Какво означава да посочите степента на полином. Значението на думата полином

По дефиниция полиномът е алгебричен изразкоето е сумата от мономи.

Например: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 са полиноми, а изразът z/(x - x*y^2 + 4) не е полином, защото не е сбор от мономи. Полиномът също понякога се нарича полином, а мономите, които са част от полином, са членове на полином или мономи.

Комплексно понятие за полином

Ако полиномът се състои от два члена, тогава той се нарича бином; ако се състои от три, той се нарича трином. Наименованията четиричленен, петчленен и други не се използват, а в такива случаи се казва просто полином. Такива имена, в зависимост от броя на термините, поставят всичко на мястото си.

И терминът моном става интуитивен. От математическа гледна точка, мономът е специален случай на полином. Мономът е полином, който се състои от един член.

Точно като монома, полиномът има свои собствени стандартен изглед. Стандартната форма на полином е такава нотация на полином, в която всички мономи, включени в него като членове, са записани в стандартна форма и са дадени подобни членове.

Стандартна форма на полином

Процедурата за редуциране на полином до стандартна форма е да се редуцира всеки от мономите до стандартна форма и след това да се съберат всички подобни мономи заедно. Добавянето на подобни членове на полином се нарича редукция на подобни.
Например, да дадем подобни условияв полинома 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Термините 4*a*b^2*c^3 и 6*a*b^2*c^3 тук са подобни. Сборът от тези членове ще бъде мономът 10*a*b^2*c^3. Следователно оригиналният полином 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b може да бъде пренаписан като 10*a*b^2*c^3 - a* б . Този запис ще бъде стандартната форма на полином.

От факта, че всеки моном може да бъде приведен до стандартна форма, следва също, че всеки полином може да бъде приведен до стандартна форма.

Когато полиномът се редуцира до стандартна форма, можем да говорим за такова понятие като степен на полином. Степента на полином е най-високата степен на моном, включена в даден полином.
Така, например, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 е полином от пета степен, тъй като максималната степен на монома, включен в полинома (5*x^3*y^ 2) е пети.

Концепцията за полином

Дефиниция на полином: Полиномът е сбор от мономи. Пример за полином:

тук виждаме сумата от два монома, а това е полином, т.е. сбор от мономи.

Членовете, които съставляват полином, се наричат ​​членове на полинома.

Разликата на мономите полином ли е? Да, така е, защото разликата лесно се свежда до сума, например: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Мономите също се считат за полиноми. Но един моном няма сбор, тогава защо се смята за полином? И можете да добавите нула към него и да получите сбора му с нулев моном. Така че мономът е специален случайполином, той се състои от един член.

Числото нула е нулевият полином.

Стандартна форма на полином

Какво е полином със стандартна форма? Полиномът е сборът от мономи и ако всички тези мономи, които съставляват полинома, са записани в стандартна форма и не трябва да има подобни сред тях, тогава полиномът е написан в стандартна форма.

Пример за полином в стандартна форма:

тук полиномът се състои от 2 мономи, всеки от които има стандартна форма; сред мономите няма подобни.

Сега пример за полином, който няма стандартна форма:

тук два монома: 2a и 4a са подобни. Трябва да ги съберете, след което полиномът ще приеме стандартната форма:

Друг пример:

Този полином приведен ли е до стандартна форма? Не, неговият втори термин не е написан в стандартна форма. Записвайки го в стандартна форма, получаваме полином със стандартна форма:

Степен на полином

Каква е степента на полином?

Дефиниция на полиномна степен:

Степента на полинома е най-високата степен, която имат мономите, съставляващи даден полином със стандартна форма.

Пример. Каква е степента на полинома 5h? Степента на полинома 5h е равна на единица, тъй като този полином съдържа само един моном и неговата степен е равна на единица.

Друг пример. Каква е степента на полинома 5a 2 h 3 s 4 +1? Степента на полинома 5a 2 h 3 s 4 + 1 е равна на девет, тъй като този полином включва два монома, като първият моном 5a 2 h 3 s 4 има най-висока степен и неговата степен е 9.

Друг пример. Каква е степента на полинома 5? Степента на полином 5 е нула. И така, степента на полином, състоящ се само от число, т.е. без букви е равно на нула.

Последният пример. Каква е степента на нулевия полином, т.е. нула? Степента на нулевия полином не е дефинирана.

След като изучаваме мономи, преминаваме към полиноми. тази статияще разкаже за всеки необходимата информация, необходими за извършване на действия върху тях. Ще дефинираме полином с съпътстващи определениячлен на полином, тоест свободен и подобен, разгледайте полином от стандартна форма, въведете степен и научете как да го намирате, работете с неговите коефициенти.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Полином и неговите термини - определения и примери

Дефиницията на полином беше необходима още през 7 клас след изучаване на мономи. Нека да разгледаме пълното му определение.

Определение 1

ПолиномИзчислява се сумата от мономи, а самият моном е частен случай на полином.

От определението следва, че примерите за полиноми могат да бъдат различни: 5 , 0 , − 1 , х, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и т.н. От дефиницията имаме това 1+x, a 2 + b 2 и изразът x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x са полиноми.

Нека да разгледаме още някои определения.

Определение 2

Членове на полиномасъставните му мономи се наричат.

Да разгледаме пример, при който имаме полином 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, състоящ се от 4 члена: 3 x 4, − 2 x y, 3 и − y 3. Такъв моном може да се счита за полином, който се състои от един член.

Определение 3

Полиномите, които съдържат 2, 3 тринома, имат съответното име - биномИ тричлен.

От това следва, че израз на формата x+y– е бином, а изразът 2 x 3 q − q x x x + 7 b е тричлен.

от училищна програмаработи с линеен бином от формата a · x + b, където a и b са някои числа, а x е променлива. Нека разгледаме примери за линейни биноми от вида: x + 1, x 7, 2 − 4 с примери квадратни тричлени x 2 + 3 x − 5 и 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

За трансформиране и решаване е необходимо да се намерят и въведат подобни термини. Например полином от формата 1 + 5 x − 3 + y + 2 x има подобни членове 1 и - 3, 5 x и 2 x. Те са разделени на специална група, наречена подобни членове на полинома.

Определение 4

Подобни членове на полиномса подобни термини, открити в полином.

В примера по-горе имаме, че 1 и - 3, 5 x и 2 x са подобни членове на полинома или подобни членове. За да опростите израза, намерете и редуцирайте подобни членове.

Полином със стандартна форма

Всички мономи и полиноми имат свои специфични имена.

Определение 5

Полином със стандартна формае полином, в който всеки член, включен в него, има моном със стандартна форма и не съдържа подобни членове.

От дефиницията става ясно, че е възможно да се редуцират полиноми от стандартната форма, например 3 x 2 − x y + 1 и __формула__, а записът е в стандартна форма. Изразите 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z не са полиноми от стандартна форма, тъй като първият от тях има подобни членове в форма 3 · x 2 и − x 2, а вторият съдържа моном от формата x · y 3 · x · z 2, който се различава от стандартния полином.

Ако обстоятелствата го изискват, понякога полиномът се редуцира до стандартна форма. Концепцията за свободен член на полином също се счита за полином със стандартна форма.

Определение 6

Свободен член на полиноме полином със стандартна форма, който няма буквална част.

С други думи, когато полином в стандартна форма има число, той се нарича свободен член. Тогава числото 5 е свободният член на многочлена x 2 z + 5, а полиномът 7 a + 4 a b + b 3 няма свободен член.

Степен на полином - как да го намерим?

Самата дефиниция на степента на полином се основава на дефиницията на полином със стандартна форма и на степените на мономите, които са негови компоненти.

Определение 7

Степен на полином от стандартна формасе нарича най-голямата от степените, включени в неговата нотация.

Нека разгледаме един пример. Степента на многочлена 5 x 3 − 4 е равна на 3, тъй като мономите, включени в неговия състав, имат степени 3 и 0, а по-големият от тях е съответно 3. Дефиницията на степента от полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x е равна на най-голямото от числата, тоест 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 и 1, което означава 5 .

Необходимо е да се разбере как се намира самата степен.

Определение 8

Степен на полином от произволно числое степента на съответния полином в стандартна форма.

Когато полиномът не е записан в стандартна форма, но трябва да намерите степента му, трябва да го намалите до стандартната форма и след това да намерите необходимата степен.

Пример 1

Намерете степента на полином 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Решение

Първо, нека представим полинома в стандартна форма. Получаваме израз на формата:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · в) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получаване на полином със стандартна форма откриваме, че два от тях се открояват ясно - 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . За да намерим градусите, преброяваме и откриваме, че 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4. Вижда се, че най-големият от тях е 6. От дефиницията следва, че 6 е степента на полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 и следователно първоначалната стойност.

Отговор: 6 .

Коефициенти на полиномни членове

Определение 9

Когато всички членове на полином са мономи от стандартната форма, тогава в този случай те имат името коефициенти на полиномни членове.С други думи, те могат да бъдат наречени коефициенти на полинома.

При разглеждане на примера е ясно, че полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 съдържа 4 полинома: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 със съответните им коефициенти 2, − 0, 5, 3 и 7. Това означава, че 2, − 0, 5, 3 и 7 се считат за коефициенти на членовете на даден полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Когато конвертирате, е важно да обърнете внимание на коефициентите пред променливите.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Или, строго, е краен формален сбор от формата

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), Където

По-специално, полином в една променлива е крайна формална сума на формата

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), Където

С помощта на полином се извеждат понятията „алгебрично уравнение” и „алгебрична функция”.

Проучване и приложение[ | ]

Изследването на полиномиалните уравнения и техните решения беше може би основният обект на „класическата алгебра“.

Свързани с изучаването на полиноми цяла линиятрансформации в математиката: въведение в разглеждането на нула, отрицателни и след това комплексни числа, както и появата на теорията на групите като клон на математиката и идентифицирането на класове специални функции в анализа.

За разработването на методи за разширяване на редове и полиномно разширение.интерполация в математическия анализ.

Полиномите също играят ключова роля в алгебричната геометрия, чийто обект са множества, дефинирани като решения на системи от полиноми.

Използват се специални свойства на трансформиращите коефициенти при умножаване на полиноми алгебрична геометрия, алгебра, теория на възлите и други клонове на математиката за кодиране или изразяване на свойства на различни обекти с полиноми.

Свързани определения[ | ]

• Полином на формата c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))Наречен мономили мономмултииндекс I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Моном, съответстващ на мултииндекс I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))Наречен безплатен член.
• Пълна степен(ненулев) моном c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (н)))наречено цяло число | аз | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)).
• Много мултииндекси аз, за които коеф c I (\displaystyle c_(I))ненулев, наречен носител на полинома, а изпъкналата му обвивка е Многостен на Нютон.
• Степен на полиномсе нарича максимум на степените на неговите мономи. Степента на идентичната нула се определя допълнително от стойността − ∞ (\displaystyle -\infty ).
• Полином, който е сбор от два монома, се нарича биномили бином,
• Нарича се полином, който е сбор от три монома тричлен.
• Коефициентите на полинома обикновено се вземат от конкретен комутативен пръстен R (\displaystyle R)(най-често полета, например полета от реални или комплексни числа). В този случай, по отношение на операциите събиране и умножение, полиномите образуват пръстен (нещо повече, асоциативно-комутативна алгебра върху пръстена R (\displaystyle R)без делители на нула), което се обозначава R [ x 1 , x 2 , … , x n ] . (\displaystyle R.)
• За полином p (x) (\displaystyle p(x))една променлива, решаваща уравнението p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)се нарича негов корен.

Полиномиални функции[ | ]

Позволявам A (\displaystyle A)има алгебра над пръстен R (\displaystyle R). Произволен полином p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R)дефинира полиномна функция

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\до A).

Най-често разглежданият случай е A = R (\displaystyle A=R).

Ако R (\displaystyle R)е поле от реални или комплексни числа (както и всяко друго поле с безкраен брой елементи), функцията f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\до R)напълно дефинира полинома p. Въпреки това, в общ случайтова е неправилно, например: полиноми p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)И p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))от Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x])се определят идентично равни функции Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\до \mathbb (Z) _(2)).

Полиномиална функция на една реална променлива се нарича цяла рационална функция.

Видове полиноми[ | ]

Имоти [ | ]

Делимост [ | ]

Ролята на нередуцируемите полиноми в полиномния пръстен е подобна на ролята на простите числа в пръстена от цели числа. Например теоремата е вярна: ако произведението на полиноми p q (\displaystyle pq)тогава се дели на нередуцируем многочлен стрили рразделена на λ (\displaystyle \lambda). Всеки полином, градуси по-голямо от нула, се разлага в дадено поле в произведение от нередуцируеми множители по уникален начин (до множители от степен нула).

Например полином x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), нередуцируем в полето рационални числа, се разлага на три фактора в полето реални числаи от четири фактора в областта комплексни числа.

Като цяло, всеки полином в една променлива x (\displaystyle x)се разлага в областта на реалните числа на множители от първа и втора степен, в областта на комплексните числа на множители от първа степен (основната теорема на алгебрата).

За двама и Повече ▼променливи това вече не може да се посочи. Над всяко поле за всеки n > 2 (\displaystyle n>2)има полиноми от n (\displaystyle n)променливи, които са нередуцируеми във всяко разширение на това поле. Такива полиноми се наричат ​​абсолютно неприводими.