The методически материале само за справка и се отнася за широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и ги обсъжда най-важният въпрос – как да изградите графика правилно и БЪРЗО. По време на изследването висша математикабез познаване на основните графици елементарни функцииЩе бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от стойностите на функцията. Също Ще говоримза някои свойства на основните функции.

Не претендирам за изчерпателност и научна изчерпателност на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има ултра кратък синопсис по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса; може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И да започнем веднага:

Как правилно да конструираме координатни оси?

На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай картезиански правоъгълна системакоординати:

1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме чист и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Подписваме осите с големи букви „X“ и „Y“. Не забравяйте да обозначите осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече

НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….За координатна равнинане е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира еднозначно координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така, например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. Защо? Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от продаваните тетрадки са меко казано пълна глупост. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За регистрация тестовеПрепоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, мрежа) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро ​​или с почти празно.

Допълнително: Визията за правоъгълна координатна система през очите на аналитичната геометрия е разгледана в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информацияО координатни кварталиможете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Маркирайте осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.

Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са създадени за да се нарушават. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на артикула ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функциясе дава от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Да вземем друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека направим рисунка:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. IN в такъв случайБеше изключително нежелателно да се поставя подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например, . Графиката на правата пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се начертава веднага, без да се откриват точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се начертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“

Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.

Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином

Парабола. График квадратична функция () представлява парабола. Нека помислим известен случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се намери в теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:

Така върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъмКонструкциите образно могат да бъдат наречени „совалка” или принцип „напред и назад” при Анфиса Чехова.

Да направим чертежа:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () вярно е следното:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:

Нека изброим основни свойствафункции

Графика на функция

Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:

Основни свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Ще Голяма грешка, ако при изготвяне на чертеж небрежно позволите графиката да се пресече с асимптота.

Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат в подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факточевидно от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.

Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:

Да направим чертежа:

Няма да е трудно да се конструира левият клон на хиперболата, странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата на точковата конструкция ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.

Напомням ви, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки, може би това е достатъчно:

Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.

Основни свойства на функцията:

Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.

Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Помислете за функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, вижте учебниците си.

Основни свойства на функцията:

Домейн:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: , макар и бавно, но клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.

Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

Графиката на логаритъма в основата изглежда по принцип същата: , , ( десетичен логаритъмкъм основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.

Няма да разглеждаме случая; не помня последния път, когато съм правил графика с такава основа. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.

В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция - двете са взаимни обратни функции . Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Позволете ми да ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.

Основни свойства на функцията:

Тази функцияе периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Домейн: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или по-точно се случва, но горните уравнениянямат решение.

Домейнът на дефиниция и диапазонът от стойности на функция.В елементарната математика функциите се изучават само на множеството реални числа Р.Това означава, че аргументът на функцията може да приема само онези реални стойности, за които е дефинирана функцията, т.е. също така приема само реални стойности. Няколко хвсички валидни валидни стойности на аргумент х, за които функцията г= f(х)дефиниран, наречен област на функцията. Няколко Yвсички реални стойности г, което функцията приема, се извиква функционален диапазон. Сега можете да дадете повече точно определениеХарактеристика: правило(закон) за съответствие между множествата X и Y, според която за всеки елемент от множествотоX може да намери един и само един елемент от множеството Y, наречен функция.

От това определение следва, че една функция се счита за дефинирана, ако:

Указва се домейнът на функцията х ;

Обхватът на функцията е посочен Y ;

Правилото (законът) на съответствието е известно и такова, че за всеки

Само една функционална стойност може да бъде намерена за стойност на аргумент.

Това изискване за уникалност на функцията е задължително.

Монотонна функция.Ако за всеки две стойности на аргумента х 1 и х 2 от условието х 2 > х 1 следва f(х 2) > f(х 1), след това функцията f(х) е наречен повишаване на; ако има х 1 и х 2 от условието х 2 > х 1 следва f(х 2) < f(х 1), след това функцията f(х) е наречен намаляващи. Извиква се функция, която само нараства или само намалява монотонен.

Ограничени и неограничени функции.Функцията се извиква ограничен, ако има такова нещо положително число Мкакво | f(х) | Мза всички стойности х.Ако такова число не съществува, тогава функцията е неограничен.

ПРИМЕРИ.

Функцията, показана на фиг. 3, е ограничена, но не монотонна. Функцията на фиг. 4 е точно обратното, монотонна, но неограничена. (Моля, обяснете това!).

Непрекъснати и прекъснати функции.функция г = f (х) е наречен непрекъснато в точкатах = а, ако:

1) функцията е дефинирана, когато х = а, т.е. f (а) съществува;

2) съществува краенлимит лим f (х) ;

х→а

(вижте ограниченията на функциите)

3) f (а) = lim f (х) .

х→а

Ако поне едно от тези условия не е изпълнено, тогава функцията се извиква експлозивенв точката х = а.

Ако функцията е непрекъсната по време на всеки точки от неговата област на дефиниране, тогава се нарича непрекъсната функция.

Четни и нечетни функции.Ако за всякакви х f(- х) = f (х), тогава функцията се извиква дори;ако се случи: f(- х) = - f (х), тогава функцията се извиква странно. График дори функциясиметричен спрямо оста Y(фиг. 5), графика странна функция Simметрика по отношение на произхода(фиг. 6).

Периодична функция.функция f (х) - периодичен, ако има такова нещо ненулевномер Tза какво всякакви хот областта на дефиниране на функцията е валидно следното: f (х + T) = f (х). Това най-малкономерът се нарича период на функцията. всичко тригонометрични функцииса периодични.

Пример 1. Докажи този грях хима период от 2.

Решение: Ние знаем, че грехът ( x+ 2н) = грях х, Където н= 0, ± 1, ± 2, …

Следователно допълнение 2 нне към аргумента синус

Променя значението си. Има ли друг номер с това

Същият имот?

Нека се преструваме, че П- такова число, т.е. равенство:

грях ( x+ P) = грях х,

Валиден за всяка стойност х. Но тогава има

Място и време х= / 2, т.е.

Грях(/2 + П) = грях / 2 = 1.

Но според формулата за редукция sin ( / 2 + П) = cos П. Тогава

От последните две равенства следва, че cos П= 1, но ние

Знаем, че това е вярно само когато П = 2н. От най-малката

Ненулево число от 2 не 2, тогава това число

И има менструален грях х. По подобен начин може да се докаже, че 2от не , така че това е периодът sin 2 х.

Функционални нули.Извиква се стойността на аргумента, при която функцията е равна на 0 нула (root) функция. Една функция може да има няколко нули.Например функцията г = х (х + 1) (х-3) има три нули: х= 0, х= -1, х= 3. Геометрично нулева функция - това е абсцисата на пресечната точка на графиката на функцията с оста х .

Фигура 7 показва графика на функция с нули: х= а, х = bИ х= ° С.

Асимптота.Ако графиката на функция се приближава неограничено до определена права, докато се отдалечава от началото, тогава тази права се нарича асимптота.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на обществени запитвания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Руска гимназия

РЕЗЮМЕ

Завършено

ученик от 10 клас „F” Бурмистров Сергей

Ръководител

учител по математика

Юлина О.А.

Нижни Новгород

Функция и нейните свойства

функция-променлива зависимост приот променлива х , ако всяка стойност хсъответства на една единствена стойност при .

Променлива x-независима променлива или аргумент.

Променлива y-зависима променлива

Функционална стойност-значение при, съответстващ зададена стойност х .

Обхватът на функцията евсички стойности, които независимата променлива приема.

Функционален диапазон (набор от стойности) -всички стойности, които функцията приема.

Функцията е дори-ако за някой х f(x)=f(-x)

Функцията е странна-ако за някой хот областта на дефиниране на функцията равенството f(-x)=-f(x)

Увеличаване на функцията-ако има х 1И х 2,такова, че х 1 < х 2, неравенството е в сила е( х 1 ) х 2 )

Намаляваща функция-ако има х 1И х 2,такова, че х 1 < х 2, неравенството е в сила е( х 1 )>f( х 2 )

Методи за задаване на функция

¨ За да дефинирате функция, трябва да укажете начин, по който за всяка стойност на аргумента може да бъде намерена съответната стойност на функцията. Най-често срещаният начин за указване на функция е използването на формула при =f(x), Където f(x)-израз с променлива х. В този случай те казват, че функцията е дадена с формула или че функцията е дадена аналитично.

¨ На практика се използва често табличенначин за указване на функция. С този метод се предоставя таблица, указваща стойностите на функцията за стойностите на аргументите, налични в таблицата. Примери за таблични функции са таблица с квадрати и таблица с кубове.

Видове функции и техните свойства

1) Постоянна функция -функция, дадено от формулата y= b , Където б-някакво число. График постоянна функция y=b е права линия, успоредна на абсцисната ос и минаваща през точката (0;b) на ординатната ос

2) Пряка пропорционалност -функция, дадена с формула y= kx , където k¹0. Номер кНаречен фактор на пропорционалност .

Функционални свойства y=kx :

1. Обхват на определението функции – комплектвсички реални числа

2. y=kx- странна функция

3. При k>0 функцията нараства, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейна функция-функция, която се дава с формулата y=kx+b, Където кИ b - реални числа. Ако по-специално k=0, тогава получаваме постоянна функция y=b; Ако b=0, тогава получаваме права пропорционалност y=kx .

Функционални свойства y=kx+b :

1. Домейн – множеството от всички реални числа

2. Функция y=kx+bобща форма, т.е. нито четно, нито нечетно.

3. При k>0 функцията нараства, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиката на функцията е прав .

4)Обратна пропорционалност-функция, дадена с формула y=k /Х,където k¹0 Число кНаречен коефициент на обратна пропорционалност.

Функционални свойства y=k / х:

1. Домейн - множеството от всички реални числа без нула

2. y=k / х - странна функция

3. Ако k>0, тогава функцията намалява на интервала (0;+¥) и на интервала (-¥;0). Ако к<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Графиката на функцията е хипербола .

5)функция y=x2

Функционални свойства y=x2:

2. y=x2 - дори функция

3. На интервала функцията намалява

Графиката на функцията е парабола .

6)функция y=x 3

Функционални свойства y=x 3:

1. Област на дефиниция - цялата числова ос

2. y=x 3 - странна функция

3. Функцията нараства по цялата числова ос

Графиката на функцията е кубична парабола

7)Степенна функция с естествен показател -функция, дадена с формула y=x n, Където н- естествено число. Когато n=1 получаваме функцията y=x, нейните свойства са разгледани в параграф 2. За n=2;3 получаваме функциите y=x 2 ; y=x 3 . Техните свойства са обсъдени по-горе.

Нека n е произволно четно число, по-голямо от две: 4,6,8... В този случай функцията y=x nима същите свойства като функцията y=x 2. Графиката на функцията прилича на парабола y=x 2, само че клоновете на графиката за |x|>1 се издигат по-стръмно, колкото по-голямо е n, а за |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Нека n е произволно нечетно число, по-голямо от три: 5,7,9... В този случай функцията y=x nима същите свойства като функцията y=x 3 . Графиката на функцията прилича на кубична парабола.

8)Степенна функция с цяло отрицателно число -функция, дадена с формула y=x -n , Където н- естествено число. За n=1 получаваме y=1/x; свойствата на тази функция са обсъдени в параграф 4.

Нека n е нечетно число, по-голямо от едно: 3,5,7... В този случай функцията y=x -nима основно същите свойства като функцията y=1/x.

Нека n е четно число, например n=2.

Функционални свойства y=x -2 :

1. Функцията е дефинирана за всички x¹0

2. y=x -2 -дори функция

3. Функцията намалява с (0;+¥) и нараства с (-¥;0).

Всички функции с дори n по-голямо от две имат същите свойства.

9)функция y= Ö х

Функционални свойства y= Ö х :

1. Домейнът на дефиниция е лъч и нараства в интервала )