Задание. Методы математической морфологии при обработке изображений

Математическая морфология

Форма (синяя) и её морфологическое расширение (зеленое) и сужение (желтое) ромбическим структурным элементом.

Математическая морфология (ММ) - (Морфология от греч. μορφή «форма» и λογία «наука») - теория и техника анализа и обработки геометрических структур, основанная на теории множеств , топологии и случайных функциях. В основном применяется в обработке цифровых изображений, но также может быть применима на графах , полигональной сетке , стереометрии и многих других пространственных структурах.

Бинарная морфология

В бинарной морфологии двоичное изображение , представленное в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-белых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью изображения обычно понимается некоторое подмножество точек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент

Структурный элемент являет собой некоторое двоичное изображение (геометрическую форму). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаше всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размере (BOX(l, w)), или круг некоторого диаметра (DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента, хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

Наиболее распространенные структурные элементы: BOX -прямоугольник заданного размера, DISK[R] - диск заданного размера, RING[R] - кольцо заданного размера.

Основные операции

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью белое изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение «накладывается» структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения «под ним». Если условие выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базовые операции. Такими операциями являются расширение и сужение. Производные операции - это некоторая комбинация базовых, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие и закрытие.

Базовые операции

Перенос

Пример переноса при t=(2,1).

Операция переноса X t множества пикселов X на вектор t задаётся в виде X t ={x+t|x∈X}. Следовательно, перенос множества единичных пикселов на бинарном изображении сдвигает все пикселы множества на заданное расстояние. Вектор переноса t может задаваться в виде упорядоченной пары (∆r,∆c), где ∆r - компонент вектора переноса в направлении строк, а ∆c - компонент вектора переноса в направлении столбцов изображения.

Наращивание

Наращивание изображения структурным элементом квадратом.

Наращивание бинарного изображения A структурирующим элементом B обозначается и задается выражением:

В данном выражении оператор объединения можно считать оператором, применяемым в окрестности пикселов. Структурирующий элемент B применяется ко всем пикселам бинарного изображения. Каждый раз, когда начало координат структурирующего элемента совмещается с единичным бинарным пикселом, ко всему структурирующему элементу применяется перенос и последующее логическое сложение (логическое ИЛИ) с соответствующими пикселами бинарного изображения. Результаты логического сложения записываются в выходное бинарное изображение, которое изначально инициализируется нулевыми значениями.

Наращивание темно синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на ярко-голубой квадрат с закругленными концами.

Эрозия

Эрозия изображения структурным элементом квадратом.

Эрозия бинарного изображения А структурирующим элементом В обозначается и задается выражением:

При выполнении операции эрозии структурный элемент тоже проходит по всем пикселам изображения. Если в некоторой позиции каждый единичный пиксел структурного элемента совпадет с единичным пикселом бинарного изображения, то выполняется логическое сложение центрального пиксела структурного элемента с соответствующим пикселом выходного изображения. В результате применения операции эрозии все объекты, меньшие чем структурный элемент, стираются, объекты, соединённые тонкими линиями становятся разъединёнными и размеры всех объектов уменьшаются.

Эрозия темно синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на ярко-голубой квадрат.

Производные операции

Замыкание

Замыкание темно синей формы (объединение двух квадратов) дисковым структурным элементом, результирующего на темно синюю форму и светло-голубые площади.

Замыкание бинарного изображения А структурным элементом В обозначается и задается выражением:

Операция замыкания «закрывает» небольшие внутренние «дырки» в изображении, и убирает углубления по краям области. Если к изображению применить сначала операцию наращивания, то мы сможем избавиться от малых дыр и щелей, но при этом произойдёт увеличение контура объекта. Избежать этого увеличения позволяет операция эрозия, выполненная сразу после наращивания с тем же структурным элементом.

Размыкание

Размыкание темно-синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на светло синий квадрат с закругленными углами.

Размыканием бинарного изображения А структурирующим элементом В обозначается и задается выражением:

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов и различных шумов, но у этой операции есть недостаток – все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Этого эффекта можно избежать, если после операции эрозии применить операцию наращивания с тем же структурным элементом. Размыкание отсеивает все объекты, меньшие чем структурный элемент, но при этом помогает избежать сильного уменьшения размера объектов. Также размыкание идеально подходит для удаления линий, толщина которых меньше, чем диаметр структурного элемента. Также важно помнить, что после этой операции контуры объектов становятся более гладкими.

Условное наращивание

Выделение границ

См. также

Ссылки

Литература

Л.Шапиро, Дж.Стокман. Компьютерное зрение. изд. - М .: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 752 с.
Д.Форсайт, Ж.Понс. Компьютерное зрение. Современный подход. изд. - М .: Вильямс, 2004. - 928 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Перевод с англ.: Иванова И. И.
Источник: [Электронный ресурс]// Режим доступа: http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4419-0211-5_23

Аннотация

Математическая морфология – это нелинейный метод обработки изображений с помощью двумерных операций свертки, в том числе морфология бинарных, полутоновых морфология и цветной морфологии. Эрозия, дилатация, открытие и эксплуатация закрывающие операции лежат в основе математической морфологии. Математическая морфология может быть использована для обнаружения контуров, сегментации изображений, шумов, ликвидации, выделения признаков и других задачах обработки изображений. Она широко используется в области обработки изображений. На основе текущего прогресса, данный тезис дает всестороннее объяснение математической морфологической классификации и применению к распознаванию болезней. В итоге, открытие проблемы и дальнейшее исследование математической морфологии являются актуальным.

Ключевые слова:

морфология бинарных, полутоновых изображений, морфология, цветная морфология, эрозия, дилатация, развитие болезней сельскохозяйственных культур.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая морфология – это новая теория и способ, который используется в области цифровой обработки изображений и распознавания. Её математическая основа и язык – набор теории. Математическая морфология появилась в 1964 году, она впервые была предложена студентом-ученым Дж. Серрой и его научным руководителем Г. Мазоном. Они предложили «попадающую/пропускающую трансформации», ввели выражение морфологии на уровне теории и установили метод анализа частиц. В 1968 году они обнаружили исследовательский институт математической морфологии Фонтенбло. Основанная на тяжелой работе исследователей в этом институте и исследователей из другой страны, математической морфология постепенно разрабатывалась и стала самодостаточной наукой. В 1970-х годах, с коммерческими приложениями анализатора зерна и публикации Мазона о «случайном и неотъемлемом наборе», разработка математической морфологии сосредоточилась на аспектах уровня серого. В 1982 году, после публикации об «анализе изображений и математической морфологии» Дж. Серра, математическая морфология стала всемирно известной. Математическая морфология стремительно развивалась в последствии. Потому что алгоритм математической морфологии имеет параллельно реализующую структуру, которая понимает анализ морфологии и алгоритмы параллельных процессов, и метод может быть реализован легко с аппаратной точки зрения, что повышает скорость процесса анализа изображений.

В математической морфологии обнаружили самостоятельную математическую теорию и ее идеи и методы имеют большое влияние на теорию изображений и технологий, а также были использованы в процессе анализа изображений в многих областях. Кроме того, применение математической морфологии привело к значительным улучшениям в области сельского хозяйства. Приложение фокусируется на распознавании заболеваний сельскохозяйственных культур, в том числе пшеницы, хлопка, овощей и т.д. В этой статье автор обобщает применение математической морфологии в области сельского хозяйства и обсуждает открытые проблемы и дальнейшие исследования.

Классификация математической морфологии

Благодаря усилиям людей, математическая морфология используется в бинарном изображении, хотя изначально морфология было применимой только к изображений с градациями серого. Но быстрый прогресс в теории, и уже математическая морфология могла быть применена и в других исследованиях. Недавно исследования в математической морфологии сделало ставку на цветные изображения и на данный момент есть некоторые достижения. Согласно способу описания и формату отображения объекта исследования, эта статья классифицирует математическую морфологию на след виды: бинарная морфология, морфология в градациях серого и цветная морфология.

Бинарная морфология

Математическая морфология, выдвинутая Мажорном и Серрой, исследовала двоичный изображения и была названа бинарной. Морфологические преобразования бинарного изображения в математической морфологии – это набор формул, описывающий эти преобразования. Смысл морфологического оператора во взаимодействии между множествами, описывающие объект, его форму и структуру, форма элемента структуры может содержать информацию о формы сигнала, выполненной операции. Морфологическая обработка изображения – это множество операций перемещения структурного элемент в изображении, а затем трансформации или объединения между структурой элемента и бинарного изображения. Основные морфологические операции – это эрозии и расширение (дилатация).

В морфологической операции, элемент структуры является самым основной и важной составляющей, которая играет роль волновой фильтрации в процессе сигнала. Если В(х) выражает элемент структуры, для каждой точки Х рабочего области Е, эрозии и расширение определяются соответственно, как:

Рисунок 1 – Формулы определения эрозии и дилатации

Из-за возможности реализации параллельной обработки и аппаратного обеспечения, бинарное изображение может быть обработано несколькими способами, такими как выделение границ, сегментации изображения, истончение, выделения признаков, фигурный анализ. Тем не менее, при других условиях, выбор элемента конструкции и соответствующего алгоритма отличается. Размер элемента структуры и выбор формы будет влиять на результат изображения морфологической операции.

Морфология Хуанга и др. была адоптирована для круглых, треугольных, квадратных и других основных геометрических фигур как элемента структуры двоичных файлов в некоторых случаях, они выделяют шестиугольники методом сегментации фильтрующего изображения с морфологическим шаблоном. Результат показал, что алгоритм сегментации может иметь лучший результат и может установить первоначальное место для распознавания болезни на изображении.

Боуяная и др. в 2008 г. открыли оператор пространственно-вариантной математической морфологии в евклидовом пространстве и представили геометрическую структуру элементов на основе пространственной переменной, результат сымитировал теорию и доказал огромный потенциал во многих видах приложения для обработки изображений.

Морфология для изображений в градациях серого

Морфология такого вида естественное развитие бинарной изображений в серых тонах, в ней нет наборов выражений, но присутствует функция изображений. Для такой морфологии, пересечение и объединение, которые используются в двоичной морфологии, заменены операциями максимума и минимума. Эрозия и расширение изображения в градациях серого могут быть вычислены непосредственно из функции такого изображения и элемента структуры. Если g(x, y) выражает структурный элемент, для одной точки f(x,y) на изображения, эрозия и расширение вычисляются как:

Рисунок 2 – Формулы определения эрозии и дилатации

Чтобы практически применить такого вида морфологию, некоторые ученые предлагают намного улучшенные алгоритмы. Кан и др. в 2006 г. предложил расширенное определение математической морфологии для проблемы, которое, несмотря на то, что методы выявления границ основаны на классической морфологии, имеет хорошую способность устранения шума, но его алгоритм не мог определить все границы объектов. И они предложили метод определения границ на основе расширенной математической морфологии.

Результат моделирования показал, что этот метод не только эффективно устраняет шум, но также хорош в определении границ объектов. Боуяная и др. в 2008 г. предложили пространственно-вариантную математическую морфологию и презентовали геометрическую концепцию структурной функции. Результаты моделирования показали потенциальную мощь этой теории в приложениях, которые анализирую изображения.

Морфология цветных изображений

Исследований о морфологиях в области обработки цветных изображений не так много. Хотя некоторые ученые представили некоторые методы морфологии, используемый для цветного изображения. Большинство из них рассматривают каждый вектор изображения по отдельности, пренебрегая отношения между векторами. Это эффективный и разумный подход исследования, чтобы обработать цвета пикселя с использованием векторных методов, описывающих соотношение между каждым вектором. Исследование трансформаций морфологии цветового пространства может указать на свою связь с морфологией изображений в градациях серого.

Для цветного изображения {V(x), x є X, X є DV}, где DV является областью изображения в RGB цветовом пространстве. Эрозия и дилатация в цветной морфологии для структуры элемента В определяются как:

В последние годы много ученых уделяют внимание своими исследованиям о цветной морфологии. Чжан в 2006г. предложил метод определения границ на основе математической морфологии. В этом методе изображение предварительно обработано, а затем превращение градиента осуществляется с помощью математической морфологии. Затем, края выявляются методом обнаружения границ на основе статистических данных. Способ исключает теневые контуры, вызванных освещением, извлекает границы объектов непосредственно, и оказывает влияние на подавление фонового шума.

Приложения с использованием математической морфологии

Основная идея математической морфологии и ее методы могут быть использованы в любых аспектах в области обработки изображений. С развитием компьютеров, обработки изображений, распознавания образов и машинного зрения, математическая морфология развивается быстро, и область применения становится шире. Особенно в области распознавания болезней культур. В существующих системах программного обеспечения много реализаций математической морфологии. Математическая морфология применяется во многих областях, таких как обнаружение контуров объектов, сегментации изображений, устранение шума, выделения признаков, и т.д.

Выделение границ объектов

Математическая морфология изображает и анализирует изображение на основе углов множества, делает геометрическую трансформацию для целевых объектов с помощью «пробного» набора (структурный элемент) для того, чтобы отбросить необходимую информацию. Наряду с непрерывным развитием и совершенствованием математической теории морфологии, математическая морфология исследуется и широко применяется в обнаружении границ изображения.

По сравнению с традиционными алгоритмами выделения контуров изображения (оператор оператора Собеля или Прюита др.), морфология имеет уникальное преимущество в обнаружении границ и достигает лучших результатов. Морфологический метод обнаружения края изображения может сохранить детальные характеристики изображения, и решает проблему координации точности обнаружения края и производительности анти-шума.

Чжоу был первым, кто сделал обработку цветного изображения при помощи морфологии в градациях серого, затем использовал метод математической морфологии для обнаружения границ, где структурным элементом был квадрат размеров 3х3. Этот метод смог решить проблемы ликвидации шума и обнаружения границ вредителей в хранящемся зерне. Канг в 2006 г. предложил расширенный метод определения контуров объектов с помощью математической морфологии для того, чтобы решить проблему качества распознавания границ объектов. Выбор определения расстояния оператора было дано и концепция анализа мульти-разрешением была применена в расширенном морфологическим методом. Результаты показали, что этот метод имеет хорошую эффективность.

Выделение признаков

В целом, выделение признаков – это преобразование, которое отображает или переносит образцы с высокой размерностью пространства в пространства маой размерности для того, чтобы уменьшить степень размерности. В применении распознавания болезней сельского хозяйства, широко используется такие особенности растений, как цвет, текстура, форма. С помощью математической морфологии, ИС будет извлекать не только свойства текстуры заболевания, такие как энергия, энтропия, момент инерции, но и особенности форм заболевания, как периметр, площадь, степени округлости, отношение длины к ширине. Хуан (2007) применил тот же метод к Phalaenopsis заболеваниям рассады Phalaenopsis и получил такие функции, как центр координации, площадь, степень округлости. Чжэн и др. использовали математическую морфологию достичь четыре функции формы хлопка с помощью квадратной шаблонной матрицы 3х3, как элемента структуры в обработке.

Воспользовавшись поиском, я с удивлением обнаружил, что на Хабре совсем нет статей, описывающих аппарат математической морфологии, а ведь этот аппарат незаменим в области низкоуровневой обработки изображений. Если вам это интересно, прошу под кат.

Основные определения

Термин морфология относится к описанию свойств формы и структуры каких-либо объектов. В контексте машинного зрения этот термин относится к описанию свойств формы областей на изображении. Операции математической морфологии изначально были определены как операции над множествами, но скоро выяснилось, что они также полезны в задачах обработки множества точек в двумерном пространстве. Множествами в математической морфологии представляются объекты на изображении. Легко заметить, то множество всех фоновых пикселов бинарного изображения является одним из вариантов его полного описания.
В первую очередь математическая морфология используется для извлечения некоторых свойств изображения, полезных для его представления и описания. Например, контуров, остовов, выпуклых оболочек. Также интерес представляют морфологические методы, применяемые на этапах предварительной и итоговой обработки изображений. Например, морфологическая фильтрация, утолщение или утоньшение.
Входными данными для аппарата математической морфологии являются два изображения: обрабатываемое и специальное, зависящее от вида операции и решаемой задачи. Такое специальное изображения принято называть примитивом или структурным элементом. Как правило, структурный элемент много меньше обрабатываемого изображения. Структурный элемент можно считать описание области с некоторой формой. Понятно, что форма может быть любой, главное, чтобы её можно было представить в виде бинарного изображения заданного размера. Во многих пакетах обработки изображений наиболее распространенные структурные элементы имеют специальные названия: BOX –прямоугольник заданного размера, DISK[R] - диск заданного размера, RING[R] – кольцо заданного размера.

Результат морфологической обработки зависит как от размера и конфигурации исходного изображения, так и от структурного примитива.
Размер структурного элемента как правило равен 3*3, 4*4 или 5*5 пикселов. Это обусловлено главной идеей морфологической обработки, в процессе которой отыскиваются характерные детали изображения. Искомая деталь описывается примитивом, и в результате морфологической обработки можно подчеркнуть или удалить такие детали на всём изображении.
Одно из основных преимуществ морфологической обработки –её простота: как на входе, так и на выходе процедуры обработки мы получаем бинаризованное изображение. Другие методы, как правило, из исходного изображения сначала получают полутоновое, которое затем приводится к бинарному с помощью пороговой функции.

Основные операции

Основными операциями математической морфологии являются наращивание, эрозия, замыкание и размыкание. В этих названиях отражена суть операций: наращивание увеличивает область изображения, а эрозия делает её меньше, операция замыкания позволяет замкнуть внутренние отверстия области и устранить заливы вдоль границы области, операция размыкания помогает избавиться от маленьких фрагментов, выступающих наружу области вблизи её границы. Далее будут представлены математические определения морфологических операций.

Объединение, пересечение, дополнение, разность

Прежде, чем переходить к операциям морфологии, есть смысл рассмотреть теоретико-множественные операции, лежащие в основе математической морфологии.
Объединение двух множеств A и B, которое обозначается C=A∪B, есть по определению множество всех элементов, принадлежащих либо множеству A, либо множеству B, либо обоим множествам одновременно. Аналогично, пересечение двух множеств A и B, которое обозначается C=A∩B, есть по определению множество всех элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам A и B. Дополнение множества A есть множество элементов, не содержащихся в A: A c ={w|w∉A}. Разность двух множеств A и B обозначается A\B и определяется следующим образом: A\B={w│w∈A,w∉B}=A∩B c . Это множество состоит из элементов A, которые не входят в множество B.
Рассмотрим все вышеперечисленные операции на конкретном примере.

Перенос

Операция переноса X t множества пикселов X на вектор t задаётся в виде X t ={x+t|x∈X}. Следовательно, перенос множества единичных пикселов на бинарном изображении сдвигает все пикселы множества на заданное расстояние. Вектор переноса t может задаваться в виде упорядоченной пары (∆r,∆c), где ∆r – компонент вектора переноса в направлении строк, а ∆c - компонент вектора переноса в направлении столбцов изображения.

Наращивание, эрозия, замыкание, размыкание

Следующие операции мы рассмотрим на конкретном примере. Пусть у нас есть следующее бинарное изображение и структурный элемент:

Наращивание

Структурный элемент S применяется ко всем пикселам бинарного изображения. Каждый раз, когда начало координат структурного элемента совмещается с единичным бинарным пикселом, ко всему структурному элементу применяется перенос и последующее логическое сложение с соответствующими пикселами бинарного изображения. Результаты логического сложения записываются в выходное бинарное изображение, которое изначально инициализируется нулевыми значениями.

Эрозия

В результате применения операции эрозии все объекты, меньшие чем структурный элемент, стираются, объекты, соединённые тонкими линиями становятся разъединёнными и размеры всех объектов уменьшаются.

Размыкание

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов и различных шумов, но у этой операции есть недостаток – все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Этого эффекта можно избежать, если после операции эрозии применить операцию наращивания с тем же структурным элементом.
Размыкание отсеивает все объекты, меньшие чем структурный элемент, но при этом помогает избежать сильного уменьшения размера объектов. Также размыкание идеально подходит для удаления линий, толщина которых меньше, чем диаметр структурного элемента. Также важно помнить, что после этой операции контуры объектов становятся более гладкими.

Замыкание

Если к изображению применить сначала операцию наращивания, то мы сможем избавиться от малых дыр и щелей, но при этом произойдёт увеличение контура объекта. Избежать этого увеличения позволяет операция эрозия, выполненная сразу после наращивания с тем же структурным элементом.

Условное наращивание

Одним из типичных применений бинарной морфологии является выделение на бинарном изображении компонент, у которых форма и размеры удовлетворяют заданным ограничениям. Во многих подобных задачах возможно построение структурного элемента, который после применения к бинарному изображению удаляет не удовлетворяющие ограничениям компоненты и оставляет несколько единичных пикселов, соответствующих удовлетворяющим ограничениям компонентам. Но для последующей обработки могут потребоваться компоненты целиком, а не только их фрагменты, оставшиеся после эрозии. Для решения этой проблемы была введена операция условного наращивания.
Множество полученное в результате эрозии циклически наращивается структурным элементом S, и на каждом шаге результат уменьшается до подмножества пикселов, которые имеют единичные значения на исходном изображении B. Операция условного наращивания пояснена на рисунке ниже. На этом рисунке бинарное изображение B было подвергнуто эрозии элементом V для выделения компонент, содержащих вертикальные фрагменты высотой 3 пиксела. На полученном изображении C есть две таких компоненты. Чтобы выделить эти компоненты целиком, изображение C условно наращивается элементом D относительно исходного изображения B.

Выделение границ

Морфологические операции можно также использовать для выделения границ бинарного объекта. Это операция очень важна, потому что граница является полным, и в то же время весьма компактным описанием объекта.
Легко заметить, что граничные точки имеют как минимум один фоновый пиксел в своей окрестности. Таким образом, применив оператор эрозии с структурным элементом, содержащим все возможные соседние элементы, мы удалим все граничные точки… Тогда граница получится с помощью операции разности множеств между исходным изображением и изображением, полученным в результате эрозии.

Таким образом, мы с вами рассмотрели основные операции математической морфологии, и несколько способов их применения. Надеюсь, этот аппарат пригодится вам в дальнейшей деятельности.

Определение Морфология (от греч. morphe – форма) может
расшифровываться как «форма», «структура».
Математическая морфология предназначена для
исследования структуры некоторых множеств
однотипных объектов. Любое изображение в
компьютерной графике также обычно
представляется в виде набора пикселов, поэтому
операции математической морфологии могут
быть применены и к изображению - для
исследования некоторых свойств его формы и
структуры, а также для его обработки.

Определение 2

Математическая морфология (ММ) -
(Морфология от греч. μορφή «форма» и λογία
«наука») - теория и техника анализа и обработки
геометрических структур, основанная на теории
множеств, топологии и случайных функциях. В
основном применяется в обработке цифровых
изображений, но также может быть применима
на графах, полигональной сетке, стереометрии и
многих других пространственных структурах.

Основные операции над множествами

Пример совмещения изображений на основе логических операций

Базовые понятия

В качестве исходных данных принимаются двоичное
изображение B и некоторый структурный элемент S.
Результатом операции также является двоичное
изображение.
Структурный элемент суть тоже некоторое двоичное
изображение (геометрическая форма – shape). Он может
быть произвольного размера и произвольной структуры.
Чаше всего используются симметричные элементы, как
прямоугольник фиксированного размере или круг
некоторого диаметра. В каждом элементе выделяется
особая точка, называемая начальной (origin). Она может
быть расположена в любом месте элемента, хотя в
симметричных это обычно центральный пиксел.

SE = strel(shape, parameters)

Примеры структурных элементов

Алгоритм

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя
полностью черное изображение. Затем осуществляется зондирование
(probing) или сканирование исходного изображения пиксель за
пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого
пикселя на изображение «накладывается» структурный элемент так,
чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем
проверяется некоторое условие на соответствие пикселей
структурного элемента и точек изображения «под ним». Если условие
выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем
месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один
единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

Дилатация - наращивание

B S Sb
b B
заполнение «дырок» определенной
формы и размера, задаваемыми
структурным элементом

Эрозия - сужение

B S {b | b s B s S}
удаление объектов определенной
формы и размера, задаваемыми
структурным элементом

Замыкание (closing)

B S (B S) S
сглаживает контуры объекта
«заливает» узкие разрывы и узкие
углубления
ликвидирует небольшие отверстия
заполняет промежутки контура

Размыкание (opening)

B S (B S) S
сглаживает контуры объекта
обрывает узкие перешейки
ликвидирует узкие выступы

Сравнение замыкания и размыкания

Выделение границ

Над парой двоичных изображений также могут
применяться обычные теоретико-множественные
логические операции как AND, OR, NOT, MINUS.
Выделение границ:
В\(B-S) –внутренняя граница;
(В S)\B- внешняя граница.

Преобразование успех / неудача (hit-or-miss)

Задача – найти на изображении
местоположение объектов заданной
формы
Используется составной структурный
элемент: B1 – для выделения объекта, B2для выделения фона

Примеры

– Получить внешнюю и внутреннюю границы
– Провести скелетонизацию
– Провести выделение объектов, сравнить с вашими результатами
(дополнительно)
Для работы можно использовать бинарное изображение
https://yadi.sk/i/jXKrtZcTbskTR
Обработать заголовки газетной статьи

- без картинок )

Введение:

Слово “Морфология” можно расшифровать как “форма”, “структура”. Математическая морфология предназначена для исследования структуры некоторых множеств однотипных объектов. Любое изображение в компьютерной графике также обычно представляется в виде набора пикселей, поэтому операции математической морфологии могут быть применены и к изображению, для исследования некоторых свойств его формы и структуры.

Смысл операций морфологии

Мы будем рассматривать морфологию двоичных изображений. Двоичное изображение представляется в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-былых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью (region) изображения обычно понимается некоторое подмножество 1-чек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент суть тоже некоторое двоичное изображение (геометрическая форма – shape). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаше всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размере (BOX(l,w)), или круг некоторого диаметра (DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента, хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью черное изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение “накладывается” структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения “под ним”. Если условие выполняется – то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базисные (basic) операции. Такими операциями являются расширение (dilation) и сужение (erosion). Производные операции – это некоторая комбинация базисных, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие (opening) и закрытие (closing).

Базовые операции

Def: Перенос (translation) множества пикселей X на вектор t определяется как

Перенос t может быть определен как упорядоченная пара чисел , где - движение вдоль оси х, а - движение вдоль оси y.

Def: Расширение двоичного изображения B на структурный элемент S записывается в виде и определяется как:

Если при зондировании начальная точка структурного элемента накладывается на 1, то весь структурный элемент записывается в результирующее изображение. Таким образом, при выполнении расширение размеры изображения увеличиваются.

Def: Сужение двоичного изображения B на структурный элемент S

Т.е. проверяется, что каждая 1 в структурном элементе накладывается на 1 в исходном изображении. Если это условие выполнено, то в результирующее изображение записывается пиксель под начальной точкой структурного элемента.

Def: Закрытие двоичного B на структурный элемент S записывается как и определяется:

Операция закрытия “закрывает” небольшие внутренние “дырки” в изображении, и убирает углубления (bays) по краям области.

Def: Открыти е двоичного B на структурный элемент S записывается как и определяется как:

Открытие позволяет избавится от небольших кусочков изображения, выходящих за границу области.

Над парой двоичных изображений также могут применяться обычные теоретико-множественные логические операции как AND, OR, NOT, MINUS.

Скелетонизация

Для распознавания объектов часто необходимо изучить его форму. Ее удобно представлять в виде некоторого “скелета” (по другому – медианы, или срединной оси формы). Выяснилось, что скомбинировав несколько операций математической морфологии можно получить производную, позволяющую выделять из объекта его “скелет”, и она, соответственно, получила название “скелетонизации”.

n-м элементом скелета S изображения X по структурному элементу Q называется

где N- max(n: X-nQ != /0),

Не равно

/0 – пустое множество

/ - теоретико-множественно вычитание

(X*nQ, где *- знак операции, обозначает последовательное применение операции к изображению n раз)

Тогда частичным скелетом S(k) изображения X по структурному элементу Q назовем объединение

Метод математической морфологии выделения скелета удобен тем, что с помощью применения операции расширения по тому же структурному элементу к скелету мы сможем восстановить исходное изображение. Поэтому вводится понятие реконструкции открытия по скелету S структурным элементом Q:

Если k равно 0, то , и реконструкция называется точной . Если , то мы получаем частичную реконструкцию , т.е. открытие (сглаживание) X на kQ. Варьируя k мы можем получать различные степени сглаживания исходного изображения X.

На рисунке:

(a) - Сужения

(b) - Открытия расширения

(с) – n-ые элементы скелета

(d) – расширенные элементы скелета

(e) – частичные объединения элементов скелета

(f) – частичные расширения

Пример применения операций :

Применение двоичной морфологии

Большинство изображений, полученных при обработке и изучении реальных объектов, содержат в себе множество небольших погрешностей, неточностей. Отдельные части или компоненты изображений, несущие наиболее важную для нас информацию могут легко выделятся глазом по специфическим признакам их структуры, организации. В то же время эти компоненты на изображении могут не иметь четко выделенных границ или быть соединенными перемычками, переходами, что значительно затрудняет их машинную обработку. В этом случае на помощь приходят средства математической морфологии.

Операции закрытия и открытия позволяют избавится от небольших “дыр”, тонких перемычек и выступов. Комбинации расширения и сужения с использованием разных структурных элементов могут “выделить” из изображения области единичек нужного размера, отвечающие определенным критериям формы, “сгладить” контуры компонент.

Математическая морфология также применяется для распознавания образов. Ее операции позволяют извлечь простейшие свойства геометрии объекта из изображения, что в дальнейшем может послужить основой для его распознавания. Например, если область с острыми углами будет открыта с помощью структурного элемента – диска получится изображение со скругленными углами. Если вычесть полученное из исходного то останутся одни углы.

Условное расширение

Def: Условное расширение двоичного изображения С на структурный элемент S по исходному двоичному изображению B определяется как:

где индекс m – минимальный индекс, при котором

Условное расширение применяется тогда, когда после сужения изображения необходимо его расширить только теми пикселями, которые входили в первоначальное изображе

Задание

Цель задания:

Решить некоторую задачу (выделение скелета - скелетонизацию) средствами математической морфологии. Таким образом, задание можно подразбить на два:
Задание №1 Реализовать базовые операции математической морфологии (расширение, сужение, открытие, закрытие) (5 баллов)
Задание №2 Реализовать операцию скелетонизации, и расширение его по тому же структурному элементу до исходного изображения. (+ 5 баллов)

Удобство интерфейса и красота вывода данных учитываются.

Интерфейс:

Интерфейс программы должен допускать ввод изображения и применение к нему последовательности операций. На экране должно быть два изображения - исходное и полученное. Если исходное изображение не вводится, то исходным для операции cтановится ранее полученное изображение. Должна быть возможность ввода произвольного структурного элемента. По умолчанию структурный элемент - квадрат
3*3, заполненный единичками с начальной точкой в центре квадрата.

Оформление задания:

См. предыдущие задание и faq.