Уравнение бернулли.

Принцип Бернулли описывает поток жидкости. Он стал одним из самых ранних примеров сохранения энергии, известных людям. В нем говорится, что в установившемся потоке энергия в любой точке трубы представляет собой сумму величины динамического давления (V), весового (высотного; гидростатического) давления (Z) и статического давления (P). Она принимает форму уравнения сохранения, в которой сумма трех переменных всегда будет оставаться постоянной при отсутствии потерь или добавления энергии.

Энергия = V + Z + P = константа

Сумма трех слагаемых равна полному давлению. Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию, второе слагаемое потенциальную энергию сил тяжести, а третье потенциальную энергию сил давления. Полное давление будет оставаться постоянным, пока в систему не добавляется или из системы не отнимается дополнительная энергия.

1/2ρv 2 (динамическое давление) + ρgz (весовое давление) + P (статическое давление) = P общ = константа

где:
ρ = плотность
v = скорость потока
g = ускорение свободного падения
z = высота

P = давление

С помощью уравнения Бернулли также могут сравниваться давления в любых двух точках трубы с потоком жидкости. Еще раз, если не добавляется (не отнимается) энергия, сумма трех слагаемых в левой части будет равна сумме слагаемых в правой части.

(1/2ρv a 2 + ρgz a + P a) = (1/2ρv b 2 + ρgz b + P b)

где:
a и b – точки в разных местах трубы

Теория Бернулли в действии

На рисунке 1 показан принцип Бернулли в действии. Поток течет в горизонтальной трубе слева направо без потерь энергии на трение. Диаметр левой и правой части равен, а часть в центре составляет две трети от этого диаметра. Вертикальные трубки (пьезометрические трубки) слева и в центре выводятся в атмосферу, и уровень воды в них пропорционален статическому давлению (P) в этих зонах. Они измеряют статическое давление так же как и манометр. Обратите внимание, что измеренное давление в части с большим диаметром больше измеренного давления в суженной части. Этого можно ожидать, так как скорость в центральной части, очевидно, выше. В соответствии с уравнением Бернулли, давление уменьшается с увеличением скорости.

Рисунок 1. Горизонтальная труба с постоянным потоком слева направо без потерь энергии на трение

Тем не менее, нечто необычное происходит со статическим давлением (P), которое показано уровнем воды в вертикальной трубке справа. Можно было бы ожидать, что давление вернется к уровню как в левой пьезометрической трубке при отсутствии потерь на трение на суженном участке. Но уровень справа указывает на большее давление, и никакой дополнительной энергии в систему не добавляется. Оказывается, столбик справа – это трубка Пито. Это устройство измеряет давление иным способом – кроме статического давления, она также измеряет дополнительное давление, создаваемое скоростью потока.

Если бы клапан со стороны выхода потока был закрыт, и поток прекратился, все три вертикальные трубки показывали бы одинаковое статическое давление, независимо от формы и положения. После возобновления потока, статическое давление, измеряемое пьезометрическими трубками, будет соответствовать статическому давлению на определенном участке. Однако, в отличие от пьезометрической трубки, впускное отверстие трубки Пито направлено в сторону потока, при этом поток вталкивает в трубку большее количество воды. Когда вода перестает течь в трубку (застой), вертикальный уровень в ней максимальный и равен сумме статического и динамического давления. Давление, измеряемое трубкой Пито – это полное давление в трубе с потоком.

На рисунке 2 графически представлено Уравнение Бернулли. Оно часто используется при проектировании трубопроводов и систем с открытым каналом. Уравнение показывает влияние на гидравлическую систему при изменениях размера трубы, высоты, давления и при потерях на соединительных элементах и клапанах. Этот пример иллюстрирует давление в трех точках трубы с равномерным непрерывным потоком без изменения высоты.

Рисунок 2. Графическое представление уравнения Бернулли. Гидравлический градиент отражает изменение статического давления P из-за потерь на трения. Градиент энергии отражает изменение полного давления (V+P). Весовое давление (Z) в данном примере не влияет на полное давление, поскольку нет перепада высот.

Уровень воды в вертикальных трубках соответствует статическому давлению (P) в этих точках. Наклонная линия, соединяющая трубки, называется гидравлическим градиентом или пьезометрической линией. Наклонная линия выше гидравлического градиента, параллельная ему – это градиент энергии, который соответствует полному давлению в трубопроводе. Его можно измерить с помощью трубки Пито, либо рассчитать, используя скорость потока и уравнение для скоростного давления (1/2ρv 2).

Градиент энергии или напорная линия – это сумма скоростного напора и статического давления в любой точке. В этом примере скоростной напор остается постоянным в каждой точке, а гидростатический набор уменьшается в зависимости от полного трения в каждой точке. В более сложных примерах эти два градиента не параллельны друг другу, а будут перемещаться в обоих направлениях в зависимости от размера трубы, высоты и других факторов.

Принцип Бернулли работает, когда летит самолет или искривляется траектория полета вращающегося мяча. Этот принцип также справедлив для кораблей в море – корабли не должны проходить слишком близко друг от друга, так как повышенная скорость потока воды между ними создает зону с низким давлением, которая может привести к бортовому столкновению. По этой причине в больших доках стремятся устанавливать сваи, а не сплошные стенки. Наконец, существует эффект «занавески для ванной» (когда занавеска для ванной притягивается водой, текущей из душа).

В следующей статье мы изучим некую аналогичную работу, выполненную Джованни Вентури и Эванджелиста Торричелли, и увидим, как она расширила наше понимание гидравлики. Мы проиллюстрируем важность учета скоростного напора при испытаниях насосов в месте установки.

Материал подготовил Алексей Циммер

В этом параграфе мы применим закон сохранения энергии к движению жидкости или газа по трубам. Движение жидкости по трубам часто встречается в технике и быту. По трубам водопровода подается вода в городе в дома, к местам ее потребления. В машинах по трубам поступает масло для смазки, топливо в двигатели и т. д. Движение жидкости по трубам нередко встречается и в природе. Достаточно сказать, что кровообращение животных и человека - это течение крови по трубкам - кровеносным сосудам. В какой-то мере течение воды в реках тоже является разновидностью течения жидкости по трубам. Русло реки - это своеобразная труба для текущей воды.

Как известно, неподвижная жидкость в сосуде согласно закону Паскаля передает внешнее давление по всем направлениям и во все точки объема без изменения. Однако, когда жидкость течет без трения по трубе, площадь поперечного сечения которой на разных участках различна, давление оказывается неодинаковым вдоль трубы. Выясним, почему давление в движущейся жидкости зависит от площади поперечного сечения трубы. Но сначала ознакомимся с одной важной особенностью всякого потока жидкости.

Предположим, что жидкость течет по горизонтально расположенной трубе, сечение которой в разных местах различное, например по трубе, часть которой показана на рисунке 207.

Если бы мы мысленно провели несколько сечений вдоль трубы, площади которых соответственно равны и измерили бы количество жидкости, протекающей через каждое из них за какой-то промежуток времени то мы обнаружили бы, что через каждое сечение протекло одно и то же количество жидкости. Это значит, что вся та жидкость, которая за время проходит через первое сечение, за такое же время проходит и через третье сечение, хотя оно по площади значительно меньше, чем первое. Если бы это было не так и через сечение площадью за время проходило, например, меньше жидкости, чем через сечение площадью то избыток жидкости должен был бы где-то накапливаться. Но жидкость заполняет всю трубу, и накапливаться ей негде.

Как же может жидкость, протекшая через широкое сечение, успеть за такое же время «протиснуться» через узкое? Очевидно, что для этого при прохождении узких частей трубы скорость движения должна быть больше, и как раз во столько раз, во сколько раз площадь сечения меньше.

Действительно, рассмотрим некоторое сечение движущегося столба жидкости, совпадающее в начальный момент времени с одним из сечений трубы (рис. 208). За время эта площадка переместится на расстояние которое равно где - скорость течения жидкости. Объем V жидкости, протекшей через сечение трубы, равен произведению площади этого сечения на длину

В единицу же времени протекает объем жидкости -

Объем жидкости, протекающей в единицу времени через сечение трубы, равен произведению площади поперечного сечения трубы на скорость течения.

Как мы только что видели, этот объем должен быть одним и тем же в разных сечениях трубы. Поэтому, чем меньше сечение трубы, тем больше скорость движения.

Сколько жидкости проходит через одно сечение трубы за некоторое время, столько же ее должно пройти за такое

же время через любое другое сечение.

При этом мы считаем, что данная масса жидкости всегда имеет один и тот же объем, что она не может сжаться и уменьшить свой объем (о жидкости говорят, что она несжимаема). Хорошо известно, например, что в узких местах реки скорость течения воды больше, чем в широких. Если обозначить скорость течения жидкости в сечениях площадями через то можно написать:

Отсюда видно, что при переходе жидкости с участка трубы с большей площадью сечения на участок с меньшей площадью сечения скорость течения увеличивается, т. е. жидкость движется с ускорением. А это по второму закону Ньютона означает, что на жидкость действует сила. Что это за сила?

Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. Таким образом, в широком участке давление жидкости должно быть больше, чем в узком участке трубы.

Это же следует из закона сохранения энергии. Действительно, если в узких местах трубы увеличивается скорость движения жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы приняли, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной. О какой же потенциальной энергии здесь идет речь? Если труба горизонтальна, то потенциальная энергия взаимодействия с Землей во всех частях трубы одна и та же и не может измениться. Значит, остается только потенциальная энергия упругого взаимодействия. Сила давления, которая заставляет жидкость течь по трубе, - это и есть упругая сила сжатия жидкости. Когда мы говорим, что жидкость несжимаема, то имеем лишь в виду, что она не может быть сжата настолько, чтобы заметно изменился ее объем, но очень малое сжатие, вызывающее появление упругих сил, неизбежно происходит. Эти силы и создают давление жидкости. Вот это сжатие жидкости и уменьшается в узких частях трубы, компенсируя рост скорости. В узких местах труб давление жидкости должно быть поэтому меньше, чем в широких.

В этом состоит закон, открытый петербургским академиком Даниилом Бернулли:

Давление текущей жидкости больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и,

наоборот, в тех сечениях, в которых скорость больше, давление меньше.

Как это ни покажется странным, но когда жидкость «протискивается» через узкие участки трубы, то ее сжатие не увеличивается, а уменьшается. И опыт хорошо это подтверждает.

Если трубу, по которой течет жидкость, снабдить впаянными в нее открытыми трубками - манометрами (рис. 209), то можно будет наблюдать распределение давления вдоль трубы. В узких местах трубы высота столба жидкости в манометрической трубке меньше, чем в широких. Это означает, что в этих местах давление меньше. Чем меньше сечение трубы, тем больше в ней скорость течения и меньше давление. Можно, очевидно, подобрать такое сечение, в котором давление равно внешнему атмосферному давлению (высота уровня жидкости в манометре будет тогда равна нулю). А если взять еще меньшее сечение, то давление жидкости в нем будет меньше атмосферного.

Такой поток жидкости можно использовать для откачки воздуха. На этом принципе действует так называемый водоструйный насос. На рисунке 210 изображена схема такого насоса. Струю воды пропускают через трубку А с узким отверстием на конце. Давление воды у отверстия трубы меньше атмосферного. Поэтому

газ из откачиваемого объема через трубку В втягивается к концу трубки А и удаляется вместе с водой.

Все сказанное о движении жидкости по трубам относится и к движению газа. Если скорость течения газа не слишком велика и газ не сжимается настолько, чтобы изменялся его объем, и если, кроме того, пренебречь трением, то закон Бернулли верен и для газовых потоков. В узких частях труб, где газ движется быстрее, давление его меньше, чем в широких частях, и может стать меньше атмосферного. В некоторых случаях для этого даже не требуется трубы.

Можно проделать простой опыт. Если дуть на лист бумаги вдоль его поверхности, как показано на рисунке 211, можно увидеть, что бумага станет подниматься вверх. Это происходит из-за понижения давления в струе воздуха над бумагой.

Такое же явление имеет место при полете самолета. Встречный поток воздуха набегает на выпуклую верхнюю поверхность крыла летящего самолета, и за счет этого происходит понижение давления. Давление над крылом оказывается меньше, чем давление под крылом. Именно поэтому возникает подъемная сила крыла.

Упражнение 62

1. Допустимая скорость течения нефти по трубам равна 2 м/сек. Какой объем нефти проходит через трубу диаметром 1 м в течение 1 ч?

2. Измерьте количество воды, вытекающей из водопроводного крана за определенное время Определите скорость течения воды, измерив диаметр трубы перед краном.

3. Каким должен быть диаметр трубопровода, по которому должно протекать воды в час? Допустимая скорость течения воды 2,5 м/сек.

Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.

Закон Бернулли

Автор этого закона - швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли - сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.

Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.

Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости .

В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость , то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.

Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.

Уравнение неразрывности струи

Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.

Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.

Закон Бернулли и авиация

С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.

Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.

Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.

Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика , возникшая как продолжение аэродинамики.

Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами . Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.

Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.

Возьмём трубу, через которую протекает жидкость. Наша труба не одинакова по всей длине, а имеет различный диаметр сечения. Закон Бернулли выражается в том, что несмотря на различный диаметр, через любое сечение в этой трубе за одно и тоже время протекает одинаковый объём жидкости.

Т.е. сколько жидкости проходит через одно сечение трубы за некоторое время, столько же ее должно пройти за такое же время через любое другое сечение. А так как объём жидкости не изменяется, а сама жидкость практически не сжимается, то изменяется что-то другое.

В более узкой части трубы скорость движения жидкости выше, а давление ниже. И наоборот, в широких частях трубы скорость ниже, а давление выше.

Изменяется давление жидкости и её скорость. Если трубу, по которой течет жидкость, снабдить впаянными в нее открытыми трубками-манометрами (рис. 209), то можно будет наблюдать распределение давления вдоль трубы.

Применительно аэродинамике закон Бернулли выражается в том, что набегающий на крыло воздушный поток имеет различную скорость и давление под крылом и над крылом, ввиду чего возникает подъёмная сила крыла

Проведём простой эксперимент. Возьмём небольшой листок бумаги и разместим его прямо перед собой таким образом:

А затем подуем над его поверхностью, то листок бумаги, попреки ожиданиям, вместо того, чтобы прогнуться ещё больше по направлению к Земле, наоборот выпрямится. Всё дело в том, что выдувая воздух над поверхностью листка мы уменьшаем его давление, в то время как давление воздуха под листком остаётся прежним. Получается, что над листком область пониженного давления, а под листком повышенного. Воздушные массы пытаются «перебраться» из области высокого давления в область низкого, и это приводит к тому, что листок выпрямляется.

Можно провести и другой опыт. Взяв 2 листка бумаги и разместив их перед собой следующим образом:

А затем подув в область между ними, листки бумаги, вопреки нашим ожиданиям, вместо того, чтобы отодвинуться друг от друга, наоборот приблизятся. Здесь мы наблюдаем тот же самый эффект. Воздушные массы с внешних сторон листком имеют большее давление, нежели ускоренный нами воздух между листками. Это и приводит к тому, что листки бумаги притягиваются к друг другу.

Этот же принцип используют для осуществления своих полётов парапланы, дельтапланы, самолёты, планёры, вертолёты и др. летательные аппараты. Именно это позволяет взлететь вверх многотонному пассажирскому самолёту.

Как мы упоминали, в трубах не очень длинных и достаточно широких трение настолько невелико, что им можно пренебречь. При этих условиях падение давления так мало, что в трубе постоянного сечения жидкость в манометрических трубках находится практически на одной высоте. Однако, если труба имеет в разных местах неодинаковое сечение, то даже в тех случаях, когда трением можно пренебречь, опыт обнаруживает, что статическое давление в разных местах различно.

Возьмем трубу неодинакового сечения (рис. 311) и будем пропускать через нее постоянный поток воды. По уровням в манометрических трубках мы увидим, что в суженных местах трубы статическое давление меньше, чем в широких. Значит, при переходе из широкой части трубы в более узкую степень сжатия жидкости уменьшается (давление уменьшается), а при переходе из более узкой части в широкую - увеличивается (давление увеличивается).

Рис. 311. В узких частях трубы статическое давление текущей жидкости меньше, чем в широких

Это объясняется тем, что в широких частях трубы жидкость должна течь медленнее, чем в узких, так как количество жидкости, протекающей за одинаковые промежутки времени, одинаково для всех сечений трубы. Поэтому при переходе из узкой части трубы в широкую скорость жидкости уменьшается: жидкость тормозится, как бы натекая на препятствие, и степень сжатия ее (а также ее давление) растет. Наоборот, при переходе из широкой части трубы в узкую скорость жидкости увеличивается и сжатие ее уменьшается: жидкость, ускоряясь, ведет себя подобно распрямляющейся пружине.

Итак, мы видим, что давление жидкости, текущей по трубе, больше там, где скорость движения жидкости меньше, и обратно: давление меньше там, где скорость движения жидкости больше. Эту зависимость между скоростью жидкости и ее давлением называют законом Бернулли по имени швейцарского физика и математика Даниила Бернулли (1700-1782).

Закон Бернулли имеет место и для жидкостей и для газов. Он остается в силе и для движения жидкости, не ограниченного стенками трубы, - в свободном потоке жидкости. В этом случае закон Бернулли нужно применять следующим образом.

Допустим, что движение жидкости или газа не изменяется с течением времени (установившееся течение). Тогда мы можем представить себе внутри потока линии, вдоль которых происходит движение жидкости. Эти линии называются линиями тока; они разбивают жидкость на отдельные струи, которые текут рядом, не смешиваясь. Линии тока можно сделать видимыми, вводя в поток воды жидкую краску через тонкие трубочки. Струйки краски располагаются вдоль линий тока. В воздухе для получения видимых линий тока можно воспользоваться струйками дыма. Можно показать, что закон Бернулли применим для каждой струи в отдельности : давление больше в тех местах струи, где скорость в ней меньше и, следовательно, где сечение струи больше, и обратно. Из рис. 311 видно, что сечение струи велико в тех местах, где линии тока расходятся; там же, где сечение струи меньше, линии тока сближаются. Поэтому закон Бернулли можно сформулировать еще так: в тех местах потока, где линии тока гуще, давление меньше, а в тех местах, где линии тока реже, давление больше.

Возьмем трубу, имеющую сужение, и будем пропускать по ней с большой скоростью воду. Согласно закону Бернулли, в суженной части давление будет понижено. Можно так подобрать форму трубы и скорость потока, что в суженной части давление воды будет меньше атмосферного. Если теперь присоединить к узкой части трубы отводную трубку (рис. 312), то наружный воздух будет засасываться в место с меньшим давлением: попадая в струю, воздух будет уноситься водой. Используя это явление, можно построить разрежающий насос - так называемый водоструйный насос. В изображенной на рис. 313 модели водоструйного насоса засасывание воздуха производится через кольцевую щель 1, вблизи которой вода движется с большой скоростью. Отросток 2 присоединяется к откачиваемому сосуду. Водоструйные насосы не имеют движущихся твердых частей (как, например, поршень в обычных насосах), что составляет одно из их преимуществ.