Šta je apotema pravilne četvorougaone piramide. Geometrijske figure

Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).

Definicija. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko ima uglova u poligonu.

Definicija. visina piramide je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.

Definicija. Apothem- ovo je okomita bočna strana piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida- Ovo je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.

Zapremina i površina piramide

Formula. zapremina piramide kroz površinu osnove i visinu:

svojstva piramide

Ako su sve bočne ivice jednake, tada se krug može opisati oko osnove piramide, a centar baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).

Ako su sva bočna rebra jednaka, onda su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglovima.

Bočna rebra su jednaka kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.

Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.

Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.

2. Sve bočne ivice su jednake.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim uglovima u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.

5. Površine svih bočnih strana su jednake.

6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.

7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna točka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.

8. Sfera se može upisati u piramidu. Središte upisane sfere bit će presječna tačka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i baze.

9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π / n, gde je n broj uglova u osnovi piramide.

Veza piramide sa sferom

Sfera se može opisati oko piramide kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati kružnica (neophodan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.

Sfera se uvijek može opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.

Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

Veza piramide sa konusom

Konus se naziva upisanim u piramidu ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.

Konus se može upisati u piramidu ako su apotemi piramide jednaki.

Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.

Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.

Veza piramide sa cilindrom

Za piramidu se kaže da je upisana u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.

Cilindar se može opisati oko piramide ako se krug može opisati oko osnove piramide.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma)- Ovo je poliedar koji se nalazi između osnove piramide i ravni preseka paralelne bazi. Dakle, piramida ima veliku osnovu i manju bazu koja je slična većoj. Bočne strane su trapezoidne.

Definicija. Trouglasta piramida (tetraedar)- ovo je piramida u kojoj su tri lica i baza proizvoljni trouglovi.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajednički vrh ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju triedarski ugao.

Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).

Bimedian naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. nagnuta piramida je piramida u kojoj jedna od ivica formira tupi ugao (β) sa bazom.

Definicija. Pravougaona piramida je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na osnovu.

Definicija. Piramida sa oštrim uglom je piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice baze.

Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.

Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar koji ima pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se naziva u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokraki trouglovi.

Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Definicija. zvezdana piramida Poliedar čija je osnova zvijezda naziva se.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide se također mogu odsjeći), imaju zajedničku osnovu, a vrhovi leže na suprotnim stranama osnovne ravni. Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima iz geometrije (odsjek geometrija tijela, zadaci o piramidi). Ako trebate riješiti problem iz geometrije kojeg ovdje nema - pišite o tome na forumu. U zadacima se umjesto simbola "kvadratni korijen" koristi funkcija sqrt (), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Za jednostavne radikalne izraze može se koristiti znak "√"..

Teorijske materijale i formule pogledajte u poglavlju "Regularna piramida".

Zadatak

Apotem pravilne trouglaste piramide je 4 cm, a ugao diedara u osnovi je 60 stepeni. Pronađite zapreminu piramide.

Rješenje.

Pošto je piramida ispravna, razmotrite sljedeće:

• Visina piramide projektovana je na centar osnove
• Središte osnove pravilne piramide prema uslovu zadatka je jednakostranični trougao
• Centar jednakostraničnog trougla je i centar upisane i opisane kružnice.
• Visina piramide formira pravi ugao sa ravninom osnove

Zapreminu piramide možete pronaći pomoću formule:
V = 1/3 Sh

Pošto apotema pravilne piramide formira pravougaoni trougao zajedno sa visinom piramide, koristimo sinusnu teoremu da nađemo visinu. Osim toga, uzmimo u obzir:

• Prvi krak pravokutnog trokuta koji se razmatra je visina, drugi krak je polumjer upisane kružnice (u pravilnom trokutu centar je i centar upisanog i opisanog kruga), hipotenuza je apotem kružnice piramida
• Treći ugao pravouglog trougla je 30 stepeni (zbir uglova trougla je 180 stepeni, ugao od 60 stepeni je dat uslovom, drugi ugao je pravi ugao prema svojstvima piramide , treći je 180-90-60 = 30)
• sinus od 30 stepeni je 1/2
• sinus od 60 stepeni jednak je kvadratnom korijenu od tri
• sinus od 90 stepeni je 1

Prema teoremi sinusa:
4 / sin(90) = h / sin(60) = r / sin(30)
4 = h / (√3 / 2) = 2r
gdje
r=2
h = 2√3

U osnovi piramide leži pravilan trokut, čija se površina može naći po formuli:
S jednakostraničnog trougla = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Sada pronađite zapreminu piramide:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm 3.

Odgovori: 24 cm3.

Zadatak

Visina i stranica osnove pravilne četvorougaone piramide su 24, odnosno 14. Nađite apotem piramide.

Rješenje .

Pošto je piramida pravilna, onda u njenoj osnovi leži pravilan četvorougao - kvadrat. Osim toga, visina piramide je projektovana u centar kvadrata. Dakle, krak pravokutnog trokuta, koji je formiran apotemom piramide, visina i segment koji ih povezuje jednaka je polovini dužine osnove pravilne četverokutne piramide.

Odakle će se, prema Pitagorinoj teoremi, dužina apoteme naći iz jednačine:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Odgovor: 25 cm

• apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena sa njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice, koja je spuštena od sredine pravilnog mnogougla na 1 od njegovih stranica);
• bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji konvergiraju na vrhu;
• bočna rebra ( AS , BS , CS , D.S. ) - zajedničke strane bočnih strana;
• vrh piramide (v. S) - tačka koja spaja bočne ivice i koja ne leži u ravni osnove;
• visina ( SO ) - segment okomice, koji je povučen kroz vrh piramide do ravni njene osnove (krajevi takvog segmenta bit će vrh piramide i osnova okomice);
• dijagonalni presjek piramide- presek piramide, koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
• baza (A B C D) je poligon kojem ne pripada vrh piramide.

svojstva piramide.

1. Kada su sve bočne ivice iste veličine, tada:

• blizu osnove piramide lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• bočna rebra formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom;
• osim toga vrijedi i obrnuto, tj. kada bočne ivice formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom, ili kada se krug može opisati blizu osnove piramide i vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, tada sve bočne ivice piramide imaju iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

• blizu osnove piramide, lako je opisati krug, dok će vrh piramide biti projektovan u centar ovog kruga;
• visine bočnih strana su jednake dužine;
• površina bočne površine je ½ umnožaka opsega baze i visine bočne površine.

3. Sfera se može opisati u blizini piramide ako je osnova piramide poligon oko kojeg se može opisati krug (nužan i dovoljan uslov). Središte sfere će biti tačka presjeka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Prema broju uglova osnove piramide dijele se na trokutaste, četverokutne i tako dalje.

Piramida će trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverougaoni - pentaedar i tako dalje.

Ovdje su prikupljene osnovne informacije o piramidama i srodnim formulama i konceptima. Svi oni se izučavaju sa mentorom matematike u pripremi za ispit.

Zamislite ravan, poligon koja leži u njemu i tačka S koja ne leži u njoj. Povežite S sa svim vrhovima poligona. Rezultirajući poliedar naziva se piramida. Segmenti se nazivaju bočnim rubovima. Poligon se naziva baza, a tačka S se naziva vrh piramide. U zavisnosti od broja n, piramida se naziva trokutasta (n=3), četvorougaona (n=4), petougaona (n=5) i tako dalje. Alternativni naziv za trouglastu piramidu - tetraedar. Visina piramide je okomica povučena od njenog vrha do ravni osnove.

Piramida se naziva ispravnom ako pravilan poligon, a osnova visine piramide (osnova okomice) je njeno središte.

Komentar nastavnika:
Nemojte brkati koncept "pravilne piramide" i "pravilnog tetraedra". U pravilnoj piramidi, bočne ivice nisu nužno jednake ivicama osnove, ali u pravilnom tetraedru svih 6 ivica ivica su jednake. Ovo je njegova definicija. Lako je dokazati da jednakost implicira da je centar P poligona sa visinskom bazom, pa je pravilan tetraedar pravilna piramida.

Šta je apotema?
Apotema piramide je visina njene bočne strane. Ako je piramida pravilna, onda su svi njeni apotemi jednaki. Obrnuto nije tačno.

Nastavnik matematike o njegovoj terminologiji: rad s piramidama je 80% izgrađen kroz dvije vrste trokuta:
1) Sadrži apotemu SK i visinu SP
2) Sadrži bočnu ivicu SA i njenu projekciju PA

Da bi se pojednostavile reference na ove trouglove, zgodnije je da nastavnik matematike imenuje prvi od njih apothemic, i drugo costal. Nažalost, ovu terminologiju nećete naći ni u jednom udžbeniku, a nastavnik je mora uvesti jednostrano.

Formula zapremine piramide:
1) , gdje je površina osnove piramide, a visina piramide
2) , gdje je polumjer upisane sfere, a ukupna površina piramide.
3) , gdje je MN udaljenost bilo koje dvije rubove koja se ukrštaju, a površina paralelograma formiranog sredinama četiri preostale ivice.

Svojstvo osnove visine piramide:

Tačka P (vidi sliku) poklapa se sa središtem upisane kružnice u podnožju piramide ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
1) Sve apoteme su jednake
2) Sve bočne strane su podjednako nagnute prema bazi
3) Sve apoteme su podjednako nagnute prema visini piramide
4) Visina piramide je podjednako nagnuta prema svim bočnim stranama

Komentar nastavnika matematike: imajte na umu da su sve tačke ujedinjene jednim zajedničkim svojstvom: na ovaj ili onaj način, bočne strane učestvuju svuda (apoteme su njihovi elementi). Stoga nastavnik može ponuditi manje preciznu, ali prikladniju formulaciju za pamćenje: tačka P se poklapa sa centrom upisane kružnice, osnovom piramide, ako postoje jednake informacije o njenim bočnim stranama. Da bismo to dokazali, dovoljno je pokazati da su svi apotemski trouglovi jednaki.

Tačka P poklapa se sa središtem opisane kružnice blizu osnove piramide, ako je jedan od tri uslova tačan:
1) Sve bočne ivice su jednake
2) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema bazi
3) Sva bočna rebra su podjednako nagnuta prema visini

Za uspješno rješavanje problema iz geometrije potrebno je jasno razumjeti pojmove koje ova nauka koristi. Na primjer, to su "prava linija", "ravan", "poliedar", "piramida" i mnogi drugi. U ovom članku ćemo odgovoriti na pitanje šta je apotema.

Dvostruka upotreba izraza "apotema"

U geometriji, značenje riječi "apothem" ili "apoteme", kako se još naziva, ovisi o tome na koji se objekt primjenjuje. Postoje dvije fundamentalno različite klase figura u kojima je to jedna od njihovih karakteristika.

Prije svega, ovo su ravni poligoni. Šta je apotema za poligon? Ovo je visina povučena od geometrijskog središta figure do bilo koje njene strane.

Da bi vam bilo jasnije o čemu je riječ, razmotrite konkretan primjer. Pretpostavimo da postoji pravilan šestougao prikazan na slici ispod.

Simbol l označava dužinu njegove stranice, slovo a označava apotemu. Za označeni trougao, to nije samo visina, već i simetrala i medijana. Lako je pokazati da se u smislu strane l može izračunati na sljedeći način:

Slično, apotema je definirana za bilo koji n-ugao.

Drugi su piramide. Šta je apotema za takvu figuru? Ovo pitanje zahtijeva detaljnije razmatranje.

na ovu temu: Kako da vaše trepavice budu duge i guste za samo mesec dana?

Piramide i njihova apotema

Prvo, hajde da definišemo piramidu u smislu geometrije. Ova figura je trodimenzionalno tijelo formirano od jednog n-ugla (baza) i n trouglova (strana). Potonji su povezani u jednoj tački, koja se zove vrh. Udaljenost od nje do baze je visina figure. Ako pada na geometrijsko središte n-ugla, tada se piramida naziva ravna. Ako, osim toga, n-ugao ima jednake uglove i stranice, tada se figura naziva pravilna. Ispod je primjer piramide.

Šta je apotema za takvu figuru? Ovo je okomica koja povezuje strane n-ugla sa vrhom figure. Očigledno, predstavlja visinu trougla, koji je stranica piramide.

Apotema je pogodna za korištenje pri rješavanju geometrijskih problema s pravilnim piramidama. Činjenica je da su za njih sve bočne strane jednake jedna drugoj jednakokračni trokuti. Posljednja činjenica znači da su svih n apotema jednaki, tako da za pravilnu piramidu možemo govoriti o jednoj takvoj pravoj liniji.

Apotem četvorougaone piramide tačan

Možda će najočitiji primjer ove figure biti poznato prvo svjetsko čudo - Keopsova piramida. Ona je u Egiptu.

Za svaku takvu figuru sa pravilnom n-gonalnom bazom mogu se dati formule koje omogućavaju da se odredi njegov apotem u smislu dužine a stranice poligona, u smislu bočne ivice b i visine h. Ovdje pišemo odgovarajuće formule za ravnu piramidu s kvadratnom bazom. Apotema h b za to će biti jednaka:

na ovu temu: Zastava Baškirije - opis, simbolika i istorija

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

Prvi od ovih izraza vrijedi za bilo koju pravilnu piramidu, drugi - samo za četverokutnu.

Pokažimo kako se ove formule mogu koristiti za rješavanje problema.

geometrijski problem

Neka je data ravna piramida sa kvadratnom osnovom. Potrebno je izračunati njegovu osnovnu površinu. Apotema piramide je 16 cm, a njena visina je 2 puta veća od stranice osnove.

Svaki učenik zna: da biste pronašli površinu kvadrata, koji je osnova razmatrane piramide, trebate znati njegovu stranu a. Da bismo ga pronašli, koristimo sljedeću formulu za apotemu:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)

Značenje apoteme je poznato iz uslova problema. Pošto je visina h dvostruka dužina stranice a, ovaj izraz se može pretvoriti na sljedeći način:

h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>

a = 2*h b /√17

Površina kvadrata jednaka je umnošku njegovih stranica. Zamjenom rezultirajući izraz za a, imamo:

S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2

Ostaje zamijeniti vrijednost apoteme iz uvjeta zadatka u formulu i zapisati odgovor: S ≈ 60,2 cm 2.

Pročitajte također: