График потенциальной энергии пружинного маятника. Свободные колебания

1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.

2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.

Выражение для циклической частоты имеет вид:

где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, m - масса.

Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы - в данном случае жесткостью k и массой m.

Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Скорость движения средняя путевая скорость мгновенная скорость/ скорость движения

Кинема тика точки раздел кинематики изучающий математическое описание движения материальных точек основной задачей кинематики является.. основная задача механики определить положение тела в любой момент времени.. механическое движение это изменение положения тела в пространстве с течением времени относительно других тел..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Энергия упругой волны
вектор плотности потока энергии физического поля; численно равен энер

Закон Максвелла распределения молекул по скоростям теплового движения
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на ка

Теплота
Теплота - один из двух, известных современному естествознанию, способов передачи энергии - мера передачи неупорядоченного движения. Количество переданной энергии называют количеством теплоты.

Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно
Цикл Карно́- идеальный термодинамический цикл. Тепловая машина Карно, работающая

Добрый день!

Все довольно просто. Сейчас я, возможно, скажу несколько сложных слов, но затем постараюсь разъяснить их смысл. Для простоты изложения речь будет идти об одномерном случае, на случай многих степеней свободы все легко обобщается.

Итак, главная задача механики --- найти зависимость координаты тела от времени, то есть, по сути, найти некоторую функцию, которая каждому моменту времени сопоставляет некоторое значение координаты. Любое движение мы описываем при помощи второго закона Ньютона. В этот закон входит ускорение, которое является второй производной координаты тела по времени, и сила, которая обычно зависит от самой координаты. Также сила может зависеть от скорости тела, то есть от первой производной координаты по времени. Таким образом, с математической точки зрения второй закон Ньютона представляет некоторое соотношение между координатой, ее первой и второй производными. Такое соотношение называется в математике дифференциальным уравнение. Старшая производная, входящая в такое уравнение, --- вторая. Математика говорит, что решение такого уравнения, то есть общий вид функции, удовлетворяющей нашему соотношению, зависит от двух произвольных постоянных, которые невозможно определить из уравнения. Эти произвольные постоянные определяются для каждого конкретного случая, например, при помощи так называемых начальных условий. То есть чтобы в точности понять, как будет двигаться тело, нужно знать не только, какие силы на него действуют, но и каковы его начальная координата и скорость. Две произвольные константы в решении подбираются таким образом, чтобы полученная нами функция и ее производная (то есть скорость) в начальный момент времени имели заданные значения.

Это абсолютно общая ситуация. Вспомните, когда мы говорим о движении тела с постоянным ускорением, чтобы в точности задать движение нам нужно именно два числа, начальная координата и начальная скорость.

Тоже самое справедливо и для колебания. Колебание конкретного маятника (то есть маятника с заданной собственной частотой) определяется также двумя числами. Обычно решение уравнения для маятника, получаемого из второго закона Ньютона, записывают в виде .

Здесь и играют как раз роль произвольных постоянных, которые нужно определять из начальных условий. Посчитаем скорость: . Пусть нам известно, что в нулевой момент времени координата и скорость маятника были равны и . Решив систему обычных уравнений , можно найти конкретные выражения для и через и .

Не буду приводить ответ в общем случае, если Вы захотите, то легко сделаете это сами. Расскажу только о конкретных случая. Пусть, например, известно, что в нулевой момент времени тело находится в положении равновесия (то есть ), а его скорость равна своей максимальной величине (то есть ). Тогда получаем для нашего конкретного случая, что система уравнений приобретает вид: . Из первого уравнения сразу понятно, что (первому уравнению, конечно, удовлетворяет и условие , но тогда наше решение получится нулевым, а нас это не устраивает). Второе тогда приобретает вид: , откуда . Таким образом мы нашли выражения для обеих постоянных. В итоге имеем: . При этом для ускорения получается . Если теперь обозначить через более привычное выражение для амплитуды , получатся более привычные формулы.

Рассмотрим еще один пример. Пусть теперь груз находится в крайнем положении, то есть его скорость равна нулю. Будем считать, что от отклонился в отрицательную сторону оси, то есть его координата равна . Тогда уравнения на начальные условия приобретают вид: . Из второго уравнения . Из первого: . Таким образом, для координаты имеет: (второе равенство при помощи формулы приведения). Для скорости: . Для ускорения: .

Конкретные формулы зависят от начальных данных. С учетом периодичности синусов и косинусов, пользуясь разными формулами приведения, можно из формул убирать знаки добавлять фазы и т.д.

Что касается формулы в задаче, там нет , частоты, так как подставлено ее конкретное значение:

Тела под действием силы упругости, потенциальная энергия которой пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия:

где k – жесткость пружины.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.

Для груза на пружине:

Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .

Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени. Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия.

Пружинный маятник представляет собой материальную точку массой , прикрепленную к абсолютно упругой невесомой пружине с жесткостью . Различают два наиболее простых случая: горизонтальный (рис.15,а ) и вертикальный (рис.15, б ) маятники.

а) Горизонтальный маятник (рис. 15,а). При смещении груза
из положения равновесия на величину на него действует в горизонтальном направлениивозвращающая упругая сила
(закон Гука).

Предполагается, что горизонтальная опора, по которой скользит груз
при своих колебаниях, абсолютно гладкая (трения нет).

б) Вертикальный маятник (рис.15, б ). Положение равновесия в этом случае характеризуется условием:

где - величина упругой силы, действующей на груз
при статическом растяжении пружины на под действием силы тяжести груза
.

а

Рис.15. Пружинный маятник: а – горизонтальный и б – вертикальный

Если растянуть пружину и отпустить груз, то он начнет совершать вертикальные колебания. Если смещение в какой-то момент времени будет
, то сила упругости запишется теперь как
.

В обоих рассмотренных случаях пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом

(27)

и циклической частотой

. (28)

На примере рассмотрения пружинного маятника можно сделать вывод о том, что гармонические колебания – это движение, вызванное силой, возрастающей пропорционально смещению . Таким образом, если возвращающая сила по виду напоминает закон Гука
(она получила название квазиупругой силы ), то система должна совершать гармонические колебания. В момент прохождения положения равновесия на тело не действует возвращающая сила, однако, тело по инерции проскакивает положение равновесия и возвращающая сила меняет направление на противоположное.

Математический маятник

Рис.16. Математический маятник

Математический маятник представляет собой идеализированную систему в виде материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , которая совершает малые колебания под действием силы тяжести (рис. 16).

Колебания такого маятника при малых углах отклонения
(не превышающих 5º) можно считать гармоническими, и циклическая частота математического маятника:

, (29)

а период:

. (30)

2.3. Энергия тела при гармонических колебаниях

Энергия, сообщенная колебательной системе при начальном толчке, будет периодически преобразовываться: потенциальная энергия деформированной пружины будет переходить в кинетическую энергию движущегося груза и обратно.

Пусть пружинный маятник совершает гармонические колебания с начальной фазой
, т.е.
(рис.17).

Рис.17. Закон сохранения механической энергии

при колебаниях пружинного маятника

При максимальном отклонении груза от положения равновесия полная механическая энергия маятника (энергия деформированной пружины с жесткостью ) равна
. При прохождении положения равновесия (
) потенциальная энергия пружины станет равной нулю, и полная механическая энергия колебательной системы определится как
.

На рис.18 представлены графики зависимостей кинетической, потенциальной и полной энергии в случаях, когда гармонические колебания описываются тригонометрическими функциями синуса (пунктирная линия) или косинуса (сплошная линия).

Рис.18. Графики временной зависимости кинетической

и потенциальной энергии при гармонических колебаниях

Из графиков (рис.18) следует, что частота изменения кинетической и потенциальной энергии в два раза выше собственной частоты гармонических колебаний.

(1.7.1)

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то удлинение пружины станет равным Δl 0 + х. Тогда результирующая сила примет значение:

Учитывая условие равновесия (1.7.1), получим:

Знак "минус" показывает, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Упругая сила f обладает следующими свойствами:

1. Она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия;
2. Она всегда направлена к положению равновесия.

Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против упругой силы работу:

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы:

Под действием упругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью . Поэтому потенциальная энергия системы будет убывать, зато возрастает кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик будет продолжать двигаться по инерции. Это - замедленное движение и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, шарик будет колебаться неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид:

Преобразуем уравнение так:

Вводя обозначение , получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

Прямой подстановкой легко убедиться, что общее решение уравнения (1.7.8) имеет вид:

где а - амплитуда и φ - начальная фаза колебания - постоянные величины. Следовательно, колебание пружинного маятника является гармоническим (Рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Гармоническое колебание

Вследствие периодичности косинуса различные состояния колебательной системы повторяются через определенный промежуток времени (период колебаний) Т, за который фаза колебания получает приращение 2π. Рассчитать период можно с помощью равенства:

откуда следует:

Число колебаний в единицу времени называется частотой:

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Такую единицу называют 1 Гц.

Из (1.7.11) следует, что:

Следовательно, ω 0 - это число колебаний, совершаемое за 2π секунд. Величину ω 0 называют круговой или циклической частотой. Используя (1.7.12) и (1.7.13), запишем:

Дифференцируя () по времени, получим выражение для скорости шарика:

Из (1.7.15) следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону и опережает смещение по фазе на ½π. Дифференцируя (1.7.15), получим ускорение:

1.7.2. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из нерастяжимой невесомой нити, на которой подвешено тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью (Рис. 1.7.3).

Рис. 1.7.3. Математический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен ml 2:

Это уравнение можно привести к виду:

Ограничиваясь случаем малых колебаний sinφ ≈ φ и вводя обозначение:

уравнение (1.7.19) может быть представлено так:

что совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Следовательно, его решением будет гармоническое колебание:

Из (1.7.20) следует, что циклическая частота колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения. Используя формулу для периода колебаний () и (1.7.20), получим известное соотношение:

1.7.3. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса О на одной с ней вертикали (Рис. 1.7.4).

Рис. 1.7.4. Физический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

где m - масса маятника, l - расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен I:

Для малых колебаний sinφ ≈ φ. Тогда, вводя обозначение:

что также совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Из уравнений (1.7.27) и (1.7.26) следует, что при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия он совершает гармоническое колебание, частота которого зависит от массы маятника, момента инерции и расстояния между осью вращения и центром инерции. С помощью (1.7.26) можно вычислить период колебаний:

Сравнивая формулы (1.7.28) и () получим, что математический маятник с длиной:

будет иметь такой же период колебаний, что и рассмотренный физический маятник. Величину (1.7.29) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штайнера момент инерции физического маятника равен:

где I 0 - момент инерции относительно центра инерции. Подставляя (1.7.30) в (1.7.29), получим:

Следовательно, приведенная длина всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром инерции маятника, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

1.7.4. Энергия гармонических колебаний

При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е к и потенциальной энергии Е п, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия Е колебательной системы:

Распишем последнее выражение

Но к = mω 2 , поэтому получим выражение для полной энергии колеблющегося тела

Таким образом полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.

1.7.5. Затухающие колебания.

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим .

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

где r - коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (1.7.34б) в (1.7.34а):

График этой функции показан на рис.1.7.5 сплошной кривой 1, а штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

При очень малом трении период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания (1.7.35.б)

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания : чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

;

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

При сильном затухании из формулы (1.7.37) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим . График апериодического движения в виде показан на рис. 1.7.6. Незатухающие и затухающие колебания называют собственными или свободными . Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

1.7.6. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденными колебаниями называются такие, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая сила

,

где F 0 - амплитуда; ω - круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):

,

Амплитуда вынужденного колебания (1.7.39) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебания. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной .

Само явление - достижение максимальной амплитуды для заданных ω 0 и β - называют резонансом.

Рис. 1.7.7. Резонанс

При отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из ω рез =ω 0 , т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможные возникновения резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы не велик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

1.7.7. Автоколебания

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями , а сами системы - автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств в самой автоколебательной системе, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами (рис.1.7.8): 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 6) воздействует на регулятор, информирую регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря - источником энергии, а анкер - регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы - генераторы автоколебательных колебаний.

1.7.8. Сложение колебаний одного направления

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармоническое колебание можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Если этот вектор вращается с угловой скоростью ω 0 , то его проекция на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону. Исходя из этого, выберем некоторую ось Х и представим колебания с помощью векторов а 1 и а 2 (рис.1.7.9).

Из рис.1.7.6 следует, что

.

Схемы, в которых колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости, называются векторными диаграммами.

Из формулы 1.7.40 следует. Что если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз складываемых колебаний равна , то амплитуда результирующего колебания равна . Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то векторы, соответствующие этим колебаниям будут вращаться с разной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, в результате сложения получается не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

1.7.9. Биения

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. Пусть частота одного из них равна ω , а второго ω+∆ω, причем ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Сложив эти выражения и используя формулу для суммы косинусов, получаем:

Колебания (1.7.41) можно рассматривать как гармоническое колебание частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону . Эта функция является периодической с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω. Таким образом, частота пульсаций амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.

1.7.10. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу)

Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории. Пусть частота колебаний одинакова и начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишем в виде:

Уравнение (1.7.43) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд а и b и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи:

(m=0, ±1, ±2, …). В этом случае уравнение имеет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны амплитудам (рис. 1.7.12). Если амплитуды равны, то эллипс становится окружностью.

Рис.1.7.12

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину ∆ω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В этом случае уравнения колебаний можно записать

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

и выражение ∆ωt+α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до+π.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Пусть, например, частоты складываемых колебаний относятся как 1: 2 и разность фаз π/2. Тогда уравнения колебаний имеют вид

x=a cos ωt, y=b cos.

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться. Вид кривой показан на рис. 1.7.13. Кривая при таком же соотношении частот, но разности фаз равной нулю показана на рис.1.7.14. Отношение частот складываемых колебаний обратно отношению числа точек пересечения фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. Следовательно, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот складываемых колебаний или неизвестную частоту. Если одна из частот известна.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее получающиеся фигуры Лиссажу.

1.7.11. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твёрдой жидкой или газообразной) среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

В зависимости от направлений колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновения только продольных волн. В твёрдой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.7.12 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы отстающие друг от друга на расстояние, равное (¼ υT), т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент, времени принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения равновесия частица 2. По пришествие ещё четверти периода первая часть будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнёт смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени равный T, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как чальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь (υT), достигнет частицы 5.

На Рис. 1.7.13 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.

Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разряжения частиц (места сгущения обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ.

Рис. 1.7.15

Рис. 1.7.16

На рис. 1.7.15 и 1.7.16 показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источников колебаний, волновой процесс охватывает всё новые и новые части пространства, геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются не подвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одной фазе). Волновойфронт всё время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне - множество концентрических сфер.

Рис. 1.7.17

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x . Тогда все точки сферы, положения, равновесия которых имеет одинаковую координату x (но различие значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На Рис. 1.7.17 изображена кривая, которая даёт смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функций ξ (x, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной так и для поперечной волны.

Расстояние λ, на короткое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что

где υ - скорость волны, T- период колебаний. Длину волныможноопределить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 1.7.14)

Заменив в соотношении(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота колебаний), получим

К этой формуле можно придти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает ν колебаний, порождая в среде при каждом колебании один "гребень" и одну "впадину" волны. К тому моменту, когда источник будет завершать ν - е колебание, первый "гребень" успеет пройти путь υ. Следовательно, ν "гребней" и "впадин" волны должны уложиться в длине υ.

1.7.12. Уравнение плоской волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической относительно времени t , и относительно координат x, y, z. . Периодичность по времени вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t :

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис. 1.7.18), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Для того, чтобы пройти путь от плоскости x =0 до этой плоскости, волне требуется время(υ - cкорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x , выглядит следующим образом:

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.7.48), получим

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x :

При выводе формулы (1.7.53) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от x . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается - наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:

Соответственно уравнение плоской волны, с учетом затухания , имеет следующий вид:

(1.7.54)

(a 0 - амплитуда в точках плоскости x = 0).