تعريف

الشكل الجبري للعدد المركب هو كتابة العدد المركب \ (\ z \) كـ \ (\ z = x + i y \) ، حيث \ (\ x \) و \ (\ y \) أرقام حقيقية ، \ (\ i \) وحدة تخيلية تحقق العلاقة \ (\ i ^ (2) = - 1 \)

الرقم \ (\ س \) يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ ض \) ويشار إليه \ (\ س = \ اسم أوبيراتورن (ري) ض \)

الرقم \ (\ y \) يسمى الجزء التخيلي من العدد المركب \ (\ z \) ويشار إليه \ (\ y = \ اسم التشغيل (Im) z \)

فمثلا:

العدد المركب \ (\ z = 3-2 i \) والرقم المرتبط به \ (\ overline (z) = 3 + 2 i \) مكتوب في شكل جبري.

القيمة التخيلية \ (\ z = 5 i \) مكتوبة بصيغة جبرية.

بالإضافة إلى ذلك ، بناءً على المشكلة التي يتم حلها ، يمكنك تحويل رقم مركب إلى رقم مثلثي أو عدد أسي.

مهمة

اكتب الرقم \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) في الصورة الجبرية ، وابحث عن أجزائه الحقيقية والتخيلية ، وكذلك الرقم المقترن.

المحلول.

بتطبيق مصطلح قسمة الكسور وقاعدة جمع الكسور ، نحصل على:

\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) ط \)

لذلك ، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) هو الرقم \ (\ x = \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \) ، الجزء التخيلي عبارة عن رقم \ (\ y = \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)

الرقم المقترن: \ (\ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

إجابه

\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \)، \ (\ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \)، \ (\ \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)، \ (\ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

إجراءات الأعداد المركبة في مقارنة الشكل الجبري

رقمان مركبان \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) متساويان إذا \ (\ x_ (1) = x_ (2) \) ، \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) أي أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية.

مهمة

حدد أي رقمين مركبين س وص ص \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) و \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) متساويان.

المحلول

بحكم التعريف ، يتساوى رقمان مركبان إذا تساوت أجزائهما الحقيقية والخيالية ، أي \ (\ س = 13 \) \ (\ ص = 5 \).

الإجابة \ (\ س = 13 \) \ (\ ص = 5 \)

إضافة

تتم إضافة الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) عن طريق الجمع المباشر للأجزاء الحقيقية والخيالية:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ يسار (y_ (1) + y_ (2) \ right) \)

مهمة

أوجد مجموع الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \)، \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)

المحلول.

الجزء الحقيقي من العدد المركب \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) هو الرقم \ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = - 7 \) ، التخيلي الجزء هو الرقم \ (\ y_ (1) = \ mathrm (Im) \) ، \ (\ z_ (1) = 5 \). الأجزاء الحقيقية والخيالية للعدد المركب \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) هي \ (\ x_ (2) = \ اسم التشغيل (Re) z_ (2) = 13 \) و \ (\ y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = - 4 \).

لذلك ، فإن مجموع الأعداد المركبة هو:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ يسار (x_ (1) + x_ (2) \ يمين) + i \ يسار (y_ (1) + y_ (2) \ يمين) = (- 7+ 13) + أنا (5-4) = 6 + أنا \)

إجابه

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + أنا \)

اقرأ المزيد حول إضافة الأعداد المركبة في مقال منفصل: إضافة الأعداد المركبة.

الطرح

يتم طرح الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) بالطريقة المباشرة طرح الأجزاء الحقيقية والخيالية:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ يسار (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) -x_ (2) + \ يسار (i y_ (1) -i y_ (2) \ right) = \ left (x_ (1) -x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) -y_ (2) \ right ) \)

مهمة

أوجد الفرق بين الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 17-35 i \)، \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)

المحلول.

ابحث عن الأجزاء الحقيقية والخيالية للأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 17-35 i \)، \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):

\ (\ x_ (1) = \ اسم مشغل (Re) z_ (1) = 17، x_ (2) = \ اسم مشغل (Re) z_ (2) = 15 \)

\ (\ y_ (1) = \ اسم مشغل (Im) z_ (1) = - 35، y_ (2) = \ اسم مشغل (Im) z_ (2) = 5 \)

لذا فإن الفرق بين الأعداد المركبة هو:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ يسار (x_ (1) -x_ (2) \ يمين) + i \ يسار (y_ (1) -y_ (2) \ right) = (17-15 ) + أنا (-35-5) = 2-40 أنا \)

إجابه

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) الضرب

يتم تنفيذ ضرب الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) مباشرة توليد الأرقام في شكل جبري ، مع مراعاة خاصية الوحدة التخيلية \ (\ i ^ (2) = - 1 \):

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ يسار (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ cdot \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ left (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ right) = \)

\ (\ = \ يسار (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2 ) \ cdot y_ (1) \ right) \)

مهمة

أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)

المحلول.

مجمع الأعداد المركبة:

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ يسار (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ right) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 ط \)

إجابه

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) انقسام

يتم تحديد عامل العدد المركب \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) و \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) بضرب بسط ومقام الرقم المرافق ذي المقام:

\ (\ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) (\ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2 ) ^ (2)) \)

مهمة

لقسمة الرقم 1 على العدد المركب \ (\ z = 1 + 2 i \).

المحلول.

نظرًا لأن الجزء التخيلي من الرقم الحقيقي 1 هو صفر ، فإن العامل هو:

\ (\ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

إجابه

\ (\ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

الأعداد المركبة هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية ، ويُشار إليها عادةً بالرمز. يمكن تمثيل أي رقم مركب كمجموع رسمي ، حيث تكون الأعداد الحقيقية هي وحدة تخيلية.

كتابة رقم مركب في الصورة ، يسمى الشكل الجبري للعدد المركب.

خصائص الأعداد المركبة. التفسير الهندسي للعدد المركب.

الإجراءات على الأعداد المركبة المعطاة في شكل جبري:

ضع في اعتبارك القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.

إذا تم إعطاء رقمين مركبين α = a + bi و β = c + di ، إذن

α + β = (أ + بي) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د) أنا ،

α - β \ u003d (a + bi) - (c + di) \ u003d (a - c) + (b - d) i. (أحد عشر)

يأتي هذا من تعريف عمليتي الجمع والطرح لزوجين مرتبين من الأعداد الحقيقية (انظر الصيغتين (1) و (3)). لقد حصلنا على قواعد جمع وطرح الأعداد المركبة: لإضافة عددين مركبين ، يجب على المرء أن يضيف أجزائه الحقيقية بشكل منفصل ، وبالتالي الأجزاء التخيلية ؛ لطرح آخر من رقم مركب واحد ، من الضروري طرح أجزائها الحقيقية والخيالية ، على التوالي.

الرقم - α \ u003d - a - bi يسمى عكس الرقم α \ u003d a + bi. مجموع هذين الرقمين هو صفر: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

للحصول على قاعدة الضرب للأعداد المركبة ، نستخدم الصيغة (6) ، أي حقيقة أن i2 = -1. مع الأخذ في الاعتبار هذه النسبة ، نجد (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i - bd ، أي

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)

تتوافق هذه الصيغة مع الصيغة (2) ، التي حددت مضاعفة الأزواج المرتبة للأرقام الحقيقية.

لاحظ أن مجموع وحاصل ضرب عددين مترافقين مركبين هما عددان حقيقيان. في الواقع ، إذا كانت α = a + bi ، = a - bi ، فإن α = (a + bi) (a - bi) = a2 - i2b2 = a2 + b2 ، α + = (a + bi) + (a - bi) = (أ + أ) + (ب - ب) أنا = 2 أ ، أي

α + = 2a، α = a2 + b2. (13)

عند قسمة رقمين مركبين في الصورة الجبرية ، يجب على المرء أن يتوقع أن يتم التعبير عن حاصل القسمة أيضًا برقم من نفس النوع ، أي α / β = u + vi ، حيث u ، v R. فلنشتق قاعدة لقسمة المركب أعداد. دع الأرقام α = a + bi ، β = c + di معطاة ، و β ≠ 0 ، أي c2 + d2 ≠ 0. تعني عدم المساواة الأخيرة أن c و d لا تختفي في وقت واحد (الحالة عندما c = 0 ، d = 0). بتطبيق المعادلة (12) والثانية من المساواة (13) نجد:

لذلك ، يتم الحصول على حاصل قسمة رقمين مركبين بواسطة:

الصيغة المقابلة (4).

باستخدام الصيغة التي تم الحصول عليها للرقم β = c + di ، يمكنك إيجاد مقلوبه β-1 = 1 / β. بافتراض الصيغة (14) أ = 1 ، ب = 0 ، نحصل عليها

تحدد هذه الصيغة مقلوب عدد معقد غير صفري ؛ هذا الرقم معقد أيضًا.

على سبيل المثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i ؛

(6 + 5 ط) - (3 + 8 ط) = 3 - 3 ط ؛

(5-4 ط) (8-9 ط) = 4-77 ط ؛

الإجراءات على الأعداد المركبة في شكل جبري.

55. حجة العدد المركب. الشكل المثلثي لكتابة عدد مركب (مخرجات).

Arg.comm.number. - بين الاتجاه الموجب للمحور X الحقيقي بواسطة المتجه الذي يمثل الرقم المحدد.

صيغة ترين. أعداد: ،

ارقام مركبة

خيالي و ارقام مركبة. Abscissa وتنسيق

عدد مركب. اقتران الأعداد المركبة.

العمليات ذات الأعداد المركبة. هندسي

تمثيل الأعداد المركبة. طائرة معقدة.

معامل وسعة العدد المركب. حساب المثاثات

شكل العدد المركب. عمليات معقدة

الأرقام في شكل مثلثي. صيغة Moivre.

معلومات أساسية عن وهمي و ارقام مركبة ترد في قسم "الأعداد التخيلية والمركبة". ظهرت الحاجة إلى هذه الأرقام من نوع جديد عند حل المعادلات التربيعية للحالةد< 0 (здесь دهو مميز المعادلة التربيعية). لفترة طويلة ، لم تجد هذه الأرقام استخدامًا ماديًا ، ولهذا السبب تم تسميتها بأرقام "خيالية". ومع ذلك ، فهي الآن تستخدم على نطاق واسع في مختلف مجالات الفيزياء.

والتكنولوجيا: الهندسة الكهربائية ، الديناميكا المائية والديناميكية الهوائية ، نظرية المرونة ، إلخ.

ارقام مركبة مكتوبة على النحو التالي:أ + ثنائي. هنا أو ب – أرقام حقيقية ، أ أنا – وحدة خيالية.ه. أنا 2 = –1. رقم أاتصل الإحداثي السيني، أ ب - إحداثياتعدد مركبأ + ب.رقمان مركبانأ + ثنائيو أ- ثنائية اتصل المترافقةارقام مركبة.

الاتفاقيات الرئيسية:

1. العدد الحقيقيأيمكن أيضًا كتابتها في النموذجعدد مركب:أ + 0 أناأو أ - 0 أنا. على سبيل المثال ، الإدخالات 5 + 0أناو5 - 0 أنايعني نفس الرقم 5 .

2. العدد المركب 0 + ثنائيةاتصل محض خيال رقم. تسجيلثنائيةيعني نفس الرقم 0 + ثنائية.

3. عددين مركبينأ + ثنائي وج + ديتعتبر متساوية إذاأ = جو ب = د. خلاف ذلك الأعداد المركبة ليست متساوية.

إضافة. مجموع الأعداد المركبةأ + ثنائيو ج + دييسمى الرقم المركب (أ + ج ) + (ب + د ) أنا .في هذا الطريق، عند إضافته يتم إضافة الأعداد المركبة ، وإحداثياتها وإحداثياتها بشكل منفصل.

هذا التعريف يتبع قواعد التعامل مع كثيرات الحدود العادية.

الطرح. الفرق بين عددين مركبينأ + ثنائي(مخفض) و ج + دي(مطروح) يسمى رقم مركب (أ-ج ) + (ب- د ) أنا .

في هذا الطريق، عند طرح رقمين مركّبين ، يتم طرح أرقامهما وإحداثياتهما بشكل منفصل.

عمليه الضرب. حاصل ضرب الأعداد المركبةأ + ثنائيو ج + دي يسمى العدد المركب.

(ac-bd ) + (إعلان + قبل الميلاد ) أنا .هذا التعريف ينبع من شرطين:

1) أرقام أ + ثنائيو ج + دييجب أن تتضاعف مثل الجبريةذات الحدين

2) رقم أناله الخاصية الرئيسية:أنا 2 = – 1.

مثال ( أ + ثنائي )(أ- ثنائية) = أ 2 + ب 2 . بالتالي، الشغل

رقمان مركبان مترافقان يساوي العدد الحقيقي

رقم موجب، عدد إيجابي.

قسم. اقسم عددًا مركبًاأ + ثنائي (يقبل القسمة) على آخرج + دي(مقسم) - يعني إيجاد الرقم الثالثe + fi(دردشة) ، والتي عند ضرب القاسمج + دي، والذي ينتج عنه توزيعات الأرباحأ + ب.

إذا لم يكن المقسوم عليه صفرًا ، فإن القسمة ممكنة دائمًا.

مثال ابحث عن (+8أنا ) : (2 – 3 أنا) .

الحل. لنعد كتابة هذه النسبة في صورة كسر:

ضرب البسط والمقام في 2 + 3أنا

و بعد إجراء جميع التحولات ، نحصل على:

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة. يتم تمثيل الأرقام الحقيقية بالنقاط على خط الأعداد:

ها هي النقطة أيعني الرقم -3 ، النقطةبهو الرقم 2 و ا- صفر. في المقابل ، يتم تمثيل الأرقام المركبة بنقاط على مستوى الإحداثيات. لهذا ، نختار إحداثيات مستطيلة (ديكارت) بنفس المقاييس على كلا المحورين. ثم العدد المركبأ + ثنائي سيتم تمثيله بنقطة P مع السداسية أ وتنسيق ب (انظر الشكل). يسمى نظام الإحداثيات هذا طائرة معقدة .

وحدة الرقم المركب يسمى طول المتجهOP، تصور رقمًا مركبًا على الإحداثيات ( شاملة) طائرة. معامل العدد المركبأ + ثنائييرمز لها | أ + ثنائي| أو حرف ص

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية.

دعونا نحدد جذوره.

لا يوجد رقم حقيقي مربعه يساوي -1. ولكن إذا كانت الصيغة تحدد العامل أناكوحدة تخيلية ، يمكن كتابة حل هذه المعادلة بالصيغة . حيث و - الأعداد المركبة ، حيث يمثل -1 الجزء الحقيقي ، 2 أو في الحالة الثانية -2 يمثل الجزء التخيلي. الجزء التخيلي هو أيضًا رقم حقيقي (حقيقي). الجزء التخيلي مضروبًا في الوحدة التخيلية يعني بالفعل رقم خيالي.

بشكل عام ، الرقم المركب له الشكل

ض = x + iy ,

أين س ، صهي أرقام حقيقية ، هي وحدة تخيلية. في عدد من العلوم التطبيقية ، على سبيل المثال ، في الهندسة الكهربائية ، والإلكترونيات ، ونظرية الإشارة ، يتم الإشارة إلى الوحدة التخيلية بواسطة ي. الأعداد الحقيقية س = إعادة (ض)و ص =انا(ض)اتصل أجزاء حقيقية وخياليةأعداد ض.يسمى التعبير شكل جبريتدوين العدد المركب.

أي رقم حقيقي هو حالة خاصة لرقم مركب في النموذج . الرقم التخيلي هو أيضًا حالة خاصة للرقم المركب. .

تعريف مجموعة الأعداد المركبة ج

يقرأ هذا التعبير على النحو التالي: تعيين من، تتكون من عناصر من هذا القبيل xو ذتنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية صوهي الوحدة التخيلية. لاحظ أن إلخ.

رقمان مركبان و متساوية إذا وفقط إذا كانت أجزائها الحقيقية والخيالية متساوية ، أي و .

تُستخدم الأرقام والوظائف المعقدة على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا ، ولا سيما في الميكانيكا ، وتحليل وحساب دوائر التيار المتردد ، والإلكترونيات التناظرية ، ونظرية الإشارة ومعالجتها ، ونظرية التحكم الآلي ، والعلوم التطبيقية الأخرى.

1. حساب الأعداد المركبة

تتمثل إضافة عددين مركبين في إضافة جزأين حقيقيين وخياليين ، أي

وفقًا لذلك ، الفرق بين عددين مركبين

عدد مركب اتصل مركب المترافقةرقم ض =x +أ.

يختلف الرقمان المقترنان المركبان z و z * في إشارات الجزء التخيلي. من الواضح أن

.

تظل أي مساواة بين التعبيرات المعقدة صالحة إذا كانت في هذه المساواة في كل مكان أناوحل محله - أنا، بمعنى آخر. اذهب إلى مساواة الأرقام المترافقة. أعداد أناو – أنالا يمكن تمييزها جبريًا لأن .

يمكن حساب حاصل ضرب عددين مركبين على النحو التالي:

قسمة عددين مركبين:

مثال:

1. طائرة معقدة

يمكن تمثيل العدد المركب بيانياً في نظام إحداثيات مستطيل. دعونا نضع نظام إحداثيات مستطيل في المستوى (س ، ص).

على المحور ثورسنقوم بترتيب الأجزاء الحقيقية x، يدعي المحور الحقيقي (الحقيقي)، على المحور أوي- أجزاء خيالية ذارقام مركبة. هي تحمل الاسم المحور الخيالي. علاوة على ذلك ، فإن كل رقم مركب يتوافق مع نقطة معينة من المستوى ، ويسمى هذا المستوى طائرة معقدة. نقطة لكنالطائرة المعقدة سوف تتوافق مع المتجه OA.

رقم xاتصل الإحداثي السينيالعدد المركب ، العدد ذ – تنسيق.

يتم عرض زوج من الأرقام المترافقة المعقدة كنقاط تقع بشكل متماثل حول المحور الحقيقي.

إذا كان على متن الطائرة نظام الإحداثيات القطبية، ثم كل عدد مركب ضتحددها الإحداثيات القطبية. حيث وحدةأعداد هو نصف القطر القطبي للنقطة ، والزاوية - الزاوية القطبية أو وسيطة العدد المركب ض.

معامل العدد المركب دائما غير سلبي. لم يتم تعريف حجة العدد المركب بشكل فريد. يجب أن تفي القيمة الرئيسية للوسيطة بالشرط . تتوافق كل نقطة من المستوى المركب أيضًا مع القيمة الإجمالية للوسيطة. تعتبر الحجج التي تختلف بمضاعفات 2π متساوية. لم يتم تعريف وسيطة الرقم صفر.

يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة من خلال التعبيرات:

من الواضح أن

حيث
, .

تمثيل العدد المركب ضكما

اتصل شكل مثلثعدد مركب.

مثال.

1. الشكل الأسي للأعداد المركبة

التحلل في سلسلة Maclaurinلوظائف الحجة الحقيقية يشبه:

للدالة الأسية للحجة المعقدة ضالتحلل مشابه

.

يمكن تمثيل توسعة سلسلة Maclaurin للدالة الأسية للحجة التخيلية كـ

يتم استدعاء الهوية الناتجة صيغة أويلر.

لحجة سلبية ، يبدو

بدمج هذه التعبيرات ، يمكننا تحديد التعبيرات التالية لجيب الجيب وجيب التمام

.

باستخدام صيغة أويلر ، من الصيغة المثلثية لتمثيل الأعداد المركبة

متوفرة إيضاحي(أسي ، قطبي) شكل رقم مركب ، أي تمثيلها في النموذج

,

أين - الإحداثيات القطبية لنقطة ذات إحداثيات مستطيلة ( س ،ذ).

يتم كتابة اقتران العدد المركب بالشكل الأسي على النحو التالي.

بالنسبة للصيغة الأسية ، من السهل تحديد الصيغ التالية لضرب الأعداد المركبة وقسمتها

أي ، في الشكل الأسي ، يكون حاصل ضرب الأعداد المركبة وتقسيمها أسهل من الشكل الجبري. عند الضرب ، تتضاعف وحدات العوامل ، وتُضاف المتغيرات. تنطبق هذه القاعدة على أي عدد من العوامل. على وجه الخصوص ، عند ضرب عدد مركب ضعلى ال أناالمتجه ضيدور عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90

في القسمة ، يُقسم مقياس البسط على مقياس المقام ، ويتم طرح سعة المقام من سعة البسط.

باستخدام الشكل الأسي للأعداد المركبة ، يمكن للمرء الحصول على تعبيرات للهويات المثلثية المعروفة. على سبيل المثال ، من الهوية

باستخدام صيغة أويلر ، يمكننا الكتابة

معادلة الأجزاء الحقيقية والخيالية في هذا التعبير ، نحصل على تعبيرات لجيب التمام وجيب مجموع الزوايا

1. القوى والجذور واللوغاريتمات للأعداد المركبة

رفع عدد مركب إلى قوة طبيعية نأنتجت وفقا للصيغة

مثال. إحصاء - عد .

تخيل رقما في شكل مثلثي

’

بتطبيق صيغة الأُس نحصل عليها

وضع القيمة في التعبير ص= 1 ، نحصل على ما يسمى ب صيغة دي Moivre، والتي يمكنك من خلالها تحديد تعبيرات الجيب وجيب التمام للزوايا المتعددة.

جذر نال قوة العدد المركب ضلديها نقيم مختلفة يحددها التعبير

مثال. لنجد.

للقيام بذلك ، نعبر عن الرقم المركب () بالصيغة المثلثية

.

وفقًا لصيغة حساب جذر العدد المركب ، نحصل على

لوغاريتم عدد مركب ضهو رقم ث، لأي منهم . يحتوي اللوغاريتم الطبيعي لعدد مركب على عدد لا حصر له من القيم ويتم حسابه بواسطة الصيغة

يتكون من أجزاء حقيقية (جيب التمام) وخيالية (جيب). يمكن تمثيل هذا الضغط كمتجه للطول يو م، المرحلة الأولية (الزاوية) ، بالتناوب بسرعة الزاوية ω .

علاوة على ذلك ، إذا تمت إضافة وظائف معقدة ، فسيتم إضافة أجزائها الحقيقية والخيالية. إذا تم ضرب دالة معقدة في دالة ثابتة أو حقيقية ، فسيتم ضرب أجزائها الحقيقية والتخيلية في نفس العامل. يتم تقليل تمايز / تكامل مثل هذه الوظيفة المعقدة إلى تمايز / تكامل الأجزاء الحقيقية والخيالية.

على سبيل المثال ، التفريق بين تعبير الإجهاد المعقد

هو ضربها في iω هو الجزء الحقيقي من الدالة f (z) و هو الجزء التخيلي من الوظيفة. أمثلة: .

المعنى ضيتم تمثيلها بنقطة في المستوى المركب z ، والقيمة المقابلة ث- نقطة في المستوى المعقد ث. عند عرضها ث = و (ض)خطوط الطائرة ضتمر في خطوط الطائرة ث، الأشكال من مستوى واحد إلى أشكال أخرى ، لكن أشكال الخطوط أو الأشكال قد تتغير بشكل ملحوظ.