Središte piramide leži na raskrsnici. Formule i svojstva pravilne trouglaste piramide

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u pravnom postupku, i/ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva od vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ovaj video vodič će pomoći korisnicima da steknu ideju o temi Piramida. Ispravna piramida. U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju. Hajde da razmotrimo šta je pravilna piramida i koja svojstva ima. Zatim dokazujemo teorem o bočnoj površini pravilne piramide.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa pojmom piramide i dati mu definiciju.

Razmislite o poligonu A 1 A 2...A n, koja leži u α ravni, i tačku P, koji ne leži u α ravni (slika 1). Hajde da povežemo tačke P sa vrhovima A 1, A 2, A 3, … A n. Dobijamo n trokuti: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tako dalje.

Definicija. Poliedar RA 1 A 2 ...A n, sastavljen od n-kvadrat A 1 A 2...A n I n trouglovi RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 se zove n-piramida uglja. Rice. 1.

Rice. 1

Zamislite četverokutnu piramidu PABCD(Sl. 2).

R- vrh piramide.

A B C D- osnova piramide.

RA- bočno rebro.

AB- osnovno rebro.

Sa tačke gledišta R hajde da ispustimo okomicu RN na osnovnu ravan A B C D. Povučena okomica je visina piramide.

Rice. 2

Puna površina Piramida se sastoji od bočne površine, odnosno površine svih bočnih strana, i površine baze:

S puni = S strana + S glavni

Piramida se naziva ispravnom ako:

njen temelj - pravilan poligon;
segment koji povezuje vrh piramide sa centrom baze je njena visina.

Objašnjenje na primjeru pravilne četverokutne piramide

Zamislite pravilnu četvorougaonu piramidu PABCD(Sl. 3).

R- vrh piramide. Osnova piramide A B C D- pravilan četvorougao, odnosno kvadrat. Dot O, tačka presjeka dijagonala, je centar kvadrata. znači, RO je visina piramide.

Rice. 3

Objašnjenje: u ispravnom n U trokutu, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice poklapaju se. Ovaj centar se naziva središte poligona. Ponekad kažu da je vrh projektovan u centar.

Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz njenog vrha naziva se apothem i određen je h a.

1. sve bočne ivice pravilne piramide su jednake;

2. bočne strane su podudarni jednakokraki trouglovi.

Dokaz ovih svojstava ćemo dati na primjeru pravilne četverokutne piramide.

Dato: PABCD- pravilne četvorougaone piramide,

A B C D- kvadrat,

RO- visina piramide.

Dokazati:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Vidi sl. 4.

Rice. 4

Dokaz.

RO- visina piramide. To jest, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni JSC, VO, SO I DO ležeći u njemu. Dakle, trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD- pravougaona.

Zamislite kvadrat A B C D. Iz svojstava kvadrata slijedi da AO = VO = CO = DO.

Zatim pravokutni trouglovi ROA, ROV, ROS, ROD nogu RO- general i noge JSC, VO, SO I DO su jednaki, što znači da su ti trouglovi jednaki na dvije strane. Iz jednakosti trouglova slijedi jednakost segmenata, RA = PB = RS = PD. Tačka 1 je dokazana.

Segmenti AB I Ned su jednake jer su stranice istog kvadrata, RA = PB = RS. Dakle, trouglovi AVR I VSR - jednakokraki i jednaki sa tri strane.

Na sličan način nalazimo te trouglove ABP, VCP, CDP, DAP su jednakokraki i jednaki, kao što je potrebno dokazati u stavu 2.

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme:

Da bismo to dokazali, izaberimo pravilnu trouglastu piramidu.

Dato: RAVS- tačno trouglasta piramida.

AB = BC = AC.

RO- visina.

Dokazati: . Vidi sl. 5.

Rice. 5

Dokaz.

RAVS- pravilna trouglasta piramida. To je AB= AC = BC. Neka O- centar trougla ABC, Onda RO je visina piramide. U osnovi piramide leži jednakostranični trokut ABC. primeti, to .

Trouglovi RAV, RVS, RSA- jednako jednakokraki trouglovi(po imovini). Trouglasta piramida ima tri bočne strane: RAV, RVS, RSA. To znači da je površina bočne površine piramide:

S strana = 3S RAW

Teorema je dokazana.

Poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide je 3 m, visina piramide je 4 m. Nađite površinu bočne površine piramide.

Dato: pravilna četvorougaona piramida A B C D,

A B C D- kvadrat,

r= 3 m,

RO- visina piramide,

RO= 4 m.

Nađi: S strana. Vidi sl. 6.

Rice. 6

Rješenje.

Prema dokazanoj teoremi, .

Hajde da prvo pronađemo stranu baze AB. Znamo da je poluprečnik kružnice upisane u podnožje pravilne četvorougaone piramide 3 m.

Zatim, m.

Pronađite obim kvadrata A B C D sa stranicom od 6 m:

Zamislite trougao BCD. Neka M- sredina strane DC. Jer O- srednji BD, To (m).

Trougao DPC- jednakokraki. M- srednji DC. To je, RM- medijana, a samim tim i visina u trouglu DPC. Onda RM- apotema piramide.

RO- visina piramide. Onda, pravo RO okomito na ravan ABC, a samim tim i direktni OM, ležeći u njemu. Nađimo apotemu RM iz pravouglog trougla ROM.

Sada možemo pronaći bočnu površinu piramide:

Odgovori Površina: 60 m2.

Poluprečnik kružnice opisane oko osnove pravilne trouglaste piramide jednak je m Bočna površina je 18 m 2. Pronađite dužinu apoteme.

Dato: ABCP- pravilne trouglaste piramide,

AB = BC = SA,

R= m,

S strana = 18 m2.

Nađi: . Vidi sl. 7.

Rice. 7

Rješenje.

U pravouglu ABC Dat je polumjer opisane kružnice. Hajde da nađemo stranu AB ovaj trougao koristeći zakon sinusa.

Poznavajući stranu pravilan trougao(m), hajde da nađemo njegov perimetar.

Prema teoremi o bočnoj površini pravilne piramide, gdje je h a- apotema piramide. onda:

Odgovori: 4 m.

Dakle, pogledali smo šta je piramida, šta je pravilna piramida i dokazali smo teoremu o bočnoj površini pravilne piramide. U sljedećoj lekciji ćemo se upoznati sa skraćenom piramidom.

Bibliografija

Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike obrazovne institucije(osnovni i nivoi profila) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, rev. i dodatne - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr.
Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšte obrazovanje obrazovne institucije/ Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr.
Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalističkim izučavanjem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izd., stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str.: ilustr.

Internet portal "Yaklass" ()
Internet portal „Festival pedagoške ideje"Prvi septembar" ()
Internet portal “Slideshare.net” ()

Zadaća

Može li pravilan mnogokut biti osnova nepravilne piramide?
Dokazati da su disjunktne ivice pravilne piramide okomite.
Pronađite vrijednost diedarski ugao na strani osnove pravilne četvorougaone piramide, ako je apotem piramide jednak strani njene osnove.
RAVS- pravilna trouglasta piramida. Konstruirajte linearni ugao diedarskog ugla u osnovi piramide.

Obimna figura koja se često pojavljuje u geometrijski problemi, je piramida. Najjednostavnija od svih figura u ovoj klasi je trokutasta. U ovom članku ćemo detaljno analizirati osnovne formule i svojstva ispravnog

Geometrijske ideje o figuri

Prije nego što pređemo na razmatranje svojstava pravilne trouglaste piramide, pogledajmo pobliže o kakvoj figuri je riječ.

Pretpostavimo da postoji proizvoljan trougao V trodimenzionalni prostor. Odaberimo bilo koju tačku u ovom prostoru koja ne leži u ravni trokuta i spojimo je sa tri vrha trougla. Dobili smo trouglastu piramidu.

Sastoji se od 4 stranice, od kojih su sve trouglovi. Tačke u kojima se susreću tri lica nazivaju se vrhovi. Brojka ih također ima četiri. Linije preseka dva lica su ivice. Dotična piramida ima 6 rubova Na slici ispod prikazan je primjer ove figure.

Pošto je lik formiran sa četiri strane, naziva se i tetraedar.

Ispravna piramida

Iznad smo razmatrali proizvoljnu figuru s trouglastom bazom. Pretpostavimo sada da nacrtamo okomit segment od vrha piramide do njene osnove. Ovaj segment se naziva visina. Očigledno, možete nacrtati 4 različite visine za figuru. Ako visina siječe trokutastu bazu u geometrijskom centru, tada se takva piramida naziva ravna.

Prava piramida, čija je osnova jednakostranični trokut, naziva se pravilna. Za nju su sva tri trokuta koja čine bočnu površinu figure jednakokračna i jednaka jedan drugom. Poseban slučaj pravilne piramide je situacija kada su sve četiri stranice jednakostrani identični trouglovi.

Razmotrimo svojstva pravilne trokutaste piramide i damo odgovarajuće formule za izračunavanje njenih parametara.

Osnovna strana, visina, bočni rub i apotema

Bilo koja dva od navedenih parametara jednoznačno određuju druge dvije karakteristike. Predstavimo formule koje povezuju ove veličine.

Pretpostavimo da je stranica osnove pravilne trouglaste piramide a. Dužina njegove bočne ivice je b. Kolika će biti visina pravilne trouglaste piramide i njenog apotema?

Za visinu h dobijamo izraz:

Ova formula slijedi iz Pitagorine teoreme za koju su bočna ivica, visina i 2/3 visine baze.

Apotem piramide je visina za bilo koji bočni trokut. Dužina apoteme a b jednaka je:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Iz ovih formula je jasno da bez obzira na stranicu osnove trouglaste pravilne piramide i dužinu njene bočne ivice, apotema će uvijek biti više visine piramide.

Dvije prikazane formule sadrže sve četiri linearne karakteristike dotične figure. Dakle, s obzirom na poznata dva od njih, ostatak možete pronaći rješavanjem sistema pisanih jednakosti.

Volumen figure

Za apsolutno bilo koju piramidu (uključujući i nagnutu), vrijednost volumena prostora ograničenog njome može se odrediti poznavanjem visine figure i površine njene baze. Odgovarajuća formula je:

Primjenjujući ovaj izraz na dotičnu figuru, dobijamo sljedeću formulu:

Gdje je visina pravilne trouglaste piramide h, a njena osnovna stranica je a.

Nije teško dobiti formulu za zapreminu tetraedra u kojoj su sve strane jednake jedna drugoj i predstavljaju jednakostranične trokute. U ovom slučaju, volumen figure određuje se formulom:

Odnosno, određeno je jedinstveno dužinom stranice a.

Površina

Nastavimo sa razmatranjem trouglastog regularnog. Ukupna površina svih lica figure naziva se njena površina. Potonje se može lako proučavati uzimajući u obzir odgovarajući razvoj. Slika ispod pokazuje kako izgleda razvoj pravilne trouglaste piramide.

Pretpostavimo da znamo visinu h i stranu osnove a figure. Tada će površina njegove baze biti jednaka:

Svaki školarac može dobiti ovaj izraz ako se sjeti kako pronaći površinu trokuta i također uzima u obzir da je visina jednakostranični trougao je također simetrala i medijana.

Bočna površina koju čine tri identična jednakokračna trokuta je:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Ova jednakost proizilazi iz izraza apoteme piramide u smislu visine i dužine osnove.

Ukupna površina figure je:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Imajte na umu da će za tetraedar u kojem su sve četiri strane identični jednakostrani trokuti, površina S biti jednaka:

Svojstva pravilne skraćene trouglaste piramide

Ako je vrh razmatrane trokutaste piramide odsječen ravninom paralelnom s bazom, tada preostali Donji dio zvaće se krnja piramida.

U slučaju trokutaste osnove, rezultat opisane metode sečenja je novi trokut, koji je također jednakostraničan, ali ima kraću dužinu stranice od stranice baze. Skraćena trouglasta piramida je prikazana ispod.

Vidimo da je ova figura već ograničena sa dvije trokutaste baze i tri jednakokraka trapeza.

Pretpostavimo da je visina rezultirajuće figure jednaka h, dužine stranica donje i gornje baze su a 1 i a 2, respektivno, a apotema (visina trapeza) jednaka je a b. Tada se površina skraćene piramide može izračunati pomoću formule:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Ovdje je prvi pojam površina bočne površine, drugi pojam je površina trokutastih baza.

Volumen figure se izračunava na sljedeći način:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Da bi se nedvosmisleno odredile karakteristike krnje piramide, potrebno je poznavati njena tri parametra, što pokazuju date formule.

Piramida- ovo je poliedar, u kojem je jedno lice osnova piramide - proizvoljni poligon, a ostale su bočne strane - trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Zove se okomica koja je spuštena sa vrha piramide na njenu osnovu visina piramide. Piramida se naziva trouglastom, četverouglastom itd., ako je osnova piramide trokut, četverokut itd. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četvorougaoni - petougao, itd.

Piramida, Krnja piramida

Ispravna piramida

Ako je osnova piramide pravilan poligon, a visina pada na centar baze, tada je piramida pravilna. U pravilnoj piramidi, sve bočne ivice su jednake, sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi. Visina trougla bočne strane pravilne piramide naziva se - apotema pravilne piramide.

Krnja piramida

Odsjek paralelan s osnovom piramide dijeli piramidu na dva dijela. Dio piramide između njene osnove i ovog presjeka je krnje piramide . Ovaj dio za skraćenu piramidu je jedna od njenih osnova. Udaljenost između osnova krnje piramide naziva se visina krnje piramide. Skraćena piramida naziva se pravilnom ako je piramida iz koje je izvedena pravilna. Sve bočne strane pravilne skraćene piramide su jednaki jednakokraki trapezi. Visina trapeza bočne strane pravilne skraćene piramide naziva se - apotema pravilne krnje piramide.

Trouglasta piramida je piramida koja u osnovi ima trokut. Visina ove piramide je okomica koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Određivanje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Veoma jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trokutaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3)Sh, gdje je S površina baze, V je zapremina piramide, h njena visina. Iz ove formule izvedite formulu visine: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, trebate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V)/S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegovu stranicu z, onda prema formuli površine S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, a zatim pomoću sljedeće formule: S = (1/2)γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q treba pogledati u tabeli sinusa koja je dostupna na Internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S)/γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući veličinu ivice γ. U ovom slučaju, rubovi piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√(2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Zamjenjujemo ovu formulu umjesto površine osnove u prethodnoj formulu, i dobijamo sledeću formulu: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti kroz dužinu njegovog ruba, a zatim iz formule za izračunavanje visine figure možete ukloniti sve varijable i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Zapremina takve piramide može se izračunati dijeljenjem sa 12 od proizvoda kuckaste dužine njenog lica kvadratnim korijenom od 2.

Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu dobijamo sljedeću formulu za proračun: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Takođe tačno trouglasta prizma može biti upisan u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R) može se pronaći visina samog tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R/√6. Varijablu γ zamjenjujemo ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijamo formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Ista formula se može dobiti ako znamo polumjer (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ruba trokuta bit će jednaka 12 omjera između njih kvadratni korijen od 6 i radijusa. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati šta je pravilna piramida. Četvorougaona piramida je piramida sa četvorouglom u osnovi. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite pomnoženi volumen za 3 po površini S: h = (3V)/S. Za kvadratnu osnovu piramide sa datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. Visina pravilne piramide h = SO prolazi tačno kroz centar kruga koji je opisan u blizini baze. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je tačka preseka dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Sledeće, mi smo unutra pravougaonog trougla Nalazimo SOC (koristeći Pitagorinu teoremu): SO = √(SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu pravilne piramide.