في البداية ، كونها مجرد مجموعة من المعلومات والملاحظات التجريبية للعبة النرد ، أصبحت نظرية الاحتمالية علمًا قويًا. كان فيرما وباسكال أول من أعطاها إطارًا رياضيًا.

من تأملات في الأبدية إلى نظرية الاحتمال

تُعرف الشخصيتان اللتان تدين لهما نظرية الاحتمال بالعديد من الصيغ الأساسية ، وهما بليز باسكال وتوماس بايز ، بأشخاص متدينين بشدة ، وكان الأخير قسيسًا مشيخيًا. على ما يبدو ، فإن رغبة هذين العالمين في إثبات مغالطة الرأي حول ثروة معينة ، ومنح الحظ السعيد لمفضلاتها ، أعطت زخمًا للبحث في هذا المجال. بعد كل شيء ، في الواقع ، أي لعبة حظ ، مع انتصاراتها وخسائرها ، هي مجرد سيمفونية من المبادئ الرياضية.

بفضل إثارة Chevalier de Mere ، الذي كان بنفس القدر لاعبًا وشخصًا لم يكن غير مبالٍ بالعلم ، اضطر باسكال إلى إيجاد طريقة لحساب الاحتمال. كان De Mere مهتمًا بهذا السؤال: "كم مرة تحتاج إلى رمي نردتين في أزواج حتى يتجاوز احتمال الحصول على 12 نقطة 50٪؟". السؤال الثاني الذي أثار اهتمام الرجل المحترم للغاية: "كيف يقسم الرهان بين المشاركين في اللعبة غير المنتهية؟" بالطبع ، نجح باسكال في الإجابة على كلا السؤالين عن دي مير ، الذي أصبح البادئ غير المتعمد لتطوير نظرية الاحتمال. من المثير للاهتمام أن شخصية دي مير بقيت معروفة في هذا المجال ، وليس في الأدب.

في السابق ، لم يقم أي عالم رياضيات بمحاولة حساب احتمالات الأحداث ، حيث كان يُعتقد أن هذا كان مجرد حل للتخمين. قدم بليز باسكال أول تعريف لاحتمال وقوع حدث وأظهر أن هذا رقم محدد يمكن تبريره رياضيًا. أصبحت نظرية الاحتمالات أساس الإحصاء وتستخدم على نطاق واسع في العلوم الحديثة.

ما هي العشوائية

إذا أخذنا في الاعتبار اختبارًا يمكن تكراره لعدد غير محدود من المرات ، فيمكننا تحديد حدث عشوائي. هذه إحدى النتائج المحتملة للتجربة.

الخبرة هي تنفيذ إجراءات محددة في ظروف ثابتة.

لكي تكون قادرًا على العمل مع نتائج التجربة ، عادةً ما يتم الإشارة إلى الأحداث بالحروف A ، B ، C ، D ، E ...

احتمال وقوع حدث عشوائي

لتكون قادرًا على المضي قدمًا في الجزء الرياضي من الاحتمال ، من الضروري تحديد جميع مكوناته.

احتمال وقوع حدث هو مقياس رقمي لإمكانية حدوث حدث ما (أ أو ب) نتيجة للتجربة. يُشار إلى الاحتمال على أنه P (A) أو P (B).

نظرية الاحتمالية هي:

• موثوق بهاالحدث مضمون حدوثه كنتيجة للتجربة Р (Ω) = 1 ؛
• غير ممكنلا يمكن أن يحدث الحدث أبدًا Р (Ø) = 0 ؛
• عشوائييقع الحدث بين مؤكد ومستحيل ، أي أن احتمال حدوثه ممكن ، لكنه غير مضمون (احتمال وقوع حدث عشوائي يكون دائمًا في حدود 0≤P (A) ≤1).

العلاقات بين الأحداث

يتم أخذ كل من الحدث ومجموع الأحداث A + B في الاعتبار عندما يتم حساب الحدث في تنفيذ أحد المكونات على الأقل ، A أو B ، أو كليهما - A و B.

فيما يتعلق ببعضها البعض ، يمكن أن تكون الأحداث:

• ممكن بنفس القدر.
• متوافق.
• غير متوافق.
• العكس (يستبعد أحدهما الآخر).
• يعتمد.

إذا كان من الممكن حدوث حدثين باحتمالية متساوية ، فعندئذٍ هم ممكن بالتساوي.

إذا كان وقوع الحدث A لا يلغي احتمال وقوع الحدث B ، فعندئذٍ هم متوافق.

إذا لم يحدث الحدثان A و B في نفس الوقت في نفس التجربة ، فسيتم استدعاؤهما غير متوافق. يُعد إلقاء عملة معدنية مثالاً جيدًا: فالذيول التي تظهر لا تظهر بشكل تلقائي.

يتكون احتمال مجموع هذه الأحداث غير المتوافقة من مجموع احتمالات كل حدث من الأحداث:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

إذا كان وقوع حدث ما يجعل حدوث حدث آخر أمرًا مستحيلًا ، فيُدعى العكس. ثم يتم تعيين أحدهما على أنه A ، والآخر - Ā (يُقرأ على أنه "ليس A"). يعني حدوث الحدث A أن لم يحدث. يشكل هذان الحدثان مجموعة كاملة بمجموع احتمالات يساوي 1.

الأحداث التابعة لها تأثير متبادل ، مما يقلل أو يزيد من احتمال الآخر.

العلاقات بين الأحداث. أمثلة

من الأسهل بكثير فهم مبادئ نظرية الاحتمالية ومجموعة الأحداث باستخدام الأمثلة.

التجربة التي سيتم تنفيذها هي سحب الكرات من الصندوق ، وتكون نتيجة كل تجربة نتيجة أولية.

الحدث هو إحدى النتائج المحتملة للتجربة - كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة برقم ستة ، إلخ.

رقم الاختبار 1. هناك 6 كرات ، ثلاث منها زرقاء بأرقام فردية ، والثلاث الأخرى حمراء بأرقام زوجية.

رقم الاختبار 2. هناك 6 كرات زرقاء بأرقام من واحد إلى ستة.

بناءً على هذا المثال ، يمكننا تسمية المجموعات:

• حدث موثوق.بالإسبانية رقم 2 ، حدث "الحصول على الكرة الزرقاء" يمكن الاعتماد عليه ، لأن احتمال حدوثه هو 1 ، حيث أن جميع الكرات زرقاء ولا يمكن تفويتها. في حين أن حدث "الحصول على الكرة بالرقم 1" يكون عشوائيًا.
• حدث مستحيل.بالإسبانية رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء ، فإن حدث "الحصول على الكرة الأرجواني" مستحيل ، لأن احتمال حدوثه هو صفر.
• أحداث مماثلة.بالإسبانية رقم 1 ، الأحداث "الحصول على الكرة بالرقم 2" و "الحصول على الكرة بالرقم 3" متساوية الاحتمال ، والأحداث "الحصول على الكرة برقم زوجي" و "الحصول على الكرة بالرقم 2 "احتمالات مختلفة.
• أحداث متوافقة.الحصول على ستة في عملية رمي النرد مرتين على التوالي أحداث متوافقة.
• أحداث غير متوافقة.في نفس الاسبانية لا يمكن الجمع بين الحدثين رقم 1 "الحصول على الكرة الحمراء" و "الحصول على الكرة برقم فردي" في نفس التجربة.
• أحداث معاكسة.المثال الأكثر لفتًا للانتباه على ذلك هو رمي العملة ، حيث يكون رسم الرؤوس هو نفسه عدم رسم ذيول ، ومجموع احتمالاتها دائمًا هو 1 (مجموعة كاملة).
• الأحداث التابعة. لذلك ، باللغة الإسبانية رقم 1 ، يمكنك وضع هدف انتزاع كرة حمراء مرتين على التوالي. يؤثر استخراجه أو عدم استخراجه في المرة الأولى على احتمال استخراجه للمرة الثانية.

يمكن ملاحظة أن الحدث الأول يؤثر بشكل كبير على احتمال الثاني (40٪ و 60٪).

صيغة احتمالية الحدث

يحدث الانتقال من الكهانة إلى البيانات الدقيقة عن طريق نقل الموضوع إلى المستوى الرياضي. أي أن الأحكام المتعلقة بحدث عشوائي مثل "الاحتمالية العالية" أو "الحد الأدنى من الاحتمال" يمكن ترجمتها إلى بيانات رقمية محددة. يجوز بالفعل تقييم هذه المواد ومقارنتها وإدخالها في حسابات أكثر تعقيدًا.

من وجهة نظر الحساب ، فإن تعريف احتمالية حدث ما هو نسبة عدد النتائج الإيجابية الأولية إلى عدد جميع النتائج المحتملة للتجربة فيما يتعلق بحدث معين. يُرمز إلى الاحتمال P (A) ، حيث P تعني كلمة "probability" ، والتي تُترجم من الفرنسية إلى "probability".

إذن ، صيغة احتمال وقوع حدث هي:

حيث m هو عدد النتائج المفضلة للحدث A ، n هو مجموع كل النتائج الممكنة لهذه التجربة. دائمًا ما يكون احتمال وقوع حدث بين 0 و 1:

0 ≤ الفوسفور (أ) ≤ 1.

حساب احتمال وقوع حدث. مثال

لنأخذ الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الموصوفة سابقاً: 3 كرات زرقاء بأرقام 1/3/5 و 3 كرات حمراء بأرقام 2/4/6.

بناءً على هذا الاختبار ، يمكن النظر في عدة مهام مختلفة:

• أ- قطرة الكرة الحمراء. هناك ثلاث كرات حمراء ، وهناك 6 متغيرات في المجموع ، وهذا هو أبسط مثال ، حيث يكون احتمال وقوع حدث هو P (A) = 3/6 = 0.5.
• ب - إسقاط رقم زوجي. هناك 3 (2،4،6) أرقام زوجية في المجموع ، والعدد الإجمالي للخيارات العددية الممكنة هو 6. احتمال هذا الحدث هو P (B) = 3/6 = 0.5.
• C - خسارة رقم أكبر من 2. هناك 4 خيارات من هذا القبيل (3،4،5،6) من العدد الإجمالي للنتائج المحتملة 6. احتمال الحدث C هو P (C) = 4/6 = 0.67.

كما يتضح من الحسابات ، فإن الحدث C له احتمالية أعلى ، لأن عدد النتائج الإيجابية المحتملة أعلى من A و B.

أحداث غير متوافقة

لا يمكن أن تظهر مثل هذه الأحداث في نفس الوقت في نفس التجربة. كما في الاسبانية رقم 1 ، من المستحيل الحصول على كرة زرقاء وحمراء في نفس الوقت. أي يمكنك الحصول على كرة زرقاء أو حمراء. بالطريقة نفسها ، لا يمكن أن يظهر الرقم الفردي والزوجي في النرد في نفس الوقت.

يعتبر احتمال حدثين بمثابة احتمال لمجموعهما أو حاصل ضربهما. يعتبر مجموع هذه الأحداث A + B حدثًا يتكون من ظهور حدث A أو B ، ونتج AB الخاص بهما - في ظهور كليهما. على سبيل المثال ، ظهور اثنين من الستات مرة واحدة على وجوه نردتين في رمية واحدة.

مجموع الأحداث المتعددة هو حدث يشير إلى حدوث واحد منها على الأقل. نتاج العديد من الأحداث هو حدوثها جميعًا بشكل مشترك.

في نظرية الاحتمالات ، كقاعدة عامة ، يشير استخدام الاتحاد "و" إلى المجموع أو الاتحاد "أو" - الضرب. ستساعدك الصيغ مع الأمثلة على فهم منطق الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات.

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة

إذا تم أخذ احتمال الأحداث غير المتوافقة في الاعتبار ، فإن احتمال مجموع الأحداث يساوي مجموع احتمالاتها:

ل (أ + ب) = ف (أ) + ف (ب)

على سبيل المثال: نحسب احتمال ذلك باللغة الإسبانية. رقم 1 مع الكرات الزرقاء والحمراء سوف يسقط رقمًا بين 1 و 4. لن نحسب في إجراء واحد ، ولكن من خلال مجموع احتمالات المكونات الأولية. لذلك ، في مثل هذه التجربة هناك 6 كرات فقط أو 6 من كل النتائج الممكنة. الأرقام التي تحقق الشرط هي 2 و 3. احتمال الحصول على الرقم 2 هو 1/6 ، واحتمال الرقم 3 هو أيضًا 1/6. احتمال الحصول على رقم بين 1 و 4 هو:

احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة لمجموعة كاملة هو 1.

لذا ، إذا قمنا في التجربة باستخدام مكعب بجمع احتمالات الحصول على جميع الأرقام ، فنتيجة لذلك نحصل على واحد.

وينطبق هذا أيضًا على الأحداث المعاكسة ، على سبيل المثال ، في تجربة عملة معدنية ، حيث يكون أحد جانبيها هو الحدث A ، والآخر هو الحدث المعاكس Ā ، كما هو معروف ،

Р (А) + Р (Ā) = 1

احتمال إنتاج أحداث غير متوافقة

يتم استخدام مضاعفة الاحتمالات عند النظر في حدوث حدثين غير متوافقين أو أكثر في ملاحظة واحدة. احتمال ظهور الحدثين A و B فيه في نفس الوقت يساوي ناتج احتمالاتهما ، أو:

الفوسفور (أ * ب) = ف (أ) * ف (ب)

على سبيل المثال ، احتمال أن في رقم 1 نتيجة محاولتين ، ستظهر كرة زرقاء مرتين ، تساوي

أي أن احتمال وقوع حدث عندما ، نتيجة محاولتين لاستخراج الكرات ، سيتم استخراج الكرات الزرقاء فقط ، هو 25٪. من السهل جدًا إجراء تجارب عملية على هذه المشكلة ومعرفة ما إذا كان هذا هو الحال بالفعل.

الأحداث المشتركة

تعتبر الأحداث مشتركة عندما يتزامن ظهور أحدهما مع ظهور الآخر. على الرغم من حقيقة أنها مشتركة ، يتم النظر في احتمال وقوع أحداث مستقلة. على سبيل المثال ، يمكن أن يعطي رمي نردتين نتيجة عندما يسقط الرقم 6 عليهما. وعلى الرغم من أن الأحداث تزامنت وظهرت في وقت واحد ، إلا أنها مستقلة عن بعضها البعض - يمكن أن يسقط واحد فقط ، ولن يكون للنرد الثاني أي تأثير عليه .

يعتبر احتمال الأحداث المشتركة بمثابة احتمال لمجموعها.

احتمال مجموع الأحداث المشتركة. مثال

إن احتمال مجموع الأحداث A و B ، والمشتركين فيما يتعلق ببعضهما البعض ، يساوي مجموع احتمالات الحدث مطروحًا منه احتمال منتجهم (أي التنفيذ المشترك):

مفصل R. (A + B) \ u003d P (A) + P (B) - P (AB)

افترض أن احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.4. ثم حدث أ - إصابة الهدف في المحاولة الأولى ، ب - في المحاولة الثانية. هذه الأحداث مشتركة ، لأنه من الممكن إصابة الهدف من اللقطة الأولى ومن اللقطة الثانية. لكن الأحداث لا تتوقف. ما هو احتمالية إصابة الهدف بضربتين (واحدة على الأقل)؟ حسب الصيغة:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

والجواب على السؤال هو: "احتمال إصابة الهدف بضربتين 64٪".

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة الخاصة باحتمالية وقوع حدث ما على الأحداث غير المتوافقة ، حيث يكون احتمال الحدوث المشترك لحدث P (AB) = 0. وهذا يعني أن احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يمكن اعتباره حالة خاصة من الصيغة المقترحة.

هندسة الاحتمالية من أجل الوضوح

ومن المثير للاهتمام ، أن احتمال مجموع الأحداث المشتركة يمكن تمثيله كمنطقتين A و B تتقاطعان مع بعضهما البعض. كما ترى من الصورة ، فإن مساحة اتحادهم تساوي إجمالي المساحة مطروحًا منها مساحة تقاطعهم. هذا التفسير الهندسي يجعل الصيغة التي تبدو غير منطقية أكثر قابلية للفهم. لاحظ أن الحلول الهندسية ليست غير شائعة في نظرية الاحتمالات.

يعد تعريف احتمال مجموع مجموعة (أكثر من اثنين) من الأحداث المشتركة مرهقًا إلى حد ما. لحسابها ، تحتاج إلى استخدام الصيغ المتوفرة لهذه الحالات.

الأحداث التابعة

يتم استدعاء الأحداث التابعة إذا كان حدوث أحدها (أ) يؤثر على احتمال حدوث الآخر (ب). علاوة على ذلك ، يتم أخذ تأثير حدوث كل من الحدث A وعدم حدوثه في الاعتبار. على الرغم من أن الأحداث تسمى تابعة حسب التعريف ، إلا أن واحدًا منها فقط يعتمد على (B). تم الإشارة إلى الاحتمال المعتاد على أنه P (B) أو احتمال وقوع أحداث مستقلة. في حالة المعالين ، يتم تقديم مفهوم جديد - الاحتمال الشرطي P A (B) ، وهو احتمال الحدث التابع B بشرط وقوع الحدث A (الفرضية) ، والذي يعتمد عليه.

لكن الحدث A عشوائي أيضًا ، لذلك فإن له أيضًا احتمالًا يجب ويمكن أخذه في الاعتبار في الحسابات. سيوضح المثال التالي كيفية التعامل مع الأحداث التابعة والفرضية.

مثال لحساب احتمالية الأحداث التابعة

من الأمثلة الجيدة لحساب الأحداث التابعة مجموعة أوراق اللعب القياسية.

في مثال مجموعة الأوراق المكونة من 36 بطاقة ، ضع في اعتبارك الأحداث التابعة. من الضروري تحديد احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة من سطح السفينة بدلة ماسية ، إذا كانت البطاقة الأولى المسحوبة هي:

1. دف صغير.
2. حلة أخرى.

من الواضح أن احتمال الحدث الثاني B يعتمد على الأول A. لذا ، إذا كان الخيار الأول صحيحًا ، وهو بطاقة واحدة (35) و 1 ماسة (8) أقل في المجموعة ، فإن احتمال الحدث B:

الفوسفور أ (ب) = 8/35 = 0.23

إذا كان الخيار الثاني صحيحًا ، فهناك 35 بطاقة في المجموعة ، ولا يزال إجمالي عدد الدفوف (9) محفوظًا ، فإن احتمال الحدث التالي هو B:

الفوسفور أ (ب) = 9/35 = 0.26.

يمكن ملاحظة أنه إذا كان الحدث A مشروطًا بحقيقة أن البطاقة الأولى عبارة عن ماسة ، فإن احتمال الحدث B يتناقص والعكس صحيح.

مضاعفة الأحداث التابعة

بناءً على الفصل السابق ، نقبل الحدث الأول (أ) كحقيقة ، لكن في جوهره ، له طابع عشوائي. احتمال حدوث هذا الحدث ، أي استخراج الدف من مجموعة أوراق اللعب ، يساوي:

الفوسفور (أ) = 9/36 = 1/4

نظرًا لأن النظرية لا توجد في حد ذاتها ، ولكن يتم استدعاؤها لخدمة أغراض عملية ، فمن الإنصاف ملاحظة أنه غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى احتمال إنتاج أحداث تابعة.

وفقًا للنظرية حول ناتج احتمالات الأحداث التابعة ، فإن احتمال حدوث أحداث مرتبطة بشكل مشترك A و B يساوي احتمال حدث واحد A مضروبًا في الاحتمال الشرطي للحدث B (اعتمادًا على A):

ف (أ ب) \ u003d ف (أ) * ف أ (ب)

ثم في المثال الذي يحتوي على سطح السفينة ، فإن احتمال سحب ورقتين ببدلة من الماس هو:

9/36 * 8/35 = 0.0571 أو 5.7٪

واحتمال الاستخراج ليس الماس في البداية ثم الماس يساوي:

27/36 * 9/35 = 0.19 أو 19٪

يمكن ملاحظة أن احتمال حدوث الحدث B أكبر ، بشرط أن يتم رسم بطاقة من نوع آخر غير الماسة أولاً. هذه النتيجة منطقية ومفهومة تمامًا.

إجمالي احتمال وقوع حدث

عندما تصبح مشكلة الاحتمالات الشرطية متعددة الأوجه ، لا يمكن حسابها بالطرق التقليدية. عندما يكون هناك أكثر من فرضيتين ، وهما A1 ، A2 ، ... ، A n ، .. تشكل مجموعة كاملة من الأحداث تحت الشرط:

• P (A i)> 0 ، i = 1،2 ، ...
• A i ∩ A j = Ø، i ≠ j.
• Σ ل أ ل = Ω.

إذن ، صيغة الاحتمال الإجمالي للحدث B مع مجموعة كاملة من الأحداث العشوائية A1 ، A2 ، ... ، A n هي:

نظرة إلى المستقبل

يعد احتمال وقوع حدث عشوائي أمرًا ضروريًا في العديد من مجالات العلوم: الاقتصاد القياسي والإحصاء والفيزياء وما إلى ذلك. نظرًا لأن بعض العمليات لا يمكن وصفها بشكل حتمي ، نظرًا لأنها احتمالية بحد ذاتها ، هناك حاجة إلى طرق عمل خاصة. يمكن استخدام احتمالية نظرية الحدث في أي مجال تقني كطريقة لتحديد احتمال حدوث خطأ أو عطل.

يمكن القول أنه من خلال التعرف على الاحتمال ، فإننا بطريقة ما نتخذ خطوة نظرية في المستقبل ، بالنظر إليها من خلال منظور الصيغ.

التعريف الكلاسيكي والإحصائي للاحتمال

للنشاط العملي ، من الضروري أن تكون قادرًا على مقارنة الأحداث وفقًا لدرجة احتمال حدوثها. لنفكر في الحالة الكلاسيكية. تحتوي الجرة على 10 كرات ، 8 منها بيضاء و 2 سوداء. من الواضح أن حدث "سيتم سحب كرة بيضاء من الجرة" وحدث "سيتم سحب كرة سوداء من الجرة" لهما درجات مختلفة من احتمالية حدوثهما. لذلك ، لمقارنة الأحداث ، هناك حاجة إلى مقياس كمي معين.

المقياس الكمي لاحتمال وقوع حدث ما هو احتمالا . الأكثر استخدامًا هما تعريفان لاحتمال حدث: كلاسيكي وإحصائي.

التعريف الكلاسيكيالاحتمال مرتبط بمفهوم النتيجة الإيجابية. دعونا نتناول هذا بمزيد من التفصيل.

دع نتائج بعض الاختبارات تشكل مجموعة كاملة من الأحداث وتكون محتملة بنفس القدر ، أي ممكنة بشكل فريد وغير متسقة وممكنة بشكل متساوٍ. تسمى هذه النتائج النتائج الأولية، أو حالات. يقال أن الاختبار تم تقليله إلى مخطط حالةأو " مخطط جرة"، لان يمكن استبدال أي مشكلة احتمالية لمثل هذا الاختبار بمشكلة مكافئة مع الجرار والكرات ذات الألوان المختلفة.

يسمى الخروج ملائمحدث لكنإذا كان وقوع هذه الحالة يستلزم وقوع الحدث لكن.

حسب التعريف الكلاسيكي احتمالية الحدث A يساوي نسبة عدد النتائج التي تفضل هذا الحدث إلى إجمالي عدد النتائج، بمعنى آخر.

,

(1.1)

أين ف (أ)- احتمال وقوع حدث لكن; م- عدد القضايا المؤاتية للحدث لكن; نهو العدد الإجمالي للحالات.

المثال 1.1.عند رمي النرد ، هناك ست نتائج محتملة - خسارة 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 نقاط. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي من النقاط؟

قرار. الجميع ن= 6 نتائج تشكل مجموعة كاملة من الأحداث وهي متساوية الاحتمال ، أي ممكنة بشكل فريد وغير متسقة وممكنة بشكل متساوٍ. الحدث أ - "ظهور عدد زوجي من النقاط" - مفضل بثلاث نتائج (حالات) - خسارة 2 أو 4 أو 6 نقاط. وفقًا للصيغة الكلاسيكية لاحتمالية حدث ما ، نحصل عليها

ف (أ) = = . ◄

بناءً على التعريف الكلاسيكي لاحتمالية حدث ما ، نلاحظ خصائصه:

1. يقع احتمال وقوع أي حدث بين صفر وواحد ، أي

0 ≤ ص(لكن) ≤ 1.

2. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا.

3. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

كما ذكرنا سابقًا ، لا ينطبق التعريف الكلاسيكي للاحتمال إلا على تلك الأحداث التي يمكن أن تظهر كنتيجة للتجارب التي لها تناسق في النتائج المحتملة ، أي قابلة للاختزال إلى مخطط الحالات. ومع ذلك ، هناك فئة كبيرة من الأحداث التي لا يمكن حساب احتمالاتها باستخدام التعريف الكلاسيكي.

على سبيل المثال ، إذا افترضنا أن العملة مفلطحة ، فمن الواضح أن أحداث "ظهور شعار النبالة" و "ظهور ذيول" لا يمكن اعتبارهما متساويين. لذلك ، فإن صيغة تحديد الاحتمال وفقًا للمخطط الكلاسيكي لا تنطبق في هذه الحالة.

ومع ذلك ، هناك نهج آخر لتقييم احتمالية الأحداث ، بناءً على عدد مرات حدوث حدث معين في الاختبارات التي يتم إجراؤها. في هذه الحالة ، يتم استخدام التعريف الإحصائي للاحتمال.

الاحتمال الإحصائيالحدث A هو التردد النسبي (التردد) لحدوث هذا الحدث في n من الاختبارات التي تم إجراؤها ، أي

,

(1.2)

أين ص * (أ)هو الاحتمال الإحصائي لحدث ما لكن; ث (أ)هو التكرار النسبي للحدث لكن; مهو عدد المحاكمات التي وقع فيها الحدث لكن; نهو العدد الإجمالي للمحاكمات.

على عكس الاحتمال الرياضي ف (أ)يعتبر في التعريف الكلاسيكي ، الاحتمال الإحصائي ص * (أ)هي خاصية يختبر, تجريبي. بمعنى آخر ، الاحتمال الإحصائي لحدث ما لكنيتم استدعاء الرقم ، بالنسبة إلى التردد النسبي الذي تم تثبيته (ثابت) ث (أ)مع زيادة غير محدودة في عدد الاختبارات التي يتم إجراؤها في نفس مجموعة الشروط.

على سبيل المثال ، عندما يقولون عن مطلق النار إنه يصيب هدفًا باحتمال 0.95 ، فهذا يعني أنه من بين مائة طلقة أطلقها في ظل ظروف معينة (نفس الهدف على نفس المسافة ، نفس البندقية ، إلخ. ) ، في المتوسط ​​هناك حوالي 95 ناجحًا. بطبيعة الحال ، لن تحصل كل مائة على 95 طلقة ناجحة ، وفي بعض الأحيان سيكون هناك عدد أقل ، وأحيانًا أكثر ، ولكن في المتوسط ​​، مع تكرار إطلاق النار في نفس الظروف ، ستبقى هذه النسبة المئوية من الضربات دون تغيير. عادة ما يكون الرقم 0.95 ، والذي يعمل كمؤشر على مهارة الرامي ، مرتفعًا جدًا مستقر، بمعنى آخر. ستكون نسبة الضربات في معظم عمليات إطلاق النار هي نفسها تقريبًا بالنسبة لمطلق النار ، فقط في حالات نادرة تنحرف بأي شكل من الأشكال عن متوسط ​​قيمتها.

عيب آخر للتعريف الكلاسيكي للاحتمال ( 1.1 ) ، مما يحد من تطبيقه هو أنه يفترض عددًا محدودًا من نتائج الاختبار المحتملة. في بعض الحالات ، يمكن التغلب على هذا النقص باستخدام التعريف الهندسي للاحتمال ، أي إيجاد احتمال إصابة نقطة في منطقة معينة (جزء ، جزء من مستو ، إلخ).

دع الشكل المسطح زيشكل جزءًا من شكل مسطح جي(الشكل 1.1). على الشكل جييتم إلقاء نقطة بشكل عشوائي. هذا يعني أن جميع النقاط في المنطقة جي"يساوي" فيما يتعلق بضربه بنقطة عشوائية. بافتراض أن احتمالية وقوع حدث لكن- ضرب نقطة القيت على الشكل ز- يتناسب مع مساحة هذا الشكل ولا يعتمد على موقعه بالنسبة إلى جي، ولا من النموذج ز، تجد

أساسيات نظرية الاحتمالية

يخطط:

1. أحداث عشوائية

2. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

3. حساب احتمالات الحدث والتوافقيات

4. الاحتمال الهندسي

المعلومات النظرية

الأحداث العشوائية.

ظاهرة عشوائية- ظاهرة تتحدد نتائجها بشكل لا لبس فيه. يمكن تفسير هذا المفهوم بمعنى واسع إلى حد ما. أي: كل شيء في الطبيعة عرضي تمامًا ، وظهور وولادة أي فرد هو ظاهرة عشوائية ، واختيار البضائع في المتجر هو أيضًا ظاهرة عشوائية ، والحصول على علامة في الامتحان هو ظاهرة عشوائية ، والمرض والشفاء عشوائي. الظواهر ، إلخ.

أمثلة على الظواهر العشوائية:

~ يتم إطلاق النار من مسدس مثبت بزاوية معينة في الأفق. ضربها على الهدف هو عرضي ، ولكن ضرب قذيفة في "شوكة" معينة هو نمط. يمكنك تحديد المسافة الأقرب من والتي لن تطير بعدها المقذوف. الحصول على بعض "تشتت شوكة القذائف"

~ يتم وزن نفس الجسم عدة مرات. بالمعنى الدقيق للكلمة ، سيتم الحصول على نتائج مختلفة في كل مرة ، وإن كانت تختلف بمقدار ضئيل للغاية ، ولكنها مختلفة.

~ للطائرة التي تحلق على طول نفس المسار ممر طيران معين يمكن للطائرة المناورة فيه ، ولكن لن يكون لها نفس المسار تمامًا

~ لن يتمكن الرياضي مطلقًا من الركض في نفس المسافة في نفس الوقت. ستكون نتائجه أيضًا ضمن نطاق عددي معين.

الخبرة ، التجربة ، الملاحظة هي اختبارات

محاكمة- مراقبة أو استيفاء مجموعة معينة من الشروط التي يتم إجراؤها بشكل متكرر ، وتتكرر بانتظام في نفس التسلسل ، والمدة ، مع مراعاة معايير أخرى متطابقة.

لنفكر في أداء الرياضي لتسديدة على هدف. لكي يتم إنتاجها ، من الضروري استيفاء شروط مثل إعداد الرياضي ، وتحميل السلاح ، والتصويب ، وما إلى ذلك. "ضرب" و "يغيب" هي أحداث نتيجة لقطة.

حدث- نتيجة الاختبار النوعي.

قد يقع أو لا يقع حدث ما يشار إلى الأحداث بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال: D = "مطلق النار أصاب الهدف". S = "كرة بيضاء مسحوبة". K = "تذكرة يانصيب عشوائية بدون فوز".

رمي قطعة نقود هو اختبار. سقوط "شعار النبالة" حدث واحد ، وسقوط "رقمها" هو الحدث الثاني.

أي اختبار ينطوي على وقوع عدة أحداث. قد يحتاج الباحث إلى بعضها في وقت معين ، بينما قد لا تكون هناك حاجة إلى البعض الآخر.

يسمى الحدث عشوائي، إذا كان في إطار تنفيذ مجموعة معينة من الشروط سيمكن أن يحدث أو لا يحدث. في المستقبل ، بدلاً من أن نقول "تم تنفيذ مجموعة الشروط S" ، نقول بإيجاز: "تم تنفيذ الاختبار". وبالتالي ، سيتم اعتبار الحدث كنتيجة للاختبار.

~ يطلق النار على هدف مقسم إلى أربع مناطق. اللقطة اختبار. ضرب منطقة معينة من الهدف هو حدث.

~ هناك كرات ملونة في الجرة. يتم سحب كرة واحدة عشوائيًا من الجرة. إخراج الكرة من الجرة هو اختبار. ظهور كرة بلون معين هو حدث.

أنواع الأحداث العشوائية

1. يقال أن الأحداث غير متوافقةإذا كان وقوع أحدهما يمنع وقوع أحداث أخرى في نفس المحاكمة.

~ تم أخذ جزء عشوائيًا من صندوق به أجزاء. يستثني مظهر الجزء القياسي مظهر الجزء غير القياسي. الأحداث ظهر جزء قياسي "وظهر جزء غير قياسي" - غير متوافق.

~ رُميَت عملة. ظهور "شعار النبالة" يستثني ظهور النقش. الأحداث "ظهر شعار النبالة" و "ظهر نقش" غير متوافقين.

عدة أحداث تتشكل مجموعة كاملةإذا ظهر واحد منهم على الأقل نتيجة للاختبار. وبعبارة أخرى ، فإن وقوع حدث واحد على الأقل من أحداث المجموعة الكاملة هو حدث معين.

على وجه الخصوص ، إذا كانت الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة غير متوافقة مع الزوج ، فسيظهر حدث واحد فقط كنتيجة للاختبار. هذه الحالة الخاصة هي الأكثر أهمية بالنسبة لنا ، حيث يتم استخدامها أدناه.

تم شراء تذكرتي يانصيب النقود والملابس. يجب أن يقع حدث واحد فقط من الأحداث التالية:

1. "سقطت المكاسب على التذكرة الأولى ولم تقع على الثانية" ،

2. "المكاسب لم تقع على التذكرة الأولى وسقطت على الثانية" ،

3. "سقطت المكاسب على كلتا التذكرتين" ،

4. "كلا التذكرتين لم تفز".

تشكل هذه الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة الزوجية ،

~ أطلق مطلق النار رصاصة على الهدف. من المؤكد حدوث أحد الحدثين التاليين: ضرب ، تفوت. يشكل هذان الحدثان المنفصلان أيضًا مجموعة كاملة.

2. يتم استدعاء الأحداث ممكن بالتساويإذا كان هناك سبب للاعتقاد بأن أيًا منهما ليس ممكنًا أكثر من الآخر.

~ ظهور "شعار النبالة" وظهور نقش عند رمي عملة من الأحداث المحتملة بنفس القدر. في الواقع ، من المفترض أن العملة مصنوعة من مادة متجانسة ، ولها شكل أسطواني منتظم ، ولا يؤثر وجود العملة المعدنية على فقدان جانب أو آخر من وجه العملة.

~ ظهور عدد أو أكثر من النقاط على نرد رمي هو حدث محتمل بنفس القدر. في الواقع ، يُفترض أن القالب مصنوع من مادة متجانسة ، وله شكل متعدد السطوح منتظم ، ولا يؤثر وجود النقاط على فقدان أي وجه.

3. يسمى الحدث أصلي،إذا كان لا يمكن أن يحدث

4. يسمى الحدث غير موثوقإذا كان لا يمكن أن يحدث.

5. يسمى الحدث ضدلحدث ما إذا كان يتكون من عدم حدوث حدث معين. الأحداث المعاكسة ليست متوافقة ، ولكن يجب أن يحدث أحدها بالضرورة. يشار إلى الأحداث المعاكسة عادة بالنفي ، أي شرطة مكتوبة فوق الحرف. الأحداث متعاكسة: A و ؛ U و Ū ، إلخ. .

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

الاحتمال هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

هناك عدة تعريفات لهذا المفهوم. دعونا نعطي تعريف يسمى الكلاسيكية. بعد ذلك ، نشير إلى نقاط الضعف في هذا التعريف ونقدم تعريفات أخرى تجعل من الممكن التغلب على أوجه القصور في التعريف الكلاسيكي.

ضع في اعتبارك الموقف: يحتوي الصندوق على 6 كرات متطابقة ، 2 منها حمراء ، و 3 زرقاء وواحدة بيضاء. من الواضح أن إمكانية رسم كرة ملونة (أي حمراء أو زرقاء) عشوائيًا من جرة أكبر من إمكانية رسم كرة بيضاء. يمكن وصف هذا الاحتمال برقم يسمى احتمالية وقوع حدث (ظهور كرة ملونة).

احتمالا- رقم يميز درجة احتمالية وقوع الحدث.

في الحالة قيد النظر ، نشير إلى:

الحدث أ = "سحب كرة ملونة".

تسمى كل نتيجة من النتائج المحتملة للاختبار (يتكون الاختبار من استخراج كرة من الجرة) النتيجة الأولية (المحتملة) والحدث.يمكن الإشارة إلى النتائج الأولية بأحرف مع فهارس أدناه ، على سبيل المثال: ك 1 ، ك 2.

في مثالنا ، هناك 6 كرات ، لذلك هناك 6 نتائج محتملة: ظهرت كرة بيضاء ؛ ظهرت كرة حمراء ظهرت كرة زرقاء ، وهكذا. من السهل أن نرى أن هذه النتائج تشكل مجموعة كاملة من الأحداث غير المتوافقة مع الزوج (ستظهر كرة واحدة بالضرورة) وهي محتملة بنفس القدر (يتم إخراج الكرة عشوائيًا ، والكرات متشابهة ومختلطة تمامًا).

النتائج الأولية ، التي يحدث فيها الحدث الذي يهمنا ، سوف ندعو نتائج مواتيةهذا الحدث. في مثالنا ، يتم تفضيل الحدث لكن(ظهور كرة ملونة) النتائج الخمس التالية:

هكذا الحدث لكنلوحظ إذا حدث أحد في الاختبار ، بغض النظر عن النتائج الأولية التي تفضلها لكن.هذا شكل أي كرة ملونة ، يوجد منها 5 قطع في الصندوق

في المثال المدروس من النتائج الأولية 6 ؛ منها 5 تفضل الحدث لكن.لذلك، ف (أ) = 5/6. يعطي هذا الرقم هذا التقدير الكمي لدرجة احتمالية ظهور كرة ملونة.

تعريف الاحتمالية:

احتمالية الحدث أهي نسبة عدد النتائج المواتية لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي لجميع النتائج الأولية غير المتوافقة الممكنة والمتساوية التي تشكل مجموعة كاملة.

P (A) = m / n أو P (A) = m: n ، حيث:

م هو عدد النتائج الأولية التي تفضل لكن؛

ص- عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للاختبار.

من المفترض هنا أن النتائج الأولية غير متوافقة ، واحتمالية متساوية وتشكل مجموعة كاملة.

الخصائص التالية تتبع من تعريف الاحتمال:

1. احتمال حدث معين يساوي واحد.

في الواقع ، إذا كان الحدث موثوقًا به ، فإن كل نتيجة أولية للاختبار تفضل الحدث. في هذه الحالة م = نومن ثم ص = 1

2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

في الواقع ، إذا كان الحدث مستحيلًا ، فلن تكون أي من النتائج الأولية للمحاكمة في صالح الحدث. في هذه الحالة م = 0 ، ومن ثم ف = 0.

3.احتمال وقوع حدث عشوائي هو رقم موجب بين صفر وواحد. 0ر< n.

في الموضوعات اللاحقة ، سيتم إعطاء النظريات التي تسمح لنا بإيجاد احتمالات الأحداث الأخرى من الاحتمالات المعروفة لبعض الأحداث.

قياس. هناك 6 فتيات و 4 فتيان في مجموعة الطلاب. ما هو احتمال أن تكون الطالبة التي تم اختيارها عشوائيًا فتاة؟ هل سيكون شابا؟

ع ديف = 6/10 = 0.6 ص جون = 4/10 = 0.4

إن مفهوم "الاحتمال" في الدورات الحديثة الصارمة لنظرية الاحتمال مبني على أساس نظري المجموعة. دعنا نلقي نظرة على بعض من هذا النهج.

افترض أنه نتيجة للاختبار حدث حدث واحد فقط من الأحداث التالية: ث أنا(أنا = 1 ، 2 ، .... ن). الأحداث ث أنا، يسمى الأحداث الابتدائية (النتائج الأولية). اويترتب على ذلك أن الأحداث الأولية غير متوافقة مع الزوج. يتم استدعاء مجموعة جميع الأحداث الأولية التي يمكن أن تظهر في المحاكمة مساحة الحدث الابتدائيةΩ (حرف أوميغا يوناني كبير) ، والأحداث الأولية نفسها - نقطة في هذا الفضاء..

حدث لكنتم تحديده بمجموعة فرعية (من الفضاء) التي تعتبر عناصرها الأولية النتائج المفضلة لكن؛حدث فيهي مجموعة فرعية عناصرها هي النتائج المفضلة في،وهكذا ، فإن مجموعة جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث في الاختبار هي مجموعة جميع مجموعات فرعية من Ω. Ω نفسها تحدث لأي نتيجة للاختبار ، وبالتالي فإن Ω حدث معين ؛ مجموعة فرعية فارغة من الفضاء هو حدث مستحيل (لا يحدث لأي نتيجة للاختبار).

يتم تمييز الأحداث الأولية من بين جميع الأحداث حسب الموضوعات ، "كل منها يحتوي على عنصر واحد فقط Ω

لكل نتيجة أولية ث أناتطابق رقم موجب ص طهو احتمال هذه النتيجة ، ومجموع الكل ص طيساوي 1 أو بعلامة المجموع ، ستتم كتابة هذه الحقيقة كتعبير:

بحكم التعريف ، الاحتمال ف (أ)الأحداث لكنيساوي مجموع احتمالات تفضيل النتائج الأولية لكن.لذلك ، فإن احتمال حدث معين يساوي واحدًا ، المستحيل - إلى الصفر ، تعسفي - بين صفر وواحد.

دعونا ننظر في حالة معينة مهمة ، عندما تكون جميع النتائج متساوية في الاحتمال ، وعدد النتائج يساوي l ومجموع احتمالات جميع النتائج يساوي واحدًا ؛ ومن ثم فإن احتمال كل نتيجة هو 1 / ن. دع الحدث لكنتفضل م النتائج.

احتمالية الحدث لكنيساوي مجموع احتمالات تفضيل النتائج لكن:

الفوسفور (أ) = 1 / ن + 1 / ن + ... + 1 / ن = ن 1 / ن = 1

يتم الحصول على التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

لا يزال هناك بديهينهج لمفهوم "الاحتمال". في نظام البديهيات المقترحة. Kolmogorov A.N. ، المفاهيم غير المحددة هي حدث واحتمال أولي. يعتمد بناء نظرية احتمالية كاملة منطقيًا على التعريف البديهي للحدث العشوائي واحتمالية حدوثه.

فيما يلي البديهيات التي تحدد الاحتمال:

1. كل حدث لكنتخصيص رقم حقيقي غير سالب ص (أ).هذا الرقم يسمى احتمالية الحدث. لكن.

2. احتمال حدث معين يساوي واحدًا:

3. إن احتمال حدوث حدث واحد على الأقل من الأحداث غير المتوافقة الزوجية يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

بناءً على هذه البديهيات ، تُشتق خصائص الاحتمالات للعلاقة بينهما كنظريات.

احتمالاالحدث هو نسبة عدد النتائج الأولية التي تفضل حدثًا معينًا إلى عدد جميع النتائج الممكنة المتساوية للخبرة التي قد يحدث فيها هذا الحدث. يُشار إلى احتمال وقوع حدث A بواسطة P (A) (هنا P هو الحرف الأول من الكلمة الفرنسية probabilite - probabilite - probabilite). حسب التعريف
(1.2.1)
أين هو عدد النتائج الأولية التي تفضل الحدث أ ؛ - عدد جميع النتائج الأولية الممكنة للتجربة ، وتشكيل مجموعة كاملة من الأحداث.
يسمى هذا التعريف للاحتمال الكلاسيكي. نشأت في المرحلة الأولى من تطوير نظرية الاحتمالات.

يحتوي احتمال حدث ما على الخصائص التالية:
1. احتمال وقوع حدث معين يساوي واحدًا. دعنا نحدد حدثًا معينًا بالحرف. لحدث معين ، لذلك
(1.2.2)
2. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. نشير إلى الحدث المستحيل بالحرف. لحدث مستحيل ، لذلك
(1.2.3)
3. يتم التعبير عن احتمال وقوع حدث عشوائي في صورة عدد موجب أقل من واحد. منذ المتباينات ، أو راضون عن حدث عشوائي ، إذن
(1.2.4)
4. إن احتمال أي حدث يحقق المتباينات
(1.2.5)
هذا يتبع من العلاقات (1.2.2) - (1.2.4).

مثال 1تحتوي الجرة على 10 كرات من نفس الحجم والوزن ، 4 منها حمراء و 6 زرقاء. يتم سحب كرة واحدة من الجرة. ما هو احتمال أن تكون الكرة المسحوبة زرقاء؟

قرار. سيتم الإشارة إلى الحدث "الكرة المسحوبة باللون الأزرق" بالحرف أ. هذا الاختبار له 10 نتائج أولية متساوية ، 6 منها تفضل الحدث أ. وفقًا للصيغة (1.2.1) ، نحصل على

مثال 2جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 30 مكتوبة على بطاقات متطابقة وتوضع في وعاء. بعد خلط البطاقات جيدًا ، تتم إزالة بطاقة واحدة من الجرة. ما هو احتمال أن الرقم المرسوم على البطاقة هو مضاعف 5؟

قرار.قم بالإشارة إلى الحدث "الرقم الموجود على البطاقة المأخوذة من مضاعفات 5". في هذا الاختبار ، هناك 30 نتيجة أولية محتملة متساوية ، منها 6 نتائج لصالح الحدث A (الأرقام 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30). لذلك،

مثال 3يتم رمي نردتين ، يتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. أوجد احتمالية الحدث ب ، والذي يتكون من حقيقة أن الوجوه العلوية للمكعبات سيكون لها إجمالي 9 نقاط.

قرار.هناك 6 2 = 36 نتيجة أولية محتملة متساوية في هذه التجربة. يتم تفضيل الحدث B من خلال 4 نتائج: (3 ؛ 6) ، (4 ؛ 5) ، (5 ؛ 4) ، (6 ؛ 3) ، لذلك

مثال 4. عدد طبيعي لا يزيد عن 10 يتم اختياره عشوائياً ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم أولياً؟

قرار.قم بالإشارة بالحرف C إلى الحدث "أن الرقم المختار أولي". في هذه الحالة ، ن = 10 ، م = 4 (الأعداد الأولية 2 ، 3 ، 5 ، 7). لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب

مثال 5يتم رمي عملتين متماثلتين. ما هو احتمال وجود أرقام على الجانبين العلويين لكلتا القطعتين؟

قرار.دعنا نشير بالحرف D إلى الحدث "كان هناك رقم على الجانب العلوي من كل عملة". هناك 4 نتائج أولية متساوية في هذا الاختبار: (G ، G) ، (G ، C) ، (C ، G) ، (C ، C). (يعني الترميز (G ، C) أنه يوجد على العملة الأولى شعار النبالة ، في الثانية - رقم). يفضل الحدث D نتيجة أولية واحدة (C ، C). بما أن م = 1 ، ن = 4 ، إذن

مثال 6ما هو احتمال أن الأرقام في عدد مكون من رقمين تم اختياره عشوائيًا هي نفسها؟

قرار.الأرقام المكونة من رقمين هي أرقام من 10 إلى 99 ؛ يوجد 90 رقمًا في المجموع. 9 أرقام لها نفس الأرقام (هذه هي الأرقام 11 ، 22 ، 33 ، 44 ، 55 ، 66 ، 77 ، 88 ، 99). بما أن م = 9 ، ن = 90 في هذه الحالة ، إذن
,
حيث A هو حدث "الرقم الذي يحتوي على نفس الأرقام".

مثال 7من حروف الكلمة التفاضليهيتم اختيار حرف واحد عشوائيًا. ما هو احتمال أن يكون هذا الحرف: أ) حرف متحرك ب) حرف ساكن ج) حرف ح?

قرار. يوجد 12 حرفًا في كلمة التفاضل ، منها 5 أحرف متحركة و 7 أحرف ساكنة. حروف حهذه الكلمة لا. دعنا نشير إلى الأحداث: أ - "حرف متحرك" ، ب - "ساكن" ، ج - "حرف ح". عدد النتائج الأولية المواتية: - للحدث A ، - للحدث B ، - للحدث C. منذ n \ u003d 12 ، إذن
، و .

المثال 8يتم رمي نردتين ، ويتم تدوين عدد النقاط على الوجه العلوي لكل نرد. أوجد احتمال أن كلا النرد لهما نفس عدد النقاط.

قرار.دعونا نشير إلى هذا الحدث بالحرف أ. يتم تفضيل الحدث أ من خلال 6 نتائج أولية: (1 ؛]) ، (2 ؛ 2) ، (3 ؛ 3) ، (4 ؛ 4) ، (5 ؛ 5) ، ( 6 ؛ 6). في المجموع ، هناك نتائج أولية محتملة متساوية والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، في هذه الحالة n = 6 2 = 36. لذا فإن الاحتمال المطلوب

المثال 9الكتاب يحتوي على 300 صفحة. ما هو احتمال أن الصفحة المفتوحة عشوائيًا سيكون لها رقم تسلسلي من مضاعفات 5؟

قرار.ويترتب على ظروف المشكلة أنه سيكون هناك 300 = n من جميع النتائج الأولية الممكنة المتساوية التي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث ، ومن بينها m = 60 تفضل حدوث الحدث المحدد. في الواقع ، الرقم المضاعف للعدد 5 يكون على الشكل 5k ، حيث k هو رقم طبيعي ، ومن أين . لذلك،
، حيث A - حدث "الصفحة" له رقم تسلسلي مضاعف لـ 5 ".

المثال 10. يتم رمي نردتين ، يتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. ما الذي يحتمل أن تحصل على إجمالي 7 أو 8؟

قرار. دعونا نحدد الأحداث: أ - "سقطت 7 نقاط" ، ب - "سقطت 8 نقاط". يتم تفضيل الحدث أ من خلال 6 نتائج أولية: (1 ؛ 6) ، (2 ؛ 5) ، (3 ؛ 4) ، (4 ؛ 3) ، (5 ؛ 2) ، (6 ؛ 1) ، والحدث ب - من خلال 5 نتائج: (2 ؛ 6) ، (3 ؛ 5) ، (4 ؛ 4) ، (5 ؛ 3) ، (6 ؛ 2). هناك n = 6 2 = 36 من جميع النتائج الأولية الممكنة المتساوية. و .

إذن ، P (A)> P (B) ، أي أن الحصول على إجمالي 7 نقاط هو حدث أكثر احتمالًا من الحصول على إجمالي 8 نقاط.

مهام

1. يتم اختيار عدد طبيعي لا يزيد عن 30 بشكل عشوائي ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم من مضاعفات 3؟
2. في الجرة أأحمر و بكرات زرقاء بنفس الحجم والوزن. ما هو احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًا من هذه الجرة زرقاء؟
3. يتم اختيار رقم لا يزيد عن 30 بشكل عشوائي ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم مقسومًا على zo؟
4. في الجرة أالأزرق و بكرات حمراء من نفس الحجم والوزن. تُسحب كرة واحدة من هذه الجرة وتوضع جانباً. هذه الكرة حمراء. ثم يتم سحب كرة أخرى من الجرة. أوجد احتمال أن تكون الكرة الثانية حمراء أيضًا.
5. عدد طبيعي لا يزيد عن 50 يتم اختياره عشوائياً ، ما هو احتمال أن يكون هذا الرقم أولياً؟
6. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ، ويتم حساب مجموع النقاط الموجودة على الوجوه العلوية. ما هو الأرجح - الحصول على إجمالي 9 أو 10 نقاط؟
7. يتم رمي ثلاثة أحجار نرد ، ويتم احتساب مجموع النقاط التي تم إسقاطها. ما الذي يحتمل أن يحصل على إجمالي 11 (الحدث أ) أو 12 نقطة (الحدث ب)؟

الإجابات

1. 1/3. 2 . ب/(أ+ب). 3 . 0,2. 4 . (ب-1)/(أ+ب-1). 5 .0,3.6 . ع 1 \ u003d 25/216 - احتمال الحصول على 9 نقاط إجمالاً ؛ ع 2 \ u003d 27/216 - احتمال الحصول على 10 نقاط إجمالاً ؛ p2> p1 7 . الفوسفور (أ) = 27/216 ، الفوسفور (ب) = 25/216 ، الفوسفور (أ)> الفوسفور (ب).

أسئلة

1. ما يسمى احتمال وقوع حدث؟
2. ما هو احتمال وقوع حدث معين؟
3. ما هو احتمال وقوع حدث مستحيل؟
4. ما هي حدود احتمال وقوع حدث عشوائي؟
5. ما هي حدود احتمال وقوع أي حدث؟
6. ما يسمى تعريف الاحتمال الكلاسيكي؟