النظريات الأساسية للديناميكيات. النظريات العامة للديناميات

محاضرة 3 النظريات العامة للديناميات

ديناميات نظام النقاط الماديةهو فرع مهم من الميكانيكا النظرية. هنا ، نعتبر بشكل أساسي مشاكل حركة الأنظمة الميكانيكية (أنظمة نقاط المواد) مع عدد محدوددرجات الحرية - الحد الأقصى لعدد المعلمات المستقلة التي تحدد موضع النظام. المهمة الرئيسيةديناميات النظام - دراسة قوانين الحركة لجسم صلب وأنظمة ميكانيكية.

أبسط نهج لدراسة حركة نظام يتكون من نيتم تقليل النقاط المادية إلى النظر في حركات كل نقطة فردية من النظام. في هذه الحالة ، يجب تحديد جميع القوى المؤثرة على كل نقطة من النظام ، بما في ذلك قوى التفاعل بين النقاط.

عند تحديد تسارع كل نقطة وفقًا لقانون نيوتن الثاني (1.2) ، نحصل لكل نقطة على ثلاثة قوانين تفاضلية قياسية للحركة من الدرجة الثانية ، أي 3 ن قانون الحركة التفاضلي للنظام بأكمله.

لإيجاد معادلات الحركة نظام ميكانيكيالقوى المعطاة والشروط الأولية لكل نقطة من النظام ، تم الحصول عليها قوانين تفاضليةيحتاج إلى التكامل. هذه المشكلة صعبة حتى في حالة وجود نقطتين ماديتين لا تتحرك إلا تحت تأثير قوى التفاعل وفقًا لقانون الجذب العام (مشكلة الجسمين) ، وهي صعبة للغاية في حالة وجود ثلاث نقاط متفاعلة ( مشكلة ثلاث جثث).

لذلك ، من الضروري إيجاد مثل هذه الطرق لحل المشكلات التي من شأنها أن تؤدي إلى معادلات قابلة للحل وإعطاء فكرة عن حركة النظام الميكانيكي. النظريات العامة للديناميكيات ، نتيجة لقوانين الحركة التفاضلية ، تجعل من الممكن تجنب التعقيد الذي ينشأ أثناء التكامل والحصول على النتائج اللازمة.

3.1. ملاحظات عامة

سيتم ترقيم نقاط النظام الميكانيكي بالمؤشرات أنا, ي, كإلخ التي تمر عبر جميع القيم 1, 2, 3… ن، أين ن هو عدد نقاط النظام. الكميات المادية المتعلقة ب كيتم الإشارة إلى النقطة رقم بواسطة نفس مؤشر النقطة. على سبيل المثال ، يعبرون على التوالي عن متجه نصف القطر والسرعة كالنقطة رقم.

تعمل القوى ذات الأصلين على كل نقطة من نقاط النظام: أولاً ، القوى التي تقع مصادرها خارج النظام ، تسمى خارجيالقوى والمشار إليها من قبل ؛ ثانياً ، القوى من نقاط أخرى في هذا النظام تسمى داخليالقوى والمشار إليها من قبل. تفي القوى الداخلية بقانون نيوتن الثالث. ضع في اعتبارك أبسط خصائص القوى الداخلية التي تعمل على النظام الميكانيكي بأكمله في أي من حالاته.

الملكية الأولى. المجموع الهندسي لجميع القوى الداخلية للنظام (المتجه الرئيسي للقوى الداخلية) يساوي الصفر.

في الواقع ، إذا أخذنا في الاعتبار أي نقطتين تعسفيتين في النظام ، على سبيل المثال ، و (الشكل 3.1)ثم لهم ، لان دائمًا ما تكون قوى الفعل ورد الفعل متساوية في القيمة المطلقة ، فهي تعمل على طول خط واحد من العمل في الاتجاه المعاكس ، والذي يربط بين نقاط التفاعل. يتكون المتجه الرئيسي للقوى الداخلية من أزواج من القوى من نقاط التفاعل ، وبالتالي

(3.1)

الملكية الثانية. المجموع الهندسي للحظات جميع القوى الداخلية بالنسبة إلى نقطة عشوائية في الفضاء هو صفر.

ضع في اعتبارك نظام لحظات القوى وفيما يتعلق بالنقطة ا(الشكل 3.1). من (الشكل 3.1). انه واضح

,

لان كلتا القوتين لهما نفس الأذرع واتجاهات متعاكسة من لحظات المتجهات. اللحظة الرئيسية للقوى الداخلية حول هذه النقطة ايتكون من مجموع متجه لهذه التعبيرات ويساوي الصفر. بالتالي،

اسمحوا الخارجية و القوى الداخليةيعمل على نظام ميكانيكي يتكون من ننقاط (الشكل 3.2). إذا تم تطبيق ناتج القوى الخارجية والنتيجة الناتجة عن جميع القوى الداخلية على كل نقطة من النظام ، فعندئذٍ لأي منها كالنقطة العاشرة في النظام ، يمكن للمرء أن يؤلف معادلات تفاضلية للحركة. في المجموع ستكون هذه المعادلات ن:

وفي الإسقاطات على محاور إحداثيات ثابتة 3 ن:

(3.4)

معادلات المتجهات (3.3) أو المعادلات العددية المكافئة (3.4) تمثل القوانين التفاضلية لحركة النقاط المادية للنظام بأكمله. إذا كانت جميع النقاط تتحرك بالتوازي مع مستوى واحد أو خط مستقيم واحد ، فسيكون عدد المعادلات (3.4) في الحالة الأولى 2 ن، في الثانية ن.

مثال 1يتم ربط حمولتين من الكتلة بواسطة كابل غير مرن يتم إلقاؤه فوق كتلة (الشكل 3.3). إن إهمال قوى الاحتكاك وكتلة الكتلة والكابل يحددان قانون حركة البضائع وتوتر الكابل.

المحلول. يتكون النظام من جسمين ماديين (متصلان بكابل غير مرن) يتحركان بالتوازي مع محور واحد X.دعونا نكتب قوانين الحركة التفاضلية في الإسقاطات على المحور Xللجميع.

دع الوزن الأيمن ينزل مع التسارع ، ثم يرتفع الوزن الأيسر مع التسارع. نحرر أنفسنا عقليًا من الاتصال (الكابل) واستبداله بردود فعل و (الشكل 3.3). بافتراض أن الأجسام حرة ، سنقوم بتكوين قوانين الحركة التفاضلية في الإسقاط على المحور X(بمعنى أن شد الخيط قوى داخلية ، ووزن الأحمال خارجي):

منذ و (الأجسام متصلة بواسطة كابل غير مرن) ، نحصل عليها

حل هذه المعادلات من أجل تسارع وتوتر الحبل تي، نحن نحصل

.

لاحظ أن شد الكبل عند لا يساوي جاذبية الحمل المقابل.

3. 2. نظرية حركة مركز الكتلة

من المعروف أن الجسم الصلب والنظام الميكانيكي في الطائرة يمكن أن يتحرك بصعوبة بالغة. يمكن التوصل إلى النظرية الأولى حول حركة الجسم والنظام الميكانيكي بالطريقة التالية: إسقاط c.-l. جسم يتكون من عدة أجسام صلبة مرتبطة ببعضها البعض. من الواضح أنه سوف يطير في قطع مكافئ. تم الكشف عن هذا عند دراسة حركة نقطة. ومع ذلك ، فإن الموضوع الآن ليس نقطة. يتأرجح في عملية الطيران حول مركز فعال يتحرك على طول القطع المكافئ. نظرية الحركة الأولى مواضيع صعبةيقول أن مركزًا فعالًا معينًا هو مركز كتلة جسم متحرك. لا يقع مركز الكتلة بالضرورة في الجسم نفسه ، بل يمكن أن يقع في مكان ما خارجه.

نظرية. يتحرك مركز كتلة النظام الميكانيكي كنقطة مادية مع كتلة يساوي الكتلةالنظام بأكمله الذي يتم تطبيق جميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام.

لإثبات النظرية ، نعيد كتابة قوانين الحركة التفاضلية (3.3) في النموذج التالي:

(3.5)

أين ن هو عدد نقاط النظام.

دعنا نجمع المعادلات معًا مصطلحًا تلو الآخر:

(أ)

يتم تحديد موضع مركز الكتلة للنظام الميكانيكي بالنسبة إلى نظام الإحداثيات المحدد بواسطة الصيغة (2.1): أين مهي كتلة النظام. ثم يتم كتابة الجانب الأيسر من المساواة (أ)

المجموع الأول ، الذي يقف على الجانب الأيمن من المساواة (أ) ، يساوي المتجه الرئيسي للقوى الخارجية ، والمبلغ الأخير ، من خلال خاصية القوى الداخلية ، يساوي صفرًا. ثم ستتم إعادة كتابة المساواة (أ) ، مع مراعاة (ب)

, (3.6)

أولئك. ناتج كتلة النظام وتسارع مركز كتلته يساوي مجموع هندسيجميع القوى الخارجية التي تعمل على النظام.

ويترتب على المعادلة (3.6) أن القوى الداخلية لا تؤثر بشكل مباشر على حركة مركز الكتلة. ومع ذلك ، في بعض الحالات هم سبب ظهور قوى خارجية مطبقة على النظام. وبالتالي ، فإن القوى الداخلية التي تقوم بتدوير عجلات قيادة السيارة تتسبب في تأثير قوة التصاق خارجية على حافة العجلة.

مثال 2يتم تثبيت الآلية ، الموجودة في المستوى الرأسي ، على مستوى أفقي أملس ومرفقة بها بقضبان مثبتة بشكل صارم على السطح. إلىو إل (الشكل 3.4).

نصف قطر القرص 1 صبلا حراك. كتلة القرص 2 مونصف القطر ص مثبتة بعمود كرنك ، طول ص+ صفي هذه النقطة من 2. الكرنك يدور بشكل ثابت

سرعة الزاوي. في لحظة أوليةاحتل الكرنك الموضع الأفقي الصحيح. بإهمال كتلة الكرنك ، حدد الحد الأقصى للقوى الأفقية والعمودية المؤثرة على القضبان ، إذا الوزن الكليالسرير والعجلة 1 يساوي م.ضع في اعتبارك أيضًا سلوك الآلية في حالة عدم وجود أشرطة.

المحلول. يتكون النظام من كتلتين ( ن=2 ): قرص ثابت 1 بإطار وقرص متحرك 2. لنوجه المحور فيمن خلال مركز ثقل القرص الثابت عموديًا ، المحور X- على طول المستوى الأفقي.

نكتب النظرية حول حركة مركز الكتلة (3.6) في صيغة الإحداثيات

القوى الخارجية لهذا النظام هي: وزن الهيكل والقرص الثابت - ملغ, وزن القرص المتحرك ملغ, - رد الفعل الأفقي الكلي للبراغي ، - رد الفعل الكلي الطبيعي للطائرة. بالتالي،

ثم يتم إعادة كتابة قوانين الحركة (ب)

دعونا نحسب إحداثيات مركز كتلة النظام الميكانيكي:

؛ (ز)

كما رأينا من (الشكل 3.4), , , (زاوية دوران الكرنك) ، . استبدال هذه التعبيرات في (r) وحساب المشتقات الثانية بالنسبة للوقت رمن ، نحصل على ذلك

(هـ)

بالتعويض (ج) و (هـ) في (ب) ، نجد

الضغط الأفقي الذي يعمل على القضبان له أكبر و أصغر قيمة، متى كوس = 1 على التوالي ، أي

يحتوي ضغط الآلية على المستوى الأفقي على أعلى وأدنى قيم عندما الخطيئة على التوالي ، أي

في الواقع ، تم حل المشكلة الأولى للديناميكيات: وفقًا لمعادلات الحركة المعروفة لمركز كتلة النظام (هـ) ، تمت استعادة القوى المشاركة في الحركة.

في حالة عدم وجود قضبان كو إل (الشكل 3.4)، قد تبدأ الآلية في الارتداد فوق المستوى الأفقي. سيحدث هذا عندما ، أي. عندما ، يترتب على ذلك أن السرعة الزاوية لدوران الساعد ، حيث ترتد الآلية ، يجب أن تفي بالمساواة

.

3. 3. قانون الحفاظ على حركة مركز الكتلة

إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا ، أي ، ثم من(3.6)يترتب على ذلك أن تسارع مركز الكتلة يساوي صفرًا ، وبالتالي فإن سرعة مركز الكتلة ثابتة في الحجم والاتجاه. إذا كان مركز الكتلة ، على وجه الخصوص ، في حالة راحة في اللحظة الأولى ، فإنه يكون في حالة سكون طوال الوقت حتى يصبح المتجه الرئيسي للقوى الخارجية مساويًا للصفر.

عدة نتائج طبيعية تتبع من هذه النظرية.

· لا تستطيع القوى الداخلية وحدها تغيير طبيعة حركة مركز كتلة النظام.

· إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي صفرًا ، فإن مركز الكتلة يكون في حالة راحة أو يتحرك بشكل موحد ومستقيم.

· إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام على بعض المحاور الثابتة يساوي صفرًا ، فلن يتغير إسقاط سرعة مركز كتلة النظام على هذا المحور.

· إذا تم تطبيق قوتين على جسم صلب لا يمكن أن تغير حركة مركز كتلته (يمكن أن يتسبب ذلك فقط في دوران الجسم حول مركز الكتلة).

لنفكر في مثال يوضح قانون حفظ حركة مركز الكتلة.

مثال 3وزنان مع كتل ومتصلان بخيط غير مرن يتم إلقاؤه فوق كتلة (الشكل 3.5)، مثبتة على إسفين مع كتلة م.الإسفين يرتكز على مستوى أفقي ناعم. في البداية ، كان النظام في حالة راحة. أوجد إزاحة الإسفين على طول المستوى عند إنزال الحمل الأول إلى ارتفاع ن.تجاهل كتلة الكتلة والخيط.

المحلول.القوى الخارجية التي تعمل على الإسفين مع الأوزان هي قوى الجاذبية ، و ملغ، إلى جانب رد فعل طبيعيسطح أفقي أملس N.

منذ أن كان النظام في حالة راحة في اللحظة الأولى ، لدينا.

دعونا نحسب إحداثيات مركز كتلة النظام في الوقت الحالي ر 1 عندما يكون وزن الحمولة زتنزل إلى ارتفاع ح.

لحظة:

,

أين ، ، X- إحداثيات مركز كتلة الأحمال التي تزن g و g ووزن الإسفين على التوالي مز.

لنفترض أن الإسفين يتحرك في الوقت الحالي في الاتجاه الإيجابي للمحور ثوربالمبلغ إلإذا انخفض وزن الحمولة إلى ارتفاع ن.ثم ، للحظة

لان ستنتقل الأحمال مع الإسفين إلى إلإلى اليمين ، يتحرك الوزن لمسافة أعلى الإسفين. منذ ذلك الحين ، بعد الحسابات التي نحصل عليها

.

3.4. كمية نظام الحركة

3.4.1. حساب زخم النظام

زخم النقطة المادية هو كمية متجهة ، يساوي المنتجكتلة نقطة على متجه سرعتها

وحدة قياس مقدار الحركة -

يسمى زخم النظام الميكانيكي بالمجموع المتجه لزخم النقاط الفردية للنظام ، أي

أين ن هو عدد نقاط النظام.

يمكن التعبير عن زخم النظام الميكانيكي من حيث كتلة النظام موسرعة مركز الكتلة. حقًا،

أولئك. زخم النظام يساوي حاصل ضرب كتلة النظام بأكمله وسرعة مركز كتلته.الاتجاه هو نفس الاتجاه (الشكل 3.6)

لدينا في الإسقاطات على محاور مستطيلة

حيث ، - إسقاطات سرعة مركز كتلة النظام.

هنا مهي كتلة النظام الميكانيكي ؛ لا يتغير مع تحرك النظام.

من الملائم بشكل خاص استخدام هذه النتائج عند حساب عزم الأجسام الصلبة.

يمكن أن نرى من الصيغة (3.7) أنه إذا تحرك نظام ميكانيكي بطريقة تجعل مركز كتلته ثابتًا ، فإن زخم النظام يظل مساوياً للصفر.

3.4.2. الدافع الأولي والقوة الكاملة

تأثير القوة على نقطة مادية بمرور الوقت ديمكن وصفه بدافع أولي. النبض الكلي للقوة في الوقت المناسب ر, أو قوة الدافع ، تحددها الصيغة

أو في الإسقاطات على إحداثيات المحور

(3.8 أ)

قوة الدافع هي.

3.4.3. نظرية التغيير في زخم النظام

دع القوى الخارجية والداخلية تطبق على نقاط النظام. بعد ذلك ، لكل نقطة من النظام ، يمكننا تطبيق قوانين الحركة التفاضلية (3.3) ، مع الأخذ في الاعتبار ذلك :

.

تلخيصًا لجميع نقاط النظام ، نحصل عليها

بممتلكات القوى الداخلية وبالتعريف نملك

(3.9)

ضرب طرفي هذه المعادلة في د، نحصل على نظرية حول التغيير في الزخم في شكل تفاضلي:

, (3.10)

أولئك. يساوي تفاضل زخم النظام الميكانيكي المجموع المتجه للنبضات الأولية لجميع القوى الخارجية التي تعمل على نقاط النظام الميكانيكي.

حساب تكامل جزأي (3.10) بمرور الوقت من 0 إلى ر, نحصل على النظرية في شكل محدود أو متكامل

(3.11)

في الإسقاطات على محاور الإحداثيات ، سيكون لدينا

التغيير في زخم النظام الميكانيكي بمرور الوقتر، يساوي مجموع متجه لجميع نبضات القوى الخارجية التي تعمل على نقاط النظام الميكانيكي في نفس الوقت.

مثال 4حمولة من الكتلة م الذهاب إلى أسفل مستوى مائلمن السكون تحت تأثير القوة F, متناسب مع الوقت: أين (الشكل 3.7). ما هي سرعة الجسم بعد ر ثوانٍ بعد بدء الحركة ، إذا كان معامل الاحتكاك المنزلق للحمل على المستوى المائل يساوي F.

المحلول.دعنا نصور القوى المطبقة على الحمل: ملغ - جاذبية الحمولة ، نهو رد الفعل الطبيعي للمستوى ، هو قوة الاحتكاك الانزلاقية للحمل على المستوى ، و. يظهر اتجاه جميع القوى في (الشكل 3.7).

دعونا نوجه المحور Xأسفل مستوى مائل. دعونا نكتب النظرية حول التغيير في الزخم (3.11) في الإسقاط على المحور X:

(أ)

حسب الشرط لأن في اللحظة الأولى من الوقت ، كان الحمل في حالة راحة. مجموع إسقاطات نبضات جميع القوى على المحور السيني هو

بالتالي،

,

.

3.4.4. قوانين الحفاظ على الزخم

يتم الحصول على قوانين الحفظ كحالات خاصة لنظرية تغيير الزخم. هناك حالتان خاصتان ممكنتان.

· إذا كان مجموع المتجه لجميع القوى الخارجية المطبقة على النظام يساوي صفرًا ، أي ، ثم يتبع من النظرية (3.9) ، ماذا او ما ,

أولئك. إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية للنظام يساوي الصفر ، فإن زخم النظام يكون ثابتًا في الحجم والاتجاه.

· إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية على أي تنسيق المحورتساوي الصفر ، على سبيل المثال أوه ، أي ، ثم يكون إسقاط مقدار الحركة على هذا المحور ثابتًا.

لنأخذ مثالاً لتطبيق قانون الحفاظ على الزخم.

مثال 5البندول الباليستي هو جسم كتل معلق على خيط طويل (الشكل 3.8).

رصاصة كتلة تتحرك بسرعة الخامسويسقط في جسم ساكن يعلق فيه وينحرف الجسد. كم كانت سرعة الرصاصة إذا ارتفع الجسد إلى ارتفاع ح ?

المحلول.دع الجسم بالرصاصة العالقة يكتسب السرعة. ثم ، باستخدام قانون الحفاظ على الزخم في تفاعل جسمين ، يمكننا الكتابة .

يمكن حساب السرعة باستخدام قانون الحفظ الطاقة الميكانيكية . ثم . نتيجة لذلك نجد

.

مثال 6. يدخل الماء في قناة ثابتة (الشكل 3.9)قسم متغير بسرعة بزاوية مع الأفق ؛ ميدان المقطع العرضيقناة عند المدخل سرعة الماء عند مخرج القناة وتصنع زاوية مع الأفق.

حدد المكون الأفقي للتفاعل الذي يمارسه الماء على جدران القناة. كثافة الماء .

المحلول.سنحدد المكون الأفقي للتفاعل الذي تمارسه جدران القناة على الماء. هذه القوة متساوية في القيمة المطلقة ومعاكسة في الإشارة إلى القوة المطلوبة. لدينا وفقًا لـ (3.11 أ) ،

. (أ)

نحسب كتلة حجم السائل الذي يدخل القناة خلال الوقت t:

يتم استدعاء قيمة rAV 0 الكتلة الثانية - كتلة السائل المتدفق عبر أي قسم من الأنبوب لكل وحدة زمنية.

نفس كمية الماء تغادر القناة في نفس الوقت. يتم إعطاء السرعات الأولية والنهائية في الحالة.

إحصاء - عد الجانب الأيمنالمساواة (أ) التي تحدد مجموع الإسقاطات على المحور الأفقي للقوى الخارجية المطبقة على النظام (الماء). القوة الأفقية الوحيدة هي المكون الأفقي لرد فعل الجدران الناتج ص. هذه القوة ثابتة أثناء الحركة الثابتة للماء. لهذا

. (في)

الاستعاضة عن (ب) و (ج) في (أ) نحصل عليها

3.5 اللحظة الحركية للنظام

3.5.1. لحظة الزخم الرئيسية للنظام

اسمح أن يكون متجه نصف قطر نقطة مع كتلة النظام بالنسبة إلى نقطة معينة A ، تسمى المركز (الشكل 3.10).

عزم الزخم (العزم الحركي) للنقطة نسبة إلى المركز أيسمى المتجه , تحددها الصيغة

. (3.12)

في هذه الحالة ، المتجه موجه بشكل عمودي على المستوى الذي يمر عبر المركز لكنوناقلات .

عزم الزخم (العزم الحركي) لنقطة حول محوريسمى الإسقاط على هذا المحور للزخم الزاوي للنقطة بالنسبة لأي مركز تم اختياره على هذا المحور.

اللحظة الرئيسية للزخم (العزم الحركي) للنظام بالنسبة للمركز أيسمى الكمية

(3.13)

اللحظة الرئيسية للزخم (العزم الحركي) للنظام حول المحوريسمى الإسقاط على هذا المحور للحظة الرئيسية لزخم النظام بالنسبة إلى أي تم اختياره في المعطى محور المركز.

3.5.2. زخم جسم صلب دوار حول محور الدوران

نقطة ثابتة متوافقة االجسم ملقى على محور الدوران اض، مع أصل نظام الإحداثيات أوهوض، التي سوف تدور محاورها مع الجسم (الشكل 3.11). اسمحوا أن يكون نصف القطر متجه لنقطة الجسم بالنسبة إلى أصل الإحداثيات ، سيتم الإشارة إلى إسقاطاته على المحاور بواسطة ، ،. توقعات المتجهات السرعة الزاويةسيتم الإشارة إلى الأجسام الموجودة على نفس المحاور بالرقم 0 ، 0 ، ().

في كثير من الأحيان من الممكن التمييز الميزات الهامةحركة نظام ميكانيكي دون اللجوء إلى تكامل نظام المعادلات التفاضلية للحركة. يتم تحقيق ذلك من خلال تطبيق النظريات العامة للديناميكيات.

5.1 المفاهيم والتعاريف الأساسية

القوى الخارجية والداخلية.أي قوة تعمل على نقطة في نظام ميكانيكي هي إما بالضرورة القوة النشطة، أو رد فعل الرابطة. يمكن تقسيم مجموعة القوى التي تعمل على نقاط النظام بالكامل إلى فئتين بشكل مختلف: إلى قوى خارجية وقوى داخلية (الخطان e و i - من كلمات لاتينيةخارجي - خارجي وداخلي - داخلي). تسمى القوى الخارجية القوى التي تعمل على نقاط النظام من النقاط والهيئات التي ليست جزءًا من النظام قيد الدراسة. تسمى قوى التفاعل بين النقاط وأجسام النظام المدروس داخليًا.

يعتمد هذا التقسيم على النقاط المادية والأجسام التي يدرجها الباحث في النظام الميكانيكي المدروس. إذا تم توسيع تكوين النظام ليشمل نقاطًا وأجسامًا إضافية ، فقد تصبح بعض القوى التي كانت خارجية للنظام السابق داخلية للنظام الموسع.

خصائص القوى الداخلية.نظرًا لأن هذه القوى هي قوى تفاعل بين أجزاء من النظام ، فهي مدرجة في النظام الكامل للقوى الداخلية في "ثنائيات" منظمة وفقًا لبديهية الفعل والتفاعل. كل من هذه "اثنين" من القوات

المتجه الرئيسي و النقطة الرئيسيةبالنسبة إلى مركز تعسفي تساوي الصفر. بما أن النظام الكامل للقوى الداخلية يتكون فقط من "اثنين" ، إذن

1) المتجه الرئيسي لنظام القوى الداخلية يساوي الصفر ،

2) اللحظة الرئيسية لنظام القوى الداخلية بالنسبة إلى نقطة عشوائية تساوي الصفر.

كتلة النظام هي مجموع حسابيكتلة عضو الكنيست لجميع النقاط والهيئات المكونة للنظام:

مركز الجاذبية(مركز القصور الذاتي) للنظام الميكانيكي يسمى نقطة هندسية C ، متجه نصف القطر والإحداثيات التي تحددها الصيغ

أين متجهات نصف القطر وإحداثيات النقاط التي تشكل النظام.

بالنسبة لجسم صلب في مجال جاذبية موحد ، تتطابق مواقع مركز الكتلة ومركز الثقل ؛ وفي حالات أخرى ، هذه نقاط هندسية مختلفة.

جنبًا إلى جنب مع الإطار المرجعي بالقصور الذاتي ، غالبًا ما ينظر المرء في وقت واحد في إطار مرجعي غير بالقصور الذاتي للمضي قدمًا. يتم اختيار محاور الإحداثيات (محاور Koenig) بحيث تتوافق النقطة المرجعية C دائمًا مع مركز كتلة النظام الميكانيكي. وفقًا للتعريف ، يتم إصلاح مركز الكتلة في محاور Koenig ويقع في أصل الإحداثيات.

لحظة القصور الذاتي للنظامعن المحور يسمى العددية يساوي المجموعمنتجات الكتل mk لجميع نقاط النظام بواسطة مربعات مسافاتها إلى المحور:

إذا كان النظام الميكانيكي جسمًا صلبًا ، لإيجاد 12 ، يمكنك استخدام الصيغة

أين هي الكثافة ، الحجم الذي يشغله الجسم.

ضع في اعتبارك حركة نظام معين من أحجام المواد بالنسبة إلى نظام إحداثيات ثابت.عندما لا يكون النظام حراً ، يمكن اعتباره حراً ، إذا تجاهلنا القيود المفروضة على النظام واستبدلنا عملها بالتفاعلات المقابلة.

دعونا نقسم كل القوى المطبقة على النظام إلى قوى خارجية وداخلية ؛ قد يشمل كلاهما تفاعلات التخلص منها

روابط. قم بالإشارة بواسطة والمتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية للقوى الخارجية بالنسبة للنقطة A.

1. نظرية التغيير في الزخم.إذا كان زخم النظام ، إذن (انظر)

أي أن النظرية صحيحة: المشتق الزمني لزخم النظام يساوي المتجه الرئيسي لجميع القوى الخارجية.

استبدال المتجه من خلال تعبيره حيث توجد كتلة النظام ، هي سرعة مركز الكتلة ، يمكن إعطاء المعادلة (4.1) شكلًا مختلفًا:

تعني هذه المساواة أن مركز كتلة النظام يتحرك كنقطة مادية تساوي كتلتها كتلة النظام والتي يتم تطبيق قوة مساوية هندسيًا للمتجه الرئيسي لجميع القوى الخارجية للنظام. يُطلق على العبارة الأخيرة اسم نظرية حركة مركز الكتلة (مركز القصور الذاتي) للنظام.

إذا كان ذلك من (4.1) ، فسيتبع ذلك أن متجه الزخم ثابت في الحجم والاتجاه. بإسقاطه على محور الإحداثيات ، نحصل على ثلاثة تكاملات أولية من المعادلات التفاضلية للسلسلة المزدوجة للنظام:

تسمى هذه التكاملات تكاملات الزخم. عندما تكون سرعة مركز الكتلة ثابتة ، أي يتحرك بشكل موحد ومستقيم.

إذا كان إسقاط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية على أي محور واحد ، على سبيل المثال ، على المحور ، يساوي صفرًا ، فعندئذ يكون لدينا تكامل أول واحد ، أو إذا كان إسقاطان للمتجه الرئيسي يساوي صفرًا ، فهناك اثنين من تكامل الزخم.

2. نظرية تغير اللحظة الحركية.دع "أ" تكون نقطة اعتباطية في الفضاء (متحركة أو ثابتة) ، والتي لا تتطابق بالضرورة مع أي نقطة مادية معينة في النظام خلال فترة الحركة بأكملها. سيتم الإشارة إلى سرعتها في نظام إحداثيات ثابت بواسطة نظرية على التغيير في الزخم الزاوي نظام الموادفيما يتعلق بالنقطة أ لديه الشكل

إذا تم إصلاح النقطة A ، فإن المساواة (4.3) تأخذ شكلاً أبسط:

تعبر هذه المساواة عن نظرية التغيير في الزخم الزاوي للنظام فيما يتعلق نقطة ثابتة: المشتق الزمني للزخم الزاوي للنظام ، المحسوب بالنسبة لبعض النقاط الثابتة ، يساوي اللحظة الأساسية لجميع القوى الخارجية فيما يتعلق بهذه النقطة.

إذا ، وفقًا لـ (4.4) ، يكون متجه الزخم الزاوي ثابتًا في الحجم والاتجاه. بإسقاطه على محور الإحداثيات ، نحصل على التكاملات العددية الأولى للمعادلات التفاضلية لحركة النظام:

تسمى هذه التكاملات تكاملات الزخم الزاوي أو تكاملات المساحات.

إذا كانت النقطة A تتطابق مع مركز كتلة النظام ، فإن المصطلح الأول على الجانب الأيمن من المساواة (4.3) يختفي وتكون نظرية التغيير في الزخم الزاوي نفس الشكل (4.4) كما في حالة الثابت النقطة أ. لاحظ (انظر 4 الفقرة 3) أنه في الحالة قيد النظر ، يمكن استبدال الزخم الزاوي المطلق للنظام على الجانب الأيسر من المساواة (4.4) بالزخم الزاوي المتساوي للنظام في حركته بالنسبة إلى المركز من الكتلة.

اسمح أن يكون محورًا ثابتًا أو محور اتجاه ثابت يمر عبر مركز كتلة النظام ، وليكن الزخم الزاوي للنظام بالنسبة لهذا المحور. من (4.4) يتبع ذلك

أين لحظة القوى الخارجية حول المحور. إذا كان لدينا التكامل الأول خلال كل وقت الحركة

في أعمال S. A. Chaplygin ، تم الحصول على عدة تعميمات للنظرية حول التغيير في الزخم الزاوي ، والتي تم تطبيقها بعد ذلك في حل عدد من المشكلات المتعلقة بتدحرج الكرات. مزيد من التعميمات للنظرية حول تغيير لحظة kpnetological وتطبيقاتها في مشاكل ديناميات الجسم الصلب ترد في الأعمال. ترتبط النتائج الرئيسية لهذه الأعمال بنظرية التغيير في اللحظة الحركية بالنسبة للحركة المتحركة ، والتي تمر باستمرار من خلال بعض النقاط المتحركة أ. حتى النصرموجهة على طول هذا المحور. الضرب التدريجي في كلا طرفي المساواة (4.3) وإضافة المصطلح إلى كلا أجزائه ، نحصل عليه

عندما يتم استيفاء الشرط الحركي

المعادلة (4.5) تأتي من (4.7). وإذا تم استيفاء الشرط (4.8) طوال فترة الحركة ، فسيكون التكامل الأول (4.6) موجودًا.

إذا كانت اتصالات النظام مثالية وتسمح بتدوير النظام كجسم صلب حول المحور وفي عدد عمليات الإزاحة الافتراضية ، فإن اللحظة الرئيسية لردود الفعل حول المحور تساوي الصفر ، ثم القيمة على المحور الجانب الأيمن من المعادلة (4.5) هو اللحظة الرئيسية لجميع القوى النشطة الخارجية حول المحور و. ستكون المساواة إلى الصفر في هذه اللحظة ومرضية العلاقة (4.8) في الحالة قيد النظر شروط كافيةلوجود التكامل (4.6).

إذا لم يتغير اتجاه المحور ، فيمكن كتابة الشرط (4.8) كـ

تعني هذه المساواة أن إسقاطات سرعة مركز الكتلة وسرعة النقطة A على المحور وعلى المستوى المتعامد مع هذا متوازيان. في عمل S. A. Chaplygin ، بدلاً من (4.9) ، يشترط أن يكون أقل من الحالة العامةحيث X ثابت اعتباطي.

لاحظ أن الشرط (4.8) لا يعتمد على اختيار نقطة في. في الواقع ، لنكن P نقطة اعتباطية على المحور. ثم

وبالتالي

في الختام ، نلاحظ تفسير رسال الهندسي للمعادلتين (4.1) و (4.4): المتجهات سرعات مطلقةنهايات المتجهات وتكون متساوية على التوالي مع المتجه الرئيسي واللحظة الرئيسية لجميع القوى الخارجية بالنسبة للنقطة A.

وزارة الزراعة والأغذية في جمهورية بيلاروسيا

مؤسسة تعليمية "بيلاروسيا الدولة الزراعية

جامعة فنية"

قسم الميكانيكا النظرية ونظرية الآليات والآلات

ميكانيكا نظرية

مجمع منهجي لطلبة مجموعة التخصصات

74 06 الهندسة الزراعية

في جزئين الجزء 1

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7 T 33

جمعتها:

مرشح العلوم الفيزيائية والرياضية ، أستاذ مشارك يو. س. بيزا ، مرشح العلوم التقنية، الأستاذ المشارك ن. راكوفا ، محاضر أول أ. تاراسيفيتش

المراجعون:

قسم الميكانيكا النظرية للمؤسسة التعليمية "البيلاروسية الوطنية جامعة فنية" (رأس

قسم الميكانيكا النظرية BNTU دكتور في العلوم الفيزيائية والرياضية ، الأستاذ أ. شيغاريف) ؛

باحث رئيسي في مختبر "الحماية من الاهتزاز للأنظمة الميكانيكية" المعهد العلمي الحكومي "المعهد المشترك للهندسة الميكانيكية

الأكاديمية الوطنية للعلوم في بيلاروسيا "، مرشح العلوم التقنية ، الأستاذ المشارك أ. م. جومان

ميكانيكا نظرية. قسم "ديناميكيات": تعليمي

طريقة T33. مركب. في جزأين. الجزء 1 / شركات: Yu. S. Biza، N.L Rakova، I. A. A. Tarasevich. - مينسك: BGATU ، 2013. - 120 صفحة.

ردمك 978-985-519-616-8.

في مجمع تعليمي ومنهجييقدم مواد عن دراسة قسم "الديناميكيات" ، الجزء 1 ، والذي يعد جزءًا من تخصص "الميكانيكا النظرية". يتضمن دورة من المحاضرات والمواد الأساسية للتنفيذ تمارين عمليةوالمهام وعينات المهام للعمل المستقل والرقابة نشاطات التعلمبدوام كامل و أشكال المراسلاتالتعلم.

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7

المقدمة ................................................. . .........................................
1. المحتوى العلمي والنظري التربوي
من مجمع المنهجية .............................................. ..
1.1 قائمة المصطلحات................................................. ................................
1.2 موضوعات المحاضرات ومحتواها ............................................ .. ..
الفصل 1. مقدمة في الديناميات. مفاهيم أساسية
الميكانيكا الكلاسيكية ................................................ .................. ....................
الموضوع 1. ديناميات النقطة المادية .......................................... ....
1.1 قوانين ديناميات النقطة المادية
(قوانين جاليليو - نيوتن) ........................................... ..........
1.2. المعادلات التفاضليةحركات
1.3 مهمتان رئيسيتان للديناميكيات ............................................. .............
الموضوع 2. ديناميات الحركة النسبية
النقطة المادية ................................................ ................ .........................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
الموضوع 3. ديناميات النظام الميكانيكي .......................................... ....
3.1 هندسة الكتلة. مركز كتلة النظام الميكانيكي ......
3.2 القوى الداخلية ................................................ .................. .................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
الموضوع 4. لحظات القصور الذاتي للجسم الصلب .......................................
4.1 لحظات من القصور الذاتي لجسم صلب
بالنسبة للمحور والقطب ............................................ ...................... .....
4.2 نظرية حول لحظات القصور الذاتي للجسم الجامد
حول المحاور المتوازية
(نظرية Huygens-Steiner) ............................................ .. ....
4.3 لحظات الطرد المركزي من القصور الذاتي .............................................. .
راجع الأسئلة ................................................ .................. ............
الفصل 2

الموضوع 5. نظرية حركة مركز كتلة النظام ...
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
مهام الدراسة الذاتية ............................................. .......
الموضوع 6. مقدار حركة نقطة مادية
والنظام الميكانيكي ............................................... ................ ...................
6.1 كمية حركة النقطة المادية 43
6.2 اندفاع القوة ............................................... ..........................
6.3 نظرية التغيير في الزخم
النقطة المادية ................................................ ................ ....................
6.4 نظرية تغيير المتجه الرئيسي
زخم النظام الميكانيكي ..........................................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
مهام الدراسة الذاتية ............................................. .......
الموضوع 7. لحظة زخم نقطة مادية
والنظام الميكانيكي بالنسبة للمركز والمحور ..................................
7.1 لحظة زخم نقطة مادية
بالنسبة للمركز والمحور ............................................ .................. ...
7.2 نظرية التغيير في الزخم الزاوي
النقطة المادية بالنسبة للمركز والمحور .......................
7.3. نظرية تغير اللحظة الحركية
نظام ميكانيكي متعلق بالمركز والمحور ..................................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
مهام الدراسة الذاتية ............................................. .......
الموضوع 8. عمل وقوة القوات ... .........
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
مهام الدراسة الذاتية ............................................. .......
الموضوع 9. الطاقة الحركية لنقطة مادية
والنظام الميكانيكي ............................................... ................ ...................
9.1 الطاقة الحركية لنقطة مادية
والنظام الميكانيكي. نظرية كونيغ ...............................
9.2. الطاقة الحركية لجسم صلب
بحركات مختلفة ............................................... ................... .............
9.3 تغيير النظرية الطاقة الحركية
النقطة المادية ................................................ ................ ....................

9.4 نظرية تغيير الطاقة الحركية
نظام ميكانيكي ................................................ .................. ................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
مهام الدراسة الذاتية ............................................. .......
الموضوع 10. مجال القوة المحتملة
والطاقة الكامنة ............................................... ................ .................
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
الموضوع 11. ديناميات الجسم الصلب .......................................... .......... .......
راجع الأسئلة ................................................ .................. .............
2. مواد للتحكم
حسب الوحدة ................................................ ...................................
العمل المستقل للطلاب ..............................
4. متطلبات تصميم السيطرة
يعمل بدوام كامل وطلاب المراسلة
أشكال التدريب ............................................... ................. .........................
5. قائمة أسئلة التحضير
لامتحان (دراسة) الطلاب
التعليم بدوام كامل والمراسلات ............................................ ......
6. قائمة المراجع ............................................. .. ............

المقدمة

الميكانيكا النظرية - علم القوانين العامة حركة ميكانيكيةوالتوازن والتفاعل بين الأجسام المادية.

هذا هو أحد التخصصات الفيزيائية والرياضية العلمية الأساسية العامة. إنه الأساس النظري للتكنولوجيا الحديثة.

تساهم دراسة الميكانيكا النظرية ، جنبًا إلى جنب مع التخصصات الفيزيائية والرياضية الأخرى ، في توسيع الآفاق العلمية ، وتشكيل القدرة على التماسك و التفكير المجردويساهم في تحسين الثقافة الفنية العامة لأخصائي المستقبل.

الميكانيكا النظرية هي الأساس العلمي للجميع التخصصات التقنية، يساهم في تنمية المهارات قرارات عقلانية المهام الهندسيةالمرتبطة بتشغيل وإصلاح وتصميم الآلات والمعدات الزراعية والاستصلاح.

وفقًا لطبيعة المهام قيد الدراسة ، يتم تقسيم الميكانيكا إلى إحصائيات وديناميكيات وديناميكيات. الديناميكيات هي قسم من الميكانيكا النظرية يدرس حركة الأجسام المادية تحت تأثير القوى المطبقة.

في التعليمية والمنهجيةيقدم مجمع (UMK) مواد حول دراسة قسم "الديناميكيات" ، والذي يتضمن دورة من المحاضرات والمواد الأساسية لإجراء العمل التطبيقيوالمهام وعينات التنفيذ ل عمل مستقلومراقبة الأنشطة التعليمية للطلاب بدوام جزئي بدوام كامل.

في نتيجة لدراسة قسم "الديناميكيات" ، يجب أن يتعلم الطالب اساس نظرىديناميات وإتقان الطرق الأساسية لحل مشاكل الديناميات:

معرفة طرق حل مشاكل الديناميات ، والنظريات العامة للديناميكيات ، ومبادئ الميكانيكا ؛

لتكون قادرًا على تحديد قوانين حركة الجسم اعتمادًا على القوى المؤثرة عليه ؛ تطبيق قوانين ونظريات الميكانيكا لحل المشاكل ؛ تحدد التفاعلات الساكنة والديناميكية للروابط التي تحد من حركة الأجسام.

يوفر منهج تخصص "الميكانيكا النظرية" إجمالي عدد ساعات الفصل - 136 ، بما في ذلك 36 ساعة لدراسة قسم "الديناميكيات".

1. المحتوى العلمي والنظري للمجمع التعليمي والمنهجي

1.1 قائمة المصطلحات

علم الإحصاء هو قسم من الميكانيكا يحدد العقيدة العامة للقوى ، ويتم دراسة التخفيض أنظمة معقدةالقوى لأبسط شكل ويتم إنشاء شروط التوازن أنظمة مختلفةالقوات.

علم الحركة هو قسم من الميكانيكا النظرية يتم فيه دراسة حركة الأشياء المادية ، بغض النظر عن الأسباب التي تسبب هذه الحركة ، أي بغض النظر عن القوى المؤثرة على هذه الأشياء.

الديناميكيات هي فرع من فروع الميكانيكا النظرية التي تدرس حركة الأجسام المادية (النقاط) تحت تأثير القوى المطبقة.

نقطة مادية- جسم مادي ، الاختلاف في حركة نقاطه ضئيل.

كتلة الجسم هي قيمة موجبة قياسية تعتمد على كمية المادة الموجودة في جسم معين وتحدد مقياس القصور الذاتي عند التحرك إلى الأمام.

النظام المرجعي - نظام إحداثيات مرتبط بالجسم ، يتم من خلاله دراسة حركة جسم آخر.

نظام بالقصور الذاتي- نظام يتم فيه استيفاء القانونين الأول والثاني للديناميكيات.

زخم القوة هو مقياس متجه لعمل القوة على مدار بعض الوقت.

كمية حركة النقطة المادية هو متجه قياس حركته ، والذي يساوي حاصل ضرب كتلة النقطة ومتجه سرعتها.

الطاقة الحركيةهو مقياس قياسي للحركة الميكانيكية.

العمل الأولي للقوةهي قيمة عددية متناهية الصغر تساوي المنتج نقطةمتجه القوة إلى متجه الإزاحة المتناهية الصغر لنقطة تطبيق القوة.

الطاقة الحركيةهو مقياس قياسي للحركة الميكانيكية.

الطاقة الحركية لنقطة ما هي عددية

قيمة موجبة تساوي نصف حاصل ضرب كتلة نقطة ومربع سرعتها.

الطاقة الحركية للنظام الميكانيكي هي حساب-

المجموع الحركي للطاقات الحركية لجميع النقاط المادية لهذا النظام.

القوة هي مقياس للتفاعل الميكانيكي للأجسام ، يميز شدتها واتجاهها.

1.2 مواضيع المحاضرة ومحتواها

القسم 1. مقدمة في الديناميات. مفاهيم أساسية

الميكانيكا الكلاسيكية

الموضوع 1. ديناميات النقطة المادية

قوانين ديناميات النقطة المادية (قوانين جاليليو - نيوتن). المعادلات التفاضلية لحركة نقطة مادية. مهمتان رئيسيتان للديناميكيات لنقطة مادية. حل المشكلة الثانية للديناميات ؛ ثوابت التكامل وتحديدها من الشروط الأولية.

المراجع: ص 180 - 196 ص 12 - 26.

الموضوع 2. ديناميكيات الحركة النسبية للمادة

الحركة النسبية لنقطة مادية. المعادلات التفاضلية للحركة النسبية لنقطة ؛ القوات المحمولة و Coriolis من القصور الذاتي. مبدأ النسبية في الميكانيكا الكلاسيكية. حالة راحة نسبية.

المراجع: ص 180 - 196 ص 127 - 155.

الموضوع 3. هندسة الجماهير. مركز كتلة النظام الميكانيكي

كتلة النظام. مركز كتلة النظام وإحداثياته.

الأدب: ص 86 - 93 ، ص 264 - 265

الموضوع 4. لحظات من القصور الذاتي لجسم صلب

لحظات من القصور الذاتي لجسم صلب حول المحور والقطب. نصف قطر القصور الذاتي. نظرية حول لحظات القصور الذاتي حول المحاور المتوازية. لحظات محورية من القصور الذاتي لبعض الجثث.

لحظات الطرد المركزي من القصور الذاتي كسمة من سمات عدم تناسق الجسم.

المراجع: ص 265 - 271 ص 155 - 173.

القسم 2. النظريات العامة لديناميكيات النقطة المادية

والنظام الميكانيكي

الموضوع 5. نظرية حركة مركز كتلة النظام

نظرية حركة مركز كتلة النظام. عواقب النظرية على حركة مركز كتلة النظام.

المراجع: ص 274-277 ، ص 175-192.

الموضوع 6. مقدار حركة نقطة مادية

والنظام الميكانيكي

كمية حركة نقطة مادية ونظام ميكانيكي. الدافع الأولي ودافع القوة لفترة زمنية محدودة. نظرية التغيير في زخم نقطة ونظام في أشكال تفاضلية ومتكاملة. قانون الحفاظ على الزخم.

الأدب: ص ٢٨٠-٢٨٤ ، ص ١٩٢-٢٠٧.

الموضوع 7. لحظة زخم نقطة مادية

والنظام الميكانيكي بالنسبة للمركز والمحور

لحظة زخم نقطة حول المركز والمحور. نظرية التغيير في الزخم الزاوي لنقطة ما. العزم الحركي لنظام ميكانيكي حول المركز والمحور.

الزخم الزاوي لجسم صلب دوار حول محور الدوران. نظرية التغيير في اللحظة الحركية للنظام. قانون الحفاظ على الزخم.

المراجع: ص 292-298 ص 207 - 258.

الموضوع 8. عمل وقوة القوات

العمل الأولي للقوة ، تعبيره التحليلي. عمل القوة على الطريق النهائي. عمل الجاذبية ، القوة المرنة. المساواة إلى الصفر من مجموع عمل القوى الداخلية المؤثرة في صلب. يتم تطبيق عمل القوى على جسم صلب يدور حول محور ثابت. قوة. نجاعة.

المراجع: ص 208 - 213 ص 280 - 290.

الموضوع 9. الطاقة الحركية لنقطة مادية

والنظام الميكانيكي

الطاقة الحركية لنقطة مادية ونظام ميكانيكي. حساب الطاقة الحركية لجسم صلب في حالات حركته المختلفة. نظرية كونيغ. نظرية التغيير في الطاقة الحركية لنقطة ما في الأشكال التفاضلية والتكاملية. نظرية التغيير في الطاقة الحركية لنظام ميكانيكي في أشكال تفاضلية ومتكاملة.

المراجع: ص 301 - 310 ص 290 - 344.

الموضوع 10. مجال القوة المحتملة والإمكانات

مفهوم مجال القوة. مجال القوة المحتملة ودالة القوة. عمل القوة على الإزاحة النهائية لنقطة في مجال القوة المحتملة. الطاقة الكامنة.

المراجع: ص 317-320 ص 344-347.

الموضوع 11. ديناميكيات الجسم الصلبة

المعادلات التفاضلية للحركة الانتقالية لجسم صلب. المعادلة التفاضلية حركة دوارةجسم صلب حول محور ثابت. البندول الفيزيائي. المعادلات التفاضلية لحركة الطائرة لجسم صلب.

المراجع: ص 323-334 ص 157-173.

القسم 1. مقدمة في الديناميات. مفاهيم أساسية

الميكانيكا الكلاسيكية

الديناميكيات هي قسم من الميكانيكا النظرية يدرس حركة الأجسام المادية (النقاط) تحت تأثير القوى المطبقة.

الجسم المادي- جسم له كتلة.

نقطة مادية- جسم مادي ، الاختلاف في حركة نقاطه ضئيل. يمكن أن يكون هذا إما جسمًا ، يمكن إهمال أبعاده أثناء حركته ، أو جسمًا ذي أبعاد محدودة ، إذا كان يتحرك إلى الأمام.

تسمى الجسيمات أيضًا بالنقاط المادية ، والتي ينقسم إليها الجسم الصلب عقليًا عند تحديد بعض خصائصه الديناميكية. أمثلة على النقاط المادية (الشكل 1): أ- حركة الأرض حول الشمس. الأرض هي نقطة مادية ؛ ب هي الحركة الانتقالية لجسم صلب. صلب- أم-

النقطة ، منذ V B \ u003d V A ؛ أ ب = أ أ ؛ ج - دوران الجسم حول المحور.

جسيم الجسم هو نقطة مادية.

القصور الذاتي هو خاصية الأجسام المادية لتغيير سرعة حركتها بشكل أسرع أو أبطأ تحت تأثير القوى المطبقة.

كتلة الجسم هي قيمة موجبة قياسية تعتمد على كمية المادة الموجودة في جسم معين وتحدد مقياس القصور الذاتي أثناء الحركة الانتقالية. في الميكانيكا الكلاسيكية ، الكتلة ثابتة.

قوة - مقياس كميتفاعل ميكانيكي بين الأجسام أو بين جسم (نقطة) ومجال (كهربائي ، مغناطيسي ، إلخ).

القوة هي كمية متجهة تتميز بحجمها ونقطة التطبيق والاتجاه (خط العمل) (الشكل 2: أ - نقطة التطبيق ؛ AB - خط عمل القوة).

أرز. 2

في الديناميكيات ، جنبًا إلى جنب مع القوى الثابتة ، هناك أيضًا قوى متغيرة يمكن أن تعتمد على الوقت t أو السرعة ϑ أو المسافة r أو على مجموعة من هذه الكميات ، أي

F = const ؛

F = F (ر) ؛

F = F (ϑ) ؛

F = F (ص) ؛

F = F (ر ، ص ، ϑ).

	يتم عرض أمثلة على هذه القوى في التين. 3: أ										- وزن الجسم؛
			(ϑ) - قوة مقاومة الهواء ؛ ب -		تي =						- قوة الجر

قاطرة كهربائية c - F = F (r) هي قوة التنافر من المركز O أو الانجذاب إليها.

النظام المرجعي - نظام إحداثيات مرتبط بالجسم ، يتم من خلاله دراسة حركة جسم آخر.

النظام بالقصور الذاتي هو نظام يتم فيه استيفاء القانونين الأول والثاني للديناميكيات. هذا هو نظام إحداثيات ثابت أو نظام يتحرك بشكل موحد ومستقيم.

الحركة في الميكانيكا هي تغيير في موضع الجسم في المكان والزمان بالنسبة للأجسام الأخرى.

الفضاء في الميكانيكا الكلاسيكية ثلاثي الأبعاد ، يخضع للهندسة الإقليدية.

الوقت هو كمية قياسية تتدفق بنفس الطريقة في أي أنظمة مرجعية.

نظام الوحدات هو مجموعة من وحدات القياس كميات فيزيائية. لقياس جميع الكميات الميكانيكية ، تكفي ثلاث وحدات أساسية: وحدات الطول أو الوقت أو الكتلة أو القوة.

ميكانيكي	البعد		الرموز	البعد	الرموز
ضخامة
				سنتيمتر
	كيلوغرام

جميع وحدات قياس الكميات الميكانيكية الأخرى هي مشتقات من هذه. يتم استخدام نوعين من أنظمة الوحدات: النظام الدوليوحدات SI (أو أصغر - CGS) والنظام الفني للوحدات - MKGSS.

الموضوع 1. ديناميات النقطة المادية

1.1 قوانين ديناميات النقطة المادية (قوانين جاليليو - نيوتن)

القانون الأول (القصور الذاتي).

معزول عن تأثيرات خارجيةتحافظ النقطة المادية على حالتها من الراحة أو تتحرك بشكل موحد ومستقيم حتى تجبرها القوى المطبقة على تغيير هذه الحالة.

تسمى الحركة التي يتم إجراؤها بواسطة نقطة في حالة عدم وجود قوى أو تحت تأثير نظام متوازن للقوى بحركة القصور الذاتي.

على سبيل المثال ، حركة الجسم على طول سلس (قوة الاحتكاك صفر) go-

السطح الأفقي (الشكل 4: وزن الجسم ؛ N - رد الفعل الطبيعي للطائرة).

بما أن G = - N ، إذن G + N = 0.

عندما ϑ 0 0 يتحرك الجسم بنفس السرعة ؛ عند ϑ 0 = 0 يكون الجسم في حالة سكون (ϑ 0 هي السرعة الابتدائية).

القانون الثاني (القانون الأساسي للديناميات).

حاصل ضرب كتلة نقطة ما والتسارع الذي تتلقاه تحت تأثير قوة معينة يساوي القيمة المطلقة لهذه القوة ، ويتوافق اتجاهها مع اتجاه التسارع.

أ ب

رياضيا ، يتم التعبير عن هذا القانون من خلال ناقلات المساواة

بالنسبة إلى F = const ،

a = const - حركة النقطة موحدة. الاتحاد الأوروبي-

سواء a ≠ const، α

- الحركة البطيئة (الشكل 5 ، و) ؛

أ ≠ كونست ،

أ -

- الحركة المعجلة (الشكل 5 ، ب) ؛ م - نقطة الكتلة ؛

ناقلات تسريع

- قوة ناقلات ؛ ϑ 0 هو متجه السرعة).

عند F = 0 ، a 0 = 0 = ϑ 0 = const - تتحرك النقطة بشكل موحد ومستقيم ، أو عند ϑ 0 = 0 - تكون في حالة سكون (قانون القصور الذاتي). ثانيا

يسمح لك القانون بإقامة علاقة بين الكتلة م من الجسم القريب سطح الأرضووزنه G .G = mg حيث g

تسارع الجاذبية.

القانون الثالث (قانون المساواة في العمل ورد الفعل). تعمل نقطتان مادتان على بعضهما البعض بقوة متساوية في الحجم وموجهة على طول الخط المستقيم المتصل

هذه النقاط في اتجاهين متعاكسين.

بما أن القوى F 1 = - F 2 تنطبق عليها نقاط مختلفة، إذن نظام القوى (و 1 ، و 2) غير متوازن ، أي (و 1 ، و 2) ≈ 0 (الشكل 6).

بدوره

م أ = م أ

- موقف سلوك

تتناسب كتل نقاط التفاعل عكسًا مع تسارعها.

القانون الرابع (قانون استقلال عمل القوات). العجلة المستلمة بنقطة تحت تأثير المتزامن

لكن عدة قوى ، تساوي المجموع الهندسي لتلك التسارع الذي ستتلقاه نقطة ما تحت تأثير كل قوة على حدة.

شرح (الشكل 7).

ر أ ن

أ 1 أ ك ف ن

القوى R الناتجة (F 1، ... F k، ... F n).

بما أن ma = R، F 1 = ma 1، ...، F k = ma k، ...، F n = ma n، إذن

أ = أ 1 + ... + أ ك + ... + أ ن = أ ك ، أي القانون الرابع يعادل

ك = 1

حكم إضافة القوات.

1.2 المعادلات التفاضلية لحركة نقطة مادية

دع العديد من القوى تعمل في وقت واحد على نقطة مادية ، من بينها ثوابت ومتغيرات.

نكتب القانون الثاني للديناميات في الشكل

= ∑

(ر ،

ك = 1

, ϑ=

r هو متجه نصف قطر الحركة

النقاط ، إذن (1.2) تحتوي على مشتقات r وهي معادلة تفاضلية لحركة نقطة مادية في شكل متجه أو المعادلة الأساسية لديناميكيات نقطة مادية.

إسقاطات مساواة المتجه (1.2): - على محور الإحداثيات الديكارتية (الشكل 8 ، لكن)

ماكس = md
					= ∑Fkx ؛
					ك = 1
قد = md
					= ∑ طائر ؛	(1.3)
					ك = 1
ماز = م					= ∑Fkz ؛
					ك = 1

على المحور الطبيعي (الشكل 8 ، ب)

حصيرة				= ∑ Fk τ ،
				ك = 1
				= ∑ F ك ن ؛
				ك = 1

ماب = m0 = ∑ Fk ب

ك = 1

M t oM oa

ب على o

المعادلتان (1.3) و (1.4) هي معادلات تفاضلية لحركة نقطة مادية في محاور الإحداثيات الديكارتية والمحاور الطبيعية ، على التوالي ، أي المعادلات التفاضلية الطبيعية التي تُستخدم عادةً للحركة المنحنية لنقطة إذا كان مسار النقطة و نصف قطر انحناءها معروف.

1.3 مشكلتان رئيسيتان لديناميات النقطة المادية وحلها

المهمة الأولى (المباشرة).

بمعرفة قانون الحركة وكتلة النقطة ، حدد القوة المؤثرة على النقطة.

لحل هذه المشكلة ، تحتاج إلى معرفة عجلة النقطة. في مشاكل من هذا النوع ، يمكن إعطاؤها مباشرة ، أو يتم إعطاء قانون حركة نقطة ، والتي يمكن تحديدها وفقًا لها.

1. لذلك ، إذا كانت حركة النقطة معطاة في الإحداثيات الديكارتية

x \ u003d f 1 (t)، y \ u003d f 2 (t) and z \ u003d f 3 (t) ثم يتم تحديد توقعات التسارع

على محور الإحداثيات x =		d2x			d2y			d2z		وبعد ذلك - مشروع-
قوى F x و F y و F z على هذه المحاور:
				، ك) = F و ض. (1.6) 2. إذا كانت النقطة ترتكب حركة منحنيةوقانون الحركة معروف s = f (t) ، مسار النقطة ونصف قطر الانحناء ρ ، ثم من الملائم استخدام المحاور الطبيعية ، ويتم تحديد إسقاطات التسارع على هذه المحاور بواسطة الصيغ المعروفة: المحور المماسي a τ = d ϑ = d 2 2 s - تسارع مماسي ؛ dt dt الرئيسية س 2 a n = ϑ 2 = dt تسارع عادي. إسقاط العجلة على الثنائي العادي يساوي صفرًا. ثم إسقاطات القوة على المحاور الطبيعية F = م F = م يتم تحديد معامل واتجاه القوة من خلال الصيغ: F \ u003d F τ 2 + F n 2 ؛ كوس ( ؛ كوس ( المهمة الثانية (العكسية). معرفة القوى المؤثرة على النقطة وكتلتها و الشروط الأوليةالحركة ، وتحديد قانون الحركة لنقطة ما أو أي من خصائصها الحركية الأخرى. الشروط الأولية لحركة نقطة في المحاور الديكارتية هي إحداثيات النقطة x 0 و y 0 و z 0 وإسقاط السرعة الابتدائية ϑ 0 على هذه المحاور ϑ 0 x \ u003d x 0، ϑ 0 y \ u003d y 0 و ϑ 0 z \ u003d z 0 في الوقت المقابل لـ يعطي بداية الحركة النقطية ويؤخذ مساوٍ للصفر. يتم تقليل حل المشكلات من هذا النوع إلى تجميع تفاضل المعادلات التفاضلية (أو معادلة واحدة) لحركة نقطة مادية وحلها اللاحق بواسطة التكامل المباشرأو باستخدام نظرية المعادلات التفاضلية. راجع الأسئلة 1. ماذا تدرس الديناميكيات؟ 2. أي نوع من الحركة يسمى الحركة بالقصور الذاتي؟ 3. تحت أي ظرف ستكون النقطة المادية في حالة راحة أو تتحرك بشكل موحد ومستقيم؟ 4. ما هو جوهر المشكلة الرئيسية الأولى لديناميات النقطة المادية؟ المهمة الثانية؟ 5. اكتب المعادلات التفاضلية الطبيعية لحركة نقطة مادية. مهام الدراسة الذاتية 1. تتحرك نقطة كتلتها م = 4 كجم على طول خط أفقي مستقيم بعجلة أ = 0.3 طن. أوجد وحدة القوة المؤثرة على النقطة في اتجاه حركتها في الوقت t = 3 s. 2. ينزلق جزء من الكتلة م = 0.5 كجم إلى أسفل الدرج. في أي زاوية على المستوى الأفقي يجب وضع الدرج بحيث يتحرك الجزء بعجلة a = 2 m / s 2؟ زاوية صريحة على درجات. 3. تتحرك نقطة كتلتها m = 14 kg على طول محور Ox بعجلة a x = 2 t. أوجد مقياس القوة المؤثرة على النقطة في اتجاه الحركة في الزمن t = 5 s.

(الأنظمة الميكانيكية) - الخيار الرابع

1. يتم التعبير عن المعادلة الأساسية لديناميكيات النقطة المادية ، كما هو معروف ، بواسطة المعادلة. المعادلات التفاضلية للحركة نقاط اعتباطيةيمكن كتابة نظام ميكانيكي غير حر وفقًا لطريقتين لتقسيم القوى في شكلين:

(1) ، حيث ك = 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ن هو عدد نقاط نظام المواد.

(2)

أين كتلة النقطة k ؛ - متجه نصف قطر النقطة k ، - القوة (النشطة) التي تعمل على النقطة k أو الناتج عن جميع القوى النشطة التي تعمل على النقطة k. - ناتج قوى رد فعل الروابط المؤثرة على النقطة k ؛ - ناتج عن قوى داخلية تعمل على النقطة k ؛ - ناتج القوى الخارجية التي تعمل على النقطة k.

يمكن استخدام المعادلتين (1) و (2) لحل مشاكل الديناميات الأولى والثانية. ومع ذلك ، فإن حل المشكلة الثانية للديناميكيات للنظام يصبح معقدًا للغاية ليس فقط مع نقطة رياضيةالرؤية ، ولكن أيضًا لأننا نواجه صعوبات أساسية. إنها تكمن في حقيقة أن عدد المعادلات لكل من النظام (1) والنظام (2) كبير أقل من رقممجهول.

لذا ، إذا استخدمنا (1) ، فإن المشكلة الثانية (العكسية) للديناميات ستكون و ، وستكون المجهولات و. ستكون معادلات المتجه " ن"، وغير معروف -" 2n ".

إذا انطلقنا من نظام المعادلات (2) ، فإن القوى الخارجية المعروفة وجزء منها. لماذا جزء؟ الحقيقة هي أن عدد القوى الخارجية يشمل ردود الفعل الخارجيةاتصالات غير معروفة. بالإضافة إلى ذلك ، سيكون هناك أيضًا مجهولون.

وبالتالي ، فإن كلا من النظام (1) والنظام (2) مفتوحان. نحتاج إلى إضافة معادلات مع مراعاة معادلات العلاقات ، وربما لا نزال بحاجة إلى فرض بعض القيود على العلاقات نفسها. ماذا أفعل؟

إذا انطلقنا من (1) ، فيمكننا اتباع مسار تجميع معادلات لاغرانج من النوع الأول. لكن هذه الطريقة ليست عقلانية لأن مهمة أسهل(درجات أقل من الحرية) ، تزداد صعوبة حلها من وجهة نظر الرياضيات.

ثم دعونا ننتبه إلى النظام (2) ، حيث - غير معروف دائمًا. الخطوة الأولى في حل النظام هي التخلص من هذه المجهول. يجب ألا يغيب عن الأذهان أننا ، كقاعدة عامة ، لا نهتم بالقوى الداخلية أثناء حركة النظام ، أي عندما يتحرك النظام ، ليس من الضروري معرفة كيف تتحرك كل نقطة في النظام ، لكنها يكفي لمعرفة كيف يتحرك النظام ككل.

وهكذا ، إذا طرق مختلفةاستبعاد من النظام (2) قوى مجهولةثم نحصل على بعض العلاقات أي بعضها الخصائص العامةبالنسبة للنظام ، فإن معرفته تجعل من الممكن الحكم على كيفية تحرك النظام بشكل عام. يتم تقديم هذه الخصائص باستخدام ما يسمى ب النظريات العامة للديناميات. هناك أربع نظريات من هذا القبيل:

1. نظرية حول حركة مركز كتلة النظام الميكانيكي;

2. نظرية حول التغيير في زخم النظام الميكانيكي;

3. نظرية حول تغير في الزخم الزاوي لنظام ميكانيكي;

4. نظرية حول التغيير في الطاقة الحركية للنظام الميكانيكي.