Гармонические колебания в электрическом колебательном контуре. Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Свободные колебания в контуре.

Рассмотренные в предыдущих разделах цепи переменного тока наводят на мысль, что пара элементов − конденсатор и катушка индуктивности образуют своеобразную колебательную систему. Сейчас мы покажем, что это действительно так, в цепи состоящей только из этих элементов (рис. 669) возможны даже свободные колебания, то есть без внешнего источника ЭДС.

рис. 669
 Поэтому цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром .
 Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис. 670: сначала ключ замыкают в положении 1 , при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2 , после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

рис. 670
 Для определения зависимости заряда конденсатора от времени q(t) применим закон Ома, согласно которому напряжение на конденсаторе U C = q/C равно ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке

здесь, «штрих» означает производную по времени.
 Таким образом, оказывается справедливым уравнение

 В этом уравнении содержится две неизвестных функции − зависимости от времени заряда q(t) и силы тока I(t) , поэтому его решить нельзя. Однако сила тока является производной от заряда конденсатора q / (t) = I(t) , поэтому производная от силы тока является второй производной от заряда

 С учетом этого соотношения, перепишем уравнение (1) в виде

 Поразительно, но это уравнение полностью совпадает с хорошо изученным нами уравнением гармонических колебаний (вторая производная от неизвестной функции пропорциональна самой этой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности x // = −ω o 2 x )! Следовательно, решением этого уравнения будет гармоническая функция

с круговой частотой

 Эта формула определяет собственную частоту колебательного контура . Соответственно период колебаний заряда конденсатора (и силы тока в контуре) равен

 Полученное выражение для периода колебаний называется формулой Дж. Томпсона .
 Как обычно, для определения произвольных параметров A , φ в общем решении (4) необходимо задать начальные условия − заряд и силу тока в начальный момент времени. В частности, для рассмотренного примера цепи рис. 670, начальные условия имеют вид: при t = 0 , q = q o , I = 0 , поэтому зависимость заряда конденсатора от времени будет описываться функцией

а сила тока изменяется со временем по закону

 Приведенное рассмотрение колебательного контура является приближенным − любой реальный контур обладает активным сопротивлением (соединительных проводов и обмотки катушки).

рис. 671
 Поэтому в уравнении (1) следует учесть падение напряжения на этом активном сопротивлении, поэтому это уравнение приобретет вид

который с учетом связи между зарядом и силой тока, преобразуется к форме

 Это уравнение нам также знакомо – это уравнение затухающих колебаний

причем коэффициент затухания, как и следовало ожидать, пропорционален активному сопротивлению цепи β = R/L .
 Процессы, происходящие в колебательном контуре, могут быть также описаны и с помощью закона сохранения энергии. Если пренебречь активным сопротивлением контура, то сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки остается постоянной, что выражается уравнением

которое также является уравнением гармонических колебаний с частотой, определяемой формулой (5). По свое форме это уравнение также совпадает уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе. На рис. 672 такая аналогия проведена для колебаний математического маятника. В этом случае аналогами являются «заряд конденсатора q(t) − угол отклонения маятника φ(t) » и «сила тока I(t) = q / (t) − скорость движения маятника V(t) ».


рис. 672
 Пользуясь этой аналогией, качественно опишем процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к нижней точки с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг нижней точки, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог − маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

§1 Колебательный контур.

Собственные колебания в колебательном контуре.

Формула Томсона.

Затухающие и вынужденные колебания в к.к.

1. Свободные колебания в к.к.

Колебательным контуром (к.к.) называется цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. При определенных условиях в к.к. могут возникнуть электромагнитные колебания заряда, тока, напряжения и энергии.

Рассмотрим цепь, показанную на рис.2. Если поставить ключ в положение 1, то будет происходить заряд конденсатора и на его обкладках появится заряд Q и напряжение U C . Если затем перевести ключ в положение 2, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи потечет ток, при этом энергия электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора, будет превращаться в энергию магнитного поля, сосредоточенную в катушке индуктивности L . Нали-чие катушки индуктивности приводит к тому, что ток в цепи увеличивается не мгновенно, а постепенно из-за явления самоиндук-ции. По мере разряда конденсатора заряд на его обкладках будет уменьшаться, ток в цепи увеличиваться. Максимального значения контурный ток достигнет при заряде на обкладках равном нули. С этого момента контурный ток начнет уменьшаться, но, благодаря явлению самоиндукции, он будет поддерживаться магнитным полем катушки индуктивности, т.е. при полном разряде конденсатора энергия магнитного поля, запасенного в катушке индуктивности, начнет переходить в энергию электрического поля. Из-за контурного тока начнется перезаряд конденсатора и на его обкладках начнет накапливаться заряд противоположный первоначальному. Перезаряд конденсатора будет происходить до тех пор, пока вся энергия магнитного поля катушки индуктивности не перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Затем процесс повторится в обратном направлении, и, таким образом, в цепи возникнут электромагнитные колебания.

Запишем 2 -й закон Кирхгофа для рассматриваемого к.к,

Дифференциальное уравнение к.к.

Мы получили дифференциальное уравнение колебаний заряда в к.к. Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению, описывающему движение тела под действием квазиупругой силы. Следовательно, аналогично будет записываться и решение этого уравнения

Уравнение колебаний заряда в к.к.

Уравнение колебаний напряжения на обкладках конденсатора в к.к.

Уравнение колебаний тока в к.к.

1. Затухающие колебания в к.к.

Рассмотрим к.к., содержащий емкость, индуктивность и сопротивление. 2-й закон Кирхгофа в этом случае запишется в виде

- коэффициент затухания,

Собственная циклическая частота.

- - дифференциальное уравнение затухающих колебаний в к.к.

Уравнение затухающих колебаний заряда в к.к.

Закон изменения амплитуды заряда при затухающих колебаниях в к.к.;

Период затухающих колебаний.

Декремент затухания.

- логарифмический декремент затухания.

Добротность контура.

Если затухание слабое, тогда Т ≈Т 0

Исследуем изменение напряжения на обкладках конденсатора.

Изменение тока отличается по фазе на φ от напряжения.

при - возможны затухающие колебания,

при - критическое положение

при , т.е. R > R К - колебания не возникают (апериодический разряд конденсатора).

• Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.

• Свободными называются такие колебания , которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур .

• Идеальный колебательный контур (LC-контур ) - электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C .

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R , электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

\(W=W_{e} + W_{m}, \; \; \; W_{e} =\dfrac{C\cdot u^{2} }{2} = \dfrac{q^{2} }{2C}, \; \; \; W_{m} =\dfrac{L\cdot i^{2}}{2},\)

Где W e - энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С - электроемкость конденсатора, u - значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q - значение заряда конденсатора в данный момент времени, W m - энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L - индуктивность катушки, i -значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q m (рис. 2, положение 1 ). С учетом уравнения \(U_{m}=\dfrac{Q_{m}}{C}\) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2 ). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u \(\left(u = \dfrac{q}{C} \right).\) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I m (см. рис. 2, положение 3 ).

Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u ), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4 ). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I m (в положении 3 ) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6 )до нуля (см. рис. 2, положение 7 ). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u ) определяет его энергию электрического поля W e \(\left(W_{e}=\dfrac{q^{2}}{2C}=\dfrac{C \cdot u^{2}}{2} \right),\) а сила тока в катушке i - энергию магнитного поля Wm \(\left(W_{m}=\dfrac{L \cdot i^{2}}{2} \right),\) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

\(W_{e\, \max } =\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot U_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 2} =\dfrac{q_{2}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 4} =\dfrac{q_{4}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{e\, 6} =\dfrac{q_{6}^{2} }{2C} =\dfrac{C\cdot u_{6}^{2} }{2},\)

\(W_{m\; \max } =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m2} =\dfrac{L\cdot i_{2}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m4} =\dfrac{L\cdot i_{4}^{2} }{2}, \; \; \; W_{m6} =\dfrac{L\cdot i_{6}^{2} }{2}.\)

Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда

\(W=W_{e\, \max } = W_{m\, \max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = ...\)

Таким образом, в идеальном LC -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i , заряда q и напряжения u , причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания .

• Свободные электромагнитные колебания в контуре - это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q m и I m в различные моменты времени.

Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:

\(q=Q_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; u=U_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{1} \right), \; \; \; i=I_{m} \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _{2} \right).\)

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC -контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC -контуре определяется по формуле Томсона:

\(T=2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}, \;\;\; \omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C}}.\)

Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному - с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.

*Вывод формулы Томсона

Поскольку полная энергия идеального LC -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

\(W=\dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =\dfrac{L\cdot I_{m}^{2} }{2} =\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} ={\rm const}.\)

Получим уравнение колебаний в LC -контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:

\(\left(\dfrac{q^{2} }{2C} +\dfrac{L\cdot i^{2} }{2} \right)^{{"} } =\dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac{q}{C} \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac{q}{C} +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac{1}{L\cdot C} \cdot q=0.\)

Переписав его в виде:

\(q""+\omega ^{2} \cdot q=0,\)

замечаем, что это - уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

\(\omega =\dfrac{1}{\sqrt{L\cdot C} }.\)

Соответственно период рассматриваемых колебаний

\(T=\dfrac{2\pi }{\omega } =2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}.\)

Литература

1. Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Минск: Нар. Асвета, 2009. - С. 39-43.

Зарядим конденсатор от батареи и подключим его к катушке. В созданном нами контуре сразу же начнутся электромагнитные колебания (рис. 46). Разрядный ток конденсатора, проходя по катушке, создает вокруг нее магнитное доле. Это значит, что во время разряда конденсатора энергия его электрического поля переходит в энергию магнитного поля катушки, подобно тому как при колебаниях маятника или струны потенциальная энергия переходит в кинетическую.

По мере того как конденсатор разряжается, напряжение на его обкладках падает, а ток в контуре растет, и к тому моменту, когда конденсатор полностью разрядится, ток будет максимальным (амплитуда тока). Но и после окончания разряда конденсатора ток не прекратится - убывающее магнитное поле катушки будет поддерживать движение зарядов, и они вновь начнут накапливаться на обкладках конденсатора. При этом ток в контуре уменьшается, а напряжение на конденсаторе растет. Этот процесс обратного перехода энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора несколько напоминает то, что происходит, когда маятник, проскочив среднюю точку, поднимается вверх.

К моменту, когда ток в контуре прекратится и магнитное поле катушки исчезнет, конденсатор окажется заряженным до максимального (амплитудного) напряжения обратной полярности. Последнее означает,что на той обкладке, где раньше были положительные заряды, теперь будут отрицательные, и наоборот. Поэтому, когда вновь начнется разряд конденсатора (а это произойдет немедленно после того, как он полностью зарядится), то в цепи пойдет ток обратного направления.

Периодически повторяющийся обмен энергией между конденсатором и катушкой и представляет собой электромагнитные колебания в контуре. В процессе этих колебаний в контуре протекает переменный ток (то есть изменяется не только величина, но и направление тока), а на конденсаторе действует переменное напряжение (то есть изменяется не только величина напряжения, но и полярность зарядов, накапливающихся на обкладках). Одно из направлений напряжения тока условно называют положительным, а противоположное направление - отрицательным.

Наблюдая за изменениями напряжения или тока, можно построить график электромагнитных колебаний в контуре (рис. 46), подобно тому как мы строили график механических колебаний маятника (). На графике значения положительного тока или напряжения откладывают выше горизонтальной оси, а отрицательного - ниже этой оси. Ту половину периода, когда ток протекает в положительном направлении, часто называют положительным полупериодом тока, а другую половину - отрицательным полупериодом тока. Можно говорить также и о положительном и отрицательном полупериоде напряжения.

Хочется еще раз подчеркнуть, что слова «положительный» и «отрицательный» мы используем совершенно условно, лишь для того чтобы отличить два противоположных направления тока.

Электромагнитные колебания, с которыми мы познакомились, называют свободными или собственными колебаниями. Они возникают всякий раз, когда мы передаем контуру некоторый запас энергии, а затем даем возможность конденсатору и катушке свободно обмениваться этой энергией. Частота свободных колебаний (то есть частота переменного напряжения и тока в контуре) зависит от того, насколько быстро конденсатор и катушка могут накапливать и отдавать энергию. Это, в свою очередь, зависит от индуктивности Lк и емкости С к контура, подобно тому, как частота колебаний струны зависит от ее массы и упругости. Чем больше индуктивность L катушки, тем больше времени нужно, чтобы создать в ней магнитное поле, и тем дольше это магнитное поле сможет поддерживать ток в цепи. Чем больше емкость С конденсатора, тем дольше он будет разряжаться и тем больше времени понадобится, чтобы этот конденсатор перезарядить. Таким образом, чем больше Lк и С к контура, тем медленнее происходят в нем электромагнитные колебания, тем ниже их частота. Зависимость частоты f о свободных колебаний от L к и С к контура выражается простой формулой, которая является одной из основных формул радиотехники:

Смысл этой формулы предельно прост: для того чтобы увеличить частоту собственных колебаний f 0 , нужно уменьшить индуктивность L к или емкость С к контура; чтобы уменьшить f 0 , индуктивность и емкость нужно увеличить (рис 47).

Из формулы для частоты можно легко вывести (мы это уже делали с формулой закона Ома) расчетные формулы для определения одного из параметров контура L к или С к при заданной частоте f0 и известном втором параметре. Удобные для практических расчетов формулы приведены на листах 73, 74 и 75.

>> Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Период свободных электрических колебаний

§ 30 УРАВНЕНИЕ, ОПИСЫВАЮЩЕЕ ПРОЦЕССЫ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ. ПЕРИОД СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Перейдем теперь к количественной теории процессов в колебательном контуре.

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре. Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (рис. 4.6).

Уравнение, описываюндее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии. Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Эта энергия не меняется с течением времени, если ео противление R контура равно нулю. Значит, производная полной энергии по времени равна нулю. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл уравнения (4.5) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак «-» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

Вычислив производные в уравнении (4.5), получим 1

Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Поэтому уравнение (4.6) можно переписать в следующем виде:

1 Мы вычисляем производные по времени. Поэтому производная (і 2)" равна не просто 2 і , как было бы при вычислении производной но і. Нужно 2 і умножить еще на производную i" силы тока по времени, так как вычисляется производная от сложной функции. То же самое относится к производной (q 2)".

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени. Подставив в уравнение (4.8) і" = q" и разделив левую и правую части этого уравнения на Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Теперь вы в полной мере можете оценить значение тех усилий, которые были затрачены для изучения колебаний шарика на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (4.9) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (3.11), описывающего колебания шарика на пружине. При замене в уравнении (3.11) х на q, х" на q", k нa 1/C и m нa L мы в точности получим уравнение (4.9). Но уравнение (3.11) было уже решено выше. Поэтому, зная формулу, описывающую колебания пружинного маятника, мы сразу же можем записать формулу для описания электрических колебаний в контуре.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки