Сложение вращений вокруг параллельных осей. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей Раздел теоретическая механика

Следует рассмотреть три случая.

1) Вращения имеют одинаковые направления. Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис. 71). Таким телом является диск, представленный на рис. 72. Пересечем оси вращения перпендикулярной прямой. Получим точки пересечения и , в которые можно перенести векторы угловых скоростей и . На отрезке тела в рассматриваемый момент имеется точка , скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки имеем

Точки тела, для которых переносная и относительная скорости параллельны и противоположны, могут находиться только на отрезке между точками и . Скорость точки равна нулю, если Но , . Следовательно,

Прямую, перпендикулярную осям вращения, можно провести на любом расстоянии. Следовательно, существует ось, скрепленная с телом и параллельная осям вращения, скорости точек которой равны нулю в данный момент. Она является мгновенной осью вращения в рассматриваемый момент времени.

Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки , считая ее движение сложным. Получим:

Следовательно,

Для скорости точки при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем

Приравнивая скорости точки , полученные двумя способами, имеем

Согласно (138)

Формулу (138) можно представить в виде:

Образуя производную пропорцию и используя формулу (139), получим

Таким образом, при сложении двух вращений тела вокруг параллельных осей в одинаковых направлениях получается вращение вокруг параллельной оси в том же направлении с угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вращений. Мгновенная ось полученного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям вращений, внутренним образом . Точка при таком делении располагается между точками и .

Справедливо обратное. Вращение вокруг оси с угловой скоростью можно разложить на два вращения вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и .

Тело, участвующее в двух вращениях вокруг параллельных осей, совершает плоское движение. Плоское движение твердого тела можно представить как два вращения, переносное и относительное, вокруг параллельных осей. Плоское движение колеса сателлита 2 по неподвижному колесу 1 (рис. 73) является примером движения, которое можно заменить двумя вращениями вокруг параллельных осей в одном и том же направлении, например против движения часовой стрелки. Колесо сателлита совершает переносное вращение вместе с кривошипом вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и относительное вращение вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью . Оба вращения имеют одинаковые направления. Абсолютное вращение происходит вокруг оси, проходящей через точку , которая является в данный момент МЦС. Она находится в месте соприкосновения колес, если подвижное колесо катится без скольжения по неподвижному. Угловая скорость абсолютного вращения

Абсолютное вращение с этой угловой скоростью происходит в том же направлении, что и составляющие движения.

2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда (рис. 74). Получим следующие формулы:

Для вывода этих формул разложим вращение с угловой скоростью на два вращения в том же направлении вокруг двух параллельных осей с угловыми скоростями и . Ось одного из вращений с угловой скоростью возьмем проходящей через точку и выберем . Другое вращение с угловой скоростью пройдет через точку (рис. 75). На основании (139) и (140) имеем

Справедливость формул (141) и (142) доказана. Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом. Точка при таком делении находится на отрезке за точкой , через которую проходит ось вращения с большей угловой скоростью.

Можно также одно вращение разложить на два вокруг параллельных осей с противоположными направлениями вращения. Примером плоского движения твердого тела, которое может быть представлено двумя вращениями вокруг параллельных осей в противоположных направлениях, является движение колеса сателлита, катящегося внутри неподвижного колеса без скольжения (рис. 76). Переносным в этом случае является вращение колеса 2 вместе с кривошипом с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через точку . Относительным будет вращение колеса 2 вокруг оси, проходящей через точку с угловой скоростью , и абсолютным – вращение этого колеса вокруг оси, проходящей через МЦС, точку , с угловой скоростью . В этом случае и потому угловая скорость абсолютного вращения . Это вращение по направлению совпадает с направлением вращения, имеющим большую угловую скорость. Ось абсолютного вращения расположена вне отрезка за осью вращения с большей угловой скоростью.

3) Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 77). В этом случае . Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки имеем

Составляющие движения являются вращениями с угловыми скоростями и . По формуле Эйлера для них получим

После этого для абсолютной скорости имеем

так как . Учитывая, что , получаем

Так как векторное произведение можно назвать моментом угловой скорости относительно точки , то

Она равна векторному моменту пары вращений, который может быть также выражен векторным моментом одной из угловых скоростей относительно какой-либо точки, расположенной на оси вращения тела с другой угловой скоростью, входящей в пару вращений. Скорость поступательного движения тела, участвующего в паре вращений, зависит только от характеристик пары вращений. Она перпендикулярна осям пары вращений. Числовое ее значение можно выразить как

где – кратчайшее расстояние между осями пары или плечо пары.

Пара вращений аналогична паре сил, действующей на твердое тело. Угловые скорости вращения тела, аналогично силам, являются векторами скользящими. Векторный момент пары сил является вектором свободным. Аналогичным свойством обладает и векторный момент пары вращений.

Если с шестеренкой 2 скрепить прямолинейный отрезок , то он при движении механизма будет оставаться параллельным своему первоначальному положению. Если этот горизонтальный отрезок совместить с дном стаканчика с водой, прикрепив стаканчик к подвижной шестеренке, то вода не выльется из стаканчика при движении механизма в вертикальной плоскости.

При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы. Точка описывает окружность радиуса . Траектории всех других точек подвижной шестеренки будут тоже окружностями такого же радиуса. Тело, участвующее в паре вращений, совершает плоское поступательное движение.

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси укрепленной на кривошипе (рис. 198, а), а переносное - вращением кривошипа вокруг оси параллельной с угловой скоростью Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.

1. Вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение S тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 198, б). Следы осей в сечении 5 обозначим буквами А и В. Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси получает скорость только от вращения вокруг оси ВЬ, следовательно, Точно так же

При этом векторы параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (см. § 56, рис. 153, б) является мгновенным центром скоростей а следовательно, ось параллельная осям и ВЬ, является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости со абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т. е. точки С, Воспользуемся равенством [см. § 56, формула (57)]

Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства найдем окончательно:

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным; положение этой оси определяется пропорциями (98).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны. Изобразим опять сечение S тела (рис. 199) и допустим для определенности, что шсоз. Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, найдем, что скорости точек А и В будут численно равны: при этом параллельны друг другу и направлены в одну сторону.

Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С (рис. 199), причем

Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения найдем окончательно:

Итак, в этом случае результатирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси положение которой определяется пропорциями (100).

3. Пара вращений. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны (рис. 200), но по модулю .

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы образуют пару угловых скоростей. В этом случае получаем, Тогда (см. § 56, рис. 153, а) мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результатирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы направление вектора v определяется так же, как в статике определялось направление момента пары сил (см. § 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) движению со скоростью v, равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

1. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью . Оси вращений пересекаются в точке О (рис.49.а)

Примером тела, участвующего в двух вращениях вокруг пересекающихся осей, является диск А, свободно насаженный на ось ОО" и вращающийся вокруг нее с угловой скоростью . Вместе с осью ОО" диск еще вращается вокруг другой

оси О 1 О 2 (рис.49.б) с угловой скоростью .

По теореме о сложении скоростей для точки М имеем

Так как переносное и относительное движения являются вращениями вокруг осей, то

где h 1 и h 2 - кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения. Площади треугольников в параллелограмме равны, поэтому .

При сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей, одно из которых переносное, а другое - относительное, получается вращение тела вокруг мгновенной оси.

Для определения абсолютной угловой скорости вращения вокруг мгновенной оси выберем на теле точку N и вычислим ее скорость один раз как скорость сложного движения, а другой - как вращения вокруг мгновенной оси. По формуле Эйлера для вращательных движений при сложном движении имеем

Для абсолютного вращения вокруг мгновенной оси

Приравнивая скорости, получаем

т. е. угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

2. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Следует рассмотреть три случая.

1) Вращения имеют одинаковые направления . Тело участвует в двух вращениях: переносном с угловой скоростью и относительном с угловой скоростью (рис.50). На отрезке АВ тела в рассматриваемый момент имеется точка С, скорость которой равна нулю. Действительно, по теореме сложения скоростей для точки С имеем

Скорость точки С равна нулю, если . Но , . Следовательно,

Для определения угловой скорости вращения тела вокруг мгновенной оси вычислим скорость точки В, считая ее движение сложным. Получим

Следовательно,

Для скорости точки В при вращении тела вокруг мгновенной оси имеем

Приравнивая скорости точки В, полученные двумя способами, имеем

Согласно (*),

Формулу (*) можно представить в следующем виде:

Образуя производную пропорцию и используя формулу (**), получим

между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений, внутренним образом.

2) Вращения имеют противоположные направления. Рассмотрим случай, когда . Получим следующие формулы:

Таким образом, при сложении двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей в противоположных направлениях получается вращение вокруг параллельной оси с угловой скоростью, равной разности угловых скоростей составляющих вращений в сторону вращения с большей угловой скоростью. Ось абсолютного вращения делит отрезок между осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональные угловым скоростям этих вращений внутренним образом.

3. Пара вращений. Парой вращений называется совокупность двух вращений твердого тела, переносного и относительного, вокруг параллельных осей с одинаковыми угловыми скоростями в противоположных направлениях (рис. 52).

В этом случае Рассматривая движение тела как сложное, по теореме сложения скоростей для точки М имеем

Заменяя в формуле (~)на , соответственно получим

Объединяя результаты, имеем

Таким образом, если твердое тело участвует в паре вращений, то скорости всех точек тела, согласно (~~), одинаковы, т. е. тело совершает при этом мгновенное поступательное движение.

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси , укрепленный на кривошипе вокруг оси с угловой скоростью .

Если и параллельны, то движение тела будет плоско-параллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям.

Исследуем отдельно случаи, когда вращения направлены в одну и в разные стороны.

6.2.1. Вращения направлены в одну сторону.

Изобразим сечение (S) тела, плоскостью, перпендикулярной осям. Следы осей в сечении (S) изображены буквами А и В. Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси Аа / , получает скорость только от вращения вокруг оси Вв / , следовательно . Точно также . При этом векторы и параллельны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С является МЦС (), а следовательно ось Сс / , параллельна осям Аа / и Вв / является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси Сс / и положения самой оси, т.е. точки С, воспользуемся равенством

Из свойств пропорций получим

Подставляя и , получим:

С течением времени мгновенная ось вращения Сс / будет менять свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

6.2.2. Вращения направлены в разные стороны.

Допустим для определения . Рассуждая, как и в предыдущем случае

При этом и направлены в одну сторону.

Тогда мгновенная ось вращения проходит через точку С, причем

или свойствам пропорций

Подставляя значения и , получим

Итак, в этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси Сс / , положение которой определяется пропорцией

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Раздел теоретическая механика

Техническая механика.. раздел теоретическая механика.. тверь г..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Аксиомы статики
Данные аксиомы сформулированы на основе наблюдения и изучения окружающих нас явлений реального мира. Некоторые основные законы механики Галилея – Ньютона являются одновременно и акс

Система сходящихся сил
2.1.1 Равновесие твёрдого тела, к которому приложена система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии, действия которых пересекаются в одной точке. Теорема. Систе

Произвольная плоская система сил
2.2.1 Равновесие твёрдого тела при наличии плоской системы сил. Случай параллельных сил. Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по мод

Системы сходящихся сил
Равнодействующую пространственной системы сил можно определить, построив пространственный многоу

Произвольная пространственная система сил
3.2.1. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве. В случае плоской системы сил момент силы относительно точки определён как алгебраическая вел

Центр тяжести
Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объёму тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твёрдого тела, образуют систему сил,

Кинематика
1. ВВЕДЕНИЕ Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных точек и тел в пространстве с геометрической точ

Поступательное движение тела
Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, пров

Вращательное движение твердого тела
Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывает окружности, центр

Уравнения равномерного вращения тела
Вращение тела с постоянной угловой скоростью называется равномерным Проинтегр

Уравнения равнопеременного вращения тела
Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называется равнопеременным вращением. Если величина

Сложение скоростей
Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени

Сложение ускорений. Теорема Кориолиса
Найдем зависимость между абсолютным, относительным

Мгновенный центр скоростей (МЦС)
МЦС называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Теорема. Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то МЦС существует. До

Определение скорости точки плоской фигуры с помощью МЦС
Выберем за полюс точку Р. Тогда скорость произвольной точки А, т.к.

Ускорения точек при плоском движении
Покажем, что ускорение любой точки М тела при плоском или параллельном движении (так же как и скорость) складывается из ускорений, которые она получает в поступательном и во вращательном дви

Мгновенный центр ускорений (МЦУ)
МЦУ называется точка плоской фигуры, ускорение которой равно нулю. Если в данный момент времени задано ускорение какой-то точки А –

Частные случаи определения МЦУ
1. Известна точка, ускорение которой равно нулю. Эта точка и является МЦУ. Например, к

Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении
1. Если известен закон изменения угла поворота или угловой скорости от времени, то угловое ускорение

Сложение поступательных движений
Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью

Пара вращений
Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Когда аб

Сложение поступательного и вращательного движений
6.5.1. Скорость поступательного движения перпендикулярно к оси вращения (┴

Законы динамики
В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений. Систематически эти законы впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Матем

Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки
Для свободной материальной точки задачами динамики являются: 1. Зная закон движения, определить действующую на нее силу (первая задача динамики) 2. Зная действующую силу, определи

Прямолинейное движение точки
Из кинематики известно, что при прямолинейном движении скорость и ускорение точки все время направлены вдоль одной и той же прямой. Так как направление ускорения совпадает с направлением действия с

Криволинейное движение точки
Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил

Количество движения и кинетическая энергия точки
Это основные динамические характеристики движения. Количеством движения точки называется векторная величина

Импульс силы
Для характеристики действия, оказываемого на тело силой за некоторый промежуток времени, вводим понятия об импульсе силы. Элементарным импульсом силы называется векторная величина

Теорема об изменении количества движения точки
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение, то уравнение (3) (

Работа силы. Мощность
Для характеристики действия, оказываемое силой на тело при некотором его перемещении, вводится

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Рассмотрим точку массой m, перемещающуюся под действием приложенных к ней сил из положения М0, где она имела скорость V0 в положение М1,

Теорема об изменении момента количества движения
(теорема моментов). Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора (m

Прямолинейные колебания точки
4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления. Рассмотрим точку М, движущуюся под действием одной только восстанавливающей силы F, направленной к непо

Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)
Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивления среды, считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости:

Вынужденные колебания. Резонанс
Рассмотрим случай колебаний, когда на точку, кроме восстанавливающей силы F, действует ещё периодически изменяющаяся со временем сила

Механическая система
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных. Мате

Масса системы. Центр масс
Движение системы, кроме действующих сил, зависит от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, обр

Дифференциальные уравнения движения системы
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой mк. Обозначим равнодействующие всех приложенных к точке

Теорема о движении центра масс
Сложим почленно левые и правые части уравнения (3). (4) Преобразуем ле

Закон сохранения движения центра масс
Из теоремы о движении центра масс можно получить важные следствия. 1). Пусть сумма внешних сил, действующая на систему, равна нулю

Количество движения системы
Количеством движения системы будем называть векторную величину, равную геометр

Теорема об изменении количества движения
Рассмотрим систему, состоящую из «n» материальных точек, составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (2) и сложим их почленно

Закон сохранения количества движения
Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить важные следствия. 1). Пусть сумма всех внешних сил действующих на систему равна нулю:

Момент инерции тела относительно оси
Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью.

Главный момент количества движения системы
Главным моментом количества движения (или кинематическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина К0, равная геометрической сумме моментов количе

Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов)
Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки, будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой mк, имеющую скорос

Закон сохранения главного момента количества движения
Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия. 1). Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Кинетическая энергия системы
Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы.

Некоторые случаи вычисления работы
Рассмотрим следующие случаи. 1). Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа силы тяжести, действующая на частицу веса Рк будет равна

Теорема об изменении кинетической энергии системы
Показанная в п. 3.5. теорема справедлива для любой точки системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой mк имеющую скорость Vк, то

Потенциальное силовое поле и силовая функция
Работа на перемещениесилы F приложенной в точке

Потенциальная энергия
Для потенциальных сил можно вывести понятие о потенциальной энергии, как о величине, «характеризующей запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового пол

Рис.44

Предположим, что твердое тело вращается вокруг некоторой оси, которая в свою очередь вращается вокруг другой, неподвижной оси, ей параллельной. Зная угловую скорость вращения тела вокруг подвижной оси и угловую скорость вращения самой оси вокруг неподвижной оси, определим абсолютное движение тела. Относительным движением в данном случае является вращение твердого тела вокруг оси по отношению к системе координат

в свою очередь вращающейся вокруг оси Oz неподвижной (абсолютной) системы координат Oxyz ; вектор угловой скорости вращения тела вокруг оси ", направленный вдоль этой оси, обозначим и назовем относительной угловой скоростью. Вращение самой системы координат

по отношению к системе Oxyz будет переносным движением; вектор угловой скорости этого вращения, направленный по оси Oz , обозначим и назовем переносной угловой скоростью. Заметим прежде всего, что из условия параллельности векторов и все точки тела как в относительном, так и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к этим векторам, следовательно, абсолютное движение тела будет плоским. Точка М этой плоской фигуры, имеющая вектор-радиус по отношению к О" и вектор-радиус по отношению к О , будет двигаться с абсолютной скоростью , равной

С другой стороны, рассматриваемое плоское движение можно представить как мгновенное вращение около оси, проходящей через мгновенный центр и перпендикулярной к плоскости движения. Чтобы найти положение этой оси, обозначим вектор-радиус мгновенного центра Р через и напишем условие, что абсолютная скорость точки плоской фигуры Р равна нулю. Полагая в равенстве (2.41) и получим

Рис.45.

Умножим обе части этого равенства векторно на единичный вектор оси Oz; тогда, раскрывая двойное векторное произведение и так как вектора и перепендикулярны единичному вектору , получим: , где и согласно принятым обозначениям представляют алгебраические величины угловых скоростей (знак плюс, если вращение положительно для наблюдателя, смотрящего с оси Oz или знак минус в противоположном случае). Итак, при

(2.43)

Из последнего равенства видно, что при любых зависимостях между и мгновенный центр Р находится на линии 00" .Чтобы найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра, вычтем (2.42) из (2.41); получим:

Это - формула вращательной скорости вокруг точки Р, с абсолютной угловой скоростью, равной

Итак, рассматриваемое абсолютное движение твердого тела эквивалентно вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр Р , с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме переносной и относительной угловых скоростей. Отметим возможные случаи расположения мгновенной оси.

Рис.46.

же знак, например положительный. В этом случае из уравнений (2.43) видно, что точка лежит между центрами О и на расстояниях, обратно пропорциональных величинам угловых скоростей (рис 46). Абсолютная угловая скорость вращения вокруг оси, проходящей через точку Р , по (63) равна сумме угловых скоростей.

2. Направление вращений различно, т. е. и имеют различные знаки, например > 0, a < 0, причем положим для определенности, что > . В этом случае из формулы (62) следует: .Точка Р , следовательно, лежит за точкой О .

В качестве приложения рассмотрим вопрос об определении угловых скоростей в эпициклическом зацеплении зубчатых колес (рис.47).Обычно эпициклическим или планетарным механизмом называют сцепление двух или нескольких колес, из которых одно вращается около неподвижной оси, другие - около осей, закрепленных на подвижной рукоятке, причем зацепление может быть как внешним, так и внутренним. Колеса, соединенные с вращающейся рукояткой, называют сателлитами.

Рис. 47.

Выведем общее соотношение между угловыми скоростями колес и рукоятки по отношению к основанию механизма в случаях внешнего и внутреннего зацепления. На рисунке все угловые скорости показаны в направлении по часовой стрелке; знак в дальнейшем покажет истинное направление вращений. Угловая скорость рукоятки обозначена через .Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью (- ), равной по величине угловой скорости рукоятки, но противоположной ей по направлению. Тогда по теореме о сложении угловых скоростей основание механизма станет подвижным звеном, имеющим угловую скорость (- ), а рукоятка, наоборот, станет неподвижной и будет играть роль основания механизма. Механизм с перемещающимися осями превратится при этом в систему зубчатых колес с неподвижными осями, но угловые скорости колес будут уже равны соответственно и . Тогда, пользуясь известным соотношением между угловыми скоростями и радиусами, найдем:

здесь знак "-“ для внешнего зацепления и “+“ для внутреннего.

3. Направления вращений различны, но угловые скорости их равны по величине ( =- ).Этот случай представляет некоторую особенность, так как векторы и образуют пару векторов. В этом случае имеет место мгновенно-поступательное движение тела.

Объединяя все три случая, приходим к следующему результату: при сложении вращений вокруг параллельных осей угловые скорости складываются так же, как параллельные силы в статике. При проведении этой аналогии переносная и относительная угловые скорости рассматриваются как слагаемые силы, а абсолютная угловая скорость соответствует равнодействующей силе.

2. Теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей.

Рис.48.

Пусть относительное вращение тела с относительной угловой скоростью происходит вокруг оси Oz" , а переносным движением является вращение системы Ox"y"z" с переносной угловой скоростью вокруг неподвижной оси Oz , пересекающейся с осью Oz" в точке О . Абсолютным движением будет движение тела по отношению к системе координат Oxyz . Рассматриваемое абсолютное движение тела является вращением вокруг неподвижного центра О . Всякое вращение тела вокруг неподвижного центра можно представить как вращение вокруг некоторой мгновенной оси. Определим направление мгновенной оси и найдем вектор абсолютной угловой скорости вращения тела. Для этого возьмем какую-нибудь точку М тела с вектор-радиусом и напишем по теореме о сложении скоростей: в данном случае