الطريقة الوظيفية لحل المعادلات. "الدالة الأسية
ايفانوفا اناستازيا
المهمة رقم 15 من الامتحان المتخصص في الرياضيات هي مهمة ذات مستوى متزايد من التعقيد، تمثل عدم المساواة. عند حل هذه المتباينات، يجب على الطلاب إثبات المعرفة بالنظريات المتعلقة بتكافؤ المتباينات من نوع معين، والقدرة على استخدام طرق الحل القياسية وغير القياسية. يوضح تحليل محتوى الكتب المدرسية أنه في معظمها، لا تحظى طرق حل عدم المساواة باستخدام خصائص الوظائف بالاهتمام الواجب، وفي مهام امتحان الدولة الموحدة يتم اقتراح عدم المساواة كل عام تقريبًا، ويتم تبسيط حلها إذا تم تطبيق خصائص الوظائف. ووفقا للإحصاءات المعروضة على الموقع الإلكتروني للمعهد الاتحادي للقياسات التربوية، في عام 2017، حصل حوالي 15٪ من المشاركين في الامتحان على نقاط غير الصفر لهذه المهمة؛ الحد الأقصى للدرجة هو حوالي 11٪. كل ما لوحظ يشير إلى أن الطلاب يواجهون صعوبات كبيرة في حل المهمة رقم 15 من امتحان الدولة الموحدة. هدف: استكشاف طرق مختلفة لحل عدم المساواة.
:
1. دراسة المواد النظرية حول هذا الموضوع.
2. خذ بعين الاعتبار الأمثلة المقدمة في بنك مهام امتحان الدولة الموحدة على الموقع الإلكتروني للمعهد الفيدرالي للقياسات التربوية.
3. دراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات.
4. قارن بين الطرق المختلفة لحل المتباينات.
5. تحقق تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية.
طرق البحث:المسح والتساؤل والتحليل والمقارنة وتوليف النتائج.
قمنا في عملنا بدراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات. تمت مقارنة الطرق المختلفة لحل عدم المساواة. لقد تحققنا تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية. وتوصلوا إلى استنتاج مفاده أنه يجب على الطالب معرفة عدة طرق لحل المتباينات من أجل توفير الوقت وتقليل مخاطر الأخطاء المنطقية والحسابية.
تحميل:
معاينة:
دراسة الطرق المختلفة لحل عدم المساواة
إيفانوفا أناستاسيا إيفجينيفنا
المؤسسة التعليمية للميزانية البلدية
"المدرسة الثانوية رقم 30 مع دراسة متعمقة للمواد الفردية"
درجة 11 ب
المقالة العلمية (الوصف الوظيفي)
1 المقدمة
ملاءمة.
المهمة رقم 15 من الامتحان المتخصص في الرياضيات هي مهمة ذات مستوى متزايد من التعقيد، تمثل عدم المساواة (عقلانية، غير عقلانية، أسية، لوغاريتمية). عند حل هذه المتباينات، يجب على الطلاب إثبات المعرفة بالنظريات المتعلقة بتكافؤ المتباينات من نوع معين، والقدرة على استخدام طرق الحل القياسية وغير القياسية.
الحل الصحيح الكامل لهذه المهمة يستحق نقطتين. عند حل مشكلة ما، تكون أي طرق رياضية مقبولة - جبرية، وظيفية، رسومية، هندسية، إلخ.
ووفقا للإحصاءات المعروضة على الموقع الإلكتروني للمعهد الاتحادي للقياسات التربوية، في عام 2017، حصل حوالي 15٪ من المشاركين في الامتحان على نقاط غير الصفر لهذه المهمة؛ الحد الأقصى للدرجة هو حوالي 11٪. ترتبط الأخطاء النموذجية بالقراءة غير الدقيقة للتدوين الرياضي لعدم المساواة، وسوء فهم الخوارزمية لحل مجاميع وأنظمة عدم المساواة اللوغاريتمية. ارتكب المشاركون في الامتحان الكثير من الأخطاء عند حل المتباينات العقلانية الكسرية (تم نسيان المقام).
يتم عرض نتائج إكمال المهمة رقم 15 من قبل طلاب مدرستنا في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات في الجدول 1 وفي الرسم التخطيطي (الشكل 1).
الجدول 1
نتائج المهمة رقم 15 لطلاب مدرستنا
رسم بياني 1. نتائج المهمة رقم 15 لطلاب مدرستنا
نتائج المهمة رقم 15 على امتحان المدينة التجريبي للصفوف 11أ،ب للعام الدراسي 2017-2018. يتم عرض السنة في الجدول 2 وفي الرسم التخطيطي (الشكل 2).
الجدول 2
نتائج المهمة رقم 15 الخاصة بإمتحان المدينة التجريبي
في العام الدراسي 2017-2018. السنة من قبل طلاب مدرستنا
الصورة 2. نتائج المهمة رقم 15 على الامتحان التجريبي للعام الدراسي 2017-2018. السنة من قبل طلاب مدرستنا
أجرينا دراسة استقصائية لمعلمي الرياضيات في مدرستنا وحددنا المشاكل الرئيسية التي يواجهها الطلاب عند حل عدم المساواة: التحديد غير الصحيح لنطاق القيم المقبولة لعدم المساواة؛ النظر في ليس كل حالات الانتقال من عدم المساواة اللوغاريتمية إلى العقلاني؛ تحويل التعبيرات اللوغاريتمية. أخطاء في استخدام طريقة الفاصل الزمني، وما إلى ذلك.
يرتبط عدد من الأخطاء النموذجية باستخدام طريقة الفاصل وإدخال متغير مساعد. على سبيل المثال، يمكن تفسير الخطأ في تحديد الإشارات على فترات أو الوضع غير الصحيح للأرقام على خط الإحداثيات، وفقًا للمعايير، على أنه أخطاء حسابية. أما الحالات الأخرى المتعلقة بتخطي خطوات الخوارزمية أو تنفيذها بشكل غير صحيح، فسيتم تسجيلها 0 نقطة.
كل ما لوحظ يشير إلى أن الطلاب يواجهون صعوبات كبيرة في حل المهمة رقم 15 من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. وفي هذا الصدد طرحنافرضية : إذا كان الطالب يعرف عدة طرق لحل المتباينات، فسيتمكن من اختيار الطريقة الأكثر عقلانية.
موضوع الدراسة: عدم المساواة.
موضوع الدراسة: طرق مختلفة لحل عدم المساواة.
هدف : استكشاف طرق مختلفة لحل عدم المساواة.
ولتحقيق هذا الهدف، تم حل المهام التالية:
- دراسة المواد النظرية حول هذا الموضوع.
- خذ بعين الاعتبار الأمثلة المقدمة في بنك مهام امتحان الدولة الموحدة على الموقع الإلكتروني للمعهد الفيدرالي للقياسات التربوية.
- دراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات.
- قارن بين الطرق المختلفة لحل المتباينات.
- تحقق تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية.
2. الجزء الرئيسي
2.1. الجزء النظري
1. المتباينات الخطية
المتباينات الخطيةهي عدم المساواة في النموذج:الفأس + ب 0؛ الفأس+ب≥0؛ الفأس + ب ≥0، حيث أ و ب - أي أرقام، وأ≠0، س - متغير غير معروف.
قواعد تحويل عدم المساواة:
1. يمكن نقل أي حد من أطراف المتراجحة من أحد أطراف المتراجحة إلى جزء آخر، مع تغيير الإشارة إلى الطرف المقابل.
2. يمكن ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على نفس الرقم الموجب للحصول على متباينة مكافئة للمتباينة المعطاة.
3. يمكن ضرب/قسمة طرفي المتراجحة على نفس الرقم السالب، مما يؤدي إلى عكس إشارة المتراجحة.
2. عدم المساواة التربيعية
عدم المساواة في النموذج
حيث x متغير، a، b، c أرقام، يسمى مربع. عند حل المتباينة التربيعية، من الضروري إيجاد جذور المتقابلةمعادلة من الدرجة الثانية
. للقيام بذلك عليك أن تجدتمييزي
من هذه المعادلة التربيعية. يمكنك الحصول على 3 حالات: 1)د = 0 , المعادلة التربيعية لها جذر واحد; 2)د > 0 المعادلة التربيعية لها جذرين؛ 3)د المعادلة التربيعية ليس لها جذور. اعتمادا على الجذور التي تم الحصول عليها وعلامة المعاملأ واحد من ستة مواقع ممكنةالرسومات الوظيفية
(المرفق 1).
3. عدم المساواة العقلانية
عدم المساواة العقلانيةبمتغير واحد x تسمى متباينة بالشكل f(x) التعبيرات، أي. تعبيرات جبرية مكونة من أرقام والمتغير x وباستخدام العمليات الحسابية، أي. عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والرفع للقوى الطبيعية.خوارزمية لحل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفترات(المرفق 1).
4. عدم المساواة الأسية
عدم المساواة الأسية- هذا عدم مساواة ، حيث يكون المجهول في الأس. الابسطعدم المساواة الأسيةله الشكل: a x ‹ b أو x › ب، حيث أ> 0، أ ≠ 1، س غير معروف.
5. عدم المساواة اللوغاريتمية
عدم المساواة اللوغاريتميةتسمى متباينة تكون فيها الكمية المجهولة تحت الإشارةاللوغاريتم .
1. عدم المساواة إذا يقلل من عدم المساواة المكافئة. لو - ثم إلى عدم المساواة.
وبالمثل عدم المساواةيعادل عدم المساواة ل: ; ل : .
يجب أن تتقاطع حلول عدم المساواة التي تم الحصول عليها مع ODZ:
2. حل المتباينة اللوغاريتمية للنموذجيعادل حل الأنظمة التالية:
أ) 
ب) 
عدم المساواة وفي كل من الحالتين يتم اختزاله إلى أحد النظامين:
أ) 
ب) 
6. عدم المساواة غير العقلانية
إذا كانت المتراجحة تتضمن دوالً تحت علامة الجذر، فتسمى هذه المتباينات غير منطقي.
.
2.2. الجزء العملي
دراسة رقم 1
هدف : تعلم طريقة الوظيفة المحدودة.
تقدم:
1. دراسة طريقة الوظائف المحدودة.
2. حل عدم المساواةبهذه الطريقة.
لاستخدام حدود الدالة، يجب أن تكون قادرًا على العثور على مجموعة قيم الدالة ومعرفة تقديرات نطاق قيم الدوال القياسية (على سبيل المثال،) .
مثال 1 . حل عدم المساواة:
حل:
اِختِصاص:
لجميع x من المجموعة الناتجة لدينا:
وبالتالي فإن الحل لعدم المساواة
إجابة:
المثال رقم 2. حل عدم المساواة:
حل:
لأن
هذا التفاوت يعادل
المعادلة الأولى للنظام لها جذر واحد x = - 0.4، وهو ما يحقق المعادلة الثانية أيضًا.
الجواب: - 0.4
خاتمة: تكون هذه الطريقة أكثر فاعلية إذا كانت المتراجحة تحتوي على وظائف مثلوغيرها مما يقتصر نطاقها على ما فوقها أو تحتها.
دراسة رقم 2
هدف : دراسة طريقة ترشيد حل المتباينات.
تقدم:
1. دراسة أسلوب الترشيد.
2. حل عدم المساواةبهذه الطريقة.
تتكون طريقة الترشيد من استبدال التعبير المعقد F(x) بتعبير أبسط G(x)، حيث تكون المتباينة G(x) v 0 مكافئة للمتباينة F(x) v 0 في مجال تعريف التعبير F(x) (الرمز "v" يستبدل إحدى علامات عدم المساواة: ≥، ≥، >،
دعونا نسلط الضوء على بعض التعبيرات النموذجية F وتعبيرات الترشيد المقابلة G (الجدول 1)، حيث f، g، h، p، q هي تعبيرات ذات متغير x (h>0, h≠1,f>0,g>0) ، رقم ثابت (أ>0، أ≠1). (الملحق 2).
المثال رقم 1. حل عدم المساواة:
أو دي زي:
إجابة:
المثال رقم 2. حل عدم المساواة:
أو دي زي:
مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف، نحصل على
إجابة:
خاتمة : المتباينات مع اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير هي الأكثر صعوبة. تسمح لك طريقة الترشيد بالانتقال من المتباينات التي تحتوي على المتباينات الأسية واللوغاريتمية المعقدة وما إلى ذلك. التعبير، إلى ما يعادله من عدم المساواة العقلانية أبسط. لا توفر طريقة الترشيد الوقت فحسب، بل تقلل أيضًا من مخاطر الأخطاء المنطقية والحسابية.
دراسة رقم 3
هدف : في عملية حل عدم المساواة، قارن بين الطرق المختلفة.
تقدم:
1. حل عدم المساواةباستخدام أساليب مختلفة.
2. قارن النتائج واستنتج.
المثال رقم 1. حل عدم المساواة
حل:
1 الطريق. الطريقة الجبرية
حل النظام الأول :
نحل المتباينة الثانية للنظام الثاني:
الطريقة 2 . استخدام نطاق الوظيفة
اِختِصاص:
لهذه القيم x نحصل على:
الجانب الأيمن من عدم المساواة هو سلبي في مجال تعريفه. ولذلك فإن عدم المساواة صالحة ل
إجابة:
3 طريقة. طريقة رسومية
خاتمة : أثناء حل المتراجحة بالطريقة الجبرية، وصلت إلى متباينة من الدرجة السادسة، وأمضيت الكثير من الوقت في حلها، لكنني لم أتمكن من حلها. الطريقة العقلانية، في رأيي، هي استخدام مجال الوظيفة أو بيانيا.
المثال رقم 2. حل عدم المساواة:.
إجابة:
خاتمة: ولم أتمكن من حل هذه عدم المساواة إلا بفضل طريقة الترشيد.
خاتمة
يوضح تحليل محتوى الكتب المدرسية أنه في معظمها، لا تحظى طرق حل عدم المساواة باستخدام خصائص الوظائف بالاهتمام الواجب، وفي مهام امتحان الدولة الموحدة يتم اقتراح عدم المساواة كل عام تقريبًا، ويتم تبسيط حلها إذا تم تطبيق خصائص الوظائف.
يقوم معظم الطلاب بحل المتباينات باستخدام الأساليب الخوارزمية القياسية، والتي تؤدي أحيانًا إلى عمليات حسابية مرهقة. وفي هذا الصدد فإن نسبة إنجاز المهمة رقم 15 في امتحان الدولة الموحدة منخفضة.
نطاق تطبيق خصائص الوظائف في حل عدم المساواة واسع جدًا. إن استخدام الخصائص (الحدود، الرتابة، وما إلى ذلك) للوظائف المضمنة في المتباينات يسمح باستخدام طرق الحل غير القياسية. في رأينا، فإن القدرة على استخدام الخصائص الضرورية للوظائف عند حل عدم المساواة يمكن أن تسمح للطلاب باختيار حل أكثر عقلانية.
قمنا في عملنا بدراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات. تمت مقارنة الطرق المختلفة لحل عدم المساواة. لقد تحققنا تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية.
وتوصلوا إلى استنتاج مفاده أنه يجب على الطالب معرفة عدة طرق لحل المتباينات من أجل توفير الوقت وتقليل مخاطر الأخطاء المنطقية والحسابية.
لقد اكتملت أهداف عملنا، وتم تحقيق الهدف، وتم تأكيد الفرضية.
الأدب:
- Alimov Sh. A، Kolyagin Yu. M.، Sidorov Yu. V. وآخرون الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / الشيخ عليموف، يو إم كولياجين، يو في سيدوروف وآخرون - الطبعة الخامسة عشرة. – م: التربية، 2007. – 384 ص.
- كوريانوف أ.ج.، بروكوفييف أ.أ. مواد دورة "إعداد الطلاب الجيدين والمتفوقين لامتحان الدولة الموحد": المحاضرات 1-4. - م: الجامعة التربوية “الأول من سبتمبر” 2012. – 104 ص.
- الموقع http://www.fipi.ru/.
- الموقع https://ege.sdamgia.ru/.
- Yashchenko I. V. امتحان الدولة الموحدة. الرياضيات. مستوى الملف الشخصي: خيارات الاختبار القياسية: 36 خيارًا / إد. آي في ياشينكو. - م: دار النشر "التربية الوطنية"، 2018. - 256 ص.
معاينة:
لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com
التسميات التوضيحية للشرائح:
دراسة الطرق المختلفة لحل عدم المساواة Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "المدرسة الثانوية رقم 30 مع دراسة متعمقة للمواضيع الفردية"
نتائج المهمة رقم 15 لطلاب مدرستنا
نتائج المهمة رقم 15 على الامتحان التجريبي للعام الدراسي 2017-2018. السنة من قبل طلاب مدرستنا
الفرضية: إذا كان الطالب يعرف عدة طرق لحل المتباينات، فسيكون قادرًا على اختيار موضوع الدراسة الأكثر عقلانية: عدم المساواة موضوع الدراسة: طرق مختلفة لحل عدم المساواة
الهدف: استكشاف طرق مختلفة لحل عدم المساواة. ولتحقيق هذا الهدف تم حل المهام التالية: دراسة المادة النظرية حول هذا الموضوع. خذ بعين الاعتبار الأمثلة المقدمة في بنك مهام امتحان الدولة الموحدة على الموقع الإلكتروني للمعهد الفيدرالي للقياسات التربوية. دراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات. قارن بين الطرق المختلفة لحل المتباينات. تحقق تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية.
الدراسة رقم 1 الغرض: دراسة طريقة الوظيفة المحدودة. التقدم: 1. دراسة أسلوب الدوال المحدودة. 2. حل المتباينات باستخدام هذه الطريقة. المثال رقم 1. حل المتراجحة: الحل: المجال: لجميع x من المجموعة الناتجة لدينا: وبالتالي حل المتراجحة الإجابة:
المثال رقم 2. حل المتراجحة: الحل: لأن هذه المتباينة متكافئة، فالمعادلة الأولى للنظام لها جذر واحد x = - 0.4، وهو ما يحقق المعادلة الثانية أيضًا. الإجابة: - 0.4 الاستنتاج: تكون هذه الطريقة أكثر فعالية إذا كانت المتراجحة تحتوي على دوال، مثل غيرها، تكون نطاقات قيمها محدودة بالأعلى أو الأسفل.
الدراسة رقم 2 الغرض: دراسة طريقة ترشيد حل المتباينات. التقدم: 1. دراسة أسلوب الترشيد. 2. حل المتباينات باستخدام هذه الطريقة. مثال رقم 1. حل المتراجحة: O.D.Z: مع مراعاة مجال التعريف نحصل على الإجابة:
مثال رقم 2. حل المتراجحة: O.D.Z: مع الأخذ في الاعتبار مجال التعريف، نحصل على الإجابة: الخلاصة: المتباينات ذات اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير تسبب أكبر صعوبة. تسمح لك طريقة الترشيد بالانتقال من المتباينات التي تحتوي على المتباينات الأسية واللوغاريتمية المعقدة وما إلى ذلك. التعبير، إلى ما يعادله من عدم المساواة العقلانية أبسط. لا توفر طريقة الترشيد الوقت فحسب، بل تقلل أيضًا من مخاطر الأخطاء المنطقية والحسابية.
الدراسة رقم 3 الغرض: في عملية حل المتباينات، مقارنة الطرق المختلفة. التقدم: 1. حل المتراجحة باستخدام طرق مختلفة. 2. قارن النتائج واستنتج. المثال رقم 1. حل المتباينة بطريقة واحدة. الطريقة الجبرية حل النظام الأول: حل المتباينة الثانية للنظام الثاني: الطريقة الثانية. باستخدام مجال تعريف الدالة مجال التعريف: بالنسبة لقيم x هذه نحصل على: الجانب الأيمن من المتراجحة سالب على مجال تعريفها. ولذلك فإن عدم المساواة صالحة ل
3 طريقة. الطريقة الرسومية الخلاصة: حل المتراجحة باستخدام الطريقة الجبرية، وصلت إلى متباينة من الدرجة السادسة، وأمضيت الكثير من الوقت في حلها، لكنني لم أتمكن من حلها. الطريقة العقلانية، في رأيي، هي استخدام مجال الوظيفة أو بيانيا.
مثال رقم 2. حل المتراجحة: الإجابة: الخلاصة: لم أتمكن من حل هذه المتراجحة إلا بفضل طريقة الترشيد.
نطاق تطبيق خصائص الوظائف في حل عدم المساواة واسع جدًا. إن استخدام الخصائص (الحدود، الرتابة، وما إلى ذلك) للوظائف المضمنة في المتباينات يسمح باستخدام طرق الحل غير القياسية. في رأينا، فإن القدرة على استخدام الخصائص الضرورية للوظائف عند حل عدم المساواة يمكن أن تسمح للطلاب باختيار حل أكثر عقلانية. قمنا في عملنا بدراسة الطرق الوظيفية الرسومية لحل المتباينات. تمت مقارنة الطرق المختلفة لحل عدم المساواة. لقد تحققنا تجريبيًا من طريقة حل المتباينات الأكثر عقلانية. وتوصلوا إلى استنتاج مفاده أنه يجب على الطالب معرفة عدة طرق لحل المتباينات من أجل توفير الوقت وتقليل مخاطر الأخطاء المنطقية والحسابية. لقد اكتملت أهداف عملنا، وتم تحقيق الهدف، وتم تأكيد الفرضية.
شكرًا لكم على اهتمامكم!
المؤسسة التعليمية البلدية
مدرسة يوريفسكايا الثانوية الأساسية
منطقة أوستروفسكي
المرحلة البلدية من المسابقة المنهجية الإقليمية
ترشيح
أدوات
موضوع
طريقة بيانية وظيفية لحل المعادلات والمتباينات في مقرر الجبر بالمدرسة الثانوية.
تم إعداد العمل من قبل :
مدرس رياضيات
مقدمة
تحليل الكتب المدرسية
تحليل امتحان الدولة الموحدة
1. الجزء النظري العام
1.1. طريقة رسومية
1.2. طريقة وظيفية
2. حل المعادلات والمتباينات باستخدام خصائص المدخلات
وظائف فيها
2.1. استخدام دي زي
2.2. استخدام قيود الميزة
2.3. استخدام رتابة الوظيفة
2.4. استخدام الرسوم البيانية الوظيفية
2.5. استخدام الخصائص الزوجية أو الفردية ودورية الوظائف .
3. حل المعادلات والمتباينات
3.1. حل المعادلات
3.2. حل عدم المساواة
ورشة عمل
فهرس
طلب
مقدمة
موضوع عملي هو "الطريقة الرسومية الوظيفية لحل المعادلات والمتباينات في مقرر الجبر بالمدرسة الثانوية". أحد المواضيع الرئيسية لدورة الجبر في المدرسة الثانوية. يلعب حل المعادلات والمتباينات دورًا مهمًا في دورات الرياضيات في المدرسة الثانوية. يبدأ الطلاب في التعرف على عدم المساواة والمعادلات في المدرسة الابتدائية.
يتم تعميق وتوسيع محتوى موضوعي "المعادلات" و"عدم المساواة" تدريجيًا. لذلك، على سبيل المثال، نسبة عدم المساواة من إجمالي المواد التي تمت دراستها في الصف السابع هي 20٪، في الصف الثامن - 25٪، في الصف التاسع - 30٪، في الصفوف 10-11 - 35٪.
تتم الدراسة النهائية للمتباينات والمعادلات في مقررات الجبر والتحليل للصفوف 10-11. تقوم بعض الجامعات بتضمين المعادلات والمتباينات في أوراق الامتحانات، والتي غالبًا ما تكون معقدة للغاية وتتطلب أساليب مختلفة لحلها. في المدرسة، يتم تغطية أحد أصعب أقسام دورة الرياضيات المدرسية فقط في عدد قليل من الفصول الاختيارية.
ينصب تركيز هذا العمل على توفير كشف أكثر اكتمالاً لتطبيق الطريقة الرسومية الوظيفية لحل المعادلات والمتباينات في مقرر الجبر بالمدرسة الثانوية.
أهمية هذا العمل هو أن هذا الموضوع مدرج في امتحان الدولة الموحدة.
في إعداد هذا العمل، حددت هدفًا للنظر في أكبر عدد ممكن من أنواع المعادلات والمتباينات، والتي يتم حلها بالطريقة الرسومية الوظيفية. قم أيضًا بدراسة هذا الموضوع بشكل أعمق، وتحديد الحل الأكثر عقلانية الذي يؤدي بسرعة إلى الإجابة.
الهدف من الدراسة هو الجبر للصفوف 10-11، وتحريره ومتغيرات امتحان الدولة الموحدة.
يناقش هذا العمل أنواع المعادلات والمتباينات التي نواجهها بشكل متكرر، وآمل أن تساعد المعرفة التي اكتسبتها أثناء العمل عند اجتياز الامتحانات المدرسية وعند الالتحاق بالجامعة. ويمكن أيضًا أن يكون بمثابة أداة تعليمية لإعداد أطفال المدارس لإجراء امتحان الدولة الموحدة.
تحليل الكتب المدرسية
من المعتاد في الأدبيات المنهجية تقسيم جميع الطرق التي يتم من خلالها تقسيم خط المعادلات والمتباينات المدرسية من الصفوف 7 إلى 11 إلى ثلاث مجموعات:
طريقة التخصيم
ü طريقة إدخال متغيرات جديدة .
طريقة الرسم الوظيفية.
دعونا نفكر في الطريقة الثالثة، وهي استخدام الرسوم البيانية الوظيفية والخصائص المختلفة للوظائف.
يجب تعليم تلاميذ المدارس كيفية استخدام طريقة الرسم الوظيفي منذ بداية دراسة موضوع "المعادلات".
يمكن أن يعتمد حل بعض المشكلات على خصائص الرتابة، أو الدورية، أو التساوي أو الغرابة، وما إلى ذلك من الوظائف المضمنة فيها.
بعد تحليل الكتب المدرسية، يمكننا أن نستنتج أن هذا الموضوع تمت مناقشته فقط في كتب الرياضيات للجيل الجديد، ويعتمد بناء الدورة في هذه الكتب المدرسية على أولوية خط الرسم الوظيفي. في الكتب المدرسية الأخرى، لا يتم تسليط الضوء على الطريقة الرسومية الوظيفية لحل المعادلات وعدم المساواة كموضوع منفصل. تم ذكر استخدام الخصائص الوظيفية لحل المشكلات بشكل عابر عند دراسة مواضيع أخرى. تحتوي الكتب المدرسية الجديدة أيضًا على عدد كافٍ من المهام من هذا النوع. يحتوي الكتاب المدرسي على مهام المستوى المتقدم. يتم تقديم نظام المهام الأكثر اكتمالا، وهو منظم لكل خاصية من خصائص الوظيفة.
كتاب مدرسي | "الجبر وبدايات التحليل 10-11"، كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية، | "الجبر وبدايات التحليل 11" الكتاب المدرسي لمؤسسات التعليم العام (المستوى الشخصي) | وغيرها "الجبر وبدايات التحليل 11" كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية | وغيرها "الجبر وبدايات التحليل 10-11" كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية |
|
مكان في المعرفة | الفصل 8 "المعادلات والمتباينات. "أنظمة المعادلات والمتباينات" (الموضوع الأخير من الدورة) | الفصل 6 "المعادلات والمتباينات. "أنظمة المعادلات والمتباينات" (الموضوع الأخير من الدورة) | الفصل الثاني "المعادلات والمتباينات والأنظمة" | لا يوجد موضوع منفصل. ولكن في موضوع "حل المعادلات المثلثية والمتباينات" يتم صياغة نظرية الجذر، والتي تستخدم في مزيد من الدراسة | لا يوجد موضوع منفصل |
§ §56 طرق عامة لحل المعادلات والمتباينات (الطريقة الوظيفية الرسومية: نظرية الجذر، حدود الدالة) | § §27 طرق عامة لحل المعادلات والمتباينات (الطريقة الوظيفية الرسومية: نظرية الجذر، حدود الدالة) | § المعادلات (المتباينات) من النموذج ; § §12*طرق غير قياسية لحل المعادلات والمتباينات (باستخدام مجالات وجود الدوال، وعدم سلبية الدوال، والحدود، باستخدام خصائص الخطيئة وجيب التمام، باستخدام المشتق) | خاصية رتابة الدالة، الزوجية والفردية (عند اشتقاق الصيغ لجذور المعادلات المثلثية) | تم ذكر خاصية الرتابة عند تحليل مثال في موضوع “الدالة الأسية” |
|
أمثلة على المعادلات والمتباينات المدروسة | (
| حل المعادلة. ما عدد جذور المعادلة في هذه الفترة؟ | حل المعادلة |
;
تحليل امتحان الدولة الموحدة (النصوص والنتائج)
تم إدخال امتحان الدولة الموحدة كشكل من أشكال الشهادات في ممارسة التعليم الروسي في عام 2002، وقد انتقل من الوضع التجريبي إلى الوضع العادي منذ عام 2009.
أظهر تحليل نصوص امتحان الدولة الموحدة أن المهام التي تستخدم فيها خصائص الوظائف تتم مواجهتها كل عام.
في عام 2003، في المهام A9 وC2، عند الحل، يمكنك تطبيق خصائص الوظائف:
· أ9. حدد الفترة التي تنتمي إليها جذور المعادلة 
.
· ج2. البحث عن كافة القيم ص، والتي المعادلة 
ليس له جذور.
· عام 2004 – المهمة B2. كم عدد جذور المعادلة؟ 
.
· عام 2005، المهمة C2 (حل المعادلة 
) أكملها 37٪ من الطلاب.
في عام 2007، عند إكمال مهمة "حل المعادلة" في الجزء ب، أخذ الخريجون في الاعتبار حالتين عند حل المعادلة، حيث عادة ما يتم الكشف عن علامة المعامل..gif" width="81" height="24"> تأخذ القيم الإيجابية فقط.
حتى الطلاب المستعدون جيدًا غالبًا ما يكملون المهام باستخدام أساليب الحل "القالبة" التي تؤدي إلى تحويلات وحسابات مرهقة.
من الواضح أنه عند إكمال المهام المذكورة أعلاه، كان على الخريج المُعد جيدًا أن يُظهر ليس فقط المعرفة بالطرق المعروفة لحل المعادلات أو تحويل التعبيرات، ولكن أيضًا القدرة على تحليل الحالة، وربط البيانات ومتطلبات المهمة، واستخلاص عواقب مختلفة من الحالة، وما إلى ذلك، أي إظهار مستوى معين من تطور التفكير الرياضي.
وبالتالي، عند تدريس الطلاب ذوي الأداء الجيد، لا تحتاج فقط إلى الاهتمام بإتقان المكون الأساسي لدورة الجبر وبدايات التحليل (إتقان القواعد والصيغ والأساليب المستفادة)، ولكن أيضًا بتحقيق أحد الأهداف الرئيسية تدريس الرياضيات - تنمية تفكير الطلاب، وخاصة التفكير الرياضي. الدورات الاختيارية يمكن أن تساعد في تحقيق هذا الهدف.
في الواقع، عند دراسة الرياضيات، يتم تعريف طلاب مؤسسات التعليم العام تقليديا بالطريقة الرسومية لحل المعادلات والمتباينات وأنظمتها. ومع ذلك، في السنوات الأخيرة، ظهرت فئات جديدة من المعادلات (عدم المساواة) وأساليب وظيفية جديدة لحلها في محتوى تدريس الرياضيات. ومع ذلك، فإن المهام الواردة في مواد اختبار امتحان الدولة الموحدة (USE) (ما يسمى بالمعادلات المجمعة)، والتي تتطلب حلولها استخدام طريقة الرسم الوظيفي فقط، تسبب صعوبات للطلاب.
1. الجزء النظري العام
دع X و Y يكونان مجموعتين عدديتين عشوائيتين. سيتم الإشارة إلى عناصر هذه المجموعات بواسطة x و y، على التوالي، وسيتم تسميتها بالمتغيرات.
تعريف.تسمى الدالة العددية المحددة في المجموعة X وأخذ القيم في المجموعة Y مراسلة (قاعدة، قانون) تربط كل x من المجموعة X بقيمة واحدة فقط y من المجموعة Y.
المتغير x يسمى المتغير المستقل أو دعوىوالمتغير y هو المتغير التابع . ويقال أيضًا أن المتغير y هو وظيفةمن المتغير x تسمى قيم المتغير التابع قيم الدالة.
يعد المفهوم المقدم للدالة العددية حالة خاصة من المفهوم العام للدالة باعتبارها مراسلات بين عناصر مجموعتين عشوائيتين أو أكثر.
دع X و Y يكونان مجموعتين عشوائيتين.
تعريف.الدالة المحددة في المجموعة X وأخذ القيم في المجموعة Y هي مراسلات ترتبط بكل عنصر في المجموعة X بعنصر واحد فقط من المجموعة Y.
تعريف.تعريف دالة يعني الإشارة إلى نطاق تعريفها والمراسلات (القاعدة) التي من خلالها يتم العثور على قيم الدالة المقابلة، بالنظر إلى قيمة المتغير المستقل.
هناك طريقتان لحل المعادلات المرتبطة بمفهوم الدالة: رسم بيانيو وظيفي.حالة خاصة من الطريقة الوظيفية هي الطريقة وظيفي، أو عالمية البدائل.
تعريف.حل معادلة معينة يعني إيجاد مجموعة جميع جذورها (الحلول). يمكن أن تكون مجموعة الجذور (الحلول) فارغة أو منتهية أو لا نهائية. في الفصول التالية من القسم النظري، سنقوم بتحليل الطرق الموضحة أعلاه لحل المعادلات، وفي قسم "التدريب العملي" سنعرض تطبيقها في مواقف مختلفة.
1.1. الطريقة الرسومية.
من الناحية العملية، لإنشاء رسم بياني لبعض الوظائف، يقومون بتجميع جدول قيم الوظائف لبعض قيم الوسيطات، ثم رسم النقاط المقابلة على المستوى الإحداثي وربطها بالتتابع بخط. من المفترض أن النقاط تظهر بدقة كافية تقدم التغيير في الوظيفة.
تعريف.الرسم البياني للدالة y = f(x) هو مجموعة جميع النقاط
(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">
نقطة تقاطع الرسوم البيانية لها إحداثيات (0.5؛ 0). لذلك، س = 0.5
إجابة:س = 0.5
مثال 2.
10| سينكس|=10|كوسكس|-1
يمكن حل هذه المعادلة بطريقة عقلانية باستخدام الطريقة التحليلية الرسومية.
بما أن 10>1، فإن هذه المعادلة تعادل ما يلي:
نقاط تقاطع الرسوم البيانية لها إحداثيات ()؛. وبالتالي س=.
إجابة:س=
1.2. طريقة وظيفية
لا يمكن اختزال كل معادلة من الشكل f(x)=g(x) نتيجة للتحولات إلى معادلة ذات شكل قياسي أو آخر تكون طرق الحل التقليدية مناسبة لها. في مثل هذه الحالات، يكون من المنطقي استخدام خصائص الدالتين f(x) وg(x) مثل الرتابة، والحدود، والتكافؤ، والدورية، وما إلى ذلك. لذا، إذا زادت إحدى الدالتين وتناقصت الأخرى خلال فترة زمنية معينة ، فإن المعادلة f(x) = g(x) لا يمكن أن يكون لها أكثر من جذر واحد، والذي، من حيث المبدأ، يمكن العثور عليه عن طريق الاختيار. علاوة على ذلك، إذا كانت الدالة f(x) محدودة من أعلى والدالة g(x) محدودة من الأسفل بحيث تكون f(x) محددة يتأرجح= ز(س) مفي=A، فإن المعادلة f(x)=g(x) تعادل نظام المعادلات
وأيضًا، عند استخدام الطريقة الوظيفية، فمن المنطقي استخدام بعض النظريات الواردة أدناه. لإثباتها واستخدامها، هناك حاجة إلى المعادلات العامة التالية:
(2)
النظرية 1.جذور المعادلة (1) هي جذور المعادلة (2).
النظرية 2.إذا كانت f(x) دالة متزايدة في الفترة a تعطي النظرية الأخيرة نتيجة طبيعية تُستخدم أيضًا في الحلول: النتيجة الطبيعية 1. إذا زادت f(x) في جميع أنحاء مجال التعريف الخاص بها، فإن المعادلتين (1) و (2) متكافئتان على فترة معينة. إذا تناقصت f(x) على كامل نطاق تعريفها، فإن n تكون فردية، ثم تكون المعادلتان (1) و (2) متكافئتين في فترة معينة. النظرية 3.إذا كانت الشروط f(x)=g(x) في المعادلة f(x)=g(x) مقبولة، f(x)≥a، g(x)≥a مستوفاة، حيث a هو عدد حقيقي ما، فإن المعادلة المعطاة تعادل نظام النتيجة الطبيعية 2. إذا كان في المعادلة f(x)+g(x)=a+b لأي x f(x)≥a مقبول، g(x)≥b، فإن هذه المعادلة تعادل النظام غالبًا ما يتم استخدام الطريقة الوظيفية لحل المعادلات مع الطريقة الرسومية، نظرًا لأن كلتا الطريقتين تعتمدان على نفس خصائص الوظائف. في بعض الأحيان يتم استدعاء مجموعة من هذه الأساليب الرسم التحليليطريقة. مثال 1. coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width = "64" height = "41 src = "> ≥1 x2+1≥1 => coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48"> إجابة:س = π إحدى الحالات الخاصة للطريقة الوظيفية هي طريقة الاستبدال الوظيفي - وربما تكون الطريقة الأكثر شيوعًا لحل المشكلات المعقدة في الرياضيات. جوهر هذه الطريقة هو تقديم متغير جديد y=ƒ(x)، والذي يؤدي استخدامه إلى تعبير أبسط. حالة منفصلة من الاستبدال الوظيفي هي الاستبدال المثلثي. ر(الخطيئة kx، كوس nx، تيراغرام مكس،ctg lx) = 0 (3) حيث R هي دالة عقلانية، ك،ن،م،لОZ، باستخدام الصيغ المثلثية للوسائط المزدوجة والثلاثية، بالإضافة إلى صيغ الجمع، يمكن اختزالها إلى معادلة منطقية للوسائط sin س، كوس س، تيراغرام س،ctg س، وبعد ذلك يمكن اختزال المعادلة (3) إلى معادلة منطقية لـ t=tg( س/2) استخدام صيغ الاستبدال المثلثية العالمية 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) الخطيئة س=cos س= 1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2) 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) تيراغرام س=ctg س= 1-tg²(x/2) 2tg(x/2) تجدر الإشارة إلى أن استخدام الصيغ (4) يمكن أن يؤدي إلى تضييق OD للمعادلة الأصلية، حيث لم يتم تعريف tan(x/2) عند النقاط x=π+2πk, kÎZ، لذلك في مثل هذه الحالات فمن الضروري التحقق مما إذا كانت الزوايا x=π+ 2πk، جذور kÎZ للمعادلة الأصلية. مثال 1. خطيئة س+√2-خطيئة² س+ الخطيئة س√2-الخطيئة² س = 3
لندع الآن r = u+v و s=uv، ثم من نظام المعادلات يتبع منذ ش = الخطيئة سو ش = 1، ثم الخطيئة س= 1 و x = π/2+2πk، kO ز إجابة:س = π/2+2πk، kОZ مثال 2. 5
خطيئة س-5
tg س
+4(1-
كوس س)=0
خطيئة س+
tg س
يمكن حل هذه المعادلة بشكل عقلاني باستخدام طريقة الاستبدال الوظيفي. منذ تيراغرام سغير محدد عند x = π/2+πk, kO ز، والخطيئة س+tg س=0 عند x = πk, kO ز، ثم الزوايا x = πk/2، kO زلم يتم تضمينها في معادلات ODZ. نستخدم الصيغ الخاصة بظل نصف الزاوية ونشير إلى t=tg( س/2)، ووفقًا لشروط المشكلة t≠0;±1، فإننا نحصل عليها https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0 منذ t≠0;±1، هذه المعادلة تعادل المعادلة 5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0 حيث t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ ز مثال 3. tg س+
ctg س+
tg²س+
ctg²س+
tg³س+
ctg³س=6
يمكن حل هذه المعادلة بشكل عقلاني باستخدام طريقة الاستبدال الوظيفي. دع y=tg س+ctg س، ثم tg² س+ctg² س=y²-2، tg³ س+ctg³ س=ص³-3ص منذ تيراغرام س+ctg س=2، ثم تيراغرام س+1/ تيراغرام س=2. ويترتب على ذلك تيراغرام س=1 و x = π/4+πk، kO ز إجابة:س = π/2+2πk، kO ز 2. حل المعادلات والمتباينات باستخدام خصائص الدوال المتضمنة فيها 2.
1. استخدام ODZ. في بعض الأحيان، تسمح لك معرفة ODZ بإثبات أن المعادلة (أو عدم المساواة) ليس لها حلول، وفي بعض الأحيان تسمح لك بإيجاد حلول للمعادلة (أو عدم المساواة) عن طريق استبدال الأرقام مباشرة من ODZ. مثال 1.
حل المعادلة حل. تتكون ODZ لهذه المعادلة من جميع x التي تستوفي الشروط 3-x0 وx-3>0 في نفس الوقت، أي أن ODZ عبارة عن مجموعة فارغة. وبذلك يكتمل حل المعادلة، حيث ثبت أنه لا يمكن أن يكون رقم واحد حلاً، أي أن المعادلة ليس لها جذور. الجواب: لا توجد حلول. مثال 2.
حل المعادلة حل. تتكون ODZ لهذه المعادلة من جميع x التي تحقق الشروط في وقت واحد، أي أن ODZ يقوم باستبدال قيم x هذه في المعادلة (1)، نجد أن طرفيها الأيسر والأيمن يساوي 0، مما يعني أن الكل https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21"> مثال 3.
حل عدم المساواة حل. يتكون ODZ من عدم المساواة (2) من جميع x التي تستوفي الشروط في نفس الوقت الجواب: س=1. مثال 4.
حل عدم المساواة حل. إن ODZ لعدم المساواة (3) كلها x تحقق الشرط 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0 الجواب: 0 مثال 5.
حل عدم المساواة الحل..gif" width="73" height="19"> و. بالنسبة لـ x من الفاصل الزمني https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> في هذه الفترة، وبالتالي فإن المتباينة (4) ليس لها حلول في هذه الفترة. دع x تنتمي إلى الفاصل الزمني، ثم https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> لمثل x، وبالتالي، في هذه الفترة، المتباينة (4) أيضًا ليس لها حلول. إذن، عدم المساواة (4) ليس لها حلول. الجواب: لا توجد حلول. ملحوظات. عند حل المعادلات، ليس من الضروري العثور على ODZ. في بعض الأحيان يكون من الأسهل الانتقال إلى التحقيق والتحقق من الجذور التي تم العثور عليها. عند حل المتباينات، في بعض الأحيان يكون من الممكن عدم العثور على ODZ، ولكن حل المتباينة بالانتقال إلى نظام مكافئ من المتباينات، حيث لا يكون لأي من المتباينات حلول، أو تساعد معرفة حلها في حل نظام المتباينات . مثال 6.
حل عدم المساواة حل. إن العثور على منطقة ODZ لعدم المساواة ليس بالمهمة السهلة، لذا سنفعل ذلك بطريقة مختلفة. عدم المساواة (5) يعادل نظام عدم المساواة المتباينة الثالثة في هذا النظام تعادل متباينة ليس لها حلول. وبالتالي فإن نظام المتباينات (6) ليس له حلول، مما يعني أن المتباينة (5) ليس لها حلول. الجواب: لا توجد حلول. مثال 7.
حل عدم المساواة حل. يعد العثور على ODZ لعدم المساواة (7) مهمة صعبة. لذلك، دعونا نفعل الأشياء بشكل مختلف. عدم المساواة (7) يعادل نظام عدم المساواة المتباينة الثالثة في هذا النظام لها حلول لجميع x من الفترة -1 2.2. استغلال الوظائف المحدودة. عند حل المعادلات والمتباينات، غالبًا ما تلعب خاصية تحديد الدالة للأسفل أو الأعلى لمجموعة معينة دورًا حاسمًا. على سبيل المثال، إذا كانت المتباينات التالية صحيحة لجميع x من مجموعة M: f(x)>A وg(x) لاحظ أن دور الرقم A غالبًا ما يلعبه الصفر؛ في هذه الحالة، يقولون إن إشارة الدالتين f(x) وg(x) في المجموعة M محفوظة. مثال 1.
حل المعادلة الحل..gif" width="191" height="24 src="> بما أن الجانب الأيسر من المعادلة لأي قيمة لـ x لا يتجاوز الواحد، والجانب الأيمن دائمًا لا يقل عن اثنين، فإن هذه المعادلة لها لا توجد حلول. الجواب: لا توجد حلول. مثال 2.
حل المعادلة حل. من الواضح أن x=0, x=1, x=-1 هي حلول للمعادلة (9)..gif" width="36" height="19">، حيث أنه إذا كان حلها، فإن (-) هو وأيضا قراره. دعونا نقسم المجموعة x>0, , إلى فترتين (0;1) و (1;+∞). لنعيد كتابة المعادلة (9) بالشكل https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">الإيجابية فقط. وبالتالي، في هذه الفترة، المعادلة (9) ليس لها حلول. دع x تنتمي إلى الفاصل الزمني (1;+∞). لكل من هذه القيم × الدالة إذا كانت x>2، فهذا يعني أن المعادلة (9) في الفترة (2;+∞) ليس لها حلول أيضًا. إذًا، x=0، x=1 وx=-1 وهذه فقط حلول للمعادلة الأصلية. إجابة: مثال 3.
حل عدم المساواة حل. إن ODZ للمتباينة (10) كلها حقيقية x، باستثناء x=-1. دعونا نقسم ODZ إلى ثلاث مجموعات: -∞<х<-1, -1 دع -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. وبالتالي فإن كل هذه x هي حلول لعدم المساواة (10). اسمحوا -1 دع 0 الجواب: -∞<х<-1; 0 مثال 4.
حل المعادلة حل. دعونا نشير النظر في x من الفاصل الزمني. في هذه الفترة، يمكن إعادة كتابة المعادلة (11) في الصورة، أي في الصورة من الواضح أن x = 0 هو حل للمعادلة (12)، وبالتالي للمعادلة الأصلية..gif" width="39" height="19"> المعادلة (12) تعادل المعادلة لأي قيمة الجواب: س = 0، ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13) حل. ليكن هناك حل للمعادلة (13) فتتحقق المساواة التالية: والمتباينات https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. ومن صحة المتباينات نحصل على أن الجانب الأيسر من المساواة (14) لها نفس علامة ، أي نفس علامة ، والجانب الأيمن هو نفس علامة ، ولكن بما أنه يحقق المساواة (14) ، فإن لهما نفس العلامات. دعونا نعيد كتابة المساواة (14) في النموذج https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24"> دعونا نعيد كتابة المساواة (15) في الصورة بما أن لديهم نفس العلامات، إذن ..gif" width="95" height="24">.(17) ومن الواضح أن أي حل للمعادلة (17) هو حل للمعادلة (13). وبالتالي فإن المعادلة (13) تعادل المعادلة (17). حلول المعادلة (17) هي إجابة: تعليق. كما في المثال 5، يمكن إثبات أن المعادلة. حيث n,m أي أعداد طبيعية، تعادل المعادلة، ثم قم بحل هذه المعادلة الأبسط. 2. 3. استخدام رتابة الوظيفة. يعتمد حل المعادلات والمتباينات باستخدام خاصية الرتابة على العبارات التالية. افترض أن f(x) دالة مستمرة ورتيبة تمامًا على الفاصل الزمني L، ثم المعادلة f(x)=C، حيث C ثابت معين، يمكن أن يكون لها حل واحد على الأكثر في الفاصل الزمني L. دع f(x) وg(x) دوال متصلة على الفترة L، وf(x) تزداد بشكل صارم، وg(x) تتناقص بشكل صارم في هذه الفترة، ثم يمكن أن يكون للمعادلة f(x)=g(x) حل واحد على الأكثر الفاصل الزمني L. لاحظ أن الفاصل الزمني L يمكن أن يكون فاصلًا لا نهائيًا (-∞؛ +∞)، وفترات شبه لا نهائية (a؛ +∞)، (-∞؛ a)، [a؛ +∞)، (-∞؛ a]، المقاطع والفترات ونصف الفترات. مثال 1.
حل المعادلة حل. من الواضح أن x0 لا يمكن أن يكون حلاً للمعادلة (18) منذ ذلك الحين الجواب: س=1. مثال 2.
حل عدم المساواة حل. كل وظيفة مستمرة ومتزايدة بشكل صارم على المحور بأكمله. وهذا يعني أن الوظيفة الأصلية هي نفسها الجواب: -∞ مثال 3.
حل المعادلة حل. نطاق القيم المسموح بها للمعادلة (20) هو الفاصل الزمني. على نطاق القيم الصالحة للوظيفة الجواب: س=2. مثال 4.
حل عدم المساواة الحل... gif" width="95" height="25 src="> معروض في الشكل 7. ويتبع من الشكل أن جميع x من عدم المساواة ODZ (26) صالحة. دعونا نثبت ذلك. لكل واحد لدينا ولكل x لدينا ذلك https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> نحن يملك مثال 2.
حل المعادلة الحل..gif" width="123" height="24"> و الجواب: لا توجد حلول. مثال 3.
حل المعادلة الحل..gif" width="95" height="25 src="> معروض في الشكل 9. من السهل التحقق من أن النقطة (-1; -2) هي نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف f( x) و g(x)، أي أن x=-1 هو حل المعادلة (28).لنرسم خطًا مستقيمًا y=x-1.من الشكل يتبع أنه يقع بين الرسوم البيانية للوظائف y=f(x) و y=g(x) تساعد هذه الملاحظة في إثبات أن المعادلة (28) ليس لها حلول أخرى. للقيام بذلك، نثبت أن x من الفاصل الزمني (-1؛ +∞) عدم المساواة و، وبالنسبة لـ x من الفاصل الزمني (-∞؛ -1) عدم المساواة https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. من الواضح أن المتراجحة صالحة لـ x>-1، والمتراجحة https://pandia.ru/text/78/500/ Images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. حلول عدم المساواة هذه كلها x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1. وبالتالي يتم إثبات العبارة المطلوبة، وتكون المعادلة (28) لها جذر واحد x=-1. الجواب: س=-1. مثال 4.
حل عدم المساواة الحل..gif" width="39" height="19 src=">، أي أن ODZ يتكون من ثلاث مسافات، https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" العرض = "52" الارتفاع = "41">، يعادل عدم المساواة وفي المنطقة x>0 يعادل عدم المساواة الرسومات البيانية للوظيفة ولذلك، فإن المتباينة (31) ليس لها حلول، والمتباينة (30) سيكون لها حلول لجميع x من الفترة. دعونا نثبت ذلك. أ) دع . عدم المساواة (29) يعادل عدم المساواة (30) في هذه الفترة. من السهل أن نرى أنه بالنسبة لكل x من هذه الفترة تكون المتباينات صحيحة وبالتالي، فإن المتباينة (30)، ومعها المتباينة الأصلية (29)، ليس لهما حلول على الفترة. ب) دع . ثم إن عدم المساواة (29) يعادل أيضًا عدم المساواة (30). لكل x من هذه الفترة وبالتالي، فإن أي x من هذا القبيل هو حل للمتباينة (30)، وبالتالي للمتباينة الأصلية (29). ج) دع x>0. في هذه المجموعة، فإن عدم المساواة الأصلية يعادل عدم المساواة (31). من الواضح أنه بالنسبة لأي x من هذه المجموعة تكون المتباينات التالية صحيحة: هذا يعني: 1) عدم المساواة (31) ليس لها حلول على المجموعة حيث 2)
عدم المساواة (31) ليس لها حلول في المجموعة حيث https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. ويبقى إيجاد حلول لعدم المساواة (31) تنتمي إلى الفاصل 1 
=> س=π، عند k=01.3. طريقة الاستبدال الوظيفية
المعادلة المثلثية للنموذج
(1)
أي أن ODZ يتكون من رقمين و. بالتعويض في المتباينة (2)، نجد أن الجانب الأيسر يساوي 0، والجانب الأيمن يساوي https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height ="23">.gif" width="117 height=41" height="41">.
(3)
(6)
. (7)
(8)
(9)
تأخذ قيمًا موجبة، والدالة https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> غير موجبة. لذلك، في هذا الفاصل الزمني، المعادلة (9) ليس لها حلول.
(11)
عبر و (خ). من تعريف القيمة المطلقة يتبع ذلك f(x)= at، https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" العرض = "43" الارتفاع = "41 src = ">. لذلك، إذا، فيمكن إعادة كتابة المعادلة (11) بالشكل، أي بالشكل ..gif" width="53" height="41"> يرضي فقط 
. إذا، فيمكن إعادة كتابة المعادلة (11) بالشكل https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. هذه المعادلة لها حلول 
. من بين قيم x هذه فقط 
.
، تأخذ الدالة قيمًا موجبة فقط، وبالتالي فإن المعادلة (12) ليس لها حلول في المجموعة 
.
(14)
هم وفقط هم حلول المعادلة (13).
(18)
. لوظيفة x>0 
مستمر ومتزايد بشكل صارم، كمنتج لوظيفتين موجبتين مستمرتين ومتزايدتين بشكل صارم f=x و https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > تأخذ كل قيمة من قيمها عند نقطة واحدة بالضبط. ومن السهل أن نرى أن x=1 هو حل للمعادلة (18)، وبالتالي فإن هذا هو حلها الوحيد.
. (19)
. من السهل أن نرى أن x=0 الدالة يأخذ القيمة 3. نظرًا للاستمرارية والرتابة الصارمة لهذه الوظيفة لـ x>0 لدينا 
، في العاشر<0 имеем . وبالتالي، فإن حلول عدم المساواة (19) كلها x<0.
(20)
و 
متواصلة ومتناقصة بشكل صارم، وبالتالي فإن الدالة مستمرة ومتناقصة. ولذلك، فإن الدالة h(x) تأخذ كل قيمة عند نقطة واحدة فقط. بما أن h(2)=2، فإن x=2 هو الجذر الوحيد للمعادلة الأصلية.
. وبالتالي، فإن حلول المتراجحة (26) ستكون جميعها x من الفترة [-1;1].
. (27)
معروضة في الشكل 8. لنرسم خطًا مستقيمًا y=2. يستنتج من الشكل أن الرسم البياني للدالة f(x) لا يقع أقل من هذا الخط، والرسم البياني للدالة g(x) ليس أعلى. علاوة على ذلك، فإن هذه الرسوم البيانية تلامس الخط المستقيم y=2 عند نقاط مختلفة. وبالتالي فإن المعادلة ليس لها حلول. دعونا نثبت ذلك. لكل لدينا ، أ . في هذه الحالة، f(x)=2 فقط لـ x=-1، وg(x)=2 فقط لـ x=0. وهذا يعني أن المعادلة (27) ليس لها حلول.
. (28)
.
(29)
, (30)
. (31)
وتظهر في الشكل 10..gif" width="56" height="45"> و.
,
.
,
,
أي أن المتباينة (31) ليس لها حلول في المجموعة؛
لحظة الحقيقة عندما قصف الأمريكيون قاعدة جوية سوفيتية
كيفية تهجئة "عشيرة - استنساخ"
قائمة سباقات ومخلوقات حرب النجوم