Решаване на система от алгебрични уравнения по метода на обратната матрица. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с помощта на обратна матрица
Методът на обратната матрица е специален случай матрично уравнение
Решете системата с матричния метод
Решение: Записваме системата в матрична форма.Намираме решението на системата по формулата (вижте последната формула)
Намираме обратната матрица по формулата:
, където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.
Първо, нека да разгледаме детерминантата:
Тук детерминантата е разширена на първия ред.
внимание! Ако, тогава обратната матрица не съществува и е невъзможно системата да се реши с помощта на матричния метод. В този случай системата се решава чрез метода на елиминиране на неизвестните (метод на Гаус).
Сега трябва да изчислим 9 минори и да ги запишем в матрицата на минорите 
Справка:Полезно е да знаете значението на двойните индекси в линейната алгебра. Първата цифра е номерът на реда, в който се намира елементът. Втората цифра е номерът на колоната, в която се намира елементът: 
Тоест, двойният долен индекс показва, че елементът е в първия ред, третата колона и, например, елементът е в 3 ред, 2 колона
По време на решението е по-добре да опишете подробно изчисляването на непълнолетните, въпреки че с известен опит можете да свикнете да ги изчислявате с грешки устно.
Редът, в който се изчисляват минорите, е напълно маловажен; тук ги изчислих отляво надясно ред по ред. Беше възможно да се изчислят непълнолетните по колони (това е още по-удобно).
По този начин:
– матрица от минори на съответните елементи на матрицата.
– матрица на алгебрични добавки.
– транспонирана матрица от алгебрични добавки.
Повтарям, обсъдихме подробно извършените стъпки в урока. Как да намерим обратното на матрица?
Сега записваме обратната матрица:
В никакъв случай не трябва да го въвеждаме в матрицата, това сериозно ще усложни по-нататъшните изчисления. Делението трябва да се извърши, ако всички числа в матрицата се делят на 60 без остатък. Но в този случай е много необходимо да добавите минус в матрицата, напротив, това ще опрости по-нататъшните изчисления.
Остава само да се извърши матрично умножение. Можете да научите как да умножавате матрици в клас. Действия с матрици. Между другото, точно същият пример е анализиран там.
Имайте предвид, че делението на 60 е направено последно от всички.
Понякога може да не се отдели напълно, т.е. може да доведе до "лоши" дроби. Вече ви казах какво да правите в такива случаи, когато разглеждахме правилото на Креймър.
Отговор: 
Пример 12
Решете системата с помощта на обратната матрица. 
Това е пример за самостоятелно решение (образец на окончателния дизайн и отговора в края на урока).
Най-универсалният начин за решаване на системата е метод за елиминиране на неизвестни (метод на Гаус). Не е толкова лесно да се обясни ясно алгоритъма, но се опитах!
Пожелавам ти успех!
Отговори:
Пример 3:
Пример 6:
Пример 8: , . Можете да видите или изтеглите примерно решение за този пример (връзка по-долу).
Примери 10, 12: 
Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво е система от линейни уравнения като цяло, ако се чувствате като чайник, тогава препоръчвам да започнете с основите на страницата Следваща, полезно е да изучавате урока.
Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получи признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището „Кралят на математиката“. А всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, не само глупаците получават пари, но и гениите - портретът на Гаус беше на банкнотата от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още се усмихва мистериозно на германците от обикновените пощенски марки.
Методът на Гаус е прост с това, че ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК СА ДОСТАТЪЧНИ за усвояването му. Трябва да знаете как да събирате и умножавате!Неслучайно учителите често разглеждат метода на последователно изключване на неизвестни в училищните избираеми предмети по математика. Парадоксално, но учениците намират метода на Гаус за най-труден. Нищо изненадващо - всичко е в методологията и ще се опитам да говоря за алгоритъма на метода в достъпна форма.
Първо, нека систематизираме малко знания за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:
1) Имате уникално решение.
2) Имате безкрайно много решения.
3) Нямате решения (бъдете неставни).
Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме, Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. И методът за последователно елиминиране на неизвестни Така или иначеще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), статия е посветена на ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.
Да се върнем към най-простата система от урока Как се решава система от линейни уравнения?
и го решете с помощта на метода на Гаус.
Първата стъпка е да запишете разширена системна матрица:
. Мисля, че всеки може да види на какъв принцип са написани коефициентите. Вертикалната линия вътре в матрицата няма никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.
Справка: Препоръчвам ви да запомнитеусловия линейна алгебра.Системна матрица е матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример матрицата на системата: . Разширена системна матрица – това е същата матрица на системата плюс колона от безплатни условия, в този случай: . За краткост всяка от матриците може да се нарече просто матрица.
След като разширената матрична система е написана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се извикват елементарни трансформации.
Съществуват следните елементарни трансформации:
1) струниматрици може да се пренаредина някои места. Например в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред: 
2) Ако има (или са се появили) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове в матрицата, тогава трябва да ИзтрийВсички тези редове са от матрицата с изключение на един. Помислете например за матрицата 
. В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: 
.
3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която всички нули.
4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)на произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: 
. Това действие е много полезно, защото опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.
5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към ред от матрица можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Нека да разгледаме нашата матрица от практически пример: . Първо ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по –2: 
, И към втория ред добавяме първия ред, умножен по –2: . Сега първият ред може да бъде разделен „назад“ с –2: . Както можете да видите, редът, който е ДОБАВЕН LI – не се е променило. Винагиредът КЪМ СЕ ДОБАВЯ се променя UT.
На практика, разбира се, те не го пишат толкова подробно, но го пишат накратко: 
Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2. Един ред обикновено се умножава устно или на чернова, като процесът на умствено изчисление протича по следния начин:
„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред:“
„Първа колона. На дъното трябва да получа нула. Затова умножавам горния по –2: и добавям първия към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: 
»
„Сега втората колона. Най-отгоре умножавам -1 по -2: . Добавям първия към втория ред: 1 + 2 = 3. Пиша резултата във втория ред: "
„И третата колона. Най-отгоре умножавам -5 по -2: . Добавям първото към втория ред: –7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »
Моля, разберете внимателно този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически в джоба ви. Но, разбира се, ние ще продължим да работим върху тази трансформация.
Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения
! ВНИМАНИЕ:считани за манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени „сами по себе си“. Например с „класически“ операции с матрициВ никакъв случай не пренареждайте нищо вътре в матриците!
Да се върнем към нашата система. Почти е решено.
Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Между другото, защо умножаваме първия ред по –2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.
(2) Разделете втория ред на 3.
Целта на елементарните трансформации–
редуцирайте матрицата до поетапна форма: 
. В дизайна на задачата те просто маркират „стълбите“ с обикновен молив и също така кръгират числата, които се намират на „стъпалата“. Самият термин „стъпаловиден изглед“ не е напълно теоретичен, в научната и образователната литература често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.
В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:
Сега системата трябва да се „размотае“ в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратно на метода на Гаус.
В долното уравнение вече имаме готов резултат: .
Нека да разгледаме първото уравнение на системата и да заменим вече известната стойност на "y" в него:
Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.
Пример 1
Решете системата от уравнения по метода на Гаус:
Нека напишем разширената матрица на системата:
Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем по време на решението:
И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до поетапна форма, използвайки елементарни трансформации. Къде да започна?
Първо погледнете горния ляв номер: 
Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, –1 (а понякога и други числа) ще свърши работа, но някак традиционно се е случило, че едно обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред: 
Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.
Устройството в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места: 
Получаваме нули чрез „трудна“ трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва да към втория ред добавете първия ред, умножен по –2. Мислено или на чернова умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:
Записваме резултата във втория ред: 
По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Мислено или на чернова умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по –3:
Записваме резултата в третия ред:
На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка: 
Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и „записването“ на резултатите последователени обикновено е така: първо пренаписваме първия ред и бавно се издухваме - ПОСТОЯВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:
И вече обсъдих умствения процес на самите изчисления по-горе.
В този пример това се прави лесно; разделяме втория ред на –5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-просто е решението:
На последния етап от елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук: 
За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по –2:
Опитайте се сами да разберете това действие - мислено умножете втория ред по –2 и изпълнете добавянето.
Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.
В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна система от линейни уравнения: 
Готино.
Сега влиза в действие обратният метод на Гаус. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.
В третото уравнение вече имаме готов резултат:
Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "zet" вече е известно, така че:
И накрая, първото уравнение: . „Игрек“ и „зет“ са известни, въпросът е само на малки неща:
Отговор: 
Както вече беше отбелязано няколко пъти, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това е лесно и бързо.
Пример 2
Това е пример за самостоятелно решение, образец на окончателния дизайн и отговор в края на урока.
Трябва да се отбележи, че вашият напредък на решениетоможе да не съвпада с моя процес на вземане на решение, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!
Пример 3
Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус
Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:
Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.
Сега горе вляво е -1, което ни подхожда добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение: умножете първия ред по –1 (променете знака му).
(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 3, беше добавен към третия ред.
(3) Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.
(4) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.
(5) Третият ред беше разделен на 3.
Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ краен резултат. Тоест, ако получим нещо като , по-долу, и, съответно, 
, тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.
Ние таксуваме обратното, при проектирането на примери те често не пренаписват самата система, но уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратното движение, напомням ви, работи отдолу нагоре:
Да, ето подарък:
Отговор: 
.
Пример 4
Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус 
Това е пример, който трябва да решите сами, той е малко по-сложен. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да е различно от моето решение.
В последната част ще разгледаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус.
Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в системните уравнения, например: 
Как правилно да напишем разширената системна матрица? Вече говорих за тази точка в клас. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи: 
Между другото, това е доста лесен пример, тъй като първата колона вече има една нула и има по-малко елементарни трансформации за извършване.
Втората особеност е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Възможно ли е да има други номера там? В някои случаи могат. Помислете за системата: .
Тук на горната лява „стъпка“ имаме две. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък – а другата е две и шест. И двата горе в ляво ще ни подхождат! В първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1 към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Така ще получим необходимите нули в първата колона.
Или друг конвенционален пример: 
. Тук трите на втората „стъпка“ също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: добавете втория ред към третия ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.
Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да се научите да решавате системи, използвайки други методи (метод на Крамър, матричен метод) буквално за първи път - те имат много строг алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „хванете зъбите си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото може да има объркване и грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.
Дъждовно есенно време зад прозореца.... Затова за всички, които искат по-сложен пример за самостоятелно решаване:
Пример 5
Решете система от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус. 
Подобна задача не е толкова рядка на практика. Мисля, че дори чайник, който е проучил подробно тази страница, ще разбере интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По същество всичко е същото - просто има повече действия.
В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.
Пожелавам ти успех!
Решения и отговори:
Пример 2: Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в стъпков вид.
Извършени елементарни трансформации:
(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.внимание!
Тук може да се изкушите да извадите първия от третия ред; силно препоръчвам да не го изваждате - рискът от грешка значително се увеличава. Просто го сгънете!
(2) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Вторият и третият ред са разменени.Забележка
, че на “стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с –1, което е още по-удобно.
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5.
(4) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Третият ред беше разделен на 14.
Обратен:
Отговор: 
.
Пример 4: Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:
Извършени реализации:
(1) Към първия ред беше добавен втори ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“.
(2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към втория ред. Първият ред, умножен по 6, беше добавен към третия ред.
С втората „стъпка“ всичко се влошава , “кандидатите” за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или –1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица
(3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1.
(4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3.
Необходимият артикул на втората стъпка е получен.
.
(5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6.
(6) Вторият ред беше умножен по –1, третият ред беше разделен на –83.Очевидно е, че равнината е еднозначно определена от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - чрез принадлежащите им точки, например, ; .Ако безплатни членове
Нека има квадратна матрица от n-ти ред
Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрица A, ако A*A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.
Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:
обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, в които броят на редовете и колоните съвпада.
Теорема за условието за съществуване на обратна матрица
За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е сингулярна.
Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродени, ако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.
Алгоритъм за намиране на обратната матрица
- Запишете матрица A в таблицата за решаване на системи от уравнения по метода на Гаус и й присвоете матрица E отдясно (на мястото на десните части на уравненията).
- Използвайки трансформации на Йордан, редуцирайте матрица A до матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
- Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че под матрицата A на оригиналната таблица да получите матрицата на идентичност E.
- Запишете обратната матрица A -1, която се намира в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.
За матрица A намерете обратната матрица A -1
Решение: Записваме матрица A и присвояваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформации на Йордан, редуцираме матрица A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са дадени в таблица 31.1.
Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.
В резултат на умножението на матрицата се получава единичната матрица. Следователно изчисленията са извършени правилно.
Отговор: 
Решаване на матрични уравнения
Матричните уравнения могат да изглеждат така:
AX = B, HA = B, AXB = C,
където A, B, C са посочените матрици, X е желаната матрица.
Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.
Например, за да намерите матрицата от уравнението, трябва да умножите това уравнение по отляво.
Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.
Други уравнения се решават по подобен начин.
Решете уравнението AX = B, ако 
Решение: Тъй като обратната матрица е равна на (вижте пример 1)
Матричен метод в икономическия анализ
Наред с други се използват и те матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се направи сравнителна оценка на функционирането на организациите и техните структурни подразделения.
В процеса на прилагане на методите на матричния анализ могат да се разграничат няколко етапа.
На първия етапсе формира система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която в отделните й редове са показани номерата на системата (i = 1,2,....,n), а във вертикални колони - номера на показателите (j = 1,2,....,m).
На втория етапЗа всяка вертикална колона се идентифицира най-голямата от наличните стойности на индикатора, която се приема за една.
След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.
На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако имат различно значение, тогава на всеки матричен показател се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от експертиза.
На последния, четвърти етапнамерени рейтингови стойности Rjса групирани по ред на нарастване или намаляване.
Посочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели за дейността на организациите.
Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.
Това се дължи на факта, че огромното мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. Напоследък математическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с неговите очевидни предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи. Съществува голямо разнообразие от различни дефиниции на математически модел, дадени от учени по различно време, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математическият модел е идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.
За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения най-често използваните методи са Крамер, Йордан-Гаус и матричният метод.
Методът на матрично решение е метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант с помощта на обратна матрица.
Ако изпишем коефициентите за неизвестните величини xi в матрица A, съберем неизвестните величини във векторната колона X и свободните членове във векторната колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана под формата на след матрично уравнение A · X = B, което има уникално решение само когато детерминантата на матрица A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин х = А-1 · б, Където А-1 е обратната матрица.
Методът на матрично решение е както следва.
Нека ни е дадена система от линейни уравнения с ннеизвестен:
Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, Където А- основната матрица на системата, бИ х- колони с безплатни условия и съответно решения на системата:
Нека умножим това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрица А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б
защото А -1 А = д, получаваме х= А -1 б. Дясната страна на това уравнение ще даде колоната за решение на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и общото съществуване на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с брой уравнения, равен на броя на неизвестните) е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата да не е равна на нула А:дет А≠ 0.
За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , всъщност обратното правило: системата БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.
Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.
Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.
Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.
- изчислява се детерминантата на матрицата А;
- чрез алгебрични събирания се намира обратната матрица A -1;
- създава се шаблон за решение в Excel;
Инструкции. За да получите решение, използвайки метода на обратната матрица, трябва да посочите размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата A и вектора на резултатите B.
Вижте също Решаване на матрични уравнения.Алгоритъм за решение
- Изчислява се детерминантата на матрицата А. Ако детерминантата е нула, тогава решението е приключило. Системата има безкраен брой решения.
- Когато детерминантата е различна от нула, обратната матрица A -1 се намира чрез алгебрични събирания.
- Векторът на решението X =(x 1, x 2, ..., x n) се получава чрез умножаване на обратната матрица по вектора на резултата B.
Алгебрични допълнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Преглед:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Матричният метод ви позволява да намерите решения на SLAE (системи от линейни алгебрични уравнения) с всякаква сложност. Целият процес на решаване на SLAE се свежда до две основни действия:
Определяне на обратната матрица въз основа на основната матрица:
Умножаване на получената обратна матрица по вектор колона от решения.
Да предположим, че ни е даден SLAE от следната форма:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Нека започнем да решаваме това уравнение, като напишем системната матрица:
Матрица от дясната страна:
Нека дефинираме обратната матрица. Можете да намерите матрица от 2-ри ред, както следва: 1 - самата матрица трябва да е неособена; 2 - неговите елементи, които са на главния диагонал, се разменят, а за елементите на вторичния диагонал променяме знака на противоположния, след което разделяме получените елементи на детерминантата на матрицата. Получаваме:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ начало (pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 матрици се считат за равни, ако съответните им елементи са равни. В резултат на това имаме следния отговор за SLAE решението:
Къде мога да реша онлайн система от уравнения, използвайки матричния метод?
Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да разберете как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte.
Науката като социална институция Науката като социална институция
Основни сфери на социалния живот
Основни сфери на обществения живот, тяхната обща характеристика