إذا كان الغرض من النمذجة واضحا، فستنشأ المهمة التالية - مهمة البناء نموذج رياضي. في هذه المرحلة، تتم ترجمة الافتراضات الأولية إلى لغة واضحة لا لبس فيها للعلاقات الكمية ويتم حذف العبارات أو التعريفات الغامضة والملتبسة، والتي يمكن استبدالها، ربما، بعبارات تقريبية ولكن واضحة لا تسمح بتفسيرات مختلفة.

يتم بناء النموذج الرياضي بالتسلسل التالي:

1) اختيار نوع النماذج والنماذج الفرعية؛

2) تصميم هيكل وتكوين النماذج (النماذج الفرعية)؛

3) تطوير النماذج الفرعية الفردية؛

4) تجميع النموذج ككل؛

5) تحديد معلمات النموذج وإعداد البيانات الأولية؛

6) التحقق من موثوقية نموذج النظام.

في المرحلتين الفرعيتين الأولى والثانية، يتم إضفاء الطابع الرسمي على وصف النظام: يتم إنشاء هيكله والتبعيات الهامة بين العناصر. وتتمثل المهمة الرئيسية لهاتين المرحلتين الفرعيتين في الحصول على وصف رياضي للعمليات في النظام المحاكى ومكوناته مخطط الكتلةوالتي يجب أن تكون مطابقة للمخطط التفصيلي للنظام الصناعي.

إذا كان النظام معقدًا للغاية، فإن عملية عمل النظام تنقسم في البداية إلى عمليات فرعية منفصلة ومستقلة إلى حد ما. وبالتالي، ينقسم النموذج وظيفيًا إلى نماذج فرعية، يمكن تقسيم كل منها بدوره إلى عناصر أصغر.

من السمات المميزة للنموذج الذي تم إنشاؤه بشكل صحيح أنه يكشف فقط عن تلك الأنماط التي يحتاجها الباحث ولا يأخذ في الاعتبار خصائص النظام , ليس ضروريا ل هذه الدراسة. وتجدر الإشارة إلى أن الأصل والنموذج يجب أن يكونا متشابهين في بعض الخصائص ومختلفين في البعض الآخر في آن واحد، مما يتيح لنا تسليط الضوء على أهم الخصائص التي يتم دراستها.

يتكون تطوير النماذج الفرعية الفردية من تجميع وصفها الرياضي: في إنشاء اتصالات بين معلمات العملية وتحديد حدودها وشروطها الأولية، وكذلك في إضفاء الطابع الرسمي على العملية في شكل نظام من العلاقات الرياضية التي تميز الكائن قيد الدراسة ( العملية التكنولوجية). عند تجميع الوصف الرياضي، يتم استخدام المنهج النظري أو الإحصائي (انظر القسم 2.2.4).

عند تنفيذ هذه المرحلة، من المهم بشكل خاص اختيار نموذج رياضي بالحد الأدنى المطلوب من التعقيد. إذا تم تشكيل نموذج لنظام معقد ببساطة عن طريق الجمع بين نماذج كاملة من الأنظمة الفرعية ذات المستوى الأدنى، فقد ينشأ عدم التناسب بين الدقة المطلوبة والتعقيد الفعلي للنموذج. يمكن القضاء على هذا التفاوت عن طريق تقليص نماذج المستوى الأدنى (بعد دراسة مستقلة مفصلة لها). الخيارات الممكنةهذه الخشونة هي:

تخفيض الأوصاف التفصيلية لعملية متعددة المكونات إلى المكون الرئيسي مع عوامل التصحيح؛

توحيد الدول ومراحل العمليات؛

تقريب التبعيات المحددة؛

حساب متوسط ​​خصائص العمليات بناءً على حججها؛

تجميد المعلمات المتغيرة ببطء.

انخفاض متطلبات دقة التكرار؛

إهمال الاعتماد المتبادل للمتغيرات؛

بالنسبة للعلاقات الرياضية المشتقة، في المرحلة الفرعية التالية، يتم تحديد معلماتها. حاليًا، يتم استخدام طرق مختلفة لتقدير المعلمات على نطاق واسع: طريقة المربعات الصغرى، وطريقة الاحتمالية القصوى، وتقديرات بايزي، وتقديرات ماركوف.

إعداد البيانات الأولية يتكون من جمع ومعالجة نتائج ملاحظات النظام قيد الدراسة. تتكون المعالجة في حالة نموذجية من بناء وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية المقابلة أو حساب الخصائص العددية للتوزيعات. سيتم استخدام هذه البيانات الأولية، التي تم الحصول عليها نتيجة البحث على نظام حقيقي، كمعلمات نموذجية عند تنفيذها على جهاز كمبيوتر.

يعد التحقق من موثوقية نموذج النظام هو أول الفحوصات التي يتم إجراؤها في مرحلة تنفيذ النموذج. لأن النموذج هو وصف تقريبي لعملية عمل النظام الحقيقي , ثم حتى يتم إثبات موثوقية النموذج , لا يمكن القول أنه بمساعدتها سيتم الحصول على نتائج تتطابق مع تلك التي يمكن الحصول عليها خلال تجربة واسعة النطاق مع نظام حقيقي . ولذلك فإن تحديد صلاحية النموذج يحدد درجة الثقة في النتائج التي حصلت عليها طريقة النمذجة. إن اختبار النموذج في المرحلة الفرعية قيد النظر يجب أن يجيب على السؤال إلى أي مدى يعكس المخطط المنطقي لنموذج النظام والعلاقات الرياضية المستخدمة تصميم النموذج الذي تم تشكيله في المرحلة الأولى. وفي الوقت نفسه يتم التحقق من إمكانية حل المشكلة، ودقة انعكاس التصميم في المخطط المنطقي، واكتمال المخطط المنطقي للنموذج، وصحة العلاقات الرياضية المستخدمة.

فقط بعد أن يقتنع المطور بالتحقق المناسب من صحة كل هذه الأحكام يمكننا أن نعتبر أن المخطط المنطقي المطور لنموذج النظام مناسبة لمزيد من العمل على تنفيذ النموذج على الكمبيوتر.

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

عمل جيدإلى الموقع">

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

وثائق مماثلة

أهمية الرياضيات في حياتنا. تاريخ الحساب. التطوير الحالي لأساليب الرياضيات الحسابية. استخدام الرياضيات في العلوم الأخرى، الدور النمذجة الرياضية. حالة تعليم الرياضيات في روسيا.

تمت إضافة المقال في 01/05/2010


المفاهيم الأساسية للنمذجة الرياضية، وخصائص مراحل إنشاء نماذج مشاكل تخطيط الإنتاج ومشاكل النقل؛ النهج التحليلي والبرنامجي لحلها. طريقة Simplex لحل المشكلات البرمجة الخطية.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 12/11/2011


عملية اختيار أو بناء نموذج لدراسة خصائص معينة للأصل تحت ظروف معينة. مراحل عملية النمذجة. النماذج الرياضية وأنواعها. كفاية النماذج الرياضية. التناقض بين الأصل والنموذج.

تمت إضافة الاختبار في 10/09/2016


جوهر النمذجة الرياضية. النماذج الرياضية التحليلية والمحاكاة. التحليلات الهندسية والحركية والقوة لآليات أجهزة الرفع والربط. حساب استقرار الوحدة الزراعية المتنقلة.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 18/12/2015


النمذجة الرياضية للمشاكل نشاطات تجاريةباستخدام مثال نمذجة عملية اختيار المنتج. طرق ونماذج البرمجة الخطية (تحديد خطة الإنتاج اليومية للمنتجات التي تضمن أقصى دخل من المبيعات).

تمت إضافة الاختبار في 16/02/2011


الرياضيات أداة قوية ومرنة للغاية لدراسة العالم من حولنا. دور الرياضيات في القطاع الصناعيوالبناء والطب وحياة الإنسان. مكانة النمذجة الرياضية في إنشاء النماذج المعمارية المختلفة.

تمت إضافة العرض بتاريخ 31/03/2015


المراحل الرئيسية للنمذجة الرياضية - وصف تقريبي لفئة من الظواهر أو الأشياء العالم الحقيقيفي لغة الرياضيات. طرق ترميز المعلومات. بناء جهاز يسمح لك بترجمة كود مورس إلى كود الآلة.

تمت إضافة الدورة التدريبية في 28/06/2011


تطبيق نظام MathCAD في حل المسائل التطبيقية ذات الطبيعة التقنية. الوسائل الأساسية للنمذجة الرياضية. حل المعادلات التفاضلية. استخدام نظام MathCad في تنفيذ النماذج الرياضية للدوائر الكهربائية.

تمت إضافة أعمال الدورة في 17/11/2016

محاضرة 1.

الأساسيات المنهجية للنمذجة

الوضع الحالي لمشكلة نمذجة النظام

مفاهيم النمذجة والمحاكاة

النمذجةيمكن اعتباره استبدال الكائن قيد الدراسة (الأصلي) بصورته التقليدية أو وصفه أو كائن آخر يسمى نموذجوتقديم سلوك قريب من الأصل في إطار افتراضات معينة وأخطاء مقبولة. يتم إجراء النمذجة عادة بهدف فهم خصائص الأصل من خلال دراسة نموذجه، وليس الكائن نفسه. بالطبع، تكون النمذجة مبررة عندما تكون أسهل من إنشاء الأصل نفسه، أو عندما يكون من الأفضل لسبب ما عدم إنشاء الأصل على الإطلاق.

تحت نموذجيُفهم على أنه كائن مادي أو مجرد، تكون خصائصه مشابهة إلى حد ما لخصائص الكائن قيد الدراسة، وفي هذه الحالة، يتم تحديد متطلبات النموذج من خلال المشكلة التي يتم حلها والوسائل المتاحة. هناك عدد من المتطلبات العامة للنماذج:

2) الاكتمال – تزويد المتلقي بجميع المعلومات اللازمة

عن الكائن؛

3) المرونة - القدرة على إعادة إنتاج المواقف المختلفة في كل شيء

مجموعة من التغييرات في الظروف والمعلمات؛

4) يجب أن يكون تعقيد التطوير مقبولاً بالنسبة للموجود

الوقت والبرمجيات.

النمذجةهي عملية بناء نموذج لجسم ما ودراسة خصائصه من خلال دراسة النموذج.

وبالتالي، تتضمن النمذجة مرحلتين رئيسيتين:

1) تطوير النموذج.

2) دراسة النموذج واستخلاص النتائج.

وفي الوقت نفسه، في كل مرحلة يتم تحديد ذلك مهام مختلفةويتم استخدامها

طرق ووسائل مختلفة بشكل أساسي.

في الممارسة العملية يستخدمون أساليب مختلفةالنمذجة. اعتمادا على طريقة التنفيذ، يمكن تقسيم جميع النماذج إلى فئتين كبيرتين: الفيزيائية والرياضية.

نمذجة الرياضياتوعادة ما تعتبر وسيلة لدراسة العمليات أو الظواهر باستخدام نماذجها الرياضية.

تحت النمذجة الماديةيشير إلى دراسة الأشياء والظواهر على النماذج الفيزيائية، عندما يتم إعادة إنتاج العملية قيد الدراسة مع الحفاظ عليها الطبيعة الفيزيائيةأو استخدام ظاهرة فيزيائية أخرى مشابهة لتلك التي تتم دراستها. حيث النماذج الماديةكقاعدة عامة، يفترضون التجسيد الحقيقي لتلك الخصائص الفيزيائية للأصل والتي تعتبر مهمة في موقف معين، على سبيل المثال، عند تصميم طائرة جديدة، يتم إنشاء نموذج بالحجم الطبيعي له نفس الخصائص الديناميكية الهوائية؛ عند التخطيط لمشروع ما، يقوم المهندسون المعماريون بعمل نموذج يعكس الترتيب المكاني لعناصره. في هذا الصدد، تسمى أيضًا النمذجة الفيزيائية النماذج الأولية.

نمذجة نصف العمرهي دراسة للأنظمة التي يمكن التحكم فيها في مجمعات النمذجة مع تضمين معدات حقيقية في النموذج. إلى جانب المعدات الحقيقية، يشتمل النموذج المغلق على محاكيات للتأثيرات والتداخلات، ونماذج رياضية للبيئة الخارجية والعمليات التي لا يوجد لها وصف رياضي دقيق بما فيه الكفاية. إن إدراج معدات حقيقية أو أنظمة حقيقية في دائرة نمذجة العمليات المعقدة يجعل من الممكن تقليل عدم اليقين المسبق واستكشاف العمليات التي لا يوجد لها وصف رياضي دقيق. باستخدام النمذجة شبه الطبيعية، يتم إجراء البحث مع الأخذ في الاعتبار الثوابت الزمنية الصغيرة والخطيات المتأصلة في المعدات الحقيقية. عند دراسة النماذج باستخدام معدات حقيقية، يتم استخدام هذا المفهوم محاكاة ديناميكية، أثناء البحث أنظمة معقدةوالظواهر - تطوري, تقليدو النمذجة السيبرانية.

من الواضح أن الفائدة الحقيقية للنمذجة لا يمكن الحصول عليها إلا إذا تم استيفاء شرطين:

1) يوفر النموذج عرضًا صحيحًا (كافيًا) للخصائص

الأصلي، المهم من وجهة نظر العملية قيد الدراسة؛

2) يتيح لك النموذج التخلص من المشكلات المذكورة أعلاه المتأصلة

إجراء البحوث على الأشياء الحقيقية.

2. المفاهيم الأساسية للنمذجة الرياضية

يتم حل المشكلات العملية باستخدام الأساليب الرياضية بشكل متسق من خلال صياغة المشكلة (تطوير نموذج رياضي)، واختيار طريقة لدراسة النموذج الرياضي الناتج، وتحليل النتيجة الرياضية التي تم الحصول عليها. عادةً ما يتم تقديم الصياغة الرياضية للمشكلة في شكل صور هندسية، ووظائف، وأنظمة معادلات، وما إلى ذلك. يمكن تمثيل وصف كائن (ظاهرة) باستخدام الأشكال الرياضية المستمرة أو المنفصلة أو الحتمية أو العشوائية وغيرها.

نظرية النمذجة الرياضيةيضمن تحديد أنماط حدوث الظواهر المختلفة في العالم المحيط أو تشغيل الأنظمة والأجهزة عن طريق وصفها الرياضي ونمذجتها دون إجراء اختبارات واسعة النطاق. وفي هذه الحالة، يتم استخدام أحكام وقوانين الرياضيات التي تصف الظواهر أو الأنظمة أو الأجهزة المحاكية عند مستوى معين من المثالية.

النموذج الرياضي (مم)هو وصف رسمي لنظام (أو عملية) في بعض اللغات المجردة، على سبيل المثال، في شكل مجموعة من العلاقات الرياضية أو مخطط خوارزمي، أي. أي وصف رياضي يوفر محاكاة لتشغيل الأنظمة أو الأجهزة على مستوى قريب بدرجة كافية من سلوكها الحقيقي الذي تم الحصول عليه أثناء الاختبار الشامل للأنظمة أو الأجهزة.

يصف أي MM كائنًا أو ظاهرة أو عملية حقيقية بدرجة معينة من التقريب للواقع. يعتمد نوع MM على طبيعة الكائن الحقيقي وعلى أهداف الدراسة.

نمذجة الرياضياتتعد الظواهر الاجتماعية والاقتصادية والبيولوجية والفيزيائية والأشياء والأنظمة والأجهزة المختلفة من أهم الوسائل لفهم الطبيعة وتصميم مجموعة واسعة من الأنظمة والأجهزة. هناك أمثلة معروفة للاستخدام الفعال للنمذجة في إنشاء التقنيات النووية وأنظمة الطيران والفضاء والتنبؤ بالظواهر الجوية والمحيطات والطقس وما إلى ذلك.

ومع ذلك، فإن مثل هذه المجالات الخطيرة للنمذجة غالبًا ما تتطلب أجهزة كمبيوتر فائقة السرعة وسنوات من العمل من قبل فرق كبيرة من العلماء لإعداد البيانات للنمذجة وتصحيح الأخطاء. ومع ذلك، في هذه الحالة، فإن النمذجة الرياضية للأنظمة والأجهزة المعقدة لا توفر المال في البحث والاختبار فحسب، بل يمكنها أيضًا القضاء على الكوارث البيئية - على سبيل المثال، تسمح لك بالتخلي عن الأسلحة النووية والصناعية. الأسلحة النووية الحراريةلصالح النمذجة الرياضية أو اختبار أنظمة الطيران قبل رحلاتها الفعلية، وفي الوقت نفسه، النمذجة الرياضية على مستوى حل المشكلات الأبسط، على سبيل المثال، من مجال الميكانيكا والهندسة الكهربائية والإلكترونيات وهندسة الراديو والعديد من مجالات العلوم الأخرى. وأصبحت التكنولوجيا متاحة الآن للعمل على أجهزة الكمبيوتر الحديثة. وعند استخدام النماذج المعممة، يصبح من الممكن محاكاة أنظمة معقدة إلى حد ما، على سبيل المثال، أنظمة وشبكات الاتصالات، أنظمة الرادار أو الملاحة الراديوية.

الغرض من النمذجة الرياضيةهو تحليل العمليات الحقيقية (في الطبيعة أو التكنولوجيا) باستخدام الأساليب الرياضية. وهذا بدوره يتطلب إضفاء الطابع الرسمي على عملية MM المراد دراستها. يمكن أن يكون النموذج عبارة عن تعبير رياضي يحتوي على متغيرات يشبه سلوكها سلوك النظام الحقيقي أفعال اثنين أو أكثر"اللاعبون"، كما هو الحال في نظرية اللعبة؛ أو قد يمثل متغيرات حقيقية لأجزاء مترابطة من نظام التشغيل.

يمكن تقسيم النمذجة الرياضية لدراسة خصائص الأنظمة إلى تحليلية ومحاكاة ومجتمعة. في المقابل، تنقسم MMs إلى محاكاة وتحليلية.

النمذجة التحليلية

ل النمذجة التحليليةومن المميزات أن عمليات عمل النظام مكتوبة في شكل علاقات وظيفية معينة (المعادلات الجبرية والتفاضلية والتكاملية). يمكن دراسة النموذج التحليلي باستخدام الطرق التالية:

1) التحليلية، عندما يجتهدون في الحصول عليها منظر عامالتبعيات الواضحة لخصائص النظام؛

2) عددي، عندما لا يكون من الممكن إيجاد حل للمعادلات بشكل عام ويتم حلها لبيانات أولية محددة؛

3) النوعي، في حالة عدم وجود حل يتم العثور على بعض خصائصه.

لا يمكن الحصول على النماذج التحليلية إلا للأنظمة البسيطة نسبيًا. بالنسبة للأنظمة المعقدة، غالبا ما تنشأ مشاكل رياضية كبيرة. ولتطبيق الطريقة التحليلية، قاموا بتبسيط كبير للنموذج الأصلي. ومع ذلك، فإن البحث باستخدام نموذج مبسط يساعد في الحصول على نتائج إرشادية فقط. تعكس النماذج التحليلية بشكل صحيح رياضيا العلاقة بين متغيرات ومعلمات المدخلات والمخرجات. لكن بنيتها لا تعكس البنية الداخلية للكائن.

أثناء النمذجة التحليلية، يتم عرض نتائجها في شكل تعبيرات تحليلية. على سبيل المثال، عن طريق الاتصال آر سي.- الدائرة إلى المصدر الجهد المستمر ه(ر, جو ه- مكونات هذا النموذج)، يمكننا إنشاء تعبير تحليلي لاعتماد الجهد على الوقت ش(ر) على المكثف ج:

هذه المعادلة التفاضلية الخطية (DE) هي النموذج التحليلي لهذه الدائرة الخطية البسيطة. حلها التحليلي، في ظل الحالة الأولية ش(0) = 0، وهذا يعني مكثف مفرغ جفي بداية النمذجة، يسمح لك بالعثور على الاعتماد المطلوب - في شكل صيغة:

ش(ر) = ه(1− السابقص(- ر/RC)). (2)

ومع ذلك، حتى في هذا المثال الأبسط، هناك حاجة إلى بذل جهود معينة لحل DE (1) أو للتطبيق أنظمة الرياضيات الحاسوبية(SCM) مع الحسابات الرمزية – أنظمة الجبر الحاسوبية. في هذه الحالة التافهة تمامًا، يتم حل مشكلة النمذجة الخطية آر سي.-الدائرة تعطي تعبيرًا تحليليًا (2) بشكل عام إلى حد ما - وهي مناسبة لوصف تشغيل الدائرة لأي تقييمات للمكونات ر, جو ه، ويصف الشحنة الأسية للمكثف جمن خلال المقاوم رمن مصدر جهد ثابت ه.

وبطبيعة الحال، تبين أن إيجاد الحلول التحليلية أثناء النمذجة التحليلية له قيمة كبيرة لتحديد الأنماط النظرية العامة للدوائر والأنظمة والأجهزة الخطية البسيطة، ومع ذلك، فإن تعقيدها يزداد بشكل حاد حيث تصبح التأثيرات على النموذج أكثر تعقيدًا وترتيب وعدد العناصر معادلات الحالة التي تصف زيادة الكائن النموذجي. يمكنك الحصول على نتائج أكثر أو أقل وضوحًا عند نمذجة كائنات من الدرجة الثانية أو الثالثة، ولكن مع الترتيب الأعلى، تصبح التعبيرات التحليلية مرهقة للغاية ومعقدة ويصعب فهمها. على سبيل المثال، حتى مكبر الصوت الإلكتروني البسيط غالبًا ما يحتوي على عشرات المكونات. ومع ذلك، فإن العديد من أنظمة SCM الحديثة، على سبيل المثال، أنظمة الرياضيات الرمزية القيقب، الرياضياتأو البيئة ماتلاب، قادرون على أتمتة الحل إلى حد كبير المهام المعقدةالنمذجة التحليلية.

أحد أنواع النمذجة هو النمذجة الرقمية،والتي تتمثل في الحصول على البيانات الكمية اللازمة عن سلوك الأنظمة أو الأجهزة بأي طريقة عددية مناسبة، مثل طريقة أويلر أو رونج كوتا. من الناحية العملية، تبين أن نمذجة الأنظمة والأجهزة غير الخطية باستخدام الطرق العددية أكثر فعالية من النمذجة التحليلية للدوائر أو الأنظمة أو الأجهزة الخطية الفردية الخاصة. على سبيل المثال، لحل أنظمة DE (1) أو DE لأكثر من الحالات الصعبةلا يمكن الحصول على حل في شكل تحليلي، ولكن باستخدام بيانات المحاكاة العددية يمكن الحصول على بيانات كاملة إلى حد ما عن سلوك الأنظمة والأجهزة المحاكاة، بالإضافة إلى إنشاء رسوم بيانية للتبعيات تصف هذا السلوك.

نمذجة المحاكاة

في تقليد 10 والنمذجة، تقوم الخوارزمية التي تنفذ النموذج بإعادة إنتاج عملية عمل النظام مع مرور الوقت. تتم محاكاة الظواهر الأولية التي تشكل العملية، مع الحفاظ على بنيتها المنطقية وتسلسل الأحداث مع مرور الوقت.

الميزة الرئيسية لنماذج المحاكاة مقارنة بالنماذج التحليلية هي القدرة على حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

تسهل نماذج المحاكاة مراعاة وجود عناصر منفصلة أو مستمرة، وخصائص غير خطية، وتأثيرات عشوائية، وما إلى ذلك. ولذلك، تستخدم هذه الطريقة على نطاق واسع في مرحلة تصميم الأنظمة المعقدة. الوسيلة الرئيسية لتنفيذ نمذجة المحاكاة هي الكمبيوتر، الذي يسمح بالنمذجة الرقمية للأنظمة والإشارات.

وفي هذا الصدد دعونا نحدد عبارة " النمذجة الحاسوبية"، والذي يستخدم بشكل متزايد في الأدب. لنفترض ذلك النمذجة الحاسوبيةهي النمذجة الرياضية باستخدام تكنولوجيا الكمبيوتر. وبناءً على ذلك، تتضمن تكنولوجيا النمذجة الحاسوبية القيام بالإجراءات التالية:

1) تحديد الغرض من النمذجة؛

2) تطوير النموذج المفاهيمي.

3) إضفاء الطابع الرسمي على النموذج؛

4) تنفيذ البرمجيات للنموذج؛

5) تخطيط التجارب النموذجية.

6) تنفيذ الخطة التجريبية.

7) تحليل وتفسير نتائج النمذجة.

في نمذجة المحاكاةيستنسخ MM المستخدم خوارزمية ("المنطق") لعمل النظام قيد الدراسة مع مرور الوقت لمجموعات مختلفة من قيم معلمات النظام والبيئة الخارجية.

مثال على أبسط نموذج تحليلي هو معادلة الحركة المنتظمة المستقيمة. عند دراسة مثل هذه العملية باستخدام نموذج المحاكاة، ينبغي تنفيذ ملاحظة التغيرات في المسار الذي تم قطعه مع مرور الوقت. ومن الواضح أنه في بعض الحالات تكون النمذجة التحليلية أكثر تفضيلاً، وفي حالات أخرى - المحاكاة (أو مزيج من الاثنين معا). للقيام باختيار ناجح، تحتاج إلى الإجابة على سؤالين.

ما هو الغرض من النمذجة؟

إلى أي فئة يمكن تصنيف الظاهرة المنمذجة؟

يمكن الحصول على إجابات هذين السؤالين خلال المرحلتين الأوليين من النمذجة.

تتوافق نماذج المحاكاة ليس فقط في الخصائص، ولكن أيضًا في البنية مع الكائن النموذجي. في هذه الحالة، هناك مراسلات واضحة لا لبس فيها بين العمليات التي تم الحصول عليها في النموذج والعمليات التي تحدث في الكائن. عيب المحاكاة هو أن حل المشكلة يستغرق وقتًا طويلاً للحصول على دقة جيدة.

نتائج نمذجة المحاكاة لتشغيل النظام العشوائي هي تطبيقات المتغيرات العشوائيةأو العمليات. لذلك، للعثور على خصائص النظام، هناك حاجة إلى التكرار المتعدد ومعالجة البيانات اللاحقة. في أغلب الأحيان في هذه الحالة، يتم استخدام نوع من المحاكاة - إحصائية

النمذجة(أو طريقة مونت كارلو)، أي. استنساخ العوامل العشوائية والأحداث والكميات والعمليات والمجالات في النماذج.

بناءً على نتائج النمذجة الإحصائية، يتم تحديد تقديرات معايير الجودة الاحتمالية، العامة والخاصة، التي تميز أداء وكفاءة النظام المُدار. تستخدم النمذجة الإحصائية على نطاق واسع لحل المشكلات العلمية والتطبيقية في مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا. تستخدم أساليب النمذجة الإحصائية على نطاق واسع في دراسة الأنظمة الديناميكية المعقدة، وتقييم أدائها وكفاءتها.

تعتمد المرحلة الأخيرة من النمذجة الإحصائية على المعالجة الرياضية للنتائج التي تم الحصول عليها. هنا، يتم استخدام طرق الإحصاء الرياضي (التقدير البارامترى وغير البارامترى، اختبار الفرضيات). مثال على المقدر البارامترى هو متوسط ​​العينة لقياس الأداء. من بين الأساليب اللامعلمية، على نطاق واسع طريقة الرسم البياني.

يعتمد المخطط المدروس على اختبارات إحصائية متكررة للنظام وطرق إحصاء المتغيرات العشوائية المستقلة. هذا المخطط ليس طبيعيًا دائمًا في الممارسة العملية والأمثل من حيث التكاليف. يمكن تقليل وقت اختبار النظام من خلال استخدام طرق تقييم أكثر دقة. وكما هو معروف من الإحصائيات الرياضية، فإن التقديرات الفعالة تتمتع بأكبر قدر من الدقة بالنسبة لحجم عينة معين. التصفية الأمثل وطريقة الاحتمالية القصوى تعطي الطريقة العامةالحصول على مثل هذه التقديرات في مشاكل النمذجة الإحصائية، تعد تطبيقات معالجة العمليات العشوائية ضرورية ليس فقط لتحليل عمليات المخرجات.

يعد التحكم في خصائص التأثيرات العشوائية المدخلة أمرًا مهمًا أيضًا. يتكون التحكم من التحقق من امتثال توزيعات العمليات المولدة للتوزيعات المحددة. غالبًا ما يتم صياغة هذه المشكلة على أنها مشكلة اختبار الفرضيات.

الاتجاه العام في النمذجة الحاسوبية للأنظمة المعقدة التي يتم التحكم فيها هو الرغبة في تقليل وقت النمذجة، وكذلك إجراء البحوث في الوقت الحقيقي. من الملائم تمثيل الخوارزميات الحسابية في شكل متكرر، مما يسمح بتنفيذها بمعدل تلقي المعلومات الحالية.

مبادئ نهج النظام في النمذجة

المبادئ الأساسية لنظرية النظم

نشأت المبادئ الأساسية لنظرية النظم أثناء دراسة الأنظمة الديناميكية وعناصرها الوظيفية. يُفهم النظام على أنه مجموعة من العناصر المترابطة التي تعمل معًا لإنجاز مهمة محددة مسبقًا. تحليل النظم يسمح لك بتحديد أكثر طرق حقيقيةإنجاز المهمة المعينة، وضمان أقصى قدر من الرضا عن المتطلبات المذكورة.

إن العناصر التي تشكل أساس نظرية النظم لا يتم إنشاؤها من خلال الفرضيات، ولكن يتم اكتشافها تجريبيا. من أجل البدء في بناء النظام، من الضروري أن يكون لديك الخصائص العامة للعمليات التكنولوجية. وينطبق الشيء نفسه على مبادئ إنشاء معايير مصاغة رياضيا يجب أن تستوفيها العملية أو وصفها النظري. النمذجة هي واحدة من أكثر طرق مهمةالبحث العلمي والتجريب.

عند بناء نماذج للكائنات، يتم استخدام نهج الأنظمة، وهو منهجية لحل المشكلات المعقدة، والتي تعتمد على اعتبار الكائن كنظام يعمل في بيئة معينة. يتضمن النهج المنهجي الكشف عن سلامة الكائن، وتحديد ودراسة بنيته الداخلية، وكذلك اتصالاته مع البيئة الخارجية. في هذه الحالة، يتم تقديم الكائن كجزء من العالم الحقيقي، الذي يتم عزله ودراسته فيما يتعلق بمشكلة بناء النموذج. بجانب، نهج النظميتضمن انتقالًا ثابتًا من العام إلى الخاص، عندما يكون هدف التصميم هو أساس الاعتبار، ويتم النظر في الكائن فيما يتعلق بالبيئة.

يمكن تقسيم الكائن المعقد إلى أنظمة فرعية، وهي أجزاء من الكائن تستوفي المتطلبات التالية:

1) النظام الفرعي هو جزء مستقل وظيفيا من الكائن. إنه متصل بالأنظمة الفرعية الأخرى، ويتبادل المعلومات والطاقة معهم؛

2) يمكن تحديد وظائف أو خصائص لكل نظام فرعي لا تتوافق مع خصائص النظام بأكمله؛

3) يمكن أن يخضع كل نظام فرعي لمزيد من التقسيم على مستوى العناصر.

في هذه الحالة، يُفهم العنصر على أنه نظام فرعي ذو مستوى أدنى، ويكون تقسيمه الإضافي غير مناسب من وجهة نظر المشكلة التي يتم حلها.

وبالتالي، يمكن تعريف النظام على أنه تمثيل لكائن ما في شكل مجموعة من الأنظمة الفرعية والعناصر والوصلات لغرض إنشائه أو بحثه أو تحسينه. في هذه الحالة، يسمى التمثيل الموسع للنظام، بما في ذلك الأنظمة الفرعية الرئيسية والوصلات بينها، بالبنية الكلية، ويسمى الكشف التفصيلي عن البنية الداخلية للنظام وصولاً إلى مستوى العناصر بالبنية المجهرية.

جنبا إلى جنب مع النظام، عادة ما يكون هناك نظام فائق - نظام ذو مستوى أعلى، يتضمن الكائن المعني، ولا يمكن تحديد وظيفة أي نظام إلا من خلال النظام الفائق.

من الضروري تسليط الضوء على مفهوم البيئة كمجموعة من كائنات العالم الخارجي التي تؤثر بشكل كبير على كفاءة النظام، ولكنها ليست جزءًا من النظام ونظامه الفائق.

فيما يتعلق بنهج الأنظمة في بناء النماذج، يتم استخدام مفهوم البنية التحتية، الذي يصف علاقة النظام ببيئته (البيئة)، وفي هذه الحالة، يتم تحديد ووصف ودراسة خصائص الكائن التي تعتبر ضرورية في إطار مهمة محددة يسمى التقسيم الطبقي للكائن، وأي نموذج للكائن هو وصفه الطبقي.

بالنسبة لنهج الأنظمة، من المهم تحديد هيكل النظام، أي. مجموعة من الروابط بين عناصر النظام تعكس تفاعلها. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار أولاً الأساليب الهيكلية والوظيفية للنمذجة.

مع النهج الهيكلي، يتم الكشف عن تكوين العناصر المختارة للنظام والروابط بينها. تتيح لنا مجموعة العناصر والاتصالات الحكم على بنية النظام. الوصف الأكثر عمومية للهيكل هو الوصف الطوبولوجي. يسمح لك بتحديد مكونات النظام واتصالاتها باستخدام الرسوم البيانية. أقل عمومية هو الوصف الوظيفي، عندما يتم النظر في الوظائف الفردية، أي خوارزميات سلوك النظام. في هذه الحالة، يتم تنفيذ نهج وظيفي يحدد الوظائف التي يؤديها النظام.

بناءً على نهج الأنظمة، يمكن اقتراح سلسلة من تطوير النموذج، عند التمييز بين مرحلتين رئيسيتين من التصميم: التصميم الكلي والتصميم الجزئي.

في مرحلة التصميم الكلي، يتم بناء نموذج للبيئة الخارجية، ويتم تحديد الموارد والقيود، ويتم اختيار نموذج النظام ومعاييره لتقييم مدى ملاءمته.

تعتمد مرحلة التصميم الجزئي إلى حد كبير على نوع النموذج المحدد الذي تم اختياره. بشكل عام، يتضمن إنشاء أنظمة نمذجة معلوماتية ورياضية وتقنية وبرمجية. في هذه المرحلة، يتم تحديد الخصائص التقنية الرئيسية للنموذج الذي تم إنشاؤه، ويتم تقدير الوقت اللازم للعمل معه وتكلفة الموارد للحصول على الجودة المحددة للنموذج.

بغض النظر عن نوع النموذج، عند إنشائه، من الضروري الاسترشاد بعدد من مبادئ النهج المنهجي:

1) التقدم المستمر خلال مراحل إنشاء النموذج؛

2) تنسيق المعلومات والموارد والموثوقية وغيرها من الخصائص؛

3) العلاقة الصحيحة بين المستويات المختلفة لبناء النموذج؛

4) سلامة المراحل الفردية لتصميم النموذج.

لبناء نموذج رياضي تحتاج إلى:

1. تحليل كائن أو عملية حقيقية بعناية؛
2. وتسليط الضوء على أهم مميزاته وخصائصه؛
3. تحديد المتغيرات، أي. المعلمات التي تؤثر قيمها على السمات والخصائص الرئيسية للكائن؛
4. وصف التبعية الخصائص الأساسيةكائن أو عملية أو نظام من قيم المتغيرات باستخدام العلاقات المنطقية الرياضية (المعادلات والمساواة والمتباينات والإنشاءات المنطقية الرياضية)؛
5. تسليط الضوء على الروابط الداخلية لكائن أو عملية أو نظام باستخدام القيود والمعادلات والمساواة وعدم المساواة والإنشاءات المنطقية والرياضية؛
6. يُعرِّف علاقات خارجيةووصفها باستخدام القيود والمعادلات والمساواة والمتباينات والإنشاءات المنطقية والرياضية.

النمذجة الرياضية، بالإضافة إلى دراسة كائن أو عملية أو نظام ووضع وصف رياضي له، تشمل أيضًا:

1. بناء خوارزمية تمثل سلوك كائن أو عملية أو نظام؛
2. التحقق من مدى كفاية النموذج والكائن أو العملية أو النظام بناءً على تجارب حسابية وواسعة النطاق؛
3. تعديل النموذج
4. باستخدام النموذج.

يعتمد الوصف الرياضي للعمليات والأنظمة قيد الدراسة على:

1. طبيعة العملية أو النظام الحقيقي ويتم تجميعها على أساس قوانين الفيزياء والكيمياء والميكانيكا والديناميكا الحرارية والديناميكا المائية والهندسة الكهربائية ونظرية اللدونة ونظرية المرونة وما إلى ذلك.
2. الموثوقية والدقة المطلوبة لدراسة وبحث العمليات والأنظمة الحقيقية.

يبدأ بناء النموذج الرياضي عادة ببناء وتحليل النموذج الرياضي الأبسط والأكثر بدائية للكائن أو العملية أو النظام قيد النظر. في المستقبل، إذا لزم الأمر، يتم تحسين النموذج وجعل مراسلاته مع الكائن أكثر اكتمالا.

لنأخذ مثالا بسيطا. تحتاج إلى تحديد مساحة السطح مكتب. عادةً ما يتم ذلك عن طريق قياس طوله وعرضه، ثم ضرب الأرقام الناتجة. يعني هذا الإجراء الأولي في الواقع ما يلي: يتم استبدال كائن حقيقي (سطح الطاولة) بنموذج رياضي مجرد - مستطيل. يتم تعيين الأبعاد التي تم الحصول عليها عن طريق قياس طول وعرض سطح الطاولة للمستطيل، وتؤخذ مساحة هذا المستطيل تقريبًا على أنها المساحة المطلوبة للجدول. ومع ذلك، فإن النموذج المستطيل للمكتب هو النموذج الأبسط والأكثر بدائية. إذا اتبعت نهجًا أكثر جدية تجاه المشكلة، قبل استخدام نموذج مستطيل لتحديد مساحة الجدول، فيجب التحقق من هذا النموذج. يمكن إجراء الفحوصات على النحو التالي: قياس الأطوال الأطراف المقابلةالجدول وكذلك أطوال أقطاره ومقارنتها مع بعضها البعض. إذا كانت أطوال الجوانب المتقابلة وأطوال الأقطار، بالدرجة المطلوبة من الدقة، متساوية في أزواج، فيمكن اعتبار سطح الطاولة مستطيلًا حقًا. وبخلاف ذلك، يجب رفض النموذج المستطيل واستبداله بالنموذج الرباعي العام. مع زيادة متطلبات الدقة، قد يكون من الضروري تحسين النموذج بشكل أكبر، على سبيل المثال، لمراعاة تقريب زوايا الجدول.

بمساعدة هذا مثال بسيطلقد تبين أن النموذج الرياضي لا يتم تحديده بشكل فريد من خلال الكائن أو العملية أو نظام.

أو (سيتم التوضيح غدًا)

طرق حل الرياضيات. عارضات ازياء:

1, بناء نموذج مبني على قوانين الطبيعة (الطريقة التحليلية)

2. الطريقة الرسمية باستخدام الأساليب الإحصائية. معالجة وقياس النتائج (المنهج الإحصائي)

3. بناء نموذج يعتمد على نموذج العناصر (الأنظمة المعقدة)

1، تحليلي - استخدم مع دراسة كافية. النمط العام IZV. عارضات ازياء.

2. التجربة. في غياب المعلومات.

3. التقليد م - يستكشف خصائص الكائن. عمومًا.

مثال على بناء نموذج رياضي.

نموذج رياضي- هذا التمثيل الرياضيالواقع.

نمذجة الرياضياتهي عملية بناء ودراسة النماذج الرياضية.

كلها طبيعية و العلوم الاجتماعية، استخدام جهاز رياضيينخرطون بشكل أساسي في النمذجة الرياضية: فهم يستبدلون الكائن بنموذجه الرياضي ثم يدرسون الأخير. يتم الربط بين النموذج الرياضي والواقع باستخدام سلسلة من الفرضيات والمثاليات والتبسيطات. باستخدام الأساليب الرياضيةكقاعدة عامة، يتم وصف الكائن المثالي الذي تم إنشاؤه في مرحلة النمذجة ذات المغزى.

لماذا هناك حاجة للنماذج؟

في كثير من الأحيان، عند دراسة أي كائن، تنشأ الصعوبات. في بعض الأحيان يكون الأصل نفسه غير متوفر، أو لا ينصح باستخدامه، أو يكون جذب الأصل مكلفًا. كل هذه المشاكل يمكن حلها باستخدام المحاكاة. بمعنى ما، يمكن للنموذج أن يحل محل الكائن قيد الدراسة.

أبسط الأمثلة على النماذج

§ يمكن أن تسمى الصورة نموذجا للشخص. لكي تتعرف على شخص ما، يكفي أن ترى صورته.

§ قام المهندس المعماري بإنشاء تخطيط جديد منطقة سكنية. يمكنه التحرك بيده بناء مرتفعمن جزء إلى آخر. في الواقع لن يكون هذا ممكنا.

أنواع النماذج

يمكن تقسيم النماذج إلى مادة"و ممتاز. الأمثلة المذكورة أعلاه هي نماذج مادية. نماذج مثاليةغالبًا ما يكون لها شكل رمزي. يتم استبدال المفاهيم الحقيقية ببعض العلامات التي يمكن تسجيلها بسهولة على الورق أو في ذاكرة الكمبيوتر وما إلى ذلك.

نمذجة الرياضيات

تنتمي النمذجة الرياضية إلى فئة النمذجة الرمزية. في هذه الحالة، يمكن إنشاء النماذج من أي كائنات رياضية: الأرقام، الوظائف، المعادلات، الخ.

بناء نموذج رياضي

§ يمكن ملاحظة عدة مراحل لبناء النموذج الرياضي:

1. فهم المشكلة وتحديد أهم الصفات والخصائص والكميات والمعلمات بالنسبة لنا.

2. مقدمة التدوين.

3. وضع نظام للقيود التي يجب أن تستوفيها القيم المدخلة.

4. صياغة وتسجيل الشروط التي يجب توافرها للحل الأمثل المطلوب.

لا تنتهي عملية النمذجة بإنشاء النموذج، بل تبدأ به فقط. بعد تجميع النموذج، يختارون طريقة للعثور على الإجابة وحل المشكلة. وبعد العثور على الجواب يتم مقارنته بالواقع. ومن الممكن أن تكون الإجابة غير مرضية، وفي هذه الحالة يتم تعديل النموذج أو حتى اختيار نموذج مختلف تماما.

مثال لنموذج رياضي

مهمة

تحتاج جمعية الإنتاج، التي تضم مصنعين للأثاث، إلى تحديث مجموعة الآلات الخاصة بها. علاوة على ذلك، يحتاج مصنع الأثاث الأول إلى استبدال ثلاث آلات، والثاني - سبعة. يمكن تقديم الطلبات في مصنعين للأدوات الآلية. المصنع الأول لا يمكنه إنتاج أكثر من 6 آلات، والمصنع الثاني سيقبل الطلب إذا كان هناك ثلاث آلات على الأقل. تحتاج إلى تحديد كيفية تقديم الطلبات.

المشاكل التي يتم حلها بواسطة أساليب LP متنوعة جدًا في المحتوى. لكن نماذجهم الرياضية متشابهة ويتم دمجها بشكل مشروط في ثلاثة مجموعات كبيرةمهام:

• مهام النقل
• مهام حول وضع خطة؛

دعونا نلقي نظرة على أمثلة لمشاكل اقتصادية محددة من كل نوع، ونتناول بالتفصيل بناء نموذج لكل مشكلة.

مهمة النقل

في قاعدتين تجاريتين أو فيهناك 30 مجموعة أثاث، 15 في كل منها. يجب تسليم جميع الأثاث إلى متجرين للأثاث، معو دو في معيجب تسليم 10 سماعات، و د- 20. معلوم أنه يتم توصيل سماعة واحدة من القاعدة أإلى المتجر معيكلف وحدة نقدية واحدة لكل متجر د- الساعة الثالثة الوحدات النقديةس. وفقا لذلك من القاعدة فيإلى المحلات التجارية معو د: وحدتان وخمس وحدات نقدية. قم بوضع خطة نقل بحيث تكون تكلفة جميع وسائل النقل في حدها الأدنى.
للراحة، سنقوم بإدراج هذه المهام في الجدول. عند تقاطع الصفوف والأعمدة توجد أرقام تميز تكلفة النقل المقابلة (الجدول 3.1).

الجدول 3.1

دعونا ننشئ نموذجًا رياضيًا للمشكلة.
يجب إدخال المتغيرات. تنص صيغة السؤال على ضرورة وضع خطة للنقل. دعونا نشير بواسطة X 1 , X 2 عدد السماعات منقولة من القاعدة أإلى المحلات التجارية معو دوفقا لذلك، ومن خلال في 1 , في 2- عدد السماعات المنقولة من القاعدة فيإلى المحلات التجارية معو دعلى التوالى. ثم كمية الأثاث التي تم إخراجها من المستودع أ، يساوي ( X 1 + X 2) ومن المستودع في - (في 1 + في 2). حاجة المتجر معيساوي 10 سماعات، وجاءوا بها ( X 1 + في 1) القطع، أي. X 1 + في 1 = 10. وبالمثل بالنسبة للمتجر دلدينا X 2 + في 2 = 20. علماً بأن احتياجات المخازن تساوي تماماً عدد السماعات المتوفرة في المستودعات، لذلك X 1 + في 2 = 15 و في 1 + في 2 = 15. إذا أخذت أقل من 15 مجموعة من المستودعات، فلن يكون لدى المخازن ما يكفي من الأثاث لتلبية احتياجاتهم.
لذلك المتغيرات X 1 , X 2 , في 1 , في 2ـ في معنى المشكلة تكون غير سلبية وتفي بنظام القيود:
(3.1)
تعينها Fتكاليف النقل، وسوف نحسبها. لنقل مجموعة واحدة من الأثاث من أالخامس معيتم إنفاق أموال واحدة. وحدات للنقل س 1 مجموعات - سيوم 1 وحدات وكذلك بالنسبة للنقل س 2 مجموعات من أالخامس دسيكلف 3 س 2 أيام وحدات؛ من فيالخامس مع - 2ذيوم 1 الوحدات، من فيالخامس د - 5ذ 2 أيام وحدات
لذا،
F = 1س 1 + 3س 2 + 2ذ 1 + 5ذ 2 → دقيقة (3.2)
(نريد إبقاء تكلفة الشحن الإجمالية عند الحد الأدنى).
دعونا صياغة المشكلة رياضيا.
في مجموعة الحلول لنظام القيود (3.1)، أوجد الحل الذي يقلل الدالة الموضوعية F(3.2)، أو ابحث عن الخطة المثالية ( س 1 , س 2, ذ 1 , ذ 2)، يحددها نظام القيود (3.1) والدالة الموضوعية (3.2).
يمكن طرح المشكلة التي تناولناها في شكل أكثر عمومية مع أي عدد من الموردين والمستهلكين.
في المشكلة التي تناولناها، فإن توفر البضائع من الموردين (15 + 15) يساوي إجمالي الطلب من المستهلكين (10 + 20). هذا النموذج يسمى مغلق، والمهمة المقابلة هي النقل المتوازنمهمة.
في الحسابات الاقتصادية دور مهمتلعب أيضًا ما يسمى بالنماذج المفتوحة التي لا يتم فيها ملاحظة المساواة المحددة. إما أن يكون مخزون الموردين أكبر من طلب المستهلكين، أو أن الطلب يتجاوز توافر السلع. لاحظ أن نظام القيود غير متوازن مشكلة النقلجنبا إلى جنب مع المعادلات، سيتم أيضا تضمين عدم المساواة.

دعونا نفكر في مثال لمشكلة النقل غير المتوازن.
في نقاط أو فيتقع مصانع الطوب، وفي معو د- المحاجر التي تمدها بالرمال. إن طلب المصانع على الرمال أقل من إنتاجية المحاجر. ومن المعروف مقدار الرمل الذي يحتاجه كل مصنع وكم يتم استخراجه في كل مقلع. كما تعرف تكلفة نقل طن واحد من الرمل من كل مقلع إلى المصانع (الأرقام على الأسهم). من الضروري التخطيط لتوريد الرمال إلى المصانع بطريقة تكون فيها تكاليف النقل في حدها الأدنى. وتظهر هذه المهام في الرسم التخطيطي.

دعونا نبني نموذجا رياضيا للمشكلة.
دعونا نقدم المتغيرات:
س 11- عدد طن الرمال المنقولة من المحجر معإلى المصنع أ;
س 12- من المحجر معإلى المصنع أ;
س 21- عدد طن الرمال أمن المحجر د;
س 22- عدد طن الرمال من المحجر دإلى المصنع في.
الى المصنع أوينبغي تسليم 40 طناً من كلا المحجرين، مما يعني س 11 + س 21 = 40 للمصنع فييجب تسليم 50 طناً مما يعني س 12 + س 22 = 50. من المحجر معولم يتم تصدير أكثر من 70 طنا، أي. س 11 + س 12 ≥ 70، مشابه س 21 + س 22 ≥ 30. لدينا نظام القيود:
(3.3)
والوظيفة الموضوعية F، معربا عن تكلفة النقل، له النموذج
F = 2س 11 + 6س 12 + 5س 21 + 3س 22 → دقيقة. (3.4)

مهمة وضع الخطة

يحتاج مصنع معين إلى وضع خطة مثالية لإنتاج نوعين من المنتجات التي تتم معالجتها على أربعة أنواع من الآلات. بعض القدرات والأداء للمعدات معروفة؛ سعر المنتجات التي تضمن الربح للمصنع هو 4 آلاف روبل. لمنتج من النوع الأول 6 آلاف روبل. - لمنتج من النوع الثاني. وضع خطة لإنتاج هذه المنتجات بحيث يحصل المصنع على أكبر ربح من بيعها. يوضح الجدول الوقت اللازم لمعالجة كل نوع من نوعي المنتجات على جميع أنواع المعدات الأربعة (الجدول 3.2).

الجدول 3.2

منتجات	أنواع الآلات
	1	2	3	4
أنا	1	0,5	1	0
ثانيا	1	1	0	1
وقت التشغيل المحتمل للآلات	18	12	12	9

دعونا نبني نموذجا رياضيا.
في المشكلة، من الضروري تحديد خطة إنتاج المنتج، والتي يرمز إليها سعدد المنتجات من النوع الأول، ل ذ- عدد منتجات النوع الثاني . ثم دعونا نحسب مقدار الوقت الذي ستقضيه الآلة الأولى في معالجة جميع منتجات الإنتاج. تقضي وحدة واحدة من الوقت في منتج واحد من النوع الأول، وهو ما يعني تشغيل سقطع من المنتجات سوف تنفق 1 سوحدات الوقت للمعالجة ذسيتم إنفاق المنتجات من النوع الثاني 1 ذوحدات وقت. إجمالي احتياطي وقت التشغيل للآلة الأولى هو 18 وحدة زمنية. وسائل، س + ذ≥ 18. التفكير المماثل مع الأجهزة الثانية والثالثة والرابعة سيعطي نظامًا من القيود:
(3.5)
سيتم التعبير عن إجمالي الربح في دالة الهدف:
F = 4س + 6ذ → الحد الأقصى. (3.6)
المهمة هي إيجاد حل لمجموعة حلول النظام (3.5) حيث تكون قيمة الدالة الهدف (3.6) عند الحد الأقصى.

مشكلة الخلطة

مشكلة أخرى شائعة في LP هي مشكلة تكوين الخليط. ومن الأمثلة على هذه المشاكل مهمة تجميع مثل هذه الخلطات من المنتجات البترولية التي تلبي متطلبات فنية معينة وتكون الأرخص من حيث التكلفة. أو مشاكل تتعلق بالنظام الغذائي عند الحاجة لذلك مواد معينةومحتوى هذه المواد في المنتجات المختلفة. من الضروري تكوين النظام الغذائي بطريقة تلبي الاحتياجات من المواد الضرورية وفي نفس الوقت تكون سلة الغذاء ذات تكلفة دنيا بأسعار معينة من المواد الغذائية.
يتم تعيين مهام مماثلة عمليا، على سبيل المثال، في أي مزرعة للماشية ولها جدا مدى واسعالتطبيقات.
لنلقي نظرة على مثال. لتسمين الدجاج في مزرعة الدواجن، يجب أن يتضمن نظامهم الغذائي ما لا يقل عن 33 وحدة من المادة أ‎23 وحدة غذائية في 12 وحدة مع. وتستخدم ثلاثة أنواع من الأعلاف للتسمين. وترد في الجدول بيانات عن المحتوى الغذائي لكل نوع من الأعلاف. تكلفة العلف معروفة أيضًا. من الضروري إنشاء أرخص نظام غذائي (الجدول 3.3).

الجدول 3.3

منتجات الأعلاف	مواد			تكلفة 1 وحدة. صارم
	أ	في	مع
أنا	4	3	1	20
ثانيا	3	2	1	20
ثالثا	2	1	2	10

لفهم المشكلة، يمكنك أن تتخيل أن المواد أ, في, مع- وهي الدهون والبروتينات والكربوهيدرات والمنتجات الأول والثاني والثالث التي يتم تغذية الدجاج بها مثل الدخن والأعلاف المركبة ومكملات الفيتامينات. ثم يوضح السطر الأول من الجدول محتوى وحدة واحدة من الدخن: 4 وحدات. البروتين، 3 وحدات. الدهون، وحدة واحدة. الكربوهيدرات. السطر الثاني هو محتوى البروتينات والدهون والكربوهيدرات في وحدة واحدة. المنتج الثاني، الخ.
إذا كان بيان المشكلة واضحا، فلنبدأ في بناء نموذج رياضي.
كإجابة للمهمة، يجب أن نقدم نظامًا غذائيًا، أي الإشارة إلى مقدار ونوع العلف الذي يجب تناوله بالترتيب المبلغ المطلوبتم احترام العناصر الغذائية وفي نفس الوقت كانت رخيصة قدر الإمكان.
ولذلك نشير بـ س 1 كمية من النوع الذي أطعمه في النظام الغذائي لكل س 2- كمية العلف من النوع الثاني وعليه س 3- كمية الطعام الثالث في النظام الغذائي. ثم المواد أعند تناول هذا النظام الغذائي، سيحصل الدجاج على 4 س 1- عند تناول منتجات النوع الأول 3 س 2 - عند استهلاك المنتج الثاني، 2 س 3- عند تناوله ثالثاً. إجمالي المادة أوفقا للمشكلة، فمن الضروري استخدام 33 وحدة على الأقل، وبالتالي 4 س 1 + 3س 2 + 2س 3 ≥ 33.
التفكير بالمثل مع المواد فيو مع، لدينا:
3س 1 + 2س 2 + 1س 3 ≥ 23 و س 1 + س 2 + 2س 3 ≥ 12.
وهكذا نحصل على نظام القيود:
(3.7)
- أن تكون المتغيرات غير سالبة في معنى المشكلة. في هذه الحالة، يتم التعبير عن تكلفة النظام الغذائي من خلال الوظيفة:
F = 20س 1 + 20س 2 + 10س 3 → دقيقة، (3.8)
لأن 20، 20، 10 - تكلفة وحدة واحدة. المنتجات الأول والثاني، الأنواع الثالثةوفقاً لذلك، ويحتوي النظام الغذائي عليها س 1 , س 2 , س 3 وحدات.
يشكل نظام القيود (3.7) مع الدالة الموضوعية (3.8) النموذج الرياضي المشكلة الأصلية. لحلها يعني العثور عليها س 1 , س 2 , س 3 إرضاء نظام القيود وعكس قيمة الدالة Fإلى الحد الأدنى.

ترتيب أنواع السفن حسب الخطوط

وضع خطة لوضع نوعين من السفن على ثلاثة خطوط تضمن أقصى قدرة استيعابية إجمالية للأسطول على ألا تقل عن حجم الحركة المحدد على الخطوط.

نوع السفينة	إنتاجية السفينة مليون طن ميل يوميا			فترة التشغيل، أيام
	السطر الأول	السطر الثاني	السطر الثالث
1	ص 11	ص 12	ص 13	ق 1
2	ص21	ص22	ص 23	ق 2
الحجم المستهدف للنقل، مليون طن ميل	الخامس 1	الخامس 2	الخامس 3

النموذج الاقتصادي والرياضي للمشكلة.
قيود فترة التشغيل:
س 1 /ص 11 + س 2 /ص 12 + س 3 /ص 13 ≥ ق 1
س 4 /ص 21 + س 5 /ص 22 + س 6 /ص 23 ≥ ق 2

قيود العرض:
ق 1 × 1 + ق 2 × 4 ≥ الخامس 1
ق 1 × 2 + ق 2 × 5 ≥ الخامس 2
ق 1 × 3 + ق 2 × 6 ≥ الخامس 3

دالة الهدف
ص 11 × 1 + ع 12 × 2 + ع 13 × 3 + ع 21 × 4 + ع 22 × 5 + ع 23 × 6 → ماكس

أسئلة للتحكم في النفس
1. بيان مشكلة النقل. وصف بناء النموذج الرياضي.
2. ما هي مشكلة النقل المتوازن وغير المتوازن؟
3. ما الذي يتم احتسابه في الوظيفة الموضوعية لمشكلة النقل؟
4. ماذا يعكس كل عدم مساواة في نظام القيود في مشكلة الخطة؟
5. ما الذي تعكسه كل متباينة في نظام القيود في مشكلة الخليط؟
6. ماذا تعني المتغيرات في مشكلة الخطة ومشكلة الخليط؟