Изчислете интеграла, като използвате теоремата за средната стойност. Определен интеграл

Начини за намиране на корена на уравнението - правила за изчисление.

Уравнението е математически израз, съдържащ едно или повече неизвестни. Да се реши уравнение означава да се намерят такива стойности на аргументите, за които равенството на левия и десни частиизрази ( задайте функции). Намерените стойности се наричат корени на уравнението.

В математиката се разграничават линейни, квадратни и кубични уравнения. Да намерим корена на уравнението определен типизползват се различни методи.

Линейно уравнение

Извиква се израз като a*x=b линейно уравнение. В него a е коефициентът на променливата, b е свободният член. Има три възможни случая, при които:

и 0. Коренът в този случай се изчислява по формулата: x=b/a. Например, дадено е уравнението x+3=9-2*x. Изразите с "X" се прехвърлят в едната посока, а свободните членове в другата: x + 2 * x = 9-3 или 3 * x = 6. Тогава х=6/3, х=2.
а=0, b=0. Уравнението ще приеме формата 0*x=0. Това равенство ще бъде вярно за всяка стойност на "X". Така че коренът на уравнението е всяко реално число.
a \u003d 0, b 0. Ще се получи изразът 0 * x \u003d b, за който няма корени.

Квадратно уравнение

Уравнение от формата се нарича квадратно (a 0). „A“ и „B“ се наричат коефициенти, а „C“ е свободен член. Броят на корените зависи от стойността на дискриминанта, който се изчислява по формулата. В случай, че:

д<0 – для уравнения не существует корней.
D=0 - има един корен, който се намира по формулата: x=-b/(2*a).
D>0 - има два корена, дефинирани по следния начин: Например, дадено е уравнението 3*x2-2*x-5=0. Дискриминант D=4-4*3*(-5)=64. Ще има два корена.

кубично уравнение

Любезният израз се нарича кубично уравнение. Тя може да има няколко корена, за изчисляването на които трябва:

Намерете един от корените, който е делител на постоянния член "d", като заместите всички възможни делители, докато лявата страна на израза стане нула.
Разделете първоначалното уравнение на намерения корен, в резултат на което изразът ще бъде намален до квадратна форма.
Намерете корените на полученото уравнение. Например, дадено уравнение. Делители на свободния член 12 - ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Лявата страна приема стойност, равна на 0 при x=2. Така че 2 е първият корен. След това трябва да разделите оригиналния израз на (x-2). Оказва се квадратно уравнение. Корените му са числа..

други методи

Отвъд алгебричните изчисления необходими стойностиможеш да използваш:

Безплатен онлайн калкулатор (allcalc.ru).
Графично, когато се начертае графика на функция, пресечните точки на която с оста "X" ще бъдат корените на уравнението.

Приложена стойност теореми за средна стойност се крие във възможността за получаване на качествена оценка на стойността на определен интегралнабез да го изчислявам. Ние формулираме : ако функцията е непрекъсната на интервала , тогава вътре в този интервал има такава точка, че .

Тази формула е доста подходяща за груба оценка на интеграла на сложна или тромава функция. Единственият момент, който прави формулата приблизителен , е необходимост самостоятелен подбор точки . Ако тръгнем по най-простия път - средата на интеграционния интервал (както се предлага в редица учебници), тогава грешката може да бъде доста значителна. За още точен резултат Препоръчвам извършете изчислението в следната последователност:

Построяване на графика на функция върху интервала ;

Начертайте горната граница на правоъгълника по такъв начин, че отсечените части на графиката на функцията да са приблизително равни по площ (точно така е показано на горната фигура - два криволинейни триъгълника са почти еднакви);

Определете от фигурата;

Използвайте теоремата за средната стойност.

Като пример, нека изчислим прост интеграл:

Точна стойност ;

За средата на интервала ще получим и приблизителна стойност, т.е. очевидно неточен резултат;

След като изградихме графика с изчертаване на горната страна на правоъгълника в съответствие с препоръките, получаваме , откъдето и приблизителната стойност на . Доста задоволителен резултат, грешката е 0,75%.

Трапецовидна формула

Точността на изчисленията, използващи теоремата за средната стойност, по същество зависи, както беше показано, от визуална цел точкова диаграма. Всъщност, като изберете в същия пример точки или , можете да получите други стойности на интеграла и грешката може да се увеличи. Субективните фактори, мащабът на графиката и качеството на чертежа оказват голямо влияние върху резултата. то неприемливо в критични изчисления, така че теоремата за средната стойност се прилага само за бързи качество интегрални оценки.

В този раздел ще разгледаме един от най-популярните методи за приблизителна интеграция - трапецовидна формула . Основната идея за конструирането на тази формула идва от факта, че кривата може приблизително да бъде заменена с начупена линия, както е показано на фигурата.

Нека приемем за определеност (и в съответствие с фигурата), че интеграционният интервал е разделен на равен (това не е задължително, но много удобно) части. Дължината на всяка от тези части се изчислява по формулата и се нарича стъпка . Абсцисите на точките на разделяне, ако са посочени, се определят по формулата , където . Лесно е да се изчислят ординати от известните абсциси. По този начин,

Това е формулата на трапеца за случая. Обърнете внимание, че първият член в скоби е полусумата от началната и крайната ордината, към която се добавят всички междинни ординати. За произволен брой дялове на интеграционния интервал обща формулатрапец изглежда като: квадратурни формули: правоъгълници, Симпсън, Гаус и др. Те са изградени върху една и съща идея за представяне криволинеен трапецелементарни области различни форми, следователно, след като овладеете формулата на трапеца, няма да е трудно да разберете подобни формули. Много формули не са толкова прости като формулата на трапеца, но ви позволяват да получите резултат с висока точност с малък брой дялове.

С помощта на формулата на трапеца (или подобни) е възможно да се изчислят с необходимата на практика точност както "неприемащи" интеграли, така и интеграли на сложни или тромави функции.