معنى المشتق الأول. مشتق وظيفي

فيما يلي جدول ملخص للراحة والوضوح عند دراسة الموضوع.

مستمرص = ج دالة الطاقة y = x p (س ع) "= ص س ص - 1	دالة أسيةص = س (أ س) "= أ س ل ن أ على وجه الخصوص ، متىأ = هـنملك ص = ه س (هـ) "= هـ س
دالة لوغاريتمية (log a x) "= 1 x ln a على وجه الخصوص ، متىأ = هـنملك ص = تسجيل س (ln x) "= 1 x	الدوال المثلثية (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
الدوال المثلثية العكسية (a r c sin x) "= 1 1 - x 2 (a r c cos x)" = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) "= 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = - 1 1 + x 2	الدوال الزائدية (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

دعونا نحلل كيف تم الحصول على صيغ الجدول المشار إليه ، أو بعبارة أخرى ، سنثبت اشتقاق الصيغ للمشتقات لكل نوع من الوظائف.

مشتق ثابت

إثبات 1

من أجل اشتقاق هذه الصيغة ، نأخذ كأساس تعريف مشتق دالة عند نقطة ما. نستخدم x 0 = x ، حيث xيأخذ قيمة أي رقم حقيقي ، أو بعبارة أخرى ، xهو أي رقم من مجال الوظيفة f (x) = C. لنكتب حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة كـ ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

يرجى ملاحظة أن التعبير 0 ∆ x يقع تحت علامة النهاية. لا يتعلق الأمر بارتياب "صفر مقسومًا على صفر" ، لأن البسط لا يحتوي على قيمة متناهية الصغر ، ولكنه يحتوي على صفر. بعبارة أخرى ، فإن زيادة دالة ثابتة تساوي دائمًا صفرًا.

إذن ، مشتق الدالة الثابتة f (x) = C يساوي صفرًا في مجال التعريف بأكمله.

مثال 1

إعطاء وظائف ثابتة:

و 1 (س) = 3 ، و 2 (س) = أ ، أ ∈ ص ، و 3 (س) = 4. 13 7 22 ، و 4 (س) = 0 ، و 5 (س) = - 8 7

المحلول

دعونا نصف الظروف المعطاة. في الدالة الأولى نرى مشتق العدد الطبيعي 3. في المثال التالي ، عليك أن تأخذ مشتق أ، أين أ- أي رقم حقيقي. المثال الثالث يعطينا مشتق العدد غير النسبي 4. 13 7 22 ، الرابع - مشتق الصفر (صفر عدد صحيح). أخيرًا ، في الحالة الخامسة ، لدينا مشتقة الكسر الكسري - 8 7.

إجابه:مشتقات الدوال المعطاة تساوي صفرًا لأي دالة حقيقية x(على كامل مجال التعريف)

f 1 "(x) = (3)" = 0، f 2 "(x) = (a)" = 0، a ∈ R، f 3 "(x) = 4. 13 7 22" = 0، f 4 "(س) = 0" = 0 ، و 5 "(س) = - 8 7" = 0

مشتق دالة القدرة

ننتقل إلى دالة القوة وصيغة مشتقها ، والتي لها الشكل: (x p) "= p x p - 1 ، حيث الأس صهو أي رقم حقيقي.

إثبات 2

هذا دليل على الصيغة عندما يكون الأس عددًا طبيعيًا: ص = 1 ، 2 ، 3 ، ...

مرة أخرى ، نعتمد على تعريف المشتق. لنكتب حد نسبة زيادة دالة القوة إلى زيادة الوسيطة:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

لتبسيط التعبير في البسط ، نستخدم صيغة نيوتن ذات الحدين:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

في هذا الطريق:

(x p) "= lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +.. + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 x +.. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 +.. + 0 = ص! 1! (ص - 1)! س ص - 1 = ص س ص - 1

لذلك ، أثبتنا صيغة مشتقة دالة أس عندما يكون الأس عددًا طبيعيًا.

إثبات 3

لإثبات القضية متى ص-أي رقم حقيقي غير الصفر ، نستخدم المشتق اللوغاريتمي (هنا يجب أن نفهم الفرق من مشتق الدالة اللوغاريتمية). للحصول على فهم أكثر اكتمالاً ، من المستحسن دراسة مشتق الوظيفة اللوغاريتمية والتعامل بالإضافة إلى ذلك مع مشتق دالة معينة ضمنيًا ومشتق دالة معقدة.

النظر في حالتين: متى xإيجابية ومتى xسلبية.

إذن x> 0. ثم: x p> 0. نأخذ لوغاريتم المساواة y \ u003d x p إلى القاعدة e ونطبق خاصية اللوغاريتم:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

في هذه المرحلة ، تم الحصول على وظيفة محددة ضمنيًا. دعنا نحدد مشتقها:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

الآن نحن نعتبر الحالة متى س-رقم سالب.

إذا كان المؤشر صهو رقم زوجي ، ثم يتم تعريف دالة الطاقة أيضًا لـ x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

ثم إكس بي< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

اذا كان صهو رقم فردي ، ثم يتم تعريف دالة الطاقة لـ x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \ u003d (- (- x) p)" \ u003d - ((- x) p) "\ u003d - p (- x) p - 1 (- x)" = \ u003d p (- x) ) ص - 1 = ص × ص - 1

الانتقال الأخير ممكن لأنه إذا صهو رقم فردي ، إذن ص - 1إما عدد زوجي أو صفر (ل p = 1) ، لذلك ، لسالب xالمساواة (- س) ص - 1 = س ص - 1 صحيحة.

لذا ، فقد أثبتنا صيغة مشتقة دالة قوة لأي p حقيقي.

مثال 2

وظائف معينة:

و 1 (س) = 1 × 2 3 ، و 2 (س) = س 2-1 4 ، و 3 (س) = 1 × سجل 7 12

حدد مشتقاتها.

المحلول

نقوم بتحويل جزء من الدوال المعينة إلى شكل جدولي y = x p ، بناءً على خصائص الدرجة ، ثم نستخدم الصيغة:

f 1 (x) \ u003d 1 x 2 3 \ u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \ u003d - 2 3 x - 2 3-1 \ u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \ u003d x 2-1 4 = 2-1 4 x 2-1 4-1 = 2-1 4 x 2-5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - السجل 7 12 x - السجل 7 12-1 = - السجل 7 12 x - السجل 7 12 - السجل 7 7 = - السجل 7 12 x - السجل 7 84

مشتق من الدالة الأسية

إثبات 4

نشتق صيغة المشتق بناءً على التعريف:

(أ س) "= lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

لدينا عدم اليقين. لتوسيعه ، نكتب متغيرًا جديدًا z = a ∆ x - 1 (z → 0 as ∆ x → 0). في هذه الحالة a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a. بالنسبة إلى الانتقال الأخير ، يتم استخدام صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة للوغاريتم.

لنقم باستبدال الحد الأصلي:

(a x) "= a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

تذكر الحد الرائع الثاني ثم نحصل على صيغة مشتقة الدالة الأسية:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

مثال 3

يتم إعطاء الوظائف الأسية:

و 1 (س) = 2 3 س ، و 2 (س) = 5 3 س ، و 3 (س) = 1 (هـ) س

علينا إيجاد مشتقاتهم.

المحلول

نستخدم صيغة مشتق الدالة الأسية وخصائص اللوغاريتم:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x "= 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

مشتق من دالة لوغاريتمية

إثبات 5

نقدم إثبات صيغة مشتق الدالة اللوغاريتمية لأي xفي مجال التعريف وأي قيم صالحة للقاعدة أ للوغاريتم. بناءً على تعريف المشتق ، نحصل على:

(سجل أ س) "= lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - تسجيل a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

يمكن أن نرى من سلسلة المساواة المحددة أن التحولات قد بُنيت على أساس خاصية اللوغاريتم. المساواة lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x x = e صحيحة وفقًا للحد الثاني الملحوظ.

مثال 4

يتم إعطاء الوظائف اللوغاريتمية:

و 1 (س) = السجل سجل 3 س ، و 2 (س) = تسجيل س

من الضروري حساب مشتقاتها.

المحلول

دعنا نطبق الصيغة المشتقة:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ؛ f 2 "(x) \ u003d (ln x)" \ u003d 1 x ln e \ u003d 1 x

إذن ، مشتق اللوغاريتم الطبيعي يساوي واحدًا على x.

مشتقات التوابع المثلثية

إثبات 6

نستخدم بعض الصيغ المثلثية والحد الرائع الأول لاشتقاق صيغة مشتقة الدالة المثلثية.

وفقًا لتعريف مشتق دالة الجيب ، نحصل على:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

ستسمح لنا صيغة اختلاف الجيب بتنفيذ الإجراءات التالية:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

أخيرًا ، نستخدم الحد الرائع الأول:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

إذن مشتق الدالة الخطيئة xسوف يكون كوس x.

سنثبت أيضًا صيغة مشتق جيب التمام بنفس الطريقة:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0-2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + x + x 2 x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

أولئك. مشتق الدالة cos x سيكون - الخطيئة x.

نشتق معادلات مشتقات الظل والظل بناءً على قواعد التفاضل:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يقدم القسم الخاص بمشتق الدوال العكسية معلومات شاملة عن إثبات الصيغ الخاصة بمشتقات قوس القوس ، قوس القوس ، قوس ظل الزاوية ، قوس التمام ، لذلك لن نكرر المادة هنا.

مشتقات الدوال الزائدية

إثبات 7

يمكننا اشتقاق صيغ لمشتقات الجيب الزائدي وجيب التمام والظل والظل باستخدام قاعدة التفاضل وصيغة مشتق الدالة الأسية:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h" x c h 2 x = c h 2 x - s h " 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h" x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

يمكن إخراجها من اللافتة المشتق:

(af (x) "= af" (x).

فمثلا:

مشتق من مجموع جبريعدة وظائف (مأخوذة برقم ثابت) تساوي المجموع الجبري لها المشتقات:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x)) "= f 1" (x) + f 2 "(x) - f 3" (x).

فمثلا:

(0.3 × 2 - 2 × + 0.8) "= (0.3 × 2)" - (2 ×) "+ (0.8)" = 0.6 × - 2 ( المشتقالاخير مصطلحالمعادلة صفر).

اذا كان مشتق الوظيفة g غير صفرية ، ثم نسبة f / g لها أيضًا المشتق النهائي. يمكن كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

.

يترك المهام y = f (x) و y = g (x) لها مشتقات محدودةعند النقطة × 0. ثم المهام f ± g و f g لها أيضًا المشتقات النهائية فيهذه نقطة. ثم نحصل على:

(و ± ز) ′ = و ′ ± ز ′ ،

(و ز) ′ = و ′ ز + و ز ′.

مشتق دالة معقدة.

يترك وظيفة y = f (x) لديها المشتق النهائي عند نقطة x 0 ، الدالة z = s (y) لها مشتق محدود عند النقطة y 0 = f (x 0).

ثم وظيفة معقدة z = s (f (x)) لها أيضًا مشتق محدود في هذه المرحلة. يمكن كتابة هذا في النموذج:

.

مشتق التابع العكسي.

دع الدالة y = f (x) لها وظيفة عكسيةس = ز (ص) في بعض فترة(أ ، ب) ويوجد عدد غير صفري المشتق النهائيهذه الوظيفة عند النقطة x 0 التي تنتمي إليها المجالات، بمعنى آخر. × 0 ∈ (أ ، ب).

ثم وظيفة عكسيةلديها المشتقعند النقطة y 0 = f (x 0):

.

مشتق دالة ضمنية.

اذا كان وظيفة y = f (x) معرّف ضمنيًا معادلة F (x ، y (x)) = 0 ، ثم لها المشتقتم العثور عليه من الشرط:

.

ويقولون ان وظيفةص = و (س) مجموعة ضمنيًا، لو هي متطابقةيرضي العلاقة:

حيث F (x، y) هي وظيفة من وسيطتين.

مشتق دالة معطاة حدوديًا.

اذا كان وظيفة y = f (x) تعطى حدوديًا باستخدام المعنونة

يعد اشتقاق الوظيفة من أصعب الموضوعات في المناهج الدراسية. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة ببساطة وبشكل واضح ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نكافح الآن من أجل الدقة الرياضية في العرض. أهم شيء هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الوظيفة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد برأيك ينمو الأسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل تغيير ، أي المشتق الأكبر.

هنا مثال آخر.

حصل كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

يمكنك رؤية كل شيء على الرسم البياني على الفور ، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. وزاد دخل جريشا أيضًا ، لكن قليلاً فقط. وانخفض دخل ماثيو إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها ، لكن معدل تغيير الوظيفة ، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي ، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

حدسيًا ، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغيير الوظيفة. ولكن كيف لنا أن نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر ، مدى سرعة تغير y مع x. من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها قيمة مختلفة للمشتق - أي أنها يمكن أن تتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الوظيفة بواسطة.

دعنا نوضح كيفية إيجاد ذلك باستخدام الرسم البياني.

يتم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. خذ نقطة في ذلك مع حدود الإحداثية. ارسم ظلًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقييم مدى ارتفاع منحنى الدالة. قيمة في متناول اليد لهذا ظل منحدر الظل.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل منحدر المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

يرجى ملاحظة - كزاوية ميل المماس ، نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

يسأل الطلاب أحيانًا ما هو المماس للرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له النقطة المشتركة الوحيدة مع الرسم البياني في هذا القسم ، علاوة على ذلك ، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

لنجد. نتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية يساوي نسبة الضلع المقابلة على المجاورة. من المثلث:

وجدنا المشتق باستخدام التمثيل البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المهام في امتحان الرياضيات تحت الرقم.

هناك ارتباط مهم آخر. تذكر أن المعادلة تُعطى للخط المستقيم

الكمية في هذه المعادلة تسمى منحدر خط مستقيم. إنه يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم على المحور.

.

لقد حصلنا على ذلك

لنتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر ، المشتق يساوي ظل منحدر المماس.

قلنا بالفعل أن نفس الدالة يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. دع هذه الوظيفة تزداد في بعض المناطق ، وتنخفض في مناطق أخرى ، وبمعدلات مختلفة. ودع هذه الوظيفة لها الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما ، تتزايد الوظيفة. المماس للرسم البياني ، المرسوم عند النقطة ، يشكل زاوية حادة بالاتجاه الإيجابي للمحور. إذن ، المشتق موجب عند هذه النقطة.

عند هذه النقطة ، تتناقص وظيفتنا. يشكل الظل عند هذه النقطة زاوية منفرجة مع الاتجاه الإيجابي للمحور. بما أن ظل الزاوية المنفرجة سالب ، فإن المشتق عند النقطة سالب.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة تتزايد ، فإن مشتقها يكون موجبًا.

إذا انخفض ، يكون مشتقه سالبًا.

وماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نرى أنه عند (النقطة القصوى) و (النقطة الدنيا) يكون الظل أفقيًا. إذن ، ظل مماس منحدر المماس عند هاتين النقطتين يساوي صفرًا ، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة هي الحد الأقصى. في هذه المرحلة ، يتم استبدال الزيادة في الوظيفة بنقص. وبالتالي ، تتغير علامة المشتق عند النقطة من "زائد" إلى "ناقص".

عند النقطة - النقطة الدنيا - المشتق يساوي أيضًا صفرًا ، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: بمساعدة المشتق ، يمكنك معرفة كل ما يثير اهتمامنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كان المشتق موجبًا ، فإن الدالة تتزايد.

إذا كانت المشتقة سالبة ، فإن الدالة تتناقص.

عند الحد الأقصى ، يكون المشتق صفراً ويغير إشارة من موجب إلى سالب.

عند أدنى نقطة ، يكون المشتق أيضًا صفرًا ويغير إشارة من سالب إلى موجب.

نكتب هذه النتائج في شكل جدول:

	يزيد	أقصى نقطة	النقصان	الحد الأدنى من النقاط	يزيد
+	0	-	0	+

لنقدم توضيحيين صغيرين. ستحتاج إلى واحد منهم عند حل مشاكل الامتحان. آخر - في السنة الأولى ، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

تكون الحالة ممكنة عندما يكون مشتق دالة عند نقطة ما مساويًا للصفر ، لكن الوظيفة ليس لها حد أقصى أو حد أدنى في هذه المرحلة. هذا ما يسمى ب :

عند نقطة ما ، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا والمشتق يساوي صفرًا. ومع ذلك ، قبل النقطة زادت الوظيفة - وبعد النقطة تستمر في الزيادة. لا تتغير علامة المشتق - فقد ظلت إيجابية كما كانت.

يحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الحد الأدنى ، لا يوجد المشتق. على الرسم البياني ، هذا يتوافق مع كسر حاد ، عندما يكون من المستحيل رسم ظل عند نقطة معينة.

ولكن كيف يمكن إيجاد المشتق إذا لم يتم إعطاء الدالة من خلال رسم بياني ، ولكن بواسطة صيغة؟ في هذه الحالة ، فإنه ينطبق

من المستحيل تمامًا حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات دون معرفة المشتق وطرق حسابه. يعتبر المشتق من أهم مفاهيم التحليل الرياضي. قررنا تكريس مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق ، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي ، كيف نحسب مشتقة دالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟

المعنى الهندسي والمادي للمشتق

يجب ألا تكون هناك وظيفة و (خ) ، في بعض الفترات (أ ، ب) . النقطتان x و x0 تنتمي إلى هذه الفترة. عندما تتغير x ، تتغير الوظيفة نفسها. تغيير الحجة - اختلاف قيمها x-x0 . هذا الاختلاف مكتوب كـ دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. تغيير أو زيادة دالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف مشتق:

مشتق دالة عند نقطة ما هو حد نسبة الزيادة في الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيطة عندما تميل الأخيرة إلى الصفر.

وإلا يمكن كتابتها على النحو التالي:

ما الهدف من إيجاد مثل هذا الحد؟ لكن اي واحدة:

مشتق دالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX وظل الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.

المعنى المادي للمشتق: المشتق الزمني للمسار يساوي سرعة الحركة المستقيمة.

في الواقع ، منذ أيام الدراسة ، يعلم الجميع أن السرعة مسار خاص. س = و (ر) و الوقت ر . متوسط ​​السرعة خلال فترة زمنية معينة:

لمعرفة سرعة الحركة في وقت واحد t0 تحتاج إلى حساب الحد:

القاعدة الأولى: أخرج الثابت

يمكن إخراج الثابت من علامة المشتق. علاوة على ذلك ، يجب أن يتم ذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات ، كقاعدة عامة - إذا كان بإمكانك تبسيط التعبير ، فتأكد من التبسيط .

مثال. دعنا نحسب المشتق:

القاعدة الثانية: مشتق مجموع الوظائف

مشتق مجموع وظيفتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتق اختلاف الوظائف.

لن نعطي دليلًا على هذه النظرية ، بل سننظر في مثال عملي.

أوجد مشتق دالة:

القاعدة الثالثة: مشتق حاصل ضرب التوابع

يتم حساب مشتق ناتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:

مثال: أوجد مشتق دالة:

المحلول:

من المهم هنا أن نقول عن حساب مشتقات الوظائف المعقدة. مشتق دالة معقدة يساوي منتج مشتق هذه الدالة فيما يتعلق بالحجة الوسيطة بمشتق الوسيطة فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

في المثال أعلاه ، نواجه التعبير:

في هذه الحالة ، الوسيطة الوسيطة هي 8x أس الخامس. من أجل حساب مشتق مثل هذا التعبير ، نأخذ أولاً في الاعتبار مشتق الوظيفة الخارجية فيما يتعلق بالوسيطة الوسيطة ، ثم نضرب في مشتق الوسيطة نفسها فيما يتعلق بالمتغير المستقل.

القاعدة الرابعة: مشتق حاصل قسمة وظيفتين

صيغة لتحديد مشتق حاصل قسمة وظيفتين:

حاولنا الحديث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بالبساطة التي يبدو عليها ، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة ، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.

مع أي سؤال حول هذا الموضوع وموضوعات أخرى ، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير ، سنساعدك في حل أصعب الضوابط والتعامل مع المهام ، حتى لو لم تتعامل مع حساب المشتقات من قبل.