Логаритми: примери и решения. Логаритъм - свойства, формули, графика Основни свойства на логаритмите

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-просто. Например \(\log_(2)(8)\) е равно на степента, на която трябва да се повдигне \(2\), за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Примери:		\(\log_(5)(25)=2\)		защото \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		защото \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		защото \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент и основа на логаритъм

Всеки логаритъм има следната „анатомия“:

Аргументът на логаритъм обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис гласи така: „логаритъм от двадесет и пет по основа пет“.

Как да изчислим логаритъм?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? Каква сила прави всеки номер едно? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? Първо, всяко число на първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем, че това е дробна степен, което означава, че квадратният корен е степента на \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Трябва да намерим стойността на логаритъма, нека го означим като х. Сега нека използваме определението за логаритъм: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Какво свързва \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Две, защото и двете числа могат да бъдат представени с двойки: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Отляво използваме свойствата на степента: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Базите са равни, преминаваме към равенство на показателите
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Умножете двете страни на уравнението по \(\frac(2)(5)\)
		Полученият корен е стойността на логаритъма

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи уравнението. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). На какво е равно x? Това е смисълът.

Най-умните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно да напиша това число? За да се отговори на този въпрос, е изобретен логаритъма. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), като всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото, ако искахме да го запишем като десетичен знак, щеше да изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) и \(10\) не могат да бъдат доведени до една и съща база. Това означава, че не можете без логаритъм. Нека използваме определението за логаритъм: \(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Нека обърнем уравнението така, че X да е отляво
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		пред нас. Нека преместим \(4\) надясно. И не се страхувайте от логаритъма, третирайте го като обикновено число.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Разделете уравнението на 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Това е нашият корен. Да, изглежда необичайно, но те не избират отговора.

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъм, неговата основа може да бъде всяко положително число освен едно \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Една от тях се нарича „Основна логаритмична идентичност“ и изглежда така:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Това свойство следва пряко от определението. Нека да видим как точно се появи тази формула.

Нека си припомним кратка нотация на дефиницията на логаритъм:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\). Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите други свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава вместо две можете да напишете \(\log_(2)(4)\).

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), което означава, че можем също да запишем \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем две като логаритъм с произволна основа навсякъде (било то в уравнение, в израз или в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката – може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \)... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете значението на израза \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: log а хи дневник а г. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. дневник а х+ дневник а г=дневник а (х · г);
2. дневник а х− дневник а г=дневник а (х : г).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не са взети предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Log 6 4 + log 6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: а > 0, а ≠ 1, х> 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Забележете, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ние имаме:

[Надпис към снимката]

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека логаритъмът е даден а х. След това за произволен номер ° Стакова, че ° С> 0 и ° С≠ 1, равенството е вярно:

[Надпис към снимката]

По-специално, ако поставим ° С = х, получаваме:

[Надпис към снимката]

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

[Надпис към снимката]

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

[Надпис към снимката]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

[Надпис към снимката]

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай броят нстава показател за степента на позиция в спора. Номер нможе да бъде абсолютно всичко, защото това е просто логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Това се нарича: основна логаритмична идентичност.

Всъщност какво ще се случи, ако броят bповдигнете до такава степен, че числото bна тази степен дава числото а? Точно така: получавате същото число а. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

[Надпис към снимката]

Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

[Надпис към снимката]

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. дневник а а= 1 е логаритмична единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъм по произволна основа аот същата тази основа е равно на едно.
2. дневник а 1 = 0 е логаритмична нула. База аможе да бъде всичко, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! защото а 0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Следва от определението му. И така, логаритъма на числото bбазиран на Асе дефинира като степенна степен, до която трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъм съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bбазиран на аравно на с. Също така е ясно, че темата за логаритмите е тясно свързана с темата за степените на числото.

С логаритми, както с всички числа, можете да направите операции събиране, изважданеи трансформирайте по всякакъв възможен начин. Но поради факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук се прилагат техните собствени специални правила, които се наричат основни свойства.

Събиране и изваждане на логаритми.

Нека вземем два логаритма с еднакви основи: лог a xИ log a y. Тогава е възможно да се извършват операции събиране и изваждане:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = лог a x 1 + лог a x 2 + лог a x 3 + ... + log a x k.

от теорема за коефициент на логаритъмМоже да се получи още едно свойство на логаритъма. Общоизвестно е, че лог а 1= 0, следователно

дневник а 1 /b=дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

Това означава, че има равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми на две реципрочни числапо същата причина ще се различават един от друг само по знак. Така:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Продължаваме да изучаваме логаритми. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо ще разберем изчисляването на логаритмите по дефиниция. След това нека да разгледаме как се намират стойностите на логаритмите с помощта на техните свойства. След това ще се съсредоточим върху изчисляването на логаритми чрез първоначално посочените стойности на други логаритми. И накрая, нека научим как да използваме логаритмични таблици. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.

Навигация в страницата.

Изчисляване на логаритми по дефиниция

В най-простите случаи е възможно да се изпълни доста бързо и лесно намиране на логаритъм по дефиниция. Нека да разгледаме по-отблизо как се случва този процес.

Същността му е да представи числото b във формата a c, от което по дефиницията на логаритъм числото c е стойността на логаритъма. Тоест, по дефиниция, следната верига от равенства съответства на намирането на логаритъм: log a b=log a a c =c.

И така, изчисляването на логаритъм по дефиниция се свежда до намиране на число c, така че a c = b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.

Като вземете предвид информацията в предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено от определена степен на основата на логаритъма, можете веднага да посочите на какво е равен логаритъма - той е равен на степента. Нека покажем решения на примери.

Пример.

Намерете log 2 2 −3 и също изчислете натурален логаритъм на числото e 5,3.

Решение.

Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 =−3. Наистина, числото под знака на логаритъма е равно на основа 2 на степен −3.

По същия начин намираме втория логаритъм: lne 5,3 =5,3.

Отговор:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.

Ако числото b под знака за логаритъм не е посочено като степен на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да погледнете дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...

Пример.

Изчислете логаритмите log 5 25 и .

Решение.

Лесно се вижда, че 25=5 2, това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Нека да преминем към изчисляване на втория логаритъм. Числото може да бъде представено като степен на 7: (вижте ако е необходимо). следователно .

Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това , от което правим извода, че . Следователно, по дефиницията на логаритъм .

Накратко решението може да се напише по следния начин: .

Отговор:

log 5 25=2 , И .

Когато има достатъчно голямо естествено число под знака на логаритъма, няма да навреди да го разложите на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.

Пример.

Намерете стойността на логаритъма.

Решение.

Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъм от единица и свойството на логаритъм на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1. Тоест, когато под знака на логаритъма стои число 1 или число а, равно на основата на логаритъма, то в тези случаи логаритмите са равни съответно на 0 и 1.

Пример.

На какво са равни логаритми и log10?

Решение.

Тъй като , тогава от дефиницията на логаритъм следва .

Във втория пример числото 10 под знака за логаритъм съвпада с основата си, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1.

Отговор:

И lg10=1 .

Имайте предвид, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p, което е едно от свойствата на логаритмите.

На практика, когато число под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на определено число, е много удобно да се използва формулата , което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Нека да разгледаме пример за намиране на логаритъм, който илюстрира използването на тази формула.

Пример.

Изчислете логаритъма.

Решение.

Отговор:

.

Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват в изчисленията, но ще говорим за това в следващите параграфи.

Намиране на логаритми чрез други известни логаритми

Информацията в този параграф продължава темата за използването на свойствата на логаритмите при изчисляването им. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека дадем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1,584963, тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В горния пример за нас беше достатъчно да използваме свойството логаритъм на произведение. Много по-често обаче е необходимо да се използва по-широк арсенал от свойства на логаритми, за да се изчисли оригиналният логаритъм чрез дадените.

Пример.

Изчислете логаритъма от 27 при основа 60, ако знаете, че log 60 2=a и log 60 5=b.

Решение.

Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно се вижда, че 27 = 3 3 и първоначалният логаритъм, поради свойството на логаритъм на степен, може да бъде пренаписан като 3·log 60 3 .

Сега нека видим как да изразим log 60 3 по отношение на известни логаритми. Свойството на логаритъм на число, равно на основата, ни позволява да запишем логаритъм на равенство 60 60=1. От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . По този начин, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. следователно log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Накрая изчисляваме първоначалния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Отговор:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Отделно си струва да споменем значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата . Тя ви позволява да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, използвайки формулата за преход, те преминават към логаритми в една от базите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които позволяват техните стойности да бъдат изчислени с определена степен на точност. В следващия параграф ще покажем как се прави това.

Логаритмични таблици и тяхното използване

За приблизително изчисляване на логаритъм могат да се използват стойности логаритмични таблици. Най-често използваната таблица с логаритъм с основа 2, таблица с естествен логаритъм и таблица с десетичен логаритъм. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми, базирана на база десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.

Представената таблица ви позволява да намерите стойностите на десетичните логаритми на числата от 1000 до 9999 (с три знака след десетичната запетая) с точност до една десет хилядна. Ще анализираме принципа за намиране на стойността на логаритъм с помощта на таблица с десетични логаритми, използвайки конкретен пример - така е по-ясно. Нека намерим log1.256.

В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за яснота). Третата цифра на числото 1.256 (цифра 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойната линия (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (цифра 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойната линия (това число е оградено със зелена линия). Сега намираме числата в клетките на логаритмичната таблица в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани в оранжево). Сумата от маркираните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм с точност до четвъртия знак след десетичната запетая, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Възможно ли е, като използвате таблицата по-горе, да намерите стойностите на десетични логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая, както и тези, които надхвърлят диапазона от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как става това с пример.

Нека изчислим lg102,76332. Първо трябва да запишете номер в стандартна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. След това мантисата трябва да бъде закръглена до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, т.е. вземаме log102,76332≈lg1,028·10 2. Сега прилагаме свойствата на логаритъма: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 от таблицата с десетични логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

В заключение си струва да се отбележи, че с помощта на таблица с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да отидете до десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.

Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за преход към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата с десетични логаритми намираме log3≈0,4771 и log2≈0,3010. По този начин, .

Библиография.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

Дадени са основните свойства на логаритъма, графика на логаритъм, област на дефиниране, набор от стойности, основни формули, нарастване и намаляване. Разглежда се намирането на производната на логаритъм. Както и интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.

Съдържание

Област, набор от стойности, нарастване, намаляване

Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.

Домейн	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Диапазон от стойности	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонен	монотонно нараства	монотонно намалява
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Пресечни точки с ординатната ос, x = 0	Не	Не
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частни ценности

Извиква се логаритъм при основа 10 десетичен логаритъми се обозначава по следния начин:

Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм:

Основни формули за логаритми

Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се вземат логаритми, продуктите от фактори се преобразуват в суми от членове.
Потенцирането е математическата операция, обратна на логаритъма. По време на потенцирането дадена основа се повишава до степента на изразяване, върху която се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведения на фактори.

Доказателство на основни формули за логаритми

Формулите, свързани с логаритмите, следват от формули за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.

Разгледайте свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Нека приложим свойството на експоненциалната функция
:
.

Нека докажем формулата за заместване на основата.
;
.
Ако приемем c = b, имаме:

Обратна функция

Обратната функция на логаритъм по основа а е експоненциална функция с показател а.

Ако , тогава

Ако , тогава

Производна на логаритъм

Производна на логаритъма от модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>

За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.

Интеграл

Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части: .
Така,

Изрази, използващи комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
.
Нека изразим комплексно число zчрез модул rи аргумент φ :
.
Тогава, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или

Въпреки това аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Ако поставите
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.

Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

Когато се извършва разширяването:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Вижте също: