كيفية حساب إحداثيات المتجه. ناقلات للدمى

أخيرًا ، وضعت يدي على موضوع واسع طال انتظاره الهندسة التحليلية. أولا ، قليلا عن هذا القسم من الرياضيات العليا…. من المؤكد أنك تذكرت الآن دورة الهندسة المدرسية مع العديد من النظريات ، وإثباتاتها ، ورسوماتها ، وما إلى ذلك. ما تخفيه ، موضوع غير محبوب وغامض في كثير من الأحيان لنسبة كبيرة من الطلاب. قد تبدو الهندسة التحليلية ، بشكل غريب بما فيه الكفاية ، أكثر إثارة للاهتمام ويمكن الوصول إليها. ماذا تعني صفة "تحليلي"؟ يتبادر إلى الذهن على الفور منعطفان رياضيان مختومان: "طريقة الرسم للحل" و "الطريقة التحليلية للحل". طريقة الرسم، بالطبع ، يرتبط ببناء الرسوم البيانية والرسومات. تحليلينفس طريقةينطوي على حل المشكلة في الغالبمن خلال العمليات الجبرية. في هذا الصدد ، فإن الخوارزمية الخاصة بحل جميع مشاكل الهندسة التحليلية تقريبًا بسيطة وشفافة ، وغالبًا ما تكون كافية لتطبيق الصيغ اللازمة بدقة - والإجابة جاهزة! لا ، بالطبع ، لن يتم الاستغناء عن الرسومات على الإطلاق ، بالإضافة إلى ذلك ، من أجل فهم أفضل للمواد ، سأحاول أن أجلبها أكثر من الحاجة.

لا تدعي الدورة المفتوحة للدروس في الهندسة أنها اكتمال نظري ، فهي تركز على حل المشكلات العملية. سأدرج في محاضراتي فقط ما هو مهم من وجهة نظري عمليًا. إذا كنت بحاجة إلى مرجع أكثر اكتمالاً في أي قسم فرعي ، فإنني أوصي بالأدبيات التالية التي يمكن الوصول إليها تمامًا:

1) شيء مألوف لعدة أجيال بدون مزحة: كتاب مدرسي في الهندسة، المؤلفون - إل. أتاناسيان وشركاه. لقد صمدت شماعات غرفة خلع الملابس في المدرسة بالفعل في إعادة إصدار 20 (!) ، والتي ، بالطبع ، ليست الحد الأقصى.

2) الهندسة في مجلدين. المؤلفون إل. أتاناسيان ، بازيليف ف.. هذا هو الأدب للتعليم العالي ، سوف تحتاج المجلد الأول. نادرًا ما تقع المهام التي تحدث خارج مجال رؤيتي ، وسيكون البرنامج التعليمي مفيدًا للغاية.

كلا الكتابين مجانيان للتنزيل عبر الإنترنت. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك استخدام الأرشيف الخاص بي مع الحلول الجاهزة ، والتي يمكن العثور عليها في الصفحة تنزيل أمثلة الرياضيات العليا.

من بين الأدوات ، أعرض التطوير الخاص بي مرة أخرى - حزمة البرامجفي الهندسة التحليلية ، والتي ستعمل على تبسيط الحياة بشكل كبير وتوفير الكثير من الوقت.

من المفترض أن القارئ على دراية بالمفاهيم والأشكال الهندسية الأساسية: النقطة ، الخط ، المستوى ، المثلث ، متوازي الأضلاع ، متوازي السطوح ، المكعب ، إلخ. يُنصح بتذكر بعض النظريات ، على الأقل نظرية فيثاغورس ، مرحبًا مكررات)

والآن سننظر بالتسلسل في: مفهوم المتجه ، الإجراءات ذات المتجهات ، إحداثيات المتجهات. كذلك أوصي بالقراءة أهم مقال حاصل الضرب النقطي للناقلات، إلى جانب المتجه والمنتج المختلط من النواقل. المهمة المحلية لن تكون زائدة عن الحاجة - تقسيم الجزء في هذا الصدد. بناءً على المعلومات الواردة أعلاه ، يمكنك ذلك معادلة الخط المستقيم في المستوىمع أبسط الأمثلة على الحلولالذي سيسمح تعلم كيفية حل المشاكل في الهندسة. المقالات التالية مفيدة أيضًا: معادلة مستوى في الفضاء, معادلات الخط المستقيم في الفراغ، المشاكل الأساسية على الخط والمستوى ، أقسام أخرى من الهندسة التحليلية. بطبيعة الحال ، سيتم النظر في المهام القياسية على طول الطريق.

مفهوم المتجه. ناقل حر

أولاً ، دعنا نكرر تعريف المدرسة للمتجه. المتجهاتصل توجهمقطع يشار إلى بدايته ونهايته:

في هذه الحالة ، تكون بداية المقطع هي النقطة ، ونهاية المقطع هي النقطة. يتم الإشارة إلى المتجه نفسه بواسطة. اتجاهضروري ، إذا قمت بإعادة ترتيب السهم إلى الطرف الآخر من المقطع ، فستحصل على متجه ، وهذا بالفعل ناقلات مختلفة تماما. من الملائم تحديد مفهوم المتجه مع حركة الجسم المادي: يجب أن تعترف بأن دخول أبواب المعهد أو الخروج من أبواب المعهد أمران مختلفان تمامًا.

من الملائم النظر في النقاط الفردية للطائرة ، والفضاء كما يسمى ناقل صفر. مثل هذا المتجه له نفس النهاية والبداية.

!!! ملحوظة: هنا وأدناه ، يمكنك افتراض أن المتجهات تقع في نفس المستوى أو يمكنك افتراض أنها موجودة في الفضاء - جوهر المادة المعروضة صالح لكل من المستوى والفضاء.

التعيينات:لفت الكثيرون الانتباه على الفور إلى عصا بدون سهم في التسمية وقالوا إنهم وضعوا أيضًا سهمًا في الأعلى! هذا صحيح ، يمكنك الكتابة بسهم: ، لكن مقبول و سجل سأستخدمه لاحقًا. لماذا ا؟ على ما يبدو ، تطورت هذه العادة من اعتبارات عملية ، واتضح أن الرماة في المدرسة والجامعة متنوعون للغاية وشعث. في الأدبيات التربوية ، في بعض الأحيان لا يهتمون بالكتابة المسمارية على الإطلاق ، لكنهم يسلطون الضوء على الحروف بالخط العريض: مما يعني ضمناً أن هذا ناقل.

كان هذا هو الأسلوب ، والآن عن طرق كتابة المتجهات:

1) يمكن كتابة المتجهات بحرفين لاتينيين كبيرين:
وهلم جرا. بينما الحرف الأول بالضرورةيشير إلى نقطة بداية المتجه ، والحرف الثاني يشير إلى نقطة نهاية المتجه.

2) النواقل مكتوبة أيضًا بأحرف لاتينية صغيرة:
على وجه الخصوص ، يمكن إعادة تصميم المتجه الخاص بنا للإيجاز بحرف لاتيني صغير.

طولأو وحدةيسمى المتجه غير الصفري طول المقطع. طول المتجه الصفري يساوي صفرًا. منطقيا.

يتم الإشارة إلى طول المتجه بعلامة modulo:،

كيف نجد طول المتجه ، سنتعلم (أو نكرر ، لمن كيف) بعد ذلك بقليل.

كانت تلك معلومات أولية عن الناقل ، مألوفة لجميع أطفال المدارس. في الهندسة التحليلية ، ما يسمى ب ناقل حر.

إذا كان الأمر بسيطًا جدًا - يمكن رسم المتجه من أي نقطة:

اعتدنا أن نسمي هذه المتجهات متساوية (سيتم تقديم تعريف المتجهات المتساوية أدناه) ، ولكن من وجهة نظر رياضية بحتة ، هذا هو نفس المتجه أو ناقل حر. لماذا مجاني؟ لأنه أثناء حل المشكلات ، يمكنك "إرفاق" ناقل "مدرسة" واحد أو آخر بأي نقطة من المستوي أو المساحة التي تحتاجها. هذه ملكية رائعة جدا! تخيل جزءًا موجهًا من الطول والاتجاه التعسفيين - يمكن "استنساخه" لعدد لا حصر له من المرات وفي أي نقطة في الفضاء ، في الواقع ، يوجد في كل مكان. يوجد مثل هذا الطالب: كل محاضر في f ** u في المتجه. بعد كل شيء ، إنها ليست مجرد قافية بارعة ، فكل شيء صحيح تقريبًا - يمكن إرفاق مقطع موجه هناك أيضًا. لكن لا تتسرع في الابتهاج ، فالطلاب أنفسهم يعانون في كثير من الأحيان =)

لذا، ناقل حر- هذا هو الكثير من مقاطع اتجاهية متطابقة. تعريف المدرسة للمتجه ، الوارد في بداية الفقرة: "يسمى الجزء الموجه المتجه ..." ، يعني محددمقطع موجه مأخوذ من مجموعة معينة مرتبطة بنقطة معينة في المستوى أو الفضاء.

وتجدر الإشارة إلى أنه من وجهة نظر الفيزياء ، فإن مفهوم المتجه الحر غير صحيح بشكل عام ، وموضوع التطبيق مهم. في الواقع ، فإن الضربة المباشرة من نفس القوة على الأنف أو على الجبهة كافية لتطوير نموذجي الغبي الذي يترتب عليه عواقب مختلفة. لكن، ليس حرتم العثور على النواقل أيضًا في سياق vyshmat (لا تذهب إلى هناك :)).

الإجراءات مع النواقل. العلاقة الخطية المتداخلة من النواقل

في سياق الهندسة المدرسية ، يتم النظر في عدد من الإجراءات والقواعد مع المتجهات: بالإضافة إلى قاعدة المثلث ، الجمع وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع ، قاعدة اختلاف المتجهات ، ضرب المتجه برقم ، الناتج القياسي للمتجهات ، إلخ.كبذرة ، نكرر قاعدتين مهمتين بشكل خاص لحل مشاكل الهندسة التحليلية.

حكم جمع المتجهات حسب قاعدة المثلثات

ضع في اعتبارك متجهين تعسفيين غير صفريين و:

مطلوب للعثور على مجموع هذه المتجهات. نظرًا لحقيقة أن جميع النواقل تعتبر مجانية ، فإننا نؤجل المتجه من نهايةالمتجه :

مجموع المتجهات هو المتجه. لفهم القاعدة بشكل أفضل ، يُنصح بوضع معنى مادي فيها: دع جسمًا ما يصنع مسارًا على طول المتجه ، ثم على طول المتجه. ثم يكون مجموع المتجهات هو متجه المسار الناتج بدءًا من نقطة المغادرة وينتهي عند نقطة الوصول. تمت صياغة قاعدة مماثلة لمجموع أي عدد من النواقل. كما يقولون ، يمكن للجسم أن يمضي في طريقه بشكل متعرج بقوة ، أو ربما على الطيار الآلي - على طول متجه المجموع الناتج.

بالمناسبة ، إذا تم تأجيل المتجه من بدايةمتجه ، ثم نحصل على المكافئ حكم متوازي الأضلاعإضافة نواقل.

أولاً ، حول العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات. يتم استدعاء المتجهين علاقة خطية متداخلةإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. بشكل تقريبي ، نحن نتحدث عن نواقل متوازية. ولكن فيما يتعلق بهم ، يتم دائمًا استخدام صفة "الخطية الخطية".

تخيل اثنين من النواقل الخطية. إذا كانت أسهم هذه المتجهات موجهة في نفس الاتجاه ، فسيتم استدعاء هذه المتجهات الاتجاه المشترك. إذا كانت الأسهم تبدو في اتجاهات مختلفة ، فستكون المتجهات موجه بشكل معاكس.

التعيينات:تتم كتابة العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات بأيقونة التوازي المعتادة: ، بينما يكون التفصيل ممكنًا: (يتم توجيه المتجهات بشكل مشترك) أو (يتم توجيه المتجهات بشكل معاكس).

الشغلمن متجه غير صفري برقم هو متجه طوله يساوي ، والمتجهات ويتم توجيهها بشكل مشترك نحوها وتوجيهها بشكل معاكس.

قاعدة ضرب المتجه برقم أسهل في الفهم بالصورة:

نحن نفهم بمزيد من التفصيل:

1 الاتجاه. إذا كان المضاعف سالبًا ، فإن المتجه يغير الاتجاهعلى العكس.

2) الطول. إذا كان العامل موجودًا داخل أو ، فسيكون طول المتجه النقصان. إذن ، طول المتجه أقل بمرتين من طول المتجه. إذا كان مضاعف modulo أكبر من واحد ، فسيكون طول المتجه يزيدفي الوقت المناسب.

3) يرجى ملاحظة ذلك جميع النواقل على خط واحد، بينما يتم التعبير عن متجه من خلال متجه آخر ، على سبيل المثال ،. والعكس صحيح أيضا: إذا كان من الممكن التعبير عن ناقل بمصطلحات متجه آخر ، فإن هذه النواقل تكون بالضرورة على خط واحد. في هذا الطريق: إذا ضربنا متجهًا في رقم ، نحصل على خط مستقيم(نسبة إلى الأصل) المتجه.

4) النواقل هي الاتجاهية. النواقل هي أيضا اتجاهية. أي متجه للمجموعة الأولى هو عكس أي متجه للمجموعة الثانية.

ما النواقل متساوية؟

متجهان متساويان إذا كانا اتجاهي مع نفس الطول. لاحظ أن الاتجاه المشترك يعني أن المتجهات مترابطة. سيكون التعريف غير دقيق (مكرر) إذا قلت: "متجهان متساويان إذا كانا متصلين ، ومشتركين في التوجيه ، ولهما نفس الطول."

من وجهة نظر مفهوم المتجه الحر ، المتجهات المتساوية هي نفس المتجه ، والتي تمت مناقشتها بالفعل في الفقرة السابقة.

إحداثيات المتجهات على المستوى وفي الفضاء

النقطة الأولى هي النظر في المتجهات على المستوى. ارسم نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل واتركه جانباً من الأصل غير مرتبطةناقلات و:

ناقلات و متعامد. متعامد = عمودي. أوصي بالتعود ببطء على المصطلحات: بدلاً من التوازي والعمودي ، نستخدم الكلمات على التوالي علاقة خطية متداخلةو التعامد.

تعيين:تتم كتابة المتجهات المتعامدة بالعلامة العمودية المعتادة ، على سبيل المثال:.

تسمى النواقل المدروسة ناقلات تنسيقأو orts. تتشكل هذه النواقل أساسعلى السطح. ما هو الأساس ، كما أعتقد ، واضح بشكل حدسي للكثيرين ، ويمكن العثور على معلومات أكثر تفصيلاً في المقالة الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجهبكلمات بسيطة ، يحدد أساس وأصل الإحداثيات النظام بأكمله - وهذا نوع من الأساس الذي تغلي عليه حياة هندسية كاملة وغنية.

في بعض الأحيان يتم استدعاء الأساس المركب متعامدأساس المستوى: "ortho" - لأن متجهات الإحداثيات متعامدة ، فإن صفة "التطبيع" تعني الوحدة ، أي أطوال نواقل الأساس تساوي واحد.

تعيين:عادة ما يتم كتابة الأساس بين قوسين ، بداخلهما بترتيب صارميتم سرد ناقلات الأساس ، على سبيل المثال:. تنسيق النواقل ممنوعأماكن المبادلة.

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةمعبر عنه على النحو التالي:
، أين - أعداد، والتي تسمى إحداثيات ناقلاتعلى هذا الأساس. لكن التعبير نفسه اتصل ناقلات التحللأساس .

خدم العشاء:

لنبدأ بالحرف الأول من الأبجدية:. يوضح الرسم بوضوح أنه عند تحليل المتجه من حيث الأساس ، يتم استخدام العناصر التي تم النظر فيها للتو:
1) قاعدة ضرب المتجه برقم: و ؛
2) جمع المتجهات حسب قاعدة المثلث:.

الآن ضع المتجه جانبًا عقليًا من أي نقطة أخرى على المستوى. من الواضح تمامًا أن فساده "سوف يتبعه بلا هوادة". ها هي حرية المتجه - المتجه "يحمل كل شيء معك". هذه الخاصية ، بالطبع ، صحيحة لأي ناقل. من المضحك أن المتجهات الأساسية (المجانية) نفسها لا يجب وضعها جانباً من الأصل ، يمكن رسم أحدها ، على سبيل المثال ، في أسفل اليسار ، والآخر في أعلى اليمين ، ولن يتغير شيء من هذا! صحيح ، لست مضطرًا للقيام بذلك ، لأن المعلم سيُظهر أيضًا أصالة ويرسم لك "تمريرة" في مكان غير متوقع.

المتجهات ، توضح بالضبط القاعدة الخاصة بضرب المتجه برقم ، يتم توجيه المتجه بشكل مشترك مع متجه الأساس ، ويتم توجيه المتجه عكس متجه الأساس. بالنسبة لهذه المتجهات ، فإن أحد الإحداثيات يساوي صفرًا ، ويمكن كتابته بدقة على النحو التالي:


وبالمناسبة ، فإن نواقل الأساس هي كما يلي: (في الواقع ، يتم التعبير عنها من خلال نفسها).

وأخيرًا: ،. بالمناسبة ، ما هو الطرح المتجه ، ولماذا لم أخبرك عن قاعدة الطرح؟ في مكان ما في الجبر الخطي ، لا أتذكر أين ، لاحظت أن الطرح حالة خاصة للجمع. لذلك ، توسعات المتجهات "de" و "e" مكتوبة بهدوء كمجموع: . اتبع الرسم لمعرفة مدى نجاح الإضافة القديمة الجيدة للمتجهات وفقًا لقاعدة المثلث في هذه المواقف.

اعتبر تحلل النموذج تسمى أحيانًا تحلل المتجهات في النظام أو(أي في نظام نواقل الوحدة). لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة متجه ، فالخيار التالي شائع:

أو بعلامة يساوي:

يتم كتابة نواقل الأساس نفسها على النحو التالي: و

أي أن إحداثيات المتجه موضحة بين قوسين. في المهام العملية ، يتم استخدام جميع خيارات التسجيل الثلاثة.

كنت أشك في التحدث ، لكني سأقول: لا يمكن إعادة ترتيب إحداثيات المتجهات. بدقة في المقام الأولاكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة ، بدقة في المركز الثانياكتب الإحداثي الذي يتوافق مع متجه الوحدة. في الواقع ، وهما متجهان مختلفان.

اكتشفنا الإحداثيات على الطائرة. الآن ضع في اعتبارك المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، كل شيء متماثل تقريبًا هنا! سيتم إضافة إحداثي واحد فقط. من الصعب إجراء رسومات ثلاثية الأبعاد ، لذلك سأقتصر على متجه واحد ، والذي من أجل البساطة سأؤجله من الأصل:

أي 3d ناقلات الفضاء الطريقة الوحيدةتوسع في قاعدة متعامدة:
، أين إحداثيات المتجه (الرقم) في الأساس المحدد.

مثال من الصورة: . دعونا نرى كيف تعمل قواعد الإجراء المتجه هنا. أولاً ، ضرب المتجه برقم: (سهم أحمر) ، (سهم أخضر) و (سهم أرجواني). ثانيًا ، فيما يلي مثال على إضافة عدة متجهات ، في هذه الحالة ثلاثة:. يبدأ متجه المجموع من نقطة البداية للمغادرة (بداية المتجه) وينتهي عند نقطة الوصول النهائية (نهاية المتجه).

جميع نواقل الفضاء ثلاثي الأبعاد ، بالطبع ، مجانية أيضًا ، حاول تأجيل المتجه عقليًا من أي نقطة أخرى ، وستفهم أن توسعها "يظل معها".

على غرار حالة الطائرة ، بالإضافة إلى الكتابة تُستخدم الإصدارات ذات الأقواس على نطاق واسع: إما.

إذا كان متجه إحداثي واحد (أو اثنين) مفقودًا في التوسع ، فسيتم وضع الأصفار بدلاً من ذلك. أمثلة:
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب ؛
ناقلات (بدقة ) - اكتب.

تتم كتابة ناقلات الأساس على النحو التالي:

هنا ، ربما ، هو الحد الأدنى من المعرفة النظرية اللازمة لحل مشاكل الهندسة التحليلية. ربما يوجد الكثير من المصطلحات والتعريفات ، لذا أوصي بالدمى لإعادة قراءة هذه المعلومات وفهمها مرة أخرى. وسيكون من المفيد لأي قارئ الرجوع إلى الدرس الأساسي من وقت لآخر لاستيعاب المادة بشكل أفضل. العلاقة الخطية المتداخلة ، التعامد ، الأساس المتعامد ، التحلل المتجه - غالبًا ما يتم استخدام هذه المفاهيم وغيرها فيما يلي. ألاحظ أن مواد الموقع لا تكفي لاجتياز اختبار نظري ، ندوة عن الهندسة ، حيث قمت بتشفير جميع النظريات بعناية (إلى جانب عدم وجود أدلة) - على حساب الأسلوب العلمي للعرض ، ولكن ميزة إضافية لفهمك من الموضوع. للحصول على معلومات نظرية مفصلة ، أطلب منك أن تنحني للبروفيسور أتاناسيان.

الآن دعنا ننتقل إلى الجزء العملي:

أبسط مشاكل الهندسة التحليلية.
الإجراءات مع المتجهات في الإحداثيات

المهام التي سيتم النظر فيها ، من المستحسن للغاية معرفة كيفية حلها بشكل كامل والصيغ بشكل تلقائي حفظ، لا تتذكرها حتى عن قصد ، فسوف يتذكرونها بأنفسهم =) هذا مهم جدًا ، نظرًا لأن المشكلات الأخرى في الهندسة التحليلية تستند إلى أبسط الأمثلة الأولية ، وسيكون من المزعج قضاء وقت إضافي في أكل البيادق. لا تحتاج إلى ربط الأزرار العلوية على قميصك ، فأشياء كثيرة مألوفة لك من المدرسة.

سيتبع عرض المادة مسارًا متوازيًا - سواء بالنسبة للطائرة أو في الفضاء. لسبب أن جميع الصيغ ... سترى بنفسك.

كيف تجد متجه معطى نقطتين؟

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فسيكون للمتجه الإحداثيات التالية:

هذا هو، من إحداثيات نهاية المتجهتحتاج إلى طرح الإحداثيات المقابلة بداية ناقلات.

ممارسه الرياضه:لنفس النقاط ، اكتب الصيغ لإيجاد إحداثيات المتجه. الصيغ في نهاية الدرس.

مثال 1

نظرا نقطتين في الطائرة و. ابحث عن إحداثيات متجه

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

بدلاً من ذلك ، يمكن استخدام الترميز التالي:

سوف يقرر Aesthetes مثل هذا:

أنا شخصياً معتاد على الإصدار الأول من السجل.

إجابه:

وفقًا للشرط ، لم يكن مطلوبًا بناء رسم (وهو أمر نموذجي لمشاكل الهندسة التحليلية) ، ولكن من أجل شرح بعض النقاط للدمى ، لن أكون كسولًا جدًا:

يجب أن يفهم الفرق بين إحداثيات النقطة وإحداثيات المتجهات:

إحداثيات النقطةهي الإحداثيات المعتادة في نظام إحداثيات مستطيل. أعتقد أن الجميع يعرف كيفية رسم النقاط على مستوى الإحداثيات منذ الصف 5-6. كل نقطة لها مكان محدد على متن الطائرة ، ولا يمكن نقلها إلى أي مكان.

إحداثيات نفس المتجههو توسعها فيما يتعلق بالأساس ، في هذه الحالة. أي متجه مجاني ، لذلك ، إذا رغبت في ذلك أو لزم الأمر ، يمكننا بسهولة تأجيله من نقطة أخرى في المستوى. من المثير للاهتمام ، بالنسبة للمتجهات ، لا يمكنك بناء محاور على الإطلاق ، نظام إحداثيات مستطيل ، فأنت تحتاج فقط إلى أساس ، في هذه الحالة ، أساس متعامد للطائرة.

يبدو أن سجلات إحداثيات النقاط وإحداثيات المتجهات متشابهة: و و الإحساس بالإحداثياتإطلاقا مختلف، ويجب أن تدرك جيدًا هذا الاختلاف. هذا الاختلاف ، بالطبع ، ينطبق أيضًا على الفضاء.

سيداتي وسادتي نملأ أيدينا:

مثال 2

أ) إعطاء نقاط و. البحث عن ناقلات و.
ب) يتم إعطاء النقاط و . البحث عن ناقلات و.
ج) نقاط معينة و. البحث عن ناقلات و.
د) يتم إعطاء النقاط. البحث عن نواقل .

ربما يكفي. هذه أمثلة على قرار مستقل ، حاول ألا تتجاهلها ، فستؤتي ثمارها ؛-). الرسومات غير مطلوبة. الحلول والأجوبة في نهاية الدرس.

ما هو المهم في حل مشاكل الهندسة التحليلية؟من المهم توخي الحذر الشديد لتجنب الخطأ البارع "اثنان زائد اثنان يساوي صفرًا". أعتذر مقدمًا إذا ارتكبت خطأ =)

كيف تجد طول القطعة؟

الطول ، كما لوحظ بالفعل ، يشار إليه بعلامة المقياس.

إذا تم إعطاء نقطتين من المستوى ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

إذا تم إعطاء نقطتين في الفضاء ، فيمكن حساب طول المقطع بواسطة الصيغة

ملحوظة: ستبقى الصيغ صحيحة إذا تم تبديل الإحداثيات المقابلة: ولكن الخيار الأول هو معيار أكثر

مثال 3

المحلول:وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

من أجل الوضوح ، سأقوم برسم

القطعة المستقيمة - إنه ليس ناقل، ولا يمكنك نقله إلى أي مكان ، بالطبع. بالإضافة إلى ذلك ، إذا قمت بإكمال الرسم على مقياس: 1 وحدة. \ u003d 1 سم (خليتان رباعيتان) ، ثم يمكن التحقق من الإجابة باستخدام مسطرة عادية عن طريق قياس طول المقطع مباشرة.

نعم ، الحل قصير ، لكن هناك نقطتان مهمتان فيهما أود توضيحهما:

أولاً ، في الإجابة حددنا البعد: "الوحدات". لا تذكر الحالة ما هو ، مليمترات ، سم ، أمتار ، أو كيلومترات. لذلك ، فإن الصيغة العامة ستكون حلاً مختصًا رياضيًا: "وحدات" - يُشار إليها باختصار "وحدات".

ثانياً ، دعنا نكرر المادة المدرسية ، وهي مفيدة ليس فقط للمشكلة المدروسة:

انتبه على خدعة فنية مهمة – إخراج المضاعف من تحت الجذر. كنتيجة للحسابات ، حصلنا على النتيجة والأسلوب الرياضي الجيد يتضمن إخراج العامل من تحت الجذر (إن أمكن). تبدو العملية هكذا بمزيد من التفصيل: . بطبيعة الحال ، فإن ترك الإجابة في النموذج لن يكون خطأ - لكنه بالتأكيد خطأ وحجة قوية للتلاعب من جانب المعلم.

فيما يلي بعض الحالات الشائعة الأخرى:

غالبًا ما يتم الحصول على عدد كبير بدرجة كافية من الجذر ، على سبيل المثال. كيف تكون في مثل هذه الحالات؟ في الآلة الحاسبة ، نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 4 :. نعم ، انقسم تمامًا ، وبالتالي: . أو ربما يمكن قسمة الرقم على 4 مرة أخرى؟ . في هذا الطريق: . الرقم الأخير من الرقم فردي ، لذا من الواضح أن القسمة على 4 للمرة الثالثة غير ممكنة. يحاول القسمة على تسعة:. نتيجة ل:
مستعد.

استنتاج:إذا حصلنا تحت الجذر على عدد صحيح لا يمكن استخراجه ، فإننا نحاول إخراج العامل من تحت الجذر - في الآلة الحاسبة نتحقق مما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على: 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، إلخ.

في سياق حل المشكلات المختلفة ، غالبًا ما يتم العثور على الجذور ، حاول دائمًا استخراج العوامل من تحت الجذر لتجنب انخفاض الدرجات والمشكلات غير الضرورية عند الانتهاء من الحلول وفقًا لملاحظة المعلم.

دعنا نكرر تربيع الجذور والقوى الأخرى في نفس الوقت:

يمكن العثور على قواعد الإجراءات ذات الدرجات في شكل عام في كتاب مدرسي عن الجبر ، لكنني أعتقد أن كل شيء أو كل شيء تقريبًا واضح بالفعل من الأمثلة المقدمة.

مهمة لحل مستقل مع جزء في الفضاء:

مثال 4

نقاط معينة و. أوجد طول المقطع.

الحل والجواب في نهاية الدرس.

كيف تجد طول المتجه؟

إذا تم إعطاء متجه مستوي ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة.

إذا تم إعطاء متجه الفضاء ، فسيتم حساب طوله بواسطة الصيغة .

على الإحداثي والإحداثيات تسمى المحاور إحداثيات المتجه. عادة ما يشار إلى إحداثيات المتجه في النموذج (س ، ص)، والمتجه نفسه على النحو التالي: = (س ، ص).

صيغة تحديد إحداثيات متجه للمسائل ثنائية الأبعاد.

في حالة وجود مشكلة ثنائية الأبعاد ، يكون المتجه معروفًا إحداثيات النقطة أ (× 1 ؛ ص 1)و ب(x 2 ; ذ 2 ) يمكن حسابها:

\ u003d (× 2 - × 1 ؛ ص 2 - ص 1).

صيغة تحديد إحداثيات متجه للمشكلات المكانية.

في حالة وجود مشكلة مكانية ، يكون المتجه معروفًا إحداثيات النقطةأ (× 1 ؛ ص 1 ؛ض 1 ) وب (x 2 ; ذ 2 ; ض 2 ) يمكن حسابها باستخدام الصيغة:

= (x 2 - x 1 ; ذ 2 - ذ 1 ; ض 2 - ض 1 ).

تقدم الإحداثيات وصفًا شاملاً للمتجه ، حيث يمكن إنشاء المتجه نفسه من الإحداثيات. معرفة الإحداثيات ، فمن السهل حساب و طول النواقل. (الخاصية 3 أدناه).

ناقلات تنسيق الخصائص.

1. أي ناقلات متساويةفي نظام إحداثيات واحد ديك إحداثيات متساوية.

2. الإحداثيات ناقلات خطيةمتناسب. بشرط ألا يساوي أي من المتجهات صفرًا.

3. مربع طول أي متجه يساوي مجموع مربعاته إحداثيات.

4. عند إجراء العملية ناقلات الضربعلى ال عدد حقيقيكل إحداثياتها مضروبة في هذا الرقم.

5. أثناء عملية إضافة المتجه ، نحسب مجموع المقابل إحداثيات ناقلات.

6. منتج عدديمن متجهين يساوي مجموع حاصل ضرب إحداثيات كل منهما.

العثور على إحداثيات المتجه هو حالة شائعة إلى حد ما للعديد من المشاكل في الرياضيات. ستساعدك القدرة على العثور على إحداثيات المتجه في مشاكل أخرى أكثر تعقيدًا مع مواضيع مماثلة. في هذه المقالة ، سننظر في صيغة إيجاد إحداثيات متجه والعديد من المهام.

إيجاد إحداثيات متجه في مستو

ما هي الطائرة؟ المستوى هو مساحة ثنائية الأبعاد ، مساحة ذات بعدين (البعد x والبعد y). على سبيل المثال ، الورق مسطح. سطح الطاولة مسطح. أي شكل غير حجمي (مربع ، مثلث ، شبه منحرف) هو أيضًا مستوى. وبالتالي ، إذا كان من الضروري في حالة المشكلة إيجاد إحداثيات متجه يقع على مستوى ، فإننا نتذكر على الفور x و y. يمكنك العثور على إحداثيات هذا المتجه على النحو التالي: إحداثيات AB للمتجه = (xB - xA ؛ yB - xA). يمكن أن نرى من الصيغة أنه يجب طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.

مثال:

• يبدأ متجه القرص المضغوط بإحداثيات (5 ؛ 6) وينتهي (7 ؛ 8).
• أوجد إحداثيات المتجه نفسه.
• باستخدام الصيغة أعلاه ، نحصل على التعبير التالي: CD = (7-5 ​​؛ 8-6) = (2 ؛ 2).
• وبالتالي ، فإن إحداثيات متجه القرص المضغوط = (2 ؛ 2).
• وفقًا لذلك ، إحداثي x يساوي اثنين ، وإحداثي y يساوي اثنين أيضًا.

إيجاد إحداثيات متجه في الفضاء

ما هو الفضاء؟ الفضاء هو بالفعل بُعد ثلاثي الأبعاد ، حيث يتم إعطاء 3 إحداثيات: x ، y ، z. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد متجه موجود في الفضاء ، فإن الصيغة لا تتغير عمليًا. يضاف إحداثي واحد فقط. للعثور على المتجه ، تحتاج إلى طرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية. AB = (xB - xA ؛ yB - yA ؛ zB - zA)

مثال:

• يحتوي Vector DF على مبدئي (2 ؛ 3 ؛ 1) ونهائي (1 ؛ 5 ؛ 2).
• بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على: إحداثيات المتجه DF = (1-2 ؛ 5-3 ؛ 2-1) = (-1 ؛ 2 ؛ 1).
• تذكر أن قيمة الإحداثيات يمكن أن تكون سالبة ولا مشكلة في ذلك.

كيف تجد إحداثيات المتجهات على الإنترنت؟

إذا كنت لا ترغب في العثور على الإحداثيات بنفسك لسبب ما ، فيمكنك استخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت. أولاً ، اختر أبعاد المتجه. أبعاد المتجه هي المسؤولة عن أبعادها. البعد 3 يعني أن المتجه في الفضاء ، والبعد 2 يعني أنه موجود على المستوى. بعد ذلك ، أدخل إحداثيات النقاط في الحقول المناسبة وسيحدد البرنامج إحداثيات المتجه نفسه. كل شيء بسيط للغاية.

بالنقر فوق الزر ، سيتم تمرير الصفحة تلقائيًا لأسفل وتعطيك الإجابة الصحيحة مع خطوات الحل.

يوصى بدراسة هذا الموضوع جيدًا ، لأن مفهوم المتجه موجود ليس فقط في الرياضيات ، ولكن أيضًا في الفيزياء. يدرس طلاب كلية تقنية المعلومات أيضًا موضوع المتجهات ، ولكن على مستوى أكثر تعقيدًا.

الهندسة التحليلية

		أسبوع	التقدير للوحدة بالنقاط
		وحدة التحكم
			أقصى		الحد الأدنى
الفصل الدراسي 1
DZ №1 ، الجزء 1
DZ №1 ، الجزء 2
تحكم Modulo رقم 1
نقاط مكافأة
تحكم Modulo رقم 2
نقاط مكافأة

الأنشطة الرقابية وتوقيت تنفيذها الوحدة 1

1. DZ No. 1 part 1 "Vector Algebra" الموعد النهائي لإصدار 2 أسابيع ، الموعد النهائي - 7 أسابيع

2. DZ رقم 1 ، الجزء 2 "خطوط وطائرات"

فترة التسليم أسبوع واحد ، وفترة التسليم - 9 أسابيع

3. Modulo control No. 1 (RK No. 1) "Vector الجبر والخطوط والطائرات." الموعد النهائي - 10 أسابيع

1. DZ No. 2 "المنحنيات والأسطحالطلب الثاني "فترة الإصدار 6 أسابيع ، ومدة التسليم - 13 أسبوعًا

5. اختبر "المنحنيات والأسطحالترتيب الثاني. الموعد النهائي - 14 أسبوعًا

6. وحدة التحكم رقم 2 (RK No. 2) "مصفوفات وأنظمة المعادلات الجبرية الخطية"

الموعد النهائي - 16 أسبوعًا

المهام النموذجية المستخدمة في تشكيل خيارات التحكم الحالية

1. الواجب المنزلي رقم 1. "الجبر المتجه والهندسة التحليلية"

معطى: النقاط أ (0 ؛ 3 ؛ 2) ، ب (1 ؛ 4 ؛ 2) ، د (0 ؛ 1 ؛ 2) ،			أ (1 ؛ 2 ؛ 0) ؛ أرقام أ 30 ،				ب 1 ؛ ركن
1. أوجد طول المتجه |		ن | ، إذا			p aq ،	ن ب ف	و p ، q هي وحدة

المتجهات ، الزاوية التي بينها متساوية.

2. أوجد إحداثيات النقطة M قسمة المتجه AB بالنسبة إلى a: 1.

3. تحقق مما إذا كان ذلك ممكنًا على النواقليبني كل من AB و AD متوازي أضلاع. إذا كانت الإجابة بنعم ، فأوجد أطوال أضلاع متوازي الأضلاع.

4. أوجد الزوايا بين قطري متوازي الأضلاع ABCD.

5. أوجد مساحة متوازي الأضلاع ABCD.

6. تأكد من النواقل AB ، AD ، AA 1 يمكنك بناء خط متوازي. أوجد حجم خط الموازي هذا وطول ارتفاعه.

7. ابحث عن إحداثيات متجه AH ، موجه على طول ارتفاع خط الموازي ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، مرسومًا من النقطة A إلى المستوى الأساسي A 1 B 1 C 1 D 1 ،

تتطابق إحداثيات النقطة H وإحداثيات متجه الوحدة في الاتجاه مع المتجه AH.

8. أوجد تحلل المتجهآه بالمتجهات AB ، AD ، AA 1.

9. أوجد إسقاط متجهه إلى ناقلات AA 1.

10. اكتب معادلات المستويات: أ) مرورًا بالنقاط أ ، ب ، د ؛

ب) مرور P1 عبر النقطة A والخط A1 B1 ؛

ج) مرور P2 عبر النقطة A1 الموازية للمستوى P ؛ د) تحتوي السطر P3 على السطر AD و AA1 ؛

هـ) مرور P4 عبر النقطتين A و C1 عموديين على المستوى P.

11. أوجد المسافة بين السطور التي تقع عليها الحواف AB و CCواحد ؛ اكتب المعادلات الكنسية والبارامترية للمشترك العمودي عليها.

12. أوجد النقطة A 2 ، متناظرة مع النقطة A1 بالنسبة لمستوى القاعدة

13. أوجد الزاوية بين الخط الذي يقع عليه القطر أ 1 C ، والمستوى الأساسي ABCD.

14. أوجد الزاوية الحادة بين المستويين ABC 1 D (المستوى P) و ABB1 A1 (المستوى P1).

2. الواجب المنزلي # 2. "منحنيات وسطوح من الدرجة الثانية"

في المشاكل من 1 إلى 2 ، يتم تقليل المعادلة المحددة لخط الدرجة الثانية إلى الشكل المتعارف عليه ويتم إنشاء المنحنى في نظام إحداثيات OXY.

في المهمة 3 ، باستخدام البيانات المعطاة ، ابحث عن معادلة المنحنى في نظام إحداثيات OXY. للمهام 1-3 تشير إلى:

1) الشكل الكنسي لمعادلة الخط ؛

2) تحويل النقل الموازي المؤدي إلى الشكل الكنسي ؛

3) في حالة القطع الناقص: نصف المحور ، الانحراف ، المركز ، الرؤوس ، البؤر ، المسافات من النقطة C إلى البؤر ؛ في حالة القطع الزائد: نصف المحور ، الانحراف المركزي ، المركز ، الرؤوس ، البؤر ، المسافات من النقطة C إلى البؤر ، معادلات الخطوط المقاربة ؛ في حالة القطع المكافئ: المعلمة ، الرأس ، التركيز ، معادلة الدليل ، المسافات من النقطة C إلى البؤرة والدليل ؛

4) بالنسبة للنقطة C ، تحقق من الخاصية التي تميز نوعًا معينًا من المنحنيات كموقع النقاط.

في في المشكلة 4 ، أشر إلى تحويل الترجمة المتوازي الذي يقلل من معادلة السطح المحددة إلى الشكل المتعارف عليه ، والصيغة المتعارف عليها لمعادلة السطح ، ونوع السطح. أنشئ سطحًا في نظام الإحداثيات المتعارف عليه OXYZ.

	5 × 2 ص 2 20 × 2 ص 4 ، ج (0 ؛ 1				2) 5 × 2 4y 2 20 × 8 ص 64 ، ج (12 ؛ 14).
		5) ;
	القطع المكافئ متماثل بالنسبة للخط المستقيم y 1 0 ، له تركيز							; 1 ,
	يعبر محور OX عند النقطة C.				؛ 0 ، وتقع فروعه في نصف المستوى	× 0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0.

Modulo control No. 1 "ناقلات الجبر. الهندسة التحليلية"

1. ثلاثة أضعاف اليمين واليسار من النواقل. تعريف الناتج التبادلي للناقلات. صياغة خصائص المنتج المتجه للمتجهات. اشتق معادلة لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين معطى بإحداثياتهما على أساس متعامد.

ثلاثة أبعاد

م ن ،

م ن ،

1 ، م ، ن

يمكن،

ناقلات التحلل

ج 3 ط

12j6k

ثلاثة أبعاد

3 ي 2 ك و ب 2 ط 3 ي 4 ك.

اكتب معادلة للمستوى

يمر بالنقاط M 1 5 ، 1 ، 4 ،

م 2 2 و 3.1 و

عمودي على المستوى

6x 5y 4z 1 0. ضع المعادلات الأساسية

خط مستقيم يمر بالنقطة M 0 0 ، 2،1 ومتعامد مع المستوى الموجود.

اختبار "منحنيات وأسطح من الدرجة الثانية"

1. تعريف القطع الناقص كموقع النقاط. اشتقاق المعادلة الأساسية للقطع الناقص في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل. المعالم الرئيسية للمنحنى.

2. معادلة السطح x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 تؤدي إلى الكنسي

عقل _ يمانع. قم بعمل رسم في نظام الإحداثيات المتعارف عليه. حدد اسم هذا السطح.

3. اكتب معادلة للقطع الزائد متساوي المحور إذا كان مركزه O 1 1 ، 1 وأحد بؤرته F 1 3 ، 1 معروفًا. جعل الرسم.

Modulo control No. 2 “منحنيات وأسطح من الدرجة الثانية. مصفوفات وأنظمة المعادلات الجبرية الخطية »

1. أنظمة متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). أشكال كتابة متجانسة SLAE. دليل على وجود معيار لوجود حلول غير صفرية لـ SLAE متجانس.

2. حل معادلة المصفوفة AX B ،

قم بإجراء شيك.

3. أ) حل SLAE. ب) إيجاد نظام أساسي عادي لحلول النظام المتجانس المقابل ، حل خاص للنظام غير المتجانس ؛ اكتب من خلالهم الحل العام لهذا النظام غير المتجانس:

× 1 2 × 2 3 × 3 4 × 4 4 × 2 × 3 × 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 × 2 3 × 3 × 4 3

أسئلة للتحضير لعناصر تحكم الوحدة والاختبارات والاختبارات والامتحانات

1. ناقلات هندسية. ناقلات مجانية. تعريف المتجهات الخطية والمتحدة المستوية. العمليات الخطية على النواقل وخصائصها.

2. تعريف الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي للناقلات. دليل على شروط الاعتماد الخطي 2 و 3 ناقلات.

3. تعريف الأساس في فضاءات النواقل V1، V2، V3. إثبات النظرية على وجود وتفرد توسع المتجه من حيث الأساس. العمليات الخطية على المتجهات المعطاة بواسطة إحداثياتها في الأساس.

4. تعريف المنتج القياسي للمتجهات ، وصلته بالإسقاط المتعامد للمتجه على المحور. خصائص المنتج العددي وإثباتها. اشتقاق معادلة حساب الناتج القياسي للمتجهات على أساس متعامد.

5. تعريف الأساس المتعامد. العلاقة بين إحداثيات متجه في أساس متعامد وإسقاطاته المتعامدة على متجهات هذا الأساس. اشتقاق الصيغ لحساب طول المتجه وجيب التمام في اتجاهه والزاوية بين متجهين على أساس متعامد.

6. ثلاثة أضعاف اليمين واليسار من النواقل. تعريف الناتج المتقاطع للمتجهات ومعناه الميكانيكي والهندسي. عبر خصائص المنتج (بدون doc-va). اشتقاق معادلة حساب الضرب التبادلي على أساس متعامد.

7. تعريف المنتج المختلط من النواقل. حجم خط الموازي وحجم الهرم ، مبنيان على متجهات غير مستوية. شرط التوافق لثلاثة نواقل. خصائص المنتج المختلط. اشتقاق معادلة حساب المنتج المختلط على أساس متعامد.

8. تعريف نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. حل أبسط مشاكل الهندسة التحليلية.

9. أنواع مختلفة من معادلات الخط المستقيم على المستوى: متجه ، حدودي ، أساسي. متجه الاتجاه مستقيم.

10. اشتقاق معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معينتين.

11. دليل على النظرية القائلة بأن معادلة الدرجة الأولى تحدد خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على مستوى. تعريف المتجه الطبيعي للخط المستقيم.

12. معادلة بمعامل الميل ، معادلة الخط المستقيم "في مقاطع". المعنى الهندسي للمعلمات المدرجة في المعادلات. الزاوية بين خطين. شروط التوازي والعمودي لخطين من خلال المعادلات العامة أو الكنسي.

13. اشتقاق صيغة المسافة من نقطة إلى خط على مستوى.

14. دليل على النظرية القائلة بأنه في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل في الفضاء ، تحدد معادلة الدرجة الأولى المستوى. المعادلة العامة للطائرة. تعريف المتجه الطبيعي للطائرة. اشتقاق معادلة مستوى يمر بثلاث نقاط معينة. معادلة المستوى "في مقاطع".

15. الزاوية بين الطائرات. شروط التوازي والعمودي لطائرتين.

16. اشتقاق صيغة المسافة من نقطة إلى مستوى.

17. المعادلات العامة للخط المستقيم في الفراغ. اشتقاق المعادلات المتجهية والمتعارف عليها والبارامترية لخط مستقيم في الفراغ.

18. الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء ، وظروف التوازي والعمودية لخطين مستقيمين. شروط انتماء سطرين إلى نفس المستوى.

19. الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى ، شروط التوازي والعمودية لخط مستقيم ومستوى. حالة الانتماء إلى خط مستقيم لمستوى معين.

20. مشكلة إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة أو المتوازية.

21. تعريف القطع الناقص كموقع النقاط. اشتقاق المعادلة الأساسية للقطع الناقص.

22. تعريف القطع الزائد كموقع من النقاط. اشتقاق المعادلة الأساسية للقطع الزائد.

23. تعريف القطع المكافئ كموقع النقاط. اشتقاق معادلة القطع المكافئ الكنسي.

24. تعريف السطح الأسطواني. المعادلات المتعارف عليها للأسطح الأسطوانيةالترتيب الثاني.

25. مفهوم سطح الثورة. المعادلات المتعارف عليها للأسطح المتكونة من دوران القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

26. المعادلات المتعارف عليها للقطع الناقص والمخروط. دراسة شكل هذه الأسطح بطريقة المقطع.

27. المعادلات المتعارف عليها للقطب الزائدية. التحقيق في شكل hyperboloids بطريقة الأقسام.

28. المعادلات المتعارف عليها للبارابولويدات. التحقيق في شكل القطع المكافئ بطريقة المقاطع.

29. مفهوم المصفوفة. أنواع المصفوفات. مصفوفة المساواة. العمليات الخطية على المصفوفات وخصائصها. تبديل المصفوفة.

30. ضرب المصفوفة. خصائص عملية ضرب المصفوفة.

31. تعريف معكوس المصفوفة. دليل على تفرد معكوس المصفوفة. دليل على نظرية المصفوفة العكسية لحاصل ضرب مصفوفتين مقلوبتين.

32. معيار وجود المصفوفة المعكوسة. مفهوم المصفوفة المرتبطة ، ارتباطها بالمصفوفة العكسية.

33. اشتقاق معادلات كرامر لحل نظام المعادلات الخطية بمصفوفة مربعة غير مولدة.

34. الاعتماد الخطي والاستقلال الخطي لصفوف (أعمدة) المصفوفة. دليل على معيار الاعتماد الخطي للصفوف (الأعمدة).

35. تعريف مصفوفة قاصر. ثانوي أساسي. نظرية الأساس الصغرى (بدون doqua). إثبات النتيجة الطبيعية للمصفوفات المربعة.

36. طريقة التهذيب القصر لإيجاد مرتبة المصفوفة.

37. التحولات الأولية لصفوف (أعمدة) المصفوفة. إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة التحويلات الأولية.

38. نظرية ثوابت رتبة المصفوفة في ظل التحولات الأولية. إيجاد مرتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية.

39. نظم المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). أشكال مختلفة من الكتابة SLAE. المفصل وغير المفصل SLAE. دليل على معيار Kronecker-Kapeli لتوافق SLAE.

40. أنظمة متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). خصائص حلولهم.

41. تعريف نظام أساسي للحلول (FSR) لنظام متجانس من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). نظرية حول بنية الحل العام لـ SLAE متجانس. بناء FSR.

42. أنظمة غير متجانسة من المعادلات الجبرية الخطية (SLAE). إثبات النظرية على بنية الحل العام لـ SLAE غير المتجانس.

حدث التحكم	عدد المهام	نقاط للمهمة
DZ №1 ، الجزء 1
النقاط المسجلة
حدث التحكم	عدد المهام	نقاط للمهمة
DZ №1 ، الجزء 2
النقاط المسجلة

حدث التحكم				عدد المهام			نقاط للمهمة
تحكم Modulo رقم 1				1 نظرية و 3 مشاكل			النظرية - 0 ؛ 3 ؛ 6
							المهام - 0 ؛ واحد؛ 2
			النقاط المسجلة
حدث التحكم				عدد المهام			نقاط للمهمة
	النقاط المسجلة
حدث التحكم				عدد المهام			نقاط للمهمة
				1 نظرية و 3 مشاكل			النظرية - 0 ؛ 3 ؛ 6
							المهام - 0 ؛ واحد؛ 2
			النقاط المسجلة
						01 نظرية و 3 مشاكل			النظرية - 0 ؛ 3 ؛ 6
		المهام - 0 ؛ واحد؛ 2
			النقاط المسجلة

قواعد التسجيل في المجلة

1. نقاط لـ DZ. يتم تعيين نقاط DZ في الأسبوع التالي بعد تاريخ الاستحقاق ، وفقًا للجدول المقابل. يحق للطالب تقديم مهام فردية للتحقق قبل الموعد النهائي وتصحيح الأخطاء التي لاحظها المعلم ، مع تلقي النصيحة اللازمة. إذا قام الطالب بحلول الموعد النهائي لتقديم DZ بإحضار حل المشكلة إلى الخيار الصحيح ، فسيتم منحه الحد الأقصى من النقاط لهذه المهمة. بعد الموعد النهائي لتقديم DZ ، يمكن للطالب الذي لم يسجل الحد الأدنى من الدرجات لـ DZ أن يواصل العمل في المهمة. في نفس الوقت ، في حالة النجاح في العمل ، يتم منح الطالب الحد الأدنى من الدرجات لـ DZ.

2. نقاط ل CR. إذا لم يصل الطالب إلى الحد الأدنى من الدرجات للسجل التجاري في الوقت المحدد ، فيمكنه إعادة كتابة هذا العمل مرتين خلال الفصل الدراسي. مع نتيجة إيجابية (مجموعة من النقاط لا تقل عن الحد الأدنى المحدد) ، يُمنح الطالب الحد الأدنى من الدرجات لـ KR.

3. نقاط لـ "تحكم modulo".بصفته "عنصر تحكم نموذجي" ، تم اقتراح عمل مكتوب يتكون من أجزاء نظرية وعملية. يتم تقييم كل جزء من وحدة التحكم بشكل منفصل. يعتبر الطالب الذي حصل على علامة لا تقل عن الحد الأدنى في أحد أجزاء عنصر التحكم قد اجتاز هذا الجزء ويتم تحريره من تنفيذه في المستقبل. وفقًا لتقدير المعلم ، يمكن إجراء مقابلة حول الجزء النظري من المهمة. إذا لم يسجل الطالب الحد الأدنى لكل جزء من العمل ، فعندئذٍ خلال الفصل الدراسي يكون لديه محاولتان لكل جزء لتصحيح الوضع. بإيجابية

نتيجة لذلك (مجموعة من النقاط لا تقل عن الحد الأدنى المحدد) ، يُمنح الطالب الحد الأدنى من الدرجات لـ "التحكم في الوحدة".

4. الدرجة لكل وحدة.إذا أكمل الطالب جميع أنشطة التحكم الحالية للوحدة (سجل على الأقل الحد الأدنى من الدرجات المحددة) ،

ثم تقييم الوحدة هو مجموع النقاط لجميع أنشطة التحكم للوحدة (في هذه الحالة ، يسجل الطالب تلقائيًا الحد الأدنى على الأقل). يتم إدخال النقاط النهائية للوحدة في المجلة بعد الانتهاء من جميع أنشطة الرقابة.

5. مجموع النقاط. مجموع النقاط لوحدتين.

6. التقييم. يتم إجراء الشهادة النهائية (امتحان ، اختبار متمايز ، اختبار) بناءً على نتائج العمل في الفصل الدراسي بعد أن يكمل الطالب المقدار المخطط له من العمل الدراسي ويتلقى تقييمًا لكل وحدة لا يقل عن الحد الأدنى المحدد. الحد الأقصى للدرجات لجميع الوحدات ، بما في ذلك درجات الاجتهاد ، هو 100 ، والحد الأدنى هو 60. يشكل مجموع الدرجات لجميع الوحدات درجة تصنيف الانضباط للفصل الدراسي. يحصل الطالب الذي اجتاز جميع إجراءات الرقابة على الدرجة النهائية في الانضباط للفصل الدراسي وفقًا للمقياس:

		درجة الامتحان ،	التقييم عند الإزاحة
		ترتيب متباين
		بشكل مرضي
		غير مرض

يمكنك زيادة تقييمك ، وبالتالي ، درجة الامتحان في الاختبار النهائي (يتم تنفيذ العمل الكتابي على مادة الانضباط ككل أثناء جلسة الاختبار) ، والحد الأقصى هو 30 ، والحد الأدنى هو 16. يتم تلخيص هذه النقاط مع النقاط التي تم الحصول عليها لجميع الوحدات في الانضباط. في نفس الوقت ، من أجل رفع الدرجة إلى "جيد" للامتحان ، يجب على الطالب أن يسجل 21 نقطة على الأقل ، إلى "ممتاز" 26 نقطة على الأقل. بالنسبة للتخصصات التي يتم توفير الائتمان لها عن طريق الانضباط ، لا تتم زيادة التصنيف. يحصل الطلاب الذين حصلوا على تصنيف في النطاق من 0-59 بحلول بداية جلسة الاختبار على الحد الأدنى المطلوب للحصول على درجة إيجابية في النظام من خلال استعادة أحداث التحكم التي لم يتم احتسابها مسبقًا للوحدات الفردية. في الوقت نفسه ، يمكن للطلاب الذين ليس لديهم سبب وجيه أن يحصلوا في نهاية المطاف (بنهاية جلسة الاختبار) على درجة لا تزيد عن "مرضٍ".