Уравнения от по-висок ред, които позволяват намаляване на реда. Методи за намаляване реда на уравнение

Следователно, има естествено желание да се редуцира уравнение от по-висок порядък от първия до уравнение от по-нисък порядък. В някои случаи това може да се направи. Нека да ги разгледаме.

1. Уравнения от формата y (n) =f(x) се решават чрез последователно интегриране n пъти
, ,… .
Пример. Решете уравнението xy""=1. Следователно можем да запишем y"=ln|x| + C 1 и, интегрирайки отново, накрая получаваме y=∫ln|x| + C 1 x + C 2

2. В уравнения във формата F(x,y (k) ,y (k +1) ,..,y (n))=0 (т.е. несъдържащи изрично неизвестна функция и някои от нейните производни), редът се намалява чрез промяна на променливата y (k) = z(x). Тогава y (k +1) =z"(x),...,y (n) = z (n - k) (x) и получаваме уравнението F(x,z,z",..,z (n - k)) от ред n-k. Неговото решение е функцията z = φ(x,C 1 ,C 2 ,…,C n) или, като си спомним какво е z, получаваме уравнението y (n-k) = φ(x,C 1 ,C 2 ,…, C n - k), разглеждани в случай на тип 1.
Пример 1. Решете уравнението x 2 y"" = (y") 2. Направете замяната y"=z(x) . Тогава y""=z"(x). Замествайки в оригиналното уравнение, получаваме x 2 z"=z 2. Разделяйки променливите, получаваме. Интегриране, имаме , или, което е същото, . Последната връзка се записва във вида , откъдето . Интегрирайки се, най-накрая получаваме
Пример 2. Решете уравнението x 3 y"" +x 2 y"=1. Правим промяна на променливите: y"=z; y""=z"
x 3 z"+x 2 z=1. Правим промяна на променливите: z=u/x; z"=(u"x-u)/x 2
x 3 (u"x-u)/x 2 +x 2 u/x=1 или u"x 2 -xu+xu=1 или u"x^2=1. От: u"=1/x 2 или du/ dx=1/x 2 или u = int(dx/x 2) = -1/x+c 1
Тъй като z=u/x, тогава z = -1/x 2 +c 1 /x. Тъй като y"=z, тогава dy/dx=-1/x 2 +c 1 /x
y = int(c 1 dx/x-dx/x 2) =c 1 ln(x) + 1/x + c 2. Отговор: y = c 1 ln(x) + 1/x + c 2

3. Следващото уравнение, което може да бъде редуцирано по ред, е уравнение във формата F(y,y",y"",…,y (n))=0, което не съдържа изрично независима променлива. Редът на уравнението се редуцира чрез заместване на променливата y" =p(y) , където p е новата желана функция в зависимост от y. Тогава
= и така нататък. По индукция имаме y (n) =φ(p,p",..,p (n-1)). Замествайки в оригиналното уравнение, ние намаляваме неговия ред с единица.

Пример. Решете уравнението (y") 2 +2yy""=0. Правим стандартната замяна y"=p(y), след което y″=p′·p. Замествайки в уравнението, получаваме Разделяйки променливите, за p≠0, имаме. Интегрирайки, получаваме или, което е същото, . Тогава или. Интегрирайки последното равенство, накрая получаваме При разделяне на променливи бихме могли да загубим решението y=C, което се получава при p=0 или, което е същото, при y"=0, но то се съдържа в полученото по-горе.

4. Понякога е възможно да забележите функция, която ви позволява да намалите реда на уравнението по начини, различни от тези, обсъдени по-горе. Нека покажем това с примери.

Примери.
1. Ако двете страни на уравнението yy"""=y′y″ се разделят на yy″, получаваме уравнение, което може да бъде пренаписано като (lny″)′=(lny)′. От последното отношение следва, че lny″=lny +lnC, или, което е същото, y″=Cy... Резултатът е уравнение с порядък по-ниско и от типа, обсъден по-рано.
2. По същия начин за уравнението yy″=y′(y′+1) имаме, или (ln(y"+1))" = (lny)". От последното отношение следва, че ln(y"+ 1) = lny + lnC 1, или y"=C 1 y-1. Разделяйки променливите и интегрирайки, получаваме ln(C 1 y-1) = C 1 x+C 2
Реши уравнения, които могат да бъдат редуцирани в редвъзможно с помощта на специална услуга

Един от методите за интегриране на DE от по-висок ред е методът за намаляване на реда. Същността на метода е, че чрез замяна на променлива (заместване) тази DE се свежда до уравнение от по-нисък ред.

Нека разгледаме три вида уравнения, които позволяват редукция.

I. Нека е дадено уравнението

Редът може да бъде понижен чрез въвеждане на нова функция p(x), задаване на y " =p(x). Тогава y "" =p " (x) и получаваме първи ред DE: p " =ƒ(x). След като го решихме, т.е. след като намерихме функцията p = p (x), ние решаваме уравнението y " = p (x). Нека получим общо решение на даденото уравнение (3.6).

На практика те действат по различен начин: редът се редуцира директно чрез последователно интегриране на уравнението.

защото уравнение (3.6) може да бъде написано във формата dy " =ƒ(x) dx. Тогава, интегрирайки уравнението y "" =ƒ(x), получаваме: y " = или y " =j1 (x) + с 1 Освен това, интегрирайки полученото уравнение в x, намираме: - общото решение на това уравнение Ако уравнението е дадено след това, като го интегрираме последователно n пъти, намираме общото решение на уравнението:

Пример 3.1. Решете уравнението

Решение: Последователно интегрирайки това уравнение четири пъти, получаваме

Нека уравнението е дадено

Нека означим y " =р, където р=р(х) е нова неизвестна функция. Тогава y "" =p " и уравнението (3.7) приема формата p " =ƒ(х;р). Нека р=j (х;с 1) е общото решение на получената DE от първи ред. Заменяйки функцията p с y ", получаваме DE: y " = j(x;c 1). Тя има формата (3.6). За да се намери y, е достатъчно да се интегрира последното уравнение Общото решение на уравнението ( 3.7) ще има формата

Специален случай на уравнение (3.7) е уравнението

което също не съдържа изрично желаната функция, тогава неговият ред може да бъде намален с k единици чрез задаване на y (k) = p (x). Тогава y (k+1) =p " ; ...; y (n) = p (n-k) и уравнение (3.9) приема формата F(x;p;p " ;... ;p (n-κ ) )=0. Специален случай на уравнение (3.9) е уравнението

Използвайки замяната y (n-1) =p(x), y (n) =p " това уравнение се редуцира до DE от първи ред.

Пример 3.2. Решете уравнението

Решение: Приемаме y"=p, където Тогава Това е разделимо уравнение: Интегрирайки, получаваме Връщайки се към оригиналната променлива, получаваме y"=c 1 x,

- общо решение на уравнението.

III. Помислете за уравнението

който не съдържа изрично независимата променлива x.

За да намалим реда на уравнението, въвеждаме нова функция p=p(y), в зависимост от променливата y, задавайки y"=p. Разграничаваме това равенство по отношение на x, като вземаме предвид, че p =p(y (х)):

т.е. Сега уравнението (3.10) ще бъде записано във формата

Нека p=j(y;c 1) е общото решение на този DE от първи ред. Заменяйки функцията p(y) с y", получаваме y"=j(y;c 1) - DE с разделими променливи. Интегрирайки го, намираме общия интеграл на уравнение (3.10):

Специален случай на уравнение (3.10) е диференциалното уравнение

Това уравнение може да бъде решено с помощта на подобно заместване: y " =p(y),

Ние правим същото, когато решаваме уравнението F(y; y " ; y";...; y (n)) = 0. Редът му може да бъде намален с единица чрез задаване на y"=p, където p=p(y ). Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, намираме След това намираме

p=uv=((-1+y)e -y +e -y +c 1) e+y или p=c 1 ey+y. Заменяйки p с y ", получаваме: y"=c 1 -e y +y. Замествайки y"=2 и y=2 в това равенство, намираме с 1:

2=c 1 e 2 +2, c 1 =0.

Имаме y"=y. Следователно y=c 2 e x. Намираме c 2 от началните условия: 2=c 2 e°, c 2 =2. Така y=2e x е частно решение на това

Диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата:

Общото решение на уравнението е семейство от функции, зависещи от две произволни константи и: (или - общият интеграл на диференциално уравнение от 2-ри ред). Проблемът на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред (1.1) се състои в намиране на определено решение на уравнението, което удовлетворява началните условия: за: , . Трябва да се отбележи, че графиките на решенията на уравнение от 2-ри ред могат да се пресичат, за разлика от графиките на решенията на уравнение от 1-ви ред. Въпреки това, решението на проблема на Коши за уравнения от втори ред (1.1) при доста широки допускания за функциите, включени в уравнението, е уникално, т.е. всеки две решения с общо начално условие съвпадат в пресечната точка на дефиниционните интервали.

Не винаги е възможно да се получи общо решение или да се реши аналитично проблема на Коши за диференциално уравнение от 2-ри ред. Въпреки това, в някои случаи е възможно да се понижи редът на уравнението чрез въвеждане на различни замествания. Нека да разгледаме тези случаи.

1. Уравнения, които не съдържат изрично независима променлива.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата: , т.е. очевидно няма независима променлива в уравнение (1.1). Това ни позволява да го приемем като нов аргумент и да вземем производната от 1-ви ред като нова функция. Тогава.

По този начин уравнение от 2-ри ред за функция, която не се съдържа изрично, е намалено до уравнение от 1-ви ред за функция. Интегрирайки това уравнение, получаваме общия интеграл или и това е диференциално уравнение от 1-ви ред за функцията. Решавайки го, получаваме общия интеграл на оригиналното диференциално уравнение, зависещ от две произволни константи: .

Пример 1. Решете диференциално уравнение за дадени начални условия: , .

Тъй като в оригиналното уравнение няма изричен аргумент, ще вземем a като нова независима променлива и - as. Тогава уравнението приема следната форма за функцията: .

Това е диференциално уравнение с разделими променливи: . Къде следва, т.е. .

Тъй като за и, замествайки началните условия в последното равенство, получаваме това и, което е еквивалентно. В резултат на това за функцията имаме уравнение с разделими променливи, решавайки което получаваме. Използвайки началните условия, получаваме това. Следователно частичният интеграл на уравнението, което отговаря на началните условия, има формата: .

2. Уравнения, които не съдържат изрично желаната функция.

Нека диференциалното уравнение от 2-ри ред има формата: , т.е. уравнението очевидно не включва желаната функция. В този случай се въвежда изявление. Тогава уравнението от 2-ри ред за функцията се превръща в уравнение от 1-ви ред за функцията. След като го интегрираме, получаваме диференциално уравнение от 1-ви ред за функцията: . Решавайки последното уравнение, получаваме общия интеграл на даденото диференциално уравнение в зависимост от две произволни константи: .