Суть метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Для интерполирования подынтегральной функции используются три точки.

Рассмотрим произвольный интеграл. Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо стали [-1,1]. Для этого введем переменную z:

Рассмотрим задачу интерполирования подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2). Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции:

Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома, проходящего через три точки (-1, f-1), (0, f0) и(1, f-+1) примет вид:

Коэффициенты легко могут быть получены:

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена:

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что:

соответствует

соответствует

соответствует

Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

Полученное значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = x0, x = x2 и параболой, проходящей через точки

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит:

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго a+2h, a+3h, a+4h, третьего a+4h, a+5h, a+6h и т.д. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

интегрирование численный метод симпсон

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом:

Приняв во внимание то, что получаем:

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у функции на отрезкесуществуют непрерывные производные. Составим разность:

Применяя к этой разнице последовательно теорему о среднем и дифференцируя R(h) получаем погрешность метода Симпсона:

Погрешность метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз.

Преимущества и недостатки

Формулы Симпсона и Ньютона-Котеса являются хорошим аппаратом для вычисления определенного интеграла достаточное число раз непрерывно дифференцируемой функции. Так, при условии, что четвертая производная не слишком велика, метод Симпсона позволяет получить достаточно высокую точность. В то же время, ее алгебраический порядок точности 3, и формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей.

Также методы Ньютона-Котеса и в частности метод Симпсона будут наиболее эффективными в случаях, когда априорная информация о гладкости подынтегральной функции отсутствует, т.е. когда подынтегральная функция задана таблично.

Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у 1 , у 2 , у 3 ,..у n , где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).

Рис. 4

n - количество разбиений

Погрешность формулы трапеций оценивается числом

Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.

Формула Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом. Затем на каждой паре соседних подинтервалов подинтегральная функция f(x) заменяется многочленом Лагранжа второй степени (рисунок 5).

Рис. 5 Функция y=f(x) на отрезке заменяется многочленом 2-го порядка

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках:

Проинтегрируем на отрезке.:

Введем замену переменных:

Учитывая формулы замены,

Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью, прямыми, и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид:

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х 1 , х 3 , ..., х 2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х 2 , х 4 , ..., х 2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х 0 =а, х n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

Если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение на отрезке . Так как n 4 растет быстрее, чем n 2 , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.

Вычислим интеграл

Этот интеграл легко вычисляется:

Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции в точках разбиения, а также полуцелых точках.

По формуле средних прямоугольников получим I прям =0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций I трап =0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у 0 =1,0000, у 1 =0,8000, у 2 =0,6667, у 3 =0,5714, у 4 =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 4 4)=0.0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен , где ξ∈(x 0 ,x 2) или

Назначение сервиса . Сервис предназначен для вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона в онлайн режиме.

Инструкция . Введите подынтегральную функцию f(x) , нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

Правила ввода функции

Примеры правильного написания F(x):
1) 10 x e 2x ≡ 10*x*exp(2*x)
2) x e -x +cos(3x) ≡ x*exp(-x)+cos(3*x)
3) x 3 -x 2 +3 ≡ x^3-x^2+3

Вывод формулы Симпсона

Из формулы
при n = 2 получаем

Т.к. x 2 -x 0 = 2h, то имеем . (10)
Это формула Симпсона . Геометрически это означает, что кривую y=f(x) мы заменяем параболой y=L 2 (x), проходящей через три точки: M 0 (x 0 ,y 0), M 1 (x 1 ,y 1), M 2 (x 2 ,y 2).

Остаточный член формулы Симпсона равен

Предположим, что y∈C (4) . Получим явное выражение для R . Фиксируя среднюю точку x 1 и рассматривая R=R(h) как функцию h, будем иметь:
.
Отсюда дифференцируя последовательно три раза по h , получим






Окончательно имеем
,
где ξ 3 ∈(x 1 -h,x 1 +h). Кроме того, имеем: R(0) = 0, R"(0)=0. R""(0)=0. Теперь, последовательно интегрируя R"""(h), используя теорему о среднем, получим


Таким образом, остаточный член квадратурной формулы Симпсона равен
, где ξ∈(x 0 ,x 2). (11)
Следовательно, формула Симпсона является точной для полиномов не только второй, но и третьей степени.
Получим теперь формулу Симпсона для произвольного интервала [a ,b ]. Пусть n = 2m есть четное число узлов сетки {x i }, x i =a+i·h, i=0,...,n, и y i =f(x i). Применяя формулу Симпсона (10) к каждому удвоенному промежутку , ,..., длины 2h , будем иметь


Отсюда получаем общую формулу Симпсона
.(12)
Ошибка для каждого удвоенного промежутка (k=1,...,m) дается формулой (11).

Т.к. число удвоенных промежутков равно m , то

С учетом непрерывности y IV на [a ,b ], можно найти точку ε, такую, что .
Поэтому будем иметь
. (13)
Если задана предельно допустимая погрешность ε, то, обозначив , получим для определения шага h
.
На практике вычисление R по формуле (13) бывает затруднительным. В этом случае можно поступить следующим образом. Вычисляем интеграл I(h)=I 1 с шагом h , I(2h)=I 2 с шагом 2h и т.д. и вычисляем погрешность Δ:
Δ = |I k -I k-1 | ≤ ε. (14)
Если неравенство (14) выполняется (ε - заданная погрешность), то за оценку интеграла берут I k = I(k·h).
Замечание. Если сетка неравномерная, то формула Симпсона приобретает следующий вид (получить самостоятельно)
.
Пусть число узлов n = 2m (четное). Тогда

где h i =x i -x i-1 .

Пример №1 . С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл , приняв n = 10.
Решение: Имеем 2m = 10. Отсюда . Результаты вычислений даны в таблице:

i	x i	y 2i-1	y 2i
0	0		y 0 = 1.00000
1	0.1	0.90909
2	0.2		0.83333
3	0.3	0.76923
4	0.4		0.71429
5	0.5	0.66667
6	0.6		0.62500
7	0.7	0.58824
8	0.8		0.55556
9	0.9	0.52632
10	1.0		y n =0.50000
∑		σ 1	σ 2

По формуле (12) получим .
Рассчитаем погрешность R=R 2 . Т.к. , то .
Отсюда max|y IV |=24 при 0≤x≤1 и, следовательно . Таким образом, I = 0.69315 ± 0.00001.

Пример №2 . В задачах вычислить определенный интеграл приближенно по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Вычисления производить с округлением до четвертого десятичного знака.

Отрезок интегрирования разобьем на четное число элементарных отрезков равной длины точкамис шагом
(
). На каждом отрезке
подынтегральную функцию аппроксимируем многочленом второй степени, которая на этом отрезке имеет вид
. Заметим, чтоi принимает здесь только нечетные значения от 1 до
. Таким образом, подынтегральная функция аппроксимируется совокупностью квадратных многочленов или сплайном второй степени.

Вычислим произвольный интеграл из правой части.

Коэффициенты ,имогут быть найдены из условия интерполяции, то есть из уравнений

,

Заметим, что точка является серединой отрезка
, следовательно
. Подставим это выражение во второе уравнение интерполяции:

.

Умножим это уравнение на 4 и сложим с остальными:

Последнее выражение в точности совпадает с выражением, стоящим в квадратных скобках формулы (5.1). Следовательно,

А значит,

Таким образом, формула Симпсона имеет вид:

Оценка погрешности квадратурных формул.

Оценим погрешность при использования метода средних прямоугольников в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки,
.

Последний ряд содержит лишь нечетные степени x . Тогда

При малой величине шага h основной вклад в погрешность R будет вносить величина
, называемая главным членом погрешностиR .

Применим метод средних прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh . Тогда

.

Итак,
, где
– постоянная величина. Погрешность в приближенном равенстве
есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению спри
.

Степень шага h , которой пропорционален остаток R , называется порядком точности метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок точности.

Оценим погрешность при использовании метода трапеций также в предположении, что функция
бесконечно дифференцируема.

Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (
).

Главный член погрешности R :

.

Применяя метод левых прямоугольников к функции
на отрезке
с шагомh , получаем

.

Итак, метод трапеций также имеет второй порядок точности.

Аналогично можно показать, что методы левых и правых прямоугольников имеют первый, метод Симпсона – четвертый порядок точности.

Лекция 17.

«Правило Рунге практической оценки погрешности.

Понятие об адаптивных алгоритмах.

Особые случаи численного интегрирования.

Метод ячеек. Вычисление кратных интегралов.»

Правило Рунге практической оценки погрешности.

Пусть некоторый метод интегрирования имеет порядок точности k , то есть
, где– погрешность,A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и подынтегральной функции, h – шаг разбиения. Тогда

а при шаге

,

Выведенная формула называется первой формулой Рунге. Она имеет большое практическое значение. Если нужно вычислить интеграл с точностью  , то мы должны вычислять приближенные значения интеграла, удваивая число элементарных отрезков, пока не добьемся выполнения неравенства

Тогда, пренебрегая бесконечно малыми величинами, можно считать, что

Если мы хотим получить более точное значение искомого интеграла, то за уточненное значение J мы можем принять вместо
сумму

.

Это вторая формула Рунге. К сожалению, погрешность этого уточненного значения остается неопределенной, но обычно она на порядок выше, чем точность первоначального метода (когда за значение J мы принимаем
).

Для примера рассмотрим метод трапеций. Как было показано выше, порядок точности k этого метода равен 2.

где
. По второй формуле Рунге

где
есть приближенное значение интеграла найденное методом Симпсона с шагом. Так как порядок этого метода равен 4, то в данном примере применение второй формулы Рунге увеличило порядок точности на 2.

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f (x j )), где j = i -1; i -0.5; i , то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

Проведя интегрирование, получим:

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке
[a, b ] формула Симпсона примет вид

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 10.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

Тогда формула Симпсона примет вид

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

(2.23)

Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар чисел.

Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:

Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.

11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ