Решение на тригонометрични уравнения със степени. Тригонометрични уравнения

Най-простите тригонометрични уравнения обикновено се решават с формули. Позволете ми да ви напомня, че следните тригонометрични уравнения се наричат ​​най-простите:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

x е ъгълът, който трябва да се намери,
a е произволно число.

А ето и формулите, с които веднага можете да запишете решенията на тези най-прости уравнения.

За синусите:

За косинус:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

За допирателна:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

За котангенс:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Всъщност това е теоретичната част от решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И, цялото!) Изобщо нищо. Броят на грешките по тази тема обаче просто нараства. Особено при леко отклонение на примера от шаблона. Защо?

Да, защото много хора пишат тези писма, без изобщо да разбират значението им!С опасение той записва, без значение как се случва нещо ...) Това трябва да се реши. Тригонометрия за хората или все пак хора за тригонометрията!?)

Да го разберем?

Един ъгъл ще бъде равен на arccos a, второ: -arccos a.

И така винаги ще работи.За всякакви а.

Ако не ми вярвате, задръжте курсора на мишката върху снимката или докоснете снимката на таблета.) Промених номера а към някои отрицателни. Както и да е, имаме един ъгъл arccos a, второ: -arccos a.

Следователно отговорът винаги може да бъде записан като две серии от корени:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Комбинираме тези две серии в една:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

И всички неща. Получихме обща формула за решаване на най-простото тригонометрично уравнение с косинус.

Ако разбирате, че това не е някаква свръхнаучна мъдрост, а просто съкратен запис на две серии от отговори,вие и задачите "C" ще бъдете на рамото. С неравенства, с избор на корени от даден интервал ... Там отговорът с плюс / минус не се търкаля. И ако се отнасяте към отговора делово и го разделите на два отделни отговора, всичко е решено.) Всъщност за това разбираме. Какво, как и къде.

В най-простото тригонометрично уравнение

sinx = а

също получавате две серии от корени. Винаги. И тези две серии също могат да бъдат записани една линия. Само този ред ще бъде по-умен:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Но същността си остава същата. Математиците просто създадоха формула, за да направят един вместо два записа на серии от корени. И това е!

Да проверим математиците? И това не е достатъчно...)

В предишния урок беше подробно анализирано решението (без никакви формули) на тригонометричното уравнение със синус:

Отговорът се оказа две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ако решим същото уравнение с помощта на формулата, получаваме отговора:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Всъщност това е полузавършен отговор.) Ученикът трябва да знае това arcsin 0,5 = π /6.Пълният отговор би бил:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Тук възниква един интересен въпрос. Отговорете чрез x 1; х 2 (това е правилният отговор!) и чрез самотния х (и това е правилният отговор!) - същото нещо, или не? Нека разберем сега.)

Заменете в отговор с х 1 стойности н =0; 1; 2; и т.н., считаме, получаваме поредица от корени:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 и така нататък.

Със същата замяна в отговор на х 2 , получаваме:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 и така нататък.

И сега заместваме стойностите н (0; 1; 2; 3; 4...) в общата формула за самотните х . Тоест повдигаме минус едно на нулева степен, след това на първа, втора и т.н. И, разбира се, заместваме 0 във втория член; 1; 2 3; 4 и т.н. И ние мислим. Получаваме серия:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 и така нататък.

Това е всичко, което можете да видите.) Общата формула ни дава абсолютно същите резултатикоито са двата отговора поотделно. Всички наведнъж, по ред. Математиците не са излъгали.)

Могат да се проверят и формули за решаване на тригонометрични уравнения с тангенс и котангенс. Но нека не.) Толкова са непретенциозни.

Цялата тази подмяна и проверка нарисувах нарочно. Тук е важно да разберете едно просто нещо: има формули за решаване на елементарни тригонометрични уравнения, просто обобщение на отговорите.За тази краткост трябваше да вмъкна плюс/минус в решението за косинус и (-1) n в решението за синус.

Тези вложки не пречат по никакъв начин в задачи, в които просто трябва да запишете отговора на елементарно уравнение. Но ако трябва да разрешите неравенство или тогава трябва да направите нещо с отговора: изберете корени на интервал, проверете за ODZ и т.н., тези вмъквания лесно могат да обезпокоят човек.

И какво да правя? Да, или нарисувайте отговора в две серии, или решете уравнението/неравенството в тригонометричен кръг. Тогава тези вложки изчезват и животът става по-лесен.)

Можете да обобщите.

За решаване на най-простите тригонометрични уравнения има готови формули за отговор. Четири броя. Те са добри за незабавно записване на решението на уравнение. Например, трябва да решите уравненията:

sinx = 0,3

Лесно: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Няма проблем: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Лесно: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Остава един: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ако вие, блестящи със знания, незабавно напишете отговора:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

тогава вече блестиш, това ... онова ... от локва.) Правилният отговор е: няма решения. не разбирам защо? Прочетете какво е аркосинус. Освен това, ако от дясната страна на оригиналното уравнение има таблични стойности на синус, косинус, тангенс, котангенс, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 и т.н. - отговорът през арките ще бъде недовършен. Арките трябва да се преобразуват в радиани.

И ако вече попаднете на неравенство, например

тогава отговорът е:

x πn, n ∈ Z

има рядка глупост, да ...) Тук е необходимо да се вземе решение за тригонометричен кръг. Какво ще правим в съответната тема.

За тези, които героично са дочели до тези редове. Просто не мога да не оценя титаничните ти усилия. ти бонус.)

Бонус:

Когато пишат формули в тревожна бойна ситуация, дори закоравели маниаци често се объркват къде pn, И къде 2πn. Ето един лесен трик за вас. в всичкоформули пн. С изключение на единствената формула с аркосинус. Стои там 2πn. двепиен. ключова дума - две.В една и съща единствена формула са двезнак в началото. Плюс и минус. Тук-там - две.

Така че, ако сте писали двезнак пред аркосинуса, по-лесно е да запомните какво ще се случи накрая двепиен. И обратното се случва. Пропуснете знака за мъж ± , стигнете до края, пишете правилно две pien, да, и го хващай. Пред нещо двезнак! Човекът ще се върне в началото, но ще поправи грешката! Като този.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Тригонометричните уравнения не са най-лесната тема. Болезнено те са разнообразни.) Например тези:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са в рамките на същите тези функции.И само там! Ако x се появи някъде навън,например, sin2x + 3x = 3,това ще бъде уравнение от смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Тук няма да ги разглеждаме.

В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория - това най-просто уравнение е решено. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми във втория етап, първият етап няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

Тук а означава произволно число. Всякакви.

Между другото, във функцията може да има не чисто x, а някакъв вид израз, като например:

cos(3x+π /3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометричното уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логика и тригонометрична окръжност. Ние ще проучим този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!

Ние решаваме уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.

Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричен кръг. Не можеш ли!? Обаче... Ще ти е трудно по тригонометрията...) Но няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност ...... Какво е това?" и "Преброяване на ъгли върху тригонометрична окръжност." Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)

А, знаеш ли!? И дори усвои "Практическа работа с тригонометрична окръжност"!? Приемете поздравления. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува кое уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс – всичко му е едно и също. Принципът на решение е същият.

Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намеря X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага видяно тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Начертайте косинус, равен на 0,5 върху кръга и веднага ще видим ъгъл. Остава само да запишете отговора.) Да, да!

Начертаваме кръг и отбелязваме косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблет) и вижсъщия този ъгъл Х.

Кой ъгъл има косинус 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Някои хора ще измърморят скептично, да... Те казват, струваше ли си да оградите кръга, когато всичко е ясно така или иначе... Можете, разбира се, да изсумтите...) Но факт е, че това е погрешно отговор. Или по-скоро неадекватен. Познавачите на кръга разбират, че все още има цял куп ъгли, които също дават косинус, равен на 0,5.

Ако завъртите подвижната страна OA за пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се промени 360° или 2π радиана и косинус не е.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.

Има безкраен брой такива пълни завъртания... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин. всички.В противен случай решението не се разглежда, да ...)

Математиката може да направи това просто и елегантно. В един кратък отговор запишете безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Аз ще дешифрирам. Все пак пиши смисленопо-хубаво от глупавото рисуване на мистериозни букви, нали?)

π /3 е същият ъгъл, който ние трионвърху кръга и идентифицираниспоред таблицата на косинусите.

2π е един пълен оборот в радиани.

н - това е броят на пълните, т.е. цялореволюции. Ясно е, че н може да бъде 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от краткия запис:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) към набора от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н могат да се използват букви к, м, т и т.н.

Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число н . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Какво искаш. Ако включите това число в отговора си, получавате конкретен ъгъл, който със сигурност ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, x \u003d π / 3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички останали корени, достатъчно е да добавите произволен брой пълни обороти към π / 3 ( н ) в радиани. Тези. 2πn радиан.

всичко? Не. Специално разтягам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението, както следва:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не един корен, това е цяла поредица от корени, написани накратко.

Но има и други ъгли, които също дават косинус, равен на 0,5!

Да се ​​върнем към нашата снимка, според която записахме отговора. Ето я:

Преместете мишката върху изображението и виждруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво според вас се равнява? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла х , нанесен само в отрицателна посока. Това е ъгълът -Х. Но ние вече изчислихме x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 \u003d - π / 3

И, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни завои:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко сега.) В тригонометричен кръг ние трион(който разбира, разбира се)) всичкиъгли, които дават косинус равен на 0,5. И те записаха тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът е две безкрайни серии от корени:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияс помощта на кръг е разбираемо. Отбелязваме върху окръжността косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответните ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберете какви ъгли сме трионвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, както казах, тук е необходима логика.)

Например, нека анализираме друго тригонометрично уравнение:

Моля, обърнете внимание, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме наведнъж всички ъгли, съответстващи на този синус. Получаваме тази снимка:

Нека първо се заемем с ъгъла. х през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Въпросът е прост:

x \u003d π / 6

Припомняме си пълни ходове и с чиста съвест записваме първата поредица от отговори:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половината работа е свършена. Сега трябва да дефинираме втори ъгъл...Това е по-сложно, отколкото в косинус, да ... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви, както и червеният ъгъл х равен на ъгъла х . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Ето защо е червен.) И за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.

Задръжте курсора върху снимката и вижте всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Интересуващият ни ъгъл (начертан в зелено) ще бъде равен на:

π - х

x знаем го π /6 . Така че вторият ъгъл ще бъде:

π - π /6 = 5π /6

Отново си спомняме добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Уравнения с тангенс и котангенс могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Освен ако, разбира се, не знаете как да начертаете тангенса и котангенса върху тригонометрична окръжност.

В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим следното тригонометрично уравнение:

В кратките таблици няма такава стойност на косинуса. Ние хладнокръвно игнорираме този ужасен факт. Начертаваме окръжност, отбелязваме 2/3 на косинусната ос и чертаем съответните ъгли. Получаваме тази снимка.

Разбираме, за начало, с ъгъл в първата четвърт. За да знаят на какво е равно х, веднага биха записали отговора! Не знаем... Провал!? Спокоен! Математиката не оставя своите в беда! Тя измисли дъгови косинус за този случай. Не знам? Напразно. Разберете. Много по-лесно е, отколкото си мислите. Според този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции" ... Излишно е в тази тема.

Ако сте запознати, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинуса, можем да напишем:

Спомняме си за допълнителни обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората поредица от корени също се записва почти автоматично за втория ъгъл. Всичко е същото, само x (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И всички неща! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Не е нужно да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка с решението през аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общият принцип на това и общото! Специално нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла х по своя косинус. Това е табличен косинус, или не - кръгът не знае. Какъв вид ъгъл е това, π/3, или какъв вид арккосинус зависи от нас да решим.

Със синус същата песен. Например:

Отново рисуваме кръг, отбелязваме синуса, равен на 1/3, начертаваме ъглите. Оказва се тази снимка:

И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно x, ако неговият синус е 1/3? Няма проблем!

Така че първият пакет корени е готов:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Нека да разгледаме втория ъгъл. В примера с таблична стойност от 0,5 тя е равна на:

π - х

Така че тук ще бъде абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да напишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е разбираемо, надявам се.)

Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-сложни от стандартните.

Прилагане на знанията на практика?

Решете тригонометрични уравнения:

Отначало е по-просто, директно върху този урок.

Сега е по-трудно.

Съвет: тук трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега външно непретенциозен ... Те също се наричат ​​специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Съвет: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една ... И как да запишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)

Е, съвсем просто):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво е арксинус, аркосинус? Какво е арктангенс, арктангенс? Най-простите определения. Но не е нужно да помните никакви таблични стойности!)

Отговорите, разбира се, са в безпорядък):

х 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такава остаряла дума...) И следвайте линковете. Основните връзки са за кръга. Без него в тригонометрията - как се пресича пътя със завързани очи. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Най-простите тригонометрични уравнения са уравненията

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Уравнение cos(x) = a

Обяснение и обосновка

1. Корените на уравнението cosx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, защото | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 или при а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Нека | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. На интервала функцията y = cos x намалява от 1 на -1. Но намаляваща функция приема всяка от своите стойности само в една точка от своя домейн на дефиниция, следователно уравнението cos x \u003d a има само един корен в този интервал, който по дефиницията на аркосинуса е: x 1 \u003d arccos a (и за този корен cos x \u003d a).

Косинусът е четна функция, така че на интервала [-p; 0] уравнението cos x = и също има само един корен - числото, противоположно на x 1, т.е

x 2 = -arccos a.

Така на интервала [-n; n] (дължина 2n) уравнението cos x = a за | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Функцията y = cos x е периодична с период 2n, така че всички останали корени се различават от тези, намерени с 2np (n € Z). Получаваме следната формула за корените на уравнението cos x = a, когато

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Частни случаи на решаване на уравнението cosx = a.

Полезно е да запомните специалната нотация за корените на уравнението cos x = a, когато

a = 0, a = -1, a = 1, което може лесно да се получи, като се използва единичната окръжност като ръководство.

Тъй като косинусът е равен на абсцисата на съответната точка от единичната окръжност, получаваме, че cos x = 0, ако и само ако съответната точка от единичната окръжност е точка A или точка B.

По същия начин, cos x = 1, ако и само ако съответната точка от единичната окръжност е точката C, следователно,

x = 2πp, k € Z.

Също cos x \u003d -1 ако и само ако съответната точка на единичната окръжност е точката D, следователно x \u003d n + 2n,

Уравнение sin(x) = a

Обяснение и обосновка

1. Корените на уравнението sinx = a. Когато | a | > 1 уравнението няма корени, защото | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 или при а< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Дадени са съотношенията между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс и котангенс тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява и изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометричните функции на един и същи ъгъл, други - функциите на кратен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвъртата - да изразите всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия ние изброяваме по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме според предназначението им и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични тъждества

Основни тригонометрични тъждествазадайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция чрез всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.

Актьорски формули

Актьорски формулиследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, а също и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждането на следните тригонометрични формули.

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат ​​още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл .

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинуса на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.

Формули за намаляване

Тригонометрични формули за намаляване на градусаса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те позволяват да се намалят мощностите на тригонометричните функции до първата.

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основната цел формули за сбор и разлика за тригонометрични функциисе състои в преход към произведение на функции, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като позволяват разлагане на сбора и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведението на тригонометричните функции към сумата или разликата се осъществява чрез формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универсално тригонометрично заместване

Завършваме прегледа на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се нарича универсално тригонометрично заместване. Неговото удобство се крие във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват по отношение на тангенса на половин ъгъл рационално без корени.

Библиография.

• Алгебра: Proc. за 9 клетки. ср. училище / Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: Ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков M.I.Алгебра и началото на анализа: учеб. за 10-11 клетки. ср. училище - 3-то изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от умни ученици

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от сайта, включително вътрешни материали и външен дизайн, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tg x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и ние ще разгледаме техните формули по-нататък.

Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека напишем коренните формули за всеки от тях.

1. Уравнение `sin x=a`.

За `|a|>1` няма решения.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Уравнение `cos x=a`

За `|a|>1` - както в случая със синуса, няма решения сред реалните числа.

С `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.

Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Специални случаи за синус и косинус в графики.

3. Уравнение `tg x=a`

Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.

Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Уравнение `ctg x=a`

Освен това има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.

Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата

За синусите:
За косинус:
За тангенс и котангенс:
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:

Методи за решаване на тригонометрични уравнения

Решението на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:

• използване, за да го преобразувате в най-простия;
• решете полученото просто уравнение, като използвате горните формули за корените и таблиците.

Нека разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.

алгебричен метод.

При този метод се извършва замяната на променлива и нейното заместване в равенство.

Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,

намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Факторизация.

Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.

Решение. Преместете наляво всички членове на равенство: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Свеждане до хомогенно уравнение

Първо, трябва да приведете това тригонометрично уравнение в една от двете форми:

`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).

След това разделете двете части на `cos x \ne 0` за първия случай и на `cos^2 x \ne 0` за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени с помощта на известни методи.

Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, като разделим лявата и дясната му част на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Да въведем замяната `tg x=t`, като резултат `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Отидете до половин ъгъл

Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Решение. Прилагайки формулите за двоен ъгъл, резултатът е: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Въвеждане на спомагателен ъгъл

В тригонометричното уравнение `a sin x + b cos x =c`, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, ние разделяме двете части на `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и модулът им не е по-голям от 1. Означаваме ги по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C`, тогава:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Нека разгледаме по-отблизо следния пример:

Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.

Решение. Разделяйки двете страни на уравнението на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Означете `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Дробно-рационални тригонометрични уравнения

Това са равенства с дроби, в чиито числители и знаменатели има тригонометрични функции.

Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Решение. Умножете и разделете дясната страна на уравнението на „(1+cos x)“. В резултат на това получаваме:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Приравнете числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за изпита, така че опитайте се да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!

Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да правите изводи. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.