„Геометрия „Площ на трапец““ - Помислете за това. Площ на трапец. AH=. 1. AD = 4 см. Основа. Намерете лицето на трапеца ABCD. Намерете площта на правоъгълен трапец. Геометрия. Повторете доказателството на теоремата. Разделете многоъгълника на триъгълници. Задача с решение.

„Определяне на аксиална симетрия“ - Конструирайте точки A" и B". Аксиална симетрия. Фигура. Липсващи координати. Построяване на сегмент. Линеен сегмент. Ос на симетрия. Симетрия в поезията. Построяване на триъгълник. Точки, лежащи на един и същ перпендикуляр. Изграждане на точка. Симетрия. Триъгълници. Конструирайте триъгълници. Начертайте точка. Начертайте точките. Фигури, които имат една ос на симетрия. Направо. Фигури с две оси на симетрия. Симетрия в природата.

„Четириъгълници, техните знаци и свойства“ - Тестове. Ъгли на ромб. Правоъгълник с равни страни. Видове четириъгълници. Запознайте се с видовете четириъгълници. Четириъгълник, чиито върхове са в средните точки на страните. Четириъгълници. Четириъгълници, техните признаци и свойства. Трапец. Успоредник. Свойства на успоредник. Диагонали. От кои два равни триъгълника може да се образува квадрат? Правоъгълник. Квадрат. Видове трапец.

“Теорема за вписан ъгъл” - Изучаване на нов материал. Кръговете се пресичат. Отговор. Актуализиране на знанията на учениците. Проверете себе си. Радиус на окръжност. Верен отговор. Радиусът на окръжността е 4 см. Затвърдяване на изучения материал. Остър ъгъл. Намерете ъгъла между хордите. Триъгълник. Теорема за вписания ъгъл. Понятието вписан ъгъл. Намерете ъгъла между тях. Как се нарича ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността? Решение. Актуализиране на знанията.

„Построяване на допирателна към окръжност“ - Окръжност. Относителното положение на права линия и окръжност. Окръжност и линия. Диаметър. Общи точки. Акорд. Решение. Окръжност и права линия имат една обща точка. Допирателна към окръжност. Повторение. Теорема за допирателните отсечки.

„Геометрия „Подобни триъгълници““ - Два триъгълника се наричат ​​подобни. Стойности на синус, косинус и тангенс за ъгли от 30°, 45°, 60°. Намерете площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник. Теорема за отношението на площите на подобни триъгълници. Подобни триъгълници. Вторият знак за сходство на триъгълниците. Продължение на страните. Стойности на синус, косинус и тангенс. Пропорционални сегменти. Двете страни на триъгълника са свързани с отсечка, която не е успоредна на третата.

Тази глава е посветена на разработването на апарат за векторна геометрия. Използвайки вектори, можете да доказвате теореми и да решавате геометрични задачи. Примери за такова използване на вектори са дадени в тази глава. Но изучаването на векторите също е полезно, защото те се използват широко във физиката за описание на различни физически величини, като скорост, ускорение, сила.

Много физически величини, като сила, преместване на материална точка, скорост, се характеризират не само с числената си стойност, но и с посоката си в пространството. Такива физични величини се наричат векторни величини(или накратко вектори).

Нека разгледаме един пример. Нека върху тялото действа сила от 8 N. На фигурата силата е представена чрез сегмент със стрелка (фиг. 240). Стрелката показва посоката на силата, а дължината на отсечката съответства на числената стойност на силата в избраната скала. И така, на фигура 240 сила от 1 N е изобразена от сегмент с дължина 0,6 cm, следователно сила от 8 N е изобразена от сегмент с дължина 4,8 cm.

Ориз. 240

Абстрахирайки се от специфичните свойства на физическите векторни величини, стигаме до геометричната концепция за вектор.

Нека разгледаме произволен сегмент. Краищата му също се наричат гранични точки на сегмента.

Можете да посочите две посоки на сегмент: от една гранична точка към друга и обратно.

За да изберете една от тези посоки, ние наричаме една гранична точка на сегмента началото на сегмента, и другият - края на сегментаи ще приемем, че сегментът е насочен от началото към края.

Определение

На снимките векторът е изобразен като сегмент със стрелка, показваща посоката на вектора. Векторите се обозначават с две главни латински букви със стрелка над тях, например. Първата буква показва началото на вектора, втората - края (фиг. 242).

Ориз. 242

Фигура 243а показва вектори точки A, C, E са началото на тези вектори, а B, D, F са техните краища. Векторите често се обозначават с една малка латинска буква със стрелка над нея: (фиг. 243, b).

Ориз. 243

За по-нататъшни цели е препоръчително да се съгласите, че всяка точка от равнината също е вектор. В този случай векторът се нарича нула. Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край. На фигурата такъв вектор е представен с една точка. Ако, например, точката, представляваща нулевия вектор, е обозначена с буквата М, тогава този нулев вектор може да бъде обозначен, както следва: (фиг. 243, а). Нулевият вектор също е означен със символа На фигурата има 243 вектора са различни от нула и векторът е нула.

Дължината или модулът на ненулев вектор е дължината на сегмента AB. Дължината на вектора (вектора) се означава по следния начин: . Дължината на нулевия вектор се счита за равна на нула:

Дължините на векторите, показани на фигури 243, a и 243, 6, са както следва:

(всяка клетка на фигура 243 има страна, равна на мерната единица на сегментите).

Равенство на векторите

Преди да дефинираме равни вектори, нека да разгледаме един пример. Нека разгледаме движението на тяло, при което всички негови точки се движат с еднаква скорост и в една и съща посока.

Скоростта на всяка точка M от тялото е векторна величина, така че може да се представи с насочена отсечка, чието начало съвпада с точката M (фиг. 244). Тъй като всички точки на тялото се движат с еднаква скорост, всички насочени отсечки, изобразяващи скоростите на тези точки, имат една и съща посока и дължините им са равни.

Ориз. 244

Този пример ни казва как да определим дали векторите са равни.

Нека първо въведем концепцията за колинеарни вектори.

Ненулевите вектори се наричат колинеарен, ако лежат или на една права, или на успоредни прави; нулевият вектор се счита за колинеарен на всеки вектор.

На фигура 245 векторите (вектор нула) са колинеарни, а векторите и също не са колинеарни.

Ориз. 245

Ако два ненулеви вектора са колинеарни, тогава те могат да имат еднакви или противоположни посоки. В първия случай векторите и се наричат съвместно режисиран, а във втория - противоположно насочени 1 .

Ко-насочеността на векторите се обозначава по следния начин: Ако векторите са противоположно насочени, тогава това се означава по следния начин: Фигура 245 показва както съ-насочени, така и противоположно насочени вектори:

Началото на нулевия вектор съвпада с неговия край, така че нулевият вектор няма определена посока. С други думи, всяка посока може да се счита за посока на нулевия вектор. Нека приемем, че нулевият вектор е съпосочен с всеки вектор. Така на фигура 245 и т.н.

Ненулевите колинеарни вектори имат свойства, които са илюстрирани на фигура 246, a - c.




Ориз. 246

Нека сега дадем определението за равни вектори.

Определение

По този начин векторите и са равни, ако . Равенството на векторите се означава по следния начин:

Забавяне на вектор от дадена точка

Ако точка А е началото на вектора, тогава те казват това векторът се забавя от точка А(фиг. 247). Нека докажем следното твърдение:

от всяка точка M е възможно да се начертае вектор, равен на даден вектор, и освен това само един.




Ориз. 247

Всъщност, ако е нулевият вектор, тогава желаният вектор е векторът. Да приемем, че векторът е различен от нула и точките A и B са неговото начало и край. Нека начертаем права p, успоредна на AB, през точката M (фиг. 248; ако M е точка от правата AB, то като права p приемаме самата права AB). На правата p начертаваме отсечките MN и MN", равни на отсечката AB, и избираме от векторите този, който е сънасочен с вектора (на фигура 248 вектор). Този вектор е търсеният вектор, равен на вектора. От конструкцията следва, че има само един такъв вектор.




Ориз. 248

Коментирайте

Еднаквите вектори, начертани от различни точки, често се означават с една и съща буква. Ето как, например, еднакви вектори на скоростта на различни точки са обозначени на Фигура 244. Понякога се казва, че такива вектори са един и същ вектор, но начертани от различни точки.

Практически задачи

738. Маркирайте точки A, B и C, които не лежат на една права. Начертайте всички ненулеви вектори, чието начало и край съвпадат с две от тези точки. Запишете всички получени вектори и посочете началото и края на всеки вектор.

739. След като изберете подходящ мащаб, начертайте вектори, изобразяващи полета на самолет, първо 300 km южно от град A до B, а след това 500 km източно от град B до C. След това начертайте вектор, който изобразява движението от началната точка до крайната точка.

740. Начертайте вектори така, че:

741. Начертайте два неколинеарни вектора и . Начертайте няколко вектора: а) съпосочни с вектора ; б) сънасочен с вектора; в) противоположно насочена на вектора; г) противоположно насочена на вектора.

742. Начертайте два вектора: а) с равни дължини и неколинеарни; б) имащи равни дължини и съпосочни; в) с равни дължини и противоположни посоки. В какъв случай получените вектори са равни?

ОтговорВ случай б).

Векторите могат да бъдат представени графично чрез насочени сегменти. Дължината се избира в определена скала, за да се посочи векторна величина , а посоката на сегмента представлява векторна посока . Например, ако приемем, че 1 cm представлява 5 km/h, тогава североизточен вятър със скорост 15 km/h ще бъде представен от насочен сегмент с дължина 3 cm, както е показано на фигурата.

вектор на равнина е насочен сегмент. Два вектора равен ако имат същото размерИ посока.

Помислете за вектор, начертан от точка А до точка Б. Точката се нарича начална точкавектор, а точка B се нарича крайна точка. Символното обозначение за този вектор е (разчетено като „вектор AB“). Векторите също са представени с удебелени букви като U, V и W. Четирите вектора на фигурата вляво имат еднаква дължина и посока. Следователно те представляват равенветрове; това е,

В контекста на векторите използваме =, за да посочим, че те са равни.

Дължина, или величинасе изразява като ||. За да определим дали векторите са равни, намираме техните големини и посоки.

Пример 1Векторите u, , w са показани на фигурата по-долу. Докажете, че u = = w.

РешениеПърво намираме дължината на всеки вектор, използвайки формулата за разстояние:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Оттук
|u| = | = |w|.
Векторите u, , и w, както се вижда от фигурата, изглежда имат една и съща посока, но ще проверим техния наклон. Ако линиите, на които са разположени, имат еднакви наклони, тогава векторите имат еднаква посока. Ние изчисляваме наклоните:
Тъй като u, и w имат равни величини и еднаква посока,
u = = w.

Имайте предвид, че равните вектори изискват само същата величина и същата посока, а не едно и също местоположение. Най-горната фигура показва пример за векторно равенство.

Да предположим, че човек прави 4 крачки на изток и след това 3 крачки на север. След това лицето ще бъде на 5 стъпки от началната точка в посоката, показана вляво. Вектор с дължина 4 единици и посока надясно представлява 4 стъпки на изток, а вектор с дължина 3 единици с посока нагоре представлява 3 стъпки на север. Сума от тези два вектора има вектор с 5 стъпки на величина и в показаната посока. Сумата също се нарича в резултат два вектора.

Като цяло два ненулеви вектора u и v могат да се добавят геометрично чрез поставяне на началната точка на вектора v в крайната точка на вектора u и след това намиране на вектор, който има същата начална точка като вектора u и същата крайна точка като вектора v, както е показано на фигурата по-долу.

Сумата е вектор, представен от насочен сегмент от точка A на вектор u до крайната точка C на вектор v. Така, ако u = и v = , тогава
u + v = + =

Можем също да опишем събирането на вектори като поставяне на началните точки на векторите заедно, конструиране на успоредник и намиране на диагонала на успоредника. (на фигурата по-долу.) Това добавяне понякога се нарича като правило на успоредник добавяне на вектори. Векторното добавяне е комутативно. Както е показано на фигурата, двата вектора u + v и v + u са представени от една и съща насочена отсечка.

Ако две сили F1 и F2 действат върху един обект, в резултатсилата е сумата от F 1 + F 2 на тези две отделни сили.

ПримерДве сили от 15 нютона и 25 нютона действат върху един обект перпендикулярно една на друга. Намерете техния сбор или резултантната сила и ъгъла, който сключва с по-голямата сила.

РешениеНека начертаем условието на проблема, в този случай правоъгълник, използвайки v или за представяне на резултата. За да намерим стойността му, използваме Питагоровата теорема:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Тук |v| обозначава дължината или величината на v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
За да намерите посоката, имайте предвид, че тъй като OAB е прав ъгъл,
tanθ = 15/25 = 0,6.
С помощта на калкулатор намираме θ, ъгълът, който по-голямата сила прави с общата сила:
θ = тен - 1 (0,6) ≈ 31°
Резултатът има величина 29,2 и ъгъл 31° с по-голяма сила.

Пилотите могат да коригират посоката на полета си, ако има страничен вятър. Вятърът и скоростта на самолета могат да бъдат представени като ветрове.

Пример 3. Скорост и посока на самолета.Самолетът се движи по азимут 100° със скорост 190 км/ч, при скорост на вятъра 48 км/ч и азимут 220°. Намерете абсолютната скорост на самолета и посоката на движението му, като вземете предвид вятъра.

РешениеНека първо да направим чертеж. Вятърът е представен и векторът на скоростта на самолета е . Полученият вектор на скоростта е v, сумата от двата вектора. Ъгълът θ между v и се нарича ъгъл на дрейфа .


Имайте предвид, че стойността на COA = 100° - 40° = 60°. Тогава стойността на CBA също е равна на 60° (противоположните ъгли на успоредника са равни). Тъй като сборът от всички ъгли на успоредник е 360° и COB и OAB са с еднаква величина, всеки трябва да бъде 120°. от косинусово правило в OAB, имаме
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
След това |v| се равнява на 218 км/ч. Според правило на синусите , в същия триъгълник,
48 /sinθ = 218 /грях 120°,
или
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
След това, θ = 11°, до най-близкия цял ъгъл. Абсолютната скорост е 218 км/ч, а посоката на движение при отчитане на вятъра: 100° - 11°, или 89°.

Като е даден вектор w, можем да намерим два други вектора u и v, чиято сума е w. Векторите u и v се наричат компоненти w и процесът на намирането им се нарича разграждане , или представянето на вектор чрез неговите векторни компоненти.

Когато разширяваме вектор, обикновено търсим перпендикулярни компоненти. Много често обаче единият компонент ще бъде успореден на оста x, а другият ще бъде успореден на оста y. Поради това те често се наричат хоризонтална И вертикален векторни компоненти. На фигурата по-долу векторът w = се разлага като сбор от u = и v =.

Хоризонталната компонента на w е u, а вертикалната компонента е v.

Пример 4Векторът w има величина 130 и наклон 40° спрямо хоризонталата. Декомпозирайте вектора на хоризонтални и вертикални компоненти.

РешениеПърво ще начертаем картина с хоризонтални и вертикални вектори u и v, чиято сума е w.

От ABC намираме |u| и |v|, използвайки дефинициите на косинус и синус:
cos40° = |u|/130, или |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, или |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тогава хоризонталният компонент на w е 100 надясно, а вертикалният компонент на w е 84 нагоре.