Так как в таблице данная вероятность очень мала, то отклонение между группами носит неслучайный характер.

Сравнение IBM SPSS Statistics 20 и Microsoft Office 2013

однофакторный дисперсионный случайный программа

Посмотрим на выводы программ, для этого взглянем еще раз на скриншоты.

Однофакторный дисперсионный анализгруппаСумма квадратовст.св.Средний квадратFЗнч.Между группами31,444215,7227,447,006Внутри групп31,667152,111Итого63,11117

Таким образом программа IBM SPSS Statistics 20 лучше производит счет, может округлять числа, строить наглядный график (см. полное решение) по которому можно определить ответ, в ней более подробно описаны, как условия задачи, так и их решение. В Microsoft Office 2013 есть свои плюсы, во - первых это, конечно, его распространённость так как Microsoft Office 2013 установлен почти в каждом компьютере, он выводит Fкритическое, что не предусмотрено в SPSS Statistics, а также там тоже просто и удобно считать. Все-таки обе этих программы очень хорошо подходят для решения задач на однофакторный дисперсионный анализ, у каждой из них есть свои плюсы и минусы, но если считать большие задачи с большими условиями рекомендовал бы SPSS Statistics.

Заключение

Дисперсионный анализ применяется во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. В современном мире есть множество задач на однофакторный дисперсионный анализ как в экономике, психологии, биологии. В результате изучения теоретического материала было установлено, что основой дисперсионного анализа является теорема о сложении дисперсий, из множество пакетов прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа, подобранны самые лучшие и включены в работу. Благодаря появлению новых технологий каждый из нас может проводить исследования (решения), затрачивая при этом меньше времени и усилий на вычисления, при помощи ЭВМ. В процессе работы были поставлены цели, задачи, которые были достигнуты.

писок литературы

Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии [Текст] / СПб. 2011. - 256 с.

Математическая статистика для психологов Ермолаев О.Ю [Текст] / Москва_2009 -336с

Лекция 7. Аналитическая статистика [Электронный ресурс]. , Дата доступа: 14.05.14

Теория вероятностей и математическая статистика[Текст] / Гмурман В.Е 2010 -479с