أجمل الصيغ الفيزيائية والرياضية. جميع الصيغ في الرياضيات

التعليم هو ما يبقى بعد نسيان كل ما تم تدريسه في المدرسة.

يثبت إيجور خميلينسكي، عالم نوفوسيبيرسك الذي يعمل الآن في البرتغال، أنه بدون الحفظ المباشر للنصوص والصيغ، يكون تطوير الذاكرة المجردة لدى الأطفال أمرًا صعبًا. سأقدم مقتطفات من مقالته "دروس الإصلاحات التعليميةفي أوروبا ودول الاتحاد السوفييتي السابق"

التعلم عن ظهر قلب والذاكرة طويلة المدى

إن الجهل بجداول الضرب له عواقب أكثر خطورة من عدم القدرة على اكتشاف الأخطاء في العمليات الحسابية على الآلة الحاسبة. تعمل ذاكرتنا طويلة المدى وفقًا لمبدأ قاعدة البيانات الترابطية، أي أن بعض عناصر المعلومات، عند حفظها، ترتبط بعناصر أخرى بناءً على الارتباطات التي تم إنشاؤها في وقت التعرف عليها. لذلك، من أجل تشكيل قاعدة معرفية في رأسك في أي موضوع النقاش، على سبيل المثال، في الحساب، عليك أولا أن تتعلم شيئا على الأقل عن ظهر قلب. علاوة على ذلك، سوف تأتي المعلومات القادمة حديثا من ذاكرة قصيرة المديإلى فترة طويلة الأجل، إذا واجهناها عدة مرات خلال فترة زمنية قصيرة (عدة أيام)، ويفضل أن يكون ذلك في ظروف مختلفة (مما يساهم في إنشاء جمعيات مفيدة). ومع ذلك، في غياب المعرفة من الحساب في الذاكرة الدائمة، ترتبط عناصر المعلومات الواردة حديثًا بعناصر لا علاقة لها بالحساب - على سبيل المثال، شخصية المعلم، والطقس في الخارج، وما إلى ذلك. من الواضح أن هذا الحفظ لن يجلب أي فائدة حقيقية للطالب - نظرًا لأن الارتباطات تبتعد عن مجال موضوع معين، فلن يتمكن الطالب من تذكر أي معرفة تتعلق بالحساب، باستثناء الأفكار الغامضة التي كان يعرف شيئًا عنها ذات يوم. سمعت. بالنسبة لهؤلاء الطلاب، عادة ما يتم لعب دور الجمعيات المفقودة أنواع مختلفةتلميحات - انسخ من زميل، واستخدم الأسئلة الإرشادية في الاختبار نفسه، والصيغ من قائمة الصيغ المسموح باستخدامها، وما إلى ذلك. في الحياه الحقيقيه، دون مطالبة، تبين أن مثل هذا الشخص عاجز تمامًا وغير قادر على تطبيق المعرفة الموجودة في رأسه.

تشكيل جهاز رياضي، حيث لا يتم تعلم الصيغ، يحدث بشكل أبطأ من غيره. لماذا؟ أولاً، الخصائص الجديدة والنظريات والعلاقات بين الكائنات الرياضية تستخدم دائمًا بعض ميزات الصيغ والمفاهيم التي تمت دراستها مسبقًا. سيكون تركيز انتباه الطالب على المواد الجديدة أكثر صعوبة إذا تعذر استرجاع هذه الميزات من الذاكرة في فترة زمنية قصيرة. ثانيًا، عدم معرفة الصيغ عن ظهر قلب يمنعك من البحث عن حلول لمشاكل ذات مغزى كمية كبيرةالعمليات الصغيرة التي يكون من الضروري فيها ليس فقط تنفيذ تحولات معينة، ولكن أيضًا تحديد تسلسل هذه التحركات، وتحليل تطبيق عدة صيغ بخطوتين أو ثلاث خطوات للأمام.

الممارسة تبين أن الفكرية و التطور الرياضيطفل، يتم تكوين قاعدة معارفه ومهاراته بشكل أسرع بكثير إذا معظمالمعلومات المستخدمة (الخصائص والصيغ) موجودة في الرأس. وكلما كان البقاء هناك أقوى وأطول، كلما كان ذلك أفضل.

تحتوي هذه الصفحة على جميع الصيغ اللازمة لاجتياز الاختبارات والاختبارات. عمل مستقلوامتحانات في الجبر والهندسة وعلم المثلثات والقياس الفراغي وغيرها من مجالات الرياضيات.

هنا يمكنك تنزيل أو مشاهدة جميع العناصر الرئيسية عبر الإنترنت الصيغ المثلثية، صيغة مساحة الدائرة، صيغ الضرب المختصرة، صيغة المحيط، صيغ التخفيض وغيرها الكثير.

يمكنك أيضًا طباعة المجموعات الضرورية من الصيغ الرياضية.

حظ موفق في دراستك!

الصيغ الحسابية:

صيغ الجبر:

الصيغ الهندسية:

الصيغ الحسابية:

قوانين العمليات على الأعداد

قانون الجمع التبادلي: أ + ب = ب + أ.

قانون الجمع والجمع: (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج).

قانون الضرب التبادلي: أب = با.

قانون الجمع بين الضرب: (أ ب) ج = أ (ق م).

قانون توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع: (أ + ب) ج = أ + ق.

قانون توزيع الضرب بالنسبة للطرح: (أ - ب) ج = أ - ق.م.

بعض الرموز والمختصرات الرياضية:

علامات قابلية القسمة

علامات القسمة على "2"

يسمى العدد الذي يقبل القسمة على "2" بدون باقي حتىغير انشطارية – غريب. يقبل الرقم القسمة على "2" بدون باقي إذا كان رقمه الأخير زوجي (2، 4، 6، 8) أو صفر

علامات القسمة على "4"

يكون الرقم قابلاً للقسمة على "4" بدون باقي إذا كان آخر رقمين منه صفراً أو إذا كان مجموع العدد يقبل القسمة على "4" بدون باقي.

علامات القسمة على "8"

يكون الرقم قابلاً للقسمة على "8" بدون باقي إذا كانت أرقامه الثلاثة الأخيرة عبارة عن أصفار أو إذا كان مجموع المجاميع يشكل رقماً يقبل القسمة على "8" بدون باقي. (مثال: 1000 هو آخر ثلاثة أرقام "00"، وتقسيم 1000 على 8 يعطينا 125؛ 104 - يتم تقسيم آخر رقمين من "12" على 4، وتقسيم 112 على 4 ينتج عنه 28؛ إلخ.)

علامات القسمة على "3" و "9"

فقط تلك الأرقام التي يكون مجموع أرقامها قابلاً للقسمة على "3" بدون باقي، تكون قابلة للقسمة على "3"؛ على "9" - فقط أولئك الذين يكون مجموع أرقامهم قابلاً للقسمة على "9" بدون باقي

علامات القسمة على "5"

يتم تقسيم الأرقام التي يكون رقمها الأخير هو "0" أو "5" بدون باقي على "5".

علامات القسمة على "25"

يتم قسمة الأرقام بدون باقي على "25" آخر رقمين منها أصفار أو مجموعها يشكل رقم يقبل القسمة على "25" بدون باقي (أي الأرقام المنتهية بـ "00"، "25"، "50" “،”75” »

علامات قابلية القسمة على "10" و"100" و"1000"

فقط تلك الأرقام التي يكون رقمها الأخير صفر هي التي تقبل القسمة على "10"، فقط تلك الأرقام التي يكون آخر رقمين فيها صفر يتم قسمتها على "100"، وفقط تلك الأرقام التي تكون أرقامها الثلاثة الأخيرة أصفار يتم قسمتها على "1000".

علامات القسمة على "11"

فقط تلك الأرقام التي يكون مجموع أرقامها التي تشغل أماكن فردية إما مساويًا لمجموع الأرقام التي تشغل أماكن زوجية أو تختلف عنه برقم يقبل القسمة على "11" تكون قابلة للقسمة على "11" بدون باقي.

القيمة المطلقة - الصيغ (المعامل)

|أ| ؟ 0, و |أ| = 0 فقط إذا كان a = 0؛ |-أ|=|أ| |a2|=|a|2=a2 |أ|=|أ|*|ب| |أ/ب|=|أ|/|ب|، ماذا عن ب؟ 0; |أ+ب|?|أ|+|ب| |أ-ب|?|أ|-|ب|

إجراءات الصيغ مع الكسور

صيغة تحويل الكسر العشري النهائي إلى كسر نسبي هي:

النسب

تشكل نسبتين متساويتين حَجم:

الخاصية الأساسية للتناسب

إيجاد شروط التناسب

النسب، مقابل النسب : المشتق حَجم- نتيجة لهذا النسبمثل

متوسط ​​القيم

متوسط

كميتين: نكميات:

المتوسط ​​الهندسي (المتوسط ​​النسبي)

كميتين: نكميات:

يعني مربع

كميتين: نكميات:

الوسط التوافقي

كميتين: نكميات:

بعض سلاسل الأعداد المحدودة

خصائص المتباينات العددية

1) إذا أ< b ، ثم لأي ج: أ + ج< b + с .

2) إذا أ< b و ج> 0، الذي - التي تيار متردد< bс .

3) إذا أ< b و ج< 0 ، الذي - التي ميلان > بكالوريوس.

4) إذا أ< b , أو بعلامة واحدة إذن 1/أ > 1/ب.

5) إذا أ< b و ج< d ، الذي - التي أ + ج< b + d , إعلان< b — c .

6) إذا أ< b , ج< d , أ> 0, ب> 0, ج> 0, د> 0، الذي - التي تيار متردد< bd .

7) إذا أ< b , أ> 0, ب> 0، الذي - التي

8) إذاً

• صيغ التقدم:

• 

• المشتق

• اللوغاريتمات:
• الإحداثيات والمتجهات

  1. تم العثور على المسافة بين النقطتين A1(x1;y1) وA2(x2;y2) بالصيغة:

  2. تم العثور على إحداثيات (x;y) لمنتصف القطعة ذات الأطراف A1(x1;y1) وA2(x2;y2) باستخدام الصيغ:

  

  3. معادلة الخط ج ميلوالإحداثي الأولي له الشكل:

  المعامل الزاوي k هو قيمة ظل الزاوية التي يشكلها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور الثور، والإحداثي الأولي q هو القيمة الإحداثية لنقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور Oy.

  4. المعادلة العامةالخط المستقيم له الشكل: ax + by + c = 0.

  5. معادلات الخطوط الموازية لمحوري Oy وOx، على التوالي، لها الشكل:

  الفأس + بواسطة + ج = 0.

  6. شروط التوازي والتعامد للخطوط y1=kx1+q1 و y2=kx2+q2، على التوالي، لها الشكل:

  

  7. معادلات الدوائر ذات نصف القطر R والمركز على التوالي عند النقطتين O(0;0) وC(xo;yo) لها الشكل:

  8. المعادلة:

  هي معادلة القطع المكافئ الذي رأسه عند النقطة التي يقع فيها الإحداثي المحوري

• مستطيلي النظام الديكارتيالإحداثيات في الفضاء

  1. تم العثور على المسافة بين النقطتين A1(x1;y1;z1) وA2(x2;y2;z2) بالصيغة:

  2. تم العثور على الإحداثيات (x;y;z) لمنتصف القطعة ذات الأطراف A1(x1;y1;z1) وA2(x2;y2;z2) باستخدام الصيغ:

  3. تم العثور على معامل المتجه الناتج عن إحداثياته ​​بالصيغة:

  

  4. عند إضافة المتجهات تضاف إحداثياتها المقابلة، وعند ضرب متجه بعدد تضرب جميع إحداثياته ​​بهذا الرقم، أي. الصيغ التالية صالحة:

  5. حتى النصرتم العثور على الاتجاه المشترك مع المتجه بالصيغة:

  6. المنتج العددي للمتجهات هو الرقم:

  

  أين هي الزاوية بين المتجهات.

  7. المنتج العدديثلاثة أبعاد

  

  8. جيب تمام الزاوية بين المتجهات ويتم العثور عليه بالصيغة:

  9. ضروري و شرط كافعمودي المتجهات وله الشكل:

  10. المعادلة العامة للطائرة، عمودي على المتجهلديه النموذج:

  الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0.

  11. معادلة المستوى المتعامد مع المتجه ويمر عبر النقطة (xo;yo;zo) لها الشكل:

  أ(س - س) + ب(ص - يو) + ج(ض - زو) = 0.

  12. معادلة الكرة التي مركزها O(0;0;0) مكتوبة على الصورة.

"الحوادث ليست صدفة".. يبدو كما قال أحد الفلاسفة، لكن في الحقيقة دراسة الحوادث هي القدر علم عظيمالرياضيات. في الرياضيات، يتم التعامل مع الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات. سيتم عرض صيغ وأمثلة للمهام وكذلك التعريفات الرئيسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي أحد التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

ولجعل الأمر أكثر وضوحًا، دعونا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية للأعلى، فيمكن أن تستقر على الصورة أو الكتابة. وبينما تكون العملة في الهواء، فإن كلا هذين الاحتمالين ممكنان. وهذا هو، الاحتمال العواقب المحتملةالنسبة هي 1:1. إذا تم سحب واحدة من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن استكشافه والتنبؤ به هنا، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا كررت إجراءات محددةفي كثير من الأحيان، من الممكن تحديد نمط معين، وعلى أساسه التنبؤ بنتيجة الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق فإن نظرية الاحتمالات بالمعنى الكلاسيكي تدرس إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بقيمة عددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة، عندما ظهرت محاولات التنبؤ بنتائج ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية، لم يكن لنظرية الاحتمالات أي علاقة بالرياضيات. وقد تم تبريره من خلال الحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. أصبح الأجداد بليز باسكالوبيير فيرما. منذ وقت طويلدرسوا القمارورأوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

تم اختراع نفس التقنية من قبل كريستيان هويجنز، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج أبحاث باسكال وفيرمات. وقد قدم مفهوم "نظرية الاحتمالية" والصيغ والأمثلة التي تعتبر الأولى في تاريخ هذا التخصص.

كما أن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون ليست ذات أهمية كبيرة. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بالتخصص الرياضي. الحالي الخاص بك نوع من النظريةتم الحصول على الاحتمالات والصيغ والأمثلة للمهام الأساسية بفضل بديهيات كولموغوروف. ونتيجة لكل هذه التغيرات، أصبحت نظرية الاحتمالات أحد فروع الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". هناك ثلاثة أنواع من الأحداث:

• موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (سوف تسقط العملة).
• مستحيل.أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف (ستظل العملة معلقة في الهواء).
• عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فإن العوامل العشوائية التي يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص البدنيةالعملات المعدنية وشكلها ووضعها الأولي وقوة الرمي وما إلى ذلك.

جميع الأحداث في الأمثلة موضحة بالأحرف الكبيرة بأحرف لاتينيةباستثناء P الذي له دور مختلف. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطلاب لإلقاء المحاضرة".
• Ā = "لم يحضر الطلاب إلى المحاضرة."

في المهام العمليةعادة ما يتم تسجيل الأحداث بالكلمات.

واحد من أهم الخصائصالأحداث - احتمالها على قدم المساواة. أي أنه إذا رميت عملة معدنية، فإن جميع خيارات السقوط الأولي ممكنة حتى سقوطها. ولكن الأحداث أيضا ليست ممكنة على قدم المساواة. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال، "المسمى" لعب الورقأو حجر النرد،حيث يتم تحويل مركز الثقل.

يمكن أيضًا أن تكون الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد حدوث بعضها البعض. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطالب إلى المحاضرة".
• ب = "جاء الطالب إلى المحاضرة".

وهذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، ولا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. أحداث غير متوافقةيتحدد من خلال حقيقة أن ظهور أحدهما يستبعد ظهور الآخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة، فإن فقدان "الذيول" يجعل من المستحيل ظهور "الرؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها وفقًا لذلك، كما يقدم الانضباط الروابط المنطقية"و" و"أو".

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن الحدث A أو B أو الحدثين يمكن أن يحدثا في وقت واحد. وفي حالة عدم توافقهما، الخيار الأخيرمستحيل، سيتم دحرجة إما A أو B.

مضاعفة الأحداث تتمثل في ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكننا الآن تقديم عدة أمثلة لتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلات أدناه.

التمرين 1: تشارك الشركة في مسابقة للحصول على عقود لثلاثة أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• أ = "سوف تحصل الشركة على العقد الأول."
• أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
• B = "ستحصل الشركة على عقد ثان."
• ب 1 = "الشركة لن تحصل على عقد ثان"
• C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
• ج1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

باستخدام الإجراءات على الأحداث، سنحاول التعبير عن المواقف التالية:

• K = "سوف تتلقى الشركة جميع العقود."

في شكل رياضيالمعادلة سوف يكون لها العرض التالي: ك = ABC.

• M = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

لنجعل المهمة أكثر تعقيدًا: H = "ستحصل الشركة على عقد واحد". نظرًا لأنه من غير المعروف أي عقد ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث)، فمن الضروري تسجيل سلسلة الأحداث المحتملة بأكملها:

ح = أ 1 ق 1 υ أ ب 1 ج 1 υ أ 1 ب 1 ج.

و1 ق 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تحصل الشركة على العقد الأول والثالث، بل تحصل على العقد الثاني. تم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى باستخدام الطريقة المناسبة. يشير الرمز υ في التخصص إلى الرابط "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية، فستحصل الشركة إما على العقد الثالث أو الثاني أو الأول. وبطريقة مماثلة، يمكنك كتابة شروط أخرى في تخصص "نظرية الاحتمالية". ستساعدك الصيغ والأمثلة لحل المشكلات الموضحة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع، الاحتمال

ربما، في هذا التخصص الرياضي، احتمال وقوع حدث ما هو المفهوم المركزي. هناك ثلاثة تعريفات للاحتمال:

• كلاسيكي؛
• إحصائية؛
• هندسي.

ولكل منها مكانها في دراسة الاحتمال. تستخدم نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة (الصف 9) بشكل أساسي التعريف الكلاسيكي، والذي يبدو كالتالي:

• احتمالية الموقف (أ) تساوي نسبة عدد النتائج التي تؤيد حدوثه إلى عدد جميع النتائج المحتملة.

تبدو الصيغة كما يلي: P(A)=m/n.

A هو في الواقع حدث. إذا ظهرت حالة معاكسة لـ A، فيمكن كتابتها كـ Ā أو A 1 .

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال، A = "ارسم بطاقة بدلة القلب." هناك 36 بطاقة في المجموعة القياسية، 9 منها على شكل قلوب. وبناء على ذلك فإن صيغة حل المشكلة ستكون كما يلي:

ف(أ)=9/36=0.25.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب بطاقة بدلة القلب من المجموعة سيكون 0.25.

نحو الرياضيات العليا

الآن أصبح من غير المعروف ما هي نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات التي تظهر المنهج المدرسي. ومع ذلك، توجد نظرية الاحتمالات أيضًا في الرياضيات العليا التي يتم تدريسها في الجامعات. غالبًا ما تعمل باستخدام تعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. الصيغ والأمثلة ( الرياضيات العليا) من الأفضل أن تبدأ الدراسة بشكل صغير - بالتعريف الإحصائي (أو التكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي، ولكنه يوسعه قليلا. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد احتمال حدوث حدث ما، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي"، والذي يمكن الإشارة إليه بالرمز W n (A). الصيغة لا تختلف عن الصيغة الكلاسيكية:

لو الصيغة الكلاسيكيةمحسوبة للتنبؤ، ثم إحصائية - وفقا لنتائج التجربة. لنأخذ مهمة صغيرة على سبيل المثال.

يقوم قسم المراقبة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. ومن بين 100 منتج، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. كيفية العثور على احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر المنتج عالي الجودة."

دبليو ن (أ)=97/100=0.97

وبالتالي، فإن تكرار المنتج عالي الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من بين 100 منتج تم فحصها، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. نطرح 3 من 100 ونحصل على 97، هذه هي كمية البضائع عالية الجودة.

قليلا عن التوافقيات

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالات تسمى التوافقيات. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن اتخاذ خيار معين (أ). طرق مختلفة، ويتم اختيار B بطرق مختلفة، فيمكن اختيار A وB عن طريق الضرب.

على سبيل المثال، هناك 5 طرق تؤدي من المدينة أ إلى المدينة ب. هناك 4 مسارات من المدينة B إلى المدينة C. بكم طريقة يمكنك الانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج؟

الأمر بسيط: 5x4=20، أي يمكنك الانتقال من النقطة "أ" إلى النقطة "ج" بعشرين طريقة مختلفة.

دعونا تعقيد المهمة. كم عدد الطرق المتاحة لوضع البطاقات في لعبة السوليتير؟ هناك 36 بطاقة في المجموعة - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة في كل مرة من نقطة البداية والضرب.

أي أن 36x35x34x33x32...x2x1= لا تظهر النتيجة على شاشة الآلة الحاسبة، لذلك يمكن تحديدها ببساطة بالرقم 36!. لافتة "!" بجوار الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة معًا.

في التوافقيات هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة بالترتيب. يمكن تكرار المواضع، أي أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. n هي جميع العناصر، m هي العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون تكرار كما يلي:

أ ن م = ن!/(ن-م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب المواضع بالتباديل. في الرياضيات يبدو الأمر كالتالي: P n = n!

مجموعات n من عناصر m هي تلك المركبات التي من المهم فيها ما هي العناصر وما هي المجموع. ستبدو الصيغة كما يلي:

أ ن م =ن!/م!(ن-م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات، كما هو الحال في كل تخصص، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم الذين أوصلوها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي، التي تسمح لك بتحديد احتمالية وقوع حدث معين ومتى ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن حدوث A في التجربة لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث نفس الحدث في تجارب سابقة أو لاحقة.

معادلة برنولي:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) ثابت لكل تجربة. سيتم حساب احتمال حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب من خلال الصيغة الموضحة أعلاه. وعليه فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث A لعدد مرات، وفقًا لذلك، فقد لا يحدث. الوحدة عبارة عن رقم يُستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في أحد التخصصات. لذلك، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع حدث ما.

الآن أنت تعرف صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرًا لأنه من غير المعروف عدد الزوار الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء، سواء كان واحدًا أو الستة جميعًا، فمن الضروري حساب الكل الاحتمالات الممكنةباستخدام صيغة برنولي.

أ = "سيقوم الزائر بالشراء".

في هذه الحالة: ع = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وبناء على ذلك، ف=1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (حيث يوجد 6 عملاء في المتجر). سيختلف الرقم m من 0 (لن يقوم عميل واحد بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). ونتيجة لذلك نحصل على الحل:

ف 6 (0) = ج 0 6 ×ص 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه، تطرح أسئلة حول أين ذهب C وr. بالنسبة إلى p، فإن الرقم أس 0 سيكون مساويًا لواحد. أما بالنسبة لـ C فيمكن إيجادها بالصيغة:

ج ن م = ن! /م!(ن-م)!

حيث أنه في المثال الأول m = 0، على التوالي، C = 1، وهو ما لا يؤثر من حيث المبدأ على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة، دعونا نحاول معرفة احتمال قيام زائرين بشراء البضائع.

ف 6 (2) = ج 6 2 ×ص 2 ×ف 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمالية ليست بهذا التعقيد. إن صيغة برنولي، والأمثلة المعروضة أعلاه، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية ذات الاحتمالية المنخفضة.

الصيغة الأساسية:

ف ن (م)=  م /م! × ه (-ẫ) .

في هذه الحالة lect = n x p. هنا صيغة بواسون بسيطة (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3: أنتج المصنع 100.000 قطعة. حدوث جزء معيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترون، الزواج هو حدث غير محتمل، وبالتالي يتم استخدام صيغة بواسون (نظرية الاحتمالية) للحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص؛ فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة المحددة:

A = "الجزء الذي تم اختياره عشوائيًا سيكون معيبًا."

ع = 0.0001 (حسب شروط المهمة).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 ر (5) = 10 5 /5! X ه -10 = 0.0375.

تمامًا مثل صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)، وأمثلة الحلول المستخدمة المذكورة أعلاه، تحتوي معادلة بواسون على قيمة e غير معروفة، وفي الواقع يمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

e -π = lim n ->∞ (1-/n) n .

ومع ذلك، هناك جداول خاصة تحتوي على جميع قيم e تقريبًا.

نظرية دي موافر لابلاس

إذا كان عدد التجارب في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية، وكان احتمال وقوع الحدث A في جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال وقوع الحدث A لعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات بواسطة صيغة لابلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

لتتذكر صيغة لابلاس (نظرية الاحتمالية) بشكل أفضل، توجد أمثلة للمسائل أدناه للمساعدة.

أولاً، دعونا نعثر على X m، ونستبدل البيانات (جميعها مذكورة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول نجد الرقم ϕ(0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال جميع البيانات في الصيغة:

ف 800 (267) = 1/√(800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 = 3/40 × 0.3988 = 0.03.

وبالتالي فإن احتمال ذلك نشرة إعلانيةسوف تعمل بالضبط 267 مرة، هو 0.03.

صيغة بايز

صيغة بايز (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على حل المشكلات التي سيتم تقديم المساعدة بها أدناه، هي معادلة تصف احتمالية حدث ما بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الأساسية هي كما يلي:

P (A|B) = P (B|A) × P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P(A|B) هو احتمال مشروط، أي أن الحدث A يمكن أن يقع بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

P (B|A) - الاحتمال الشرطي للحدث B.

لذا، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هو صيغة بايز، وفيما يلي أمثلة لحلول المشكلات.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. وفي الوقت نفسه، تبلغ حصة الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول 25%، وفي الثاني 60%، وفي الثالث 15%. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​​​نسبة المنتجات المعيبة في المصنع الأول 2٪ وفي الثاني 4٪ وفي الثالث 1٪. أنت بحاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا معيبًا.

A = "الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا."

ب1- الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول. وعليه سيظهر التعريف ب2 وب3 (للمصنعين الثاني والثالث).

ونتيجة لذلك نحصل على:

ف (ب 1) = 25%/100% = 0.25؛ ف(ب 2) = 0.6؛ P (B 3) = 0.15 - وهكذا وجدنا احتمال كل خيار.

الآن نحن بحاجة إلى العثور عليها الاحتمالات المشروطةالحدث المرغوب فيه، وهو احتمال وجود منتجات معيبة في الشركات:

ف (أ/ب 1) = 2%/100% = 0.02؛

ف(أ/ب 2) = 0.04؛

ف (أ/ب 3) = 0.01.

الآن دعونا نستبدل البيانات في صيغة بايز ونحصل على:

ف (أ) = 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 = 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات، ولكن هذا ليس سوى غيض من فيض من نظام واسع. وبعد كل ما تم كتابته، سيكون من المنطقي طرح سؤال ما إذا كانت هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال في الحياة. إلى الرجل العاديمن الصعب الإجابة، فمن الأفضل أن تسأل شخصًا استخدمها ليفوز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.