Упругие постоянные кристаллов. I

Константы упругости

Количественно упругость характеризуется константами, свойственными каждому материалу. При этом необходимо учитывать, что большинство свойств, кроме плотности и теплоемкости, связано с анизотропией структуры. Упругость является ярко выраженным анизотропным свойством. Поэтому следует различать упругость кристаллов и анизотпропных материалов и упругость изотропных тел.

Поликристаллические тела и материалы в целом изотропны, анизотропия их свойств проявляется только в результате формования или обработки, например прессования, штампования, прокатки, уплотнения и т.п. Таким образом, формируется анизотропия свойств керамической плитки, черепицы, стального листа и т.д. В дальнейшем рассматривается упругость только изотропных свойств, для которых не применимы представления об ориентированных кристаллографических осях и пр.

С учетом вышеизложенного для большинства природных и искусственных материалов (горные породы, керамика, бетон, металлы и т.д.) при малых деформациях зависимости между напряжениями «σ» и деформациями «ε» можно считать линейными (рис. 5.2) и описывать обобщенным законом Гука :

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

Подобным образом напряжение сдвига «τ» прямо пропорционально относительной деформации сдвига или углу сдвига у(рис. 5.3):

где G - модуль сдвига.

Рис. 5.2. Классическая зависимость напряжение - деформация:

А - керамики; В - металлов; С - полимеров

Рис. 5.3. Упругая деформация твердого тела при сдвиге

Удлинение образца при растяжении сопровождается уменьшением его толщины (рис. 5.4). Относительное изменение толщины Δl/l к относительному изменению длины Δd/d называется коэффициентом Пуассона «μ» или коэффициентом поперечного сжатия:

μ = (Δl/l) / (Δd/d).

Рис. 5.4. Упругая деформация твердого тела при растяжении

Если при деформации тела его объем не изменяется, а это может иметь место только при пластическом или вязком течении, то μ = 0,5. Однако, практически, эта величина значительно ниже теоретического показателя и для разных материалов она различна. Упругие материалы (бетон, керамика и др.) имеют невысокие значения коэффициента Пуассона (0,15-0,25), пластичные (полимерные материалы) - более высокие (0,3-0,4). Это объясняется зависимостью между силами притяжения и отталкивания и изменением межатомного расстояния при деформации.

Модуль Юнга

Модуль Юнга, или модуль продольной деформации Е показывает критическое напряжение, которое может иметь структура материала при максимальной ее деформации до разрушения; имеет размерность напряжений (МПа).

Где: σ р – критическое напряжение.

У поликристаллических материалов обычно наблюдаются отклонение от линейной σ = ƒ(ε,), несвязанное с энергией кристаллической решетки, а зависящей от структуры материала. Для оценки упругих свойств таких материалов применяют два модуля упругости: касательный Е = tgα и секущий V= tgβ, который называют модулем деформаций (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Схематическое изображение деформации огнеупоров:

а - кривая деформации; б - точка разрушения;

σ; - предельное напряжение при разрушении; ε - деформация

Величина модуля упругости двухфазной системы является средней между величинами модулей упругости каждой из фаз, и аналитическое выражения для ее нахождения аналогичны тем, что используются при различных значениях линейного КТР.

Код для блога:

МОДУЛИ УПРУГОСТИ (упругие постоянные), величины, характеризующие упругие свойства твердых тел (см. Упругость). Модули упругости - коэффициент в зависимости деформации от приложенных механических напряжений (и наоборот). В простейшем случае малых деформаций эта зависимость линейная, а модуль упругости - коэффициент пропорциональности (см. Гука закон).

Число модулей упругости для анизотропных кристаллов достигает 21 и зависит от симметрии кристалла. Упругие свойства изотропного вещества можно описать 2 постоянными (см. Ламе постоянные), связанными с модулем Юнга Е = ?/? (? - растягивающее напряжение, ? - относительное удлинение), коэффициент Пуассона? = ??y?/?х (?y - относительное поперечное сжатие, ?х - относительное продольное удлинение), модулем сдвига G = ?/? (? - угол сдвига, ? - касательное напряжение) и с модулем объемного сжатия К = ?/? (? - уменьшение объема).

Модули упругости данного материала зависят от его химического состава, предварительной обработки, температуры и др.

Как это будет выглядеть:

Упругие постоянные кристаллов. I

Содержание: Общие представления. Введение. Напряжение и деформация. Модули упругости и постоянные упругости. Упругость в «классической форме». Тензорные обозначения и уравнение движения. Физический смысл упругих постоянных. Атомистические теории упругих постоянных. Другие тензорные свойства. Взаимосвязь теории упругости с другими разделами физики. Экспериментальные методы. Статические измерения. Динамические измерения. Использование взаимодействия решетки с излучением. Упругие постоянные различных веществ. Щелочно-галоидные соединения. Одновалентные металлы. Многовалентные металлы. Кристаллы с решеткой алмаза или цинковой обманки. Инертные газы в твердом состоянии. Ферромагнитные материалы. Пьезоэлектрические материалы. Поликристаллические материалы. Изменение упругих постоянных с температурой и давлением. Сводка экспериментальных результатов. Теория уравнения состояния. Влияние состава, фазовых изменений и релаксационных явлений. Неупругие эффекты. Некоторые сплавы и смеси.Влияние разбавленных твердых растворов. Влияние фазовых переходов на упругие постоянные. Влияние сверхпроводимости. Влияние дислокаций. Действие радиационных нарушений. Электронная релаксация при низких температурах.

ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 2 (8), стр. 2GG 270

УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ВЫСОКИХ ДАВЛЕНИЯХ

О. М. Красильников* Ю. X. Векилов, И. Ю. Мосягин

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» 119049, Москва, Россия

Дано определение изотермических и адиабатических упругих постоянных /?-го порядка (/? > 2) нагруженного кристалла. Эти постоянные полностью характеризуют упругое поведение твердого тела при произвольной нагрузке и определяются не только межатомным взаимодействием, но и внешней нагрузкой. Для кристаллов кубической симметрии, находящихся под гидростатическим давлением, найдены соотношения, связывающие эти постоянные (второго, третьего и четвертого порядков) с упругими постоянными типа Браггера соответствующего порядка, которые определяются только межатомным взаимодействием. С использованием полученных соотношений уравнение состояния и упругие постоянные второго и третьего порядков ОЦК-тантала при Т = 0 рассчитаны методом функционала электронной плотности в широком интервале давлений (0-600 ГПа). Полученные в работе результаты по уравнению состояния и упругим постоянным второго порядка согласуются с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов.

1. ВВЕДЕНИЕ

Для анализа структурных превращений в твердых телах под давлением необходима информация об упругих постоянных (УП) различного порядка (2, 3 и 4) . Эти постоянные определяют (с учетом ангармонических поправок) скорость звука и, соответственно, частоты длинноволновых акустических колебаний, соотношение «напряжение деформация», характер фазовых переходов, обусловленных потерей устойчивости кристаллической решетки к однородным деформациям. Экспериментальное определение УП под давлением (особенно постоянных выше второго порядка) задача трудная, поэтому значение приобретают вычисления УП различного порядка с помогцыо компьютерного моделирования. В последние несколько лет опубликован целый ряд работ по расчету в рамках теории функционала плотности УП второго порядка металлов с кубической решеткой в мегабарном диапазоне давлений . В работах УП Та, V, Мо, N1) и \¥ находились как вторые производные свободной энергии по компонентам тензора бесконечно малых деформаций. Упругие постоянные Р1 и Си опреде-

E-mail: omkrasö"mail.ru

лялнсь в работах из соотношений «напряжение деформация» (закон Гука), деформированное состояние задавалось с помощью тензора бесконечно малых деформаций. В работах для нахождения УП второго порядка алюминия и ванадия использовалось разложение свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций.

Результаты расчета УП третьего и четвертого порядков ряда веществ с кубической решеткой (Си, А1, Аи и Ag) при атмосферном давлении приведены в работе . УП находились из разложения свободной энергии по компонентам тензора конечных деформаций Лагранжа. Свободная энергия вычислялась методом функционала плотности. Аналогичный расчет УП третьего порядка ванадия в интервале 0 800 ГПа проведен в работе .

Разнообразие в способах вычисления упругих постоянных связано с различными определениями этих величин (см., например, ). В ненагружен-ном состоянии все эти определения дают для УП второго порядка одни и те же значения. Однако в случае нагруженного кристалла вычисления приводят к различным величинам этих постоянных.

В настоящей работе дано определение упругих постоянных /¿-го порядка (п > 2), пригодное для описания упругих свойств как нагруженного кри-

паI.т. так и кристалла в отсутствие нагрузки. В качество примера рассчитаны УП второго и третьего порядков ОЦК-тантала в широком интервале давлений.

2. УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ НАГРУЖЕННОГО КРИСТАЛЛА

Стандартное определение упругих постоянных /¿-го порядка дано в работе

(дпР То \дцидг1к1 1 (;)"("

То Кдщдг/и

Здесь Суд,; и Суд/ соответственно изотермические и адиабатические УП /7-го порядка (п > 2), ^и и соответственно свободная и внутренняя энергии кристалла, 1"о объем в не деформированном состоянии; //у компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа . Производные в (1) вычисляются при постоянной температуре Т и энтропии 5". Если а/., = ()г/. / <)!■,",. где гд, и Д, декартовы координаты точки тела, соответственно, в деформированном и не деформированном состояниях, то

Чи = т^"/.,",..;

где ¿>у символ Кронокора (по повторяющимся индексам здесь и в дальнейшем идет суммирование от 1 до 3). Компоненты тензора //у можно выразить через градиенты смещений иу = д-и^/дЩ [и, = = г, - в результате //у = и у + и^и^;/2 (вращение кристалла отсутствует). Если квадратичным слагаемым можно пренебречь, получаем тензор бесконечно малых деформаций ¡./у.

Упругие постоянные (1) полностью определяют упругое поведение нонагружонного кристалла. В нагруженном состоянии эти постоянные не учитывают работу, которая должна быть совершена против внешней нагрузки силами, вызванными дополнительной малой деформацией у. В работах рассмотрены так называемые эффективные УП для случая гидростатического давления. Эти постоянные учитывают как изменение свободной или внутренней энергии кристалла при деформации вблизи исходного состояния при заданном давлении Р, так и работу против гидростатического давления силами, обусловленными этой деформацией. Обобщая результаты этих работ, изотермические и адиабатические упругие постоянные различного поряд-

ка можно определить как соответствующие производные потенциала Гиббса С или энтальпии Н по компонентам тензора конечных деформаций //у при заданной нагрузке:

¡.¡и... - т-

1-0 \дццдщ./...

и о дщд1,к1

где п > 2. Суд,/ и Суд,/ полностью описывают упругое поведение кристалла при произвольном нагружонии. В случае гидростатического давления С = Р + Р\~, Н = и + РV. В отсутствие нагрузки определения (3) совпадают с (1). Аналогичное соотношение для изотермических УП второго порядка приведено в .

Величины Суд/... определяются не только межатомным взаимодействием, но и непосредственно приложенной нагрузкой и, в отличие от постоянных (1), обладают полной фойгтовской симметрией к перестановке индексов только при гидростатическом давлении (при других видах нагрузки такой симметрии пет) . Кроме того, для них соотношения Копти выполняться но могут, поскольку эти постоянные включают в себя внешнюю нагрузку. Как следует из работы , при использовании УП второго порядка Суд/ уравнение Кристоффеля, определяющее скорость звуковых воли в кристалле, имеет одинаковый вид как для нонагружонного, так и нагруженного кристаллов. То же относится и к условиям устойчивости кристалла , а также к соотношению «напряжение деформация» : в обоих случаях они имеют одинаковый вид.

Пользуясь соотношением (3), найдем выражение для изотермических УП второго четвертого порядков при гидростатическом давлении. Изменение потенциала Гиббса при деформации //у при давлении Р и температуре Т на единицу объема в недеформи-рованном состоянии равно

АС _ АР АУ У0 То К) Здесь ДС = С(Р,Т,"Г1)-С(Р,Т, 0), АР = Р(П. Т. //) - - Р(Р,Т,0), ДГ = V - Ко изменение объема в результате деформации, заданной компонентами тензора конечных деформаций Лагранжа »/у. Разложим ДС и в ряд по "//у до четвертого порядка включительно:

77 (<.Д1"/<./""М" + "7 (/./"/ //к»"//./""// /"/»<"" + 0 ^ О

I 2| С"ГД/ п) г, (.■11 Ьп г, ■ (5)

Таблица 1. Соотношения между и

н СЦ 1 = СЦ 1 + 2>Р Clin = Сии - 15Р Cl255 = С12.5.5 + Р

Cll2 = Си 2 - Р С1112 = С1112 + 3 Р С1266 = С1266 - Р

с12 = Ci2 + Р Cl23 = Ci23 + Р Сц22 = Сц22 + Р С1456 = Ci4.56 - Р

С144 = С144 - Р Сц 23 = Сц23 - Р С4444 = С4444 - 3 Р

D1 нСа. tfb II С155 = Ci.5.5 + Р С1144 = С1144 + Р С44.5.5 - С44.5.5 р

С4.56 = С4.56 + Р Сц.5.5 = Сц.5.5 - 2>Р

Таблица 2. Уравнение состояния и упругие постоянные тантала

\ о, А3 Р ГПа Сц, ГПа С12, ГПа С44, ГПа -Chi , ГПа Сц2, ГПа С123, ГПа С144, ГПа Ci.5.5, ГПа С4.56, ГПа

18.80 ^4.82 238.5 144.5 63.48 2258 664.9 32.9 407.8 308.9 152.1

17.97 3.87 285.4 172.0 72.58 2632 741.0 27.6 467.9 332.2 206.1

1G.38 2G.82 393.5 239.4 91.44 3374 938.8 47.9 618.7 395.6 362.6

14.90 59.43 530.6 330.8 111.4 3904 1307 - 838.7 588.5 601.3

13.50 105.3 699.1 458.57 127.4 - 2043 - 1274 1110 962.6

12.19 1G9.G 900.5 648.3 160.7 6491 2571 - 1780 1759 1437

10.98 262.1 1333 909.7 272.0 12774 2977 601.2 2362 2259 2130

9.84 398.3 1885 1256 422.5 16981 3424 1839 3049 3163 3034

8.79 597.1 2606 1803 620.3 21365 5125 2512 4244 4346 4192

В (5) линейный член разложения отсутствует, поскольку система находится в равновесии:

Vii + 77 ■ ijU>lij>IU + 77 ^ ijkimnVijVklVmn + О ^ О

I ^ijklmnpq4ij4klЧтп"Чрд

Так как AV/Vo = <7 - 1, где J = dot |a:y| , выразим a.jj через j/y, используя соотношение (2). В результате, удерживая слагаемые до четвертого порядка по //,;. получим 1

"и = ¿у + Щ - -rikir)kj +

1...... 5........

I пVrkVriVkj 0 VkjVmkVmnVni (") I О

Подстановка выражений для AG/I"o и AF/Vq в (4) позволяет выразить УП Суд./... через постоянные

Браггера Суд./... и давление Р. Кристаллы кубической симметрии (группы 43т, 432, ^З^) имеют три независимые УП второго порядка Сар, шесть постоянных третьего порядка и одиннадцать четвертого порядка Упругие постоянные даны в обозначениях Фойгта: а,3,... принимают значения от 1 до 6 в соответствии с правилом: 11 -1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5 и 12 6. Соотношения между Сац... и постоянными Браггера приведены в табл. 1.

В работах показано, что УП второго порядка Сац можно также получить как вторые производные свободной (или внутренней) энергии при заданном давлении Р по компонентам тензора бесконечно малых деформаций и у. Но ситуация с УП второго порядка исключение, связанное с тем, что в выражении для //у помимо линейного по ¡./у слагаемого имеется и квадратичное. Для УП при

О ТЕПЛОВОМ РАСШИРЕНИИ КРИСТАЛЛОВ ИЗОТОПОВ ЛИТИЯ

МАГОМЕДОВ М.Н. - 2009 г.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И УПРУГИЕ ПОСТОЯННЫЕ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ ПРИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ДАВЛЕНИЯХ

КРАСИЛЬНИКОВ О.М. - 2007 г.

Количественно упругость характеризуется константами, свойственными каждому материалу. При этом необходимо учитывать, что большинство свойств, кроме плотности и теплоемкости, связаны с анизотропией структуры. Поэтому следует различать упругость кристаллов и анизотропных материалов и упругость изотропных тел.

Поликристаллические тела и материалы в целом изотропны, и анизотропия их свойств проявляется только в результате их формования или обработки, например прессования, штампования, проката, уплотнения и т.п. Таким образом, формируется анизотропия свойств керамической плитки, черепицы, стального листа и др. Поэтому в дальнейшем предполагается рассматривать упругость изотропных свойств, для которых неприменимы представления об ориентированных кристаллографических осей и др.

С учетом изложенного, в большинстве природных и искусственных материалов (например, в горных породах, древесине. керамике, бетоне, металлах) при малых деформациях зависимости между напряжениями s и деформациями e можно считать линейными (рис. 4.10) и описывать обобщенным законом Гука

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

Рис. 4.10. Классическая зависимость напряжение – деформация:
А – керамики; В – металлов; С – полимеров

Подобным образом напряжение сдвига t прямо пропорционально относительной деформации сдвига или углу сдвига g (рис. 4.11):

где G –модуль сдвига.

Рис. 4.11. Упругая деформация твердого тела при сдвиге

Если образец удлиняется при растяжении, это сопровождается уменьшением его толщины (рис. 4.12). Относительное изменение толщины Dd/d к относительному изменению длины Dl/l называется коэффициентом Пуассона m или коэффициентом поперечного сжатия:

m = (Dd/d)/ (Dl/l).

Рис. 4.12.Упругая деформация твердого тела при растяжении

Если при деформации тела его объем не изменяется, а это может иметь место только при пластическом или вязком течении, то m = 0,5. Однако практически эта величина значительно ниже теоретической и для различных материалов она различна: для упругих она ниже, для пластичных – выше. Это объясняется зависимостью между силами притяжения и отталкивания и изменением межатомного расстояния при деформации. Для хрупких материалов с ионно-ковалентной связью (бетон, керамика и др.) m колеблется в пределах 0,17¸0,25, а для пластичных и эластичных, свойства которых обеспечиваются силами межмолекулярного взаимодействия (полимерные материалы) – 0,3¸0,4.

При всестороннем сжатии (растяжении) изменение напряжения s вдоль трех осей Dx·Dy·Dz/xyz характеризуется объемным модулем упругости К или модулем всестороннего сжатия (растяжения) и рассчитывается по формуле

К= s / (Dx·Dy·Dz/xyz).

Следует заметить, что с учетом сил притяжения Кулона и потенциала отталкивания К растет с уменьшением расстояния между атомами, повышением валентности и атомной плотности.

Таким образом, упругость характеризуется четырьмя константами, которые определяют физическую сущность структуры и взаимосвязь ее основных параметров в системе "деформация - напряжение":

· модуль Юнга E, характеризующий меру жесткости тела;

· модуль сдвига G, показывающий долю необратимой или пластической составляющей деформации;

· модуль Пуассона m, характеризующий поперечные деформации;

· объемный модуль К, показывающий долю всестороннего сжатия (растяжения) при деформации твердого тела.

Взаимосвязь констант упругости можно представить в виде формул, которые используются в расчетах:

G = Е/2 (1 + m); К = Е/3 (1 - 2m).

Для того, чтобы понять какую роль играет каждая из констант во взаимосвязи напряжение – деформация и какие факторы влияют на их количественную оценку для различных материалов, следует более детально рассматривать каждый модуль упругости.

В настоящей работе ограничимся изучением модуля Юнга, т.к. он является определяющим для трех других модулей упругости.