Таблица на производните на елементарни функции

Определение 1

Изчисляването на производната се нарича диференциация.

Означаваме производната $y"$ или $\frac(dy)(dx)$.

Забележка 1

За да се намери производната на функция, съгласно основните правила, диференцирането се преобразува в друга функция.

Разгледайте таблицата с производни. Нека обърнем внимание на факта, че функциите след намиране на техните производни се трансформират в други функции.

Единственото изключение е $y=e^x$, което се превръща в себе си.

Правила за диференциране на производни

Най-често при намиране на производна се изисква не само да се разгледа таблицата с производни, но първо да се приложат правилата за диференциране и доказателството за производната на продукта и едва след това да се използва таблицата с производни на елементарни функции .

1. Константата е извадена от знака на производната

$C$ е константа (константа).

Пример 1

Диференцирайте функцията $y=7x^4$.

Решение.

Намерете $y"=(7x^4)"$. Изваждаме числото $7$ за знак на производната, получаваме:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

използвайки таблицата, трябва да намерите стойността на производната на степенната функция:

$=7 \cdot 4x^3=$

Преобразуваме резултата във формата, приета в математиката:

Отговор:$28x^3$.

2. Производната на сбора (разликата) е равна на сбора (разликата) на производните:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Пример 2

Диференцирайте функцията $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Решение.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

приложете правилото за диференциране на производната сбор и разлика:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

имайте предвид, че при диференциране всички степени и корени трябва да бъдат трансформирани във формата $x^(\frac(a)(b))$;

изваждаме всички константи от знака на производната:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

след като се занимаваме с правилата за диференциране, някои от тях (например, като последните две) се прилагат едновременно, за да се избегне пренаписването на дълъг израз;

получихме израз от елементарни функции под знака на производната; Нека използваме таблицата с производни:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

трансформира във формата, приета в математиката:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$

Имайте предвид, че когато намирате резултата, е обичайно да преобразувате термини с дробни степени в корени, а с отрицателни - във дроби.

Отговор: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. Формулата за производната на произведението на функциите:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Пример 3

Диференцирайте функцията $y=x^(11) \ln x$.

Решение.

Първо прилагаме правилото за изчисляване на производната на произведението на функциите, а след това използваме таблицата с производни:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnthx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Отговор: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Формулата за производната на частна функция:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Пример 4

Диференцирайте функцията $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Решение.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

според правилата за приоритет на математическите операции, първо извършваме деление, а след това събиране и изваждане, така че първо прилагаме правилото за изчисляване на производната на частното:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

приложете правилата за производни на сбора и разликата, отворете скобите и опростете израза:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Отговор:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Пример 5

Нека диференцираме функцията $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Решение.

Функцията y е частно от две функции, така че можем да приложим правилото за изчисляване на производната на частно, но в този случай получаваме тромава функция. За да опростите тази функция, можете да разделите числителя на знаменателя термин по термин:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Нека приложим към опростената функция правилото за диференциране на сумата и разликата на функциите:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Отговор: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

1. (f(h(x))) "= f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (sin x) " = cos x

3. (cos x) " = - sin x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5.(ctg x)" = 1/sin 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (e x) " = e x

8. (lnx)" = 1/x

9. (log a x) " = 1/ x ∙ ln a a

10.(arcsinx)" = 1/

11. (arccos x) "= -1/

12. (arctg x) "= 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Пример. Изчислете производната

y=sin3(1-x2)

y"= (sin 3 (1-x 2))"* (sin (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) ) ) * (-2x) =

6x * sin 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Определение. Нека функцията y = f(x), x Є(a;b) е диференцируема в някаква точка x o Є(a;b), т.е. в точката x o има граница lim Δf(x o) / Δx = f"’ (x o)

От тук имаме Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α, където α е безкрайно малка стойност при Δ x→0, т.е. limα = 0

Така че Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Вторият член е безкрайно малък като Δx→0, следователно d f(x o)= f "(x o)∙ Δx или

Пример. Изчислете диференциала на функция y = x 2 + cos 3x - 5

Dy \u003d (x 2 + cos 3x - 5) "dx \u003d (2x - 3 sin 3x) dx.

Определение. Диференциална функция f(x), дефинирана на някакъв интервал x, се нарича противопроизводна за функция f(x), дефинирана на същия интервал, ако за всички x от този интервал F"(x) = f(x) или d F(x ) = f(x) * dx

Определение. Множеството от всички първоизводни за функцията f(x), дефинирана на някакъв интервал x, се нарича неопределен интеграл на функцията f(x) на този интервал и се обозначава със символа

∫ f(x) dx = f(x) + C, където F(x) е първоизводната

C е производната константа.

За да изчислите неопределения интеграл, има таблица с основни интеграли (вижте учебника по математика за техническите училища от I.I. Valuta), стр.251).

Пример. намирам

1. ∫(4x 3 - 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 - 6 x 3 /3 + 2 x 2 /2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 / 5 - 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Определение. Увеличенията F(b) - F (a) на която и да е от функциите на първообразната f(x) + C, когато аргументът се промени от x = a на x = b, се наричат ​​определен интеграл от a към b на функцията f(x ), и се означава с f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), и се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

Пример. Изчисли

1. ∫ (x 2 - 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 - 3/2 * 2 2 + 7*2) - (1/3 * (-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Определение. Фигурата, ограничена от графиката на функцията y \u003d f (x), сегмент и прави линии x \u003d a и x \u003d b, се нарича криволинеен трапец.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Пример. Изчислете площта на ограничена фигура y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Тема 1.2. Обикновени диференциални уравнения

Решаването на различни проблеми чрез метода на математическото моделиране се свежда до намиране на неизвестна функция от уравнение, съдържащо независима променлива, желаната функция и производните на тази функция. Такова уравнение се нарича диференциално уравнение.

Определение. Решение на диференциално уравнение е всяка функция, която превръща даденото уравнение в идентичност.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x, y, y", y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x са диференциални уравнения.

Определение 2. Редът на диференциалното уравнение е най-големият ред на производните, включени в даденото уравнение.

xy" + y - 2 = 0 - уравнение от първи ред

y"" + 7y"- 3y = 0 - уравнение от трети ред

Определение 3. Диференциално уравнение от първи ред е уравнение във формата F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) е уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Определение 4. Всяко отделно решение на диференциално уравнение се нарича негово частно решение.

Определение 5. Функцията, дадена с формулата y = (e (x,C) или y = y(x,C) - представлява общото решение на диференциалното решение F(x, y, y") = 0 или

Проблем с Коши. При решаването на конкретни проблеми често е необходимо да се отдели от целия набор от решения на диференциалното уравнение това конкретно решение, което е отговорът на поставения въпрос. За да се отдели отделна интегрална крива от целия набор от решения, се задават така наречените начални условия.

В случай на диференциални уравнения от първи ред y" = f(x, y), началното условие за неговото решение y = y(x) се разбира като условията, че y = y o при x = x o, т.е. y (x o) \u003d y o, където x o и y o са дадени числа (първоначални данни), така че когато x \u003d x o и y \u003d y o, функцията f (x, y) има смисъл, т.е. съществува f (x o, y около) .

Определение 6. Проблемът за намиране на определено решение на диференциално уравнение, което удовлетворява дадени начални условия, се нарича проблем на Коши.

В случай на диференциално уравнение от първи ред проблемът на Коши се формулира по следния начин: намерете решение y \u003d y (x) на уравнението y "= f (x, y), което отговаря на началното условие за дадени начални данни (x o, y o)

y (x o) \u003d y o или, в друга нотация, y x \u003d x0 \u003d y o, където x o, y o са дадени числа.

Определение 7. Диференциалното уравнение се нарича уравнение с разделими променливи, ако има следната форма: y "= f 1 (x) f 2 (y) или

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Теорема: Ако съществуват интегралите ∫dy/f 2 (y) и ∫ f 1 (x) dx, тогава общият интеграл на уравнението с отделена променлива се дава от уравнението

F 2 (y) = F 1 (x) + C, където F 2 (y) и F 1 (x) са някои антипроизводни на функциите 1/f 2 (y) и f 1 (x), съответно.

При решаване на диференциални уравнения с разделящи променливи може да се ръководи от следния алгоритъм:

1) отделете променливите (като вземете предвид условията, когато това може да се направи);

2) интегриране член по член на получените уравнения с разделени променливи, намиране на неговия общ интеграл;

3) разберете дали уравнението има решения, които не са получени от общия интеграл;

4) намиране на частичен интеграл (или решение), което удовлетворява началните условия (ако е необходимо).

Пример. Намерете конкретно решение на уравнението 2yy" = 1-3x 2, ако y o = 3 за x o =1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека го представим в диференциали:

Следователно 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Интегрираме двете части на последното равенство, намираме ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx получаваме y 2 = x - x 3 + C. Замествайки първоначалните стойности y o = 3 x o =1 намираме

C: 9 \u003d 1-1 + C, т.е. С = 9.

Следователно желаният частичен интеграл ще бъде y 2 \u003d x - x 3 + 9 или

x 3 + y 2 - x - 9 \u003d 0

Тема 1.4. Редове.

Определение 1. Числовият ред е израз на формата

а 1 + а 2 + …а n + ………., където а 1 , а 2 , ……а n – числа, принадлежащи към определена бройна система.

За съкратеното обозначение на серията се използва знакът за сумиране Σ и

а именно a 1 + a 2 + …a n + ……….= Σ a n

Определение 2. Числата a 1, a 2, ... и n, ..... се наричат ​​членове на редицата; и n се нарича общ член на серията.

Определение 3. Редица се нарича сходяща, ако последователността от нейните частични суми S 1 , S 2 , S 3 .........S n , ...... се сближава, т.е. ако има ограничена граница

Числото S се нарича сбор от редицата. Ако Lim S n не съществува или Lim S n = ∞, тогава серията

h →∞ h →∞

се нарича дивергентно и не му се приписва цифрова стойност.

Теорема 1. Ако редът се сближава, тогава неговият общ член a n клони към нула.

Ако Lim a n ≠ 0 или тази граница не съществува, тогава редът се разминава.

Теорема 2. Нека е дадена редица а 1 + а 2 + …а n + ………., с положителни членове.

a n + 1 a n + 1

Да приемем, че Lim съществува и Lim = P

h →∞ a n h →∞ a n

1) ако R<1, то ряд сходится

2) ако Р>1, то редицата се разминава.

Определение 3. Редици, съдържащи както положителни, така и отрицателни членове, се наричат ​​правилни.

Определение 4. Редовен ред се нарича абсолютно сходящ, ако редът се сближава

|a 1 | + |а 2 | + …+ | и n | + ………., съставен от модулите на своите членове.

Определение 5. Редът а 1 + а 2 + …а n + ………., се нарича условно сходящ, ако се сближава, а редът |а 1 | + |а 2 | + …+ | и n | + ………., съставен от модулите на своите членове, се разминава.

Определение 6. Серия се нарича редуваща се, ако положителните и отрицателните членове следват един след друг (a 1 + a 2 + a 3 - a 4 +…..+(-1) n +1 *

Теорема 3. Алтернативен ред се събира, ако:

1) неговите членове намаляват по модул,

a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥ a n ≥ ……..

2) неговият общ член клони към нула,

Освен това сумата S на редицата удовлетворява неравенството 0≤ S ≤a 1

Определение 7. Нека u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... е някаква последователност от функции.

Израз от формата Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + се нарича функционален ред.

Определение 8. Функционална редица се нарича сходяща се в точка x o ако

числова серия Σ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

получена от функционалната серия чрез заместване x = x o , е конвергентна серия. Това се нарича точка на сходимост на серията.

Определение 9. Степенен ред е функционален ред на формата

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

където х е независима променлива, х o е фиксирано число, а o , а 1 , а 2 , … а n ….. са постоянни коефициенти.

Раздел 2.1. Основи на дискретната математика.

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства на връзката. Операции върху множества.

Множество е основното понятие на теорията на множествата, което се въвежда без дефиниция. Най-малкото това, което се знае за едно множество е, че то се състои от елементи.

Множеството А се нарича

е елемент B (фиг. 1)

снимка 1

Начини за определяне на набори:

1. Чрез изброяване, т.е. списък на неговите елементи.

2. Генеративна процедура, която описва метод за получаване на елементи от множество от вече получени елементи или други обекти. В този случай елементите на набора са всички обекти, които могат да бъдат конструирани с помощта на такава процедура.

3. Описание на характерните свойства, които трябва да притежават неговите елементи.

Задайте по различни начини множеството N на всички естествени числа 1, 2, 3…..

а) множеството N не може да бъде определено като списък поради своята безкрайност.

б) процедурата за генериране съдържа две правила:

1) 1 О N ; 2) ако n n N, тогава n + 1 n N

в) описание на характерното свойство на елементите на множеството N:

N = (x; x е положително цяло число)

Операции върху множества.

1. Обединението на множества A и B се нарича

съвкупността от всички тези елементи

които принадлежат към поне едно от множествата

A, B. (Фигура 2)

Фигура 2

2. Пресечната точка на множествата A и B се нарича

набор, състоящ се от всички тези и само тези елементи

които принадлежат както на A, така и на B. (Фигура 3)

Фигура 3

3. Разликата на множествата A и B е множеството

всички онези и само онези елементи от А, които

Фигура 4

4. Допълнението (до B) на множество A се нарича B

И

множеството от всички елементи, които не принадлежат на A (фиг. 5)

Фигура 5

Извършване на операции върху множествата A = (a, b, c, d) и B = (c, d, f.g, h)

A U B =(a, b, c, d, e, f.g,h)

A ∩ B = (c, d)

Операциите за допълване на множества A и B не могат да бъдат изпълнени, т.е. универсалното множество не е дефинирано.

Връзките са един от начините за уточняване на връзки между елементи на множество. Най-изследваните и най-често използвани са т.нар. down- и bi-pair релации.

Отношенията могат да бъдат зададени:

списък;

Матрица.

Свойства на връзката.

Нека R е отношение в множеството M, R ≤ M x M, тогава:

1. R е рефлексивно, ако a R a е валидно за всяко a Î M.

2. R е антирефлексивно, ако нито за всяко a Î M не е валидно R a.

3. R ​​​​е симетричен, ако a R b предполага bRа.

4. R е антисеметрично, ако aRb и bRa предполагат a=b, т.е. за всеки различен елемент a и b (a≠b) не е едновременно aRb и bRa.

5. R е транзитивно, ако aRb и bRa предполагат aRc.

Тема 2.2 Основни понятия на теорията на графите

Графичните изображения в широк смисъл са всякакви визуални изображения на системата, процеса, явлението, което се изучава в равнина. Те могат да включват чертежи, чертежи, графики на зависимости на характеристики, планови карти на области, блок-схеми на процеси, диаграми и др.

Графичните представяния са удобен начин за илюстриране на съдържанието на различни понятия, свързани с други начини за формализирани представяния.

Мощен и най-изследван клас от обекти, свързани с графичните представяния, са така наречените графики.

Теорията на графите има огромни приложения, тъй като нейният език, от една страна, е ясен и разбираем, а от друга страна, е удобен при официални изследвания.

Графичните изображения в тесен смисъл са описание на системата, процеса, явлението, което се изследва с помощта на теорията на графите, под формата на набор от два класа обекти: върхове и линии, които ги свързват - ръбове или дъги.

Определение: Графът D е съвкупност от две множества: върхове V и ребра E, между чиито елементи е дефинирана връзка на инцидентност - всяко ребро e E е случайно равно на два върха v", v"" V, които свързва.

Също така за теорията на графите, за елементите на графите, запознайте се с видовете графи и разгледайте операциите върху тях, можете да изучавате раздел 3 „Теория на графите“, стр. 195-214 в учебника за XXI век, ред. от Г.И.“.

За самостоятелно изучаване на темата 3.1. Основи на теорията на вероятностите и математическата статистика. Вероятност. Теореми за събиране и умножение на вероятности. Теми 3.2. Случайна променлива, нейната функция на разпределение. Теми 3.3. Математическо очакване и дисперсия на случайна променлива. Можете да използвате следната литература: V. S. Shchipachev "Основи на висшата математика", както и I. P. Natanson. Кратък курс по висша математика или Н. В. Богомолов Практически урок по математика.

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в интервала X. производнафункция y \u003d f (x) в точката x o се нарича граница

= .

Ако това ограничение краен,тогава се извиква функцията f(x). диференцируемив точката х о; освен това се оказва задължително и непрекъснато в тази точка.

Ако разглежданата граница е равна на  (или - ), тогава при условие, че функцията в точката х ое непрекъсната, ще кажем, че функцията f(x) има в точка х о безкрайна производна.

Производната се обозначава със символите

y , f (x o), , .

Намирането на производната се нарича диференциацияфункции. Геометричният смисъл на производнатае, че производната е наклонът на допирателната към кривата y=f(x) в дадена точка х о ; физически смисъл -в това, че производната на пътя по отношение на времето е моментната скорост на движещата се точка по време на праволинейно движение s = s(t) в момента t o .

Ако се постоянно число и u = u(x), v = v(x) са някои диференцируеми функции, тогава се прилагат следните правила за диференциране:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) ако y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - сложна функция,или суперпозиция, съставен от диференцируеми функции  и f, тогава , или

6) ако за функцията y = f(x) съществува обратно диференцируема функция x = g(y) и  0, то .

Въз основа на дефиницията на производната и правилата за диференциране може да се състави списък от таблични производни на основните елементарни функции.

1. (u )" =  u  1 u" (  Р).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Нека изчислим производната на експоненциалния израз y=u v , (u>0), където uи vсъщността на функцията химащи производни в дадена точка ти",v".

Вземайки логаритъм на равенството y=u v , получаваме ln y = v ln u.

Приравняване на производни по отношение на хот двете части на полученото равенство с помощта на правила 3, 5 и формулата за производната на логаритмичната функция ще имаме:

y"/y = vu"/u + v" ln u, откъдето y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Например, ако y \u003d x sin x, тогава y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x ln x).

Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точка х, т.е. има крайна производна в тази точка y", тогава = y "+, където 0 при х 0; следователно  y = y" х +  x.

Извиква се основната част от нарастването на функцията, линейна спрямо x диференциал функциии се обозначава с dy: dy \u003d y "x. Ако поставим y \u003d x в тази формула, тогава получаваме dx \u003d x" x = 1x \u003d x, следователно dy = y "dx, т.е. символ за обозначение на производната може да се разглежда като дроб.

Увеличаване на функцията  ге нарастването на ординатата на кривата, а диференциалът d ге нарастването на ординатата на тангентата.

Нека намерим за функцията y=f(x) нейната производна y = f (x). Производната на тази производна се нарича производна от втори редфункции f(x), или втора производна,и означено .

Следните се дефинират и обозначават по същия начин:

производна от трети ред - ,

производна от четвърти ред -

и най-общо казано производна от n-ти ред - .

Пример 3.15. Изчислете производната на функцията y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Решение.По правило 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

Пример 3.16 . Намерете y", y = tg x + .

Решение.Използвайки правилата за диференциране на сумата и частното, получаваме: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 3.17. Намерете производната на комплексна функция y= , u=x 4 +1.

Решение.Според правилото за диференциране на сложна функция получаваме: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Тъй като u \u003d x 4 +1, след това (2 x 4 + 2+ .

Производна, правила и формули за диференциране

Нека функцията y = f(x) е дефинирана в интервала X. производнафункция y \u003d f (x) в точката x o се нарича граница

= .

Ако това ограничение краен,тогава се извиква функцията f(x). диференцируемив точката x o; освен това се оказва задължително и непрекъснато в тази точка.

Ако разглежданата граница е равна на ¥ (или - ¥), тогава при условие, че функцията в точката x oе непрекъсната, ще кажем, че функцията f(x) има в точка x o безкрайна производна.

Производната се обозначава със символите

y ¢, f ¢(x o), , .

Намирането на производната се нарича диференциацияфункции. Геометричният смисъл на производнатае, че производната е наклонът на допирателната към кривата y=f(x) в дадена точка x o; физически смисъл -в това, че производната на пътя по отношение на времето е моментната скорост на движещата се точка по време на праволинейно движение s = s(t) в момента t o .

Ако се постоянно число и u = u(x), v = v(x) са някои диференцируеми функции, тогава се прилагат следните правила за диференциране:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" \u003d u "v + v" u;

4) (u / v) "= (u" v-v "u) / v 2;

5) ако y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложна функция,или суперпозиция, съставен от диференцируеми функции j и f, тогава , или

6) ако за функция y = f(x) съществува обратно диференцируема функция x = g(y) и ¹ 0, тогава .

Въз основа на дефиницията на производната и правилата за диференциране може да се състави списък от таблични производни на основните елементарни функции.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О Р).

2. (a u)" = a u lna × u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u × u".

7. (cos u)" = - sin u × u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u × u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Нека изчислим производната на експоненциалния израз y=u v , (u>0), където uи vсъщността на функцията химащи производни в дадена точка ти",v".

Вземайки логаритъм на равенството y=u v , получаваме ln y = v ln u.

Приравняване на производни по отношение на хот двете части на полученото равенство с помощта на правила 3, 5 и формулата за производната на логаритмичната функция ще имаме:

y"/y = vu"/u + v" ln u, откъдето y" = y (vu"/u + v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" log u), u > 0.

Например, ако y \u003d x sin x, тогава y" \u003d x sin x (sin x / x + cos x × ln x).

Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точка х, т.е. има крайна производна в тази точка y", тогава \u003d y "+a, където a®0 при Dx® 0; следователно D y \u003d y" Dx + a x.

Извиква се основната част от нарастването на функцията, линейна по отношение на Dx функционален диференциали се обозначава dy: dy = y "Dx. Ако поставим y = x в тази формула, тогава получаваме dx = x" Dx = 1 × Dx = Dx, следователно dy = y "dx, т.е. символът за обозначаване на производната може да се разглежда като дроб.

D увеличение на функцията ге нарастването на ординатата на кривата, а диференциалът d ге нарастването на ординатата на тангентата.

Нека намерим за функцията y=f(x) нейната производна y ¢= f ¢(x). Производната на тази производна се нарича производна от втори редфункции f(x), или втора производна,и означено .

Следните се дефинират и обозначават по същия начин:

производна от трети ред - ,

производна от четвърти ред -

и най-общо казано производна от n-ти ред - .

Пример 3.15. Изчислете производната на функцията y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Решение.По правило 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2) sinx + (3x 3 -2x+1) cos x.

Пример 3.16. Намерете y", y = tg x + .

Решение.Използвайки правилата за диференциране на сумата и частното, получаваме: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 3.17. Намерете производната на комплексна функция y= ,
u=x 4 +1.

Решение.Според правилото за диференциране на сложна функция получаваме: y "x \u003d y " u u" x \u003d () " u (x 4 +1)" x \u003d (2u +. Тъй като u \u003d x 4 +1 тогава
(2 х 4 +2+ .

Пример 3.18.

Решение.Нека представим функцията y= като суперпозиция на две функции: y = e u и u = x 2 . Имаме: y" x \u003d y " u u" x \u003d (e u)" u (x 2)" x \u003d e u ×2x. Замествайки x2вместо u, получаваме y=2x .

Пример 3.19. Намерете производната на функцията y=ln sin x.

Решение.Означаваме u=sin x, тогава производната на комплексната функция y=ln u се изчислява по формулата y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

Пример 3.20.Намерете производната на функцията y= .

Решение.Случаят на сложна функция, получена в резултат на няколко суперпозиции, се изчерпва с последователното прилагане на правило 5:

.

Пример 3.21. Изчислете производната y=ln .

Решение.Като вземем логаритми и използваме свойствата на логаритмите, получаваме:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Диференцирайки двете части на последното равенство, получаваме:

Функция екстремум

Извиква се функцията y=f(x). повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ако диференцируема функция y = f(x) на сегмент нараства (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Точка x oНаречен локална максимална точка (минимум) на функцията f(x), ако има околност на точката x o, за всички точки от които е вярно неравенството f(x) £ f(x o) (f(x) ³ f(x o)).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни екстремуми.

Необходими условия за екстремум. Ако точка x oе точка на екстремум на функцията f(x), тогава или f ¢(x o) = 0, или f ¢(x o) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие.Позволявам x o- критична точка. Ако f ¢ (x) при преминаване през точката x oпроменя знака плюс на минус, след това в точката x oфункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката x oняма екстремум.

Второто достатъчно условие.Нека функцията f(x) има производна
f ¢ (x) в околност на точка x oи втората производна в самата точка x o. Ако f ¢(x o) = 0, >0 (<0), то точка x oе локална минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включат по-високи производни.

На сегмент функцията y = f(x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f ¢ (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат бъдете само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. След като изчислим стойностите на функцията в точките x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена с телена мрежа от три страни, а от четвъртата страна да граничи със стената. За това има алинейни метри от мрежата. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Обозначете страните на сайта през хи г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x(a - 2x), където 0 £ x £ a/2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За х< a/4 S ¢ >0 и за x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Тъй като S е непрекъснато и неговите стойности в краищата на S(0) и S(a/2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-голямата стойност на функцията. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p » 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Следователно, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Във всички формули по-долу, букви uи vса означени диференцируеми функции на независимата променлива х: , , но с букви а, c, n- постоянен:

1.

3.

4.

5.

6.

Останалите формули са написани както за функции на независима променлива, така и за сложни функции:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7а.

8а.

9а.

11а.

12а.

13а.

16а.

17а.

При решаването на примерите по-долу се правят подробни бележки. Човек обаче трябва да се научи да прави разлика без междинни записи.

Пример 1Намерете производната на функция .

Решение. Тази функция е алгебрична сума от функции. Разграничаваме го с помощта на формули 3, 5, 7 и 8:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Прилагайки формули 6, 3, 7 и 1, получаваме

Пример 3Намерете производната на функция и изчислете стойността му при

Решение. Това е сложна функция с междинен аргумент. Използвайки формули 7а и 10, имаме

.

Пример 4Намерете производната на функция .

Решение. Това е сложна функция с междинен аргумент. Прилагайки формули 3, 5, 7a, 11, 16a, получаваме

Пример 5Намерете производната на функция .

Решение. Разграничаваме тази функция по формули 6, 12, 3 и 1:

Пример 6Намерете производната на функция и изчислете стойността му при .

Решение. Първо трансформираме функцията, използвайки свойствата на логаритмите:

Сега правим разлика по формули 3, 16а, 7 и 1:

.

Нека изчислим стойността на производната при .

Пример 7Намерете производната на функцията и изчислете нейната стойност при .

Решение. Използваме формули 6, 3, 14a, 9a, 5 и 1:

.

Изчислете стойността на производната при:

.

Геометричният смисъл на производната.

Производната на функция има проста и важна геометрична интерпретация.

Ако функцията диференцируеми в точка х, тогава графиката на тази функция има допирателна в съответната точка, а наклонът на допирателната е равен на стойността на производната в разглежданата точка.

Наклонът на допирателната, начертана към графиката на функцията в точка ( х 0 , при 0), е равна на стойността на производната на функцията при х = х 0, т.е. .

Уравнението за тази допирателна има формата

Пример 8. Напишете уравнение за допирателна към графика на функция в точка А (3.6).

Решение. За да намерим наклона на тангентата, намираме производната на тази функция:

х= 3:

Уравнението на допирателната има формата

, или , т.е.

Пример 9Съставете уравнението на допирателната, прекарана към графиката на функцията в точката с абсцисата х=2.

Решение. Първо намерете ординатата на точката на допир. Тъй като точка А лежи върху кривата, нейните координати удовлетворяват уравнението на кривата, т.е.

; .

Уравнението на допирателната, начертана към кривата в точката, има формата . За да намерим наклона на тангентата, намираме производната:

.

Наклонът на тангенса е равен на стойността на производната на функцията при х= 2:

Уравнението на допирателната е:

, , т.е.

Физическото значение на производната.Ако тялото се движи праволинейно по закон s=s(t), след това за период от време (от момента тдо момента ) ще върви по някакъв начин. След това има средна скорост на движение за период от време.

скоростдвижения на тялото в даден момент тсе нарича границата на отношението на пътя към нарастването на времето, когато нарастването на времето клони към нула:

.

Следователно, производната по време на пътя s травна на скоростта на праволинейното движение на тялото в даден момент:

.

Скоростта на физичните, химичните и други процеси също се изразява с помощта на производната.

Производна на функция е равна на скоростта на промяна на тази функция за дадена стойност на аргумента х:

Пример 10Законът за движение на точка по права линия се дава с формулата (s - в метри, t - в секунди). Намерете скоростта на точката в края на първата секунда.

Решение. Скоростта на точка в даден момент е равна на производната на пътя спо време т:

,

И така, скоростта на точката в края на първата секунда е 9 m/s.

Пример 11.Тяло, хвърлено вертикално нагоре, се движи според закона , където v 0 - начална скорост, же ускорението на свободното падане. Намерете скоростта на това движение за всеки момент от време т. Колко време ще се издигне тялото и до каква височина ще се издигне, ако v0= 40 m/s?

Решение. Скоростта, с която дадена точка се движи в даден момент травно на производната на пътя спо време т:

.

В най-високата точка на изкачване скоростта на тялото е нула:

, , , , с.

Над 40/ жсекунди тялото се издига на височина

, м.

Втора производна.

Производна на функция като цяло е функция на х. Ако изчислим производната на тази функция, тогава получаваме производната от втори ред или втората производна на функцията .

Втора производнафункции се нарича производна на нейната първа производна .

Втората производна на функция се означава с един от символите - , , . По този начин, .

Производни от всякакъв ред се дефинират и обозначават по подобен начин. Например, производна от трети ред:

или ,

Пример 12. .

Решение. Първо намираме първата производна

Пример 13Намерете втората производна на функция и изчислете стойността му при х=2.

Решение. Първо намираме първата производна:

Диференцирайки отново, намираме втората производна:

Нека изчислим стойността на втората производна при х=2; ние имаме

Физическото значение на втората производна.

Ако тялото се движи праволинейно по закон s = s(t), след това втората производна на пътя спо време травно на ускорението на тялото в даден момент т:

По този начин първата производна характеризира скоростта на някакъв процес, а втората производна характеризира ускорението на същия процес.

Пример 14Точката се движи по права линия според закона . Намерете скоростта и ускорението на движението .

Решение. Скоростта на тялото в даден момент е равна на производната на пътя спо време т,а ускорението е втората производна на пътя спо време т. Намираме:

; тогава ;

; тогава

Пример 15Скоростта на праволинейното движение е пропорционална на корен квадратен от изминатия път (както например при свободно падане). Докажете, че това движение се осъществява под действието на постоянна сила.

Решение. Според закона на Нютон силата F, предизвикваща движението, е пропорционална на ускорението, т.е.

или

Според условието . Разграничавайки това равенство, намираме

Следователно действащата сила .

Приложения на производната за изследване на функция.

1) Условието за нарастване на функцията: Диференцируема функция y = f(x) нараства монотонно в интервала X тогава и само ако нейната производна е по-голяма от нула, т.е. y = f(x) f'(x) > 0. Това условие геометрично означава, че допирателната към графиката на тази функция образува остър ъгъл с положителна посока към оста x.

2) Условието функцията да намалява: Диференцируема функция y = f(x) монотонно намалява в интервала X тогава и само ако нейната производна е по-малка от нула, т.е.

y = f(x)↓ f'(x) Това условие геометрично означава, че допирателната към графиката на тази функция образува тъп ъгъл с положителната посока на оста x)

3) Условието за постоянство на функцията:Диференцируема функция y = f(x) е постоянна в интервала X тогава и само ако нейната производна е равна на нула, т.е. y = f(x) - константа f'(x) = 0 .Това условие геометрично означава, че допирателната към графиката на тази функция е успоредна на оста oX, т.е. α \u003d 0)

Функционални крайности.

Определение 1: Точката x \u003d x 0 се нарича минимална точкафункция y = f(x), ако тази точка има околност, за всички точки от която (с изключение на самата точка) неравенството f(x)> f(x 0)

Определение 2:Точката x \u003d x 0 се нарича максимална точкафункция y = f(x), ако тази точка има околност, за всички точки от която (с изключение на самата точка) неравенството f(x)< f(x 0).

Определение 3: Минималната или максималната точка на функция се нарича точка екстремум. Стойността на функцията в тази точка се нарича екстремна.

Забележки: 1. Максимумът (минимумът) не е непременно максималната (най-малката) стойност на функцията;

2. Една функция може да има няколко максимума или минимума;

3. Функция, дефинирана върху сегмент, може да достигне екстремум само във вътрешните точки на този сегмент.

5) Необходимо условие за екстремум:Ако функцията y \u003d f (x) има екстремум в точката x \u003d x 0, тогава в тази точка производната е равна на нула или не съществува. Тези точки се наричат критични точки от 1-ви вид.

6) Достатъчни условия за съществуването на екстремума на функцията:Нека функцията y \u003d f (x) е непрекъсната в интервала X и има вътре в този интервал като критична точка от 1-ви вид x \u003d x 0, тогава:

а) ако тази точка има околност, в която за x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, тогава x = x 0 е точка минимумфункции y = f(x);

b) ако тази точка има съседство, в което за x< х 0 f’(x) >0 и за x> x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой максимумфункции y = f(x);

в) ако тази точка има такава близост, че в нея както вдясно, така и вляво от точката x 0 знаците на производната са еднакви, то в точката x 0 няма екстремум.

Интервалите на намаляващи или нарастващи функции се наричат ​​интервали. монотонност.

Определение 1:Кривата y = f(x) се нарича изпъкнал надолуна интервала a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется изпъкнал нагорена интервала a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 2:Наричат ​​се интервалите, в които графиката на функцията е изпъкнала нагоре или надолу набъбват на интервалифункционална графика.

Достатъчно условие кривата да е изпъкнала.Графиката на диференцируемата функция Y = f(x) е изпъкнал нагорена интервала a< х <в, если f”(x) < 0 и изпъкнал надолу, ако f”(x) > 0.

Определение 1:Точките, в които втората производна е нула или не съществува, се наричат критични точки от втори вид.

Определение 2:Точката на графиката на функцията Y = f(x), разделяща интервалите на изпъкналостта на противоположните посоки на тази графика, се нарича точка инфлексия.

инфлексна точка

Пример: Дадена е функция y \u003d x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Изследвайте функцията за интервали на монотонност и точки на екстремум. Определете посоката на изпъкналостта и точките на инфлексия.

Решение: 1. Намерете домейна на функцията: D(y) = ;

2. Намерете първата производна: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Нека решим уравнението: y' = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, тогава това уравнение няма решение, следователно няма точки на екстремум. y', тогава функцията нараства в цялата област на дефиниция.

4. Намерете втората производна: y” = 6x - 4;

5. Решете уравнението: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Отговор: ( ; - ) - инфлексна точка, функцията е изпъкнала нагоре при x и изпъкнала нагоре при x

Асимптоти.

1. Определение: Асимптотата на кривата е права линия, към която графиката на дадена функция се приближава неограничено.

2. Видове асимптоти:

1) Вертикални асимптоти. Графиката на функцията y = f(x) има вертикална асимптота, ако . Уравнението на вертикалната асимптота има формата x = a

2) Хоризонтални асимптоти. Графиката на функцията y = f(x) има хоризонтална асимптота, ако . Уравнението на хоризонталната асимптота е y = b.

Пример 1: За функцията y = намерете асимптотите.

3) Наклонени асимптоти.Правата y = kx + b се нарича наклонена асимптота на графиката на функцията y = f(x), ако . Стойностите на k и b се изчисляват по формулите: k = ; b = .

решение: , тогава y = 0 е хоризонталната асимптота;

(тъй като x - 3 ≠ 0, x ≠ 3), тогава x = 3 е вертикалната асимптота. ,т. т.е. k = 0, тогава кривата няма наклонена асимптота.

Пример 2: За функцията y = намерете асимптотите.

Решение: x 2 - 25 ≠ 0 с x ≠ ± 5, тогава x \u003d 5 и x \u003d - 5 са ​​хоризонтални асимптоти;

y = , тогава кривата няма вертикална асимптота;

k = ; b = , т.е. y = 5x - наклонена асимптота.

Примери за конструиране на функционални графики.

Пример 1 .

Изследвайте функцията и изградете графика на функцията y \u003d x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Намерете домейна на функцията: D(y) = R

y (- x) \u003d (- x) 3 - 6 (- x) 2 + 9 (-x) - 3 \u003d - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 \u003d - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), т.е.

(y \u003d x 5 - x 3 - нечетно, y \u003d x 4 + x 2 - четно)

3. Не е периодичен.

4. Намерете точките на пресичане с координатните оси: ако x \u003d 0, тогава y \u003d - 3 (0; - 3)

ако Y = 0, x е трудно да се намери.

5. Намерете асимптотите на графиката на функцията: Няма вертикални асимптоти, т.к. няма x стойности, за които функцията е неопределена; y = , т.е. няма хоризонтални асимптоти;

k = , т.е. няма наклонени асимптоти.

6. Изследваме функцията за интервали на монотонност и нейните екстремуми: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y'= 0, 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - критични точки от 1-ви вид.

Да определим знаците на производната: y'(0) = 9 > 0; y'(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - максимална точка; y min \u003d y (3) \u003d - 3, (3; - 3) - минимална точка, функция y за x и y .

7. Изследваме функцията за интервали на изпъкналост и точки на инфлексия:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критична точка от 1-ви вид.

Нека да определим знаците на втората производна: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - инфлексна точка, функцията е изпъкнала нагоре при x и изпъкнала надолу при x.

8. Допълнителни точки:

х	- 1
при	- 19

9. Нека построим графика на функцията:

Изследвайте функцията и начертайте функцията y =

1. Намерете домейна на функцията: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Разберете дали дадената функция е четна или нечетна: ,

y(- x) ≠ y(x) не е четно и y(- x) ≠ - y(x) не е нечетно

3. Не е периодичен.

4. Намерете точките на пресичане с координатните оси: x \u003d 0, след това y \u003d - 2; y = 0, тогава , т.е. (0; - 2); ().

5. Намерете асимптотите на графиката на функцията: тъй като x ≠ 1, тогава правата x = 1 е вертикалната асимптота;