Biografije Karakteristike Analiza
Proširiti
Dom ›

Primjeri zadataka na lokusu tačaka.

Geometrija (grčki geometria, od ge - Zemlja i metreo - mjera)

grana matematike koja proučava prostorne odnose i oblike, kao i druge odnose i oblike slične prostornim po svojoj strukturi.

Poreklo izraza "G.", što doslovno znači "pregled Zemlje", može se objasniti sledećim rečima koje se pripisuju starogrčkom naučniku Eudemu sa Rodosa (4. vek pre nove ere): "Geometriju su otkrili Egipćani i nastala je kada mjerenje Zemlje. Ovo mjerenje mu je bilo neophodno zbog izlivanja rijeke Nil, koja je neprestano odnijela granice." Još kod starih Grka geodezija je označavala matematičku nauku, dok je termin geodezija uveden za nauku o mjerenju Zemlje. . Sudeći po sačuvanim fragmentima drevnih egipatskih spisa, gravitacija se razvila ne samo iz mjerenja zemlje, već i iz mjerenja zapremina i površina tokom zemljanih i građevinskih radova, itd.

Početni koncepti gravitacije nastali su kao rezultat apstrakcije od svih svojstava i odnosa tijela, osim relativnog položaja i veličine. Prvi se izražavaju u dodiru ili spajanju tijela jedno s drugim, u činjenici da je jedno tijelo dio drugog, na mjestu “između”, “unutra” itd. Potonji su izraženi u konceptima "više", "manje", u konceptu jednakosti tijela.

Po istoj apstrakciji nastaje koncept geometrijskog tijela. Geometrijsko tijelo je apstrakcija u kojoj su sačuvani samo oblik i dimenzije u potpunoj apstrakciji od svih ostalih svojstava. Istovremeno, geometrija, kao što je tipično za matematiku uopšte, potpuno se apstrahuje od neodređenosti i pokretljivosti stvarnih oblika i veličina i sve odnose i forme koje istražuje smatra apsolutno preciznim i određenim. Apstrakcija od proširenja tijela dovodi do koncepata površina, linija i tačaka. To je jasno izraženo, na primjer, u definicijama koje je dao Euklid: "prava je dužina bez širine", "površina je ona koja ima dužinu i širinu". Tačka bez ikakvog proširenja je apstrakcija koja odražava mogućnost neograničenog smanjenja u svim dimenzijama tijela, imaginarnu granicu njegove beskonačne podjele. Zatim postoji opći koncept geometrijske figure, koja se ne razumije samo kao tijelo, površina, linija ili tačka, već i svaka njihova kombinacija.

G. u svom izvornom značenju je nauka o figurama, međusobnom rasporedu i veličini njihovih dijelova, kao i o transformaciji figura. Ova definicija je u potpunoj saglasnosti sa definicijom geometrije kao nauke o prostornim oblicima i odnosima. Zaista, figura, kako se smatra u G., je prostorna forma; stoga u G. kažu, na primjer, "lopta", a ne "telo sfernog oblika"; lokacija i dimenzije određuju se prostornim odnosima; Konačno, transformacija je, kako se shvata u G., i određeni odnos između dve figure – date i one u koju se transformiše.

U modernom, općenitijem smislu, geometrija obuhvata niz matematičkih teorija, čija je pripadnost geometriji određena ne samo sličnošću (iako ponekad vrlo udaljenom) njihovog predmeta s običnim prostornim oblicima i odnosima, već i činjenicom da oni su se istorijski razvijali i formiraju na G. u svom izvornom značenju iu svojim konstrukcijama polaze od analize, generalizacije i modifikacije njegovih pojmova. Geografija je u ovom opštem smislu usko isprepletena sa drugim granama matematike, a njene granice nisu precizne. Vidi Generalizacija geometrije i moderna geometrija.

Razvoj geometrije. U razvoju geologije mogu se naznačiti četiri glavna perioda, prijelazi između kojih su označavali kvalitativnu promjenu u geologiji.

Prvi - period rođenja geometrije kao matematičke nauke - trajao je u starom Egiptu, Vavilonu i Grčkoj do otprilike 5. veka. BC e. Primarne geometrijske informacije pojavljuju se u najranijim fazama razvoja društva. Počecima nauke treba smatrati uspostavljanje prvih opštih zakona, u ovom slučaju zavisnosti između geometrijskih veličina. Ovaj trenutak se ne može datirati. Najraniji rad koji sadrži rudimente G. došao je do nas iz starog Egipta i datira otprilike iz 17. stoljeća. BC e., ali sigurno nije prvi. Geometrijski podaci tog perioda nisu bili brojni i svodili su se prvenstveno na proračun određenih površina i volumena. Navedeni su u obliku pravila, očigledno, u velikoj mjeri empirijskog porijekla, dok su logički dokazi vjerovatno još uvijek bili vrlo primitivni. Grčka je, prema grčkim istoričarima, preneta u Grčku iz Egipta u 7. veku. BC e. Ovdje je, tokom nekoliko generacija, evoluirao u koherentan sistem. Taj se proces odvijao kroz akumulaciju novih geometrijskih znanja, rasvjetljavanje veza između različitih geometrijskih činjenica, razvoj metoda dokazivanja i, konačno, formiranje pojmova o liku, o geometrijskoj rečenici i o dokazu.

Ovaj proces je konačno doveo do kvalitativnog skoka. Geometrija je postala samostalna matematička nauka: pojavila su se njena sistematska izlaganja, u kojima su se njene tvrdnje dosljedno dokazivale. Od tog vremena počinje drugi period razvoja geografije.Poznata su upućivanja na sistematske prikaze geologije, među kojima je i 5. vijek. BC e. Hipokrat sa Hiosa (vidi Hipokrat sa Hiosa). Preživjeli su i odigrali odlučujuću ulogu u budućnosti, koja se pojavila oko 300. godine prije Krista. e. "Počeci" Euklida (vidi Počeci Euklida). Ovdje su geometrije predstavljene na način na koji se i danas općenito razumiju, ako se ograničimo na elementarnu geometriju (vidi elementarna geometrija); ovo je nauka o najjednostavnijim prostornim oblicima i odnosima, razvijenim u logičkom nizu, na osnovu jasno formulisanih osnovnih odredbi - aksioma i osnovnih prostornih predstava. Geometrija razvijena na istim osnovama (aksiomima), čak dorađena i obogaćena kako u predmetu tako iu metodama istraživanja, naziva se euklidska geometrija. I u Grčkoj mu se dodaju novi rezultati, javljaju se nove metode za određivanje površina i zapremina (Arhimed, 3. vek pne), učenje o konusnim presecima (Apolonije iz Perge, 3. vek pre nove ere), dodaju se počeci trigonometrije (Hiparh , 2 in. BC e.) i G. na sferi (Menelaj, 1. vek nove ere). Propadanje antičkog društva dovelo je do uporedne stagnacije u razvoju cigana, ali je nastavilo da se razvija u Indiji, centralnoj Aziji i zemljama arapskog istoka.

Renesansa nauke i umetnosti u Evropi dovela je do daljeg procvata geografije.U prvoj polovini 17. veka napravljen je suštinski novi korak. R. Descartes, koji je uveo metodu koordinata u geometriju. Metoda koordinata omogućila je povezivanje geometrije sa algebrom koja se tada razvijala i analizom u nastajanju. Primjenom metoda ovih nauka u geologiji nastala je analitička geografija, a potom i diferencijalna geologija. G. je prešao na kvalitativno novi nivo u poređenju sa G. drevnih: već razmatra mnogo opštije figure i koristi suštinski nove metode. Od tog vremena počinje treći period razvoja G. Analitička geometrija proučava figure i transformacije date algebarskim jednačinama u pravougaonim koordinatama, koristeći metode algebre. Diferencijalna geometrija, nastala u 18. veku. Kao rezultat rada L. Eulera, H. Mongea i drugih, on već proučava sve dovoljno glatke krive linije i površine, njihove porodice (tj. njihove kontinuirane kolekcije) i transformacije (koncept „diferencijalne geometrije“ je sada se često daje opštije značenje, o čemu se govori u odjeljku Moderna geometrija). Njegovo ime je povezano uglavnom s njegovom metodom, koja dolazi od diferencijalnog računa. Do 1. polovine 17. vijeka. odnosi se na porijeklo projektivne geometrije (vidi projektivna geometrija) u djelima J. Desarguesa i B. Pascal (vidi Pascal). Nastala je iz problema prikazivanja tijela na ravni; njegov prvi predmet su ona svojstva ravninskih figura koja se čuvaju pri projektovanju iz jedne ravni u drugu iz bilo koje tačke. Konačna formulacija i sistematsko izlaganje ovih novih trendova u geologiji dato je u 18. i ranom 19. vijeku. Euler za analitičko grafiranje (1748), Monge za diferencijalno grafiranje (1795), J. Poncelet za projektivno grafiranje (1822), a sama doktrina geometrijskog predstavljanja (u direktnoj vezi sa zadacima crtanja) razvijena je još ranije (1799) i uveden u sistem od strane Mongea u obliku deskriptivne geometrije (vidi deskriptivna geometrija). U svim ovim novim disciplinama, temelji (aksiomi, početni pojmovi) geometrije ostali su nepromijenjeni, dok se raspon proučavanih figura i njihovih svojstava, kao i korištenih metoda, proširio.

Četvrti period u razvoju geometrije otvara se izgradnjom N. I. Lobačevskog (vidi Lobačevski) 1826. nova, neeuklidska geometrija, sada nazvana geometrija Lobačevskog (vidi geometrija Lobačevskog). Nezavisno od Lobačevskog, J. Bolyai je 1832. izgradio istu geometriju (K. Gauss je razvio iste ideje, ali ih nije objavio). Izvor, suština i značaj ideja Lobačevskog svode se na sljedeće. U Euklidovoj geometriji postoji aksiom o paralelama, koji kaže: "kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući najviše jedna prava paralelna datoj." Mnogi geometri su pokušavali da dokažu ovaj aksiom iz drugih osnovnih premisa Euklidove geometrije, ali bezuspešno. Lobačevski je došao do zaključka da je takav dokaz nemoguć. Izjava suprotna Euklidovom aksiomu kaže: "kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj, može se povući ne jedna, već barem dvije prave paralelne s njom." Ovo je aksiom Lobačevskog. Prema Lobačevskom, dodavanje ove odredbe drugim osnovnim odredbama G. dovodi do logički besprijekornih zaključaka. Sistem ovih zaključaka formira novu, neeuklidsku geometriju.Zasluga Lobačevskog je u tome što on ne samo da je izrazio ovu ideju, već je zapravo izgradio i sveobuhvatno razvio novu geometriju, logički jednako savršenu i bogatu zaključcima kao Euklidska. , uprkos njegovoj nekonzistentnosti sa uobičajenim vizuelnim prikazima. Lobačevski je svoju geometriju smatrao mogućom teorijom prostornih odnosa; međutim, ostala je hipotetička sve dok se njeno pravo značenje nije razjasnilo (1868. godine), i time je dato njeno puno opravdanje (vidi odjeljak Tumačenja geometrije).

Revolucija u geometriji koju je izveo Lobačevski po svom značaju nije inferiorna u odnosu na nijednu revoluciju u prirodnim naukama, a Lobačevskog nisu uzalud nazvali „Kopernik geometrije“. U njegovim idejama zacrtana su tri principa koji su odredili novi razvoj geometrija.Prvi princip je da su ne samo euklidske geometrije logički zamislive, već i druge "geometrije". Drugi princip je princip same konstrukcije novih geometrijskih teorija modifikacijom i generalizacijom glavnih odredbi Euklidovog G. Treći princip je da istinitost geometrijske teorije, u smislu korespondencije sa stvarnim svojstvima prostora, može biti potvrđeno samo fizičkim istraživanjima i moguće je da takva istraživanja utvrde, u tom smislu, netačnost Euklidskog G. Moderna fizika je to potvrdila. Međutim, matematička tačnost euklidske geometrije nije izgubljena zbog toga, jer određen je logičkom konzistentnošću (konzistentnošću) ovog G. Na isti način, u odnosu na bilo koju geometrijsku teoriju, treba razlikovati njihovu fizičku i matematičku istinitost; prvi se sastoji u usklađenosti stvarnosti provjerene iskustvom, drugi u logičkoj konzistentnosti. Lobačevski je, dakle, dao materijalistički pristup filozofiji matematike. Ovi opšti principi su igrali važnu ulogu ne samo u matematici, već iu matematici uopšte, u razvoju njene aksiomatske metode i razumevanju njenog odnosa prema stvarnosti.

Glavna karakteristika novog perioda u istoriji geometrije, koji je započeo Lobačevski, je razvoj novih geometrijskih teorija - novih "geometrija" iu odgovarajućoj generalizaciji predmeta geometrije; javlja se koncept različitih vrsta „prostora“ (pojam „prostor“ u nauci ima dva značenja: s jedne strane, to je običan realni prostor, s druge, to je apstraktni „matematički prostor“). Istovremeno, neke teorije su se uobličile unutar euklidske geografije u obliku njenih posebnih poglavlja i tek tada dobile samostalan značaj. Tako je nastala projektivna, afina, konformna geometrija i druge, čiji su predmet svojstva figura koja se čuvaju pri odgovarajućim (projektivnim, afinima, konformnim itd.) transformacijama. Pojavio se pojam projektivnih, afinskih i konformnih prostora; Sama euklidska geografija počela se u određenom smislu smatrati poglavarom projektivne geografije. teorije, poput geometrije Lobačevskog, građene su od samog početka na osnovu promene i generalizacije pojmova euklidske geometrije.Tako je nastala, na primer, višedimenzionalna geometrija; prvi radovi vezani za nju (G. Grassman i A. Cayley, 1844) predstavljali su formalnu generalizaciju uobičajene analitičke gravitacije od tri koordinate do n. Neki rezultat razvoja svih ovih novih "geometrija" sažeo je 1872. F. Klein, ukazujući na opšti princip njihove konstrukcije.

Temeljni korak napravio je B. Riemann (predavanje 1854, objavljeno 1867). Prvo, on je jasno formulisao generalizovani koncept prostora kao kontinuirane zbirke bilo kakvih homogenih objekata ili fenomena (vidi odeljak Generalizacija predmeta geometrije). Drugo, uveo je koncept prostora sa bilo kojim zakonom za mjerenje udaljenosti u beskonačno malim koracima (slično mjerenju dužine linije sa vrlo malom skalom). Odavde se razvila ogromna regija Gruzije, tzv. Rimanova geometrija i njene generalizacije, koje su našle značajnu primjenu u teoriji relativnosti, u mehanici itd.

Još jedan primjer. Stanje gasa u cilindru ispod klipa određuje se pritiskom i temperaturom. Ukupnost svih mogućih stanja gasa se stoga može predstaviti kao dvodimenzionalni prostor. "Tačke" ovog "prostora" su stanja gasa; "tačke" se razlikuju po dvije "koordinate" - pritisku i temperaturi, kao što se tačke na ravni razlikuju po vrijednostima svojih koordinata. Kontinuirana promjena stanja je predstavljena linijom u ovom prostoru.

Nadalje, može se zamisliti bilo koji materijalni sistem - mehanički ili fizičko-hemijski. Ukupnost svih mogućih stanja ovog sistema naziva se "fazni prostor". "Tačke" ovog prostora su same države. Ako je stanje sistema definisano n količine, onda kažemo da sistem ima n stepena slobode. Ove veličine igraju ulogu koordinata stanja tačke, kao što je u primeru gasa, pritisak i temperatura igrali ulogu koordinata. U skladu s tim, takav se fazni prostor sistema naziva n-dimenzionalno. Promjena stanja je predstavljena linijom u ovom prostoru; pojedinačni regioni stanja, koji se razlikuju po jednoj ili drugoj osobini, biće regioni faznog prostora, a granice regiona će biti površine u ovom prostoru. Ako sistem ima samo dva stepena slobode, onda se njegova stanja mogu predstaviti tačkama na ravni. Dakle, stanje gasa sa pritiskom R i temperaturu T predstavljeno tačkom sa koordinatama R i T, a procesi koji se dešavaju sa gasom biće predstavljeni linijama na ravni. Ova metoda grafičkog predstavljanja je dobro poznata i stalno se koristi u fizici i tehnologiji za vizualizaciju procesa i njihovih zakonitosti. Ali ako je broj stupnjeva slobode veći od 3, tada jednostavno grafičko predstavljanje (čak i u prostoru) postaje nemoguće. Zatim, da bi se očuvale korisne geometrijske analogije, pribjegava se konceptu apstraktnog faznog prostora. Dakle, vizuelne grafičke metode prerastaju u ovu apstraktnu predstavu. Metoda faznog prostora se široko koristi u mehanici, teorijskoj fizici i fizičkoj hemiji. U mehanici se kretanje mehaničkog sistema predstavlja kretanjem tačke u njegovom faznom prostoru. U fizičkoj hemiji posebno je važno razmotriti oblik i međusobno spajanje onih oblasti faznog prostora sistema od nekoliko supstanci koje odgovaraju kvalitativno različitim stanjima. Površine koje razdvajaju ove regije su površine prijelaza iz jednog kvaliteta u drugi (topljenje, kristalizacija, itd.). U samoj geometriji razmatraju se i apstraktni prostori, čije su „tačke“ figure; tako se definišu "prostori" krugova, sfera, linija, itd. U mehanici i teoriji relativnosti uvodi se i apstraktni četverodimenzionalni prostor, koji dodaje vrijeme trima prostornim koordinatama kao četvrtoj koordinati. To znači da se događaji moraju razlikovati ne samo po položaju u prostoru, već iu vremenu.

Tako postaje jasno kako se kontinuirane zbirke različitih objekata, pojava i stanja mogu podvesti pod generalizirani koncept prostora. U takvom prostoru moguće je iscrtati "linije" koje prikazuju neprekidne nizove pojava (stanja), nacrtati "površine" i na odgovarajući način odrediti "udaljenosti" između "tačaka", dajući na taj način kvantitativni izraz fizičkog koncepta. stepen razlike odgovarajućih pojava (stanja) i sl. Tako, po analogiji sa običnom geometrijom, nastaje "geometrija" apstraktnog prostora; potonji može čak imati malo sličnosti sa običnim prostorom, budući da je, na primjer, nehomogen u svojim geometrijskim svojstvima i konačan, poput neravnomjerno zakrivljene zatvorene površine.

Predmet geologije u generalizovanom smislu nisu samo prostorni oblici i odnosi, već bilo koji oblici i odnosi koji se, apstrahovani od svog sadržaja, pokazuju sličnim običnim prostornim oblicima i odnosima. Ovi prostorni oblici stvarnosti nazivaju se "prostori" i "figure". Prostor je u ovom smislu kontinuirana kolekcija homogenih objekata, pojava, stanja koji igraju ulogu tačaka u prostoru, a u ovoj zbirci postoje odnosi slični običnim prostornim odnosima, kao što je npr. udaljenost između tačaka, jednakost figura itd. (figura je općenito dio prostora). G. ove oblike stvarnosti razmatra u apstrakciji od konkretnog sadržaja, dok je proučavanje specifičnih oblika i odnosa u vezi sa njihovim kvalitativno jedinstvenim sadržajem predmet drugih nauka, a G. služi kao metod za njih. Bilo koja primjena apstraktne geometrije može poslužiti kao primjer, čak i ako je gore navedena primjena n-dimenzionalni prostor u fizičkoj hemiji. G. karakteriše takav pristup objektu koji se sastoji u generalizaciji i prenošenju na nove objekte uobičajenih geometrijskih koncepata i vizuelnih predstava. Upravo to je učinjeno u gornjim primjerima prostora boja itd. Ovaj geometrijski pristup nije nimalo čista konvencija, već odgovara samoj prirodi fenomena. Ali često se iste stvarne činjenice mogu predstaviti analitički ili geometrijski, baš kao što se ista zavisnost može dati jednadžbom ili linijom na grafu.

Ne treba, međutim, razvoj geometrije predstavljati na način da ona samo registruje i geometrijskim jezikom opisuje oblike i odnose koji su se već susreli u praksi, slično prostornim. U stvarnosti, geometrija definiše široke klase novih prostora i figura u njima, polazeći od analize i generalizacije podataka vizuelne geometrije i već uspostavljenih geometrijskih teorija. U apstraktnoj definiciji, ovi prostori i figure se pojavljuju kao mogući oblici stvarnosti. One, dakle, nisu čisto spekulativne konstrukcije, već bi u konačnici trebale poslužiti kao sredstvo istraživanja i opisa stvarnih činjenica. Lobačevski, stvarajući svoju geometriju, smatrao je to mogućom teorijom prostornih odnosa. I kao što je njegova geometrija potkrijepljena u smislu svoje logičke konzistentnosti i primjenjivosti na prirodne pojave, tako i svaka apstraktna geometrijska teorija prolazi isti dvostruki test. Za provjeru logičke konzistentnosti neophodna je metoda konstruiranja matematičkih modela novih prostora. Međutim, u nauku su konačno ukorijenjeni samo oni apstraktni koncepti koji su opravdani kako izgradnjom umjetnog modela tako i primjenom, ako ne direktno u prirodnim znanostima i tehnologiji, onda barem u drugim matematičkim teorijama kroz koje su ti koncepti na neki način povezani s stvarnost. Lakoća sa kojom matematičari i fizičari sada rade sa različitim „prostorima“ postignuta je kao rezultat dugog razvoja geometrije u bliskoj vezi sa razvojem matematike u celini i drugih egzaktnih nauka. Upravo kao rezultat ovog razvoja, druga strana geografije, naznačena u opštoj definiciji datoj na početku članka, dobila je oblik i veliki značaj: uključivanje u geografiju proučavanja oblika i odnosa sličnih oblicima. i odnosi u običnom prostoru.

Kao primjer apstraktne geometrijske teorije može se uzeti u obzir G. n-dimenzionalni euklidski prostor. Konstruira se jednostavnom generalizacijom glavnih odredbi obične geometrije, a za to postoji nekoliko mogućnosti: mogu se, na primjer, generalizirati aksiomi obične geometrije, ali se može poći i od specificiranja tačaka po koordinatama. Sa drugim pristupom n-dimenzionalni prostor je definiran kao skup bilo kojeg elementa-točaka datih sa (svaki) n brojevi x 1, x2,…, xn, koji se nalaze određenim redoslijedom, - koordinate tačaka. Nadalje, udaljenost između tačaka X \u003d (x 1, x 2, ..., xn) i X"= (x’ 1, x’ 2,…, x’ n) određuje se formulom:

što je direktna generalizacija dobro poznate formule za udaljenost u trodimenzionalnom prostoru. Kretanje se definira kao transformacija figure koja ne mijenja udaljenosti između njenih tačaka. Zatim predmet n-dimenzionalna geometrija se definiše kao proučavanje onih svojstava figura koje se ne menjaju tokom kretanja. Na osnovu toga, koncepti prave linije, ravni različitog broja dimenzija od dva do n-1, o lopti, itd. To. pojavljuje se teorija bogatog sadržaja, u mnogo čemu slična običnoj euklidskoj geometriji, ali u mnogo čemu i drugačija od nje. Često se dešava da se rezultati dobijeni za trodimenzionalni prostor lako, uz odgovarajuće izmene, prenesu na prostor bilo kog broja dimenzija. Na primjer, teorema da među svim tijelima istog volumena lopta ima najmanju površinu, čita se doslovno na isti način u prostoru bilo kojeg broja dimenzija [samo treba imati na umu n-dimenziona zapremina, ( n-1)-dimenzionalna površina i n-dimenzionalne lopte, koje su definisane sasvim analogno odgovarajućim konceptima obične gravitacije]. Dalje, unutra n-dimenzionalni prostor, zapremina prizme je jednaka umnošku površine osnove i visine, a zapremina piramide jednaka je takvom proizvodu podeljenom sa n. Takvi primjeri bi se mogli nastaviti. S druge strane, kvalitativno nove činjenice također se nalaze u višedimenzionalnim prostorima.

Interpretacije geometrije. Ista geometrijska teorija dopušta različite primjene, različite interpretacije (realizacije, modeli ili interpretacije). Svaka primjena teorije nije ništa drugo do realizacija nekih njenih zaključaka u odgovarajućem polju fenomena.

Mogućnost različitih implementacija je zajedničko svojstvo svake matematičke teorije. Tako se aritmetičke relacije ostvaruju na najrazličitijim skupovima objekata; ista jednadžba često opisuje potpuno različite pojave. Matematika razmatra samo formu fenomena, apstrahirajući od sadržaja, a sa stajališta forme, mnoge kvalitativno različite pojave često se ispostavljaju sličnima. Raznolikost primjena matematike, a posebno geometrije, osigurana je upravo njenim apstraktnim karakterom. Smatra se da određeni sistem objekata (područje fenomena) omogućava realizaciju teorije ako se odnosi u ovoj oblasti objekata mogu opisati jezikom teorije na način da svaki iskaz teorije izražava jedno ili neku drugu činjenicu koja se dešava na području koje se razmatra. Konkretno, ako je teorija izgrađena na osnovu određenog sistema aksioma, onda se tumačenje ove teorije sastoji u takvom poređenju njenih pojmova sa određenim objektima i njihovim odnosima, u kojima su aksiomi zadovoljeni za te objekte.

Euklid G. je nastao kao odraz činjenica stvarnosti. Njeno uobičajeno tumačenje, u kojem se istegnute niti smatraju ravnim, mehaničkim kretanjem itd., prethodi gravitaciji kao matematičkoj teoriji. Pitanje drugih interpretacija nije bilo i nije se moglo postaviti sve dok se nije pojavilo apstraktnije razumijevanje geometrije. Lobačevski je stvorio neeuklidsku geometriju kao moguću geometriju, a onda se postavilo pitanje njenog pravog tumačenja. Ovaj problem je 1868. godine riješio E. Beltrami, koji je primijetio da se geometrija Lobačevskog poklapa sa unutrašnjom geometrijom površina konstantne negativne zakrivljenosti, tj. teoreme geometrije Lobačevskog opisuju geometrijske činjenice na takvim površinama (u ovom slučaju uloga pravih je igraju geodetske linije, a ulogu kretanja - savijanje površine prema sebi). Kako je, u isto vrijeme, takva površina objekt euklidske geometrije, pokazalo se da se geometrija Lobačevskog tumači u terminima Euklidove geometrije. Tako je dokazana konzistentnost geometrije Lobačevskog, pošto kontradikcija u njemu, na osnovu ovog tumačenja, povlači za sobom kontradikciju u Euklidovoj geometriji.

Time je razjašnjeno dvostruko značenje tumačenja geometrijske teorije – fizičko i matematičko. Ako govorimo o tumačenju na konkretnim objektima, onda se dobija eksperimentalni dokaz istinitosti teorije (naravno, sa odgovarajućom tačnošću); ako sami objekti imaju apstraktan karakter (poput geometrijske površine u okviru Euklidove geometrije), onda je teorija povezana s drugom matematičkom teorijom, u ovom slučaju s euklidskom geometrijom, a preko nje sa eksperimentalnim podacima koji su u njoj sažeti. Takvo tumačenje jedne matematičke teorije pomoću druge postalo je matematički metod potkrepljivanja novih teorija, metod dokazivanja njihove konzistentnosti, jer bi kontradikcija u novoj teoriji izazvala kontradikciju u teoriji u kojoj se tumači. Ali teorija pomoću koje se tumači, zauzvrat, mora biti potkrijepljena. Stoga navedena matematička metoda ne otklanja činjenicu da praksa ostaje konačni kriterij istine za matematičke teorije. Trenutno se geometrijske teorije najčešće tumače analitički; na primjer, tačke na ravni Lobačevskog mogu se povezati s parovima brojeva X i at, prave linije - određuju se jednadžbama itd. Ova tehnika daje opravdanje za teoriju jer je sama matematička analiza, u krajnjoj liniji, opravdana ogromnom praksom njene primjene.

moderne geometrije. Formalna matematička definicija pojmova prostora i figure prihvaćena u modernoj matematici polazi od koncepta skupa (vidi teoriju skupova). Prostor se definiše kao skup svih elemenata („tačaka“) uz uslov da se u ovom skupu uspostave neki odnosi koji su slični običnim prostornim odnosima. Skup boja, skup stanja fizičkog sistema, skup kontinuiranih funkcija definisanih na segmentu, itd. formiraju prostore u kojima će tačke biti boje, stanja, funkcije. Preciznije, ovi skupovi se shvataju kao prostori ako su u njima fiksirani samo odgovarajući odnosi, na primer, rastojanje između tačaka i onih svojstava i relacija koje su određene kroz njih. Dakle, udaljenost između funkcija može se definirati kao maksimum apsolutne vrijednosti njihove razlike: max| f(x)-g(x)| . Figura se definiše kao proizvoljan skup tačaka u datom prostoru. (Ponekad je prostor sistem skupova elemenata. Na primjer, u projektivnoj geometriji uobičajeno je da se tačke, prave i ravni smatraju jednakim početnim geometrijskim objektima povezanim relacijama “veze”.)

Glavni tipovi odnosa koji u raznim kombinacijama dovode do čitave raznolikosti „prostora“ moderne geometrije su:

1) Opšti odnosi koji postoje u bilo kom skupu su odnosi članstva i uključivanja: tačka pripada skupu, a jedan skup je deo drugog. Ako se uzmu u obzir samo ovi odnosi, onda u skupu još nije definirana "geometrija", on ne postaje prostor. Međutim, ako se izaberu neke posebne figure (skupovi tačaka), onda se "geometrija" prostora može odrediti zakonima povezanosti tačaka sa ovim figurama. Takvu ulogu imaju kombinacija aksioma u elementarnoj, afinoj i projektivnoj geometriji; ovdje linije i ravni služe kao posebni skupovi.

Isti princip odabira nekih specijalnih skupova omogućava nam da definišemo koncept topološkog prostora - prostora u kojem su „susedstva“ tačaka izdvojena kao posebni skupovi (uz uslov da tačka pripada svojoj okolini i da svaka tačka ima u najmanje jedno susjedstvo; nametanje daljnjih zahtjeva za susjedstva određuje jednu ili drugu vrstu topoloških prostora). Ako bilo koja okolina date tačke ima zajedničke tačke sa nekim skupom, onda se takva tačka naziva dodirna tačka ovog skupa. Dva skupa se mogu nazvati dodirujućim ako barem jedan od njih sadrži dodirne točke drugog; prostor ili figura će biti kontinuirani, ili, kako kažu, povezani ako se ne mogu podijeliti na dva nesusjedna dijela; transformacija je kontinuirana ako ne prekida kontakt. Dakle, koncept topološkog prostora služi kao matematički izraz za koncept kontinuiteta. [Topološki prostor također može biti definiran drugim posebnim skupovima (zatvoreni, otvoreni) ili direktno relacijom tangentnosti, u kojoj je bilo koji skup tačaka povezan sa svojim tangentnim tačkama.] Topološki prostori kao takvi, skupovi u njima i njihove transformacije su predmet topologije. Predmet same geometrije (u velikoj meri) je proučavanje topoloških prostora i figura u njima, obdarenih dodatnim svojstvima.

2) Drugi najvažniji princip za određivanje određenih prostora i njihovo proučavanje je uvođenje koordinata. Mnogostrukost je (povezani) topološki prostor u čijoj okolini svake tačke se mogu uvesti koordinate stavljajući tačke susedstva u jedan-na-jedan i međusobno kontinuiranu korespondenciju sa sistemima iz n realni brojevi x 1 , x 2 ,(, xn. Broj n je broj dimenzija mnogostrukosti. Prostori koji se proučavaju u većini geometrijskih teorija su mnogostrukosti; najjednostavnije geometrijske figure (segmenti, dijelovi površina omeđeni krivuljama, itd.) obično su komadi mnogostrukosti. Ako se među svim koordinatnim sistemima koji se mogu uvesti u delove mnogostrukosti razlikuju koordinatni sistemi takve vrste da se neke koordinate izražavaju u terminima drugih pomoću diferencibilnih (jedan ili drugi broj puta) ili analitičkih funkcija, onda nabavite tzv. glatka (analitička) mnogostrukost. Ovaj koncept generalizira vizualni prikaz glatke površine. Glatke mnogostrukosti kao takve su predmet tzv. diferencijalna topologija. U samom G., oni su obdareni dodatnim svojstvima. Koordinate sa prihvaćenim uslovom diferencijabilnosti njihovih transformacija daju osnovu za široku upotrebu analitičkih metoda - diferencijalnog i integralnog računa, kao i vektorske i tenzorske analize (vidi Vektorski račun, Tenzorski račun). Sveukupnost geoloških teorija razvijenih ovim metodama čini opštu diferencijalnu geografiju; njen najjednostavniji slučaj je klasična teorija glatkih krivulja i površina, koje nisu ništa drugo do jedno- i dvodimenzionalne diferencibilne mnogostrukosti.

3) Uopštavanje koncepta kretanja kao transformacije jedne figure u drugu dovodi do opšteg principa za definisanje različitih prostora, kada je prostor skup elemenata (tačaka) u kojima se vrši grupa jednosmernih transformacija ovaj skup na sebe je dat. „Geometrija“ takvog prostora sastoji se u proučavanju onih svojstava figura koja su sačuvana pri transformacijama iz ove grupe. Stoga, sa stanovišta takve geometrije, figure se mogu smatrati "jednakim" ako jedna prelazi u drugu kroz transformaciju iz date grupe. Na primjer, euklidska geometrija proučava svojstva figura koje su sačuvane pri kretanju, afina geometrija proučava svojstva figura koje su sačuvane pod afinim transformacijama, a topologija proučava svojstva figura koje su sačuvane pod bilo kojim jedno-prema-jedan i kontinuiranim transformacijama. . Ista shema uključuje geometriju Lobačevskog, projektivne geometrije i dr. Zapravo, ovaj princip se kombinuje sa uvođenjem koordinata. Prostor je definiran kao glatka mnogostrukost u kojoj su transformacije definirane funkcijama koje povezuju koordinate svake date tačke i one do koje ona prolazi (koordinate slike tačke su definirane kao funkcije koordinata same tačke i parametri o kojima ovisi transformacija; na primjer, afine transformacije su definirane kao linearne: x" i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +…+ a u x n , i = 1, …, n). Stoga je opći aparat za razvoj takvih "geometrija" teorija kontinuiranih grupa transformacija. Moguća je i druga, suštinski ekvivalentna, tačka gledišta prema kojoj se ne specificiraju transformacije prostora, već transformacije koordinata u njemu, te se proučavaju ona svojstva figura koja su podjednako izražena u različitim koordinatnim sistemima. Ova tačka gledišta našla je primenu u teoriji relativnosti, koja zahteva isti izraz fizičkih zakona u različitim koordinatnim sistemima, koji se u fizici nazivaju referentnim okvirima.

4) Još jedan opšti princip za definiciju prostora, na koji je Riman ukazao 1854. godine, polazi od generalizacije koncepta udaljenosti. Prema Riemannu, prostor je glatka mnogostrukost u kojoj se zakon mjerenja udaljenosti, tačnije dužina, postavlja u beskonačno malim koracima, tj. diferencijal dužine luka krive je postavljen kao funkcija koordinata tačka krive i njihovi diferencijali. Ovo je generalizacija unutrašnje geometrije površina, koju je Gauss definisao kao proučavanje svojstava površina, koje se mogu ustanoviti merenjem dužina krivih na njoj. Najjednostavniji slučaj predstavlja tzv. Rimanovi prostori u kojima vrijedi Pitagorina teorema u beskonačno malom (tj., u susjedstvu svake tačke, mogu se uvesti koordinate na način da će u ovoj tački kvadrat diferencijala dužine luka biti jednak zbiru kvadrati diferencijala koordinata; u proizvoljnim koordinatama, izražava se opštim pozitivnim kvadratnim oblikom, vidi Rimanove geometrije (vidi Rimanova geometrija)). Takav prostor je, dakle, euklidski u infinitezimalnom, ali općenito ne može biti euklidski, kao što se zakrivljena površina može svesti na ravan u infinitezimalnoj samo s odgovarajućom točnošću. Pokazalo se da su geometrije Euklida i Lobačevskog poseban slučaj ovog Rimanova G. Najšira generalizacija koncepta udaljenosti dovela je do koncepta opšteg metričkog prostora kao takvog skupa elemenata u kojem je data "metrika", tj. svakom paru elemenata je dodijeljen broj - udaljenost između njih, podređena samo vrlo općim uslovima. Ova ideja igra važnu ulogu u funkcionalnoj analizi i leži u osnovi nekih od najnovijih geometrijskih teorija, kao što su unutarnja granica neglatkih površina i odgovarajuće generalizacije Rimanove granice.

5) Kombinacija Riemannove ideje o definiciji "geometrije" u beskonačno malim područjima mnogostrukosti sa definicijom "geometrije" pomoću grupe transformacija dovela je (E. Cartan, 1922-25) do koncepta prostor u kojem su transformacije date samo u beskonačno malim područjima; drugim riječima, ovdje transformacije uspostavljaju vezu između samo beskonačno bliskih dijelova mnogostrukosti: jedan komad se pretvara u drugi, beskonačno blizak. Stoga se govori o prostorima sa "vezom" ove ili one vrste. Konkretno, prostori sa "euklidskom vezom" su Rimanovi. Dalje generalizacije sežu do koncepta prostora kao glatke mnogostrukosti, na kojoj je općenito dato "polje" nekog "objekta", koji može biti kvadratni oblik, kao u Rimanovoj geometriji, skup veličina koje određuju vezu , jedan ili drugi tenzor itd. Ovo uključuje i nedavno uvedeni tzv. slojevitih prostora. Ovi koncepti uključuju, posebno, generalizaciju Rimanove geometrije povezanu s teorijom relativnosti, kada se razmatraju prostori gdje metrika više nije data pozitivnim, već naizmjeničnim kvadratnim oblikom (takvi prostori se također nazivaju Rimanovi, ili pseudo -Rimanian, ako ih žele razlikovati od Rimanova u izvornom smislu). Ovi prostori su prostori sa vezom definisanom odgovarajućom grupom, različitom od grupe Euklidskih kretanja.

Na osnovu teorije relativnosti nastala je teorija prostora u kojoj je definisan koncept sukcesije tačaka, tako da svaka tačka X postavljeni odgovori V(X) tačke koje ga prate. (Ovo je prirodna matematička generalizacija slijeda događaja, definisanog činjenicom da je događaj Y prati događaj x, ako X utiče Y, i onda Y slijedi X u vremenu u bilo kojem referentnom okviru.) Od samog dodjeljivanja skupova V definiše sledeće tačke x, kao pripada skupu V(X), onda se ispostavlja da je definicija ove vrste prostora primjena prvog od gore navedenih principa, kada je "geometrija" prostora određena odabirom posebnih skupova. Naravno, dok mnogi V moraju biti predmet relevantnih uslova; u najjednostavnijem slučaju, to su konveksni konusi. Ova teorija uključuje teoriju odgovarajućih pseudo-Riemanovih prostora.

6) Aksiomatska metoda u svom čistom obliku sada služi ili za formulisanje gotovih teorija, ili za određivanje opštih tipova prostora sa posebnim posebnim skupovima. Ako se jedan ili drugi tip specifičnijih prostora definira formuliranjem njihovih svojstava kao aksioma, tada se koriste ili koordinate ili metrika, itd. Konzistentnost, a time i smislenost aksiomatske teorije provjerava se navođenjem modela na kojem je implementirana. , kao što je prvo urađeno za geometriju Lobačevskog. Sam model je izgrađen od apstraktnih matematičkih objekata, tako da "konačno opravdanje" bilo koje geometrijske teorije ide u sferu osnova matematike uopšte, koje ne mogu biti konačne u punom smislu, ali zahtevaju produbljivanje (vidi Matematika, Aksiomatska metoda ).

Ovi principi u raznim kombinacijama i varijacijama dovode do širokog spektra geometrijskih teorija. Značaj svake od njih i stepen pažnje na njene probleme određuju sadržaj ovih problema i dobijeni rezultati, njegove veze sa drugim teorijama geometrije, sa drugim oblastima matematike, sa egzaktnim prirodnim naukama i problemima tehnologije. Svaka data geometrijska teorija je definisana među ostalim geometrijskim teorijama, prvo, po tome koji prostor ili koju vrstu prostora razmatra. Drugo, definicija teorije uključuje indikaciju brojki koje se proučavaju. Tako se razlikuju teorije poliedara, krivulja, površina, konveksnih tijela itd. Svaka od ovih teorija može se razviti u određenom prostoru. Na primjer, može se razmotriti teorija poliedara u uobičajenom euklidskom prostoru, u n-dimenzionalni euklidski prostor, u prostoru Lobačevskog, itd. Moguće je razviti uobičajenu teoriju površina, projektivnu, u prostoru Lobačevskog, itd. Treće, bitna je priroda razmatranih svojstava figura. Tako se mogu proučavati svojstva površina koje su sačuvane pod određenim transformacijama; može se razlikovati doktrina zakrivljenosti površina, doktrina savijanja (tj. deformacija koje ne mijenjaju dužine krivulja na površini) i unutrašnjeg G. Konačno, u definiciju teorije može se uključiti njen osnovni metod i prirodu formulacije problema. G. se razlikuje na ovaj način: elementarni, analitički, diferencijalni; na primjer, može se govoriti o elementarnoj ili analitičkoj geometriji prostora Lobačevskog. G. se razlikuje "u malom", koje razmatra samo svojstva proizvoljno malih komada geometrijske slike (krivulja, površina, mnogostrukost), od G. "u cjelini", koja je, kao što je jasno iz njenog imena, geometrijska slike u cjelini cijelom dužinom. Vrlo opšta razlika se pravi između analitičkih metoda i metoda sintetičke geometrije (ili strogo geometrijskih metoda); prvi koriste sredstva odgovarajućeg računa: diferencijal, tenzor, itd., drugi rade direktno sa geometrijskim slikama.

Od sve raznolikosti geometrijskih teorija, zapravo, najrazvijenija n-dimenzionalna euklidska geometrija i Rimanova (uključujući pseudo-rimanovu) geometrija.U prvoj se posebno razvija teorija krivih i površina (i hiperpovršina različitog broja dimenzija), glatka, proučavana u klasičnoj diferencijalnoj geometriji; ovo takođe uključuje poliedre (poliedarske površine). Zatim je potrebno imenovati teoriju konveksnih tijela, koja se, međutim, dobrim dijelom može pripisati teoriji površina u cjelini, jer. tijelo je definirano njegovom površinom. Sljedeća je teorija regularnih sistema figura, odnosno onih koji dozvoljavaju pokrete koji prenose cijeli sistem u sebe i bilo koju njegovu figuru u bilo koju drugu (vidi Fedorovljeve grupe (vidi grupu Fedorov)). Može se primijetiti da je značajan broj najznačajnijih rezultata u ovim oblastima zaslužan Sov. geometri: veoma potpuni razvoj teorije konveksnih površina i značajan razvoj teorije opštih nekonveksnih površina, razne teoreme o površinama uopšte (postojanje i jedinstvenost konveksnih površina sa datom intrinzičnom metrikom ili sa datom ili druga "funkcija zakrivljenosti", teorema o nemogućnosti postojanja potpune površine sa zakrivljenošću, svuda manje od nekog negativnog broja, itd.), proučavanje ispravne podjele prostora itd.

U teoriji Rimanovih prostora istražuju se pitanja vezana za povezanost njihovih metričkih svojstava s topološkom strukturom, općenito ponašanje geodetskih (najkraćih na malim presjecima) linija, kao što je pitanje postojanja zatvorenih geodezija, pitanja " uranjanje“, tj. ostvarenje datog n-dimenzionalni Rimanov prostor u obliku n-dimenzionalne površine u euklidskom prostoru bilo kojeg broja dimenzija, pitanja pseudo-Rimanove geometrije vezana za opštu teoriju relativnosti i dr. G.

Pored toga, treba pomenuti algebarsku geometriju (vidi Algebarska geometrija), koja se razvila iz analitičke geometrije i proučava prvenstveno geometrijske slike definisane algebarskim jednačinama; zauzima posebno mjesto, jer uključuje ne samo geometrijske, već i algebarske i aritmetičke probleme. Postoji i opsežno i važno polje proučavanja beskonačno-dimenzionalnih prostora, koje, međutim, nije uključeno u kategoriju heterogenosti, ali je uključeno u funkcionalnu analizu, jer Beskonačno-dimenzionalni prostori su specifično definisani kao prostori čije su tačke određene funkcije. Ipak, u ovoj oblasti ima mnogo rezultata i problema koji su istinski geometrijske prirode i koje stoga treba pripisati G.

Geometrijska vrijednost. Upotreba euklidske geometrije najčešći je fenomen gdje god se određuju površine, zapremine i tako dalje. Sva tehnika, pošto oblik i veličina tijela igraju ulogu u tome, koristi euklidsku žiroskopiju. Kartografija, geodezija, astronomija, sve grafičke metode i mehanika su nezamislive bez žiroskopa. Upečatljiv primjer je otkriće I. Keplera činjenice da se planete okreću u elipsama; mogao je iskoristiti činjenicu da su elipsu proučavali drevni geometri. Geometrijska kristalografija je duboka primena geometrijske kristalografije, koja je poslužila kao izvor i polje primene za teoriju pravilnih sistema figura (cf. Kristalografija).

Apstraktnije geometrijske teorije se široko koriste u mehanici i fizici, kada se skup stanja sistema posmatra kao određeni prostor (vidi odeljak Generalizacija predmeta geometrije). Dakle, sve moguće konfiguracije (međusobni raspored elemenata) mehaničkog sistema čine „konfiguracioni prostor“; kretanje sistema je predstavljeno kretanjem tačke u ovom prostoru. Ukupnost svih stanja fizičkog sistema (u najjednostavnijem slučaju, pozicije i brzine materijalnih tačaka koje formiraju sistem, na primer, molekula gasa) se smatra „faznim prostorom“ sistema. Ovo gledište nalazi se, posebno, u statističkoj fizici (vidi. Statistička fizika) itd.

Po prvi put, koncept višedimenzionalnog prostora rođen je u vezi sa mehanikom još kod J. Lagrangea, kada su tri prostora. koordinate x, y, z vrijeme se formalno dodaje kao četvrto t. Tako se pojavljuje četverodimenzionalni “prostor-vrijeme”, gdje je tačka određena sa četiri koordinate x, y, z, t. Svaki događaj karakteriziraju ove četiri koordinate i, apstraktno, skup svih događaja u svijetu ispada kao četverodimenzionalni prostor. Ovo gledište je razvijeno u geometrijskoj interpretaciji teorije relativnosti koju je dao H. Minkowski i kasnije u A. Einsteinovoj konstrukciji opšte teorije relativnosti. U njemu je koristio četvorodimenzionalnu Rimanovu (pseudo-Rimanovu) geometriju, tako da su se geometrijske teorije, razvijene iz generalizacije podataka iz prostornog iskustva, pokazale kao matematički metod za konstruisanje dublje teorije prostora i vremena. Zauzvrat, teorija relativnosti dala je snažan poticaj razvoju općih geometrijskih teorija. Nastala iz elementarne prakse, geografija se kroz niz apstrakcija i generalizacija vraća prirodnoj nauci i praksi na višem nivou kao metod.

Sa geometrijske tačke gledišta, prostorno-vremenska mnogostrukost se obično tretira u opštoj teoriji relativnosti kao nehomogena Riemanovog tipa, ali sa metrikom određenom formom koja menja znak, svedenom u beskonačno maloj oblasti na oblik

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(sa - brzina svetlosti u vakuumu). Sam prostor, pošto se može odvojiti od vremena, takođe se ispostavlja kao nehomogen Rimanov. Sa moderne geometrijske tačke gledišta, bolje je gledati na teoriju relativnosti na sljedeći način. Specijalna teorija relativnosti tvrdi da je mnogostrukost prostor - vrijeme pseudo-euklidski prostor, odnosno onaj u kojem ulogu "kretanja" imaju transformacije koje čuvaju kvadratni oblik

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

tačnije, to je prostor sa grupom transformacija koje čuvaju navedeni kvadratni oblik. Bilo koja formula koja izražava fizički zakon mora se ne mijenjati pod transformacijama grupe ovog prostora, a to su takozvane Lorentzove transformacije. Prema opštoj teoriji relativnosti, prostorno-vremenska mnogostrukost je nehomogena i samo je u svakoj „beskonačno maloj“ oblasti redukovana na pseudo-euklidsku, odnosno prostor Kartanovog tipa (vidi odeljak Moderna geometrija). Međutim, takvo shvatanje postalo je moguće tek kasnije, jer. sam koncept prostora ovog tipa pojavio se nakon teorije relativnosti i razvijao se pod njenim direktnim uticajem.

U samoj matematici položaj i uloga geometrije determinisani su prvenstveno činjenicom da je kroz nju u matematiku uveden kontinuitet. Matematika, kao nauka o oblicima stvarnosti, pre svega se susreće sa dva opšta oblika: diskretnošću i kontinuitetom. Račun odvojenih (diskretnih) objekata daje aritmetiku, razmake. G. proučava kontinuitet Jedna od glavnih kontradikcija koje pokreću razvoj matematike je sukob između diskretnog i kontinuiranog. Čak i podjela kontinuiranih veličina na dijelove i mjerenje predstavljaju poređenje diskretnog i kontinuiranog: na primjer, skala se crta duž mjerenog segmenta u odvojenim koracima. Kontradikcija je izašla na vidjelo. sa posebnom jasnoćom, kada je u staroj Grčkoj (verovatno u 5. veku pre nove ere) otkrivena nesamerljivost stranice i dijagonale kvadrata: dužina dijagonale kvadrata sa stranicom 1 nije bila izražena nikakvim brojem, jer koncept iracionalnog broja nije postojao. Bila je potrebna generalizacija koncepta broja - stvaranje koncepta iracionalnog broja (što je učinjeno tek mnogo kasnije u Indiji). Opća teorija iracionalnih brojeva nastala je tek 70-ih godina. 19. vek Prava linija (i sa njom bilo koja figura) počela se smatrati skupom tačaka. Sada je ova tačka gledišta dominantna. Međutim, teškoće teorije skupova pokazale su njena ograničenja. Kontradikcija između diskretnog i kontinuiranog ne može se u potpunosti ukloniti.

Opća uloga geometrije u matematici je i u tome što je povezana s preciznim sintetičkim mišljenjem, koje polazi od prostornih predstava, a često omogućava da se ono što se postiže analizom i proračunima općenito pokrije samo kroz dugi niz koraka. . Dakle, geometriju karakteriše ne samo predmet, već i metoda, koja polazi od vizuelnih predstava i koja se pokazuje plodonosnom u rešavanju mnogih problema u drugim oblastima matematike. Zauzvrat, G. uveliko koristi njihove metode. Dakle, jedan te isti matematički problem se često može tretirati bilo analitički ili geometrijski, ili u kombinaciji obje metode.

U određenom smislu, skoro sva matematika se može posmatrati kao razvijana iz interakcije algebre (prvobitno aritmetičke) i geometrije, au smislu metode, iz kombinacije proračuna i geometrijskih prikaza. To se već može vidjeti u konceptu totaliteta svih realnih brojeva kao brojevne linije koja povezuje aritmetička svojstva brojeva s kontinuitetom. Evo nekih naglasaka G.-ovog uticaja na matematiku.

1) Uz mehaniku, geometrija je imala odlučujući značaj u nastanku i razvoju analize. Integracija dolazi od pronalaženja oblasti i volumena, koje su započeli drevni naučnici, a površina i zapremina su smatrani određenim; nije data analitička definicija integrala sve do prve polovine 19. veka. Crtanje tangenti bio je jedan od problema koji je doveo do diferencijacije. Grafički prikaz funkcija igrao je važnu ulogu u razvoju koncepata analize i zadržava svoju važnost. U samoj terminologiji analize vidljiv je geometrijski izvor njenih pojmova, kao, na primjer, u terminima: “prelomna tačka”, “opseg promjene varijable” itd. Prvi kurs analize, koji je 1696. napisao G. Lopital (vidi Lopital), zvao se: "Infinitezimalna analiza za razumijevanje krivih linija." Teorija diferencijalnih jednadžbi se uglavnom tumači geometrijski (integralne krive i sl.). Račun varijacija Nastala je i razvija se u velikoj mjeri na problemima geometrije, a njeni koncepti igraju važnu ulogu u tome.

2) Kompleksni brojevi su se konačno ustalili u matematici na prijelazu iz 18. u 19. vijek. samo kao rezultat njihovog poređenja sa tačkama ravni, tj. konstruisanjem "kompleksne ravni". U teoriji funkcija kompleksne varijable geometrijske metode igraju bitnu ulogu. Sam koncept analitičke funkcije w = f(z) kompleksne varijable može se definirati čisto geometrijski: takva funkcija je konformno preslikavanje ravnine z(ili područja aviona z) u avionu w. Koncepti i metode Rimanove geometrije nalaze primenu u teoriji funkcija nekoliko kompleksnih varijabli.

3) Glavna ideja funkcionalne analize je da se funkcije date klase (na primjer, sve kontinuirane funkcije definirane na intervalu) smatraju točkama „funkcionalnog prostora“, a odnosi između funkcija tumače se kao geometrijski odnosi između odgovarajućih tačaka (na primjer, konvergencija funkcija se tumači kao konvergencija tačaka, maksimum apsolutne vrijednosti razlike funkcija - kao udaljenost, itd.). Tada mnoga pitanja analize dobijaju geometrijski tretman, koji se u mnogim slučajevima pokazuje vrlo plodonosnim. Općenito, predstavljanje određenih matematičkih objekata (funkcija, figura itd.) kao tačaka nekog prostora sa odgovarajućim geometrijskim tumačenjem odnosa ovih objekata jedna je od najopštijih i najplodnijih ideja moderne matematike, koja je prodrla gotovo u sve njegove sekcije.

4) G. utiče na algebru, pa čak i na aritmetiku - teoriju brojeva. Algebra koristi, na primjer, koncept vektorskog prostora. U teoriji brojeva stvoren je geometrijski pravac koji omogućava rješavanje mnogih problema koji su teško podložni računskoj metodi. Zauzvrat, treba napomenuti i grafičke metode proračuna (vidi Nomografiju) i geometrijske metode savremene teorije proračuna i računara.

5) Logičko usavršavanje i analiza aksiomatike teorije odigralo je odlučujuću ulogu u razvoju apstraktne forme aksiomatske metode sa njenom potpunom apstrakcijom od prirode objekata i odnosa koji figuriraju u aksiomatiziranoj teoriji. Na osnovu istog materijala razvijeni su koncepti konzistentnosti, potpunosti i nezavisnosti aksioma.

U cjelini, međuprožimanje geometrije i drugih oblasti matematike je toliko blisko da se često granice ispostavljaju uvjetovane i povezane samo s tradicijom. Samo takvi dijelovi kao što su apstraktna algebra, matematička logika i neki drugi ostaju gotovo ili nikako povezani s geometrijom.

Lit.: Glavna klasična djela. Euklid, Počeci, trans. sa grčkog, knj. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Geometrija, trans. iz latinskog, M. - L., 1938; Monge G., Primjena analize na geometriju, trans. sa francuskog, M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz - R., 1822; Gauss KF, Opća istraživanja zakrivljenih površina, prev. s njemačkog, u zborniku: O osnovama geometrije, M., 1956; Lobačevski N.I., Poln. coll. soč., t. 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., Dodatak. Prijava,..., per. iz latinskog, M. - L., 1950; Riemann B., O hipotezama u osnovi geometrije, trans. s njemačkog, u zborniku: O osnovama geometrije, M., 1956; Klein, F., Komparativni pregled najnovijih geometrijskih istraživanja ("Erlangen program"), ibid.; E. Kartan, Holonomske grupe generalizovanih prostora, trans. sa francuskog, u knjizi: VIII međunarodno takmičenje za nagradu Nikolaja Ivanoviča Lobačevskog (1937), Kazanj, 1940; Hilbert D., Osnove geometrije, trans. s njemačkog., M. - L., 1948.

Priča. Kolman E., Istorija matematike u antici, M., 1961; Juškevič A. P., Istorija matematike u srednjem veku, M., 1961; Vileitner G., Istorija matematike od Descartesa do sredine 19. stoljeća, trans. s njemačkog, 2. izd., M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

b) Elementarna geometrija. Adamard J., Elementarna geometrija, trans. sa francuskog, 1. dio, 3. izd., M., 1948., 2. dio, M., 1938.; Pogorelov A. V., Elementarna geometrija, Moskva, 1969.

u) Analitička geometrija. Aleksandrov P.S., Predavanja iz analitičke geometrije..., M., 1968; Pogorelov A. V., Analitička geometrija, 3. izd., M., 1968.

e) Deskriptivna i projektivna geometrija. Glagolev N. A., Deskriptivna geometrija, 3. izd., M. - L., 1953; Efimov N.V., Viša geometrija, 4. izdanje, M., 1961.

e) Rimanova geometrija i njene generalizacije. Rashevsky P.K., Rimanova geometrija i tenzorska analiza, 2. izdanje, M. - L., 1964; Norden A. P., Prostori afine veze, M. - L., 1950; Cartan E., Geometrija Riemanovih prostora, prev. sa francuskog, M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Rimanova geometrija, prev. sa engleskog, M., 1948.

Neke monografije o geometriji. Fedorov ES, Simetrija i struktura kristala. Osnovni radovi, M., 1949; Aleksandrov A. D., Konveksni poliedri, M. - L., 1950; njegov, Unutrašnja geometrija konveksnih površina, M. - L., 1948; Pogorelov A. V., Vanjska geometrija konveksnih površina, Moskva, 1969; Buseman G., Geometrija geodezije, trans. sa engleskog, M., 1962; his, Konveksne površine, trans. sa engleskog, M., 1964; E. Kartan, Metoda pokretnog okvira, teorija kontinuiranih grupa i generaliziranih prostora, prev. sa francuskog, M. - L., 1936; Finikov S. P., Cartanova metoda vanjskih oblika u diferencijalnoj geometriji, M. - L., 1948; svoja, Projektivno-diferencijalna geometrija, M. - L., 1937; njegova vlastita, Teorija kongruencija, M. - L., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Uvod u nove metode diferencijalne geometrije, prev. sa engleskog, tom 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Lijeve grupe i diferencijalna geometrija, trans. sa engleskog, M., 1960; Milnor J., Morseova teorija, trans. sa engleskog, M., 1965.

Rečnik stranih reči ruskog jezika


    • 4. Primjeri problema na lokusu tačaka

    1. Dva točka poluprečnika r 1 i r 2 kotrljaju se duž prave linije l. Naći skup točaka presjeka M njihovih zajedničkih unutrašnjih tangenti.

    Rešenje: Neka su O 1 i O 2 centri točkova poluprečnika r 1 i r 2, respektivno. Ako je M tačka preseka unutrašnjih tangenti, onda je O 1 M: O 2 M = r 1: r 2 . Iz ovog uslova je lako dobiti da je rastojanje od tačke M do prave l jednako 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2). Prema tome, sve tačke preseka zajedničkih unutrašnjih tangenti leže na pravoj liniji koja je paralelna sa pravom l i udaljena je od nje rastojanjem 2r 1 r 2 /(r 1 + r 2).

    2. Naći geometrijsko mjesto centara kružnica koje prolaze kroz dvije date tačke.

    Rješenje: Neka kružnica sa centrom O prolazi kroz date tačke A i B. Pošto je OA = OB (kao poluprečnik jedne kružnice), tačka O leži na simetrali okomitog segmenta AB. Obrnuto, svaka tačka O koja leži na okomitoj simetrali AB jednako je udaljena od tačaka A i B. Dakle, tačka O je centar kružnice koja prolazi kroz tačke A i B.

    3. Stranice AB i CD četverougla ABCD površine S nisu paralelne. Pronađite HMT X koji leži unutar četverougla za koji je S ABX + S CDX = S/2.

    Rješenje: Neka je O sjecište pravih AB i CD. Nacrtajmo segmente OK i OL na zrake OA i OD, jednake AB i CD, respektivno. Tada je S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ±S KXL. Dakle, površina trokuta KXL je konstantna, tj. tačka X leži na pravoj paralelnoj sa KL.

    4. Na ravni su date tačke A i B. Naći GMT M za koji je razlika kvadrata dužina segmenata AM i BM konstantna.

    Rješenje: Uvodimo koordinatni sistem odabirom tačke A kao ishodišta i usmjeravanjem ose Ox duž zraka AB. Neka tačka M ima koordinate (x, y). Tada je AM 2 = x 2 + y 2 i BM 2 = (x - a) 2 + y 2 , gdje je a = AB. Stoga AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2 . Ova vrijednost je jednaka k za tačke M sa koordinatama ((a 2 + k)/2a, y); sve takve tačke leže na pravoj okomitoj na AB.

    5. Dat je pravougaonik ABCD. Pronađite GMT X za koji je AX + BX = CX + DX.

    Rješenje: Neka je l prava koja prolazi sredinama stranica BC i AD. Pretpostavimo da tačka X ne leži na pravoj l, na primer, da tačke A i X leže na istoj strani prave l. Onda AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. Date su dvije prave koje se seku u tački O. Pronađite GMT X za koji je zbir dužina projekcija segmenata OX na ove prave konstantan.

    Rješenje: Neka su a i b jedinični vektori paralelni datim pravima; x je jednako vektoru x. Zbir dužina projekcija vektora x na date prave je jednak |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, a promena predznaka se dešava na okomitima podignutim iz tačke O na date prave. Dakle, željeni GMT je pravougaonik čije su stranice paralelne sa simetralama uglova između datih pravih, a vrhovi leže na naznačenim okomitima.

    7. Dat je krug S i tačka M izvan njega. Kroz tačku M povučene su sve moguće kružnice S 1 koje sijeku kružnicu S; X - tačka preseka tangente u tački M na kružnicu S 1 sa nastavkom zajedničke tetive kružnica S i S 1 . Pronađite GMT X.

    Rješenje: Neka su A i B sjecište kružnica S i S 1 . Tada je XM 2 = XA . XB \u003d XO 2 - R 2, gdje su O i R centar i polumjer kružnice S. Dakle, XO 2 - XM 2 = R 2, što znači da točke X leže na okomici na pravu OM.

    8. Date su dvije kružnice koje se ne sijeku. Nađite geometrijsko mjesto centara kružnica koje dijele date kružnice (tj. sijeku ih u dijametralno suprotnim tačkama).

    Rješenje: Neka su O 1 i O 2 centri ovih kružnica, R 1 i R 2 su njihovi poluprečniki. Krug polumjera r sa središtem X siječe prvu kružnicu u dijametralno suprotnim točkama ako i samo ako je r 2 = XO 1 2 + R 1 2, stoga se željeni GMT sastoji od tačaka X takvih da je XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2 , sve takve tačke X leže na pravoj okomitoj na O 1 O 2 .

    9. Unutar kružnice je uzeta tačka A. Naći mjesto presjeka tangenti na kružnicu povučenu kroz krajeve svih mogućih tetiva koje sadrže tačku A.

    Rješenje: Neka je O centar kružnice, R njegov polumjer, M presječna tačka tangenti povučenih kroz krajeve tetive koja sadrži tačku A, P središte te tetive. Tada je OP * OM = R 2 i OP = OA cos f, gdje je f = AOP. Dakle, AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, što znači da je vrijednost OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 konstantna. Prema tome, sve tačke M leže na pravoj okomitoj na OA.

    10. Nađite geometrijsko mjesto tačaka M koje leže unutar romba ABCD i imaju svojstvo AMD + BMC = 180 o .

    Rješenje: Neka je N tačka takva da su vektori MN = DA. Tada je NAM = DMA i NBM = BMC, pa je AMBN upisani četverougao. Dijagonale upisanog četvorougla AMBN su jednake, pa AM| BN ili BM| AN. U prvom slučaju AMD = MAN = AMB, au drugom slučaju BMC = MBN = BMA. Ako je AMB = AMD, tada je AMB + BMC = 180 o i tačka M leži na dijagonali AC, a ako je BMA = BMC, tada tačka M leži na dijagonali BD. Također je jasno da ako tačka M leži na jednoj od dijagonala, tada je AMD + BMC = 180 o .

    11. a) Dat je paralelogram ABCD. Dokazati da veličina AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 ne zavisi od izbora tačke X.

    b) Četvorougao ABCD nije paralelogram. Dokažite da sve tačke X koje zadovoljavaju odnos AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 leže na istoj pravoj pravoj okomitoj na segment koji spaja sredine dijagonala.

    Rješenje: Neka su P i Q sredine dijagonala AC i BD. Tada je AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 /2 i BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 /2, dakle, u zadatku b), željeni HMT se sastoji od tačaka X takvih da je PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2)/4, au zadatku a) P = Q, pa je količina koja se razmatra jednaka (BD 2 - AC 2)/2.


    Književnost

    1. Pogorelov A.V. Geometrija: udžbenik za 7-9 razred obrazovnih ustanova. - M.: Prosvjeta, 2000, str. 61.

    2. Savin A.P. Metoda geometrijskih mesta / Fakultativni predmet matematika: Udžbenik za 7-9 razred srednje škole. Comp. I.L. Nikolskaya. - M.: Obrazovanje, 1991, str. 74.

    3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometrija: udžbenik za 7-9 razred obrazovnih ustanova. – M.: Mnemosyne, 2005, str. 84.

    4. Sharygin I.F. Geometrija. 7-9 razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove. – M.: Drfa, 1997, str. 76.

    5. Internet izvor: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    Informaciona uzročnost interakcija (neutralizacija entropije), povezana sa procesima refleksije stepena reda (pobuđenosti), posjedovanje univerzalnog sistema prostorno-vremenskih odnosa, alociraju „apsolutni kvant“ u fenomenalni fenomen fizičke prirode. To može biti neočekivano materijalno oličenje te početne aktivne supstance, čiji objektivni idealizam, ...


    Q(y) takvog preseka je jednak, gde se pretpostavlja da je y konstantan tokom integracije. Integrirajući zatim Q(y) u rasponu od y, odnosno od c do d, dolazimo do drugog izraza za dvostruki integral (B). Ovdje se integracija vrši prvo preko x, a zatim preko y. .Formule (A) i (B) pokazuju da se izračunavanje dvostrukog integrala svodi na sekvencijalno izračunavanje dva obična ...

    Geometrija je nauka koja proučava prostorne odnose i oblike objekata.

    Euklidska geometrija je geometrijska teorija zasnovana na sistemu aksioma koji je prvi put izložen u Euklidovim elementima.

    Geometrija Lobačevskog (hiperbolička geometrija)- jedna od neeuklidskih geometrija, geometrijska teorija zasnovana na istim osnovnim pretpostavkama kao i obična euklidska geometrija, sa izuzetkom aksioma paralelnih pravih, koji je zamijenjen aksiomom paralelnih linija Lobačevskog.

    Prava linija ograničena na jednom kraju, a neograničena na drugom zove se zraka.

    Dio prave linije omeđen s obje strane naziva se odsječak.

    Injekcija- Ovo je geometrijska figura koju čine dvije zrake (strane ugla) koje izlaze iz jedne tačke (vrh ugla). Koriste se dvije jedinice mjerenja ugla: radijani i stepeni. Ugao od 90° naziva se pravi ugao; ugao manji od 90° naziva se oštar ugao; Ugao veći od 90° naziva se tupim uglom.

    Susedni uglovi su uglovi koji imaju zajednički vrh i zajedničku stranu; druge dvije strane su produžeci jedne druge. Zbir susjednih uglova je 180°. Vertikalni uglovi su dva ugla sa zajedničkim vrhom, u kojima su stranice jedne produžetke stranica druge.

    Simetrala ugla zove se zraka koja deli ugao na pola.

    Dvije prave se nazivaju paralelnim ako leže u istoj ravni i ne seku se, bez obzira koliko dugo se nastavljaju. Sve prave paralelne jednoj pravoj paralelne su jedna s drugom. Sve okomite na istu pravu su paralelne jedna s drugom, i obrnuto, prava okomita na jednu od paralelnih pravih je okomita na ostale. Dužina okomitog segmenta zatvorenog između dvije paralelne prave je udaljenost između njih. Kada se dvije paralelne prave seku sa trećom pravom, formira se osam uglova koji se u paru nazivaju: odgovarajući uglovi (ovi uglovi su parno jednaki); unutrašnji poprečni uglovi (jednaki su u parovima); vanjski poprečni uglovi (jednaki su u parovima); unutrašnji jednostrani uglovi (njihov zbir je 180°); vanjski jednostrani uglovi (njihov zbir je 180°).

    Talesova teorema. Kada se strane ugla preseku paralelnim linijama, strane ugla se dele na proporcionalne segmente.

    Aksiomi geometrije. Aksiom pripadnosti: kroz bilo koje dvije tačke na ravni može se povući prava linija i, osim toga, samo jedna. Aksiom reda: između bilo koje tri tačke koje leže na pravoj, postoji najviše jedna tačka koja leži između dvije druge.

    Aksiom kongruencije (jednakosti) segmenti i uglovi: ako su dva segmenta (ugla) podudarna sa trećim, onda su kongruentna jedan drugom. Aksiom paralelnih pravih: kroz bilo koju tačku koja leži izvan prave moguće je povući još jednu pravu paralelnu datoj, i to samo jednu.

    Aksioma kontinuiteta (Arhimedova aksioma): za bilo koja dva segmenta AB i CD postoji konačan skup tačaka A1, A2, …, An koje leži na pravoj AB, tako da su segmenti AA1, A1A2, …, An-1An su kongruentni segmentu CD, a tačka B leži između A i An.

    Ravna figura formirana zatvorenim lancem segmenata naziva se poligon.
    U zavisnosti od broja uglova, poligon može biti trougao, četvorougao, petougao, šestougao, itd. Zbir dužina naziva se perimetar i označava se sa p.
    Ako sve dijagonale leže unutar poligona, naziva se konveksan. Zbir unutrašnjih uglova konveksnog poligona je 180°*(n-2), gde je n broj uglova (ili stranica) poligona.

    Trougao je poligon sa tri strane (ili tri ugla). Ako su sva tri ugla oštra, onda je to oštar trougao. Ako je jedan od uglova pravi, onda je to pravougaoni trokut; stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se noge; strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza. Ako je jedan od uglova tup, onda je to tupokutni trokut. Trougao je jednakokraki ako su mu dvije stranice jednake. Trokut je jednakostraničan ako su mu sve stranice jednake.

    U pravouglom trokutu su tačne sledeće relacije:

    Površina pravouglog trougla:

    Radijus upisane kružnice:

    U proizvoljnom trouglu:

    Krug se može upisati u bilo koji pravilan poligon, a krug se može opisati oko njega:

    gdje je a stranica, n je broj stranica poligona, R je poluprečnik opisane kružnice, r je poluprečnik upisane kružnice (apotema pravilnog mnogougla).

    Površina pravilnog poligona:

    Dužine stranica i dijagonala povezane su formulom:

    Osnovna svojstva trouglova:

    • nasuprot veće strane leži veći ugao i obrnuto;
    • suprotne jednake strane su jednaki uglovi i obrnuto;
    • zbir uglova trougla je 180°;
    • nastavljajući jednu od stranica trougla, dobijamo spoljašnji ugao. Vanjski ugao trougla jednak je zbiru unutrašnjih uglova koji nisu susjedni njemu;
    • Bilo koja strana trougla manja je od zbira druge dvije stranice i veća od njihove razlike.

    Znakovi jednakosti trokuta: trokuti su podudarni ako su jednaki:

    • dvije strane i ugao između njih;
    • dva ugla i strana uz njih;
    • tri strane.

    Testovi jednakosti pravokutnog trokuta: dva pravokutna trougla su podudarna ako je jedan od sljedećih uslova tačan:

    • noge su im jednake;
    • kateta i hipotenuza jednog trokuta jednake su kateta i hipotenuze drugog;
    • hipotenuza i oštar ugao jednog trougla jednaki su hipotenuzi i oštrom uglu drugog trougla;
    • kateta i susjedni oštar ugao jednog trougla jednaki su kateta i susjednom oštrom kutu drugog;
    • krak i suprotni oštar ugao jednog trougla jednaki su kateta i suprotnog oštrog ugla drugog.

    Visina trokuta je okomica spuštena iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu (ili njegovu produžetku). Ova stranica se zove osnova trougla. Tri visine trougla se uvek seku u jednoj tački, koja se zove ortocentar trougla. Ortocentar oštrog trougla nalazi se unutar trougla, a ortocentar tupougla je izvan; Ortocentar pravouglog trougla poklapa se sa vrhom pravog ugla.

    Formula za visinu trokuta je:

    Medijan je segment koji povezuje bilo koji vrh trougla sa središtem suprotne strane. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i predstavlja njegovo težište. Ova tačka dijeli svaku medijanu 2:1 od vrha.

    Simetrala- ovo je segment simetrale ugla od vrha do tačke preseka sa suprotnom stranom. Tri simetrale trougla seku se u jednoj tački, koja uvek leži unutar trougla i centar je upisane kružnice. Simetrala dijeli suprotnu stranu na dijelove proporcionalne susjednim stranicama.
    Formula za simetralu trougla je:

    Srednja okomita je okomica povučena iz sredine segmenta (stranice). Tri srednje okomice trougla seku se u jednoj tački, koja je centar opisane kružnice. U oštrom trouglu, ova tačka leži unutar trougla; u tupim - spolja; u pravougaonom - u sredini hipotenuze. Ortocentar, težište, centar opisane kružnice i centar upisane kružnice poklapaju se samo u jednakostraničnom trokutu.

    Pitagorina teorema. U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta: c2 = a2 + b2.

    U opštem slučaju (za proizvoljan trougao) imamo: c2=a2+b2–2?a?b?cosC, gde je C ugao između stranica a i b.

    četvorougao- lik formiran od četiri tačke (vrhova), od kojih tri ne leže na istoj pravoj liniji, i četiri segmenta (stranice) koje ih spajaju u seriju, a ne bi trebalo da se sijeku.

    Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane parno paralelne. Bilo koje dvije suprotne strane paralelograma zovu se njegove baze, a razmak između njih naziva se njegova visina.

    Svojstva paralelograma:

    • suprotne strane paralelograma su jednake;
    • suprotni uglovi paralelograma su jednaki;
    • dijagonale paralelograma su podijeljene na pola u tački njihovog sjecišta;
    • zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbiru kvadrata njegove četiri strane.

    Područje paralelograma:

    Poluprečnik kružnice upisane u paralelogram:

    Pravougaonik je paralelogram sa svim uglovima jednakim 90°.

    Osnovna svojstva pravougaonika.
    Stranice pravougaonika su ujedno i njegove visine.
    Dijagonale pravougaonika su jednake: AC = BD.

    Kvadrat dijagonale pravougaonika jednak je zbiru kvadrata njegovih stranica (prema Pitagorinoj teoremi).

    Površina pravougaonika: S=ab.

    Prečnik pravougaonika:

    Poluprečnik kružnice opisane oko pravougaonika:

    Romb je paralelogram u kojem su sve strane jednake. Dijagonale romba su međusobno okomite i dijele svoje uglove na pola.

    Površina romba se izražava u dijagonalama:

    Kvadrat je paralelogram s pravim uglovima i jednakim stranicama. Kvadrat je istovremeno poseban slučaj pravokutnika i romba, stoga ima sva njihova svojstva navedena gore.

    Površina kvadrata:

    Poluprečnik kružnice opisane oko kvadrata:

    Radijus kružnice upisane u kvadrat:

    Kvadratna dijagonala:

    Trapez je četverougao s dvije suprotne strane paralelne. Paralelne stranice nazivaju se osnove trapeza, a druge dvije stranice. Udaljenost između baza je visina. Segment koji povezuje sredine stranica naziva se središnja linija trapeza. Srednja linija trapeza je polovina zbira baza i paralelna je s njima. Trapez sa jednakim stranicama naziva se jednakokraki trapez. U jednakokrakom trapezu, uglovi na svakoj osnovici su jednaki.

    Područje trapeza: , gdje su a i b osnove, h je visina.

    Srednja linija trougla je segment koji spaja sredine stranica trougla. Srednja linija trougla jednaka je polovini njegove osnove i paralelna je s njom. Ovo svojstvo proizlazi iz svojstva trapeza, budući da se trokut može smatrati slučajem degeneracije trapeza, kada jedna od njegovih osnova postane tačka.

    Sličnost ravnih figura. Ako promijenite sve dimenzije ravne figure isti broj puta (omjer sličnosti), tada se stare i nove figure nazivaju sličnima. Dva poligona su slična ako su im uglovi jednaki, a stranice proporcionalne.

    Znakovi sličnosti trouglova. Dva trokuta su slična ako:

    • svi njihovi odgovarajući uglovi su jednaki (dovoljna su dva ugla);
    • sve njihove strane su proporcionalne;
    • dvije strane jednog trougla su proporcionalne dvjema stranicama drugog, a uglovi uključeni između ovih stranica su jednaki.

    Površine sličnih figura proporcionalne su kvadratima njihovih sličnih linija (npr. stranice, prečnici).

    Lokus tačaka je skup svih tačaka koje zadovoljavaju određene date uslove.

    Krug- Ovo je lokus tačaka na ravni jednako udaljenoj od jedne tačke, koja se naziva središte kružnice. Segment koji povezuje centar kruga sa bilo kojom njegovom tačkom naziva se radijus i označava se - r. Dio ravnine omeđen kružnicom naziva se kružnica. Dio kružnice naziva se luk. Prava linija koja prolazi kroz dvije tačke kruga naziva se sekansa, a njen segment koji leži unutar kruga naziva se tetiva. Tetiva koja prolazi kroz centar kruga naziva se prečnik i označava se d. Prečnik je najveća tetiva, jednaka po veličini sa dva poluprečnika: d = 2r.

    Gdje je a realno, b je imaginarna poluosa.

    Jednačina ravnine u prostoru:
    Ax + By + Cz + D = 0,
    gde su x, y, z pravougaone koordinate promenljive tačke ravni, A, B, C su konstantni brojevi.
    Prava linija koja prolazi kroz tačku kružnice okomitu na poluprečnik povučen do ove tačke naziva se tangenta. Ova tačka se zove tačka kontakta.

    Svojstva tangente:

    • tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke kontakta;
    • iz tačke izvan kruga, dvije tangente se mogu povući u isti krug; njihovi segmenti su jednaki.

    Segment- ovo je dio kruga omeđen lukom i odgovarajućom tetivom. Dužina okomice povučene od sredine tetive do presjeka s lukom naziva se visina segmenta.

    Sektor- ovo je dio kružnice omeđen lukom i dva radijusa povučena na krajeve ovog luka.

    Uglovi u krugu. Centralni ugao je ugao koji čine dva poluprečnika. Upisani ugao je ugao koji čine dve tetive povučene iz njihove zajedničke tačke. Opisani ugao je ugao koji čine dve tangente povučene iz jedne zajedničke tačke.

    Ova formula je osnova za određivanje radijanskog mjerenja uglova. Radijanska mjera bilo kojeg ugla je omjer dužine luka povučenog proizvoljnim radijusom i zatvorenog između strana ovog ugla i njegovog polumjera.

    Odnosi između elemenata kruga.

    Upisani ugao jednak je polovini centralnog ugla na osnovu istog luka. Dakle, svi upisani uglovi zasnovani na istom luku su jednaki. A pošto centralni ugao sadrži isti broj stepeni kao i njegov luk, svaki upisani ugao se meri polovinom luka na koji počiva.

    Svi upisani uglovi zasnovani na polukrugu su pravi uglovi.

    Ugao koji formiraju dvije tetive mjeri se polovinom zbroja lukova zatvorenih između njegovih strana.

    Ugao koji formiraju dvije sekante mjeri se polovičnom razlikom lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Ugao koji formiraju tangenta i tetiva mjeri se polovinom luka zatvorenog unutar njih.

    Ugao koji formiraju tangenta i sekansa mjeri se polovičnom razlikom lukova zatvorenih između njegovih stranica.

    Opisani ugao, formiran sa dve tangente, meri se polovičnom razlikom lukova zatvorenih između njegovih strana.

    Proizvodi odsječaka tetiva na koje su podijeljeni presječnom točkom su jednaki.

    Kvadrat tangente jednak je proizvodu sekansa i njegovog vanjskog dijela.

    Tetiva okomita na prečnik je prepolovljena u tački njihovog preseka.

    Poligon se naziva upisanim u krug, čiji se vrhovi nalaze na kružnici. Poligon opisan u blizini kruga je mnogokut čije su stranice tangente na kružnicu. Prema tome, kružnica koja prolazi kroz vrhove poligona naziva se opisana u blizini poligona; kružnica kojoj su stranice poligona tangente naziva se upisana kružnica. Za proizvoljan poligon, nemoguće je u njega upisati i opisati krug oko njega. Za trougao ova mogućnost uvijek postoji.

    Krug se može upisati u četverokut ako su zbroji njegovih suprotnih strana jednaki. Za paralelograme, to je moguće samo za romb (kvadrat). Središte upisane kružnice nalazi se na presjeku dijagonala. Krug se može opisati oko četvorougla ako je zbir njegovih suprotnih uglova 180°. Za paralelograme, to je moguće samo za pravougaonik (kvadrat). Središte opisane kružnice leži u presjeku dijagonala. Krug se može opisati oko trapeza ako je jednakokračan. Pravilan poligon je mnogougao sa jednakim stranicama i uglovima.

    Pravilan četvorougao je kvadrat; pravougli trokut je jednakostraničan trokut. Svaki ugao pravilnog poligona jednak je 180°(n - 2)/n, gdje je n broj njegovih uglova. Unutar pravilnog mnogougla nalazi se tačka O, jednako udaljena od svih njegovih vrhova, koja se naziva središte pravilnog mnogougla. Središte pravilnog poligona također je jednako udaljeno od svih njegovih strana. Krug se može upisati u pravilan mnogougao i oko njega se može opisati krug. Centri upisanog i opisanog kruga poklapaju se sa središtem pravilnog poligona. Poluprečnik opisane kružnice je poluprečnik pravilnog poligona, a poluprečnik upisane kružnice je njegov apotem.

    Osnovni aksiomi stereometrije.

    Koja god da je ravan, postoje tačke koje pripadaju ovoj ravni i tačke koje ne pripadaju.

    Ako dvije različite ravni imaju zajedničku tačku, onda se sijeku duž prave linije koja prolazi kroz ovu tačku.

    Ako dvije različite prave imaju zajedničku tačku, onda se kroz njih može povući jedna i samo jedna ravan.

    Kroz tri tačke koje leže na jednoj pravoj liniji može se povući beskonačan broj ravni, koje u ovom slučaju čine snop ravnina. Prava linija kroz koju prolaze sve ravnine grede naziva se osa grede. Kroz bilo koju pravu i tačku van ove prave može se povući jedna i samo jedna ravan. Kroz dvije linije nije uvijek moguće nacrtati ravan, tada se te linije nazivaju kosi.

    Prave koje se ukrštaju se ne seku, ma koliko dugo bile nastavljene, ali nisu paralelne, jer ne leže u istoj ravni. Samo paralelne prave su prave koje se ne seku kroz koje se može povući ravan. Razlika između kosih i paralelnih linija je u tome što paralelne prave imaju isti smjer, ali kosine nemaju. Kroz dvije prave koje se ukrštaju uvijek se može povući jedna i samo jedna ravan. Udaljenost između dvije kose linije je dužina segmenta koji povezuje najbliže tačke koje se nalaze na kosim linijama. Ravnine koje se ne seku nazivaju se paralelne ravni. Ravan i prava se ili seku (u jednoj tački) ili ne. U potonjem slučaju kaže se da su prava i ravan paralelne jedna s drugom.

    Okomita ispuštena iz tačke na ravan je segment koji povezuje datu tačku sa tačkom u ravni i ide na pravoj liniji okomitoj na ravan.

    Projekcija tačke na ravan je osnova okomice ispuštene iz tačke na ravan. Projekcija segmenta na ravan P je segment čiji su krajevi projekcije tačaka ovog segmenta.

    Diedarski ugao je lik formiran od dvije poluravnine sa zajedničkom ravnom linijom koja ih ograničava. Poluravnine se nazivaju lica, a prava linija koja ih ograničava naziva se ivica diedralnog ugla. Ravan okomita na ivicu daje ugao u svom preseku sa poluravninama koji se naziva linearni ugao diedralnog ugla. Diedarski ugao se mjeri njegovim linearnim uglom.

    poliedarski ugao. Ako kroz tačku povučemo niz ravnina koje se sukcesivno sijeku duž pravih linija, onda ćemo dobiti lik koji se zove poliedarski ugao. Ravnine koje formiraju poliedarski ugao nazivaju se njegove strane; linije duž kojih se uzastopno seku lica nazivaju se ivice poliedarskog ugla. Minimalni broj strana poliedarskog ugla je tri.

    Paralelne ravni su izrezane na ivicama poliedarskog ugla, proporcionalne segmente i formiraju slične poligone.

    Znakovi paralelizma prave i ravni.

    Ako je prava koja leži izvan ravni paralelna s bilo kojom pravom koja leži u toj ravni, onda je ona paralelna s tom ravninom.

    Ako su prava i ravan okomite na istu pravu, onda su paralelne.

    Znakovi paralelnih ravni:

    • Ako su dve prave koje se seku u jednoj ravni paralelne sa dvema pravima koje se seku u drugoj ravni, onda su ove ravni paralelne.
    • Ako su dvije ravni okomite na istu pravu, onda su paralelne.
    • Znakovi okomitosti prave i ravni.
    • Ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na tu ravan.
    • Ako je ravan okomita na jednu od paralelnih pravih, onda je ona okomita i na drugu.

    Prava linija koja siječe ravan i nije okomita na nju naziva se kosom na ravan.

    Teorema o tri okomice

    Prava linija koja leži u ravni i okomita na projekciju kose ravni na ovu ravan je također okomita na samu kosu.

    Znakovi paralelnih linija u prostoru:

    • Ako su dvije prave okomite na istu ravan, onda su paralelne.
    • Ako jedna od ravnina koja se sijeku sadrži pravu paralelnu drugoj ravni, onda je ona paralelna s linijom presjeka ravnina.

    Jednadžba prave na ravni u pravokutnom koordinatnom sistemu xy:
    ax + bx + c = 0, gdje su a, b, c konstantni brojevi, x i y su koordinate varijabilne tačke M(x,y) na pravoj.

    Znakovi paralelnih linija:

    Znak okomitosti ravnina: ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.

    Teorema o zajedničkoj okomici na dvije kose prave. Za bilo koje dvije prave koje se sijeku postoji samo jedna zajednička okomica.

    Poliedar- ovo je tijelo čija se granica sastoji od komada ravnina (poligona). Ovi poligoni se nazivaju lica, njihove stranice se nazivaju ivicama, njihovi vrhovi su vrhovi poliedra. Segmenti koji spajaju dva vrha, a ne leže na istoj površini nazivaju se dijagonale poliedra. Poliedar je konveksan ako su sve njegove dijagonale unutar njega.

    Kocka- trodimenzionalna figura sa šest jednakih lica.

    Zapremina i površina kocke:

    Prizma je poliedar čije su dvije strane (osnove prizme) jednaki mnogouglovi sa odgovarajućim paralelnim stranicama, a preostale strane su paralelogrami.

    Segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove nazivaju se bočnim ivicama. Visina prizme je svaka okomica koja je spuštena iz bilo koje tačke baze na ravan druge baze. U zavisnosti od oblika mnogougla koji leži u osnovi, prizma može biti trouglasta, četvorougaona, petougaona, šestougaona itd. Ako su bočne ivice prizme okomite na ravan osnove, onda je takva prizma zove se prava linija; inače, to je kosa prizma. Ako pravilan mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada se takva prizma naziva i pravilna. Dijagonala prizme je segment koji spaja dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini.

    Bočna površina ravne prizme:
    S strana \u003d P * H, gdje je P obim baze, a H visina.

    Paralelepiped je prizma čije su osnove paralelogrami. Dakle, paralelepiped ima šest lica i sve su paralelogrami. Suprotna lica su u paru jednaka i paralelna. Paralelepiped ima četiri dijagonale; svi se seku u jednoj tački i u njoj se dele na pola.

    Ako su četiri bočne strane paralelepipeda pravokutnici, onda se naziva pravim. Pravi paralelepiped, u kojem su svih šest lica pravokutni, naziva se pravokutni. Dijagonala pravougaonog paralelepipeda d i njegovi rubovi a, b, c povezani su relacijom d2 = a2 + b2 + c2. Pravougaoni paralelepiped, čija su sva lica kvadrati, naziva se kocka. Sve ivice kocke su jednake.

    Zapremina i površina pravokutnog paralelepipeda:
    V = a*b*c, S ukupno = 2(ab + ac + bc).

    Piramida je poliedar u kojem je jedno lice (osnova piramide) proizvoljan poligon, a preostale strane (bočne strane) su trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji se naziva vrh piramide. Okomica spuštena sa vrha piramide na njenu osnovu naziva se visina piramide. U zavisnosti od oblika poligona koji leži u osnovi, piramida može biti trouglasta, četvorougaona, petougaona, šestougaona, itd. Trouglasta piramida je tetraedar, četvorougaona piramida je pentaedar, itd. ako osnova leži poligon, a njegova visina pada na centar baze. Sve bočne ivice pravilne piramide su jednake; sve bočne strane su jednakokraki trouglovi. Visina bočne strane naziva se apotemom pravilne piramide.

    Ako povučemo presjek paralelan s osnovom piramide, tada se tijelo zatvoreno između ovih ravnina i bočne površine naziva skraćena piramida. Paralelna lica se nazivaju baze; udaljenost između njih je visina. Skraćena piramida se naziva ispravnom ako je tačna piramida iz koje je dobijena. Sve bočne strane pravilne skraćene piramide su jednaki jednakokraki trapezi.

    Bočna površina pravilne piramide:
    , gdje je P obim baze; h je visina bočne strane (apotema pravilne piramide).

    Zapremina krnje piramide:

    Bočna površina pravilne skraćene piramide:
    ,
    gdje su P i P' perimetri baza; h je visina bočne strane (apotema pravilne skraćene piramide).

    Cilindrična površina nastaje pomeranjem prave linije koja zadržava svoj pravac i seče sa datom linijom (krivuljom). Ova linija se zove smjernica. Prave linije koje odgovaraju različitim položajima prave linije dok se kreće nazivaju se generatorima cilindrične površine.

    Cilindar je tijelo omeđeno cilindričnom površinom sa zatvorenom vodilicom i dvije paralelne ravni. Dijelovi ovih ravnina nazivaju se bazama cilindra. Udaljenost između baza je visina cilindra. Cilindar je ravan ako su njegovi generatori okomiti na bazu; inače je cilindar nagnut. Cilindar se naziva kružnim ako mu je osnova kružnica. Ako je cilindar i ravan i okrugao, onda se naziva okruglim. Prizma je poseban slučaj cilindra.

    Zapremina, površina bočnih i punih površina cilindra:
    ,
    gdje je R polumjer baza; H je visina cilindra.

    Cilindrični presjeci bočne površine kružnog cilindra.

    Sekcije paralelne bazi su kružnice istog polumjera.

    Sekcije paralelne sa generatorima cilindra su parovi paralelnih linija.

    Sekcije koje nisu paralelne ni sa bazom ni sa generatorima su elipse.

    Konusna površina nastaje kada se prava linija kreće, prolazeći cijelo vrijeme kroz fiksnu tačku, i siječe datu liniju, koja se zove vodilica. Linije koje odgovaraju različitim pozicijama linije dok se kreće nazivaju se generatričnima konusne površine; tačka je njen vrh. Konusna površina se sastoji od dva dijela: jedan je opisan zrakom, drugi svojim nastavkom.

    Obično se jedan od njegovih dijelova smatra konusnom površinom.

    Kornet- ovo je tijelo omeđeno jednim od dijelova konične površine sa zatvorenom vodilicom i ravninom koja siječe konusnu površinu koja ne prolazi kroz vrh.

    Dio ove ravni koji se nalazi unutar konične površine naziva se baza konusa. Okomito spušteno od vrha do baze naziva se visina konusa.

    Piramida je poseban slučaj konusa. Konus se naziva kružnim ako mu je osnova kružnica. Prava linija koja povezuje vrh konusa sa središtem baze naziva se osa konusa. Ako se visina kružnog konusa poklapa s njegovom osom, onda se takav konus naziva kružnim.

    Zapremina, površina bočne i pune površine stošca:
    ,
    gdje je r poluprečnik; Sosn - područje; P je obim baze; L je dužina generatrise; H je visina konusa.

    Volumen i površina bočne površine krnjeg stošca:

    Konusni presjeci.

    Presjeci kružnog konusa paralelni njegovoj osnovi su kružnice.

    Odsjek koji siječe samo jedan dio kružnog konusa i nije paralelan ni sa jednim od njegovih generatora je elipsa.

    Presjek koji siječe samo jedan dio kružnog konusa i paralelan je s jednim od njegovih generatora je parabola.

    Presjek koji siječe oba dijela kružnog konusa općenito je hiperbola koja se sastoji od dvije grane. Konkretno, ako ovaj odsjek prolazi kroz os konusa, tada ćemo dobiti par linija koje se sijeku (formiraju konus).

    sferna površina- ovo je lokus tačaka u prostoru, jednako udaljen od jedne tačke, koja se naziva središte sferne površine.

    Lopta (sfera) je tijelo omeđeno sferičnom površinom. Lopticu možete dobiti rotirajući polukrug (ili krug) oko prečnika. Svi ravni preseci sfere su kružnice. Najveći krug leži u presjeku koji prolazi kroz centar lopte i naziva se veliki krug. Njegov radijus je jednak poluprečniku sfere. Bilo koja dva velika kruga seku se u prečniku lopte. Ovaj prečnik je ujedno i prečnik velikih krugova koji se sijeku. Kroz dvije tačke sferne površine koje se nalaze na krajevima istog prečnika, može se nacrtati beskonačan broj velikih krugova.

    Zapremina kugle je jedan i po puta manja od zapremine cilindra opisanog oko nje, a površina sfere je jedan i po puta manja od ukupne površine istog cilindra.

    Jednačina sfere u pravougaonom koordinatnom sistemu je:
    (x-x0)+(y-y)2+ (z-z0)=R2,
    ovdje su x, y, z koordinate promjenljive tačke na sferi;
    x0, y0, z0 - koordinate centra;
    R je poluprečnik sfere.

    Zapremina sfere i površina sfere:

    Zapremina sfernog segmenta i površina segmentirane površine:
    ,
    gdje je h visina sfernog segmenta.

    Zapremina i ukupna površina sfernog sektora:
    ,
    gdje je R polumjer lopte; h je visina sfernog segmenta.

    Zapremina i ukupna površina sfernog sloja:
    ,
    gdje je h visina; r1 i r2 su poluprečnici baza sfernog sloja.

    Zapremina i površina torusa:
    ,
    gdje je r polumjer kružnice; R je udaljenost od centra kruga do ose rotacije.

    Prosječna zakrivljenost površine S u tački A0:

    dijelovi lopte. Dio lopte (sfere), odsječen od nje bilo kojom ravninom, naziva se sferni (sferni) segment. Krug se naziva baza sfernog segmenta. Segment okomice povučen od središta kružnice do presjeka sa sfernom površinom naziva se visina sfernog segmenta. Dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravni koje sijeku sfernu površinu naziva se sferni sloj; zakrivljena površina sfernog sloja naziva se sferni pojas (zona). Udaljenost između baza sfernog pojasa je njegova visina. Dio lopte omeđen zakrivljenom površinom sfernog segmenta i konusnom površinom, čija je osnova osnova segmenta, a vrh centar lopte, naziva se sferni sektor.

    Simetrija.

    Zrcalna simetrija. Za geometrijsku figuru se kaže da je simetrična u odnosu na ravan S ako se za svaku tačku E ove figure može naći tačka E' iste figure, tako da je segment EE' okomit na ravan S i podijeljen je sa ovaj avion na pola. Ravan S naziva se ravan simetrije. Simetrične figure, objekti i tijela nisu međusobno jednaki u užem smislu riječi, nazivaju se zrcalno jednaki.

    centralna simetrija. Za geometrijsku figuru se kaže da je simetrična u odnosu na centar C ako se za svaku tačku A ove figure može pronaći tačka E iste figure, tako da segment AE prolazi kroz centar C i u ovoj tački je prepolovljen. Tačka C se u ovom slučaju naziva središtem simetrije.

    simetrija rotacije. Tijelo ima rotacijsku simetriju ako se, kada se rotira za ugao od 360° / n (n je cijeli broj) oko neke prave linije AB (ose simetrije), potpuno poklopi sa svojim početnim položajem. Za n=2 imamo aksijalnu simetriju.

    Primjeri tipova simetrije. Kugla (sfera) ima i centralnu i zrcalnu simetriju i rotacionu simetriju. Centar simetrije je centar lopte; ravan simetrije je ravan bilo kojeg velikog kruga; osa simetrije je prečnik lopte.

    Okrugli konus je aksijalno simetričan; osa simetrije je osa stošca.

    Prava prizma ima zrcalnu simetriju. Ravan simetrije je paralelna sa svojim bazama i nalazi se na istoj udaljenosti između njih.

    Simetrija ravnih figura.

    Simetrija osi ogledala. Ako je ravna figura simetrična u odnosu na ravan (što je moguće samo ako je ravna figura okomita na tu ravan), tada je linija duž koje se te ravnine sijeku osa simetrije drugog reda ove figure. U ovom slučaju, figura se naziva zrcalno-simetrična.

    centralna simetrija. Ako ravna figura ima os simetrije drugog reda, okomitu na ravan figure, tada je tačka u kojoj se prava i ravan figure sijeku centar simetrije.

    Primjeri simetrije ravnih figura.

    Paralelogram ima samo centralnu simetriju. Njegov centar simetrije je presjek dijagonala.
    Jednakokraki trapez ima samo aksijalnu simetriju. Njegova osa simetrije je okomita povučena kroz sredine osnova trapeza.

    Romb ima centralnu i aksijalnu simetriju. Njegova osa simetrije je bilo koja od njegovih dijagonala; centar simetrije je tačka njihovog preseka.

    Lokus tačaka (u daljem tekstu GMT) je ravna figura koja se sastoji od tačaka sa određenim svojstvom, a ne sadrži ni jednu tačku koja nema ovo svojstvo.

    Razmotrit ćemo samo one HMT-ove koji se mogu konstruirati pomoću kompasa i ravnala.

    Razmotrimo HMT na ravni, koji imaju najjednostavnija i najčešće izražena svojstva:

    1) HMT, udaljen na datoj udaljenosti r od date tačke O, je kružnica sa centrom u tački O poluprečnika r.

    2) GMT tačaka A i B jednako udaljenih od dvije date tačke je prava prava okomita na segment AB i prolazi kroz njegovu sredinu.

    3) GMT jednako udaljen od dvije date prave koje se ukrštaju, postoji par međusobno okomitih linija koje prolaze kroz tačku ukrštanja i dijele uglove između datih pravih na pola.

    4) GMT, udaljene na istoj udaljenosti h od prave linije, postoje dvije prave paralelne ovoj pravoj liniji i smještene na suprotnim stranama iste na datoj udaljenosti h.

    5) Geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju datu pravu m u datoj tački M na njoj je okomita na AB u tački M (osim tačke M).

    6) Geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju datu kružnicu u datoj tački M na njoj je prava linija koja prolazi kroz tačku M i centar date kružnice (osim tačaka M i O).

    7) HMT, čiji je ovaj segment vidljiv pod datim uglom, je dva luka kružnica koja su opisana na datom segmentu i obuhvataju dati ugao.

    8) GMT, rastojanja od kojih su do dve date tačke A i B u omjeru m:n, je kružnica (naziva se Apolonijev krug).

    9) Geografsko mjesto središta tetiva povučenih iz jedne tačke kružnice je kružnica izgrađena na segmentu koji vezuje datu tačku sa centrom date kružnice, kao na prečniku.

    10) Geometrijsko mjesto vrhova trougla jednakih datoj veličini i zajedničke osnove su dvije prave paralelne sa osnovicom i koje prolaze kroz vrh datog trougla i simetrične su prema njemu u odnosu na pravu koja sadrži bazu.

    Navedimo primjere pronalaženja GMT.

    PRIMJER 2.Pronađite GMT, koje su sredine akorda,povučen iz jedne tačke date kružnice(GMT br. 9).

    Odluka. Neka je dana kružnica sa centrom O i odabrana tačka A na ovoj kružnici iz koje se povlače tetive. Pokažimo da je željeni HMT krug izgrađen na AO kao prečnik (osim tačke A) (slika 3).

    Neka je AB tetiva, a M njena sredina. Spojimo M i O. Tada MO ^ AB (poluprečnik koji dijeli tetivu na pola je okomit na ovu tetivu). Ali, tada je RAMO = 90 0 . Dakle, M pripada krugu prečnika AO (GMT br. 7). Jer ovaj krug prolazi kroz tačku O, tada O pripada našem GMT.


    Obrnuto, neka M pripada našem GMT. Zatim, povlačeći tetivu AB kroz M i spajajući M i O, dobijamo da je RAMO = 90 0 , tj. MO ^ AB, i, prema tome, M je sredina tetive AB. Ako se M poklapa sa O, tada je O središte AC.

    Često vam metoda koordinata omogućava da pronađete GMT.

    PRIMJER 3.Pronađite GMT, udaljenost od koje su do dvije date tačke A i B u datom omjeru m: n (m ≠ n).

    Odluka. Pravougaoni koordinatni sistem biramo tako da se tačke A i B nalaze na osi Ox simetrično u odnosu na početak koordinata, a osa Oy prolazi sredinom AB (slika 4). Postavljamo AB = 2a. Tada tačka A ima koordinate A (a, 0), tačka B ima koordinate B (-a, 0). Neka C pripada našem HMT-u, koordinate C(x, y) i CB/CA = m/n. Ali Sredstva

    (*)

    Promijenimo našu jednačinu. Imamo

    Tijela se međusobno razlikuju po težini, boji, gustini, tvrdoći, prostoru koji zauzimaju itd.

    Ovi znakovi se nazivaju svojstva tijela.

    Tijela sa ovim svojstvima nazivaju se fizička tijela.

    Između ovih svojstava, svojstvo tijela tzv dužina.

    Dužina tu je svojstvo tijela da zauzima određeno mjesto u prostoru.

    To se zove geometrijsko svojstvo tijela. Ovo svojstvo određuje oblik i veličinu tijela.

    Tijelo koje ima samo jedno svojstvo proširenja naziva se geometrijsko tijelo. S obzirom na geometrijsko tijelo, obratite pažnju samo na njegov oblik i veličinu.

    Preostala svojstva tijela nazivaju se fizičkim.

    geometrijsko tijelo tu je prostor koji zauzima fizičko tijelo.

    Geometrijsko tijelo je ograničeno sa svih strana. Od ostatka prostora je odvojen površinom tijela. Da bi to izrazili, oni kažu ono

    Površina tu je tjelesna granica.

    Jedna površina je odvojena od druge linijom. Linija definira površinu, pa se linija naziva granicom površine.

    Linija tu je površinska granica.

    Kraj linije naziva se tačka. Tačka ograničava i odvaja jednu liniju od druge, zbog čega se tačka naziva granica linije.

    Dot tu je granica linije.

    Na slici 1 prikazano je tijelo u obliku kutije zatvorene sa svih strana. Omeđena je sa šest strana koje čine površinu kutije. Svaka strana kutije može se posmatrati kao zasebna površina. Ove strane su odvojene jedna od druge sa 12 linija koje čine ivice kutije. Linije su odvojene jedna od druge sa 8 tačaka koje čine uglove kutije.

    Tijela, površine i linije nisu iste veličine. To znači da zauzimaju nejednak prostor ili nejednak opseg.

    zapremine tela. Vrijednost geometrijskog tijela naziva se zapremina ili kapacitet tijela.

    površina. Površina se naziva površina.

    Dužina linije. Dužina linije naziva se dužina.

    Dužina, površina i zapremina su heterogene veličine. One se mjere u različitim jedinicama i koriste se u različite svrhe. Da biste pronašli udaljenost dva objekta, širinu kraka, dubinu bunara, visinu tornja, odredite dužinu linije. Za to se vrši samo jedno mjerenje, odnosno mjerenje se vrši u jednom smjeru. Prilikom mjerenja pribjegavajte jedinicama dužine. Ove jedinice dužine nazivaju se versti, saženi, aršini, stope, metri itd. Jedinica dužine ima jednu dimenziju, zbog čega kažu da

    Linije imaju jednu dimenziju. Linije nemaju ni širinu ni debljinu. Iste su dužine.

    Da biste imali ideju o veličini slike, morate znati njenu dužinu i širinu. Dužina i širina daju ideju o površini slike. Da bi se odredila površina, postalo je potrebno napraviti dva mjerenja, odnosno izmjeriti sliku u dva smjera. Da bi se odredila veličina površine, koriste se jedinice površine. Kvadrat se uzima kao jedinica površine, čije stranice imaju određenu jedinicu dužine. Jedinice površine nazivaju se kvadratne milje, kvadratne verste, kvadratne stope itd. Kvadratna versta je površina kvadrata čija je svaka strana jednaka versti, itd. Jedinica površine ima dvije dimenzije: dužina i širina. Pošto se površine mjere u jedinicama površine, u tom smislu i kažu to

    Površine imaju dvije dimenzije. Površine nemaju debljinu. Mogu imati samo dužinu i širinu.

    Da biste imali ideju o kapacitetu sobe ili kutije, morate znati njihove zapremine. Da biste to učinili, morate znati dužinu, širinu i visinu prostorije, odnosno napraviti tri mjerenja ili je izmjeriti u tri smjera. Zapremine se mjere u jedinicama zapremine. Kao jedinica zapremine uzima se kocka, čija je svaka strana jednaka jedan. Jedinice zapremine imaju tri dimenzije: dužinu, širinu i visinu. Pošto se zapremine mere u jedinicama zapremine, to kažemo

    Tijela imaju tri dimenzije.

    Jedinice zapremine se nazivaju kubni versti, kubični stopi, itd. U zavisnosti od dužine stranice kocke.

    Tačka nema dužinu, širinu, visinu, ili tačka nema dimenziju.

    geometrijske ekstenzije. Prave, površine i čvrsta tijela nazivaju se geometrijskim proširenjima.

    Geometrija je nauka o svojstvima i mjerenju geometrijskih produžetaka.

    Geometrija je nauka o prostoru. On postavlja skup neophodnih odnosa vezanih za prirodu prostora.

    Formiranje geometrijskih opsega kretanjem

    Linija se može posmatrati na isti način kao trag koji je ostavljen kretanjem tačke, površina kao trag koji je ostavljen kretanjem linije, a telo kao trag koji je ostavljen kretanjem površine. Druge definicije linije, površine i čvrstog tijela temelje se na ovim razmatranjima.

    Linija je lokus pokretne tačke.

    Površina je lokus pokretne linije.

    Tijelo je lokus pokretne površine.

    Svi predmeti koji se razmatraju u prirodi imaju tri dimenzije. U njemu nema tačaka, nema linija, nema površina, već postoje samo tela. Međutim, u geometriji se tačke, linije i površine razmatraju odvojeno od tijela. U isto vrijeme, vrlo tanka ljuska tijela nam daje neku približnu vizualnu predstavu površine, vrlo tanka nit ili kosa daje nam vizualni prikaz linije, a kraj konca oko tačke.

    linije

    Linije se dijele na prave, izlomljene i krive.

    je najkraća udaljenost između dvije tačke.

    Čvrsto zategnuta tanka nit daje vizualni prikaz prave linije.

    Svaka linija je označena slovima postavljenim u njenim tačkama. Crtež 2 prikazuje pravu liniju AB. U svakoj pravoj liniji pažnja se skreće na njenu smjer i vrijednost.

    Smjer prave linije određen je njenim položajem.

    postoji niz i kontinuirana veza nekoliko pravih linija koje imaju različite smjerove.

    Izlomljena linija ABCD (sl. 3) sastoji se od pravih AB, BC, CD, koje nemaju isti pravac.

    postoji jedna koja se ne može sastaviti od pravih linija.

    Linija prikazana na sl. 4, bit će kriva linija.

    Linija sastavljena od pravih linija i krivih ponekad se naziva složena linija.

    Crtež (4, a) predstavlja takvu složenu liniju.

    površine

    Površine se dijele na ravne ili ravne i zakrivljene. Ravna površina se zove ravan.

    Avion. Površina se naziva ravninom kada svaka ravna linija povučena kroz svake dvije tačke površine leži na njoj sa svim svojim tačkama.

    Kriva površina postoji jedan koji se ne može sastaviti od ravni.

    Prava linija povučena između bilo koje dvije točke krive površine ne stane na nju sa svim njenim međutačkama.

    Neki vizuelni prikaz ravni daje površina dobro uglačanog ogledala ili površina stajaće vode. Primjer zakrivljenih površina je površina bilijarske lopte.

    Sekcije geometrije

    Geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju čvrstog materijala.

    Planimetrija proučava svojstva geometrijskih produžetaka razmatranih na ravni.

    Stereometrija proučava svojstva takvih geometrijskih produžetaka koji se ne mogu predstaviti u jednoj ravni.

    Planimetrija se naziva geometrija na ravni, stereometrija - geometrija u prostoru.

    Geometrija se dalje dijeli na primarnu i višu. U ovom radu prikazana je samo početna geometrija.

    Različiti oblici izražavanja geometrijskih istina

    Geometrijske istine se izražavaju u obliku aksioma, teorema, lema i problema ili zadataka.

    Aksiom postoji istina, ali njeni dokazi ne zahtijevaju dokaz.

    Primjeri istina koje ne zahtijevaju dokaz su sljedeći aksiomi:

      Celina je jednaka zbiru njenih delova.

      Cjelina je veća od svog dijela. Dijelovi su manji od cjeline.

      Dvije količine jednake istoj trećini jednake su jedna drugoj.

      Sabiranjem ili oduzimanjem jednako od jednakih količina, dobijamo jednake količine.

      Sabiranjem ili oduzimanjem od jednakih vrijednosti ne jednako, dobijamo nejednake vrijednosti.

      Sabiranjem ili oduzimanjem jednako od nejednakih vrijednosti, dobijamo nejednake vrijednosti.

      Zbir većih je veći od zbira manjih.

      Homogena veličina, koja nije ni više ni manja od druge, jednaka joj je itd.

    Teorema. Teorema ili pretpostavka je istina koja zahtijeva dokaz..

    Dokaz je skup argumenata koji teoremu čine očiglednom.

    Teorema je dokazana uz pomoć aksioma.

    Sastav teoreme. Svaka teorema se sastoji od uslova i zaključka.

    Stanje se ponekad naziva pretpostavka, pretpostavka, a zaključak se ponekad naziva posljedica. Uslov je dat i stoga ponekad dobije ime dato.

    Teorema se naziva inverznom ako zaključak postane uslov, a uslov ili pretpostavka zaključak. U ovom slučaju, ova teorema se zove direktna. Nema svaka teorema svoj inverz.

    Problem ili izazov postoji pitanje koje se može riješiti uz pomoć teorema.

    Lemma je pomoćna istina koja olakšava dokaz teoreme.

    Niste pronašli odgovor na svoje pitanje? Pogledaj ovdje
    Dvije glave i šest nogu; četiri hodaju, a dvojica mirno ležeDvije glave i šest nogu; četiri hodaju, a dvojica mirno leže
    Samopoštovanje - šta je to: koncept, struktura, vrste i nivoiSamopoštovanje - šta je to: koncept, struktura, vrste i nivoi
    Kasandrin put, ili Pasta Adventures Rat na Zemlji i pod zemljomKasandrin put, ili Pasta Adventures Rat na Zemlji i pod zemljom