Решение симметрических систем уравнений. Симметрические уравнения Формула решения квадратного уравнения

Введение

Симметрия… является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.
Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л.Н.Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?»
Действительно, симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.
Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία - «соразмерность»), в широком смысле - неизменность при каких-либо преобразованиях. Так, например, сферическая симметрия тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.
С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Цели:

Рассмотреть виды и типы симметрий;

Проанализировать как и где используется симметрия;

Рассмотреть, как симметрия используется в школьном курсе алгебры

Симметрия.
Слово «симметрия» имеет двойственное толкование. В одном смысле симметричное означает нечто весьма пропорциональное, сбалансированное; симметрия показывает тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого слова - равновесие. Еще Аристотель говорил о симметрии как о таком состоянии, которое характеризуется соотношением крайностей. Из этого высказывания следует, что Аристотель, пожалуй, был ближе всех к открытию одной из самых фундаментальных закономерностей Природы - закономерности о ее двойственности.
Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:
1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.

2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.

3)изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;

4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.

Таким образом, симметрия выражает сохранение чего-то при каких-то изменениях или сохранение чего-то несмотря на изменение. Симметрия предполагает неизменность не только самого объекта, но и каких-либо его свойств по отношению к преобразованиям, выполненным над объектом. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разнообразным операциям - к поворотам, переносам, взаимной замене частей, отражениям и т.д. В связи с этим выделяют разные типы симметрии.

Асимметрия

Асимметрия - отсутствие или нарушение симметрии.
В архитектуре - симметрия и асимметрия - два противоположных метода закономерной организации пространственной формы. Асимметричные композиции в процессе развития архитектуры возникли как воплоще­ние сложных сочетаний жизненных процессов и условий окружающей среды.

Диссимметрия

Нарушенную, частично расстроенную сим­метрию мы называем диссимметрией .
Диссимметрия - явление, широко распро­страненное в живой природе. Она характерна и для человека. Человек диссимметричен, не­смотря на то, что очертания его тела имеют плоскость симметрии. Диссимметрия сказыва­ется в
лучшем владении одной из рук, в несим­метричном расположении сердца и многих дру­гих органов, в строении этих органов.
Диссимметрии человеческого тела подобны и отклонения от точной симметрии в архитек­туре. Обычно они вызываются практической необходимостью, тем, что многообразие функ­ций не укладывается в пределы жестких зако­номерностей симметрии. Иногда такие откло­нения дают основу острого эмоционального эффекта.

^ Типы симметрий, встречающиеся в математике и в естественных науках:

Двусторонняя симметрия - симметрия зеркального отражения, при которой объект имеет одну плоскость симметрии, относительно которой две его половины зеркально симметричны. У животных билатеральная симметрия проявляется в схожести или почти полной идентичности левой и правой половин тела. При этом всегда существуют случайные отклонения от симметрии (например, различия в папиллярных линиях, ветвлении сосудов Часто существуют небольшие, но закономерные различия во внешнем строении и более существенные различия между правой и левой половиной тела в расположении внутренних органов. Например, сердце у млекопитающих обычно размещено несимметрично, со смещением влево.

У животных появление билатеральной симметрии в эволюции связано с ползанием по субстрату (по дну водоема), в связи с чем появляются спинная и брюшная, а также правая и левая половины тела. В целом среди животных билатеральная симметрия более выражена у активно подвижных форм, чем у сидячихУ растений билатеральную симметрию имеет обычно не весь организм, а его отдельные части - листья или цветки. Билатерально симметричные цветки ботаники называют зигоморфными.

^ Симметрия n-го порядка - симметричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. Описывается группой Zn.

Аксиальная симметрия (радиальная симметрия, лучевая симметрия) -форма симметрии, при которой тело (или фигура) совпадает само с собой при вращении объекта вокруг определённой точки или прямой. Часто эта точка совпадает с центром симметрии объекта, то есть той точкой, в которой
пересекается бесконечное количество осей двусторонней симметрии. Радиальной симметрией обладают такие геометрические объекты, как круг, шар, цилиндр или конус. Описывается группой SO(2).

^ Сферическая симметрия - симметричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. Описывается группой SO(3). Локальная сферическая симметрия пространства или среды называется также изотропией.

^ Вращательная симметрия - термин, означающий симметрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений m-мерного евклидова пространства.

^ Симметрия у животных и человека.

Симметрия является жизненно важным признаком, который отражает особенности строения, образа жизни и поведения животного. Симметричность формы необходима рыбе, чтобы плыть; птице, чтобы летать. Так что симметрия в природе существует неспроста: она еще и полезна, или, иначе говоря, целесообразна. В биологии центр симметрии имеют: цветы, медуза, морские звезды и т. д. Наличие форм симметрии прослеживается уже у простейших – одноклеточных (инфузории, амёбы).Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии. Мозг разделён на две половины. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого. Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону. Проведенные исследования показали, что симметричное лицо более привлекательно. Также исследователи утверждают, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина - левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). Но
подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

Симметрия в искусстве

Симметрия в искусстве вообще и в изобразительном в частности берет свое начало в реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами.
Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность ее частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости. Если точка схода смещена от центра, одна из частей более загружена по массам или изображение строится по диагонали, все это сообщает динамичность композиции и в какой-то мере нарушает идеальное равновесие.
Правилом симметрии пользовались еще скульпторы Древней Греции. Примером может служить композиция западного фронтона храма Зевса и Олимпии. В основу ее положена борьба лапифов (греков) с кентаврами в присутствии бога Аполлона. Движение постепенно усиливается от краев к центру. Оно достигает предельной выразительности в изображении двух юношей, которые замахнулись на кентавров. Нарастающее движение как бы сразу обрывается на подступах к фигуре Аполлона, спокойно и величественно стоящего в центре фронтона.
Представление об утраченных произведениях знаменитых живописцев V века до н. э. можно составить по античной вазописи и помпейским фрескам, навеянным, как полагают исследователи, произведениями греческих мастеров эпохи классики…
Симметричные композиции наблюдались и у греческих мастеров IV-III веков до н. э. Об этом можно судить по копиям фресок. В помпейских фрес ках главные фигуры находятся в центре пирамидальной композиции, отличающейся симметрией.
К правилам симметрии нередко прибегали художники при изображении торжественных многолюдных собраний, парадов, заседаний в больших залах и т.д.
Большое внимание правилу симметрии уделяли художники раннего Возрождения, о чем свидетельствует монументальная живопись (например, фрески Джотто). В эпоху Высокого Возрождения итальянская композиция достигла зрелости. Например, в картине «Святая Анна с Марией и младенцем Христом» Леонардо да Винчи компонует три фигуры в заостренный кверху треугольник. В правом нижнем углу он дает фигурку агнца, которого держит маленький Христос. Все скомпоновано таким образом, что этот треугольник только угадывается под объемно-пространственной группой фигур.
Симметричной композицией можно назвать и «Тайную вечерю» Леонардо да Винчи. В этой фреске показан драматический момент, когда
Христос сообщил своим ученикам: «Один из вас предаст меня». Психологическая реакция апостолов на эти вещие слова связывает персонажей с композиционным центром, в котором находится фигура Христа. Впечатление целостности от этой центростремительной композиции усиливается еще и тем, что художник показал помещение трапезной в перспективе с точкой схода параллельных линий в середине окна, на фоне которого четко рисуется голова Христа. Таким образом, взор зрителя невольно направляется к центральной фигуре картины.
Среди произведений, демонстрирующих возможности симметрии, можно также назвать «Обручение Марии» Рафаэля, где нашли наиболее полное выражение приемы композиции, характерные для эпохи Возрождения.
Картина В. М. Васнецова «Богатыри» также построена на основе правила симметрии. Центром композиции является фигура Ильи Муромца. Слева и справа, как бы в зеркальном отражении, размещены Алеша Попович и Добрыня Никитич. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на конях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам неодинаковы, что обусловлено идейным замыслом автора. Но обе они менее мощные по сравнению с фигурой Муромца и в целом придают полное равновесие композиции.
Устойчивость композиции вызывает у зрителя чувство уверенности в непобедимости богатырей, защитников земли русской. Мало того, в «Богатырях» передано состояние напряженного покоя на грани перехода в действие. А это значит, что и симметрия несет в себе зародыш динамического движения во времени и пространстве.

Симметрия в алгебре.

Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1:

Квадратное уравнение имеет корни и . Не решая этого уравнения, выразим через и суммы , . Выражение симметрическое относительно и . Выразим их через + и , а затем применим теорему Виета.

Главная > Решение

Рациональные уравнения и неравенства

I. Рациональные уравнения.

Линейные уравнения.

Системы линейных уравнений.

Возвратные уравнения.

Формула Виета для многочленов высших степеней.

Системы уравнений второй степени.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

Однородные уравнения.

Решение симметрических систем уравнений.

Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Графический метод решения систем нелинейных уравнений.

Уравнения, содержащие знак модуля.

Основные методы решения рациональных уравнений

II. Рациональные неравенства.

Свойства равносильных неравенств.

Алгебраические неравенства.

Метод интервалов.

Дробно-рациональные неравенства.

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

Неравенства с параметрами.

Системы рациональных неравенств.

Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Рациональные уравнения

Функция вида

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n ,

где n - натуральное, a 0 , a 1 ,…, a n - некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

где P 1 (x), P 2 (x), … ,P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) - целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) - многочлены (Q (x)  0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x)  0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X 0 и Y 0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y 0 = aX 0 + b.

Пример 1.1 . Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: .

Пример 1.3 . Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Ответ: Любое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение вида

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

где a 1 , b 1 , … ,a n , b -некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x 1 , x 2 , …, x n .

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.Ответ: (1; 2).Пример 2.5. Решить систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.Ответ: (1; 1; 0).Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений? Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)(– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y. Ответ: 3.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - некоторые числа (a0);

x - переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a - от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2)).

Для краткости обозначим выражение (b 2 – 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

Возможны три случая:

если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (D) 2 . Тогда

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , потому тождество принимает вид

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a))(x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Теорема: Если выполняется тождество

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

то квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 при X 1  X 2 имеет два корня X 1 и X 2 , а при X 1 = X 2 - лишь один корень X 1 .

В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем самым и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X 1 =(-b +  D) / 2a; X 2 = (-b -  D) / 2a.

Таким образом x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

где b 2 – 4ac = D.

если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

принимает вид x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X 1 = – b / 2a

3) Если число D отрицательно (D < 0), то – D > 0, и потому выражение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x 2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b 2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X 1 =(-b + D) / (2a); X 2 = (-b - D) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

b = 0; c  0; c / a <0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корни квадратного уравнения общего вида ax 2 + bx + c = 0 находятся по формуле

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x 2 + px + q = 0.

Теорема Виета.

Мы вывели тождество

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2),

где X 1 и X 2 - корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x 2 + (b / a)x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2)x +x 1 x 2 .

Отсюда следует, что X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a. Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому c противоположным знаком и делённому на коэффициент при X 2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X 2 .

Теорема 2 (обратная). Если выполняются равенства

X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a,

то числа X 1 и X 2 являются корнями квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.

Замечание. Формулы X 1 + X 2 = – b / a и X 1 X 2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет один корень X 1 кратности 2, если положить в указанных формулах X 2 = X 1 . Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X 1) + (1/ X 2)= (X 1 + X 2)/ X 1 X 2 ;

X 1 2 + X 2 2 = (X 1 + X 2) 2 – 2 X 1 X 2 ;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 = (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 = ((X 1 + X 2) 2 – 2X 1 X 2) / X 1 X 2 ;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2)(X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X 1 + X 2)((X 1 + X 2) 2 – 3X 1 X 2).

Пример 3.9. Решить уравнение 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Ответ: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X 2 = (- 5 -33) / 4.

Пример 3.10. Решить уравнение x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x(x 2 – 5x + 6) = 0,

отсюда x = 0 или x 2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X 1 = 2 , X 2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируемx(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1.Ответ: x 1 = x 3 = 1, x 2 = – 2.Пример 3.12. Решить уравнение7

(x – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Решение. Найдём область допустимых значений x:X + 2  0; x – 6  0; 2x – 7  0 или x  – 2; x  6; x  3,5.Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x 2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x 2 – 4x – 12), раскрываем скобки.7x 3 – 49x 2 + 84x – 14x 2 + 98x – 168 + 4x 3 – 16x 2 – 48x – 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 – 93x 2 + 190x = 0,x(11x 2 – 93x + 190) = 0,x 1 = 011x2 – 93x + 190 = 0, 93(8649 – 8360) 93  17 x 2,3 = = ,

Т.е. x 1 = 5; x 2 = 38 / 11.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x 1 = 0; x 2 = 5; x 3 = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x 6 – 5x 3 + 4 = 0

Решение. Обозначим y = x 3 , тогда исходное уравнение принимает вид

y 2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y 1 = 1; Y 2 = 4.

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности

уравнений: x 3 = 1 или x 3 = 4, т. е. X 1 = 1 или X 2 = 3 4

Ответ: 1; 3 4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x 3 – 27) / (x – 3) = 27

Решение. Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

Доклад

Научный руководитель: Кулабухов Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, педагог дополнительного образования МОУ ДОД ДТДиМ, г. Ростов-на-Дону.

Итак, для u получаем уравнение Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (§ 2.1.5). Рациональные корни нашего уравнения нужно искать среди делителей числа –4. Перебирая все делители, убеждаемся, что рациональных корней у уравнения нет. Однако эта теорема и не была теоремой существования корней. Указанная теорема констатировала лишь следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами существуют рациональные корни (но для них имеется ещё возможность НЕ существовать), то эти корни будут иметь некоторый специальный вид. Тот случай, когда рациональных корней нет, эта теорема и не описывала.

Попробуем найти корни уравнения исходной системы среди иррациональных чисел. Однако для этого придется проявить некоторую изобретательность: стандартная замена для симметрических систем здесь, очевидно не работает.

Возводя второе уравнение в куб, получим: Таким образом, по теореме Виета, и являются корнями квадратного уравнения Отсюда и Значит,

Изучая дополнительную литературу по решению систем уравнений, я встретилась с новым видом систем – симметрические. И я поставила перед собой цель:

Обобщить научные сведения по теме «Системы уравнений».

Разобраться и научиться решать способом введения новых переменных;

3) Рассмотреть основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений

4) Научиться решать симметрические системы уравнений.

История решения систем уравнений.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В 17-18 в. в. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж.

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: а1х + b1у = с1, а2х + b2х = с2 х = с1b1 – с2b; у = а1с2 – а2с1 Решения этой системы выражаются формулами.

а1b2 – а2b1 а1b2 – а2b1

Благодаря методу координат, созданному в 17 в. Ферма и Декартом, стало возможным решать системы уравнений графически.

В древневавилонских текстах, написанных в 3-2 тысячелетиях до н. э. , содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые вводят и уравнения второй степени.

Пример №1:

Площади двух своих квадратов я сложил: 25. сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в соответственной записи имеет вид: х2 + у2 = 25 , у = х = 5

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Пример №2:

«Найти два натуральных числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов 208».

Задачу так же решали составлением системы уравнений, х + у = 20, но решал х2 + у2 = 208

Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, т. е.

(х – у) = z, + (х + у) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не удовлетворяет условию задачи, поэтому, если z = 2х = 12, а у = 8

Понятия системы алгебраических уравнений.

Во многих задачах бывает нужно найти несколько неизвестных величин, зная, что другие, образованные с их помощью величины (функции от неизвестных) равны друг другу или каким-то данным величинам. Рассмотрим простой пример.

Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 огорожен забором длиной 200м. найти длину и ширину участка. Фактически «алгебраической моделью» этой задачи является система из двух уравнений и одного неравенства.

Возможные ограничения-неравенства нужно иметь в виду всегда. Когда вы решаете задачи на составление систем уравнений. Но все же главное – решить сами уравнения. О методах, которые применяются, я и расскажу.

Начнем с определений.

Системой уравнений называется набор из нескольких (больше одного) уравнений, соединенных фигурной скобкой.

Фигурная скобка означает, что все уравнения системы должны выполняться одновременно, и показывает, что нужно найти такую пару чисел (х; у), которая обращает каждое уравнение в верное равенство.

Решением системы называют такую пару чисел х и у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнений в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит, найти все ее решения или установить, что их нет.

Метод подстановки.

Способ подстановки заключается в том, что в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а за тем решают его. Получившиеся значения этой переменной подставляют в любое уравнение исходной системы и находят вторую переменную.

Алгоритм.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение относительно х.

4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5) Записать ответ в виде пар значений (х; у).

Пример №1 у = х – 1,

Подставим во второе уравнение у = х – 1, получим 5х + 2 (х – 1) = 16, откуда х = 2. подставим полученное выражение в первое уравнение: у = 2 – 1 = 1.

Ответ: (2; 1).

Пример №2:

8у – х = 4, 1) 2 (8у – 4) – 21у = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5у = 10 х = 8у – 4, у = -2

2х – 21у = 2

2) х = 8 * (-2) – 4 х = 8у – 4, х = -20

2 (8у – 4) – 21у = 2 х = 8у – 4, у = -2 х = -20, у = -2

Ответ: (-20; -2).

Пример №3: х2 + у +8 = ху, 1) х2 + 2х + 8 = х * 2х у – 2х = 0 х2 + 2х + 8 = 2х2

Х2 + 2х + 8 = 0 х2 + у + 8 = ху, х2 – 2х – 8 = 0 – квадратное уравнение у = 2х х1 = -2 х2 = 4 х2 + 2х + 8 = х * 2х 2) у1 = 2 * (-2) у = 2х у1 = -4 у2 = 2 * 4 х1= -2 у2 = 8 х2 = 4 у = 2х х1 = -2, х2 = 4 у1= -4, у2 = 8

Следовательно (-2; -4); (4; 8) – решения данной системы.

Способ сложения.

Метод сложения заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при полученном сложении образуют уравнение с одной переменной, то, решив это уравнение, мы получим значения одной из переменных. Значение второй переменной находят, как и в способе подстановки.

Алгоритм решения систем способом сложения.

1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.

3. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Пример №1. Решить систему уравнений способом сложения: х + у = 20, х – у = 10

Вычтем из первого уравнения второе, получим

Выразим из второго выражения х = 20 - у

Подставим у = 5 в данное выражение: х = 20 – 5 х = 15.

Ответ: (15; 5).

Пример №2:

Представим в виде разности уравнения предложенной системы, получим

7у = 21, откуда у = 3

Подставим это значение в выраженное из второго уравнения системы х = , получим х = 4.

Ответ: (4; 3).

Пример №3:

2х + 11у = 15,

10х – 11у = 9

Сложив данные уравнения, имеем:

2х + 10х = 15 + 9

12х = 24 х = 2, подставив это значение во второе уравнение, получим:

10 * 2 – 11у = 9, откуда у = 1.

Решением данной системы является пара: (2; 1).

Графический способ решения систем уравнения.

Алгоритм.

1. Построить графики каждого из уравнений системы.

2. Наитии координаты точки пересечения построенных прямых.

Случай взаимного расположения прямых на плоскости.

1. Если прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, тогда система уравнений имеет одно решение.

2. Если прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек, то система уравнений не имеет решений.

3. Если прямые совпадают, т. е. имеют множество точек, тогда система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Пример №1:

Решить графически систему уравнений х – у = -1,

Выразим из первого и второго уравнения у: у = 1 + х, у = 4 – 2х х

Построим графики каждого из уравнения системы:

1) у = 1 + х – графиком функции является прямая х 0 1 (1; 2) у 1 2

2) у = 4 – 2х – графиком функции является прямая х 0 1 у 4 2

Ответ: (1; 2).

Пример № 2: у х + 2у = 6,

4у = 8 – 2х х у = , у = у = - графиком функции является прямая х 0 2 у 3 2 у = - графиком функции является прямая х 0 2 у 2 1

Ответ: решений нет.

Пример № 3: у х – 2у = 2,

3х – 6у = 6 х – 2у = 2, х – 2у = 2 х у = - графиком функции является прямая х 0 2 у -1 0

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Метод введения новых переменных.

Метод введения новых переменных заключается в том, что вводится новая переменная только в одно уравнение или две новых переменных сразу для обоих уравнений, далее уравнение или уравнения решаются относительно новых переменных, после этого остается уже решить более простую систему уравнений, из которой находим искомое решение.

Пример №1:

Х + у = 5

Обозначим = z, тогда =.

Первое уравнение примет вид z + = , оно равносильно 6z – 13 + 6 = 0. Решив получившееся уравнение, имеем z = ; z =. Тогда = либо = , другими словами первое уравнение распалось на два уравнения, следовательно, имеем две системы:

Х + у = 5 х + у = 5

Решения этих систем являются решениями данной системы.

Решением первой системы является пара: (2; 3), а второй- пара (3; 2).

Следовательно, решениями системы + = , х + у = 5

Являются пары (2; 3); (3; 2)

Пример № 2:

Пусть = Х, а = У.

Х = , 5 * - 2У = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5У – 2У = 1

Х = , -9,5У = -19

5 * - 2У = 1 У = 2

Произведем обратную замену.

2 х = 1, у = 0,5

Ответ: (1; 0,5).

Симметрические системы уравнений.

Система с n неизвестными называется симметрической, если она не меняется при перестановки неизвестных.

Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у, v = ху. Заметим, что встречающиеся выражения в симметрических системах выражаются через u и v. Приведем несколько таких примеров, представляющих несомненный интерес для решения многих симметрических систем: х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = u2 - 2v, х3 + у3 = (х + у)(х2 -ху + у2) = u (u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v и т. д.

Симметрическая система трех уравнений относительно неизвестных х у, z решаются подстановкой х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Если найдены u, v, w, то составляется кубическое уравнение t2 – ut2 + vt – w = 0, корни которого t1, t2, t3 в различных перестановках являются решениями исходной системы. Наиболее часто встречающиеся выражения в таких системах выражаются через u, v, w следующим образом: х2 + у2 + z2 = u2 - 2v х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Пример № 1: х2 + ху + у2 =13, х + у = 4

Пусть х + у = u, ху = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 2: х3 + у3 = 28, х + у = 4

Пусть х + у = u, ху = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 – у ху = 3 х = 4 – у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 3: х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13

Пусть х =у = u, ху =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 – у ху = 3 х = 4 – у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 4: х + у = 5, х3 + у3 = 65

Пусть х + у = u, ху = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 5, ху = 4 х = 5 – у, ху = 4 х = 5 – у, у (5 – у) = 4 х = 5 – у у1 = 1 , у2 = 4 х1 = 4, х2 = 1, у1 = 1, у2 = 4

Ответ: (4; 1); (1; 4).

Пример №5: х2 + ху + у2 = 49, х + у + ху = 23

Сделаем замену неизвестных, система примет вид u2 + v = 49, u + v = 23

Сложив эти уравнения, получим u2 + u – 72 = 0 с корнями u1 = 8, u2 = -9. Соответственно v1 = 15, v2 = 32. Остается решить совокупность систем х + у = 8, х + у = -9, ху = 15 ху = 32

Система х + у = 8, имеет решения х1 = 3, у1 = 5; х2=5, у2 =3.

Система х + у = -9, действительных решений не имеет.

Ответ: (3; 5), (5; 3).

Пример №6. Решить систему уравнений.

2х2 – 3ху + 2у2 = 16, х + ху + у + 3 = 0

Используя основные симметрические многочлены u = y + x и v = ху, получим следующую систему уравнений

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Подставляя из второго уравнения системы выражение v = -3 – u в первое уравнение, получим следующее уравнение 2u2 + 7u + 5 = 0, корнями которого являются u1 = -1 и u2 = -2,5; а соответственно им значения v1 = -2 и v2 = -0,5 получается из v = -3 – u.

Теперь осталось решить следующую совокупность систем х + у = -1, и х + у = -2,5 , ху = -2 ху = -0,5

Решениями этой совокупности систем, а значит исходной системы (в силу их эквивалентности), таковы: (1; -2), (-2; 1), (;).

Пример № 7:

3х2у – 2ху + 3ху2 = 78,

2х – 3ху + 2у + 8 = 0

С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде

3uv – 2v = 78,

Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2 – 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v1 = 6 и v2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2 = - из выражения u =.

Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху = -.

х = 5 – у, и у = -х - , ху = 6 ху = -.

х = 5 – у, и у = -х - , у (5 – у) = 6 х (-х -) = -.

х = 5 – у, и у = -х - , у1= 3, у2 =2 х1 = , х2 = - х1 = 2, х2 = 3, и х1 = , х2 = - у1= 3, у2 =2 у1 = -, у2 =

Ответ: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Заключение.

В процессе написания статьи я познакомилась с разными видами систем алгебраических уравнений. Обобщила научные сведения по теме «Системы уравнений».

Разобралась и научилась решать способом введения новых переменных;

Рассмотрела основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений

Научилась решать симметрические системы уравнений.

Цели урока:

• образовательная: обучение решению систем уравнений, содержащих однородное уравнение, симметрических систем уравнений;
• развивающая : развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;
• воспитательная: развитие коммуникативных навыков.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Используемые технологии обучения:

• работа в группах;
• проектный метод.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

За неделю до урока учащиеся получают темы творческих заданий (по вариантам).
I вариант. Симметрические системы уравнений. Способы решения .
II вариант. Системы, содержащие однородное уравнение. Способы решения .

Каждый ученик, используя дополнительную учебную литературу, должен найти соответствующий учебный материал, подобрать систему уравнений и решить её.
По одному учащемуся от каждого варианта создают мультимедийные презентации по теме творческого задания. Учитель при необходимости проводит консультации для учащихся.

I. Мотивация учебной деятельности учащихся

Вступительное слово учителя
На предыдущем уроке мы рассматривали решение систем уравнений методом замены неизвестных. Общего правила выбора новых переменных не существует. Однако, можно выделить два вида систем уравнений, когда есть разумный выбор переменных:

• симметрические системы уравнений;
• системы уравнений, одно из которых однородное.

II. Изучение нового материала

Учащиеся II варианта отчитываются о проделанной домашней работе.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Системы, содержащие однородное уравнение» (презентация 1) .

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся II варианта объясняет соседу по парте решение системы, содержащей однородное уравнение.

Отчёт учащихся I варианта.

1. Демонстрация слайдов мультимедийной презентации «Симметрические системы уравнений» (презентация 2) .

Учащиеся записывают в тетради:

2. Работа в парах учащихся, сидящих за одной партой: учащийся I варианта объясняет соседу по парте решение симметрической системы уравнений.

III. Закрепление изученного материала

Работа в группах (в группу по 4 ученика объединяются учащиеся, сидящие за соседними партами).
Каждая из 6 групп выполняет следующее задание.

Определить вид системы и решить её:

Учащиеся в группах анализируют системы, определяют их вид, затем, в ходе фронтальной работы обсуждают решения систем.

а) система

симметрическая, введем новые переменные x+y=u, xy=v

б) система

содержит однородное уравнение.

Пара чисел (0;0) не является решением системы.

IV . Контроль знаний учащихся

Самостоятельная работа по вариантам.

Решите систему уравнений:

Учащиеся сдают тетради учителю на проверку.

V. Домашнее задание

1. Выполняют все учащиеся.

Решите систему уравнений:

2.Выполняют «сильные» учащиеся.

Решите систему уравнений:

VI. Итог урока

Вопросы:
С какими видами систем уравнений вы познакомились на уроке?
Какой способ решения систем уравнений применяется при их решении?

Сообщение оценок, полученных учащимися в ходе урока.