Какви са основните свойства на неопределения интеграл. Най-простите свойства на интегралите

В тази статия ще изброим основните свойства на определения интеграл. Повечето от тези свойства са доказани въз основа на концепциите за определения интеграл на Риман и Дарбу.

Изчисляването на определения интеграл много често се прави с помощта на първите пет свойства, така че ще се позоваваме на тях, когато е необходимо. Останалите свойства на определения интеграл се използват главно за изчисляване на различни изрази.

Преди да продължите основни свойства на определения интеграл, нека се съгласим, че a не превишава b.

За функцията y = f(x), дефинирана при x = a, равенството е вярно.

Тоест стойността на определен интеграл със същите граници на интегриране е равна на нула. Това свойство е следствие от дефиницията на интеграла на Риман, тъй като в този случай всяка интегрална сума за всяко разделение на интервала и всеки избор на точки е равна на нула, тъй като следователно границата на интегралните суми е нула.

За функция, интегрируема на интервал, .

С други думи, когато горната и долната граница на интегриране сменят местата си, стойността на определения интеграл се променя на противоположната. Това свойство на определен интеграл също следва от концепцията за интеграла на Риман, само че номерирането на дяла на сегмента трябва да започне от точката x = b.

за функции, интегрируеми на интервал y = f(x) и y = g(x) .

Доказателство.

Нека запишем интегралната сума на функцията за дадено разделение на сегмент и даден избор от точки:

където и са интегралните суми на функциите y = f(x) и y = g(x) съответно за дадено разпределение на сегмента.

Преминаване към лимита при получаваме, че по дефиницията на интеграла на Риман е еквивалентно на твърдението на доказваното свойство.

Постоянният множител може да бъде изваден от знака на определения интеграл. Тоест, за функция y = f(x), интегрируема на интервал и произволно число k, е валидно следното равенство: .

Доказателството за това свойство на определения интеграл е абсолютно подобно на предишното:

Нека функцията y = f(x) е интегрируема на интервала X и и тогава .

Това свойство е вярно както за , така и за или .

Доказателството може да се проведе въз основа на предишните свойства на определения интеграл.

Ако една функция е интегрируема на интервал, тогава тя е интегрируема на всеки вътрешен интервал.

Доказателството се основава на свойството на сумите на Дарбу: ако се добавят нови точки към съществуващо разделение на сегмент, тогава долната сума на Дарбу няма да намалее, а горната няма да се увеличи.

Ако функцията y = f(x) е интегрируема на интервала и за всяка стойност на аргумента, тогава .

Това свойство се доказва чрез дефиницията на интеграла на Риман: всяка интегрална сума за всеки избор на точки на разделяне на сегмента и точки при ще бъде неотрицателна (не положителна).

Последица.

За функции y = f(x) и y = g(x), интегрируеми на интервал, са валидни следните неравенства:

Това твърдение означава, че интегрирането на неравенства е допустимо. Ще използваме това следствие, за да докажем следните свойства.

Нека функцията y = f(x) е интегрируема на интервала , тогава неравенството е в сила .

Доказателство.

Очевидно е, че . В предишното свойство открихме, че неравенството може да се интегрира член по член, следователно е вярно . Това двойно неравенство може да се запише като .

Нека функциите y = f(x) и y = g(x) са интегрируеми на интервала и за всяка стойност на аргумента, тогава , Където И .

Доказателството се извършва по подобен начин. Тъй като m и M са най-малката и най-голямата стойност на функцията y = f(x) на сегмента, тогава . Умножаването на двойното неравенство с неотрицателна функция y = g(x) ни води до следното двойно неравенство. Интегрирайки го на интервала , стигаме до доказаното твърдение.

В диференциалното смятане проблемът се решава: под тази функция ƒ(x) намерете нейната производна(или диференциал). Интегралното смятане решава обратната задача: намерете функцията F(x), като знаете нейната производна F "(x)=ƒ(x) (или диференциал). Търсената функция F(x) се нарича първоизводна на функцията ƒ(x ).

Извиква се функцията F(x). антипроизводнофункция ƒ(x) на интервала (a; b), ако за всяко x є (a; b) равенството

F " (x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

Например, първоизводната на функцията y = x 2, x є R, е функцията, тъй като

Очевидно всички функции също ще бъдат антипроизводни

където C е константа, тъй като

Теорема 29. 1. Ако функцията F(x) е първоизводна на функцията ƒ(x) върху (a;b), тогава множеството от всички първоизводни за ƒ(x) е дадено от формулата F(x)+ C, където C е постоянно число.

▲ Функцията F(x)+C е първоизводна на ƒ(x).

Наистина, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Нека Ф(х) е някаква друга първоизводна на функцията ƒ(x), различна от F(x), т.е. Ф "(x)=ƒ(х). Тогава за всяко x є (а; b) имаме

И това означава (виж следствие 25.1), че

където C е постоянно число. Следователно Ф(x)=F(x)+С.▼

Множеството от всички първообразни функции F(x)+С за ƒ(x) се нарича неопределен интеграл на функцията ƒ(x)и се означава със символа ∫ ƒ(x) dx.

Така по дефиниция

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Тук се извиква ƒ(x). интегрална функция, ƒ(x)dx — интегранд израз,Х - интеграционна променлива, ∫ -знак на неопределения интеграл.

Операцията за намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометрично, неопределеният интеграл е семейство от "успоредни" криви y=F(x)+C (всяка числена стойност на C съответства на определена крива от семейството) (виж Фиг. 166). Графиката на всяка първоизводна (крива) се нарича интегрална крива.

Всяка функция има ли неопределен интеграл?

Има теорема, която гласи, че „всяка функция, непрекъсната на (a;b), има първоизводна на този интервал“ и, следователно, неопределен интеграл.

Нека отбележим редица свойства на неопределения интеграл, които следват от неговата дефиниция.

1. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта, а производната на неопределения интеграл е равен на интегранта:

д(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Наистина, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Благодарение на това свойство правилността на интегрирането се проверява чрез диференциране. Например равенството

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

вярно, тъй като (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. Неопределеният интеграл на диференциала на определена функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

∫dF(x)= F(x)+C.

Наистина ли,

3. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

α ≠ 0 е константа.

Наистина ли,

(поставете C 1 / a = C.)

4. Неопределеният интеграл на алгебричната сума на краен брой непрекъснати функции е равен на алгебричната сума на интегралите на събираемите на функциите:

Нека F"(x)=ƒ(x) и G"(x)=g(x). Тогава

където C 1 ±C 2 =C.

5. (Инвариантност на формулата за интегриране).

Ако , където u=φ(x) е произволна функция с непрекъсната производна.

▲ Нека x е независима променлива, ƒ(x) е непрекъсната функция и F(x) е нейната първоизводна. Тогава

Нека сега зададем u=φ(x), където φ(x) е непрекъснато диференцируема функция. Да разгледаме комплексната функция F(u)=F(φ(x)). Поради инвариантността на формата на първия диференциал на функцията (виж стр. 160), имаме

Оттук▼

Така формулата за неопределения интеграл остава валидна независимо от това дали променливата на интегриране е независима променлива или която и да е нейна функция, която има непрекъсната производна.

И така, от формулата чрез заместване на x с u (u=φ(x)) получаваме

В частност,

Пример 29.1.Намерете интеграла

където C=C1+C 2 +C 3 +C 4.

Пример 29.2.Намерете интегралното решение:

29.3. Таблица на основните неопределени интеграли

Възползвайки се от факта, че интегрирането е обратно действие на диференцирането, може да се получи таблица с основни интеграли чрез обръщане на съответните формули на диференциалното смятане (таблица с диференциалите) и използване на свойствата на неопределения интеграл.

Например, защото

d(sin u)=cos u. ду

Извеждането на редица формули в таблицата ще бъде дадено при разглеждане на основните методи на интегриране.

Интегралите в таблицата по-долу се наричат таблични. Те трябва да се знаят наизуст. В интегралното смятане няма прости и универсални правила за намиране на първоизводни на елементарни функции, както в диференциалното смятане. Методите за намиране на антипроизводни (т.е. интегриране на функция) се свеждат до посочване на техники, които привеждат даден (търсен) интеграл в табличен. Следователно е необходимо да се познават табличните интеграли и да се умеят да ги разпознават.

Обърнете внимание, че в таблицата с основни интеграли променливата за интегриране може да обозначава както независима променлива, така и функция на независимата променлива (според свойството за инвариантност на формулата за интегриране).

Валидността на формулите по-долу може да се провери, като се вземе диференциалът от дясната страна, който ще бъде равен на интегранта от лявата страна на формулата.

Нека докажем, например, валидността на формула 2. Функцията 1/u е дефинирана и непрекъсната за всички стойности на и различни от нула.

Ако u > 0, тогава ln|u|=lnu, тогава Ето защо

Ако u<0, то ln|u|=ln(-u). НоСредства

Така че формула 2 е правилна. По подобен начин нека проверим формула 15:

Таблица на главните интеграли

Приятели! Каним ви да обсъдим. Ако имате собствено мнение, пишете ни в коментарите.

Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла, за да се намали до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:

3. Неопределеният интеграл на диференциала на определена функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът на сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) на интегралите:

6. Имотът е комбинация от свойства 4 и 5:

Освен това, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойство за инвариантност на неопределения интеграл:

Ако , тогава

8. Имот:

Ако , тогава

Всъщност това свойство е частен случай на интегриране с помощта на метода за промяна на променливата, който се обсъжда по-подробно в следващия раздел.

Да разгледаме един пример:

Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата на антипроизводните и получихме резултата.

Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички свойства, изброени по-горе, и лесно ще намери подробно решение за вашия интеграл.

Първопроизводен и неопределен интеграл.

Първоизводна на функция f(x) на интервала (a; b) е функция F(x), така че равенството е в сила за всеки x от дадения интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството е вярно . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се означава .

Изразът се нарича интегранд, а f(x) се нарича интегранд. Интегралната функция представлява диференциала на функцията f(x).

Действието за намиране на неизвестна функция при даден неин диференциал се нарича неопределено интегриране, тъй като резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а набор от нейните първоизводни F(x)+C.

Таблични интеграли

Най-простите свойства на интегралите

1. Производната на резултата от интегрирането е равна на интегралната функция.

2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.

3. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.

4. Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателство поради първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и има много тясна връзка между тези проблеми:

първото свойство позволява да се провери интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако получената в резултат на диференцирането функция се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;

второто свойство на неопределения интеграл позволява да се намери неговата антипроизводна от известен диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

1.4.Инвариантност на интеграционните форми.

Инвариантната интеграция е вид интеграция за функции, чиито аргументи са елементи от група или точки от хомогенно пространство (всяка точка от такова пространство може да бъде прехвърлена в друга чрез дадено действие на групата).

функция f(x) се свежда до изчисляване на интеграла на диференциалната форма f.w, където

По-долу е дадена ясна формула за r(x). Условието на споразумението има формата .

тук Tg означава оператора за смяна на X с помощта на gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топология, група, действаща върху себе си чрез леви смени. Аз и. съществува тогава и само ако G е локално компактен (по-специално, върху безкрайномерни групи I.I. не съществува). За подмножество от I. и. характеристичната функция cA (равна на 1 на A и 0 извън A) определя лявата Xaar мярка m(A). Определящото свойство на тази мярка е нейната инвариантност при леви отмествания: m(g-1A)=m(A) за всички gОG. Лявата мярка на Хаар върху група е уникално дефинирана до положителен скаларен фактор. Ако мярката на Хаар m е известна, тогава I. и. функция f е дадена с формулата . Правилната мярка на Хаар има подобни свойства. Съществува непрекъснат хомоморфизъм (карта, запазваща груповото свойство) DG на групата G в груповата (по отношение на умножението) позиция. числа, за които

където dmr и dmi са дясната и лявата мярка на Хаар. Извиква се функцията DG(g). модул на групата G. Ако , тогава групата G се нарича. едномодулен; в този случай дясната и лявата мярка на Хаар съвпадат. Компактните, полупростите и нилпотентните (по-специално комутативни) групи са унимодуларни. Ако G е n-мерна група на Ли и q1,...,qn е базис в пространството на лявоинвариантните 1-форми на G, тогава лявата мярка на Хаар на G е дадена от n-формата. В местни координати за изчисление

форми qi, можете да използвате всяка матрична реализация на групата G: матрицата 1-форма g-1dg остава инвариантна и нейният коефициент. са ляво-инвариантни скаларни 1-форми, от които се избира търсената база. Например пълната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мярката на Хаар върху нея е дадена от формата. Позволявам X=G/H е хомогенно пространство, за което локално компактната група G е трансформационна група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на дадена точка. За да съществува i.i. върху X е необходимо и достатъчно за всички hОH да е в сила равенството DG(h)=DH(h). По-специално, това е вярно в случая, когато H е компактен или полупрост. Пълна теория на I. и. не съществува на безкрайномерни многообразия.

Замяна на променливи.

Основната задача на диференциалното смятанее да се намери производната е'(х)или диференциал df=е'(х)dxфункции е(х).В интегралното смятане се решава обратната задача. Според дадена функция е(х) трябва да намерите такава функция F(х),Какво F'(x)=е(х)или dF(x)=F'(х)dx=е(х)dx.

По този начин, основната задача на интегралното смятанее възстановяването на функцията F(х)чрез известната производна (диференциал) на тази функция. Интегралното смятане има множество приложения в геометрията, механиката, физиката и технологиите. Той дава общ метод за намиране на площи, обеми, центрове на тежестта и др.

Определение. функцияF(x), , се нарича първоизводна на функциятае(x) на множеството X, ако е диференцируемо за всяко иF'(x)=е(x) илиdF(x)=е(х)dx.

Теорема. Всяка непрекъсната линия на интервала [а;b] функцияе(x) има противопроизводно на този сегментF(x).

Теорема. АкоF 1 (x) иF 2 (x) – две различни първоизводни на една и съща функцияе(x) върху множеството x, то те се различават един от друг с постоянен член, т.е.F 2 (x)=F 1x)+C, където C е константа.

Неопределен интеграл, неговите свойства.

Определение. ТоталностF(x)+От всички антипроизводни функциие(x) на множеството X се нарича неопределен интеграл и се означава:

- (1)

Във формула (1) е(х)dxНаречен интегранд израз,е(x) – интегрална функция, x – интегрална променлива,А C – константа на интегриране.

Нека разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които следват от неговата дефиниция.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегралната функция, диференциалът на неопределения интеграл е равна на интегралната функция:

И .

3. Постоянният фактор a (a≠0) може да бъде изведен като знак на неопределения интеграл:

4. Неопределеният интеграл на алгебричната сума на краен брой функции е равен на алгебричната сума на интегралите на тези функции:

5. АкоF(x) – първоизводна на функциятае(x), тогава:

6 (инвариантност на формулите за интегриране). Всяка формула за интегриране запазва формата си, ако променливата за интегриране се замени с която и да е диференцируема функция на тази променлива:

Къдетоu е диференцируема функция.

Таблица на неопределените интеграли.

Да дадем основни правила за интегриране на функции.

Да дадем таблица на основните неопределени интеграли.(Имайте предвид, че тук, както в диференциалното смятане, буквата uможе да се определи като независима променлива (u=х)и функция на независимата променлива (u=u(х)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Извикват се интеграли 1 – 17 табличен.

Някои от горните формули в таблицата на интегралите, които нямат аналог в таблицата на производните, се проверяват чрез диференциране на десните им части.

Промяна на променлива и интегриране по части в неопределен интеграл.

Интегриране чрез заместване (замяна на променлива). Нека е необходимо да се изчисли интегралът

, което не е таблично. Същността на метода на заместване е, че в интеграла променливата хзамени с променлива Tспоред формулата x=φ(T),където dx=φ’(T)дт.

Теорема. Нека функциятаx=φ(t) е дефинирана и диференцируема на определено множество T и нека X е множеството от стойности на тази функция, на която функцията е дефиниранае(х). Тогава, ако на множеството X функциятае(