Тип и особенности: урок открытия и изучения новых знаний с помощью решения практико-ориентированных задач .

Цель урока: научить учащихся решать комбинаторные задачи методами: 1) конечного перебора; 2) построения дерева возможных вариантов; 3) с помощью таблицы.

Оборудование: компоненты УМК «Виленкин. 5», проектор, компьютер, интерактивная доска (ИД ) , на каждой парте по 2 листа (формата А4) с 7 решенными классными задачами и по 2 листа (формата А4) с 7 тестовыми задачами . На столе учителя лежат лист (формата А4) с 7 решенными классными задачами и лист (формата А4) с 7 тестовыми задачами их решениями, распечатки проектного задания на дом.

Этапы урока

Задачи этапа

Визуальный ряд

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формируемые УУД

Организационный

Собрать домашнее задание, настроить на урок

Слайд на доске:

«тяжело в учении легко в бою»

Прошу теперь сдать на проверку тетради с домашней работой. Напоминаю, что мы сегодня приступаем к изучению новой темы.

Дежурные проходят по классу собирают тетради.

Саморегуляция, прогнозирование и оценка

Актуализации теоретических знаний

Определить цель урока

На доске: дата и название темы: «Комбинаторные задачи»

Ребята, сегодня мы совершим увлекательное путешествие в мир «Комбинаторики»

Мысленно задают вопрос: «а что это такое»

Целеполагание, предметная рефлексия.

Объяснения нового материа

ла

Первичное знакомство с основными понятиями,

методами, способами

решения

комбинаторных задач

Слайд на доске: Слово «комбинаторика» произошло от латинского слова COMBINARE , что означает «соединять», «сочетать»

Учитель задаёт вопрос как вы думаете что означает слово «комбинаторика»?

Учитель делает паузу, слушает ответы потом говорит определение.

Слово «комбинаторика» произошло от латинского слова COMBINARE , что означает «соединять», «сочетать»

Дети отвечают, выдвигая гипотезы

Внимательно слушают, читают определение на раздаточных листках

Выдвижение и проверка гипотез.

Слайд на доске

Чтобы запереть чемодан с кодовым замком, состоящий из двух каких-либо цифр. Хозяин чемодана решил использовать только цифры 1, 2 и 3. Сколькими способами он может выбрать код?

Решить эту задачу можно с помощью древа возможных вариантов или перебора всех возможных вариантов

Внимательно слушают, смотрят слайд, думают, запоминают.

Смысловое чтение.

Слайд на доске:

Решение древом возможных

Вариантов

ДЕРЕВО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ Часто процесс перебора удобно осуществлять путем построения специальной схемы - так называемого дерева возможных вариантов

изобразите корень дерева, для этого поставьте знак *.

Чтобы выбрать первую цифру кода, у нас есть три варианта: 1; 2; 3. Поэтому от корня дерева проведите три ветви и на их концах поставите цифры 1; 2; 3.

Для выбора второй цифры есть те же три варианта. Проводим «веточки»

Анализ объекта.

Слайд на доске:

Решение перебором

Подходящие коды - это двузначные числа, которые можно составить из цифр

1, 2, 3. Будем выписывать все такие цифры в порядке возрастания. Такой способ перебора позволит нам не пропустить никакой из кодов и в то же время не повторить ни один из них.

С начало запишем в порядке возрастания все коды, начинающиеся с цифры 1: 11, 12, 13. Затем запишем в порядке возрастания коды, начинающиеся с цифры 2: 21, 22, 23.

Затем запишем в порядке возрастания коды, начинающиеся с цифры 3: 31, 32, 33

Таким образом, имеется 9 способов выбора

кода: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Анализ объекта.

Выбор оснований критериев для сравнения, сериации, классификации объектов.

Создание и преобразование модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Закрепления новых знаний

Показать практическое применение теоретических знаний

через их применение в решении практических задач

Слайд на доске с условием задачи №1

В столовой на завтрак можно выбрать пиццу, плюшку, бутерброд, а запить их можно чаем, соком. Из скольких вариантов завтрака можно выбирать?

Слайд на доске с решением

На слайде изображено дерево возможных вариантов

первый уровень «НАПИТКИ»

два варианта: ЧАЙ, СОК.

второй уровень три варианта: ПИЦЦА, ПЛЮШКА, БУТЕРБРОД.

Итого шесть ВАРИАНТОВ завтрака:

ЧАЙ+ПИЦЦА, ЧАЙ+ПЛЮШКА, ЧАЙ+БУТЕРБРОД, СОК+ПИЦЦА, СОК+ПЛЮШКА, СОК+БУТЕРБРОД.

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомство с профессиями.

Анализ объекта.

Выбор оснований критериев для сравнения, сериации, классификации объектов.

Создание и преобразование модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №2

Из страны «Математика» в страну «Литература» ведут три дороги, а из страны «Литература» в страну «Физкультура» - четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из страны «Математика» в

Страну «Физкультура» через страну «Литература»?

Слайд на доске с решением

Рисунок поможет нам решить эту задачу.

Переберём все «ПУТИ»

Обозначим дороги идущие из страны «МАТЕМАТИКА» так: М1, М2, М3,

а из «ЛИТЕРАТУРА» Л1, Л2, Л3,Л4.

Переберём М1+Л1, М1+Л2, М1+Л3,М1+Л4, М2+Л1, М2+Л2, М2+Л3,

М2+Л4, М3+Л1, М3+Л2, М3+Л3, М3+Л4

Натолкнуть

Детей на мысль о перемножении Количества дорог

А можно взять и перемножить количество дорог 3*4 =12

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №3

Шифр сейфа составляют из букв и цифр, причём на первом месте ставится буква (например А7). Сколько различных вариантов шифра можно составить, используя буквы А, В, С и цифры 3, 7, 9?

Слайд на доске с решением

2)Чтобы выбрать букву кода, у нас есть три варианта: А; B ; C . Поэтому от корня дерева проведены три ветви и на их концах поставлены буквы: А; B ; C .

3)Для выбора цифры есть те же три варианта. Проводим «веточки»

Двигаясь от корня дерева по ветвям, мы получим все возможные коды

А3, А7, А9, В3, В7, В9, С3, С7, С9

Или Всего 3*3=9 вариантов

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №4

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Слайд на доске с решением

Первый способ: обозначим цвета полосок первыми буквами названий цветов

Б – белый, К – красный, С – синий.

Решим перебором:

БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ

Всего шесть вариантов.

Второй способ:

Берем карандаши и рисуем флаги

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №5

В семье 4 человек, и за столом в кухне стоят 4 стула. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 4 стула по новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Слайд на доске с решением

Второй способ решения

Для наглядности раскрасим стулья разными цветами.

Зафиксируем красный стул вверху и, будем переставлять остальные три, получим шесть вариантов.

Эту же операцию проделаем с остальными цветами, получим 6*4=24 различных вариантов.

Второй способ:

На первый стул может сесть любой член семьи, т. е. 4 варианта; на второй – 3 человека так, как один член семьи уже сидит; на третий – 2 человека так, как

двое сидят; на четвёртый только один так, как три члена семьи уже сидят.

Итак, перемножим все варианты

4*3*2*1= 24

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №6

Вася решил пойти на новогодний

карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: три вида брюк, два камзола, три шляпы. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Слайд на доске с решением

Обозначим: первую шапку Ш1, вторую – Ш2, третью – Ш3

1) на слайде изображён корень дерева, в виде знака *.

2) первый уровень трое брюк;

3) второй уровень два камзола;

4) третий уровень три шапки;

Всего 18 вариантов

Или просто перемножить «уровни»

3*2*3=18

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Слайд на доске с условием задачи №7

При встрече 7 гномов обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Семь гномов решили обменяться фотографиями. Сколько нужно фотографий?

Слайд на доске с решением: а)

Слайд на доске с решением: б)

Эти две задачи очень похожи, но всё-таки они разные

При решении таких задач лучше использовать таблицу.

1)Нарисуем таблицу 8*8, первая строка и первый столбец это гномы.

2)Вычеркнем диагональ таблицы так, как гном сам с собою не может поздороваться.

3) Ячейки это кто с кем поздоровался.

4) Нижняя часть таблицы повторяет верхнюю.

Первый гном поздоровался со вторым = второй гном поздоровался с первым.

Всего 21 рукопожатие.

Задача б) отличается от а) тем, что нужно

учитывать нижнюю часть таблицы так, как

первый гном подарил фото второму, НЕРАВНО второй гном подарил фото первому.

Всего 42 фото.

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Знакомятся с моделями и схемами для решения задач в зависимости от конкретных условий.

Систематизации знаний

Систематизировать методы решений комбинаторных задач.

Слайды на доске

И следующий слайд,

Слайды решений задачи №7

Мы познакомились с тремя методами решения 1) древо вариантов; 2) перебор;

3) табличное представление данных

Внимательно слушают, смотрят слайды, думают, анализируют, классифицируют, запоминают.

Систематизация знаний по трём

методам.

Усвоения новых знаний

Дать определе-

ние комбинаторных задачач.

Слайд на доске

Попросить детей своими словами определить понятие «Комбинаторные задачи»

Отвечают на вопрос

Установление аналогий.

Умение классифициро

вать.

Определить три метода решения задач этого типа.

Следующий слайд;

Слайд решения задачи №7

Попросить детей своими словами рассказать о трёх методах решения

комбинаторных задач

Отвечают на вопрос

Умение классифициро

вать.

Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных решений

Сделать вывод о многовариантном решении комбинаторных задач

Слайд

Спросить у детей, как вы думаете все ли комбинаторные задачи можно решить разными методами?

После показа слайда физкульт. минутка (к доске вызываются 3 ученика и разными способами рассаживаются за парту)

Отвечают на вопрос

Создавать модели и схемы для решения задач в зависимости от конкретных условий

Рефлек

сии

Провести самостоятельную работу в группах, в малых группах, индиви- дуально.

диагонали

пополам

равны

под прямым углом

да

Да

да

На парте у каждого лист (формата А4) с семью задачами (приложение№1)

Слайд с ответами

Таблица на доске (ответы команд)

Коман-

да №1

Коман-

да №2

7 а

7 б

Из класса выбираются две команды по 8 -12 человек. Даётся им задание:

1. Распределиться по задачам: на одну задачу по одному или по двое учеников.

2. На решение отводится не более 7 минут

Примечание: создать команды может учитель, распределение по задачам нет, только дети сами должны распределиться за 1 минуту. Если не смогут, то по местоположению детей, ученик получит свою задачу.

1. за каждую правильно решенную

задачу команда получит 1 балл

1. проверяет класс: на доске выписываются ответы команд. Дети решавшие свою задачу говорят ответ дежурный записывает его

2. правильные ответы на слайде

Ученики, которые не задействованы в командах, решают по своему выбору и любое количество задач из семи

Выполняют самостоятельную работу в коллективе, в парах, индивидуально.

Сочетание индивидуальной самостоятельной работы и сотрудничество в коллективе

Объяснения домашнего задания

Обеспече

ние понимания детьми цели, содержания и способов выполне

ния домашнего задания.

У каждого ученика на парте лежит текст этого домашнего

задания.

Проектное домашнее задание

Придумать каждому по три

любые комбинаторные задачи.

Группа не более 5 человек

Эти задачи мы (Учитель и ученики) будем использовать в дальнейшем в конкурсах викторинах, и не только внутри класса, но и школы.

То есть создадим банк «Задач для викторин»

Продумывают условия выполнения д/з:

1)индивидуально или в группе;

2) что использовать при составлении задач, какие ресурсы.

Саморегуля

ция, развитие самосознания, ответствен

ного отношения

Приложение №1

Задача №1

В столовой на завтрак можно выбрать булочку, пирожок с капустой, пирожок с картошкой, бутерброд, а запить их можно чаем, компотом. Из скольких вариантов завтрака можно выбирать?

Задача №2

Из страны «Математика» в страну «Литература» ведут четыре дороги, а из страны «Литература» в страну «Физкультура» - пять дорог. Сколькими способами можно попасть из страны «Математика» в

страну «Физкультура» через страну «Литература»?

Задача №3

Шифр сейфа составляют из букв и цифр, причём на первом месте ставится буква (например А7). Сколько различных вариантов шифра можно составить, используя буквы А, M , F и цифры 1, 4, 6, 9?

Задача №4

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зелёный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Задача №5

В семье 5 человек, и за столом в кухне стоят 5 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 5 стульев по новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Задача №6

Вася решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор: четыре вида брюк, два камзола, две шляпы. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

Задача №7

При встрече 4 гнома обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Пять гномов решили обменяться фотографиями. Сколько нужно фотографий?

Приложение №2

Домашнее задание (Проектная деятельность)

Проектное домашнее задание

Придумать каждому по три

любые комбинаторные задачи.

При придумывании задач можно использовать: Учебник «Виленкин. Математика 5; другие книги; ресурсы интернета.

Можно объединяться в группы, но условие,

каждый ученик по три задачи остаётся.

Группа не более 5 человек

3) УМК « Дорофеев Математика 5»;

4) Ресурсы Интернета (gif1000)

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n 1 =6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5 . Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Комбинаторика - раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики — на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Их несколько:

1. Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
2. Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
3. Перестановка – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
4. Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n * m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Ответ: 2! = 2.

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В - m раз, то А или В можно выбрать (n + m ) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Решение простое:

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

В этом случае:

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

Ответ прост:

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Типы задач	Что требуется найти	Методы решения
Магический квадрат	Фигура, в которой сумма чисел в рядах и столбцах должна быть одинакова (его разновидность – латинский квадрат).	Рекуррентные соотношения. Решается подобная же задача, но с гораздо меньшим множеством элементов по известным правилам и формулам.
Задача размещения	Стандартная производственная задача (например, в лоскутной технике) — найти возможные способы разложения количества продуктов в ячейки в определенном порядке.	Включения и исключения. Как правило, применяется при доказательстве различных выражений.
Задачи про торговцев	Суть — найти все возможные пути прохождения людей из пункта А в пункт В.	Траектории. Для этого вида задач характерно геометрическое построение возможных способов решения.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Для построения соответствующих математических моделей комбинаторных задач будем использовать математический аппарат теории множеств . Может случиться, что в данном множестве порядок следования элементов не важен, а важен только состав множества. Но есть задачи, в которых прядок элементов является существенным.

Определение 1: Порядок во множестве изэлементов – это нумерация его элементов натуральными числами, т.е. отображение множества
на множество
.

Определение 2: Множество с заданным на нем порядком называется упорядоченным множеством.

Очевидно, что множество, содержащее более одного элемента, можно упорядочить не единственным способом.

Например, из двух букв иможно построить упорядоченное множество двумя различными способами:

и
.

Три буквы ,иможно расположить в виде последовательности шестью способами:

,
,
,
,
,
.

Для четырех букв путем перебора получим уже 24 различных упорядоченных последовательностей.

Упорядоченные последовательности элементов некоторого множества можно рассматривать как распределения или расстановки этих элементов в последовательности.

Определение 3: Пусть дано конечное множество
изэлементов. Всякий набор изэлементов данного множества (при этом элементы в наборе могут и повторяться) будем называть-расстановками .

Через понятие расстановки вводятся основные определения комбинаторики: сочетания, размещения и перестановки . При этом каждое из этих понятий может быть с повторениями и без повторений. В данном параграфе будут рассмотрены комбинаторные формулы без повторений.

Перестановки без повторений.

Определение 4: Пусть
- конечное множество изэлементов.Перестановками из различных элементов множества
называются все расположенияэлементов в определенном порядке. Обозначается:(от французского словаpermutation - перестановка).

Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком.

Определение 5: Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов, называются перестановками этого множества.

Последнее определение сформулировано с позиции теории множеств.

Определение 6: Произведение последовательных натуральных чисел в математике обозначаюти называютфакториалом .

Выбор для обозначения восклицательного знака, возможно, связан с тем, что даже для сравнительно небольших значенийчислоочень велико. Например,
,
,
,
,
,,и т.д.

Теорема 1: Число перестановок из различных элементов вычисляется по формуле:

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество из элементов. Построим всевозможные расстановки из этихэлементов. На первое место расстановки можно поставить любой из элементов (способов выбора первого элемента). После того, как первый элемент выбран и независимо как он выбран, второй элемент можно выбрать
способом. Для выбора третьего элемента остается
способа и т.д. Последний элемент выбирается соответственно одним способом. Тогда, в силу комбинаторного принципа умножения, количество таких расстановок будет равно:

Теорема доказана.

Пример 1: Сколькими способами трое друзей могут занять в кинотеатре места с номерами 1, 2 и 3.

Решение. Количество искомых способов будет равно числу перестановок без повторений из трех элементов:
способов. При необходимости эти способы можно перебрать.

Перестановки букв некоторого слова называют анаграммами . Открытые еще в ІІІ веке до нашей эры греческим грамматиком Ликофроном анаграммы до сих пор привлекают внимание языковедов, поэтов и любителей словесности. Мастера словесных игр помимо эрудиции и большого запаса слов знают много секретов, связанных с комбинаторными навыками, один из которых – анаграммы. Часто требуется среди всех перестановок выбрать те, которые обладают определенным свойством. Например, среди анаграмм слова «крот» , которых всего
, только одна, не считая самого слова«крот» , имеет смысл в русском языке – «корт».

Кроме линейных перестановок, можно рассматривать перестановки круговые (или циклические). В этом случае перестановки, переходящие друг в друга при вращении, считаются одинаковыми и не должны засчитываться.

Теорема 2: Число круговых перестановок из различных элементов равно

Пример 2: Сколькими способами 7 детей могут стать в хоровод?

Решение. Число линейных перестановок 7 детей будет равно
. Если хоровод уже сформирован, тогда для него существует 7 круговых перестановок, переходящих друг в друга при повороте. Эти перестановки не должны быть засчитаны, поэтому круговых перестановок из 7 элементов будет.

Размещения без повторений.

Определение 7: Пусть имеется различных предметов. Расстановки изэлементов поэлементов (
) называютсяразмещениями без повторений . Обозначают: . Здесь имеется в виду, что элементы в расстановках не повторяются.

В данном определении существенной является следующая позиция: две расстановки различны, если они отличаются хотя бы одним элементом или порядком элементов.

Приведем еще одно определение размещений, эквивалентное исходному, более простое для понимания.

Определение 8: Конечные упорядоченные множества называются размещениями.

Теорема 3: Количество всех размещений из элементов поэлементов без повторений вычисляется по формуле:

Доказательство. Пусть имеется произвольное множество
, состоящее изэлементов. Необходимо выбрать из этого множестваразличных элементов. Причем, важен порядок выбора.

Выбор элементов осуществляется поэтапно. Первый элемент расстановки можно выбрать различными способами. Тогда из оставшихся элементов множества
второй элемент расстановки выбирается
способом. Для выбора третьего элемента возможно
способа и т.д. Тогда для выбора- го элемента имеем
способ. Следовательно, согласно правилу умножения, количество таких расстановок будет равно:

По определению, такие расстановки являются размещениями. Что и требовалось доказать.

Пример 3: Собрание из 25 человек выбирает президиум из 3 человек: 1) председатель, 2) заместитель, 3) секретарь. Сколько возможно вариантов выбора президиума?

Решение. Выбирая трех человек из 25, замечаем, что важен порядок выбора, поэтому количество президиумов будет равно:

Замечание: Число размещений без повторений можно также находить по формуле:

. (3)

Если в знаменателе дроби из формулы (3)
, то принято считать
.

Замечание: Формула (3) отличается компактностью, но при решении задач удобнее использовать формулу (2). Дробь, стоящая в правой части формулы (3), может быть сокращена до целого числа. Это число равно числу из правой части формулы (2).

Пример 4: Сколько можно составить двухбуквенных слов (буквы не повторяются) из 33 букв русского алфавита?

Решение. В данном случае мы имеем дело не со словами в лингвистическом понимании, а с буквенными комбинациями произвольного состава.

Тогда количество различных комбинаций из 2 букв, выбранных из 33 букв алфавита, будет равно:

.

В данном случае важен порядок букв. Если поменять 2 буквы в слове, то получим новое слово.

Замечание: Перестановка без повторений – это частный случай размещений без повторений при
. Можно сказать, что перестановка изэлементов – это размещение изэлементов поэлементов:

В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения объектов в той или иной совокупности. Важно лишь то, какие именно элементы ее составляют. В таких ситуациях мы имеем дело с сочетаниями .

Сочетания без повторений.

Определение 9: Сочетания без повторений из элементов некоторого множества поэлементов (
) – это расстановки, отличающиеся друг от другасоставом , но не порядком элементов. Обозначают: (от французского словаcombinaison – сочетание).

В данном случае в расстановках важен состав, а не порядок элементов в подмножестве. Если две расстановки отличаются только порядком следования элементов, то с точки зрения сочетаний они не различимы. Элементы в этих расстановках не повторяются.

С точки зрения теории множеств определение сочетаний можно сформулировать иначе.

Определение 10: Конечные неупорядоченные множества называются сочетаниями.

Таким образом, сочетания – это такая выборка элементов, при которой их порядок совершенно не важен.

Сочетаний из элементов поэлементов должно быть меньше, чем соответствующих размещений. Это следует из того, что не надо засчитывать расстановки одинакового состава.

Теорема 4: Число сочетаний находится по следующей формуле:

. (4)

Доказательство. Если из произвольного -элементного множества выбраныэлементов, то их можно пронумеровать номерами
числом способов, равным. Оставшиеся
элементов можно занумеровать номерами
,
, …,всего
способами. Кроме того, сам отборэлементов изэлементов можно осуществитьспособами. Таким образом, мы получили
вариантов нумерации полного множества из элементов, которых всего. Поэтому имеем
, откуда получаем:

.

Теорема доказана.

Замечание: Дробь, стоящая в правой части (4), может быть сокращена до целого числа.

Из формулы числа сочетаний следует:

,
,
.

Формула (4) может быть преобразована к виду:
. Отсюда видно, что число размещенийвраз больше числа соответствующих сочетаний. Другими словами, чтобы посчитать все сочетания, нужно исключить из всех размещенийподмножества, отличающиеся порядком (их будетштук), т.е.делят на.

Пример 5: Сколькими способами можно выбрать 3 различные краски из имеющихся пяти.

Решение. Порядок выбора красок не важен. Важно только какие краски выбраны. Поэтому количество вариантов равно:
.

Пример 6: Сколькими способами можно пошить трехцветные полосатые флаги, если имеется материал пяти различных цветов.

Решение. Порядок выбора полос важен, поэтому количество таких флагов равно:
.

Урок по математике в 5 классе « Знакомьтесь, комбинаторика» Тема урока: Цель урока : сформулировать первоначальные навыки комбинаторных задач с помощью перебора возможных вариантов.
Задачи урока:

Образовательные:

Развитие умения решать комбинаторные задачи методом полного перебора вариантов;

Выработка умения применять математическую теорию в конкретных ситуациях;

Знакомство учащихся с элементами гуманитарного знания, связанного с математикой.

Развивающие:

Развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор;

Развитие умения решать задачи путём только логических рассуждений;

Развитие умения делать выбор рационального способа кодирования;

Развитие коммуникативных и творческих способностей учащихся.

Воспитательные:

Воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы; Прививать сознательное отношение к труду;

Формировать ответственность за конечный результат .

Оборудование:

интерактивная доска; раздаточный материал (цветные полоски: белая, синяя, красная); карточки с задачами.

Ход урока.

Организационный момент. Изучение нового материала. Практическая часть. Рефлексия Выставление отметок Задание домашней работы

Организационный момент.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, не потому что выбора нет, а потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный. Задачи, которые мы сегодня будем решать помогут вам творить, думать необычно, оригинально, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая. И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас. Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»? Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы так хорошо умеете считать, как не умеют царственные особы. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно помассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2 – 3 раза

Актуализация темы и мотивация.

Давайте решим задачу №1, Задача 1 . У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты») . Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи? Разыгрываем сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей (слайд №2 и №3).

Задача №2 . Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг? (Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается составить разные варианты флагов? (Слайд№4) Учитель: Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём. Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке, «Постреляйте» глазами в соседей. Заведите локти за спину как можно сильнее, затем с силой обнимите себя.

Изучение нового материала .

Учитель: Итак, при решении этих задач мы осуществили перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в этих случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными. Просчитывать возможные (или невозможные) варианты в жизни приходится довольно часто, поэтому полезно познакомиться с комбинаторными задачами, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой. (Слайд№5) Определение учащиеся записывают в тетрадь:

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам

Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это « Сколькими способами …?» или

« Сколько вариантов …?»

Учитель : Давайте еще раз вернемся к задаче о флагах, решим ее используя перебор возможных вариантов: (слайд №7) КБС КСБ БСК БКС СБК СКБ Ответ: 6 вариантов. Итак, при решении этой задачи мы искали способ перебора возможных вариантов. Во многих случаях оказывается полезным прием построения картинки – схемы перебора вариантов. Это, во – первых, наглядно, во- вторых, позволяет нам все учесть, ничего не пропустить.

Решение Флаг

Варианты БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Ответ: 6 вариантов.

Вопрос, ответ на который должны знать все, какой из представленных вариантов флагов – государственный флаг РФ.(Слайд№7)

Оказывается, Не только флаг России имеет эти три цвета. Есть государства, флаги которых, имеют такие же цвета.

КБС – Люксембург,

Нидерланды.

Франция СКБ

Учитель: Найдем правило решения таких задач путем логического рассуждения.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Основное правило произведения :

Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b . (слайд №8)

Физкультминутка для глаз. (слайд №9)

Упражнение « Фигуры».

Нарисовать глазами квадрат, круг, треугольник, овал, ромб по часовой стрелке, а затем- против.

Практическая часть

Учитель: А теперь перейдем к математическим задачам. (раздаем карточки с задачами)

У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить? (Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем «тройку», значит, по правилу умножения получаем 3 4 2 = 24 варианта костюма.)

В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать? (Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11 способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару капитана и его заместителя можно выбрать 11 10 = 110 способами.)

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр? (Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется? (Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция с учетом исключения повторов цифр - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 4 3 = 60 чисел.)

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться? (а) Двузначное число, как и любое многозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию можно поставить лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом повтора, можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается 3 4 = 12 чисел; б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т.к. повтор исключается. Получаем 3 3 = 9 чисел.)

Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? (5 4 3 2 1 = 120 вариантов.) Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов? (6 5 4 3 2 1 = 720 способов.)

6 приборов? (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.)

(8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.)

(Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем 8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номеров.)

Рефлексия

Учитель: Ребята вот и подходит к концу наш урок. Как вы считаете, мы сегодня достигли нашей цели, почему? Что было трудным на уроке, как с эти можно бороться? Подумайте и поставьте себе за свой труд и работу отметку, поставьте сами, эту отметку никто из ребят не увидит, попробуйте быть честным с самим собой. Полностью ли вы участвовали в работе на уроке? Что нужно сделать, чтобы результат был лучше?

Кроме того, ученикам предлагается ответить на 3 блиц - вопроса:

На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

Моя самооценка за урок …

Ответы на приведенные вопросы можно не подписывать, т.к. их основная функция помочь учителю проанализировать урок и его результаты

Подведение итогов . Выставление отметок

Учитель: Я очень рада, что многие из вас сегодня хорошо поработали, узнали много нового, но я очень хотела бы, чтобы все вы дома хорошо поработали и не получили на следующем уроке двоек.

7. Задание домашней работы :

1)Составить задачу о своем классе

2) Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3 горизонтальных полос разной ширины, разных цветов – белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии,что у каждой страны свой флаг?

3) а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться

Учитель : Итак, я была рада встрече с вами, интересуйтесь математикой, это, несомненно, отразится в положительную сторону в ваших размышлениях и действиях. Урок окончен. Всем спасибо. До свидания.

Литература:

Е.А.Бунимович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1- 4, 5 – 8. – М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006.

Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учебник для общеобразоват. учреждений/ Н.Я.Виленкин и др. – М. : Мнемозина, 2009.

Смыкалова Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО. Пресс, 2006.

5 класс. «Математика-5», И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004 год.

Задачи (карточки)

У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются 3 элегантных шляпы,4 чудных плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?

В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?

Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные?

1. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9?

Ответы

Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем «тройку», значит, по правилу умножения получаем 3 4 2 = 24 варианта костюма.

Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11-ю способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару, капитана и его заместителя, можно выбрать 11 10 = 110 способами.

Должно получиться двузначное число – всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция, с учетом исключения повторов цифр, - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 4 3 = 60 чисел.

(а) Двузначное число, как и любое многозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию можно поставить лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом повтора, можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается 3 4 = 12 чисел; б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т.к. повтор исключается. Получаем 3 3 = 9 чисел.

5 4 3 2 1 = 120 вариантов.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 способов

2. 8 7 6 5 4 = 6720 вариантов

   Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 номеров.