Най-разпространената форма на статистически показатели, използвани в социално-икономическите изследвания, е средната стойност, която е обобщена количествена характеристика на признак на статистическа съвкупност. Средните стойности са, така да се каже, "представители" на цялата поредица от наблюдения. В много случаи средната стойност може да се определи чрез първоначалното съотношение на средната стойност (ISS) или неговата логическа формула: . Така например, за да се изчисли средната заплата на служителите в предприятието, е необходимо общият фонд за заплати да се раздели на броя на служителите: Числителят на първоначалното съотношение на средната стойност е неговият определящ показател. За средната работна заплата такъв определящ показател е фондът работна заплата. За всеки показател, използван в социално-икономическия анализ, може да се състави само едно истинско референтно съотношение за изчисляване на средната стойност. Трябва също да се добави, че за да се оцени по-точно стандартното отклонение за малки проби (с брой елементи по-малък от 30), знаменателят на израза под корена не трябва да се използва н, а н- 1.

Понятието и видовете средни стойности

Средна стойност- това е обобщаващ показател за статистическата популация, който премахва индивидуалните различия в стойностите на статистическите величини, което ви позволява да сравнявате различни популации помежду си. Съществуват 2 класасредни стойности: мощност и структурна. Структурните средни са мода и Медиана , но най-често използваните средни мощностиразлични видове.

Средни мощности

Средните мощности могат да бъдат простои претеглени.

Проста средна стойност се изчислява, когато има две или повече негрупирани статистически стойности, подредени в произволен ред съгласно следната обща формула на закона за средната степен (за различни стойности на k (m)):

Среднопретеглената стойност се изчислява от групираните статистически данни, като се използва следната обща формула:

Където x - средната стойност на изследваното явление; x i – i-тият вариант на осреднения признак ;

f i е теглото на i-тата опция.

Където X са стойностите на отделните статистически стойности или средните точки на груповите интервали;
m - експонента, от чиято стойност зависят следните видове средни мощности:
при m = -1 хармонична средна;
за m = 0, средно геометрично;
за m = 1, средноаритметичната стойност;
при m = 2, средната квадратична стойност;
при m = 3, средната куб.

Използвайки общите формули за прости и претеглени средни при различни експоненти m, получаваме конкретни формули от всеки тип, които ще бъдат разгледани подробно по-долу.

Средноаритметично

Средно аритметично - началният момент от първи ред, математическото очакване на стойностите на случайна променлива с голям брой опити;

Средно аритметичното е най-често използваната средна стойност, която се получава чрез заместване на m = 1 в общата формула. Средноаритметично простоима следната форма:

или

Където X са стойностите на количествата, за които е необходимо да се изчисли средната стойност; N е общият брой на X стойностите (броят единици в изследваната популация).

Например студент е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Нека изчислим средния резултат, използвайки простата формула за средно аритметично: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.Средноаритметично претеглениима следната форма:

Където f е броят на стойностите с еднаква X стойност (честота). >Например, студент е издържал 4 изпита и е получил следните оценки: 3, 4, 4 и 5. Изчислете средния резултат, като използвате формулата за среднопретеглена аритметична стойност: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 .Ако стойностите X са дадени като интервали, тогава средните точки на интервалите X се използват за изчисления, които се определят като половината от сумата на горната и долната граница на интервала. И ако интервалът X няма долна или горна граница (отворен интервал), тогава за намирането му се използва диапазонът (разликата между горната и долната граница) на съседния интервал X. Например в предприятието има 10 служители с трудов стаж до 3 години, 20 - с трудов стаж от 3 до 5 години, 5 служители - с трудов стаж над 5 години. След това изчисляваме средната продължителност на трудовия стаж на служителите, като използваме формулата за среднопретеглена аритметична стойност, като за X приемаме средата на продължителността на служебните интервали (2, 4 и 6 години): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 години.

Функция AVERAGE

Тази функция изчислява средната (аритметична) стойност на своите аргументи.

СРЕДНО(число1, число2, ...)

Число1, число2, ... са от 1 до 30 аргумента, за които се изчислява средната стойност.

Аргументите трябва да бъдат числа или имена, масиви или препратки, съдържащи числа. Ако аргументът, който е масив или връзка, съдържа текстове, булеви стойности или празни клетки, тогава тези стойности се игнорират; обаче клетките, които съдържат нулеви стойности, се броят.

Функция AVERAGE

Изчислява средноаритметичното на стойностите, дадени в списъка с аргументи. В допълнение към числата, в изчислението могат да участват текст и логически стойности, като TRUE и FALSE.

AVERAGE(стойност1, стойност2,...)

Стойност1, стойност2,... са от 1 до 30 клетки, диапазони от клетки или стойности, за които се изчислява средната стойност.

Аргументите трябва да са числа, имена, масиви или препратки. Масивите и връзките, съдържащи текст, се интерпретират като 0 (нула). Празният текст ("") се интерпретира като 0 (нула). Аргументите, съдържащи стойността TRUE, се интерпретират като 1, аргументите, съдържащи стойността FALSE, се интерпретират като 0 (нула).

Най-често се използва средната аритметична стойност, но има моменти, когато са необходими други видове средни стойности. Нека разгледаме по-нататък такива случаи.

Средно хармонично

Хармонична средна за определяне на средната сума на реципрочните величини;

Средно хармоничносе използва, когато оригиналните данни не съдържат честоти f за отделни стойности на X, а са представени като техния продукт Xf. Означавайки Xf=w, ние изразяваме f=w/X и замествайки тези обозначения във формулата за средноаритметично претеглено, получаваме формулата за среднопретеглено хармонично:

По този начин хармоничната средна стойност се използва, когато честотите f са неизвестни, но w=Xf е известно. В случаите, когато всички w=1, т.е. отделните стойности на X се срещат 1 път, се прилага хармоничната проста средна формула: или Например кола се е движила от точка А до точка Б със скорост 90 км/ч и обратно със скорост 110 км/ч. За да определим средната скорост, прилагаме хармоничната проста формула, тъй като примерът дава разстоянието w 1 \u003d w 2 (разстоянието от точка A до точка B е същото като от B до A), което е равно на продукта на скорост (X) и време (f). Средна скорост = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.

Функция SRHARM

Връща средната хармонична стойност на набора от данни. Средната хармонична стойност е реципрочната на средната аритметична на реципрочните стойности.

SGARM(число1, число2, ...)

Число1, число2, ... са от 1 до 30 аргумента, за които се изчислява средната стойност. Можете да използвате масив или препратка към масив вместо аргументи, разделени с точка и запетая.

Средната хармонична винаги е по-малка от средната геометрична, която винаги е по-малка от средната аритметична.

Средна геометрична

Средна геометрична за оценка на средния темп на нарастване на случайни променливи, намиране на стойността на признак, равноотдалечен от минималната и максималната стойност;

Средна геометричнаизползвани за определяне на средните относителни промени. Средната геометрична стойност дава най-точния резултат от осредняването, ако задачата е да се намери такава стойност на X, която да е на еднакво разстояние както от максималната, така и от минималната стойност на X. Например между 2005 и 2008 гинфлационен индекс в Русия е: през 2005 г. - 1,109; през 2006 г. - 1 090; през 2007 г. - 1 119; през 2008 г. - 1 133 бр. Тъй като индексът на инфлацията е относителна промяна (динамичен индекс), тогава трябва да изчислите средната стойност, като използвате средната геометрична стойност: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, т.е. за периода от 2005 г. до 2008 г. годишно цените нарастват средно с 11,26%. Грешно изчисление на средната аритметична стойност би дало неправилен резултат от 11,28%.

Функция SRGEOM

Връща средно геометричната стойност на масив или диапазон от положителни числа. Например функцията CAGEOM може да се използва за изчисляване на средния темп на растеж, ако е даден сложен доход с променливи проценти.

SRGEOM(число1; число2; ...)

Число1, число2, ... са от 1 до 30 аргумента, за които се изчислява средното геометрично. Можете да използвате масив или препратка към масив вместо аргументи, разделени с точка и запетая.

корен квадратен

Средният квадрат е началният момент от втори ред.

корен квадратенсе използва, когато първоначалните стойности на X могат да бъдат както положителни, така и отрицателни, например при изчисляване на средни отклонения. Основната употреба на квадратичната средна стойност е за измерване на вариацията в стойностите на X.

Среден куб

Средният куб е началният момент от трети ред.

Среден кубсе използва изключително рядко, например при изчисляване на индексите на бедност за развиващите се страни (HPI-1) и за развитите страни (HPI-2), предложени и изчислени от ООН.

Най-вече в ек. На практика трябва да се използва средноаритметичната стойност, която може да се изчисли като проста и среднопретеглена аритметична стойност.

Средно аритметично (CA)-ннай-често срещаният тип среда. Използва се в случаите, когато обемът на променлив атрибут за цялата популация е сумата от стойностите на атрибутите на отделните му единици. Социалните явления се характеризират с адитивност (сумиране) на обемите на вариращия признак, което определя обхвата на SA и обяснява неговото разпространение като обобщаващ показател, например: общият фонд работна заплата е сумата от работната заплата на всички служители.

За да изчислите SA, трябва да разделите сумата от всички стойности на характеристиките на техния брой. SA се използва в 2 форми.

Помислете първо за простата средна аритметична стойност.

1-CA проста (първоначална, дефинираща форма) е равна на простата сума на отделните стойности на осреднената характеристика, разделена на общия брой на тези стойности (използва се, когато има негрупирани индексни стойности на характеристиката):

Направените изчисления могат да бъдат обобщени в следната формула:

(1)

където - средната стойност на променливия атрибут, т.е. средно аритметично;

означава сумиране, т.е. добавяне на отделни характеристики;

х- индивидуални стойности на променлив атрибут, които се наричат ​​варианти;

н - брой единици съвкупност

Пример1,изисква се да се намери средната производителност на един работник (шлосер), ако се знае колко части е произвел всеки от 15-те работници, т.е. предвид редица инд. стойности на признаци, бр.: 21; 20; 20; деветнайсет; 21; деветнайсет; осемнадесет; 22; деветнайсет; 20; 21; 20; осемнадесет; деветнайсет; 20.

SA проста се изчислява по формулата (1), бр.:

Пример2. Нека изчислим SA въз основа на условни данни за 20 магазина, които са част от търговска компания (Таблица 1). маса 1

Разпределение на магазините на търговска фирма "Весна" по търговска площ, кв. М

номер на магазина		номер на магазина

За да изчислите средната площ на магазина ( ) е необходимо да се сумират площите на всички магазини и да се раздели резултатът на броя на магазините:

Така средната магазинна площ за тази група търговски предприятия е 71 кв.м.

Следователно, за да се определи просто SA, е необходимо да се раздели сумата от всички стойности на даден атрибут на броя единици, които имат този атрибут.

2

където f 1 , f 2 , … ,f н – тегло (честота на повторение на едни и същи характеристики);

е сумата от произведенията на големината на характеристиките и техните честоти;

е общият брой единици на съвкупността.

- SA претеглено - Ссредата на опциите, които се повтарят различен брой пъти или се казва, че имат различна тежест. Теглата са броят на единиците в различни групи от населението (групата комбинира едни и същи опции). SA претеглено – средно от групираните стойности х 1 , х 2 , .., хн – изчислено: (2)

Където х- настроики;

f- честота (тегло).

SA претеглено е частното от разделянето на сумата от произведенията на вариантите и съответните им честоти на сумата от всички честоти. Честоти ( f), които се появяват във формулата на SA, обикновено се извикват везни, в резултат на което SA, изчислена с отчитане на теглата, се нарича претеглена SA.

Ще илюстрираме техниката за изчисляване на претеглена SA, като използваме разгледания по-горе пример 1. За да направим това, групираме първоначалните данни и ги поставяме в таблица.

Средната стойност на групираните данни се определя по следния начин: първо вариантите се умножават по честотите, след това продуктите се добавят и получената сума се разделя на сумата от честотите.

Съгласно формула (2), претеглената SA е, бр.:

Разпределението на работниците за разработване на части

П

данните, дадени в предходния пример 2, могат да бъдат комбинирани в хомогенни групи, които са представени в табл. Таблица

Разпределение на магазини Весна по търговска площ, кв. м

Така резултатът е същият. Това обаче вече ще е средноаритметично претеглената стойност.

В предишния пример изчислихме средната аритметична стойност, при условие че са известни абсолютните честоти (брой магазини). В някои случаи обаче няма абсолютни честоти, но са известни относителни честоти или, както обикновено се наричат, честоти, които показват пропорцията илисъотношението на честотите в цялата популация.

При изчисляване на SA претеглена употреба честотиви позволява да опростите изчисленията, когато честотата е изразена в големи, многоцифрени числа. Изчислението се извършва по същия начин, но тъй като средната стойност се увеличава 100 пъти, резултатът трябва да се раздели на 100.

Тогава формулата за среднопретеглената аритметична стойност ще изглежда така:

където д- честота, т.е. делът на всяка честота в общата сума на всички честоти.

(3)

В нашия пример 2 първо определяме дела на магазините по групи в общия брой магазини на фирма "Пролет". Така че за първата група специфичното тегло съответства на 10%
. Получаваме следните данни Таблица3

За анализ и получаване на статистически изводи за резултата от сумирането и групирането се изчисляват обобщаващи показатели - средни и относителни стойности.

Проблемът със средните стойности - да се характеризират всички единици от статистическата съвкупност с една стойност на признака.

Средните стойности характеризират качествените показатели на предприемаческата дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

средна стойност- това е обобщаваща характеристика на единиците от съвкупността по някакъв вариращ признак.

Средните стойности позволяват да се сравнят нивата на една и съща черта в различни популации и да се намерят причините за тези несъответствия.

При анализа на изследваните явления ролята на средните стойности е огромна. Английският икономист У. Пети (1623-1687) широко използва средните стойности. V. Petty искаше да използва средни стойности като мярка за разходите за средната дневна издръжка на един работник. Стабилността на средната стойност е отражение на моделите на изследваните процеси. Той вярваше, че информацията може да се трансформира, дори ако няма достатъчно първоначални данни.

Английският учен Г. Кинг (1648-1712) използва средни и относителни стойности, когато анализира данните за населението на Англия.

Теоретичните разработки на белгийския статистик А. Кетеле (1796-1874) се основават на непоследователността на природата на социалните явления - силно устойчиви в масата, но чисто индивидуални.

Според A. Quetelet постоянните причини действат по един и същ начин на всяко изследвано явление и правят тези явления подобни един на друг, създават модели, общи за всички тях.

Следствие от учението на A. Quetelet беше разпределението на средните стойности като основен метод за статистически анализ. Той каза, че средните статистически стойности не са категория на обективната реалност.

A. Quetelet изрази възгледите си за средното в своята теория за средния човек. Средният човек е човек, който притежава всички качества в среден размер (средна смъртност или раждаемост, среден ръст и тегло, средна скорост на бягане, средна склонност към брак и самоубийство, към добри дела и др.). За A. Quetelet обикновеният човек е идеалът за човек. Несъстоятелността на теорията на А. Кетле за средния човек е доказана в руската статистическа литература в края на 19-20 век.

Известният руски статистик Ю. Е. Янсон (1835-1893) пише, че А. Кетле приема съществуването в природата на типа на средния човек като нещо дадено, от което животът е отхвърлил средните хора на дадено общество и дадено време и това го води до напълно механичен поглед върху законите на движение на социалния живот: движението е постепенно увеличаване на средните свойства на човек, постепенно възстановяване на типа; следователно, такова изравняване на всички прояви на живота на социалното тяло, отвъд което престава всяко движение напред.

Същността на тази теория е намерила своето по-нататъшно развитие в трудовете на редица теоретици на статистиката като теория на истинските ценности. A. Quetelet имаше последователи - немският икономист и статистик W. Lexis (1837-1914), който прехвърли теорията за истинските ценности към икономическите явления на социалния живот. Неговата теория е известна като теория за стабилността. Друга версия на идеалистичната теория за средните стойности се основава на философията

Негов основател е английският статистик А. Боули (1869–1957), един от най-видните теоретици на новото време в областта на теорията на средните величини. Неговата концепция за средните стойности е очертана в книгата „Елементи на статистиката“.

А. Боули разглежда средните стойности само от количествената страна, като по този начин отделя количеството от качеството. Определяйки значението на средните стойности (или "тяхната функция"), А. Боули излага махисткия принцип на мислене. А. Боули пише, че функцията на средните трябва да изразява сложна група

с няколко прости числа. Статистическите данни трябва да бъдат опростени, групирани и усреднени Тези възгледи са споделени от Р. Фишер (1890-1968), Дж. Юл (1871-1951), Фредерик С. Милс (1892) и др.

През 30-те години. 20-ти век и следващите години средната стойност се разглежда като социално значима характеристика, чието информационно съдържание зависи от хомогенността на данните.

Най-видните представители на италианската школа Р. Бенини (1862-1956) и К. Джини (1884-1965), считайки статистиката за клон на логиката, разширяват обхвата на статистическата индукция, но свързват когнитивните принципи на логиката и статистика със същността на изучаваните явления, следвайки традициите на социологическата интерпретация на статистиката.

В трудовете на К. Маркс и В. И. Ленин специална роля се отрежда на средните стойности.

К. Маркс твърди, че индивидуалните отклонения от общото ниво се отменят в средната стойност и средното ниво става обобщаваща характеристика на масовото явление.Средната стойност става такава характеристика на масовото явление само ако се вземат значителен брой единици и тези единици са качествено еднородни. Маркс пише, че намерената средна стойност е средната на "... много различни индивидуални стойности от един и същи вид."

Средната стойност придобива особено значение в пазарната икономика. Той помага да се определи необходимото и общото, тенденцията на законите на икономическото развитие директно чрез индивидуалното и произволно.

Средни стойностиса обобщаващи показатели, в които се изразява действието на общи условия, закономерността на изучаваното явление.

Средните статистически стойности се изчисляват на базата на масови данни от статистически правилно организирано масово наблюдение. Ако средната статистическа стойност се изчислява от масови данни за качествено хомогенна съвкупност (масови явления), тогава тя ще бъде обективна.

Средната стойност е абстрактна, тъй като характеризира стойността на абстрактна единица.

Средната стойност се абстрахира от разнообразието на характеристиките в отделните обекти. Абстракцията е етап от научното изследване. В средната стойност се осъществява диалектическото единство на индивидуалното и общото.

Средните стойности трябва да се прилагат въз основа на диалектическо разбиране на категориите индивид и общо, индивид и маса.

Средният отразява нещо общо, което се събира в определен обект.

За идентифициране на закономерности в масовите социални процеси средната стойност е от голямо значение.

Отклонението на индивида от общото е проява на процеса на развитие.

Средната стойност отразява характерното, типично, реално ниво на изследваните явления. Целта на средните е да характеризира тези нива и техните промени във времето и пространството.

Средният показател е обикновена величина, защото се формира в нормални, естествени, общи условия за съществуване на конкретно масово явление, разглеждано като цяло.

Обективно свойство на статистически процес или явление отразява средната стойност.

Индивидуалните стойности на изследвания статистически признак са различни за всяка единица от съвкупността. Средната стойност на индивидуалните стойности от един вид е продукт на необходимост, който е резултат от кумулативното действие на всички единици от съвкупността, проявяващо се в маса от повтарящи се инциденти.

Някои отделни явления имат признаци, които съществуват във всички явления, но в различни количества - това е височината или възрастта на човека. Други признаци на отделно явление са качествено различни в различните явления, тоест те присъстват в някои и не се наблюдават в други (човек няма да стане жена). Средната стойност се изчислява за признаци, които са качествено еднородни и се различават само количествено, които са присъщи на всички явления в даден набор.

Средната стойност е отражение на стойностите на изследваната черта и се измерва в същото измерение като тази черта.

Теорията на диалектическия материализъм учи, че всичко в света се променя и развива. И също така знаците, които се характеризират със средни стойности, се променят и съответно самите средни стойности.

Животът е непрекъснат процес на създаване на нещо ново. Носител на новото качество са единичните предмети, след което броят на тези обекти се увеличава, а новото става масово, типично.

Средната стойност характеризира изследваната съвкупност само по едно основание. За пълно и изчерпателно представяне на изследваната популация за редица специфични характеристики е необходимо да има система от средни стойности, които могат да опишат явлението от различни ъгли.

2. Видове средни стойности

При статистическата обработка на материала възникват различни проблеми, които трябва да бъдат решени, поради което в статистическата практика се използват различни средни стойности. Математическата статистика използва различни средни величини, като: средно аритметично; средно геометрично; среден хармоник; корен квадратен.

За да се приложи един от горните видове средна стойност, е необходимо да се анализира изследваната популация, да се определи материалното съдържание на изследваното явление, всичко това се прави въз основа на изводи, получени от принципа на значимостта на резултатите при претегляне или сумиране.

При изследването на средните стойности се използват следните показатели и обозначения.

Критерият, по който се намира средната стойност, се нарича осреднена характеристика и се означава с x; се нарича стойността на осреднения признак за всяка единица от статистическата съвкупност неговото индивидуално значениеили настроики,и се обозначава като х 1 , Х 2 , х 3 ,… Х П ; честотата е повторяемостта на отделните стойности на черта, обозначена с буквата f.

Средноаритметично

Един от най-често срещаните видове среда средноаритметично, който се изчислява, когато обемът на осреднения признак се формира като сума от неговите стойности за отделни единици от изследваната статистическа съвкупност.

За да се изчисли средноаритметичната стойност, сумата от всички нива на признаци се разделя на техния брой.

Ако някои опции се появят няколко пъти, тогава сумата от нивата на атрибутите може да бъде получена чрез умножаване на всяко ниво по съответния брой единици от съвкупността, последвано от добавяне на получените продукти, средната аритметична стойност, изчислена по този начин, се нарича претеглена аритметика означава.

Формулата за среднопретеглената аритметична е следната:

където x i са опции,

f i - честоти или тегла.

Среднопретеглената стойност трябва да се използва във всички случаи, когато вариантите имат различно изобилие.

Средното аритметично като че ли разпределя поравно между отделните обекти общата стойност на атрибута, която всъщност варира за всеки от тях.

Изчисляването на средните стойности се извършва въз основа на данни, групирани под формата на серии на интервално разпределение, когато вариантите на признаци, от които се изчислява средната стойност, са представени под формата на интервали (от - до).

Свойства на средното аритметично:

1) средноаритметичната стойност на сумата от вариращите стойности е равна на сумата от средните аритметични: Ако x i = y i + z i , тогава

Това свойство показва в кои случаи е възможно да се обобщят средните стойности.

2) алгебричната сума на отклоненията на отделните стойности на променливата характеристика от средната е равна на нула, тъй като сумата от отклоненията в една посока се компенсира от сумата от отклоненията в другата посока:

Това правило показва, че средната стойност е резултатната.

3) ако всички варианти на серията се увеличат или намалят с едно и също число?, тогава средната стойност ще се увеличи или намали със същото число?:

4) ако всички варианти на серията се увеличат или намалят с A пъти, тогава средната стойност също ще се увеличи или намали с A пъти:

5) петото свойство на средната ни показва, че тя не зависи от размера на теглата, а зависи от съотношението между тях. Като тегла могат да се вземат не само относителни, но и абсолютни стойности.

Ако всички честоти от серията се разделят или умножат по едно и също число d, тогава средната стойност няма да се промени.

Средно хармонично.За да се определи средноаритметичната стойност, е необходимо да има редица опции и честоти, т.е. хи f.

Да предположим, че знаем индивидуалните стойности на характеристиката хи работи Х/,и честоти fса неизвестни, тогава, за да изчислим средната стойност, означаваме произведението = Х/;където:

Средната стойност в тази форма се нарича хармонично претеглена средна и се обозначава x вреда. vzvv.

Съответно средната хармонична е идентична със средната аритметична. Приложимо е, когато действителните тегла не са известни. f, а продуктът е известен fx = z

Когато работи fxсъщата или равна на единица (m = 1), използва се хармоничната проста средна, изчислена по формулата:

където х- отделни опции;

н- номер.

Средна геометрична

Ако има n фактора на растеж, тогава формулата за средния коефициент е:

Това е формулата на средното геометрично.

Средната геометрична е равна на корена на степента нот произведението на коефициентите на растеж, характеризиращи отношението на стойността на всеки следващ период към стойността на предходния.

Ако стойностите, изразени като квадратни функции, подлежат на осредняване, се използва средният квадрат. Например, като използвате средния квадрат, можете да определите диаметрите на тръбите, колелата и т.н.

Средноквадратичният елемент се определя чрез вземане на корен квадратен от частното от разделянето на сумата от квадратите на отделните стойности на характеристиките на техния брой.

Среднопретегленият корен на квадрат е:

3. Структурни средни. Режим и медиана

За характеризиране на структурата на статистическата съвкупност се използват показатели, които се наричат структурни средни.Те включват режим и медиана.

Мода (М относно ) - най-често срещаният вариант. Модасе нарича стойността на признака, която съответства на максималната точка на теоретичната крива на разпределение.

Режимът представлява най-често срещаната или типична стойност.

Модата се използва в търговската практика за изследване на потребителското търсене и записване на цени.

В дискретна серия режимът е вариантът с най-висока честота. В серията от интервални вариации централният вариант на интервала, който има най-висока честота (особеност), се счита за мода.

В рамките на интервала е необходимо да се намери стойността на атрибута, който е режимът.

където х относное долната граница на модалния интервал;

че стойността на модалния интервал;

FMе честотата на модалния интервал;

f t-1 - честота на интервала, предшестващ модалния;

FM+1 е честотата на интервала след модала.

Режимът зависи от размера на групите, от точното положение на границите на групите.

Мода- числото, което реално се среща най-често (е определена стойност), на практика има най-широко приложение (най-често срещаният тип купувач).

Медиана (М д- това е стойността, която разделя броя на подредените вариационни серии на две равни части: едната част има стойности на вариращия признак, които са по-малки от средния вариант, а другата е голяма.

Медианае елемент, който е по-голям или равен на и същевременно по-малък или равен на половината от останалите елементи на серията на разпределение.

Свойството на медианата е, че сумата от абсолютните отклонения на стойностите на чертата от медианата е по-малка от всяка друга стойност.

Използването на медианата ви позволява да получите по-точни резултати, отколкото използването на други форми на средни стойности.

Редът за намиране на медианата в интервалната вариационна серия е следният: подреждаме отделните стойности на атрибута по ранг; определяне на натрупаните честоти за тази класирана серия; според натрупаните честоти намираме средния интервал:

където x мене долната граница на средния интервал;

аз азе стойността на средния интервал;

f/2е полусумата от честотите на серията;

С аз-1 е сумата от натрупаните честоти, предхождащи медианния интервал;

f азе честотата на средния интервал.

Медианата разделя броя на редовете наполовина, следователно е мястото, където натрупаната честота е половината или повече от половината от общия брой честоти, а предишната (кумулативна) честота е по-малка от половината от популацията.

По математика и статистика средно аритметичноаритметика (или лесно средно аритметично) на набор от числа е сумата от всички числа в този набор, разделена на техния брой. Средната аритметична стойност е особено общо и най-често срещано представяне на средната стойност.

Ще имаш нужда

• Познания по математика.

Инструкция

1. Нека е даден набор от четири числа. Необходимост от откриване средно аритметично значениетози комплект. За да направим това, първо намираме сбора на всички тези числа. Тези числа са възможни 1, 3, 8, 7. Сумата им е равна на S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Наборът от числа трябва да се състои от числа с еднакъв знак, в противен случай няма смисъл да се изчислява средната стойност Е загубен.

2. Средно аритметично значениенабор от числа е равен на сумата от числата S, разделена на броя на тези числа. Тоест, оказва се, че средно аритметично значениее равно на: 19/4 = 4,75.

3. За набор от числа също е възможно да се открие не само средно аритметичноаритметика, но средно аритметичногеометричен. Средната геометрична стойност на няколко редовни реални числа е число, на което е позволено да замени някое от тези числа, така че произведението им да не се променя. Средната геометрична G се търси по формулата: корен от N-та степен от произведението на множество числа, където N е числото на числото в множеството. Нека разгледаме същия набор от числа: 1, 3, 8, 7. Нека ги намерим средно аритметичногеометричен. За да направите това, изчисляваме продукта: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Сега от числото 168 трябва да извлечете корена на 4-та степен: G = (168) ^ 1/4 = 3,61. По този начин средно аритметичногеометричният набор от числа е 3,61.

Средно аритметичносредното геометрично се използва по-рядко от средното аритметично, но може да бъде полезно при изчисляване на средната стойност на показатели, които се променят във времето (заплатата на отделен служител, динамиката на академичните постижения и др.).

Ще имаш нужда

• Инженерен калкулатор

Инструкция

1. За да намерите средното геометрично на поредица от числа, първо трябва да умножите всички тези числа. Да кажем, че ви е даден набор от пет индикатора: 12, 3, 6, 9 и 4. Нека умножим всички тези числа: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Сега от полученото число е необходимо да извлечете корена на степента, равна на броя на елементите на серията. В нашия случай от числото 7776 ще е необходимо да извлечете петия корен с помощта на инженерен калкулатор. Числото, получено след тази операция - в този случай числото 6 - ще бъде средното геометрично за първоначалната група числа.

3. Ако нямате под ръка инженерен калкулатор, тогава можете да изчислите средно геометричната стойност на поредица от числа с поддръжка на функцията CPGEOM в Excel или с помощта на един от онлайн калкулаторите, които са специално подготвени за изчисляване на средни геометрични стойности.

Забележка!
Ако трябва да намерите средната геометрична стойност на всяко за 2 числа, тогава нямате нужда от инженерен калкулатор: можете да извлечете корен от 2-ра степен (квадратен корен) от всяко число, като използвате най-обикновения калкулатор.

Полезен съвет
За разлика от средната аритметична, средната геометрична не се влияе толкова силно от огромни отклонения и колебания между отделните стойности в изследвания набор от показатели.

Средно аритметичностойността е една от съпоставките на набор от числа. Представлява число, което не може да бъде извън диапазона, определен от най-голямата и най-малката стойност в този набор от числа. Средно аритметичноаритметичната стойност е особено често използвано разнообразие от средни стойности.

Инструкция

1. Добавете всички числа в набора и ги разделете на броя членове, за да получите средното аритметично. В зависимост от определени условия на изчисление понякога е по-лесно да разделите някое от числата на броя на стойностите на набора и да сумирате общата сума.

2. Използвайте, да речем, калкулатора, включен в операционната система Windows, ако изчисляването на средното аритметично в главата ви не е възможно. Може да се отвори с помощта на диалоговия прозорец за стартиране на програмата. За да направите това, натиснете "ключовете за запис" WIN + R или щракнете върху бутона "Старт" и изберете командата "Изпълни" от главното меню. След това въведете полето за въвеждане calc и натиснете Enter на клавиатурата или щракнете върху бутона "OK". Същото може да се направи и чрез главното меню - отворете го, отидете в секцията "Всички програми" и в сегментите "Типични" и изберете реда "Калкулатор".

3. Въведете всички числа в набора на стъпки, като натиснете бутона Плюс на клавиатурата след всички тях (освен последното) или като щракнете върху съответния бутон в интерфейса на калкулатора. Въвеждането на числа също е разрешено както от клавиатурата, така и чрез натискане на съответните бутони на интерфейса.

4. Натиснете клавиша с наклонена черта или щракнете върху тази икона в интерфейса на калкулатора, след като въведете последната зададена стойност и въведете броя на числата в последователността. След това натиснете знака за равенство и калкулаторът ще изчисли и ще покаже средното аритметично.

5. За същата цел е позволено да се използва редакторът на електронни таблици Microsoft Excel. В този случай стартирайте редактора и въведете всички стойности на поредицата от числа в съседни клетки. Ако след въвеждане на цялото число натиснете Enter или клавиша със стрелка надолу или надясно, редакторът сам ще премести фокуса на въвеждане в съседната клетка.

6. Изберете всички въведени стойности и в долния ляв ъгъл на прозореца на редактора (в лентата на състоянието) ще видите средноаритметичната стойност за избраните клетки.

7. Щракнете върху клетката до последното въведено от вас число, ако предпочитате да видите само средното аритметично. Разширете падащия списък с изображението на гръцката буква сигма (Σ) в групата команди „Редактиране“ в раздела „Основни“. Изберете реда " Средно аритметично” и редакторът ще вмъкне необходимата формула за изчисляване на средното аритметично в избраната клетка. Натиснете клавиша Enter и стойността ще бъде изчислена.

Средната аритметична стойност е една от мерките за централна склонност, широко използвани в математиката и статистическите изчисления. Намирането на средната аритметична стойност за няколко стойности е много лесно, но всяка задача има свои собствени нюанси, които трябва да знаете, за да извършите правилни изчисления.

Какво е средно аритметично

Средната аритметична определя средната стойност за всеки начален масив от числа. С други думи, от определен набор от числа се избира стойност, която е универсална за всички елементи, чието математическо сравнение с всички елементи е приблизително еднакво. Средната аритметична стойност се използва за предпочитане при съставяне на финансови и статистически отчети или за изчисляване на количествените резултати от извършени подобни умения.

Как да намерим средното аритметично

Търсенето на средната аритметична стойност за масив от числа трябва да започне с определяне на алгебричната сума на тези стойности. Например, ако масивът съдържа числата 23, 43, 10, 74 и 34, то техният алгебричен сбор ще бъде 184. При запис средноаритметичното се означава с буквата? (mu) или x (x с тире). След това алгебричната сума трябва да бъде разделена на броя на числата в масива. В този пример имаше пет числа, така че средноаритметичната стойност ще бъде 184/5 и ще бъде 36,8.

Характеристики на работа с отрицателни числа

Ако масивът съдържа отрицателни числа, тогава средноаритметичната стойност се намира с помощта на подобен алгоритъм. Разлика има само при пресмятане в среда за програмиране или при наличие на допълнителни данни в задачата. В тези случаи намирането на средноаритметичното на числа с различни знаци се свежда до три стъпки: 1. Намиране на общото средно аритметично по стандартния начин; 2. Намиране на средно аритметично на отрицателни числа.3. Изчисляване на средно аритметично на положителни числа Резултатите от всяко от действията се записват разделени със запетаи.

Естествени и десетични дроби

Ако масивът от числа е представен с десетични дроби, решението се извършва по метода за изчисляване на средноаритметичното на цели числа, но общата сума се намалява според изискванията на задачата за точността на резултата.При работа с естествени дроби , те трябва да бъдат сведени до общ знаменател, този, който е умножен по броя на числата в масива. Числителят на резултата ще бъде сумата от намалените числители на началните дробни елементи.

Средната геометрична стойност на числата зависи не само от абсолютната стойност на самите числа, но и от техния брой. Невъзможно е да се объркат средното геометрично и средното аритметично на числата, тъй като те се намират по различни методологии. Средната геометрична стойност винаги е по-малка или равна на средната аритметична.

Ще имаш нужда

• Инженерен калкулатор.

Инструкция

1. Помислете, че в общия случай средното геометрично на числата се намира чрез умножаване на тези числа и извличане от тях на корена на степента, която съответства на броя на числата. Да речем, ако трябва да намерите средната геометрична стойност на пет числа, тогава от продукта ще трябва да извлечете корена на петата степен.

2. За да намерите средното геометрично на 2 числа, използвайте основното правило. Намерете техния продукт, след това извлечете квадратния корен от него, от факта, че числото е две, което съответства на степента на корена. Да речем, за да намерите средното геометрично на числата 16 и 4, намерете произведението им 16 4=64. От полученото число извадете корен квадратен? 64 = 8. Това ще бъде желаната стойност. Моля, обърнете внимание, че средноаритметичната стойност на тези 2 числа е по-голяма и е равна на 10. Ако коренът не е напълно изваден, закръглете общата сума в желания ред.

3. За да намерите средното геометрично на повече от 2 числа, използвайте и основното правило. За да направите това, намерете произведението на всички числа, за които трябва да намерите средната геометрична стойност. От получения продукт извлечете корена на степента, равен на броя на числата. Да речем, за да намерите средното геометрично на числата 2, 4 и 64, намерете произведението им. 2 4 64=512. От факта, че е необходимо да се намери сумата от средното геометрично на 3 числа, които извличат корена на трета степен от произведението. Трудно е да направите това устно, затова използвайте инженерен калкулатор. За целта има бутон „x^y“. Наберете номер 512, натиснете бутона “x^y”, след това наберете номер 3 и натиснете бутона “1/x”, за да намерите стойността 1/3, натиснете бутона “=”. Получаваме резултат от повдигане на 512 на степен 1/3, което съответства на корен от трета степен. Вземете 512^1/3=8. Това е средното геометрично на числата 2,4 и 64.

4. С помощта на инженерен калкулатор е възможно да се открие средната геометрична стойност, като се използва различен метод. Намерете бутона за регистрация на клавиатурата. След това вземете логаритъм на всички числа, намерете тяхната сума и я разделете на броя на числата. От полученото число вземете антилогаритъм. Това ще бъде средното геометрично на числата. Да речем, за да намерите средното геометрично на същите числа 2, 4 и 64, направете набор от операции на калкулатора. Наберете номер 2, след това натиснете бутона log, натиснете бутона “+”, наберете номер 4 и натиснете отново log и “+”, наберете 64, натиснете log и “=”. Резултатът ще бъде число, равно на сбора от десетичните логаритми на числата 2, 4 и 64. Разделете полученото число на 3, от факта, че това е броят на числата, по които се търси средното геометрично. От общата сума вземете антилогаритъм чрез превключване на бутона за регистриране и използване на същия лог ключ. Резултатът ще бъде числото 8, това е желаната средна геометрична стойност.

Забележка!
Средната стойност не може да бъде по-голяма от най-голямото число в набора и по-малка от най-малкото.

Полезен съвет
В математическата статистика средната стойност на дадено количество се нарича математическо очакване.

Предмет: Статистика

Вариант номер 2

Средни стойности, използвани в статистиката

Въведение……………………………………………………………………………….3

Теоретична задача

Средната стойност в статистиката, нейната същност и условия за прилагане.

1.1. Същността на средната стойност и условията на използване………….4

1.2. Видове средни стойности………………………………………………8

Практическа задача

Задача 1,2,3…………………………………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………………….21

Списък на използваната литература………………………………………………...23

Въведение

Този тест се състои от две части – теоретична и практическа. В теоретичната част ще бъде разгледана подробно такава важна статистическа категория като средната стойност, за да се идентифицират нейната същност и условия на приложение, както и да се идентифицират видовете средни стойности и методите за тяхното изчисляване.

Статистиката, както знаете, изучава масови социално-икономически явления. Всяко от тези явления може да има различно количествено изражение на една и съща характеристика. Например заплатите на една и съща професия на работниците или цените на пазара за същия продукт и др. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

За да изследва всяка популация според различни (количествено променящи се) характеристики, статистиката използва средни стойности.

Средна есенция

Средната стойност е обобщаваща количествена характеристика на съвкупността от еднотипни явления по един вариращ признак. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни величини.

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя представя стойността на определен признак в цялата съвкупност като едно число, въпреки количествените му различия в отделните единици на съвкупността, и изразява общото, което е присъщо на всички единици на съвкупността. изследваната популация. По този начин, чрез характеристиката на единица от съвкупността, тя характеризира цялата съвкупност като цяло.

Средните стойности са свързани със закона за големите числа. Същността на тази връзка се състои в това, че при осредняване на случайни отклонения на отделни стойности, поради действието на закона за големите числа, те взаимно се компенсират и в средната стойност се разкрива основната тенденция на развитие, необходимост, закономерност. Средните стойности позволяват сравнение на показатели, свързани с популации с различен брой единици.

В съвременните условия на развитие на пазарните отношения в икономиката средните стойности служат като инструмент за изследване на обективните закономерности на социално-икономическите явления. Икономическият анализ обаче не трябва да се ограничава само до средни показатели, тъй като общите благоприятни средни могат да скрият както големи и сериозни недостатъци в дейността на отделните икономически субекти, така и кълновете на нови, прогресивни. Например, разпределението на населението по доходи позволява да се идентифицира формирането на нови социални групи. Следователно, наред със средните статистически данни, е необходимо да се вземат предвид характеристиките на отделните единици от съвкупността.

Средната стойност е резултат от всички фактори, влияещи върху изследваното явление. Тоест, когато се изчисляват средните стойности, влиянието на случайни (пертурбативни, индивидуални) фактори взаимно се компенсират и по този начин е възможно да се определи моделът, присъщ на изследваното явление. Адолф Кетле подчертава, че значението на метода на средните стойности се състои във възможността за преход от единично към общо, от случайно към закономерно, а съществуването на средни е категория на обективната реалност.

Статистиката изучава масови явления и процеси. Всяко от тези явления има както общи за цялата съвкупност, така и специални, индивидуални свойства. Разликата между отделните явления се нарича вариация. Друго свойство на масовите явления е присъщата им близост на характеристиките на отделните явления. Така че взаимодействието на елементите на множеството води до ограничаване на вариацията на поне част от техните свойства. Тази тенденция обективно съществува. Именно в неговата обективност се крие причината за най-широкото приложение на средните стойности на практика и на теория.

Средната стойност в статистиката е обобщаващ показател, който характеризира типичното ниво на явление в конкретни условия на място и време, отразявайки величината на променлив признак на единица от качествено хомогенна съвкупност.

В икономическата практика се използва широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

С помощта на метода на средните стойности статистиката решава много проблеми.

Основната стойност на средните стойности е тяхната обобщаваща функция, тоест замяната на много различни индивидуални стойности на характеристика със средна стойност, която характеризира целия набор от явления.

Ако средната стойност обобщава качествено хомогенни стойности на черта, тогава тя е типична характеристика на черта в дадена популация.

Въпреки това е погрешно да се намали ролята на средните стойности само до характеризиране на типичните стойности на характеристиките в популациите, които са хомогенни по отношение на тази характеристика. На практика много по-често съвременната статистика използва средни величини, които обобщават ясно еднородни явления.

Средната стойност на националния доход на глава от населението, средният добив на зърнени култури в цялата страна, средното потребление на различни хранителни продукти са характеристиките на държавата като единна икономическа система, това са така наречените системни средни стойности.

Системните средни стойности могат да характеризират както пространствени или обектни системи, които съществуват едновременно (държава, индустрия, регион, планета Земя и т.н.), така и динамични системи, разширени във времето (година, десетилетие, сезон и т.н.).

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя отразява общото, което е присъщо на всички единици от изследваната съвкупност. Стойностите на атрибута на отделните единици от съвкупността се колебаят в една или друга посока под влияние на много фактори, сред които могат да бъдат както основни, така и случайни. Например цената на акциите на една корпорация като цяло се определя от нейното финансово състояние. В същото време, в определени дни и на определени фондови борси, поради преобладаващите обстоятелства, тези акции могат да бъдат продадени на по-висок или по-нисък курс. Същността на средната се състои в това, че тя анулира отклоненията на стойностите на признака на отделни единици от съвкупността, дължащи се на действието на случайни фактори, и отчита промените, причинени от действието на основни фактори. Това позволява на средната стойност да отразява типичното ниво на атрибута и да се абстрахира от индивидуалните характеристики, присъщи на отделните единици.

Изчисляването на средната стойност е една обща техника за обобщение; средният показател отразява общото, характерно (характерно) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време пренебрегва различията между отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

Всяка средна стойност характеризира изследваната съвкупност според всяка една характеристика, но за да се характеризира всяка популация, да се опишат нейните типични характеристики и качествени характеристики, е необходима система от средни показатели. Следователно в практиката на вътрешната статистика за изследване на социално-икономическите явления като правило се изчислява система от средни показатели. Така например показателят за средната работна заплата се оценява заедно с показателите за средната производителност, съотношението капитал/тегло и съотношение мощност/тегло на труда, степента на механизация и автоматизация на труда и др.

Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател. Следователно за конкретен показател, използван в социално-икономическия анализ, може да се изчисли само една истинска средна стойност въз основа на научния метод на изчисление.

Средната стойност е един от най-важните обобщаващи статистически показатели, характеризиращ съвкупността от еднотипни явления по някакъв количествено различен признак. Средните стойности в статистиката са обобщаващи показатели, числа, изразяващи типичните характерни измерения на социалните явления по един количествено вариращ признак.

Видове средни стойности

Видовете средни стойности се различават предимно по това какво свойство, какъв параметър от първоначалната варираща маса от отделни стойности на чертата трябва да се запази непроменен.

Средноаритметично

Средно аритметичното е такава средна стойност на характеристика, при изчисляването на която общият обем на характеристиката в съвкупността остава непроменен. В противен случай можем да кажем, че средното аритметично е средното сборено. Когато се изчислява, общият обем на атрибута се разпределя мислено поравно между всички единици на съвкупността.

Средната аритметична стойност се използва, ако са известни стойностите на осреднения признак (x) и броя на единиците от съвкупността с определена стойност на признака (f).

Средната аритметична стойност може да бъде проста и претеглена.

просто аритметично средно

Използва се прост, ако всяка стойност на характеристика x се среща веднъж, т.е. за всяко x стойността на характеристиката е f=1 или ако оригиналните данни не са подредени и не е известно колко единици имат определени стойности на характеристика.

Формулата за средната аритметична е проста.

,