تحديد الكرة. المجال والكرة والقطعة والقطاع

الكرة هي جسم يتكون من جميع النقاط في الفضاء التي تقع على مسافة لا تزيد عن مسافة معينة من نقطة معينة. وتسمى هذه النقطة مركز الكرة، وتسمى هذه المسافة نصف قطر الكرة. تسمى حدود الكرة بالسطح الكروي أو المجال. نقاط الكرة هي جميع نقاط الكرة التي تتم إزالتها من المركز على مسافة تساوي نصف القطر. أي قطعة تربط مركز الكرة بنقطة على سطح كروي تسمى أيضًا نصف القطر. الجزء الذي يمر عبر مركز الكرة ويربط نقطتين على السطح الكروي يسمى القطر. تسمى نهايات أي قطر نقاطًا متقابلة تمامًا للكرة.

الكرة هي جسم الثورة، تماما مثل المخروط والأسطوانة. يتم الحصول على الكرة عن طريق تدوير نصف دائرة حول قطرها كمحور.

يمكن العثور على مساحة سطح الكرة باستخدام الصيغ:

حيث r هو نصف قطر الكرة، d هو قطر الكرة.

يتم العثور على حجم الكرة من خلال الصيغة:

الخامس = 4 / 3 ط 3،

حيث r هو نصف قطر الكرة

نظرية. كل جزء من الكرة بجوار المستوى هو دائرة. مركز هذه الدائرة هو قاعدة العمود المرسوم من مركز الكرة على مستوى القطع.

بناءً على هذه النظرية، إذا كانت كرة مركزها O ونصف قطرها R تتقاطع مع المستوى α، فإن المقطع العرضي ينتج دائرة نصف قطرها r ومركزها K. يمكن العثور على نصف قطر قسم الكرة بالمستوى بواسطة الصيغة

يتضح من الصيغة أن المستويات المتساوية البعد عن المركز تتقاطع مع الكرة في دوائر متساوية. يكون نصف قطر القسم أكبر، وكلما اقترب مستوى القطع من مركز الكرة، أي كلما كانت المسافة أصغر. أكبر نصف قطر له مقطع من مستوى يمر عبر مركز الكرة. نصف قطر هذه الدائرة يساوي نصف قطر الكرة.

المستوى الذي يمر عبر مركز الكرة يسمى المستوى المركزي. ويسمى مقطع الكرة من المستوى القطري دائرة كبيرة، ويسمى مقطع الكرة دائرة كبيرة، ويسمى مقطع الكرة دائرة عظيمة.

نظرية. أي مستوى قطري للكرة هو مستوى تماثلها. مركز الكرة هو مركز التماثل.

المستوى الذي يمر عبر النقطة A من السطح الكروي ويكون عموديًا على نصف القطر المرسوم على النقطة A يسمى المستوى المماس. النقطة أ تسمى نقطة المماس.

نظرية. المستوى المماس له نقطة مشتركة واحدة فقط مع الكرة - نقطة الاتصال.

الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة A من السطح الكروي المتعامد مع نصف القطر المرسوم على هذه النقطة يسمى المماس.

نظرية. يمر عدد لا نهائي من المماسات عبر أي نقطة على السطح الكروي، وتقع جميعها في مستوى مماس الكرة.

القطعة الكروية هي جزء من الكرة المقطوعة منها بواسطة مستوى. الدائرة ABC هي قاعدة القطعة الكروية. القطعة العمودية MN المرسومة من المركز N للدائرة ABC إلى تقاطعها مع السطح الكروي هي ارتفاع القطعة الكروية. النقطة M هي قمة الجزء الكروي.

يمكن حساب مساحة سطح القطعة الكروية باستخدام الصيغة:

يمكن إيجاد حجم القطعة الكروية باستخدام الصيغة:

V = πh 2 (R – 1/3h)،

حيث R هو نصف قطر الدائرة الكبرى، وh هو ارتفاع القطعة الكروية.

يتم الحصول على قطاع كروي من قطعة كروية ومخروط على النحو التالي. إذا كان الجزء الكروي أصغر من نصف الكرة الأرضية، فإن الجزء الكروي يُستكمل بمخروط، رأسه في وسط الكرة، والقاعدة هي قاعدة القطعة. إذا كان الجزء أكبر من نصف الكرة الأرضية، فسيتم إزالة المخروط المحدد منه.

القطاع الكروي هو جزء من كرة يحدها سطح منحني لقطعة كروية (في شكلنا هذا هو AMCB) وسطح مخروطي (في شكلنا هو OABC)، قاعدته هي قاعدة الكرة. القطعة (ABC)، والرأس هو مركز الكرة O.

يتم العثور على حجم القطاع الكروي بالصيغة:

V = 2/3 πR 2 H.

الطبقة الكروية هي جزء من كرة محصورة بين مستويين متوازيين (الطائرات ABC وDEF في الشكل) تتقاطع مع السطح الكروي. ويسمى السطح المنحني للطبقة الكروية بالحزام الكروي (المنطقة). الدوائر ABC و DEF هي قواعد الحزام الكروي. المسافة NK بين قاعدتي الحزام الكروي هي ارتفاعه.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

الهندسة

القسم الثاني. القياس المجسم

§22. كرة. جسم كروي.

1. تعريف الكرة والكرة. عناصر الكرة والمجال.

الرصاصة هي جسم هندسي يتكون من دوران دائرة حول محور يحتوي على قطرها (شكل 500).

يُسمى مركز الدائرة التي تدور مركز الكرة، ونصف قطر الدائرة هو نصف قطر الكرة، وقطر الدائرة هو قطر الكرة. في الشكل 500، النقطة O هي مركز الكرة، وOA وOB هما نصف قطر الكرة، وAB هو قطر الكرة.

سطح الكرة يسمى المجال.

مركز الكرة ونصف قطرها وقطرها هو أيضًا مركز الكرة ونصف قطرها وقطرها.

جميع النقاط الموجودة على الكرة تقع على نفس المسافة، أي ما يعادل نصف القطر، من مركز الكرة. تسمى نقاط الكرة الأخرى التي لا تنتمي إلى الكرة بالنقاط الداخلية، ويقال أن هذه النقاط تقع داخل الكرة. تقع النقاط الداخلية للكرة من مركز الكرة على مسافة أقل من نصف القطر.

وهكذا نأتي إلى تعريف آخر للكرة والكرة.

الكرة هي سطح يتكون من جميع النقاط الموجودة في الفضاء والتي تكون على مسافة متساوية من نفس النقطة. وتسمى هذه النقطة مركز الكرة، والمسافة من مركز الكرة إلى أي نقطة من نقاطها هي نصف قطر الكرة.

الرصاصة هي جسم هندسي يتكون من جميع النقاط في الفضاء الواقعة على مسافة لا تزيد عن نقطة معينة من نقطة معينة. وتسمى هذه النقطة مركز الكرة، وتسمى هذه المسافة نصف قطر الكرة.

مثال. نصف قطر الكرة 3.5 سم، وتقع النقطة أ داخل الكرة أو خارجها إذا كانت بعيدة عن مركز الكرة: 1) سم، 2)سم.

تعريف.

جسم كروي (سطح الكرة) هي مجموعة جميع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تقع على نفس المسافة من نقطة واحدة تسمى مركز الكرة(عن).

يمكن وصف الكرة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد يتم تشكيله عن طريق تدوير دائرة حول قطرها بمقدار 180 درجة أو نصف دائرة حول قطرها بمقدار 360 درجة.

تعريف.

كرةهي مجموعة من جميع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والتي لا تتجاوز المسافة منها مسافة معينة إلى نقطة تسمى مركز الكرة(O) (مجموعة كل نقاط الفضاء ثلاثي الأبعاد المحدودة بالكرة).

يمكن وصف الكرة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من دوران دائرة حول قطرها بمقدار 180 درجة أو نصف دائرة حول قطرها بمقدار 360 درجة.

تعريف. نصف قطر الكرة (الكرة)(R) هي المسافة من مركز الكرة (الكرة) ياإلى أي نقطة على الكرة (سطح الكرة).

تعريف. قطر الكرة (الكرة).(د) قطعة تصل بين نقطتين من الكرة (سطح الكرة) وتمر بمركزها.

معادلة. حجم المجال:

الخامس=	4	π ر 3 =	1	ب د3
	3		6

معادلة. مساحة سطح الكرةمن خلال نصف القطر أو القطر:

ق = 4π ر 2 = ط د 2

معادلة المجال

1. معادلة كرة نصف قطرها R ومركزها عند أصل نظام الإحداثيات الديكارتية:

س 2 + ص 2 + ض 2 = ر 2

2. معادلة كرة نصف قطرها R ومركزها عند نقطة بإحداثيات (x 0, y 0, z 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية:

(س - س 0) 2 + (ص - ص 0) 2 + (ض - ض 0) 2 = ر 2

تعريف. نقاط متقابلة تماماهي أي نقطتين على سطح الكرة (الكرة) متصلتين بقطر.

الخصائص الأساسية للكرة والكرة

1. جميع نقاط الكرة متساوية البعد عن المركز.

2. أي جزء من الكرة بجوار المستوى هو دائرة.

3. أي جزء من الكرة بجوار المستوى هو دائرة.

4. الكرة لها الحجم الأكبر بين جميع الأشكال المكانية التي لها نفس مساحة السطح.

5. من خلال أي نقطتين متقابلتين تمامًا، يمكنك رسم العديد من الدوائر الكبيرة للكرة أو دوائر للكرة.

6. من خلال أي نقطتين، باستثناء النقاط المتقابلة تمامًا، يمكنك رسم دائرة كبيرة واحدة فقط للكرة أو دائرة كبيرة للكرة.

7. أي دائرتين كبيرتين من كرة واحدة تتقاطعان على طول خط مستقيم يمر بمركز الكرة، وتتقاطع الدائرتان عند نقطتين متقابلتين تماماً.

8. إذا كانت المسافة بين مركزي أي كرتين أقل من مجموع نصف قطرهما وأكبر من معامل الفرق بين نصفي القطر فإن هذه الكرات تتقاطع، وتتكون دائرة في مستوى التقاطع.

قاطع، وتر، مستوى قاطع للكرة وخصائصها

تعريف. قاطع المجالهو الخط المستقيم الذي يقطع الكرة في نقطتين. يتم استدعاء نقاط التقاطع نقاط خارقةالأسطح أو نقاط الدخول والخروج على السطح.

تعريف. وتر الكرة (الكرة)- هذا هو الجزء الذي يربط بين نقطتين على الكرة (سطح الكرة).

تعريف. طائرة القطعهو المستوى الذي يتقاطع مع الكرة.

تعريف. الطائرة القطرية- هذا هو المستوى القاطع الذي يمر عبر مركز الكرة أو الكرة، ويتشكل القسم وفقًا لذلك دائرة كبيرةو دائرة كبيرة. الدائرة الكبرى والدائرة الكبرى لهما مركز يتطابق مع مركز الكرة (الكرة).

أي وتر يمر عبر مركز الكرة (الكرة) هو قطر.

الوتر هو جزء من خط قاطع.

المسافة d من مركز الكرة إلى القاطع تكون دائمًا أقل من نصف قطر الكرة:

د< R

تكون المسافة m بين مستوى القطع ومركز الكرة دائمًا أقل من نصف القطر R:

م< R

سيكون موقع قسم مستوى القطع على الكرة دائمًا دائرة صغيرةوعلى الكرة سيكون القسم دائرة صغيرة. الدائرة الصغيرة والدائرة الصغيرة لها مراكزها الخاصة التي لا تتطابق مع مركز الكرة (الكرة). يمكن العثور على نصف القطر r لهذه الدائرة باستخدام الصيغة:

ص = √R 2 - م 2,

حيث R هو نصف قطر الكرة (الكرة)، وm هي المسافة من مركز الكرة إلى مستوى القطع.

تعريف. نصف الكرة الأرضية (نصف الكرة الأرضية)- هذا نصف الكرة (الكرة) التي تتشكل عند قطعها بمستوى قطري.

المماس، مستوى المماس للكرة وخصائصها

تعريف. الظل إلى المجالهو الخط المستقيم الذي يمس الكرة في نقطة واحدة فقط.

تعريف. مستوى مماس إلى كرةهو المستوى الذي يلامس الكرة عند نقطة واحدة فقط.

يكون خط المماس (المستوى) دائمًا متعامدًا مع نصف قطر الكرة المرسوم على نقطة الاتصال

المسافة من مركز الكرة إلى خط المماس (المستوى) تساوي نصف قطر الكرة.

تعريف. شريحة الكرة- هذا هو جزء الكرة الذي يتم قطعه عن الكرة بواسطة مستوى القطع. أساس المقطعتسمى الدائرة التي تشكلت في موقع القسم. ارتفاع القطاع h هو طول العمود المرسوم من منتصف قاعدة القطعة إلى سطح القطعة.

معادلة. مساحة السطح الخارجي لقطعة كرويةمع الارتفاع h عبر نصف قطر الكرة R:

S = 2πRh

الكرة (المجال)

سطح كروي. الكرة (المجال). أقسام الكرة: الدوائر.

نظرية أرخميدس. أجزاء الكرة: الجزء الكروي،

طبقة كروية، حزام كروي، قطاع كروي.

سطح كروي - هذا موضع النقاط(أولئك. كثيرعدد جميع النقاط)في الفضاء، على مسافة متساوية من نقطة واحدة يا وهو ما يسمى مركز السطح الكروي (الشكل 90). نصف القطر AOi قطر الدائرةأ.ب يتم تحديدها بنفس الطريقة كما في الدائرة.

الكرة (المجال) - هذا جسم يحده سطح كروي.يستطيع الحصول على الكرة عن طريق تدوير نصف الدائرة (أو دائرة ) حول القطر. جميع أقسام الطائرة من الكرة هي الدوائر (الشكل 90 ). تقع الدائرة الأكبر في قسم يمر بمركز الكرة ويسمى دائرة كبيرة. نصف قطرها يساوي نصف قطر الكرة. أي دائرتان كبيرتان تتقاطعان على طول قطر الكرة (أب، الشكل 91 ).وهذا القطر هو أيضاً قطر الدوائر الكبرى المتقاطعة. من خلال نقطتين من سطح كروي يقعان في طرفي القطر نفسه(أ وب، الشكل 91 )، يمكنك رسم عدد لا يحصى من الدوائر الكبيرة. على سبيل المثال، يمكن رسم عدد لا نهائي من خطوط الطول عبر قطبي الأرض.

حجم الكرة أقل بمرة ونصف من حجم الأسطوانة المحيطة بها. (الشكل 92 ), أ سطح الكرة أقل بمرة ونصف من السطح الكلي لنفس الاسطوانة ( نظرية أرخميدس):

هنا س كرة و الخامس كرة - سطح وحجم الكرة، على التوالي؛

س اسطوانة و الخامس اسطوانة - إجمالي سطح وحجم الاسطوانة المقيدة.

أجزاء من الكرة. جزء من الكرة (المجال) ) ، قطعت عنه طائرة ما ( ABC، الشكل 93)، مُسَمًّى كرة(كروية ) شريحة. دائرة ABC مُسَمًّى أساسشريحة الكرة. القطعة المستقيمةمينيسوتا عمودي مرسوم من المركزدائرة N ABC حتى يتقاطع مع سطح كروي يسمى ارتفاعشريحة الكرة. نقطةم مُسَمًّى قمةشريحة الكرة.

جزء من الكرة المحصور بين مستويين متوازيين ABC وDEF يتقاطعان مع سطح كروي (الشكل 93)، مُسَمًّى طبقة كروية; يسمى السطح المنحني للطبقة الكروية حزام الكرة(منطقة). الدوائر ABC وDEF – أسبابحزام الكرة. مسافةن.ك. بين قواعد الحزام الكروي - لها ارتفاع. جزء الكرة الذي يحده السطح المنحني لقطعة كروية (أي أم سي بي، الشكل 93) والسطح المخروطيأوابك ، قاعدتها هي قاعدة القطعة (اي بي سي )، والرأس هو مركز الكرةيا ، مُسَمًّى القطاع الكروي.

الكرة والكرة هما في المقام الأول أشكال هندسية، وإذا كانت الكرة جسمًا هندسيًا، فإن الكرة هي سطح الكرة. كانت هذه الأرقام محل اهتمام منذ آلاف السنين قبل الميلاد.

بعد ذلك، عندما تم اكتشاف أن الأرض عبارة عن كرة، والسماء عبارة عن كرة سماوية، تم تطوير اتجاه رائع جديد في الهندسة - الهندسة على المجال أو الهندسة الكروية. لكي نتحدث عن حجم الكرة وحجمها، يجب عليك أولاً تحديدها.

كرة

الكرة التي نصف قطرها R ومركزها النقطة O في الهندسة هي جسم يتكون من جميع النقاط في الفضاء التي لها خاصية مشتركة. وتقع هذه النقاط على مسافة لا تتجاوز نصف قطر الكرة، أي أنها تملأ المساحة بأكملها أقل من نصف قطر الكرة في جميع الاتجاهات من مركزها. إذا أخذنا في الاعتبار فقط تلك النقاط التي تقع على مسافة متساوية من مركز الكرة، فسنأخذ في الاعتبار سطحها أو غلاف الكرة.

كيف يمكنني الحصول على الكرة؟ يمكننا قطع دائرة من الورق والبدء في تدويرها حول قطرها. أي أن قطر الدائرة سيكون محور الدوران. سيكون الشكل الناتج عبارة عن كرة. لذلك تسمى الكرة أيضًا بجسم الثورة. لأنه يمكن تشكيلها عن طريق تدوير شكل مسطح - دائرة.

لنأخذ طائرة ونقطع بها كرتنا. مثلما نقطع البرتقالة بالسكين. القطعة التي نقطعها من الكرة تسمى قطعة كروية.

في اليونان القديمة، كانوا يعرفون ليس فقط كيفية العمل مع الكرة والكرة كأشكال هندسية، على سبيل المثال، لاستخدامها في البناء، ولكنهم عرفوا أيضًا كيفية حساب مساحة سطح الكرة وحجم الكرة.

الكرة هي اسم آخر لسطح الكرة. الكرة ليست جسمًا، بل هي سطح جسم دوراني. ومع ذلك، بما أن الأرض والعديد من الأجسام لها شكل كروي، على سبيل المثال قطرة ماء، فقد أصبحت دراسة العلاقات الهندسية داخل الكرة منتشرة على نطاق واسع.

على سبيل المثال، إذا قمنا بتوصيل نقطتين من الكرة مع بعضهما البعض بخط مستقيم، فإن هذا الخط المستقيم يسمى وترًا، وإذا مر هذا الوتر بمركز الكرة الذي يتطابق مع مركز الكرة، عندها سيسمى الوتر قطر الكرة.

إذا رسمنا خطًا مستقيمًا يمس الكرة عند نقطة واحدة فقط، فسيسمى هذا الخط مماسًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن مماس الكرة عند هذه النقطة سيكون عموديًا على نصف قطر الكرة المرسوم على نقطة التماس.

إذا قمنا بمد الوتر إلى خط مستقيم في اتجاه أو آخر من الكرة، فإن هذا الوتر يسمى قاطعًا. أو يمكننا أن نقول ذلك بشكل مختلف - القاطع للكرة يحتوي على الوتر الخاص به.

حجم الكرة

صيغة حساب حجم الكرة هي:

حيث R هو نصف قطر الكرة.

إذا أردت إيجاد حجم قطعة كروية، فاستخدم الصيغة:

V seg =πh 2 (R-h/3)، h هو ارتفاع القطعة الكروية.

مساحة سطح الكرة أو المجال

لحساب مساحة الكرة أو مساحة سطح الكرة (هما نفس الشيء):

حيث R هو نصف قطر الكرة.

كان أرخميدس مغرمًا جدًا بالكرة والكرة، حتى أنه طلب ترك رسم على قبره تم فيه نقش كرة في أسطوانة. يعتقد أرخميدس أن حجم الكرة وسطحها يساوي ثلثي حجم وسطح الأسطوانة التي حُفرت فيها الكرة.