ما هي الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد. أبسط خصائص التكاملات

في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج الخصائص الرئيسية للتكامل المحدد. تم إثبات معظم هذه الخصائص بناءً على مفاهيم التكامل المحدد لريمان ودربوكس.

غالبًا ما يتم حساب التكامل المحدد باستخدام الخصائص الخمس الأولى، لذا سنشير إليها عند الضرورة. تُستخدم الخصائص المتبقية للتكامل المحدد بشكل أساسي لتقييم التعبيرات المختلفة.

قبل المضي قدما الخصائص الأساسية للتكامل المحددفلنتفق على أن أ لا يتجاوز ب.

بالنسبة للدالة y = f(x) المعرفة عند x = a، تكون المساواة صحيحة.

أي أن قيمة التكامل المحدد الذي له نفس حدود التكامل تساوي صفرًا. هذه الخاصية هي نتيجة لتعريف تكامل ريمان، لأنه في هذه الحالة كل مجموع متكامل لأي قسم من الفترة وأي اختيار للنقاط يساوي الصفر، حيث أن نهاية المجاميع التكاملية هي صفر.

بالنسبة لدالة قابلة للتكامل على فترة ما، .

بمعنى آخر، عندما يتغير مكان الحدين العلوي والسفلي للتكامل، تتغير قيمة التكامل المحدد إلى العكس. تتبع خاصية التكامل المحدد أيضًا مفهوم تكامل ريمان، ويجب أن يبدأ ترقيم قسم المقطع فقط من النقطة x = b.

للوظائف القابلة للتكامل على فترة y = f(x) و y = g(x) .

دليل.

دعونا نكتب مجموع لا يتجزأ من الوظيفة لقسم معين من المقطع واختيار معين من النقاط:

أين و هي المجاميع المتكاملة للوظائف y = f(x) و y = g(x) لقسم معين من المقطع، على التوالي.

الذهاب إلى الحد في نحصل على ذلك، من خلال تعريف تكامل ريمان، يعادل بيان الخاصية التي تم إثباتها.

يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التكامل المحدد. أي أنه بالنسبة للدالة y = f(x) القابلة للتكامل على فترة ورقم عشوائي k، فإن المساواة التالية: .

إن إثبات خاصية التكامل المحدد هذه مشابه تمامًا للخاصية السابقة:


دع الدالة y = f(x) تكون قابلة للتكامل على الفاصل الزمني X، و وثم .

هذه الخاصية صحيحة بالنسبة لكل من و أو .

يمكن إجراء البرهان بناءً على الخصائص السابقة للتكامل المحدد.

إذا كانت الدالة قابلة للتكامل على فترة ما، فهي قابلة للتكامل على أي فترة داخلية.

يعتمد الإثبات على خاصية مجاميع داربوكس: إذا تمت إضافة نقاط جديدة إلى قسم موجود من قطعة ما، فلن ينخفض ​​مجموع داربوكس السفلي، ولن يزيد المجموع العلوي.

إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للتكامل على الفاصل الزمني ولأي قيمة للوسيطة، إذن .

تم إثبات هذه الخاصية من خلال تعريف تكامل ريمان: أي مجموع متكامل لأي اختيار لنقاط تقسيم القطعة والنقاط عندها سيكون غير سالب (ليس موجبًا).

عاقبة.

بالنسبة للوظائف y = f(x) وy = g(x) القابلة للتكامل على فترة زمنية، فإن المتباينات التالية تحمل:


وهذا البيان يعني أن تكامل المتباينات جائز. سوف نستخدم هذه النتيجة الطبيعية لإثبات الخصائص التالية.

افترض أن الدالة y = f(x) قابلة للتكامل على الفترة، فإن المتراجحة تظل قائمة .

دليل.

من الواضح أن . اكتشفنا في الخاصية السابقة أن المتباينة يمكن تكاملها حدًا بعد حد، وبالتالي فهي صحيحة . يمكن كتابة هذه المتباينة المزدوجة على النحو التالي: .

افترض أن الدالتين y = f(x) و y = g(x) قابلة للتكامل على الفترة ولأي قيمة للوسيطة، إذن ، أين و .

يتم تنفيذ الإثبات بالمثل. نظرًا لأن m و M هما أصغر وأكبر قيم للدالة y = f(x) على القطعة، إذن . ضرب المتباينة المزدوجة في دالة غير سالبة y = g(x) يقودنا إلى المتباينة المزدوجة التالية. بدمجها في الفترة، نصل إلى البيان الذي تم إثباته.

في حساب التفاضل والتكامل يتم حل المشكلة: تحت هذه الدالة ƒ(x) أوجد مشتقتها(أو التفاضلية). حساب التفاضل والتكامل التكاملي يحل المشكلة العكسية: ابحث عن الدالة F(x)، مع معرفة مشتقها F "(x)=ƒ(x) (أو التفاضلية). تسمى الوظيفة المطلوبة F(x) المشتق العكسي للدالة ƒ(x) ).

يتم استدعاء الدالة F(x). مشتق مضادالدالة ƒ(x) على الفاصل الزمني (a; b)، إذا كانت المساواة لأي x є (a; b)

F " (x)=ƒ(x) (أو dF(x)=ƒ(x)dx).

على سبيل المثال، المشتق العكسي للدالة y = x 2, x є R، هي الوظيفة، حيث

من الواضح أن أي وظائف ستكون أيضًا مشتقات عكسية

حيث C هو ثابت، منذ

النظرية 29. 1. إذا كانت الدالة F(x) هي مشتق عكسي للدالة ƒ(x) على (a;b)، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية لـ ƒ(x) تعطى بالصيغة F(x)+ C، حيث C هو عدد ثابت.

▲ الدالة F(x)+C هي مشتق عكسي للدالة ƒ(x).

في الواقع، (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

دع Ф(x) يكون شيئًا آخر مختلفًا عن F(x)، المشتق العكسي للدالة ƒ(x)، أي Ф "(x)=ƒ(x). ثم لأي x є (а;b) لدينا

وهذا يعني (انظر النتيجة الطبيعية 25.1) ذلك

حيث C هو عدد ثابت. ولذلك، Ф(x)=F(x)+С.▼

مجموعة جميع دوال المشتقات العكسية F(x)+С لـ ƒ(x) تسمى التكامل غير المحدد للدالة ƒ(x)ويشار إليه بالرمز ∫ ƒ(x) dx.

وهكذا بحكم التعريف

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

هنا يتم استدعاء ƒ(x). وظيفة التكامل، ƒ(x)dx — تعبير التكامل, X - متغير التكامل, ∫ -علامة التكامل غير المحدد.

تسمى عملية إيجاد التكامل غير المحدد للدالة بتكامل هذه الوظيفة.

هندسيًا، التكامل غير المحدد عبارة عن عائلة من المنحنيات "المتوازية" y=F(x)+C (كل قيمة عددية لـ C تتوافق مع منحنى محدد للعائلة) (انظر الشكل 166). يسمى الرسم البياني لكل مشتق عكسي (منحنى). منحنى متكامل.

هل كل دالة لها تكامل غير محدد؟

هناك نظرية تنص على أن "كل دالة متصلة على (a;b) لها مشتقة عكسية في هذه الفترة"، وبالتالي، تكامل غير محدد.

دعونا نلاحظ عددًا من خصائص التكامل غير المحدد التي تتبع تعريفه.

1. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل، ومشتقة التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

د(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dx, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

في الواقع، d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

بفضل هذه الخاصية، يتم التحقق من صحة التكامل عن طريق التمايز. على سبيل المثال، المساواة

∫(3x 2 + 4) dx=x з +4x+С

صحيح، لأن (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

∫dF(x)= F(x)+C.

حقًا،

3. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

α ≠ 0 ثابت.

حقًا،

(ضع ج 1 / أ = ج.)

4. التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال المستمرة يساوي المجموع الجبري لتكاملات مجاميع الدوال:

دع F"(x)=ƒ(x) وG"(x)=g(x). ثم

حيث C 1 ± C 2 = C.

5. (ثبات صيغة التكامل).

لو ، حيث u=φ(x) هي دالة عشوائية بمشتقة مستمرة.

▲ اجعل x متغيرًا مستقلاً، وƒ(x) دالة متصلة وF(x) هو المشتق العكسي لها. ثم

دعونا الآن نضع u=φ(x)، حيث φ(x) هي دالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر. النظر في الدالة المعقدة F(u)=F(φ(x)). ونظرا لثبات شكل التفاضل الأول للدالة (انظر ص 160) فقد أصبح لدينا

من هنا▼

وبالتالي، تظل صيغة التكامل غير المحدد صالحة بغض النظر عما إذا كان متغير التكامل هو المتغير المستقل أو أي دالة له لها مشتقة مستمرة.

لذلك، من الصيغة عن طريق استبدال x بـ u (u=φ(x)) نحصل على

بخاصة،

مثال 29.1.أوجد التكامل

حيث C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

مثال 29.2.أوجد الحل المتكامل:

• 29.3. جدول التكاملات الأساسية غير المحددة

من خلال الاستفادة من حقيقة أن التكامل هو الإجراء العكسي للتمايز، يمكن الحصول على جدول التكاملات الأساسية عن طريق قلب الصيغ المقابلة لحساب التفاضل والتكامل (جدول التفاضلات) واستخدام خصائص التكامل غير المحدد.

على سبيل المثال، لأن

د(الخطيئة ش)=كوس ش . du

سيتم اشتقاق عدد من الصيغ في الجدول عند النظر في الطرق الأساسية للتكامل.

تسمى التكاملات الموجودة في الجدول أدناه جدولية. وينبغي أن يعرفوا عن ظهر قلب. في حساب التفاضل والتكامل لا توجد قواعد بسيطة وعالمية لإيجاد المشتقات العكسية للدوال الأولية، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل. يتم تقليل طرق العثور على المشتقات العكسية (أي دمج دالة) إلى تقنيات الإشارة التي تجلب تكاملًا (مطلوبًا) معينًا إلى تكامل جدولي. لذلك، من الضروري معرفة تكاملات الجدول والقدرة على التعرف عليها.

لاحظ أنه في جدول التكاملات الأساسية، يمكن أن يشير متغير التكامل إلى متغير مستقل ودالة للمتغير المستقل (وفقًا لخاصية الثبات في صيغة التكامل).

يمكن التحقق من صحة الصيغ أدناه عن طريق أخذ التفاضل على الجانب الأيمن، والذي سيكون مساويا للتكامل على الجانب الأيسر من الصيغة.

لنثبت مثلا صحة الصيغة 2. الدالة 1/u محددة ومستمرة لجميع قيم الصفر وغيره.

إذا u > 0، ثم ln|u|=lnu، إذن لهذا

اذا كنت<0, то ln|u|=ln(-u). Ноوسائل

إذن الصيغة 2 صحيحة وبالمثل، دعونا نتحقق من الصيغة 15:

جدول التكاملات الرئيسية

أصدقاء! نحن ندعوك للمناقشة. إذا كان لديك رأيك الخاص، فاكتب لنا في التعليقات.

تُستخدم هذه الخصائص لإجراء تحويلات التكامل من أجل اختزاله إلى أحد التكاملات الأولية وإجراء مزيد من العمليات الحسابية.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

3. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

4. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:

علاوة على ذلك، ≠ 0

5. تكامل المجموع (الفرق) يساوي مجموع (الفرق) التكاملات:

6. الخاصية عبارة عن مزيج من الخاصيتين 4 و5:

علاوة على ذلك، أ ≠ 0 ˄ ب ≠ 0

7. خاصية الثبات للتكامل غير المحدد:

اذا ثم

8. الملكية:

اذا ثم

في الواقع، هذه الخاصية هي حالة خاصة من التكامل باستخدام طريقة التغيير المتغير، والتي سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل في القسم التالي.

لنلقي نظرة على مثال:

أولاً قمنا بتطبيق الخاصية 5، ثم الخاصية 4، ثم استخدمنا جدول المشتقات العكسية وحصلنا على النتيجة.

تدعم خوارزمية الآلة الحاسبة المتكاملة عبر الإنترنت جميع الخصائص المذكورة أعلاه وستجد بسهولة حلاً مفصلاً للتكامل الخاص بك.

التكامل المضاد والمشتق غير المحدد.

المشتق العكسي للدالة f(x) على الفاصل الزمني (a; b) هو دالة F(x) بحيث تكون المساواة لأي x من الفاصل الزمني المحدد.

إذا أخذنا في الاعتبار حقيقة أن مشتقة الثابت C تساوي صفرًا، فإن المساواة صحيحة . وبالتالي، فإن الدالة f(x) لديها مجموعة من المشتقات العكسية F(x)+C، لثابت اعتباطي C، وتختلف هذه المشتقات العكسية عن بعضها البعض بقيمة ثابتة اعتباطية.

تسمى المجموعة الكاملة للمشتقات العكسية للدالة f(x) بالتكامل غير المحدد لهذه الوظيفة ويشار إليها .

يُسمى التعبير بالتكامل، ويسمى f(x) بالتكامل. يمثل التكامل تفاضل الدالة f(x).

عملية إيجاد دالة مجهولة بمعلومية تفاضلها تسمى التكامل غير المحدد، لأن نتيجة التكامل ليست دالة واحدة F(x)، بل مجموعة من مشتقاتها العكسية F(x)+C.

تكاملات الجدول

أبسط خصائص التكاملات

1. مشتق نتيجة التكامل يساوي التكامل.

2. التكامل غير المحدد لتفاضل دالة يساوي مجموع الدالة نفسها وثابت اختياري.

3. يمكن إخراج المعامل من إشارة التكامل غير المحدد.

4. التكامل غير المحدد لمجموع/الفرق بين الدوال يساوي مجموع/الفرق للتكاملات غير المحددة للدوال.

تم إعطاء التساويات المتوسطة للخاصيتين الأولى والثانية للتكامل غير المحدد للتوضيح.

ولإثبات الخاصيتين الثالثة والرابعة يكفي إيجاد مشتقات الطرف الأيمن من المتساويات:

وهذه المشتقات تساوي التكاملات، وهو برهان للخاصية الأولى. يتم استخدامه أيضًا في التحولات الأخيرة.

وبالتالي فإن مشكلة التكامل هي عكس مشكلة التفاضل، وهناك ارتباط وثيق جداً بين هذه المشاكل:

الخاصية الأولى تسمح للمرء بالتحقق من التكامل. للتحقق من صحة التكامل الذي تم إجراؤه، يكفي حساب مشتق النتيجة التي تم الحصول عليها. إذا تبين أن الدالة التي تم الحصول عليها نتيجة التمايز تساوي التكامل، فهذا يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح؛

الخاصية الثانية للتكامل غير المحدد تسمح للمرء بالعثور على المشتق العكسي له من تفاضل معروف للدالة. يعتمد الحساب المباشر للتكاملات غير المحددة على هذه الخاصية.

1.4.ثبات أشكال التكامل.

التكامل الثابت هو نوع من التكامل للوظائف التي تكون وسيطاتها عبارة عن عناصر مجموعة أو نقاط في مساحة متجانسة (يمكن نقل أي نقطة في مثل هذا الفضاء إلى أخرى عن طريق إجراء معين للمجموعة).

يتم تقليل الدالة f(x) إلى حساب تكامل الشكل التفاضلي f.w، حيث

صيغة واضحة لـ r(x) موضحة أدناه. شرط الاتفاق له الشكل .

هنا Tg يعني عامل التحويل على X باستخدام gОG: Tgf(x)=f(g-1x). لنفترض أن X=G عبارة عن طوبولوجيا، وهي مجموعة تعمل على نفسها عن طريق التحولات إلى اليسار. انا و. يوجد إذا وفقط إذا كانت G مضغوطة محليًا (على وجه الخصوص، في المجموعات ذات الأبعاد اللانهائية I.I غير موجودة). لمجموعة فرعية من I. و. تحدد الوظيفة المميزة cA (تساوي 1 على A و0 خارج A) قياس Xaar الأيسر m(A). الخاصية المميزة لهذا القياس هي ثباته في ظل التحولات اليسرى: m(g-1A)=m(A) لجميع gОG. يتم تعريف مقياس هار الأيسر على المجموعة بشكل فريد حتى عامل عددي موجب. إذا كان قياس هار م معروفا، فأنا و. يتم إعطاء الدالة f بواسطة الصيغة . مقياس هار الصحيح له خصائص مماثلة. هناك تماثل مستمر (خريطة تحافظ على خاصية المجموعة) DG للمجموعة G في وضع المجموعة (فيما يتعلق بالضرب). الأرقام التي

حيث dmr وdmi هما مقاييس هار اليمنى واليسرى. يتم استدعاء الدالة DG(g). وحدة المجموعة G. إذا كانت ، فسيتم استدعاء المجموعة G. أحادي. وفي هذه الحالة تتطابق تدابير هار اليمين واليسار. المجموعات المدمجة وشبه البسيطة وغير القادرة (على وجه الخصوص، التبادلية) هي أحادية النمط. إذا كانت G عبارة عن مجموعة Lie ذات أبعاد n وq1,...,qn هي أساس في مساحة الأشكال 1 الثابتة اليسرى على G، فإن قياس Haar الأيسر على G يُعطى بواسطة النموذج n. في الإحداثيات المحلية للحساب

نماذج qi، يمكنك استخدام أي تحقيق مصفوفة للمجموعة G: يتم ترك المصفوفة ذات الشكل 1 g-1dg ثابتة، ومعاملها. هي نماذج عددية ثابتة 1 يتم اختيار الأساس المطلوب منها. على سبيل المثال، مجموعة المصفوفات الكاملة GL(n, R) هي أحادية الشكل ويتم إعطاء قياس هار عليها من خلال النموذج. يترك X=G/H عبارة عن مساحة متجانسة تكون فيها المجموعة المدمجة محليًا G مجموعة تحويلية، والمجموعة الفرعية المغلقة H هي عامل استقرار نقطة معينة. من أجل وجود i.i على X، من الضروري والكافي أن تكون المساواة DG(h)=DH(h) موجودة لجميع hОH. على وجه الخصوص، هذا صحيح في الحالة التي يكون فيها H مضغوطًا أو شبه بسيط. النظرية الكاملة لـ I. و. غير موجود في المشعبات اللانهائية الأبعاد.

استبدال المتغيرات.

المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكاملهو العثور على المشتقة F'(س)أو التفاضلية مدافع=F'(س)dxالمهام F(س).في حساب التكامل يتم حل المشكلة العكسية. وفقا لوظيفة معينة F(س) تحتاج إلى العثور على مثل هذه الوظيفة F(س)،ماذا F'(س)=F(س)أو مدافع (س)=F'(س)دي إكس=F(س)dx.

هكذا، المهمة الرئيسية لحساب التفاضل والتكاملهو استعادة الوظيفة F(س)بواسطة المشتق المعروف (التفاضلي) لهذه الدالة. حساب التفاضل والتكامل التكاملي له العديد من التطبيقات في الهندسة والميكانيكا والفيزياء والتكنولوجيا. إنه يوفر طريقة عامة للعثور على المساحات والأحجام ومراكز الثقل وما إلى ذلك.

تعريف. وظيفةF(x) ، يسمى المشتق العكسي للدالةF(x) على المجموعة X إذا كانت قابلة للتمييز لأي وF'(س)=F(خ) أومدافع (س)=F(س)dx.

نظرية. أي خط مستمر على الفاصل الزمني [أ؛ب] وظيفةF(x) لديه مشتق عكسي في هذا الجزءو(خ).

نظرية. لوف 1 (خ) وف 2 (x) - مشتقان عكسيان مختلفان لنفس الوظيفةF(x) على المجموعة x، فإنهما يختلفان عن بعضهما البعض بحد ثابت، أي.ف 2 (س)=ف 1س)+C، حيث C ثابت.

التكامل غير المحدود وخصائصه.

تعريف. الكليةF(س)+من جميع وظائف المشتقات العكسيةF(x) في المجموعة X يسمى تكاملاً غير محدد ويشار إليه:

- (1)

في الصيغة (1) F(س)dxمُسَمًّى تعبير التكامل,F(س) - وظيفة تكامل، س - متغير التكامل،أ ج – ثابت التكامل .

دعونا نفكر في خصائص التكامل غير المحدد التي تتبع تعريفه.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل، وتفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

و .

2. التكامل غير المحدد للتفاضل لوظيفة معينة يساوي مجموع هذه الوظيفة وثابت اعتباطي:

3. يمكن إخراج العامل الثابت a (a≠0) كعلامة للتكامل غير المحدد:

4. التكامل غير المحدد للمجموع الجبري لعدد محدود من الدوال يساوي المجموع الجبري لتكاملات هذه الدوال:

5. لوF(x) – المشتق العكسي للدالةF(س)، ثم:

6 (ثبات صيغ التكامل). تحتفظ أي صيغة تكامل بشكلها إذا تم استبدال متغير التكامل بأي دالة قابلة للتفاضل لهذا المتغير:

أينu هي دالة قابلة للتفاضل.

جدول التكاملات غير المحددة.

هيا نعطي القواعد الأساسية لدمج الوظائف.

هيا نعطي جدول التكاملات الأساسية غير المحددة(لاحظ أنه هنا، كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل، فإن الرسالة شيمكن تعيينه كمتغير مستقل (ش=س)ووظيفة المتغير المستقل (ش=ش(س)).)

(ن≠-1). (أ >0، أ≠1). (أ≠0). (أ≠0). (|u| > |a|).(|ش|< |a|).

يتم استدعاء التكاملات 1 - 17 مجدول.

يتم التحقق من بعض الصيغ المذكورة أعلاه في جدول التكاملات، والتي ليس لها نظير في جدول المشتقات، عن طريق اشتقاق أطرافها اليمنى.

تغيير المتغير والتكامل بالأجزاء في التكامل غير المحدد.

التكامل بالاستبدال (الاستبدال المتغير). فليكن من الضروري حساب التكامل

، وهي ليست جدولية. جوهر طريقة الاستبدال هو أنه في التكامل المتغير Xاستبدال مع متغير روفقا للصيغة س = φ(ر)،أين دكس = φ'(ر)dt.

نظرية. دع الوظيفةس = φ(t) محددة وقابلة للتفاضل على مجموعة معينة T ولتكن X هي مجموعة قيم هذه الدالة التي يتم تعريف الدالة عليهاF(س). ثم إذا كانت الوظيفة X على المجموعةF(