المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بالتساوي. المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل

يتم استدعاء متغيرين عشوائيين $ X $ و $ Y $ مستقلين إذا لم يتغير قانون التوزيع لمتغير عشوائي واحد اعتمادًا على القيم المحتملة التي يأخذها المتغير العشوائي الآخر. أي أن الحدثين $ X = x $ و $ Y = y $ لأي من $ x $ و $ y $ مستقلان. بما أن الأحداث $ X = x $ و $ Y = y $ مستقلتان ، من خلال حاصل ضرب نظرية الاحتمالات أحداث مستقلة$ P \ left (\ left (X = x \ right) \ left (Y = y \ right) \ right) = P \ left (X = x \ right) P \ left (Y = y \ right) $.

مثال 1 . دع المتغير العشوائي $ X $ يعبر عن الجائزة النقدية لتذاكر يانصيب واحد " اللوتو الروسي"، والمتغير العشوائي $ Y $ يعبر عن الجائزة النقدية لتذاكر يانصيب المفتاح الذهبي الآخر. من الواضح أن المتغيرات العشوائية X $ ، \ Y $ ستكون مستقلة ، لأن المكاسب من تذاكر يانصيب واحدة لا تعتمد على قانون توزيع المكاسب من تذاكر يانصيب آخر. في حالة ما إذا كانت المتغيرات العشوائية $ X ، \ Y $ تعبر عن المكاسب في نفس اليانصيب ، فمن الواضح أن هذه المتغيرات العشوائية ستكون تابعة.

مثال 2 . عاملان يعملان في متاجر مختلفة ويصنعان منتجات مختلفة، لا علاقة لها ببعضها البعض من خلال تقنيات التصنيع والمواد الخام المستخدمة. قانون توزيع عدد المنتجات المعيبة التي يصنعها العامل الأول لكل نوبة له الشكل التالي:

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
عدد \ معيبة \ منتجات \ x & 0 & 1 \\
\ hline
الاحتمال & 0.8 & 0.2 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

يخضع عدد المنتجات المعيبة التي يصنعها العامل الثاني في كل وردية لقانون التوزيع التالي.

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
عدد \ معيبة \ المنتجات \ y & 0 & 1 \\
\ hline
الاحتمال & 0.7 & 0.3 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

دعونا نجد قانون توزيع عدد المنتجات المعيبة من قبل عاملين في كل وردية.

اجعل المتغير العشوائي $ X $ هو عدد العناصر المعيبة التي صنعها العامل الأول لكل نوبة ، و $ Y $ هو عدد العناصر المعيبة التي صنعها العامل الثاني في كل وردية. من خلال الافتراض ، فإن المتغيرات العشوائية $ X ، \ Y $ مستقلة.

عدد العناصر المعيبة التي ينتجها عاملين في كل وردية متغير عشوائي $ X + Y $. قيمه المحتملة هي $ 0 و \ 1 $ و $ 2. لنجد الاحتمالات التي يأخذ بها المتغير العشوائي $ X + Y $ قيمه.

$ P \ left (X + Y = 0 \ right) = P \ left (X = 0، \ Y = 0 \ right) = P \ left (X = 0 \ right) P \ left (Y = 0 \ right) = 0.8 \ cdot 0.7 = 0.56. $

$ P \ left (X + Y = 1 \ right) = P \ left (X = 0 ، \ Y = 1 \ أو \ X = 1 ، \ Y = 0 \ right) = P \ left (X = 0 \ right) ) P \ left (Y = 1 \ right) + P \ left (X = 1 \ right) P \ left (Y = 0 \ right) = 0.8 \ cdot 0.3 + 0.2 \ cdot 0.7 = 0.38. $

$ P \ left (X + Y = 2 \ right) = P \ left (X = 1، \ Y = 1 \ right) = P \ left (X = 1 \ right) P \ left (Y = 1 \ right) = 0.2 \ cdot 0.3 = 0.06. $

ثم قانون توزيع عدد المنتجات المعيبة المصنعة من قبل عاملين في كل وردية:

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
عدد \ المعيبة \ العناصر & 0 & 1 & 2 \
\ hline
الاحتمال & 0.56 & 0.38 & 0.06 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

في المثال السابق ، أجرينا عملية على المتغيرات العشوائية$ X ، \ Y $ ، أي للعثور على مجموعهم $ X + Y $. دعنا الآن نعطي تعريفًا أكثر دقة للعمليات (الجمع ، الاختلاف ، الضرب) على المتغيرات العشوائية ونعطي أمثلة على الحلول.

التعريف 1. المنتج $ kX $ للمتغير العشوائي $ X $ به قيمة ثابتة$ k $ متغير عشوائي يأخذ القيم $ kx_i $ بنفس الاحتمالات $ p_i $ $ \ left (i = 1، \ 2، \ \ dots، \ n \ right) $.

التعريف 2. مجموع (الفرق أو المنتج) للمتغيرات العشوائية $ X $ و $ Y $ متغير عشوائي يأخذ كل القيم الممكنة من النموذج $ x_i + y_j $ ($ x_i-y_i $ أو $ x_i \ cdot y_i $) ، حيث $ i = 1 ، \ 2 ، \ dots ، \ n $ ، مع الاحتمالات $ p_ (ij) $ أن المتغير العشوائي $ X $ يأخذ القيمة $ x_i $ و $ Y $ القيمة $ y_j $:

$$ p_ (ij) = P \ left [\ left (X = x_i \ right) \ left (Y = y_j \ right) \ right]. $$

نظرًا لأن المتغيرات العشوائية $ X ، \ Y $ مستقلة ، ثم من خلال نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right ) = p_i \ cdot p_j $.

مثال 3 . المتغيرات العشوائية المستقلة $ X، \ Y $ تعطى من خلال قوانين التوزيع الاحتمالية الخاصة بها.

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\ hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
y_i & 2 & 8 \\
\ hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

دعونا نؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي $ Z = 2X + Y $. مجموع المتغيرات العشوائية $ X $ و $ Y $ ، أي $ X + Y $ ، هو متغير عشوائي يأخذ جميع القيم الممكنة للنموذج $ x_i + y_j $ ، حيث $ i = 1 ، \ 2 ، \ النقاط ، \ n $ ، مع الاحتمالات $ p_ (ij) $ أن المتغير العشوائي $ X $ يأخذ القيمة $ x_i $ و $ Y $ القيمة $ y_j $: $ p_ (ij) = P \ left [\ left ( X = x_i \ right) \ left (Y = y_j \ right) \ right] $. نظرًا لأن المتغيرات العشوائية $ X ، \ Y $ مستقلة ، ثم من خلال نظرية الضرب الاحتمالية للأحداث المستقلة: $ p_ (ij) = P \ left (X = x_i \ right) \ cdot P \ left (Y = y_j \ right ) = p_i \ cdot p_j $.

إذن ، توجد قوانين توزيع للمتغيرات العشوائية $ 2X $ و $ Y $ على التوالي.

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\ hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
y_i & 2 & 8 \\
\ hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

لتسهيل العثور على جميع قيم المجموع $ Z = 2X + Y $ واحتمالاتها ، سنقوم بتجميع جدول إضافي ، في كل خلية سنضع قيم المجموع $ في الزاوية اليسرى Z = 2X + Y $ ، وفي الزاوية اليمنى - تم الحصول على احتمالات هذه القيم نتيجة ضرب احتمالات القيم المقابلة للمتغيرات العشوائية $ 2X $ و $ Y $.

نتيجة لذلك ، نحصل على التوزيع $ Z = 2X + Y $:

$ \ start (مجموعة) (| c | c |)
\ hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\ hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\ hline
نهاية (مجموعة) $

من المعروف بالفعل أنه وفقًا لقانون التوزيع ، يمكن للمرء أن يجد الخصائص العدديةمتغير عشوائي. ويترتب على ذلك أنه إذا كان للعديد من المتغيرات العشوائية نفس التوزيعات ، فإن خصائصها العددية هي نفسها.

يعتبر نالمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل X 1 , X 2 , …,X ن، التي لها نفس التوزيعات ، وبالتالي نفس الخصائص (التوقع الرياضي ، التباين ، إلخ). الأكثر أهميةتمثل دراسة الخصائص العددية للمتوسط ​​الحسابي لهذه الكميات.

دعونا نشير إلى المتوسط ​​الحسابي للمتغيرات العشوائية المدروسة على النحو التالي:

.

تحدد الأحكام الثلاثة التالية علاقة بين الخصائص العددية للمتوسط ​​الحسابي والخصائص المقابلة لكل قيمة فردية.

1. التوقع الرياضي للمتوسط ​​الحسابي للمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل الموزع بشكل متماثل يساوي التوقع الرياضي أ لكل من الكميات:

دليل.باستخدام خصائص التوقع الرياضي (يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع الرياضي ؛ التوقع الرياضي للمبلغ يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات) ، لدينا

مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي لكل من الكميات حسب الشرط يساوي أ، نحن نحصل

.

2. تشتت الوسط الحسابي نالمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل الموزعة بالتساوي في نمرات أصغر من التباين دكل من الكميات:

دليل. استخدام خصائص التباين (يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التباين عن طريق تربيعه ؛ تباين المجموع كميات مستقلةيساوي مجموع تباينات المصطلحات) لدينا

مع مراعاة أن تباين كل من الكميات حسب الشرط يساوي د، نحن نحصل

.

3. متوسط الانحراف المعياريالمتوسط ​​الحسابي نالمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل الموزعة بشكل متماثل هي مرات أقل من الانحراف المعياري لكل من الكميات:

دليل. منذ ذلك الحين ، فإن الانحراف المعياري يساوي

.

الاستنتاج العام من الصيغتين (7.3) و (7.4): تذكر أن التباين والانحراف المعياري يعملان كمقاييس لتشتت متغير عشوائي ، نستنتج أن المتوسط ​​الحسابي كافٍ عدد كبيرالمتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل لديها تشتت أقل بكثير من كل متغير فردي.

دعونا نوضح بمثال أهمية هذا الاستنتاج بالنسبة للممارسة.

مثال.عادة لقياس بعض الكمية الماديةقم بإجراء عدة قياسات ، ثم ابحث عن المتوسط ​​الحسابي للأرقام التي تم الحصول عليها ، والتي يتم أخذها كقيمة تقريبية للقيمة المقاسة. بافتراض أن القياسات تتم في نفس الظروف ، أثبت:

أ) يعطي المتوسط ​​الحسابي نتيجة أكثر موثوقية من القياسات الفردية ؛

ب) مع زيادة عدد القياسات ، تزداد موثوقية هذه النتيجة.

حل. أ) من المعروف أن القياسات الفردية تعطي قيمًا مختلفة للكمية المقاسة. تعتمد نتيجة كل قياس على العديد من العوامل العشوائية (تغير درجة الحرارة ، وتقلبات الجهاز ، وما إلى ذلك) ، والتي لا يمكن أخذها في الاعتبار بشكل كامل مسبقًا.

لذلك ، لدينا الحق في النظر في النتائج المحتملة نالقياسات الفردية كمتغيرات عشوائية X 1 , X 2 , …,X ن(يشير الفهرس إلى رقم القياس). هذه الكميات لها نفس التوزيع الاحتمالي (يتم إجراء القياسات باستخدام نفس التقنية ونفس الأدوات) ، وبالتالي ، نفس الخصائص العددية ؛ بالإضافة إلى ذلك ، فهي مستقلة بشكل متبادل (نتيجة كل قياس فردي لا تعتمد على القياسات الأخرى).

كما هو موضح ، فإن المتوسط ​​الحسابي لهذه القيم له تشتت أقل من كل قيمة فردية. بمعنى آخر ، المتوسط ​​الحسابي أقرب إلى قيمة حقيقيةالقيمة المقاسة من نتيجة قياس واحد. هذا يعني أن المتوسط ​​الحسابي لعدة قياسات يعطي نتيجة أكثر موثوقية من قياس واحد.

ب) من المعروف أنه كلما زاد عدد المتغيرات العشوائية الفردية ، يقل تشتت المتوسط ​​الحسابي. هذا يعني أنه مع زيادة عدد القياسات ، فإن المتوسط ​​الحسابي للعديد من القياسات يختلف بشكل أقل وأقل عن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة. وبالتالي ، من خلال زيادة عدد القياسات ، يتم الحصول على نتيجة أكثر موثوقية.

على سبيل المثال ، إذا كان الانحراف المعياري للقياس الفردي s = 6 م ، والإجمالي ن= 36 قياسًا ، فإن الانحراف المعياري للمتوسط ​​الحسابي لهذه القياسات هو 1 متر فقط.

.

من الواضح أن المتوسط ​​الحسابي للعديد من القياسات ، كما هو متوقع ، تبين أنه أقرب إلى القيمة الحقيقية للكمية المقاسة من نتيجة قياس واحد.

لحل العديد من المشاكل العملية ، من الضروري معرفة مجموعة من الشروط التي نتيجة لها نتيجة الأثر التراكمي عدد كبيرلا تعتمد العوامل العشوائية تقريبًا على الحالة. يتم وصف هذه الشروط في عدة نظريات تحمل اسم شائعقانون أعداد كبيرة، حيث المتغير العشوائي k يساوي 1 أو 0 ، اعتمادًا على ما إذا كانت نتيجة الاختبار k هي النجاح أو الفشل. وبالتالي ، فإن Sn هو مجموع n من المتغيرات العشوائية المستقلة ، كل منها يأخذ القيم 1 و 0 مع الاحتمالات p و q.

ابسط شكلقانون الأعداد الكبيرة - نظرية برنولي ، التي تنص على أنه إذا كان احتمال وقوع حدث هو نفسه في جميع التجارب ، فعند زيادة عدد المحاكمات ، يميل تواتر الحدث إلى احتمال وقوع الحدث ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا .

نظرية بواسونتنص على أن تكرار حدث في سلسلة اختبارات مستقلةيميل إلى المتوسط ​​الحسابي لاحتمالاته ويتوقف عن كونه عشوائيًا.

تشرح نظريات الحد لنظرية الاحتمال ، نظريات Moivre-Laplace طبيعة ثبات وتيرة حدوث حدث. تتكون هذه الطبيعة من حقيقة أن التوزيع المحدود لعدد تكرارات حدث مع زيادة غير محدودة في عدد المحاولات (إذا كان احتمال وقوع حدث في جميع التجارب هو نفسه) هو توزيع طبيعي.

وسط نظرية الحد يشرح استخدام واسعقانون التوزيع العادي. تنص النظرية على أنه كلما تم تكوين متغير عشوائي نتيجة لإضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الفروق المحدودة ، يتضح أن قانون توزيع هذا المتغير العشوائي هو عمليا قانون عادي.

نظرية ليابونوفيشرح التوزيع الواسع لقانون التوزيع العادي ويشرح آلية تشكيله. تسمح لنا النظرية بتأكيد أنه كلما تم تكوين متغير عشوائي نتيجة إضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ، والتي تكون تبايناتها صغيرة مقارنة بتباين المجموع ، يتحول قانون توزيع هذا المتغير العشوائي ليكون عمليا قانونا عاديا. ونظرًا لأن المتغيرات العشوائية يتم إنشاؤها دائمًا من خلال عدد لا حصر له من الأسباب وغالبًا ما لا يكون لأي منها تباين مماثل لتباين المتغير العشوائي نفسه ، فإن معظم المتغيرات العشوائية التي يتم مواجهتها في الممارسة تخضع القانون العاديتوزيع.

تستند البيانات النوعية والكمية لقانون الأعداد الكبيرة على عدم المساواة في Chebyshev. وهي تحدد الحد الأعلى لاحتمال أن يكون انحراف قيمة متغير عشوائي عن توقعه الرياضي أكبر من بعض الأرقام المحددة. من اللافت للنظر أن متباينة Chebyshev تعطي تقديرًا لاحتمالية حدث لمتغير عشوائي يكون توزيعه غير معروف ، ولا يُعرف سوى توقعه الرياضي وتباينه.

عدم المساواة في Chebyshev. إذا كان للمتغير العشوائي x تباين ، فعندئذٍ بالنسبة لأي x> 0 ، فإن المتباينة التالية صحيحة ، حيث م x و د x - التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي x.

نظرية برنولي. لنفترض أن x n هو عدد النجاحات في تجارب n Bernoulli و p احتمال النجاح في تجربة واحدة. ثم لأي s> 0 هذا صحيح.

نظرية ليابونوف. لنفترض أن s 1، s 2،…، s n،… يكون سلسلة غير محدودة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوقعات الرياضية m 1، m 2،…، m n،… and variation s 1 2، s 2 2،…، s n 2…. دعنا نشير.

ثم = Ф (ب) - Ф (أ) لأي أرقام حقيقيةأ و ب ، حيث Ф (س) هي دالة التوزيع للقانون العادي.

دعونا نعطي متغير عشوائي منفصل. ضع في اعتبارك اعتماد عدد النجاحات Sn على عدد التجارب n. مع كل تجربة ، يزيد Sn بمقدار 1 أو 0. يمكن كتابة هذا البيان على النحو التالي:

Sn = 1 +… + n. (1.1)

قانون الأعداد الكبيرة. لنفترض (ك) سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيعات المتطابقة. إذا كان التوقع الرياضي = M (k) موجودًا ، فعندئذٍ لأي> 0 لـ n

بعبارة أخرى ، فإن احتمال اختلاف متوسط ​​S n / n عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من احتمال معين بشكل تعسفي يميل إلى واحد.

نظرية الحد المركزي.لنفترض (ك) سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيعات المتطابقة. لنفترض ذلك ونوجد. دع Sn = 1 +… + n ، ثم لأي ثابت

Ф () - Ф () (1.3)

هنا F (x) - وظيفة عاديةتوزيع. صاغ لينلبيرج هذه النظرية وأثبتها. أثبتت Lyapunov ومؤلفون آخرون ذلك في وقت سابق ، في ظل ظروف أكثر تقييدًا. يجب أن نتخيل أن النظرية التي تمت صياغتها أعلاه ليست سوى حالة خاصة جدًا لما هو أكثر من ذلك بكثير النظرية العامة، والتي بدورها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالعديد من نظريات الحدود الأخرى. لاحظ أن (1.3) أقوى بكثير من (1.2) ، لأن (1.3) يعطي تقديرًا لاحتمال أن يكون الفرق أكبر من. من ناحية أخرى ، يكون قانون الأعداد الكبيرة (1.2) صحيحًا حتى لو لم يكن للمتغيرات العشوائية k تباين محدود ، لذلك فهو ينطبق على المزيد الحالة العامةمن نظرية الحد المركزي (1.3). نوضح آخر نظريتين بأمثلة.

أمثلة.أ) ضع في اعتبارك سلسلة من الرميات المستقلة لقالب متماثل. لنفترض أن k هو عدد النقاط الملتفة على kth toss. ثم

م (ك) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) /6=3.5 ،

أ د (ك) = (1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2) / 6- (3.5) 2 = 35/12 و S n / n

هو متوسط ​​عدد النقاط الناتج عن لفات n.

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه من المعقول أن يكون هذا المتوسط ​​قريبًا من 3.5 لـ n الكبيرة. تؤسس نظرية الحدود المركزية الاحتمال بأن | Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() -- Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)-- Ф(-- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

ب) عينة. لنفترض ذلك في سكان,

تتكون من عائلات N ، عائلات Nk لديها أطفال k بالضبط

(ك = 0 ، 1 ... ؛ Nk = N). إذا تم اختيار عائلة بشكل عشوائي ، فإن عدد الأطفال فيها هو متغير عشوائي يأخذ قيمة مع احتمال p = N / N. مع الاختيار العودي ، يمكن للمرء أن يعتبر عينة من الحجم n كمجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة n أو "الملاحظات" 1 ، ... ، n التي لها نفس التوزيع ؛ S n / n هو متوسط ​​العينة. قانون الأعداد الكبيرة ينص على أنه كبير بما فيه الكفاية عينة عشوائيةمن المحتمل أن يكون متوسطها قريبًا من متوسط ​​عدد السكان. تسمح لك نظرية الحد المركزي بتقدير مقدار التناقض المحتمل بين هذه الوسائل وتحديد حجم العينة المطلوب لتقدير موثوق. في الممارسة العملية ، وعادة ما تكون غير معروفة ؛ ومع ذلك ، في معظم الحالات يكون من السهل الحصول على تقدير أولي ويمكن دائمًا وضعه في حدود موثوقة. إذا أردنا أن يختلف متوسط ​​العينة S n / n عن متوسط ​​السكان غير المعروف بأقل من 1/10 مع احتمال 0.99 أو أكثر ، فيجب أخذ حجم العينة على هذا النحو

جذر x للمعادلة Ф (х) - (- x) = 0.99 يساوي x = 2.57 ... ، وبالتالي ، يجب أن يكون n على هذا النحو 2.57 أو n> 660. يجعل التقدير المسبق الدقيق من الممكن العثور على حجم العينة المطلوب.

ج) توزيع بواسون.

افترض أن المتغيرات العشوائية k لها توزيع بواسون (ص (ك ؛)). ثم Sn لديه توزيع بواسون مع توقع رياضيوالتباين يساوي n.

الكتابة بدلاً من n ، نستنتج ذلك لـ n

يتم إجراء الجمع على كل k من 0 إلى. يحدث F-la (1.5) أيضًا عندما يكون بشكل تعسفي.

عمل الدورة

حول موضوع: "قوانين الأعداد الكبيرة"

المتغيرات العشوائية الموزعة بالتساوي

لحل العديد من المشكلات العملية ، من الضروري معرفة مجموعة من الشروط التي تكون نتيجة التأثير المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية مستقلة تقريبًا عن الحالة. يتم وصف هذه الشروط في عدة نظريات ، تسمى مجتمعة قانون الأعداد الكبيرة ، حيث المتغير العشوائي k يساوي 1 أو 0 ، اعتمادًا على ما إذا كانت نتيجة التجربة k هي النجاح أو الفشل. وبالتالي ، فإن Sn هو مجموع n من المتغيرات العشوائية المستقلة ، كل منها يأخذ القيم 1 و 0 مع الاحتمالات p و q.

أبسط شكل من أشكال قانون الأعداد الكبيرة هو نظرية برنولي ، التي تنص على أنه إذا كان احتمال وقوع حدث هو نفسه في جميع التجارب ، فعند زيادة عدد المحاولات ، يميل تواتر الحدث إلى احتمال وقوع الحدث و توقف عن أن تكون عشوائية.

تنص نظرية بواسون على أن تكرار حدث في سلسلة من التجارب المستقلة يميل إلى المتوسط ​​الحسابي لاحتمالاته ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

تشرح نظريات الحد لنظرية الاحتمال ، نظريات Moivre-Laplace طبيعة ثبات وتيرة حدوث حدث. تتكون هذه الطبيعة من حقيقة أن التوزيع المحدود لعدد تكرارات حدث مع زيادة غير محدودة في عدد المحاولات (إذا كان احتمال وقوع حدث في جميع التجارب هو نفسه) هو توزيع طبيعي.

تشرح نظرية الحد المركزي الاستخدام الواسع لقانون التوزيع العادي. تنص النظرية على أنه كلما تم تكوين متغير عشوائي نتيجة لإضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات الفروق المحدودة ، يتضح أن قانون توزيع هذا المتغير العشوائي هو عمليا قانون عادي.

تشرح نظرية ليابونوف التوزيع الواسع لقانون التوزيع الطبيعي وتشرح آلية تشكيله. تسمح لنا النظرية بتأكيد أنه كلما تم تكوين متغير عشوائي نتيجة إضافة عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ، والتي تكون تبايناتها صغيرة مقارنة بتباين المجموع ، يتحول قانون توزيع هذا المتغير العشوائي ليكون عمليا قانونا عاديا. ونظرًا لأن المتغيرات العشوائية يتم إنشاؤها دائمًا بواسطة عدد لا حصر له من الأسباب ، وغالبًا ما لا يكون لأي منها تباين مماثل لتباين المتغير العشوائي نفسه ، فإن معظم المتغيرات العشوائية التي يتم مواجهتها في الممارسة تخضع لقانون التوزيع الطبيعي.

تستند البيانات النوعية والكمية لقانون الأعداد الكبيرة على عدم المساواة في Chebyshev. وهي تحدد الحد الأعلى لاحتمال أن يكون انحراف قيمة متغير عشوائي عن توقعه الرياضي أكبر من بعض الأرقام المحددة. من اللافت للنظر أن متباينة Chebyshev تعطي تقديرًا لاحتمالية حدث لمتغير عشوائي يكون توزيعه غير معروف ، ولا يُعرف سوى توقعه الرياضي وتباينه.

عدم المساواة في Chebyshev. إذا كان للمتغير العشوائي x تباين ، فعندئذٍ لأي x> 0 تكون المتباينة صحيحة ، حيث م x و د x - التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي x.

نظرية برنولي. لنفترض أن x n هو عدد النجاحات في تجارب n Bernoulli و p احتمال النجاح في تجربة واحدة. ثم ، لأي s> 0 ،.

نظرية ليابونوف. لنفترض أن s 1، s 2،…، s n،… يكون سلسلة غير محدودة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوقعات الرياضية m 1، m 2،…، m n،… and variation s 1 2، s 2 2،…، s n 2…. دلالة ، ، ،.

ثم = Ф (ب) - Ф (أ) لأي عدد حقيقي أ و ب ، حيث Ф (س) هي دالة التوزيع للقانون العادي.

دعونا نعطي متغير عشوائي منفصل. ضع في اعتبارك اعتماد عدد النجاحات Sn على عدد التجارب n. مع كل تجربة ، يزيد Sn بمقدار 1 أو 0. يمكن كتابة هذا البيان على النحو التالي:

Sn = 1 +… + n. (1.1)

قانون الأعداد الكبيرة. لنفترض (ك) سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيعات المتطابقة. إذا كان التوقع الرياضي = M (k) موجودًا ، فعندئذٍ لأي> 0 لـ n

بعبارة أخرى ، فإن احتمال اختلاف متوسط ​​S n / n عن التوقع الرياضي بمقدار أقل من المعطى التعسفي يميل إلى واحد.

نظرية الحد المركزي. لنفترض (ك) سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيعات المتطابقة. لنفترض ذلك ونوجد. دع Sn = 1 +… + n ، ثم لأي ثابت

ف () - ف () (1.3)

هنا Φ (x) هي دالة التوزيع العادية. صاغ لينلبيرج هذه النظرية وأثبتها. أثبتت Lyapunov ومؤلفون آخرون ذلك في وقت سابق ، في ظل ظروف أكثر تقييدًا. يجب أن نتخيل أن النظرية التي تمت صياغتها أعلاه ليست سوى حالة خاصة جدًا لنظرية أكثر عمومية ، والتي بدورها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالعديد من نظريات النهاية الأخرى. لاحظ أن (1.3) أقوى بكثير من (1.2) ، لأن (1.3) يعطي تقديرًا لاحتمال أن يكون الفرق أكبر من. من ناحية أخرى ، يكون قانون الأعداد الكبيرة (1.2) صحيحًا حتى إذا لم يكن للمتغيرات العشوائية k تباين محدود ، لذلك فهو ينطبق على حالة أكثر عمومية من نظرية الحد المركزي (1.3). نوضح آخر نظريتين بأمثلة.

أمثلة.أ) ضع في اعتبارك سلسلة من الرميات المستقلة لقالب متماثل. لنفترض أن k هو عدد النقاط التي تم تسجيلها على kth toss. ثم

م (ك) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) /6=3.5 ،

أ د (ك) = (1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2) / 6- (3.5) 2 = 35/12 و S n / n

هو متوسط ​​عدد النقاط الناتج عن لفات n.

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه من المعقول أن يكون هذا المتوسط ​​قريبًا من 3.5 لـ n الكبيرة. تؤسس نظرية الحدود المركزية الاحتمال بأن | Sn - 3.5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

ب) عينة. افترض أنه في عموم السكان ،

تتكون من عائلات N ، عائلات Nk لديها أطفال k بالضبط

(ك = 0 ، 1 ... ؛ Nk = N). إذا تم اختيار عائلة بشكل عشوائي ، فإن عدد الأطفال فيها هو متغير عشوائي يأخذ قيمة مع احتمال p = N / N. مع الاختيار العودي ، يمكن للمرء أن يعتبر عينة من الحجم n كمجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة n أو "الملاحظات" 1 ، ... ، n التي لها نفس التوزيع ؛ S n / n هو متوسط ​​العينة. ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه بالنسبة لعينة عشوائية كبيرة بما فيه الكفاية ، من المرجح أن يكون متوسطها قريبًا ، أي متوسط ​​السكان. تسمح لك نظرية الحد المركزي بتقدير مقدار التناقض المحتمل بين هذه الوسائل وتحديد حجم العينة المطلوب لتقدير موثوق. في الممارسة العملية ، وعادة ما تكون غير معروفة ؛ ومع ذلك ، في معظم الحالات يكون من السهل الحصول على تقدير أولي ويمكن دائمًا وضعه في حدود موثوقة. إذا أردنا أن يختلف متوسط ​​العينة S n / n عن متوسط ​​السكان غير المعروف بأقل من 1/10 مع احتمال 0.99 أو أكثر ، فيجب أخذ حجم العينة على هذا النحو

جذر x للمعادلة Ф (х) - (- x) = 0.99 يساوي x = 2.57 ... ، وبالتالي ، يجب أن يكون n على هذا النحو 2.57 أو n> 660. يجعل التقدير المسبق الدقيق من الممكن العثور على حجم العينة المطلوب.

ج) توزيع بواسون.

افترض أن المتغيرات العشوائية k لها توزيع بواسون (ص (ك ؛)). ثم Sn لها توزيع بواسون بمتوسط ​​وتباين يساوي n.

الكتابة بدلاً من n ، نستنتج ذلك لـ n

يتم إجراء الجمع على كل k من 0 إلى. يحدث F-la (1.5) أيضًا عندما يكون بشكل تعسفي.

يقولون إنهم كذلك مستقلة (و) موزعة بالتساوي، إذا كان لكل منهم نفس التوزيع مثل الآخرين ، وكانت جميع الكميات مستقلة في المجموع. غالبًا ما يتم اختصار عبارة "مستقل موزعة بشكل مماثل" كـ معرف(من الانجليزية. مستقلة وموزعة بشكل مماثل ) ، في بعض الأحيان - "n.o.r."

التطبيقات

يتم استخدام افتراض أن المتغيرات العشوائية مستقلة وموزعة بالتساوي على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات والإحصاءات ، لأنها تتيح للمرء تبسيط الحسابات النظرية إلى حد كبير وإثبات نتائج مثيرة للاهتمام.

تنص إحدى النظريات الرئيسية لنظرية الاحتمال - نظرية الحد المركزي - على أنه إذا كانت سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل ، فعندئذٍ ، لأنها تميل إلى اللانهاية ، فإن توزيعها المتوسط ​​- المتغير العشوائي يتقارب مع التوزيع الطبيعي.

في الإحصاء ، يُفترض عادةً أن العينة الإحصائية هي سلسلة من معرف. تحقيق بعض المتغيرات العشوائية (تسمى هذه العينة بسيط).

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

• أي.
• إنتل 8048

انظر ما هو "المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل مماثل" في القواميس الأخرى:

مشكلة خراب اللاعب- مهمة تدمير اللاعب هي مهمة من مجال نظرية الاحتمالات. تعتبر بالتفصيل عالم رياضيات روسي A. N. Shiryaev في دراسة "احتمالية" ... ويكيبيديا

التوزيع المستدام- في نظرية الاحتمالات ، هذا توزيع يمكن الحصول عليه كحد لتوزيع مبالغ المتغيرات العشوائية المستقلة. المحتويات 1 التعريف 2 ملاحظات ... ويكيبيديا

صيغة Levy-Khinchin لتوزيع مستقر- التوزيع المستقر في نظرية الاحتمالات هو توزيع يمكن الحصول عليه كحد لتوزيع مبالغ المتغيرات العشوائية المستقلة. المحتويات 1 التعريف 2 الملاحظات 3 خصائص التوزيعات المستقرة ... ويكيبيديا

التوزيع غير المحدود للقسمة- في نظرية الاحتمالات ، هذا هو توزيع متغير عشوائي بحيث يمكن تمثيله كعدد عشوائي من المصطلحات المستقلة ، الموزعة بالتساوي. المحتويات 1 التعريف ... ويكيبيديا

نموذج كرامر لوندبرج- نموذج كرامر لوندبرج نموذج رياضيمما يسمح بتقييم مخاطر تدمير شركة التأمين. في إطار هذا النموذج ، يُفترض أن أقساط التأمين يتم استلامها بالتساوي ، بمعدل مشروط وحدات نقديةلكل وحدة ... ... ويكيبيديا

صيغة Levy-Khinchin لتوزيع لا نهائي قابل للقسمة- التوزيع غير المحدود للقسمة في نظرية الاحتمالات هو توزيع متغير عشوائي بحيث يمكن تمثيله كعدد عشوائي من المصطلحات المستقلة الموزعة بالتساوي. المحتويات 1 التعريف 2 ... ... ويكيبيديا

نموذج كريمر- يجب أن تكون هذه المقالة wikified. من فضلك ، قم بتنسيقه وفقًا لقواعد تنسيق المقالات. نموذج Kramer Lundberg هو نموذج رياضي يسمح لك بتقييم مخاطر تدمير شركة التأمين ... ويكيبيديا

التحكم الإحصائي للقبول- إجمالي أساليب إحصائيةالسيطرة على الإنتاج الضخم من أجل تحديد امتثاله للمتطلبات المحددة. ملاحظة. ي.وسيلة فعالة لضمان الجودة الجيدة للإنتاج بالجملة. ملاحظة. على ... ... الموسوعة السوفيتية العظمى

توزيع متعدد الحدود- التوزيع متعدد الحدود في نظرية الاحتمالات هو تعميم توزيع ثنائيفي حالة التجارب المستقلة لتجربة عشوائية لها العديد من النتائج المحتملة. تعريف دع مستقلة ... ... ويكيبيديا

توزيع متعدد الحدود- التوزيع متعدد الحدود (متعدد الحدود) في نظرية الاحتمالات هو تعميم للتوزيع ذي الحدين في حالة التجارب المستقلة لتجربة عشوائية لها عدة نتائج محتملة. تعريف دع مستقلة على قدم المساواة ... ... ويكيبيديا