بادئ ذي بدء ، سنحلل النظرية ، ثم نحل بعض الأمثلة لدمج المادة الخاصة بتوسيع دالة كسرية في مجموع كسور بسيطة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على طريقة المعاملات غير المؤكدةو طريقة القيمة الجزئية، فضلا عن مجموعاتها.

غالبًا ما يتم استدعاء أبسط الكسور الكسور الأولية.

هناك ما يلي أنواع الكسور البسيطة:

حيث A ، M ، N ، a ، p ، q هي أرقام ، ومميز المقام في الكسور 3) و 4) أقل من الصفر.

يطلق عليهم كسور الأنواع الأول والثاني والثالث والرابع على التوالي.

لماذا نقسم الكسور إلى كسور بسيطة؟

دعونا نعطي تشبيه رياضي. غالبًا ما يتعين عليك تبسيط شكل التعبير حتى تتمكن من تنفيذ بعض الإجراءات به. لذا ، فإن تمثيل دالة كسرية كمجموع كسور بسيطة هو نفسه تقريبًا. يتم استخدامه لتوسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة وسلسلة Laurent وبالطبع لإيجاد التكاملات.

على سبيل المثال ، يتطلب الأمر تكامل دالة كسرية. بعد تحليل التكامل إلى كسور بسيطة ، يتم تقليل كل شيء إلى تكاملات بسيطة إلى حد ما

لكن عن التكاملات في قسم آخر.

مثال.

قسّم الكسر إلى أبسطه.

المحلول.

بشكل عام ، تتحلل نسبة كثيرات الحدود إلى كسور بسيطة إذا كانت درجة كثير الحدود في البسط أقل من درجة كثير الحدود في المقام. خلافًا لذلك ، يتم أولاً قسمة كثير الحدود على المقام على كثير الحدود ، وعندها فقط تتحلل الدالة الكسرية الصحيحة.

لنقم بالقسمة على عمود (ركن):

لذلك ، سيأخذ الكسر الأصلي الشكل:

وبالتالي ، سوف نتحلل إلى كسور بسيطة

خوارزمية طريقة المعاملات غير المحددة.

أولاً، حلل المقام.

في مثالنا ، كل شيء بسيط - نخرج x من الأقواس.


ثانيًا، يتم تمثيل الكسر المراد فكه كمجموع الكسور البسيطة به معاملات غير مؤكدة.

يجدر هنا التفكير في أنواع التعبيرات التي يمكن أن يكون لديك في المقام.

كفى من الناحية النظرية والممارسة لا تزال أوضح.

حان الوقت للعودة إلى المثال. يتحلل الكسر إلى مجموع أبسط كسور من النوعين الأول والثالث مع معاملات غير محددة A و B و C.


ثالثا، نحضر المجموع الناتج من الكسور البسيطة ذات المعاملات غير المحددة إلى قاسم مشترك ونجمع الحدود في البسط بنفس القوى x.



أي نصل إلى المعادلة:


بالنسبة إلى x nonzero ، تقلل هذه المساواة إلى المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود


وكثيرتا الحدود متساويتان إذا وفقط إذا كانت المعاملات في نفس الأسس متساوية.

الرابعة، فنحن نساوي المعاملات عند نفس قوى x.

في هذه الحالة ، نحصل على نظام من المعادلات الجبرية الخطية مع معاملات غير محددة على أنها مجهولة:


الخامس، نقوم بحل نظام المعادلات الناتج بأي طريقة (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة) التي تريدها ، نجد معاملات غير محددة.


في السادسةاكتب الجواب.

من فضلك لا تكن كسولًا ، تحقق من إجابتك بتقليل التوسع الناتج إلى قاسم مشترك.

طريقة المعاملات غير المحددةهي طريقة عالمية لتحليل الكسور إلى كسور بسيطة.

من المريح جدًا استخدام طريقة القيمة الجزئية إذا كان المقام ناتجًا عن عوامل خطية ، أي يبدو

لنلقِ نظرة على مثال لإظهار مزايا هذه الطريقة.

مثال.

انشر كسرًا لأبسطها.

المحلول.

بما أن درجة كثير الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام ، فلا داعي للقسمة. ننتقل إلى تحلل المقام إلى عوامل.

لنخرج x من الأقواس أولاً.

نجد جذور ثلاثي الحدود المربع (على سبيل المثال ، وفقًا لنظرية فييتا):

لذلك ، يمكن كتابة ثلاثي الحدود على شكل

أي أن المقام سيأخذ الشكل

باستخدام مقام معين ، يتحلل الكسر الأصلي إلى مجموع ثلاثة كسور بسيطة من النوع الأول مع معاملات غير محددة:

نقوم بتقليل المقدار الناتج إلى قاسم مشترك ، لكن في البسط لا نفتح الأقواس ولا نعطي الأقواس المماثلة لـ A و B و C (في هذه المرحلة ، يكون الاختلاف فقط من طريقة المعاملات غير المؤكدة):

وهكذا توصلنا إلى المساواة:

والآن ، لإيجاد معاملات غير محددة ، نبدأ بالتعويض في المساواة الناتجة "القيم الخاصة" ، التي يتلاشى عندها المقام ، أي x = 0 ، x = 2 و x = 3 على سبيل المثال.

في س = 0 لدينا:

في س = 2 لدينا:

في س = 3 لدينا:

إجابه:

كما ترى ، فإن الاختلاف بين طريقة المعاملات غير المؤكدة وطريقة القيم الجزئية هو فقط في طريق إيجاد المجهول. يمكن الجمع بين هذه الطرق لتبسيط العمليات الحسابية.

تأمل في مثال.

مثال.

انشر التعبير المنطقي الكسري إلى كسور بسيطة.

المحلول.

نظرًا لأن درجة كثير الحدود البسط أقل من درجة كثير الحدود للمقام وقد تم تحليل المقام بالفعل ، فسيتم تمثيل التعبير الأصلي كمجموع من الكسور البسيطة بالشكل التالي:

نأتي إلى القاسم المشترك:

دعونا نقارن البسط.

من الواضح أن أصفار المقام هي القيم x = 1 و x = -1 و x = 3. نستخدم طريقة القيم الجزئية.

في س = 1 لدينا:

في س = -1 لدينا:

في س = 3 لدينا:

يبقى أن نجد المجهول و

للقيام بذلك ، نستبدل القيم الموجودة في مساواة البسط:

بعد فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المتشابهة لنفس قوى x ، نصل إلى المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود:

نحن نساوي المعاملات المقابلة في نفس القوى ، وبالتالي نقوم بتجميع نظام من المعادلات لإيجاد المجهول المتبقية و. نحصل على نظام من خمس معادلات ذات مجهولين:

من المعادلة الأولى نجدها على الفور من المعادلة الثانية

نتيجة لذلك ، نحصل على توسيع إلى كسور بسيطة:

ملحوظة.

إذا قررنا على الفور تطبيق طريقة المعاملات غير المحددة ، فسنضطر إلى حل نظام مكون من خمس معادلات جبرية خطية بخمسة مجاهيل. جعل استخدام طريقة القيم الجزئية من السهل العثور على قيم ثلاثة من المجهول الخمسة ، مما سهل الحل الإضافي إلى حد كبير.

تحياتي للجميع ، أيها الأصدقاء الأعزاء!

حسنًا ، تهانينا! لقد وصلنا بأمان إلى المادة الرئيسية في تكامل الكسور المنطقية - طريقة المعاملات غير المحددة. عظيم وعظيم) ما هي جلالته وقوته؟ وهي تكمن في تنوعها. من المنطقي أن تعرف ، أليس كذلك؟ أحذرك من أنه سيكون هناك العديد من الدروس حول هذا الموضوع. الموضوع طويل جدًا ، والمادة مهمة للغاية.)

يجب أن أقول على الفور أنه في درس اليوم (والدروس اللاحقة أيضًا) لن نتعامل مع التكامل بقدر ما ... حل أنظمة المعادلات الخطية!نعم نعم! لذلك أولئك الذين لديهم مشاكل مع الأنظمة ، كرروا المصفوفات والمحددات وطريقة كرامر. وبالنسبة لأولئك الرفاق الذين يعانون من مشاكل مع المصفوفات ، فإنني أحث ، في أسوأ الأحوال ، على تجديد ذاكرتهم على الأقل طرق "المدرسة" لحل الأنظمة - طريقة الاستبدال وطريقة الجمع / الطرح مصطلحًا تلو الآخر.

لبدء التعارف ، نرجع الفيلم إلى الوراء قليلاً. دعنا نعود بإيجاز إلى الدروس السابقة ونحلل كل تلك الكسور التي قمنا بدمجها من قبل. مباشرة ، بدون أي طريقة للمعاملات غير المحددة! ها هم ، هذه الكسور. لقد صنفتهم إلى ثلاث مجموعات.

مجموعة 1

في المقام - دالة خطيةإما بمفردها أو الى حد. باختصار ، المقام هو المنتج مطابقبين قوسين من النموذج (هكتار).

فمثلا:

(س + 4) 1 = (س + 4)

(x-10) 2 = (x-10) (x-10)

(2 س + 5) 3 = (2 س + 5) (2 س + 5) (2 س + 5)

وهلم جرا. بالمناسبة ، لا تدع الأقواس تخدعك. (4x + 5)أو (2x + 5) 3مع معامل كداخل. إنها نفسها ، في جوهرها ، أقواس النموذج (هكتار). لأن هذا هو الأكثر كيمكن دائمًا إخراج هذه الأقواس.

مثله:

هذا كل شيء.) ولا يهم ما يوجد بالضبط في البسط - فقط DXأو نوع من كثير الحدود. لقد فكنا البسط دائمًا في صورة قوى الأقواس (خ-أ)، حول الكسر الكبير إلى مجموع صغير ، جلب (عند الضرورة) قوسًا تحت التفاضل والتكامل.

المجموعة 2

ما هو القاسم المشترك بين هذه الكسور؟

والشيء المشترك هو أنه في جميع القواسم هو ثلاثي الحدود مربعفأس 2 + bx+ ج. ولكن ليس فقط ، أي في نسخة واحدة. ولا يهم هنا ما إذا كان المميز موجبًا أم سالبًا.

تم دمج هذه الكسور دائمًا بإحدى طريقتين - إما عن طريق فك البسط في قوى المقام ، أو بأخذ مربع كامل في المقام ثم تغيير المتغير. كل هذا يتوقف على نوع معين من التكامل.

المجموعة 3

كانت هذه أسوأ الكسور للتكامل. المقام هو ثلاثي الحدود مربع لا يمكن حله ، وحتى في الدرجة ن. لكن، مرة أخرى، في نسخة واحدة. لأنه ، باستثناء ثلاثي الحدود ، لا توجد عوامل أخرى في المقام. تتكامل هذه الكسور. إما بشكل مباشر أو مختزل له بعد اختيار المربع الكامل في المقام ثم تغيير المتغير.

ومع ذلك ، لسوء الحظ ، لا يقتصر التنوع الغني للكسور المنطقية على هذه المجموعات الثلاث المدروسة فقط.

ولكن ماذا لو كان المقام مختلفأقواس؟ على سبيل المثال ، شيء مثل:

(x-1) (x + 1) (x + 2)

أو في نفس الوقت قوس (هكتار)ومربع ثلاثي الحدود ، شيء من هذا القبيل (x-10) (x 2 -2x + 17)؟ وفي حالات أخرى مماثلة؟ هنا ، في مثل هذه الحالات ، يتعلق الأمر بالإنقاذ. طريقة المعاملات غير المحددة!

يجب أن أقول على الفور: في الوقت الحالي ، سنعمل فقط مع صحيحكسور. تلك التي تكون فيها درجة البسط أقل تمامًا من درجة المقام. كيفية التعامل مع الكسور غير الصحيحة موصوفة بالتفصيل في الكسور. من الضروري تحديد الجزء بالكامل (متعدد الحدود). بقسمة ركن البسط على المقام أو بفك البسط - كما تريد. وحتى المثال مفكك. وأنت بطريقة ما تدمج كثير الحدود. ليست صغيرة بالفعل.) لكننا سنحل أيضًا أمثلة الكسور غير الصحيحة!

الآن دعونا نتعرف على بعضنا البعض. على عكس معظم الكتب المدرسية حول الرياضيات العليا ، لن نبدأ في التعرف على نظرية جافة وثقيلة حول النظرية الأساسية للجبر ، نظرية بيزوت ، حول توسيع الكسر المنطقي إلى مجموع الأبسط (المزيد حول هذه الكسور لاحقًا) و مضجر آخر ، لكننا سنبدأ بمثال بسيط.

على سبيل المثال ، نحتاج إلى إيجاد التكامل غير المحدد التالي:

انظر أولاً إلى علامة التكامل. المقام هو حاصل ضرب ثلاثة أقواس:

(x-1) (x + 3) (x + 5)

وجميع الأقواس مختلف. لذلك ، فإن تقنيتنا القديمة المتمثلة في توسيع البسط في قوى المقام لا تعمل هذه المرة: أي قوس يجب إبرازه في البسط؟ (x-1)؟ (س + 3)؟ ليس من الواضح ... تحديد المربع الكامل في المقام ليس أيضًا في السجل النقدي: هناك كثير الحدود الثالثالدرجة (إذا ضربت كل الأقواس). ماذا أفعل؟

عند النظر إلى جزءنا ، تظهر رغبة طبيعية تمامًا ... لا تُقاوم! من الكسر الكبير لدينا غير مريحدمج ، بطريقة ما اصنع ثلاثة منها صغيرة. على الأقل مثل هذا:

لماذا يجب البحث عن هذا النوع؟ وكل ذلك لأن الكسر الأولي في هذه الصورة هو بالفعل مريحلدمج! أضف مقام كل كسر صغير وإلى الأمام.)

هل من الممكن حتى الحصول على مثل هذا التحلل؟ الخبر جيد! تقول نظرية الرياضيات المقابلة - نعم تستطيع! مثل هذا التحلل موجود وفريد ​​من نوعه.

لكن هناك مشكلة واحدة: المعاملات لكن, فيو مننحن وداعالا نعلم. والآن ستكون مهمتنا الرئيسية عادلة تحديدهم. اكتشف ما تساوي رسائلنا لكن, فيو من. ومن هنا الاسم ، الطريقة غير مؤكدالمعاملات. لنبدأ رحلتنا الرائعة!

إذن لدينا مساواة نبدأ منها بالرقص:

لنجلب الكسور الثلاثة إلى اليمين إلى قاسم مشترك ونضيف:

يمكنك الآن التخلص من المقامات بأمان (لأنها متطابقة) ومعادلة البسطين بكل بساطة. كل شيء كالمعتاد

الخطوة التالية افتح كل الأقواس(المعاملات لكن, فيو من وداعامن الأفضل تركه بالخارج)

والآن (مهم!) نبني هيكلنا بالكامل على اليمين حسب الأقدمية: أولاً نجمع كل الأعضاء الذين لديهم x 2 في كومة ، ثم - فقط باستخدام x وأخيراً ، نجمع الأعضاء الأحرار. في الواقع ، نعطي متشابهة ونجمع الحدود وفقًا لقوى x.

مثله:

والآن نفهم النتيجة. على اليسار توجد كثيرة الحدود الأصلية. الدرجة الثانية. بسط التكامل. حق أيضا بعض كثيرات الحدود من الدرجة الثانية.الأنف معاملات غير معروفة.يجب أن تكون هذه المساواة صالحة ل كل قيم x الصالحة. كسور اليسار واليمين هي نفسها (حسب حالتنا)! هذا يعني أن البسطو (أي كثيرات الحدود لدينا) هي نفسها أيضًا. إذن المعاملات بنفس قوى xيجب أن يكون لهذه كثيرات الحدود يكون مساويا!

نبدأ بأعلى درجة. من الساحة. دعونا نرى نوع المعاملات لدينا X 2 يسار و يمين. على اليمين لدينا مجموع المعاملات أ + ب + ج، وعلى اليسار - شيطان. إذن لدينا المعادلة الأولى.

نكتب:

أ + ب + ج = 2

هنالك. تم إجراء المعادلة الأولى.)

ثم نسير في مسار تنازلي - ننظر إلى الحدود مع x من الدرجة الأولى. على اليمين عند x لدينا 8 أ + 4 ب + 2 ج. جيد. وماذا لدينا مع x على اليسار؟ حسنًا ... على اليسار ، لا يوجد حد بـ X على الإطلاق! يوجد فقط 2x 2 - 3. كيف تكون؟ بسيط جدا! هذا يعني أن المعامل عند x على اليسار لدينا يساوي صفر!يمكننا كتابة جانبنا الأيسر على النحو التالي:

و ماذا؟ لدينا كل الحق.) من هنا تبدو المعادلة الثانية كما يلي:

8 أ+4 ب+2 ج = 0

حسنًا ، هذا كل شيء عمليًا. يبقى أن تساوي الشروط المجانية:

15A-5B-3C = -3

باختصار ، تحدث معادلة المعاملات بنفس قوى x وفقًا للمخطط التالي:

يجب إرضاء جميع مساواتنا الثلاثة الوقت ذاته.لذلك ، نقوم بتجميع نظام من معادلاتنا المكتوبة:

النظام ليس هو الأصعب بالنسبة للطالب المجتهد - ثلاث معادلات وثلاثة مجاهيل. تقرر كما يحلو لك. يمكنك استخدام طريقة كرامر من خلال المصفوفات ذات المحددات ، ويمكنك استخدام طريقة غاوس ، حتى يمكنك استخدام طريقة المدرسة البديلة المعتادة.

بادئ ذي بدء ، سأحل هذا النظام بالطريقة التي يحل بها الطلاب الثقافيون عادةً مثل هذه الأنظمة. وهي طريقة كريمر.

نبدأ الحل بتجميع مصفوفة النظام. أذكرك أن هذه المصفوفة هي مجرد طاولة مكونة من معاملات المجهول.

ها هي ذا:

بادئ ذي بدء ، نحسب محدد مصفوفة النظام.أو باختصار معرّف النظام.يُشار إليه عادةً بالحرف اليوناني ∆ ("دلتا"):

عظيم ، محدد النظام ليس صفراً (-48≠0) . من نظرية أنظمة المعادلات الخطية ، هذه الحقيقة تعني أن نظامنا متسق و لديه حل فريد.

الخطوة التالية هي الحساب محددات المجهول ∆A ، B ، C. أذكرك أنه يتم الحصول على كل من هذه المحددات الثلاثة من المحدد الرئيسي للنظام عن طريق استبدال الأعمدة بمعاملات المجهول المقابل بعمود من المصطلحات المجانية.

لذلك نصنع المحددات ونأخذ في الاعتبار:

لن أشرح بالتفصيل تقنية حساب محددات الترتيب الثالث هنا. ولا تسأل. سيكون هذا بالفعل انحرافًا كبيرًا عن الموضوع.) من هو في الموضوع ، فهو يفهم ما يدور حوله. وربما تكون قد خمنت بالفعل كيف حسبت هذه المحددات الثلاثة بالضبط.)

هذا كل شيء وتم القيام به.)

هذه هي الطريقة التي يقرر بها الطلاب المثقفون الأنظمة عادة. لكن ... ليس كل الطلاب أصدقاء مع محددات. للأسف. بالنسبة للبعض ، تظل هذه المفاهيم البسيطة للرياضيات العليا إلى الأبد حرفًا صينيًا ووحشًا غامضًا في الضباب ...

حسنًا ، خاصة بالنسبة لمثل هؤلاء الطلاب غير المثقفين ، أقترح طريقة أكثر شيوعًا لحل - طريقة التصفية المتتالية للمجهول.في الواقع ، هذه طريقة "مدرسة" متقدمة للاستبدال. فقط سيكون هناك المزيد من الخطوات.) لكن الجوهر هو نفسه. بادئ ذي بدء ، سأستبعد المتغير من. لهذا سأعبر عن منمن المعادلة الأولى واستبدالها في الثانية والثالثة:

نحن نبسط ونقدم أنظمة مماثلة ونحصل على نظام جديد ، بالفعل اثنينمجهول:

الآن ، في هذا النظام الجديد ، من الممكن أيضًا التعبير عن أحد المتغيرات بدلالة الآخر. لكن ربما يلاحظ الطلاب الأكثر انتباهاً أن المعاملات أمام المتغير ب – عكس. اثنان وناقص اثنين. لذلك ، سيكون من الملائم جدًا إضافة كلتا المعادلتين معًا لإزالة المتغير فيواترك الرسالة فقط لكن.

نضيف الجزأين الأيمن والأيسر ، ونختزل عقليًا 2 بو -2 بوحل المعادلة فقط فيما يتعلق بـ لكن:

هنالك. تم العثور على المعامل الأول: أ = -1/24.

حدد المعامل الثاني في. على سبيل المثال ، من المعادلة العليا:

من هنا نحصل على:

ممتاز. تم العثور على المعامل الثاني أيضًا: ب = -15/8 . لا يزال هناك حرف متبقي من. لتحديدها ، نستخدم المعادلة العلوية ، حيث تم التعبير عنها من خلالها لكنو في:

لذا:

حسنًا ، انتهى كل شيء الآن. تم العثور على احتمالات غير معروفة! لا يهم إذا كان عن طريق Cramer أو عن طريق الاستبدال. الشيء الرئيسي، حقاوجدت.)

إذن ، فككنا لكسر كبير في مجموع صغير سيبدو كما يلي:

ولا تخلط بين المعاملات الكسرية التي تم الحصول عليها: في هذا الإجراء (طريقة المعاملات غير المحددة) ، هذا هو الحدوث الأكثر شيوعًا. :)

والآن من المستحسن للغاية التحقق مما إذا كنا قد وجدنا معاملاتنا بشكل صحيح أ, بو من. والآن نأخذ مسودة ونتذكر الصف الثامن - نعيد جمع الكسور الثلاثة كلها مرة أخرى.

إذا حصلنا على الكسر الكبير الأصلي ، فسيكون كل شيء على ما يرام. لا ، هذا يعني ضربي والبحث عن خطأ.

من الواضح أن المقام المشترك سيكون 24 (x-1) (x + 3) (x + 5).

يذهب:

نعم!!! احصل على الكسر الأصلي. وهو ما يجب فحصه. كل شيء بخير. لذا من فضلك لا تضربني.)

والآن نعود إلى التكامل الأصلي. لم يكن الأمر أسهل في ذلك الوقت ، نعم. ولكن الآن بعد أن تم تحليل الكسر إلى مجموع صغير ، أصبح دمجها متعة حقيقية!

انظر بنفسك! نقوم بإدخال التوسع في التكامل الأصلي.

نحن نحصل:

نستخدم خصائص الخطية ونقسم التكامل الكبير إلى مجموع صغير ، نخرج كل الثوابت خارج علامات التكامل.

نحن نحصل:

والتكاملات الصغيرة الناتجة يتم أخذها بسهولة بالفعل .

نواصل التكامل:

هذا كل شيء) ولا تسألني في هذا الدرس عن مصدر اللوغاريتمات في الإجابة! من يتذكر ، فهو في الموضوع وسيفهم كل شيء. ومن لا يتذكر - نسير على طول الروابط. أنا لا أرتديهم فقط.

الجواب النهائي:

هنا مثل هذا الثالوث الجميل: ثلاثة لوغاريتمات - جبان ، ذو خبرة وغبي. :) وحاول ، تخمين مثل هذه الإجابة الماكرة فورًا! فقط طريقة المعاملات غير المحددة هي التي تساعد ، نعم.) في الواقع ، نحن نحقق في هذا الغرض. ماذا وكيف واين.

كتمرين تدريبي ، أقترح عليك ممارسة الطريقة ودمج الكسر التالي:

تدرب ، ابحث عن التكامل ، لا تأخذها للعمل! يجب أن تحصل على إجابة مثل هذا:

طريقة المعاملات غير المحددة أمر قوي. إنه يحفظ حتى في أكثر المواقف ميؤوسًا منها ، عندما تقوم بتحويل الكسر على أي حال ، وما إلى ذلك. وهنا ، قد يكون لدى بعض القراء اليقظين والمهتمين عدد من الأسئلة:

- ماذا لو لم يتم تحليل كثير الحدود في المقام على الإطلاق؟

- كيف ينبغي للمرء أن يبحث عن توسيع أي كسر منطقي كبير إلى مجموع صغير؟ بأي شكل كان؟ لماذا في هذا وليس ذلك؟

- ماذا لو كانت هناك عوامل متعددة في توسيع المقام؟ أم أقواس في قوى مثل (x-1) 2؟ في أي شكل للبحث عن التحلل؟

- ماذا لو ، بالإضافة إلى الأقواس البسيطة من الشكل (x-a) ، يحتوي المقام في نفس الوقت على ثلاثي حدود مربع غير قابل للتحلل؟ لنفترض x 2 + 4x + 5؟ في أي شكل للبحث عن التحلل؟

حسنًا ، لقد حان الوقت لفهم دقيق من أين تنمو الساقين. في الدرس التالي).

تكامل دالة كسرية منطقية.
طريقة المعاملات غير المحددة

نواصل العمل على تكامل الكسور. لقد درسنا بالفعل تكاملات بعض أنواع الكسور في الدرس ، ويمكن اعتبار هذا الدرس بمعنى ما استمرارًا. لفهم المادة بنجاح ، يلزم توفر مهارات تكامل أساسية ، لذلك إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة التكاملات ، أي أنك إبريق شاي ، فأنت بحاجة إلى البدء بالمقال تكامل غير محدد. أمثلة الحل.

ومن الغريب أننا لن نتعامل الآن مع إيجاد التكاملات بقدر ما نتعامل مع ... حل أنظمة المعادلات الخطية. في هذا الإتصال بقوةأوصي بزيارة الدرس ، أي أنك بحاجة إلى أن تكون على دراية جيدة بطرق الاستبدال (طريقة "المدرسة" وطريقة الجمع (الطرح) لكل مصطلح لمعادلات النظام).

ما هي الدالة الكسرية الكسرية؟ بكلمات بسيطة ، دالة كسور عقلانية هي كسر في البسط ومقامه كثيرات الحدود أو نتاج كثيرات الحدود. في الوقت نفسه ، تكون الكسور أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها في المقالة. تكامل بعض الكسور.

تكامل دالة كسرية منطقية

على الفور مثال وخوارزمية نموذجية لحل تكامل دالة كسرية منطقية.

مثال 1

الخطوة 1.أول شيء نفعله دائمًا عند حل تكامل دالة كسرية منطقية هو طرح السؤال التالي: هل الكسر صحيح؟تتم هذه الخطوة شفهيًا ، وسأشرح الآن كيف:

انظر أولاً إلى البسط واكتشف ذلك شهادة عليامتعدد الحدود:

أعلى قوة في البسط هي اثنان.

انظر الآن إلى المقام واكتشف شهادة علياالمقام - صفة مشتركة - حالة. الطريقة الواضحة هي فتح القوسين وإحضار المصطلحات المتشابهة ، ولكن يمكنك القيام بذلك بسهولة كلالعثور على أعلى درجة بين قوسين

وضرب عقليًا: - إذن أعلى درجة للمقام تساوي ثلاثة. من الواضح تمامًا أننا إذا فتحنا الأقواس بالفعل ، فلن نحصل على درجة أكبر من ثلاثة.

استنتاج: أعلى قوة للبسط بشكل صارمأقل من أعلى قوة للمقام ، فسيكون الكسر صحيحًا.

إذا احتوى البسط في هذا المثال على كثير الحدود 3 ، 4 ، 5 ، إلخ. درجة ، فسيكون الكسر خاطئ - ظلم - يظلم.

الآن سننظر فقط في الدوال الكسرية المنطقية المناسبة. الحالة التي تكون فيها درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها ، سنقوم بالتحليل في نهاية الدرس.

الخطوة 2دعنا نحلل المقام. لنلقِ نظرة على المقام:

بشكل عام ، هنا بالفعل نتاج عوامل ، لكن مع ذلك ، نسأل أنفسنا: هل من الممكن توسيع شيء آخر؟ سيكون موضوع التعذيب ، بالطبع ، هو المربع ثلاثي الحدود. نحل المعادلة التربيعية:

المميز أكبر من الصفر ، مما يعني أن ثلاثي الحدود محسوب بالفعل:

قاعدة عامة: كل ما في المقام يمكن تحليله إلى عوامل

لنبدأ في اتخاذ القرار:

الخطوه 3باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور البسيطة (الأولية). الآن سيكون أكثر وضوحا.

لنلقِ نظرة على دالة التكامل الخاصة بنا:

وكما تعلمون ، فإن فكرة بديهية تتسلل بطريقة ما من خلال ذلك سيكون من الجيد تحويل الكسر الكبير إلى عدة أجزاء صغيرة. على سبيل المثال ، مثل هذا:

السؤال الذي يطرح نفسه ، هل من الممكن القيام بذلك؟ دعنا نتنفس الصعداء ، تنص النظرية المقابلة في التحليل الرياضي - إنه ممكن. مثل هذا التحلل موجود وفريد ​​من نوعه.

هناك صيد واحد فقط ، المعاملات نحن وداعالا نعرف ، ومن هنا جاء الاسم - طريقة المعاملات غير المحددة.

كنت تفكر في ذلك ، الإيماءات اللاحقة لذلك ، لا ثرثرة! سوف تهدف فقط إلى تعلمهم - لمعرفة ما هم متساوون فيه.

كن حذرا ، أشرح بالتفصيل مرة واحدة!

لنبدأ الرقص من:

في الطرف الأيسر ، نضع التعبير في المقام المشترك:

الآن نتخلص بأمان من القواسم (لأنها متشابهة):

في الجانب الأيسر ، نفتح الأقواس ، بينما لا نلمس المعامِلات المجهولة بعد:

في الوقت نفسه ، نكرر قاعدة المدرسة لضرب كثيرات الحدود. عندما كنت مدرسًا ، تعلمت أن أقول هذه القاعدة بوجه مستقيم: من أجل ضرب كثير الحدود في كثير الحدود ، عليك أن تضرب كل حد من كثير حدود واحد في كل حد من كثيرات الحدود الأخرى.

من وجهة نظر تفسير واضح ، من الأفضل وضع المعاملات بين قوسين (على الرغم من أنني شخصياً لا أفعل ذلك من أجل توفير الوقت):

نحن نؤلف نظام المعادلات الخطية.
أولاً ، نبحث عن الشهادات العليا:

ونكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الأولى للنظام:

حسنا تذكر الفروق الدقيقة التالية. ماذا سيحدث لو لم يكن الجانب الأيمن موجودًا على الإطلاق؟ قل ، هل ستظهر فقط بدون أي مربع؟ في هذه الحالة ، في معادلة النظام ، سيكون من الضروري وضع الصفر على اليمين:. لماذا الصفر؟ ولأنه على الجانب الأيمن يمكنك دائمًا أن تنسب هذا المربع بالصفر: إذا لم تكن هناك متغيرات أو (و) مصطلح حر في الجانب الأيمن ، فإننا نضع الأصفار على الجانب الأيمن من المعادلات المقابلة للنظام.

نكتب المعاملات المقابلة في المعادلة الثانية للنظام:

وأخيرًا ، المياه المعدنية ، نختار الأعضاء الأحرار.

إيه ... كنت أمزح. نكت جانبا - الرياضيات علم جاد. في مجموعة المعهد لدينا ، لم يضحك أحد عندما قالت الأستاذة المساعدة إنها ستشتت الأعضاء على طول خط الأعداد وتختار أكبرهم. لنكن جادين. على الرغم من ... من يعيش ليرى نهاية هذا الدرس سيظل يبتسم بهدوء.

النظام جاهز:

نحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى ، نعبر عنها ونستبدلها في المعادلتين الثانية والثالثة للنظام. في الواقع ، كان من الممكن التعبير عن (أو حرف آخر) من معادلة أخرى ، ولكن في هذه الحالة من المفيد التعبير عنها من المعادلة الأولى ، حيث أن هناك أصغر الاحتمالات.

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلتين الثانية والثالثة.

(3) نضيف مصطلح المعادلتين الثانية والثالثة حسب المصطلح ، مع الحصول على المساواة ، والتي تتبع ذلك

(4) نعوض في المعادلة الثانية (أو الثالثة) التي نجد ذلك منها

(5) نعوض ونحصل في المعادلة الأولى على.

إذا واجهت أي صعوبات في طرق حل النظام ، فقم بحلها في الفصل. كيف تحل نظام المعادلات الخطية؟

بعد حل النظام ، من المفيد دائمًا إجراء فحص - استبدل القيم الموجودة في كلمعادلة النظام ، ونتيجة لذلك ، يجب أن "يتقارب" كل شيء.

وصل تقريبا. تم العثور على المعاملات ، بينما:

يجب أن تبدو الوظيفة النظيفة كما يلي:

كما ترى ، كانت الصعوبة الرئيسية للمهمة هي تكوين نظام معادلات خطية (بشكل صحيح!) وحلها (بشكل صحيح!). وفي المرحلة النهائية ، كل شيء ليس بهذه الصعوبة: نستخدم خصائص الخطية للتكامل غير المحدد والتكامل. أوجه انتباهكم إلى حقيقة أنه في ظل كل من التكاملات الثلاثة لدينا وظيفة معقدة "حرة" ، تحدثت عن ميزات تكاملها في الدرس طريقة التغيير المتغير في تكامل غير محدد.

تحقق: قم بتمييز الإجابة:

تم الحصول على التكامل الأصلي ، مما يعني أنه تم العثور على التكامل بشكل صحيح.
أثناء التحقق ، كان من الضروري تقريب التعبير إلى قاسم مشترك ، وهذا ليس مصادفة. طريقة المعاملات غير المحددة وإحضار التعبير إلى قاسم مشترك هي إجراءات عكسية متبادلة.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد.

دعنا نعود إلى الكسر من المثال الأول: . من السهل ملاحظة أن جميع العوامل مختلفة في المقام. السؤال الذي يطرح نفسه ، ماذا تفعل إذا ، على سبيل المثال ، تم إعطاء هذا الكسر: ؟ هنا لدينا درجات في المقام ، أو من الناحية الرياضية ، عوامل متعددة. بالإضافة إلى ذلك ، هناك ثلاثي الحدود مربع غير قابل للتحلل (من السهل التحقق من أن مميز المعادلة سالبة ، لذلك لا يمكن تحليل ثلاثي الحدود بأي شكل من الأشكال). ماذا أفعل؟ سيبدو التوسع في مجموع الكسور الأولية مثل مع معاملات غير معروفة في الأعلى أم بطريقة أخرى؟

مثال 3

إرسال وظيفة

الخطوة 1.التحقق مما إذا كان لدينا كسر صحيح
أعلى قوة للبسط: 2
المقام الأعلى: 8
، لذا فإن الكسر صحيح.

الخطوة 2هل يمكن احتساب أي شيء في المقام؟ من الواضح لا ، كل شيء تم وضعه بالفعل. لا يتم توسيع ثلاثي الحدود المربع ليصبح منتجًا للأسباب المذكورة أعلاه. جيد. عمل أقل.

الخطوه 3دعونا نمثل دالة كسرية عقلانية كمجموع من الكسور الأولية.
في هذه الحالة ، يكون التحلل بالشكل التالي:

لنلقِ نظرة على المقام:
عند تحليل دالة كسرية عقلانية إلى مجموع كسور أولية ، يمكن تمييز ثلاث نقاط أساسية:

1) إذا احتوى المقام على عامل "وحيد" في الدرجة الأولى (في حالتنا) ، فإننا نضع معاملًا غير محدد في الأعلى (في حالتنا). الأمثلة رقم 1 ، 2 تتألف فقط من هذه العوامل "المنعزلة".

2) إذا احتوى المقام مضاعفالمضاعف ، فأنت بحاجة إلى التحلل على النحو التالي:
- وهذا يعني ، الترتيب من خلال جميع درجات "x" بالتتابع من الدرجة الأولى إلى الدرجة n. في مثالنا ، هناك عاملين متعددين: وألقِ نظرة أخرى على التحلل الذي قدمته وتأكد من تحللها تمامًا وفقًا لهذه القاعدة.

3) إذا كان المقام يحتوي على كثير حدود غير قابل للتحلل من الدرجة الثانية (في حالتنا) ، فعند التوسع في البسط ، تحتاج إلى كتابة دالة خطية مع معاملات غير محددة (في حالتنا ، مع معاملات غير محددة و).

في الواقع ، هناك أيضًا حالة رابعة ، لكنني سألتزم الصمت حيالها ، لأنها نادرة للغاية عمليًا.

مثال 4

إرسال وظيفة كمجموع الكسور الأولية ذات المعاملات غير المعروفة.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.
اتبع بدقة الخوارزمية!

إذا كنت قد اكتشفت المبادئ التي تحتاج من خلالها إلى تحليل دالة كسرية منطقية إلى مبلغ ، فيمكنك حينئذٍ كسر أي جزء من النوع قيد الدراسة تقريبًا.

مثال 5

أوجد التكامل غير المحدد.

الخطوة 1.من الواضح أن الكسر صحيح:

الخطوة 2هل يمكن احتساب أي شيء في المقام؟ يستطيع. ها هو مجموع المكعبات . تحليل المقام باستخدام صيغة الضرب المختصرة

الخطوه 3باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ، نقوم بتوسيع التكامل إلى مجموع الكسور الأولية:

لاحظ أن كثير الحدود غير قابل للتحلل (تحقق من أن المميز سالب) ، لذلك في الجزء العلوي نضع دالة خطية ذات معاملات غير معروفة ، وليس مجرد حرف واحد.

نحضر الكسر إلى قاسم مشترك:

دعونا ننشئ ونحل النظام:

(1) من المعادلة الأولى ، نعبر عنها ونستبدلها في المعادلة الثانية للنظام (هذه هي الطريقة الأكثر عقلانية).

(2) نقدم مصطلحات مماثلة في المعادلة الثانية.

(3) نضيف المعادلتين الثانية والثالثة لمصطلح النظام حسب المصطلح.

جميع الحسابات الأخرى ، من حيث المبدأ ، شفهية ، لأن النظام بسيط.

(1) نكتب مجموع الكسور وفقًا للمعاملات التي تم العثور عليها.

(2) نستخدم الخصائص الخطية للتكامل غير المحدد. ماذا حدث في التكامل الثاني؟ يمكنك العثور على هذه الطريقة في الفقرة الأخيرة من الدرس. تكامل بعض الكسور.

(3) مرة أخرى نستخدم خصائص الخطية. في التكامل الثالث ، نبدأ في تحديد مربع كامل (الفقرة قبل الأخيرة من الدرس تكامل بعض الكسور).

(4) نأخذ التكامل الثاني ، في الثالث نختار المربع الكامل.

(5) نأخذ التكامل الثالث. مستعد.

وزارة العلوم والتعليم في جمهورية باشكورتو ستان

GAOU SPO Bashkir of Architecture and Civil Engineering

خاليولين أسكات أديزيانوفيتش ،

مدرس الرياضيات بشكير

كلية العمارة والهندسة المدنية

UFA

2014

مقدمة ___________________________________________________3

الفصل أنا. الجوانب النظرية لاستخدام طريقة المعاملات غير المحددة ______________________________________________4

الفصل ثانيًا. ابحث عن حلول لمشاكل كثيرة الحدود بطريقة المعاملات غير المحددة _______________________________7

2.1. تحليل كثير الحدود _____________________ 7

2.2. 10- المهام ذات المعلمات ________________________________ 10

2.3 حل المعادلات ____________________________________14

2.4 المعادلات الوظيفية _____________________________19

الخلاصة __________________________________________________ 23

قائمة المراجع ____________________________24

طلب ________________________________________________25

مقدمة.

هذا العمل مكرس للجوانب النظرية والعملية لإدخال طريقة المعاملات غير المحددة في مقرر الرياضيات بالمدرسة. يتم تحديد أهمية هذا الموضوع من خلال الظروف التالية.

لن يجادل أحد في حقيقة أن الرياضيات كعلم لا تقف في مكان واحد ، فهي تتطور طوال الوقت ، تظهر مهام جديدة ذات تعقيد متزايد ، والتي غالبًا ما تسبب صعوبات معينة ، لأن هذه المهام عادة ما ترتبط بالبحث. في السنوات الأخيرة ، تم اقتراح مثل هذه المشكلات في أولمبياد الرياضيات في المدارس والمنطقة والجمهورية ، وهي متوفرة أيضًا في إصدارات الاستخدام. لذلك ، كانت هناك حاجة إلى طريقة خاصة تسمح بحل بعضها على الأقل بسرعة وكفاءة وبتكلفة معقولة. في هذا العمل ، يتم تقديم محتوى طريقة المعاملات غير المحددة بطريقة يسهل الوصول إليها ، والتي تستخدم على نطاق واسع في مجموعة متنوعة من مجالات الرياضيات ، من الأسئلة المدرجة في سياق مدرسة التعليم العام إلى أجزائها الأكثر تقدمًا. على وجه الخصوص ، تعتبر تطبيقات طريقة المعاملات غير المحددة في حل المشكلات باستخدام المعلمات والمعادلات المنطقية والوظيفية الكسرية مثيرة للاهتمام وفعالة بشكل خاص ؛ يمكنهم بسهولة إثارة اهتمام أي شخص مهتم بالرياضيات. الغرض الرئيسي من العمل المقترح واختيار المشاكل هو توفير فرص وافرة لصقل وتطوير القدرة على إيجاد حلول قصيرة وغير قياسية.

يتكون هذا العمل من فصلين. الأول يتعامل مع الجوانب النظرية لاستخدام

طريقة المعاملات غير المؤكدة ، في الثانية - الجوانب العملية والمنهجية لمثل هذا الاستخدام.

يحتوي ملحق العمل على شروط مهام محددة لحل مستقل.

الفصل أنا . الجوانب النظرية للاستخدامطريقة المعاملات غير المؤكدة

"الإنسان ... وُلِد ليكون سيدًا ،

سيد ، ملك الطبيعة ، ولكن الحكمة ،

الذي يحكم به لا يسلم له

منذ الولادة: يتم اكتسابها بالتعلم "

NI Lobachevsky

هناك طرق وأساليب مختلفة لحل المشكلات ، ولكن الطريقة الأكثر ملاءمة ، والأكثر فعالية ، والأصالة ، والأناقة ، وفي نفس الوقت بسيطة للغاية ومفهومة للجميع ، هي طريقة المعاملات غير المحددة. طريقة المعاملات غير المحددة هي طريقة مستخدمة في الرياضيات لإيجاد معاملات التعبيرات ، والتي يُعرف شكلها مسبقًا.

قبل النظر في تطبيق طريقة المعاملات غير المحددة لحل أنواع مختلفة من المشاكل ، نقدم عددًا من المعلومات النظرية.

دعهم يعطون

أ ن (x) = أ 0 x ن + أ 1 x ن -1 + أ 2 x ن -2 + ··· + أ ن -1 x + أ ن

ب م (x ) = ب 0 x م + ب 1 x م -1 + ب 2 x م -2 + ··· + ب م -1 x + ب م ,

كثيرات الحدود فيما يتعلق Xبأي نسبة.

نظرية. كثيرات حدود تعتمد على واحد و من نفس الوسيطة متساوية بشكل مماثل إذا وفقط إذان = م ومعاملات كل منهما هيأ 0 = ب 0 , أ 1 = ب 1 , أ 2 = ب 2 ,··· , أ ن -1 = ب م -1 , أ ن = ب م و ر. د.

من الواضح أن كثيرات الحدود المتساوية تأخذ كل القيم Xنفس القيم. على العكس من ذلك ، إذا كانت قيم كثيرات الحدود متساوية لجميع القيم X، ثم كثيرات الحدود متساوية ، أي معاملاتهم عند نفس القوىXمباراة.

لذلك ، فإن فكرة تطبيق طريقة المعاملات غير المحددة لحل المشكلات هي كما يلي.

دعنا نعلم أنه نتيجة لبعض التحولات ، يتم الحصول على تعبير عن شكل معين وأن المعاملات في هذا التعبير فقط غير معروفة. ثم يتم الإشارة إلى هذه المعاملات بالحروف وتعتبر غير معروفة. بعد ذلك ، يتم تجميع نظام المعادلات لتحديد هذه المجهول.

على سبيل المثال ، في حالة كثيرات الحدود ، تتشكل هذه المعادلات من حالة تساوي المعاملات في نفس القوى Xلاثنين من كثيرات الحدود متساوية.

سنعرض ما سبق بالأمثلة الملموسة التالية ، وسنبدأ بأبسطها.

لذلك ، على سبيل المثال ، على أساس الاعتبارات النظرية ، الكسر

يمكن تمثيلها كمجموع

، أين أ , ب و ج - المعاملات التي سيتم تحديدها. للعثور عليهم ، نساوي التعبير الثاني بالأول:

=

والتخلص من المقام وتجميع الحدود على اليسار بنفس القوى X، نحن نحصل:

(أ + ب + ج )X 2 + ( ب - ج )س - أ = 2X 2 – 5 X– 1

منذ المساواة الأخيرة يجب أن تحمل لجميع القيم X، ثم المعاملات عند نفس القوىXيجب أن يكون اليمين واليسار متماثلين. وبالتالي ، يتم الحصول على ثلاث معادلات لتحديد المعاملات الثلاثة غير المعروفة:

أ + ب + ج = 2

ب - ج = - 5

أ= 1 من أين أ = 1 , ب = - 2 , ج = 3

بالتالي،

=
,

من السهل التحقق مباشرة من صحة هذه المساواة.

لنتخيل أيضًا كسرًا

كما أ + ب
+ ج
+ د
، أين أ , ب , ج و د- معاملات عقلانية غير معروفة. مساواة التعبير الثاني بالأول:

أ + ب
+ ج
+ د
=
أو، التخلص من المقام ، وإخراج العوامل المنطقية ، حيثما أمكن ، من تحت علامات الجذور ووضع شروط متشابهة على الجانب الأيسر ، نحصل على:

(أ- 2 ب + 3 ج ) + (- أ + ب +3 د )
+ (أ + ج - 2 د )
+

+ (قبل الميلاد + د )
= 1 +
-
.

لكن مثل هذه المساواة ممكنة فقط في حالة تساوي الشروط المنطقية لكلا الجزأين والمعاملات عند نفس الراديكاليين. وهكذا ، يتم الحصول على أربع معادلات لإيجاد معاملات غير معروفة أ , ب , ج و د :

أ- 2ب + 3ج = 1

- أ + ب +3 د = 1

أ + ج - 2 د = - 1

ب - ج + د= 0 من أين أ = 0 ; ب = - ; ج = 0 ; د= ، هذا هو
= -
+
.

الباب الثاني. ابحث عن حلول لمشاكل كثيرة الحدود طريقة المعاملات غير المؤكدة.

لا شيء يساهم في استيعاب الموضوع

كيف تتصرف معه في مواقف مختلفة "

الأكاديمي B.V. Gnedenko

2. 1. تحلل كثير الحدود إلى عوامل.

طرق تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل:

1) إخراج العامل المشترك من الأقواس ؛ 2) طريقة التجميع ؛ 3) تطبيق معادلات الضرب الأساسية ؛ 4) إدخال المصطلحات المساعدة ؛ 5) التحول الأولي لكثير الحدود بمساعدة صيغ مختلفة ؛ 6) التوسع بإيجاد جذور كثير حدود معين ؛ 7) طريقة إدخال المعلمة ؛ 8) طريقة المعاملات غير المؤكدة.

المشكلة 1. حلل كثير الحدود إلى عوامل حقيقية X 4 + X 2 + 1 .

المحلول. لا توجد جذور بين القواسم على المصطلح الحر لكثير الحدود. لا يمكننا إيجاد جذور كثيرة الحدود بوسائل أولية أخرى. لذلك ، لا يمكن إجراء التمدد المطلوب بإيجاد جذور كثير الحدود أولاً. يبقى البحث عن حل للمشكلة إما عن طريق إدخال شروط مساعدة أو بطريقة المعاملات غير المحددة. من الواضح أن X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

لا تمتلك ثلاثية الحدود المربعة الناتجة جذورًا ، وبالتالي لا يمكن تحليلها إلى عوامل خطية حقيقية.

الطريقة الموصوفة بسيطة من الناحية الفنية ولكنها صعبة بسبب اصطناعها. في الواقع ، من الصعب للغاية التوصل إلى الشروط المساعدة المطلوبة. ساعدنا التخمين فقط في إيجاد هذا التحلل. ولكن

هناك طرق أكثر موثوقية لحل مثل هذه المشاكل.

يمكن للمرء المضي قدمًا على النحو التالي: افترض أن كثير الحدود المعطى يتوسع إلى منتج

(X 2 + أ X + ب )(X 2 + ج X + د )

اثنين من ثلاثي الحدود مربع مع معاملات عدد صحيح.

وهكذا ، سيكون لدينا ذلك

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + أ X + ب )(X 2 + ج X + د )

يبقى تحديد المعاملاتأ , ب , ج و د .

بضرب كثيرات الحدود على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة ، نحصل على:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (أ + ج ) X 3 + (ب + أ ج + د ) X 2 + (ميلادي + قبل الميلاد ) x + دينار بحريني .

ولكن نظرًا لأننا نحتاج إلى أن يتحول الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى نفس كثير الحدود الموجود على الجانب الأيسر ، فإننا نطلب استيفاء الشروط التالية:

أ + ج = 0

ب + أ ج + د = 1

ميلادي + قبل الميلاد = 0

دينار بحريني = 1 .

والنتيجة هي نظام من أربع معادلات بها أربعة مجاهيلأ , ب , ج و د . من السهل إيجاد معاملات من هذا النظامأ = 1 , ب = 1 , ج = -1 و د = 1.

الآن تم حل المشكلة بالكامل. حصلنا:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

المشكلة 2. حلل كثير الحدود إلى عوامل حقيقية X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

المحلول. نحن نمثل كثير الحدود في الصورة

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + أ )(X 2 + bx + ج) ، أين أ , ب و مع - معاملات غير محددة بعد. نظرًا لأن اثنين من كثيرات الحدود متساويان بشكل متماثل إذا وفقط إذا كانت المعاملات عند نفس القوىX متساوية ، إذن ، معادلة المعاملات ، على التوالي ، فيX 2 , X والمصطلحات المجانية ، نحصل على نظام من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل:

أ + ب= - 6

أب + ج = 14

أ = - 15 .

سيتم تبسيط حل هذا النظام إلى حد كبير إذا أخذنا في الاعتبار أن الرقم 3 (المقسوم على المصطلح الحر) هو جذر هذه المعادلة ، وبالتالي ،أ = - 3 ,

ب = - 3 و مع = 5 .

ثم X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

الطريقة المطبقة للمعاملات غير المحددة ، مقارنة بالطريقة المذكورة أعلاه لإدخال المصطلحات المساعدة ، لا تحتوي على أي شيء مصطنع ، ولكنها من ناحية أخرى تتطلب تطبيق العديد من الأحكام النظرية وتكون مصحوبة بحسابات كبيرة إلى حد ما. بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة الأعلى ، تؤدي طريقة المعاملات غير المحددة هذه إلى أنظمة معقدة من المعادلات.

2.2 المهام ومع المعلمات.

في السنوات الأخيرة ، تم اقتراح المهام ذات المعلمات في متغيرات الاستخدام. غالبًا ما يسبب حلهم بعض الصعوبات. عند حل المشكلات المتعلقة بالمعلمات ، جنبًا إلى جنب مع الطرق الأخرى ، من الممكن تطبيق طريقة المعاملات غير المحددة بفاعلية. هذه هي الطريقة التي تجعل حلها أسهل بكثير والحصول على إجابة بسرعة.

المهمة 3. تحديد قيم المعلمة أالمعادلة 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ - 3 = 0 له جذرين بالضبط.

المحلول. 1 الطريق. بمساعدة أحد المشتقات.

نحن نمثل هذه المعادلة في شكل وظيفتين

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – أ .

F (x) = 2 × 3 - 3 X 2 – 36 X- 3 و ( X ) = – أ .

استكشاف الوظيفةF (x) = 2 × 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 بمساعدة أحد المشتقات وإنشاء رسم بياني تخطيطي (الشكل 1.).

F( – x )F (x ) , F (– x ) – F (x ). الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.

3. أوجد النقاط الحرجة للدالة ، فترات الزيادة والنقصان ، القصوى. F / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. د (F / ) = ص ، لذلك نجد جميع النقاط الحرجة للدالة من خلال حل المعادلة F / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - 2 حسب النظرية عكس نظرية فييتا.

F / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ الأعلى - دقيقة +

2 3 x

F / (x)> 0 للجميع X< - 2 و X > 3 والوظيفة مستمرة عند النقاطس =- 2 و X = 3 ، لذلك ، تزداد في كل فترة من الفترات (- ؛ - 2] و [3 ؛ ).

F / (x ) < 0 في - 2 < X< 3 ، لذلك ، يتناقص على الفترة [- 2; 3 ].

X = - 2 نقطة كحد أقصى ، لأن في هذه المرحلة ، تتغير علامة المشتق من"+" إلى "-".

F (- 2) = 2 (- 8) - 3 4-36 (- 2) - 3 = - 16-12 + 72-3 == 72 – 31 = 41 ,

س = 3 هي النقطة الدنيا ، لأنه في هذه المرحلة تتغير علامة المشتق"-" إلى "+".

F (3) = 2 27-3 9-36 3-3 = 54-27-108-3 = - 138 + +54 = - 84.

رسم بياني للوظيفة φ (X ) = – أ هو خط مستقيم يوازي المحور x ويمر بنقطة ذات إحداثيات (0; – أ ). الرسوم البيانية لها نقطتان مشتركتان في -أ= 41 ، أي أ =- 41 و - أ= - 84 ، أي أ = 84 .

في

41 φ ( X)

2 3 X

3 F ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 طريقة. طريقة المعاملات غير المؤكدة.

نظرًا لأنه وفقًا لظروف المشكلة ، يجب أن يكون لهذه المعادلة جذرين فقط ، فإن تحقيق المساواة واضح:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ – 3 = (x + ب ) 2 (2 x + ج ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + أ – 3 = 2 x 3 + (4 ب + ج ) x 2 + (2 ب 2 + +2 قبل الميلاد ) x + ب 2 ج ,

نساوي الآن المعاملات عند نفس الأس X، نحصل على نظام المعادلات

4 ب + ج = - 3

2ب 2 + 2قبل الميلاد = - 36

ب 2 ج = أ – 3 .

نجد من المعادلتين الأوليين للنظامب 2 + ب – 6 = 0 ، من أين ب 1 = - 3 أو ب 2 = 2. قيم الاحتراممع 1 و مع 2 من السهل أن تجد من المعادلة الأولى للنظام:مع 1 = 9 أو مع 2 = - 11. أخيرًا ، يمكن تحديد القيمة المرغوبة للمعلمة من المعادلة الأخيرة للنظام:

أ = ب 2 ج + 3 , أ 1 = - 41 أو أ 2 = 84.

الجواب: هذه المعادلة لها نوعان مختلفان تمامًا

الجذر في أ= - 41 و أ= 84 .

المهمة 4. ابحث عن أكبر قيمة للمعاملأ التي المعادلةX 3 + 5 X 2 + أوه + ب = 0

ذات المعاملات الصحيحة لها ثلاثة جذور مختلفة ، أحدها - 2.

المحلول. 1 الطريق. أستعاض X= - 2 على الجانب الأيسر من المعادلة ، نحصل عليها

8 + 20 – 2 أ + ب= 0 مما يعني ب = 2 أ – 12 .

نظرًا لأن الرقم - 2 هو الجذر ، يمكنك إخراج العامل المشترك X + 2:

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + أوه + (2 أ – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + أوه + (2 أ – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (أ – 6)(x +2) - 2(أ – 6)+ (2 أ - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (أ – 6) ) .

حسب الشرط ، هناك جذران آخران للمعادلة. ومن ثم ، فإن تمييز العامل الثاني موجب.

د =3 2 - 4 (أ – 6) = 33 – 4 أ > 0 ، هذا هو أ < 8,25 .

يبدو أن الجواب سيكون أ =ثمانية . ولكن عند استبدال الرقم 8 في المعادلة الأصلية ، نحصل على:

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

أي أن المعادلة لها جذران مختلفان فقط. ولكن في أ = 7 له ثلاثة جذور مختلفة.

2 طريقة. طريقة المعاملات غير المحددة.

إذا كانت المعادلة X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = 0 له جذر X = - 2 ، يمكنك دائمًا التقاط الأرقامج و د بحيث للجميعX كانت المساواة صحيحة

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = (X + 2)(X 2 + مع x + د ).

للعثور على الأرقامج و د افتح الأقواس على الجانب الأيمن ، واكتب مصطلحات مماثلة واحصل على

X 3 + 5 X 2 + أوه + ب = X 3 + (2 + مع ) X 2 +(2 مع + د ) X + 2 د

معادلة المعاملات بالقوى المقابلة Xلدينا نظام

2 + مع = 5

2 مع + د = أ

2 د = ب , أين ج = 3 .

بالتالي، X 2 + 3 x + د = 0 , د = 9 – 4 د > 0 أو

د < 2.25 ، لذلك د (- ; 2 ].

يتم استيفاء حالة المشكلة بالقيمة د = واحد . القيمة النهائية المطلوبة للمعلمةأ = 7.

ا ن ه ر: متى أ = 7 لهذه المعادلة ثلاثة جذور مختلفة.

2.3 حل المعادلات.

"تذكر أنه عندما تحل مشاكل صغيرة ، فإنك تقوم بذلك

تعد نفسك لحل كبير وصعب

مهام."

الأكاديمي S.L.Sobolev

عند حل بعض المعادلات ، من الممكن والضروري إظهار البراعة والذكاء لتطبيق تقنيات خاصة. إن امتلاك طرق مختلفة للتحولات والقدرة على إجراء التفكير المنطقي لهما أهمية كبيرة في الرياضيات. تتمثل إحدى هذه الحيل في إضافة وطرح بعض التعبيرات أو الأرقام المختارة جيدًا. الحقيقة المعلنة نفسها ، بالطبع ، معروفة جيدًا للجميع - تكمن الصعوبة الرئيسية في أن نرى في تكوين محدد تلك التحولات في المعادلات التي يكون من المناسب تطبيقها عليها.

في معادلة جبرية بسيطة ، نوضح طريقة واحدة غير قياسية لحل المعادلات.

المشكلة 5. حل المعادلة

=
.

المحلول. اضرب طرفي هذه المعادلة في 5 وأعد كتابتها على النحو التالي

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 أو
= 0

نحل المعادلات الناتجة بطريقة المعاملات غير المحددة

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + آه + ب )(x 2 + cx + د ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (أ + ج ) X 3 + (ب + أ ج + د ) X 2 + (ميلادي + قبل الميلاد ) x ++ دينار بحريني

معادلة المعاملات في X 3 , X 2 , Xوشروط مجانية ، نحصل على النظام

أ + ج = -1

ب + أ ج + د = 0

ميلادي + قبل الميلاد = -7

دينار بحريني = -3 ، من حيث نجد:أ = -2 ; ب = - 1 ;

مع = 1 ; د = 3 .

لذا X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X- 1 = 0 أو X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
لا جذور.

وبالمثل لدينا

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

أين X 2 + 2 X + 5 = 0 , د = - 16 < 0 , нет корней.

إجابه: X 1,2 =

المشكلة 6. حل المعادلة

= 10.

المحلول. لحل هذه المعادلة ، من الضروري اختيار الأرقامأو ب بحيث يكون البسط في كلا الكسرين متماثلين. لذلك لدينا نظام:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

وبالتالي ، فإن المهمة هي التقاط الأرقامأو ب , التي من أجلها المساواة

(أ + 6) X 2 + آه- 5 = X 2 + (5 + 2 ب ) x + ب

الآن ، وفقًا لنظرية المساواة في كثيرات الحدود ، من الضروري أن يتحول الجانب الأيمن من هذه المساواة إلى نفس كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر.

بمعنى آخر ، يجب أن تصمد العلاقات

أ + 6 = 1

أ = 5 + 2 ب

– 5 = ب ، والتي نجد منها القيمأ = - 5 ;

ب = - 5 .

بهذه القيمأو ب المساواة أ + ب = - 10 صالح أيضًا.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X- 5 = 0 أو X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

إجابه: X 1,2 =
, X 3,4 =

المشكلة 7. حل المعادلة

= 4

المحلول. هذه المعادلة أكثر تعقيدًا من المعادلة السابقة ، وبالتالي نقوم بتجميعها بهذه الطريقة X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

من شرط المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود

أوه 2 + (أ + 6) X + 12 = X 2 + (ب + 11) x – 3 ب ,

نحصل ونحل نظام المعادلات لمعاملات غير معروفةأو ب :

أ = 1

أ + 6 = ب + 11

12 = – 3 ب ، أين أ = 1 , ب = - 4 .

كثيرات الحدود - 3-6X + cx 2 + 8 cxو X 2 + 21 + 12 د – DX متطابقة مع بعضها البعض فقط عندما

مع = 1

8 مع - 6 = - د

3 = 21 + 12 د , مع = 1 , د = - 2 .

للقيمأ = 1 , ب = - 4 , مع = 1 , د = - 2

المساواة
= - 4 عادل.

نتيجة لذلك ، تأخذ هذه المعادلة الشكل التالي:

= 0 أو
= 0 أو
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

من الأمثلة المدروسة ، من الواضح كيف أن الاستخدام الماهر لطريقة المعاملات غير المؤكدة ،

يساعد على تبسيط حل معادلة معقدة إلى حد ما وغير عادية.

2.4. المعادلات الوظيفية.

"الهدف الأعلى للرياضيات ... يتكون

للعثور على الترتيب المخفي في

الفوضى التي تحيط بنا

ن. وينر

المعادلات الوظيفية هي فئة عامة جدًا من المعادلات تكون فيها بعض الوظائف هي المطلوبة. تُفهم المعادلة الوظيفية بالمعنى الضيق للكلمة على أنها معادلات ترتبط فيها الوظائف المرغوبة بالوظائف المعروفة لمتغير واحد أو أكثر باستخدام عملية تكوين وظيفة معقدة. يمكن أيضًا اعتبار المعادلة الوظيفية بمثابة تعبير عن خاصية تميز فئة معينة من الوظائف

[على سبيل المثال ، المعادلة الوظيفية F ( x ) = F (- x ) يميز فئة الوظائف الزوجية ، المعادلة الوظيفيةF (x + 1) = F (x ) هي فئة الوظائف مع الفترة 1 ، إلخ.].

المعادلة من أبسط المعادلات الوظيفيةF (x + ذ ) = F (x ) + F (ذ ). الحلول المستمرة لهذه المعادلة الوظيفية لها الشكل

F (x ) = جx . ومع ذلك ، في فئة الوظائف غير المستمرة ، هذه المعادلة الوظيفية لها أيضًا حلول أخرى. المعادلة الوظيفية المدروسة متصلة

F (x + ذ ) = F (x ) · F (ذ ), F (x ذ ) = F (x ) + F (ذ ), F (x ذ ) = F (x )· F (ذ ),

الحلول المستمرة ، والتي لها شكل على التوالي

ه cx ، منlnx , x α (x > 0).

وبالتالي ، يمكن أن تعمل هذه المعادلات الوظيفية على تحديد الدوال الأسية واللوغاريتمية والطاقة.

المعادلات الأكثر استخدامًا هي المعادلات التي تكون الوظائف الخارجية في وظائفها المعقدة. تطبيقات نظرية وعملية

كانت هذه المعادلات على وجه التحديد هي التي دفعت علماء الرياضيات البارزين إلى دراستها.

فمثلا، فيمحاذاة

F 2 (x) = F (x - ذ)· F (x + ذ)

NI Lobachevskyيستخدم عند تحديد زاوية التوازي في هندسته.

في السنوات الأخيرة ، غالبًا ما يتم عرض المشكلات المتعلقة بحل المعادلات الوظيفية في الأولمبياد الرياضي. لا يتطلب حلهم معرفة تتجاوز نطاق منهج الرياضيات في مدارس التعليم العام. ومع ذلك ، فإن حل المعادلات الوظيفية غالبًا ما يسبب بعض الصعوبات.

إحدى طرق إيجاد حلول للمعادلات الوظيفية هي طريقة المعاملات غير المحددة. يمكن استخدامه عندما يمكن استخدام مظهر المعادلة لتحديد الشكل العام للوظيفة المرغوبة. ينطبق هذا ، أولاً وقبل كل شيء ، على تلك الحالات التي يجب فيها البحث عن حلول للمعادلات بين الوظائف الكاملة أو الدوال الكسرية.

دعونا نشرح جوهر هذه التقنية من خلال حل المشاكل التالية.

المهمة 8. الوظيفةF (x ) لكل أنواع x الحقيقية ومرضية للجميعX ص حالة

3 F(x) - 2 F(1- x) = x 2 .

تجدF (x ).

المحلول. بما أن على الجانب الأيسر من هذه المعادلة فوق المتغير المستقل x وقيم الدالةF يتم تنفيذ العمليات الخطية فقط ، والجانب الأيمن من المعادلة هو دالة تربيعية ، ومن الطبيعي أن نفترض أن الوظيفة المطلوبة هي أيضًا تربيعية:

F (X) = فأس 2 + bx + ج ، أينأ, ب, ج - معاملات يتم تحديدها ، أي معاملات غير محددة.

باستبدال الوظيفة في المعادلة ، نصل إلى الهوية:

3(فأس 2 + bx+ ج) – 2(أ(1 – x) 2 + ب(1 – x) + ج) = x 2 .

فأس 2 + (5 ب + 4 أ) x + (ج – 2 أ – 2 ب) = x 2 .

ستكون كثيرات الحدود متساوية إذا كانت متساوية

المعاملات بنفس قوى المتغير:

أ = 1

5ب + 4أ = 0

ج– 2 أ – 2 ب = 0.

من هذا النظام نجد المعاملات

أ = 1 , ب = - ، ج = , ايضااستوفيالمساواة

3 F (x ) - 2 F (1- x ) = x 2 في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. في نفس الوقت ، هناكx 0 المهمة 9. الوظيفةص =F(x) بالنسبة للجميع ، يتم تعريف x ومستمر ويفي بالشرطF (F (x)) – F(x) = 1 + 2 x . ابحث عن وظيفتين من هذا القبيل.

المحلول. يتم تنفيذ إجراءين على الوظيفة المطلوبة - عملية تجميع وظيفة معقدة و

الطرح. بالنظر إلى أن الجانب الأيمن من المعادلة هو دالة خطية ، فمن الطبيعي أن نفترض أن الوظيفة المطلوبة خطية أيضًا:F(x) = الفأس +ب ، أينأ وب هي معاملات غير محددة. استبدال هذه الوظيفة بF (F ( (x ) = - X - 1 ;

F 2 (x ) = 2 X+ ، وهي حلول المعادلة الوظيفيةF (F (x)) – F(x) = 1 + 2 x .

استنتاج.

في الختام ، تجدر الإشارة إلى أن هذا العمل سيساهم بالتأكيد في مزيد من الدراسة لطريقة أصلية وفعالة لحل المشكلات الرياضية المختلفة ، والتي تعد مشكلات ذات صعوبة متزايدة وتتطلب معرفة عميقة بدورة الرياضيات المدرسية وثقافة منطقية عالية كل من يريد تعميق معرفته بالرياضيات بمفرده سيجد أيضًا في هذا العمل ، مادة للتفكير ومهام شيقة ، يجلب حلها المنفعة والرضا.

في العمل ، وضمن إطار المناهج الدراسية القائمة وبصورة يمكن الوصول إليها من أجل الإدراك الفعال ، يتم تقديم طريقة المعاملات غير المحددة ، مما يساهم في تعميق مقرر الرياضيات المدرسي.

بالطبع ، لا يمكن عرض جميع احتمالات طريقة المعاملات غير المحددة في عمل واحد. في الواقع ، لا تزال الطريقة تتطلب مزيدًا من الدراسة والبحث.

قائمة الأدب المستخدم.

Glazer GI تاريخ الرياضيات في المدرسة. - M: التعليم ، 1983.

Gomonov S.A. المعادلات الوظيفية في مقرر الرياضيات المدرسي // الرياضيات في المدرسة. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V. ، Potapov MK ، Rozov N.Kh .. دليل الرياضيات. - M: Nauka ، 1972.

كوروش إيه جي المعادلات الجبرية للدرجات التعسفية .- M: Nauka ، 1983.

ليختارنيكوف إل.م مقدمة أولية للمعادلات الوظيفية. - سان بطرسبرج. : لان ، 1997.

Manturov O.V. ، Solntsev Yu.K. ، Sorokin Yu.I. ، Fedin N.G. القاموس التوضيحي للمصطلحات الرياضية.- M: التنوير ، 1971

Modenov V.P. دليل الرياضيات. الفصل الأول: جامعة موسكو الحكومية ، 1977.

Modenov V.P. مشاكل مع المعلمات .- M: Exam، 2006.

Potapov MK ، Aleksandrov V.V. ، Pasichenko P.I. الجبر وتحليل الوظائف الأولية. - M: Nauka ، 1980.

Khaliullin A.A .. من الممكن حل أسهل // الرياضيات في المدرسة. – 2003 . - №8 .

خليولين.

4. قم بتوسيع كثير الحدود 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 للمضاعفات ذات المعاملات الصحيحة.

5. بأي قيمة أ X 3 + 6X 2 + أوه+ 12 في X+ 4 ?

6. ما قيمة المعلمةأ المعادلةX 3 +5 X 2 + + أوه + ب = 0 ذات المعاملات الصحيحة لها جذران مختلفان ، أحدهما يساوي 1 ?

7. من بين جذور كثير الحدود X 4 + X 3 – 18X 2 + أوه + ب مع معاملات عدد صحيح هناك ثلاثة أعداد صحيحة متساوية. أوجد القيمة ب .

8. أوجد أكبر قيمة عدد صحيح للمعلمة أ،تحتها المعادلة X 3 – 8X 2 + آه +ب = 0 ذات المعاملات الصحيحة لها ثلاثة جذور مختلفة ، أحدها يساوي 2.

9. ما القيم أو ب قسمة بلا باق X 4 + 3X 3 – 2X 2 + أوه + ب على ال X 2 – 3X + 2 ?

10. حلل كثيرات الحدود إلى عوامل:

أ)X 4 + 2 X 2 – X + 2 في)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 ه)X 4 + 12X – 5

ب)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 ز)X 4 – 3X –2 ه)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. حل المعادلات:

أ)
= 2 = 2 F (1 – X ) = X 2 .

تجد F (X) .

13. الوظيفة في= F (X) للجميع Xمُعرَّف ومستمر ويفي بالشرط F ( F (X)) = F (X) + X.ابحث عن وظيفتين من هذا القبيل.

هذه الطريقة قابلة للتطبيق لتقليل وظائف الجبر المنطقي لأي عدد من المتغيرات.

تأمل حالة ثلاثة متغيرات. يمكن تمثيل دالة منطقية في DNF في شكل جميع أعضاء الارتباط المحتملين الذين يمكن تضمينهم في DNF:

حيث kн (0،1) معاملات. تتمثل الطريقة في اختيار المعاملات بطريقة تجعل DNF الناتج في حده الأدنى.

إذا قمنا الآن بتعيين جميع القيم الممكنة للمتغيرات من 000 إلى 111 ، فسنحصل على 2 n (2 3 = 8) معادلات لتحديد المعاملات ك:

بالنظر إلى المجموعات التي تأخذ فيها الدالة قيمة صفرية ، حدد المعاملات التي تساوي 0 ، وقم بإخراجها من المعادلات ، على الجانب الأيمن منها 1. من المعاملات المتبقية في كل معادلة ، يتم معادلة معامل واحد للوحدة التي تحدد اقتران أصغر رتبة. المعاملات المتبقية تساوي 0. إذن ، معاملات الوحدة كتحديد الشكل الأدنى المقابل.

مثال. تصغير دالة معينة

إذا كانت القيم معروفة:
;
;
;
;
;
;
;
.

المحلول.

بعد حذف المعاملات الصفرية ، نحصل على:

=1;

=1;

=1;

=1.

يساوي وحدة المعامل ، المقابلة لاقتران أصغر رتبة وتحويل المعادلات الأربعة الأخيرة إلى 1 ، وفي المعادلة الأولى ، يُنصح بمساواة المعامل بـ 1 . تم تعيين باقي المعاملات على 0.

إجابه: نوع من الوظيفة المصغرة.

وتجدر الإشارة إلى أن طريقة المعاملات غير المؤكدة تكون فعالة عندما يكون عدد المتغيرات صغيرًا ولا يتجاوز 5-6.

مكعب متعدد الأبعاد

ضع في اعتبارك تمثيل رسومي لدالة في شكل مكعب متعدد الأبعاد. كل رأس نيمكن وضع المكعب ذي الأبعاد بالتوافق مع مكون الوحدة.

المجموعة الفرعية من الرؤوس المميزة هي تعيين على نمكعب الأبعاد للدالة المنطقية من نالمتغيرات في SDNF.

لعرض الوظيفة من نالمتغيرات المقدمة في أي DNF ، من الضروري إنشاء مراسلات بين المصغرات والعناصر نمكعب الأبعاد.

Miniterm (ن -1) المرتبة
يمكن اعتباره نتيجة الإلتصاق بجلدين صغيرين نالمرتبة -th ، أي

=

على ال نمكعب الأبعاد ، وهذا يتوافق مع استبدال رأسين يختلفان فقط في قيم الإحداثيات X أناربط هذه الرؤوس بحافة (يقال أن الحافة تغطي الرؤوس الواقعة عليها).

وهكذا ، miniterms ( ن-1) -ترتيب يتوافق مع حواف المكعب ذي الأبعاد n.

وبالمثل ، فإن مراسلات miniterms ( ن-2) وجوه الترتيب نمكعب ذو أبعاد ، يغطي كل منها أربعة رؤوس (وأربعة حواف).

عناصر ن-مكعب الابعاد يتميز سالقياسات تسمى س-مكعبات.

إذن ، الرؤوس عبارة عن صفر مكعب ، والحواف هي مكعب واحد ، والوجوه مكونة من مكعبين ، وهكذا.

بإيجاز ، يمكننا القول أن المصغر ( ن- S) مرتبة في DNF للوظيفة نيتم عرض المتغيرات س-مكعب ، ولكل س-cube يغطي كل تلك المكعبات ذات الأبعاد المنخفضة التي ترتبط فقط برؤوسه.

مثال. على التين. تعيين معين

هنا miniterms
و
تتوافق مع 1 مكعبات ( س= 3-2 = 1) و miniterm X 3 تم تعيينه إلى مكعبين ( س=3-1=2).

لذا ، فإن أي DNF يخطط لـ نمجموعة مكعب الأبعاد س- المكعبات التي تغطي جميع الرؤوس المقابلة لمكونات الوحدات (0 مكعب).

الناخبين. للمتغيرات X 1 ,X 2 ,…X نالتعبير
يسمى مكون الوحدة ، و
- مكون الصفر ( يعني إما ، أو ).

هذا المكون من الوحدة (صفر) يتحول إلى وحدة (صفر) فقط بمجموعة واحدة من القيم المتغيرة المقابلة لها ، والتي يتم الحصول عليها إذا تم أخذ جميع المتغيرات مساوية لواحد (صفر) ، ونفيها - إلى صفر (واحد) .

على سبيل المثال: الوحدة المكونة
يتوافق مع المجموعة (1011) ، والصفر المكون
- مجموعة (1001).

نظرًا لأن SD (K) NF هو فصل (اقتران) لمكونات الوحدة (صفر) ، يمكن القول بأن الوظيفة المنطقية التي تمثلها F(x 1 , x 2 ,…, x ن) يصبح واحدًا (صفرًا) فقط لمجموعات من القيم المتغيرة x 1 , x 2 ,…, x نالمقابلة لهذه النسخ. في مجموعات أخرى ، تتحول هذه الوظيفة إلى 0 (واحد).

التأكيد العكسي صحيح أيضًا ، والذي بناءً عليه طريقة التمثيل كصيغة أيدالة منطقية محددة بواسطة جدول.

للقيام بذلك ، من الضروري كتابة مفارقات (ارتباطات) مكونات واحد (صفر) المقابلة لمجموعات القيم المتغيرة التي تأخذ فيها الوظيفة قيمة تساوي واحدًا (صفر).

على سبيل المثال ، الوظيفة التي يقدمها الجدول

تطابق

يمكن تحويل التعبيرات الناتجة إلى نموذج آخر بناءً على خصائص جبر المنطق.

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا تم تعيين بعض س-تغطي المكعبات مجموعة من جميع الرؤوس المقابلة لقيم الوحدة للوظيفة ، ثم الفصل المقابل لها س-مكعبات miniterms هي تعبير عن وظيفة معينة في DNF.

يقال أن مثل هذه المجموعة س- تشكل المكعبات (أو المصغرات المقابلة لها) غلافًا للوظيفة. تُفهم الرغبة في الحصول على الحد الأدنى بشكل بديهي على أنها بحث عن مثل هذا الغلاف ، الرقم س-مكعبات تكون أصغر منها وأبعادها س- أكثر. الغطاء المطابق للشكل الأدنى يسمى الحد الأدنى للغطاء.

على سبيل المثال ، للوظيفة في=
التغطية تتوافق مع النموذج غير الأدنى:

الأرز أ) في=,

الطلاءات في الشكل ب) في=
الأرز ج) في=
الحد الأدنى.

أرز. تغطية الوظيفة في=:

أ) غير الحد الأدنى ؛ ب) ، ج) الحد الأدنى.

تعيين وظيفة على ن-الأبعاد بوضوح وبساطة مع ن3. يمكن تصوير مكعب رباعي الأبعاد كما هو موضح في الشكل. ، والذي يعرض وظائف أربعة متغيرات والحد الأدنى من تغطيته المقابلة للتعبير في=

استخدام هذه الطريقة ل ن> 4 يتطلب مثل هذه الإنشاءات المعقدة التي تفقد كل مزاياها.