В някои задачи на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от решаването им, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За успешно решениедиференциални уравнения от ваша страна, вие също ще имате нужда от способността да намирате набори от антипроизводни ( неопределени интеграли) с различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме ви да се обърнете към раздела.

Първо, разгледайте типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x .

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата .

Нека напишем няколко примера за такива DE .

Диференциални уравнения може да се разреши по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на първоначалното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са.

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за стойностите на тези аргументи. Примери за такива диференциални уравнения са.

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение се записва общо решениедиференциално уравнение като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на първоначалното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти при определена формафункция f(x) , стояща от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, представяме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробните решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE).

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал е представено от линейна комбинация от две линейно независими отделни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено се избират конкретни решения следните системилинейно независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE, а е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок ред.

Диференциални уравнения, допускащи редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай и първоначалното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната става разделимо уравнение и редът му се намалява от третото към първото.

Диференциални уравнения от втори и по-високи редове.
Линейни DE от втори ред с постоянни коефициенти.
Примери за решения.

Преминаваме към разглеждането на диференциални уравнения от втори ред и диференциални уравнения от по-високи редове. Ако имате неясна представа какво е диференциално уравнение (или изобщо не разбирате какво е), тогава препоръчвам да започнете с урока Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решения. Много принципи на вземане на решения и основни понятиядифуранти от първи ред автоматично се разширяват до диференциални уравнения от по-висок ред, така че много е важно първо да разберете уравненията от първи ред.

Много читатели може да имат предубеждение, че DE от 2-ри, 3-ти и други разряди е нещо много трудно и недостъпно за овладяване. Това не е истина . Научете се да решавате дифузи по-висок редедва ли по-сложно от "обикновените" DE от 1-ви ред. А на места е дори по-лесно, тъй като материалът от училищната програма се използва активно в решенията.

Най - известен диференциални уравнения от втори ред. В диференциално уравнение от втори ред непременновключва втората производна и които не са включени

Трябва да се отбележи, че някои от бебетата (и дори всички наведнъж) може да липсват от уравнението, важно е бащата да е вкъщи. Най-примитивното диференциално уравнение от втори ред изглежда така:

Диференциални уравнения от трети ред в практически задачисе срещат много по-рядко, по мои субективни наблюдения в Държавна думаще получат около 3-4% от гласовете.

В диференциално уравнение от трети ред непременновключва третата производна и които не са включенипроизводни от по-високи разряди:

Най-простото диференциално уравнение от трети ред изглежда така: - татко е вкъщи, всички деца са на разходка.

По подобен начин могат да се дефинират диференциални уравнения от 4-ти, 5-ти и по-високи редове. В практическите задачи такива DE се подхлъзват изключително рядко, но ще се опитам да дам подходящи примери.

Диференциалните уравнения от по-висок ред, които се предлагат в практически задачи, могат да бъдат разделени на две основни групи.

1) Първата група – т.нар уравнения от по-нисък ред. Влетете!

2) Втората група - линейни уравненияпо-високи порядки с постоянни коефициенти. Което ще започнем да разглеждаме точно сега.

Линейни диференциални уравнения от втори ред
с постоянни коефициенти

В теорията и практиката се разграничават два вида такива уравнения - хомогенно уравнениеи нехомогенно уравнение.

Хомогенна DE от втори ред с постоянни коефициентиТо има следващ изглед:
, където и са константи (числа), а от дясната страна - строгонула.

Както можете да видите, няма специални трудности с хомогенни уравнения, основното е това реши правилно квадратно уравнение .

Понякога има нестандартни хомогенни уравнения, например уравнение във формата , където при втората производна има някаква константа , различна от единица (и, разбира се, различна от нула). Алгоритъмът за решение не се променя изобщо, трябва спокойно да композирате характеристично уравнениеи намерете корените му. Ако характеристичното уравнение ще има два различни реални корена, например: , тогава общото решение може да бъде написано по обичайния начин: .

В някои случаи, поради печатна грешка в условието, могат да се окажат „лоши“ корени, нещо подобно . Какво да правя, отговорът ще трябва да бъде написан така:

С "лоши" спрегнати сложни корени като също няма проблем, общо решение:

Това е, общо решение съществува във всеки случай. Защото всяко квадратно уравнение има два корена.

В последния параграф, както обещах, ще разгледаме накратко:

Линейни хомогенни уравнения от по-висок ред

Всичко е много, много подобно.

Линейното хомогенно уравнение от трети ред има следната форма:
, където са константи.
За дадено уравнениетрябва също така да съставите характеристично уравнение и да намерите неговите корени. Характеристичното уравнение, както мнозина предположиха, изглежда така:
, и то така или иначеТо има точно трикорен.

Нека, например, всички корени са реални и различни: , тогава общото решение може да се запише по следния начин:

Ако единият корен е реален, а другите два са спрегнат комплекс, тогава записваме общото решение, както следва:

Специален случайкогато и трите корена са кратни (еднакви). Нека разгледаме най-простата хомогенна DE от 3-ти ред със самотен баща: . Характеристичното уравнение има три съвпадащи нулеви корена. Записваме общото решение, както следва:

Ако характеристичното уравнение има, например, три кратни корена, тогава общото решение съответно е:

Пример 9

Решете хомогенно диференциално уравнение от трети ред

решение:Съставяме и решаваме характеристичното уравнение:

, - получават се един реален корен и два спрегнати комплексни корена.

Отговор:общо решение

По подобен начин можем да разгледаме линейно хомогенно уравнение от четвърти ред с постоянни коефициенти: , където са константи.

Често само споменаване диференциални уравнениякара учениците да се чувстват неудобно. Защо се случва? Най-често, защото при изучаването на основите на материала възниква празнина в знанията, поради което по-нататъшното изучаване на дифури става просто мъчение. Нищо не е ясно какво да правя, как да реша откъде да започна?

Ние обаче ще се опитаме да ви покажем, че difurs не е толкова трудно, колкото изглежда.

Основни понятия от теорията на диференциалните уравнения

От училище знаем най-простите уравнения, в които трябва да намерим неизвестното x. Всъщност диференциални уравнениясамо малко по-различен от тях - вместо променлива х те трябва да намерят функция y(x) , което ще превърне уравнението в идентичност.

д диференциални уравненияимат огромен приложена стойност. Това не е абстрактна математика, която няма нищо общо със света около нас. Диференциалните уравнения описват много реални естествени процеси. Например вибрациите на струните, движението на хармоничен осцилатор, с помощта на диференциални уравнения в задачите на механиката намират скоростта и ускорението на тялото. Един и същ DUнамират широко приложение в биологията, химията, икономиката и много други науки.

Диференциално уравнение (DU) е уравнение, съдържащо производните на функцията y(x), самата функция, независими променливи и други параметри в различни комбинации.

Има много видове диференциални уравнения: обикновени диференциални уравнения, линейни и нелинейни, хомогенни и нехомогенни, диференциални уравнения от първи и по-висок ред, частични диференциални уравнения и т.н.

Решението на диференциално уравнение е функция, която го превръща в идентичност. Има общи и специални решения за дистанционно управление.

Общото решение на диференциалното уравнение е общото множество от решения, които превръщат уравнението в идентичност. Конкретно решение на диференциално уравнение е решение, което отговаря на допълнителни условия, определени първоначално.

Определя се редът на диференциалното уравнение най-висок порядъкпроизводни, включени в него.

Обикновени диференциални уравнения

Обикновени диференциални уравненияса уравнения, съдържащи една независима променлива.

Разгледайте най-простото обикновено диференциално уравнение от първи ред. Изглежда като:

Това уравнение може да бъде решено чрез просто интегриране на дясната му страна.

Примери за такива уравнения:

Уравнения с разделими променливи

AT общ изгледтози тип уравнение изглежда така:

Ето един пример:

Решавайки такова уравнение, трябва да разделите променливите, като ги приведете във формата:

След това остава да интегрираме двете части и да получим решение.

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Такива уравнения приемат формата:

Тук p(x) и q(x) са някои функции на независимата променлива, а y=y(x) е търсената функция. Ето пример за такова уравнение:

Решавайки такова уравнение, най-често използват метода на вариация на произволна константа или представят желаната функция като произведение на две други функции y(x)=u(x)v(x).

За решаването на такива уравнения е необходима определена подготовка и ще бъде доста трудно да ги вземете „на прищявка“.

Пример за решаване на DE с разделими променливи

Така че разгледахме най-простите видове дистанционно управление. Сега нека да разгледаме един от тях. Нека е уравнение с разделими променливи.

Първо, пренаписваме производната в по-позната форма:

След това ще разделим променливите, тоест в едната част на уравнението ще съберем всички „игри“, а в другата - „xes“:

Сега остава да интегрираме и двете части:

Ние интегрираме и получаваме общото решение на това уравнение:

Разбира се, решаването на диференциални уравнения е вид изкуство. Трябва да можете да разберете към какъв тип принадлежи дадено уравнение и също така да се научите да виждате какви трансформации трябва да направите с него, за да го доведете до една или друга форма, да не говорим само за способността да диференцирате и интегрирате. И е необходима практика (както с всичко), за да успеете да решите DE. И ако имате този моментняма време да се занимавате с това как се решават диференциалните уравнения или проблемът на Коши се е надигнал като кост в гърлото или не знаете, свържете се с нашите автори. В кратки срокове ще ви предоставим готови и подробно решение, за да разберете подробностите за които можете по всяко удобно за вас време. Междувременно предлагаме да гледате видеоклип на тема "Как да решаваме диференциални уравнения":

Диференциални уравнения от по-висок ред

Основна терминология на диференциалните уравнения от по-висок ред (DE VP).

Уравнение от формата , където н >1 (2)

се нарича диференциално уравнение от по-висок ред, т.е. н-та поръчка.

Домейн на дефиниране на дистанционно управление, нредът е площта.

Този курс ще се занимава със следните видове контрол на въздушното пространство:

Проблемът на Коши за VP:

Нека дадено DU,
и начални условия n/a: числа.

Изисква се да се намери непрекъсната и n пъти диференцируема функция
:

1)
е решението на дадения DE на , т.е.
;

2) удовлетворява зададените начални условия: .

За DE от втори ред геометричната интерпретация на решението на задачата е следната: търси се интегрална крива, която минава през т. (х 0 , г 0 ) и допирателна към правата фактор на наклона к = г 0 ́ .

Теорема за съществуване и уникалност(решения на проблема на Коши за DE (2)):

ако 1)
непрекъснато (в съвкупност (н+1) аргументи) в района
; 2)
непрекъснато (по набор от аргументи
) в , тогава ! решение на задачата на Коши за DE, което отговаря на дадените начални условия n/s: .

Регионът се нарича регион на уникалност на DE.

Общото решение на DP VP (2) – н -параметричнифункция,
, където
– произволни константи, отговарящи на следните изисквания:

1)

– решение на DE (2) на ;

2) n/a от района на уникалността!
:
удовлетворява дадените начални условия.

Коментирайте.

Коефициент на изглед
, което неявно определя общото решение на DE (2) на се нарича общ интеграл DU.

Частно решение DE (2) се получава от общото му решение за конкретна стойност .

Интегриране на DP VP.

Диференциалните уравнения от по-висок ред по правило не се решават с точни аналитични методи.

Нека отделим определен тип DSW, който допуска редукции и редукции до квадратури. Ние обобщаваме тези видове уравнения и начините за намаляване на техния ред в таблица.

ДП ВП, като се допускат намаления в поръчката

		Метод за понижаване
	DU е непълен, липсва . Например,	и т.н. След нмногократно интегриране, получаваме общото решение на диференциалното уравнение.
	Уравнението е непълно; явно не съдържа желаната функция и тя първи производни. Например,	Заместване намалява реда на уравнението с кединици.
	непълно уравнение; явно не съдържа аргумент желаната функция. Например,	Заместване редът на уравнението се намалява с единица.
	Уравнението е в точни производни, може да бъде пълно и непълно. Такова уравнение може да се преобразува във формата (*) ́= (*)́, където дясната и лявата част на уравнението са точни производни на някои функции.	Интегрирането на дясната и лявата страна на уравнението по отношение на аргумента намалява реда на уравнението с единица.
		Заместване намалява реда на уравнението с единица.

Дефиниция на хомогенна функция:

функция
се нарича хомогенна по променливи
, ако


във всяка точка от обхвата на функцията
;

е редът на хомогенност.

Например, е хомогенна функция от 2-ри ред по отношение на
, т.е. .

Пример 1:

Намерете общо решение на DE
.

DE от 3-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Интегрирайте уравнението три пъти последователно.

,

е общото решение на DE.

Пример 2:

Решете проблема на Коши за DE
при

.

DE от втори ред, непълен, не съдържа изрично .

Заместване
и негово производно
намалява реда на DE с единица.

. Получен DE от първи ред - уравнението на Бернули. За да решим това уравнение, прилагаме заместването на Бернули:

,

и го включете в уравнението.

На този етап решаваме проблема на Коши за уравнението
:
.

е уравнение от първи ред с разделими променливи.

Заместваме началните условия в последното равенство:

Отговор:
е решението на задачата на Коши, което отговаря на началните условия.

Пример 3:

Решете DU.

– DE от 2-ри ред, непълен, не съдържа изрично променливата и следователно позволява понижаване на реда с единица чрез заместване или
.

Получаваме уравнението
(позволявам
).

– DE от 1-ви ред с разделителни променливи. Нека ги споделим.

е общият интеграл на DE.

Пример 4:

Решете DU.

Уравнението
е точно производно уравнение. Наистина ли,
.

Нека интегрираме лявата и дясната част по отношение на , т.е.
или . Получени DE от 1-ви ред с разделими променливи, т.е.
е общият интеграл на DE.

Пример5:

Решете проблема на Коши за
при .

DE от 4-ти ред, непълен, не съдържа изрично
. Отбелязвайки, че това уравнение е в точни производни, получаваме
или
,
. Заменяме началните условия в това уравнение:
. Да вземем дистанционното
3-ти ред от първи тип (виж таблицата). Нека го интегрираме три пъти и след всяко интегриране ще заместваме началните условия в уравнението:

Отговор:
- решение на задачата на Коши на оригиналния DE.

Пример 6:

Решете уравнението.

– DE от 2-ри ред, пълен, съдържа еднаквост по отношение на
. Заместване
ще понижи реда на уравнението. За да направим това, свеждаме уравнението до формата
, разделяйки двете страни на първоначалното уравнение на . И ние разграничаваме функцията стр:

.

Заместител
и
в DU:
. Това е уравнение на разделима променлива от първи ред.

Като се има предвид това
, получаваме DE или
е общото решение на оригиналния DE.

Теория на линейните диференциални уравнения от по-висок ред.

Основна терминология.

– НЛДУ -ти ред, където - непрекъснати функциина някакъв интервал.

Нарича се интервал на непрекъснатост на DE (3).

Нека въведем (условен) диференциален оператор от ти ред

Когато действа върху функцията, получаваме

Това е лявата страна на линеен DE от -ти ред.

В резултат на това LDE може да бъде написан

Свойства на линейния оператор
:

1) - свойство на адитивност

2)
– брой – свойство за хомогенност

Свойствата се проверяват лесно, тъй като производните на тези функции имат подобни свойства ( крайна сумапроизводни е равна на сумата крайно числопроизводни; постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната).

Че.
е линеен оператор.

Разгледайте въпроса за съществуването и уникалността на решение на проблема на Коши за LDE
.

Нека решим LDE по отношение на
: ,
, е интервалът на непрекъснатост.

Функцията е непрекъсната в областта , производни
непрекъснато в региона

Следователно областта на уникалност , в която проблемът на Коши LDE (3) има единствено решение и зависи само от избора на точката
, всички други стойности на аргументите
функции
може да се вземе произволно.

Обща теория на OLDU.

е интервалът на непрекъснатост.

Основни свойства на OLDDE решенията:

1. Свойство на адитивност

(
– OLDDE решение (4) на )
(
е решението на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

е решението на OLDDE (4) на

е решението на OLDDE (4) на

Тогава

2. Свойство хомогенност

( е решението на OLDDE (4) на ) (
(- числово поле))

е решението на OLDDE (4) на .

Доказва се по подобен начин.

Свойствата адитивност и хомогенност се наричат линейни свойстваОЛДУ (4).

Последица:

(
– решение на OLDDE (4) на )(

е решението на OLDDE (4) на ).

3. ( е комплексно-стойно решение на OLDDE (4) на )(
са реални решения на OLDDE (4) на ).

Доказателство:

Ако е решението на OLDDE (4) на , то при заместване в уравнението го превръща в тъждество, т.е.
.

Поради линейността на оператора , лявата страна на последното равенство може да се запише по следния начин:
.

Това означава, че , т.е. са реални решения на OLDDE (4) на .

Следните свойства на OLDDE решенията са свързани с понятието „ линейна зависимост”.

Определение линейна зависимосткрайна система от функции

Система от функции се нарича линейно зависима от ако има нетривиаленнабор от числа
така че линейната комбинация
функции
с тези числа е идентично равен на нула на , т.е.
.n , което е грешно. Теоремата е доказана.диференц уравненияпо-високпоръчки(4 часа...