Ono što se naziva rješenjem linearne jednačine. Kako riješiti kubnu jednačinu? Princip rješavanja linearnih jednačina

Prilikom rješavanja linearnih jednadžbi nastojimo pronaći korijen, odnosno vrijednost za varijablu koja će jednadžbu pretvoriti u ispravnu jednakost.

Da biste pronašli korijen jednačine koja vam je potrebna ekvivalentne transformacije dovode jednačinu koja nam je data u formu

\(x=[broj]\)

Ovaj broj će biti korijen.

Odnosno, transformišemo jednačinu, olakšavajući je svakim korakom, sve dok je ne svedemo na potpuno primitivnu jednačinu „x = broj“, gde je koren očigledan. U rješavanju linearnih jednadžbi najčešće se koriste sljedeće transformacije:

Na primjer: dodati \(5\) na obje strane jednačine \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Imajte na umu da bismo mogli dobiti isti rezultat brže - jednostavnim pisanjem pet na drugoj strani jednačine i promjenom njenog predznaka u procesu. Zapravo, upravo tako se radi u školi „prelazak kroz jednake sa promjenom predznaka u suprotno”.

2. Množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim brojem ili izrazom.

Na primjer: Podijelite jednačinu \(-2x=8\) sa minus dva

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Obično se ovaj korak radi na samom kraju, kada je jednadžba već svedena na \(ax=b\), i dijelimo sa \(a\) da bismo je uklonili s lijeve strane.

3. Korištenje svojstava i zakona matematike: otvaranje zagrada, smanjenje sličnih članova, smanjenje razlomaka itd.

Dodajte \(2x\) lijevo i desno

Oduzmi \(24\) sa obje strane jednačine

Opet, predstavljamo slične termine

Sada dijelimo jednačinu sa \ (-3 \), čime uklanjamo ispred x na lijevoj strani.

Odgovori : \(7\)

Odgovor pronađen. Međutim, hajde da to proverimo. Ako je sedam zaista korijen, tada bi njegova zamjena umjesto x u originalnoj jednadžbi trebala rezultirati ispravnom jednakošću - istim brojevima lijevo i desno. Trudimo se.

pregled:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Dogovoreno. To znači da je sedam zaista korijen originalne linearne jednadžbe.

Ne budite lijeni provjeriti odgovore koje ste pronašli zamjenom, pogotovo ako rješavate jednačinu na testu ili ispitu.

Ostaje pitanje - kako odrediti šta učiniti s jednačinom u sljedećem koraku? Kako to tačno pretvoriti? Podijeliti nešto? Ili oduzeti? I šta tačno oduzeti? Šta podijeliti?

Odgovor je jednostavan:

Vaš cilj je da jednačinu dovedete u oblik \(x=[broj]\), odnosno na lijevoj strani x bez koeficijenata i brojeva, a na desnoj - samo broj bez varijabli. Pa vidite šta vas sprečava i rade suprotno od onoga što radi ometajuća komponenta.

Da bismo ovo bolje razumjeli, uzmimo korak po korak rješenje linearne jednačine \(x+3=13-4x\).

Razmislimo: kako se ova jednačina razlikuje od \(x=[broj]\)? Šta nas sprečava? Sta nije u redu?

Pa, prvo, trojka ometa, pošto bi na lijevoj strani trebao biti samo usamljeni X, bez brojeva. A šta radi trio? Dodato do xx. Dakle, da ga uklonite - oduzimati isti trio. Ali ako oduzmemo trojku s lijeve strane, onda je moramo oduzeti od desne strane kako se jednakost ne bi narušila.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Dobro. Šta te sada sprečava? \(4x\) na desnoj strani, jer treba da sadrži samo brojeve. \(4x\) oduzeto- ukloniti dodavanje.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sada dajemo slične pojmove lijevo i desno.

Skoro je spreman. Ostaje ukloniti pet s lijeve strane. Šta to ona radi"? umnožava se na x. Zato ga uklanjamo divizije.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Rješenje je potpuno, korijen jednadžbe je dva. Možete provjeriti zamjenom.

primeti, to najčešće postoji samo jedan korijen u linearnim jednačinama. Međutim, mogu se pojaviti dva posebna slučaja.

Specijalni slučaj 1 - nema korijena u linearnoj jednadžbi.

Primjer . Riješite jednačinu \(3x-1=2(x+3)+x\)

Rješenje :

Odgovori : bez korijena.

Zapravo, činjenica da ćemo doći do takvog rezultata vidjelo se i ranije, čak i kada smo dobili \(3x-1=3x+6\). Razmislite o tome: kako \(3x\) može biti jednako, od čega je \(1\) oduzeto, a \(3x\) kojem je dodano \(6\)? Očigledno, nema šanse, jer su radili različite akcije sa istom stvari! Jasno je da će se rezultati razlikovati.

Specijalni slučaj 2 - linearna jednačina ima beskonačan broj korijena.

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Rješenje :

Odgovori : bilo koji broj.

Inače, to je bilo primjetno još ranije, u fazi: \(8x+12=8x+12\). Zaista, lijevo i desno su isti izrazi. Koji god x da zamenite, postojaće isti broj i tamo i tamo.

Složenije linearne jednadžbe.

Originalna jednačina ne izgleda uvijek odmah kao linearna, ponekad je „prikrivena“ u druge, složenije jednačine. Međutim, u procesu transformacije, maskiranje jenjava.

Primjer . Pronađite korijen jednadžbe \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Rješenje :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Čini se da ovdje postoji x na kvadrat - ovo nije linearna jednadžba! Ali ne žuri. Prijavite se
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Zašto je rezultat proširenja \((x-4)^(2)\) u zagradama, a rezultat \((3+x)^(2)\) nije? Jer ispred prvog kvadrata postoji minus, koji će promijeniti sve znakove. A kako ne bismo zaboravili na to, rezultat uzimamo u zagrade, koje sada otvaramo.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Dajemo slične uslove
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Opet, evo sličnih.
		Volim ovo. Ispostavilo se da je originalna jednadžba prilično linearna, a x na kvadrat nije ništa drugo do ekran koji nas zbunjuje. :) Rješenje kompletiramo dijeljenjem jednačine sa \(2\), i dobijamo odgovor.

Odgovori : \(x=5\)

Primjer . Riješite linearnu jednačinu \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Rješenje :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Jednačina ne liči na linearnu, neki razlomci... Međutim, riješimo se imenilaca tako što ćemo oba dijela jednačine pomnožiti sa zajedničkim nazivnikom svih - šest
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Otvorena zagrada na lijevoj strani
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sada smanjujemo nazivnike
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sada izgleda kao obična linearna! Hajde da to rešimo.
		Prenošenjem kroz jednake, skupljamo x na desnoj strani, a brojeve na lijevoj strani

		Pa, dijeleći sa \ (-4 \) desni i lijevi dio, dobijamo odgovor

Odgovori : \(x=-1,25\)

Linearna jednačina je algebarska jednačina čiji je puni stepen polinoma jednak jedan. Rješavanje linearnih jednačina dio je školskog programa i nije najteže. Međutim, neki i dalje imaju poteškoća u prolasku ove teme. Nadamo se da će nakon čitanja ovog materijala sve poteškoće za vas ostati u prošlosti. Pa, hajde da shvatimo. kako riješiti linearne jednadžbe.

Opšti oblik

Linearna jednačina je predstavljena kao:

ax + b = 0, gdje su a i b bilo koji brojevi.

Iako a i b mogu biti bilo koji broj, njihove vrijednosti utječu na broj rješenja jednadžbe. Postoji nekoliko posebnih slučajeva rješenja:

Ako je a=b=0, jednačina ima beskonačan broj rješenja;
Ako je a=0, b≠0, jednačina nema rješenja;
Ako je a≠0, b=0, jednačina ima rješenje: x = 0.

U slučaju da oba broja imaju vrijednosti različite od nule, jednačina se mora riješiti kako bi se izveo konačni izraz za varijablu.

Kako odlučiti?

Rješavanje linearne jednačine znači pronalaženje kojoj je varijabla jednaka. Kako uraditi? Da, vrlo je jednostavno - korištenjem jednostavnih algebarskih operacija i pridržavanjem pravila prijenosa. Ako se jednadžba pojavila pred vama u opštem obliku, imate sreće, sve što trebate učiniti je:

Premjestite b na desnu stranu jednačine, ne zaboravljajući promijeniti predznak (pravilo prijenosa!), Dakle, iz izraza oblika ax + b = 0, treba dobiti izraz oblika ax = -b.
Primijenite pravilo: da biste pronašli jedan od faktora (x - u našem slučaju), trebate podijeliti proizvod (-b u našem slučaju) sa drugim faktorom (a - u našem slučaju). Dakle, treba dobiti izraz oblika: x \u003d -b / a.

To je sve - rešenje je pronađeno!

Pogledajmo sada konkretan primjer:

2x + 4 = 0 - pomjeriti b, što je u ovom slučaju 4, udesno
2x = -4 - podijeliti b sa a (ne zaboravite znak minus)
x=-4/2=-2

To je sve! Naše rješenje: x = -2.

Kao što vidite, pronalaženje rješenja linearne jednadžbe s jednom promjenljivom je prilično jednostavno, ali sve je tako jednostavno ako imamo sreće da jednadžbu ispunimo u općem obliku. U većini slučajeva, prije rješavanja jednačine u dva gore opisana koraka, također je potrebno postojeći izraz dovesti u opći oblik. Međutim, to također nije zastrašujući zadatak. Pogledajmo neke posebne slučajeve s primjerima.

Rješavanje posebnih slučajeva

Prvo, pogledajmo slučajeve koje smo opisali na početku članka i objasnimo šta znači imati beskonačan broj rješenja, a nema rješenja.

Ako je a=b=0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 0 = 0. Izvođenjem prvog koraka dobijamo: 0x = 0. Šta znači ova glupost, uzviknete! Uostalom, bez obzira koji broj pomnožite sa nulom, uvijek ćete dobiti nulu! Tačno! Stoga kažu da jednadžba ima beskonačan broj rješenja - koji god broj da uzmete, jednakost će biti istinita, 0x = 0 ili 0 = 0.
Ako je a=0, b≠0, jednačina će izgledati ovako: 0x + 3 = 0. Izvodimo prvi korak, dobijamo 0x = -3. Opet gluposti! Očigledno je da ova jednakost nikada neće biti istinita! Zato kažu da jednačina nema rješenja.
Ako je a≠0, b=0, jednačina će izgledati ovako: 3x + 0 = 0. Prvim korakom dobijamo: 3x = 0. Koje je rješenje? Lako je, x = 0.

Poteškoće u prevođenju

Opisani konkretni slučajevi nisu sve čime nas linearne jednačine mogu iznenaditi. Ponekad je jednadžba općenito teško identificirati na prvi pogled. Uzmimo primjer:

12x - 14 = 2x + 6

Je li ovo linearna jednadžba? Ali šta je sa nulom na desnoj strani? Nećemo žuriti sa zaključcima, mi ćemo djelovati - sve komponente naše jednadžbe ćemo prenijeti na lijevu stranu. Dobijamo:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sada oduzimanjem sličnog od sličnog, dobijamo:

10x - 20 = 0

Naučio? Najlinearnija jednačina ikada! Čije rješenje: x = 20/10 = 2.

Šta ako imamo ovaj primjer:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Da, ovo je također linearna jednadžba, samo je potrebno uraditi još transformacija. Prvo proširimo zagrade:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sada izvršite prijenos:
25x - 4 = 0 - ostaje pronaći rješenje prema već poznatoj shemi:
25x=4
x = 4/25 = 0,16

Kao što vidite, sve je riješeno, glavna stvar je ne brinuti, već djelovati. Zapamtite, ako vaša jednadžba sadrži samo varijable prvog stepena i brojeve, ovo je linearna jednačina, koja se, bez obzira kako izgleda u početku, može svesti na opći oblik i riješiti. Nadamo se da će vam sve uspjeti! Sretno!

Jednakost sa varijablom naziva se jednadžba.
Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje skupa njenih korijena. Jednačina može imati jedan, dva, nekoliko, više korijena ili uopće nijedan.
Svaka vrijednost varijable pri kojoj se data jednadžba pretvara u pravu jednakost naziva se korijenom jednačine.
Jednačine koje imaju iste korijene nazivaju se ekvivalentne jednačine.
Bilo koji član jednačine može se prenijeti iz jednog dijela jednakosti u drugi, uz promjenu predznaka člana u suprotan.
Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, onda se dobije jednačina koja je ekvivalentna ovoj jednačini.

Primjeri. Riješite jednačinu.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Sakupili smo pojmove koji sadrže varijablu na lijevoj strani jednakosti, a slobodne članove na desnoj strani jednakosti. Korištena je sljedeća imovina:

1,2x = -6. Slične termine donijeli smo po pravilu:

x = -6 : 1.2. Oba dijela jednakosti podijeljena su koeficijentom varijable, pošto

x = -5. Podijeljeno prema pravilu dijeljenja decimalnog razlomka s decimalnim razlomkom:

da biste broj podijelili decimalom, trebate pomaknuti zareze u djelitelju i djelitelju onoliko cifara udesno koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijeliti prirodnim brojem:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

odgovor: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Otvorili smo zagrade koristeći distributivni zakon množenja u odnosu na oduzimanje: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Sakupili smo pojmove koji sadrže varijablu na lijevoj strani jednakosti, a slobodne članove na desnoj strani jednakosti. Korištena je sljedeća imovina: bilo koji član jednačine može se prenijeti iz jednog dijela jednakosti u drugi, uz promjenu predznaka člana u suprotan.

2x \u003d 11. Donijeli su slične pojmove prema pravilu: da biste doveli slične pojmove, potrebno je da saberete njihove koeficijente i rezultat pomnožite sa njihovim zajedničkim slovnim delom (tj. rezultatu dodate njihov zajednički slovni deo).

x = 11 : 2. Oba dijela jednakosti podijeljena su koeficijentom varijable, pošto ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, onda se dobije jednačina koja je ekvivalentna ovoj jednačini.

odgovor: 5,5.

3. 7x-(3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Zagrade smo otvorili po pravilu otvaranja zagrada, kojima prethodi znak "-": ako se ispred zagrada nalazi znak „-“, tada uklanjamo zagrade, znak „-“ i upisujemo pojmove u zagrade sa suprotnim predznacima.

7x-2x-x \u003d -9 + 3. Sakupili smo pojmove koji sadrže varijablu na lijevoj strani jednakosti, a slobodne članove na desnoj strani jednakosti. Korištena je sljedeća imovina: bilo koji član jednačine može se prenijeti iz jednog dijela jednakosti u drugi, uz promjenu predznaka člana u suprotan.

4x = -6. Slične termine donijeli smo po pravilu: da biste doveli slične pojmove, potrebno je da saberete njihove koeficijente i rezultat pomnožite sa njihovim zajedničkim slovnim delom (tj. rezultatu dodate njihov zajednički slovni deo).

x = -6 : 4. Oba dijela jednakosti podijeljena su koeficijentom varijable, pošto ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije nula, onda se dobije jednačina koja je ekvivalentna ovoj jednačini.

odgovor: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Pomnožite obje strane jednačine sa 12 - najmanjim zajedničkim nazivnikom za nazivnike ovih razlomaka.

3x-15 = 84-8x+44. Otvorili smo zagrade koristeći distributivni zakon množenja u odnosu na oduzimanje: da biste razliku dva broja pomnožili trećim brojem, možete odvojeno umanjeno i odvojeno oduzeto pomnožiti trećim brojem, a zatim od prvog rezultata oduzeti drugi rezultat, tj.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Sakupili smo pojmove koji sadrže varijablu na lijevoj strani jednakosti, a slobodne članove na desnoj strani jednakosti. Korištena je sljedeća imovina: bilo koji član jednačine može se prenijeti iz jednog dijela jednakosti u drugi, uz promjenu predznaka člana u suprotan.

U ovom članku razmatramo princip rješavanja takvih jednadžbi kao linearne jednadžbe. Zapišimo definiciju ovih jednačina i postavimo opći oblik. Analiziraćemo sve uslove za pronalaženje rešenja linearnih jednačina, koristeći između ostalog i praktične primere.

Imajte na umu da materijal u nastavku sadrži informacije o linearnim jednačinama s jednom promjenljivom. Linearne jednadžbe s dvije varijable razmatraju se u posebnom članku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta je linearna jednačina

Definicija 1

Linearna jednačina je jednadžba napisana ovako:
a x = b, gdje x- varijabilna, a i b- neki brojevi.

Ovu formulaciju koristi u udžbeniku algebre (7. razred) Yu.N. Makarychev.

Primjer 1

Primjeri linearnih jednadžbi bi bili:

3x=11(jedna varijabla jednačina x at a = 5 i b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( linearna jednačina sa promenljivom y, gdje a \u003d - 3, 1 i b = 0);

x = -4 i − x = 5 , 37(linearne jednačine, gdje je broj a napisano eksplicitno i jednako 1 i - 1, respektivno. Za prvu jednačinu b = - 4 ; za drugi - b = 5, 37) itd.

Različiti nastavni materijali mogu sadržavati različite definicije. Na primjer, Vilenkin N.Ya. linearno uključuje i one jednačine koje se mogu transformisati u oblik a x = b prenošenjem pojmova iz jednog dijela u drugi uz promjenu znaka i donošenjem sličnih pojmova. Ako slijedimo ovu interpretaciju, jednačina 5 x = 2 x + 6 – takođe linearni.

A evo i udžbenika algebre (7. razred) Mordkovich A.G. specificira sljedeći opis:

Definicija 2

Linearna jednadžba s jednom promjenljivom x je jednačina oblika a x + b = 0, gdje a i b su neki brojevi, koji se nazivaju koeficijenti linearne jednačine.

Primjer 2

Primjer linearnih jednadžbi ove vrste može biti:

3 x - 7 = 0 (a = 3 , b = - 7) ;

1 , 8 y + 7 , 9 = 0 (a = 1 , 8 , b = 7 , 9) .

Ali postoje i primjeri linearnih jednadžbi koje smo već koristili gore: a x = b, na primjer, 6 x = 35.

Odmah ćemo se složiti da ćemo u ovom članku, pod linearnom jednadžbom sa jednom promenljivom, razumeti jednačinu pisanja a x + b = 0, gdje x– varijabilna; a , b su koeficijenti. Ovaj oblik linearne jednačine vidimo kao najopravdaniji, jer su linearne jednačine algebarske jednačine prvog stepena. I ostale gore navedene jednačine i jednačine date ekvivalentnim transformacijama u oblik a x + b = 0, definiramo kao jednadžbe koje se svode na linearne jednačine.

Sa ovim pristupom, jednačina 5 x + 8 = 0 je linearna, i 5 x = −8- jednačina koja se svodi na linearnu.

Princip rješavanja linearnih jednačina

Razmislite kako odrediti da li će data linearna jednadžba imati korijene i, ako ima, koliko ih i kako ih odrediti.

Definicija 3

Činjenica prisutnosti korijena linearne jednadžbe određena je vrijednostima koeficijenata a i b. Napišimo ove uslove:

at a ≠ 0 linearna jednadžba ima jedan korijen x = - b a ;
at a = 0 i b ≠ 0 linearna jednadžba nema korijena;
at a = 0 i b = 0 linearna jednadžba ima beskonačno mnogo korijena. Zapravo, u ovom slučaju, bilo koji broj može postati korijen linearne jednadžbe.

Hajde da damo objašnjenje. Znamo da je u procesu rješavanja jednadžbe moguće transformirati datu jednačinu u ekvivalentnu, što znači da ima iste korijene kao izvorna jednačina, ili također nema korijen. Možemo napraviti sljedeće ekvivalentne transformacije:

premjestiti pojam iz jednog dijela u drugi, mijenjajući znak u suprotan;
pomnožite ili podijelite obje strane jednačine istim brojem koji nije nula.

Tako ćemo transformisati linearnu jednačinu a x + b = 0, pomjerajući termin b sa lijeve strane na desnu stranu sa promjenom znaka. Dobijamo: a · x = - b .

Dakle, dijelimo oba dijela jednačine brojem koji nije nula a,što rezultira jednakošću oblika x = - b a . Odnosno kada a ≠ 0 originalna jednadžba a x + b = 0 je ekvivalentna jednakosti x = - b a , u kojoj je korijen - b a očigledan.

Nasuprot tome, moguće je pokazati da je pronađeni korijen jedini. Postavili smo oznaku pronađenog korijena - b a as x 1 . Pretpostavimo da postoji još jedan korijen linearne jednadžbe s notacijom x 2 . I naravno: x 2 ≠ x 1, a ovo je zauzvrat, na osnovu definicije jednakih brojeva kroz razliku, ekvivalentno uslovu x 1 - x 2 ≠ 0. S obzirom na gore navedeno, možemo sastaviti sljedeće jednakosti zamjenom korijena:
a x 1 + b = 0 i a · x 2 + b = 0 .
Svojstvo brojčanih jednakosti omogućava da se oduzimanje dijelova jednakosti po članu izvodi:

a x 1 + b - (a x 2 + b) = 0 - 0, odavde: a (x 1 - x 2) + (b - b) = 0 i šire a (x 1 - x 2) = 0 . Jednakost a (x 1 − x 2) = 0 je netačan, budući da je uslov prethodno dat a ≠ 0 i x 1 - x 2 ≠ 0. Dobivena kontradikcija služi kao dokaz da pri a ≠ 0 linearna jednačina a x + b = 0 ima samo jedan korijen.

Potkrijepimo još dvije klauzule uslova koji sadrže a = 0 .

Kada a = 0 linearna jednačina a x + b = 0 biće napisano kao 0 x + b = 0. Svojstvo množenja broja sa nulom daje nam pravo da tvrdimo da bez obzira koji broj se uzima kao x, zamjenjujući ga u jednakost 0 x + b = 0, dobijamo b = 0 . Jednakost vrijedi za b = 0; u drugim slučajevima kada b ≠ 0 jednakost postaje nevažeća.

Dakle, kada a = 0 i b = 0 , bilo koji broj može biti korijen linearne jednadžbe a x + b = 0, budući da pod ovim uslovima, zamena umesto x bilo koji broj, dobijamo tačnu brojčanu jednakost 0 = 0 . Kada a = 0 i b ≠ 0 linearna jednačina a x + b = 0 uopće neće imati korijene, jer pod navedenim uvjetima zamjenjuje umjesto x bilo koji broj, dobijamo netačnu brojčanu jednakost b = 0.

Sva gornja razmišljanja nam pružaju priliku da napišemo algoritam koji omogućava pronalaženje rješenja bilo koje linearne jednačine:

prema vrsti zapisa određujemo vrijednosti koeficijenata a i b i analizirati ih;
at a = 0 i b = 0 jednadžba će imati beskonačno mnogo korijena, tj. bilo koji broj će postati korijen date jednadžbe;
at a = 0 i b ≠ 0
at a, različito od nule, počinjemo tražiti jedini korijen originalne linearne jednadžbe:

koeficijent prenosa b na desnu stranu s promjenom predznaka u suprotan, dovodeći linearnu jednačinu u oblik a x = −b;
podijeliti oba dijela rezultirajuće jednakosti brojem a, što će nam dati željeni korijen date jednadžbe: x = - b a .

Zapravo, opisani slijed radnji je odgovor na pitanje kako pronaći rješenje linearne jednačine.

Konačno, pojašnjavamo te jednačine oblika a x = b rješavaju se sličnim algoritmom s jedinom razlikom što je broj b u takvom zapisu je već prebačen na željeni dio jednačine i kada a ≠ 0 možete odmah podijeliti dijelove jednačine brojem a.

Dakle, pronaći rješenje jednačine a x = b, koristimo sljedeći algoritam:

at a = 0 i b = 0 jednadžba će imati beskonačno mnogo korijena, tj. bilo koji broj može postati njegov korijen;
at a = 0 i b ≠ 0 data jednadžba neće imati korijene;
at a, nije jednako nuli, obje strane jednačine su djeljive brojem a, što omogućava pronalaženje jednog korijena koji je jednak b a.

Primjeri rješavanja linearnih jednačina

Primjer 3

Potrebno je riješiti linearnu jednačinu 0 x - 0 = 0.

Rješenje

Pisanjem date jednačine to vidimo a = 0 i b = -0(ili b = 0što je isto). Dakle, data jednadžba može imati beskonačno mnogo korijena ili bilo koji broj.

odgovor: x- bilo koji broj.

Primjer 4

Potrebno je utvrditi da li jednačina ima korijen 0 x + 2, 7 = 0.

Rješenje

Iz zapisa utvrđujemo da je a = 0, b = 2, 7. Dakle, data jednadžba neće imati korijene.

odgovor: originalna linearna jednadžba nema korijen.

Primjer 5

Zadana je linearna jednačina 0 , 3 x − 0 , 027 = 0 . To treba riješiti.

Rješenje

Pisanjem jednačine utvrđujemo da je a \u003d 0, 3; b = - 0 , 027 , što nam omogućava da tvrdimo da data jednadžba ima jedan korijen.

Prateći algoritam, prenosimo b na desnu stranu jednačine, mijenjajući predznak, dobijamo: 0,3 x = 0,027. Zatim dijelimo oba dijela rezultirajuće jednakosti sa = 0, 3, zatim: x = 0, 027 0, 3.

Podijelimo decimale:

0,027 0,3 = 27300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Dobijeni rezultat je korijen date jednadžbe.

Ukratko napišite rješenje na sljedeći način:

0, 3 x - 0, 027 = 0, 0, 3 x = 0, 027, x = 0, 027 0, 3, x = 0, 09.

odgovor: x = 0 , 09 .

Radi jasnoće predstavljamo rješenje jednačine zapisa a x = b.

Primjer N

Date su jednačine: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . Potrebno ih je riješiti.

Rješenje

Sve date jednačine odgovaraju zapisu a x = b. Razmotrimo to redom.

U jednačini 0 x = 0 , a = 0 i b = 0, što znači: bilo koji broj može biti korijen ove jednadžbe.

U drugoj jednačini 0 x = − 9: a = 0 i b = − 9 , prema tome, ova jednadžba neće imati korijene.

U obliku posljednje jednačine - 3 8 x = - 3 3 4 zapisujemo koeficijente: a = - 3 8 , b = - 3 3 4 , tj. jednadžba ima jedan korijen. Hajde da ga nađemo. Podijelimo obje strane jednačine sa a , dobićemo kao rezultat: x = - 3 3 4 - 3 8 . Pojednostavimo razlomak primjenom pravila za dijeljenje negativnih brojeva, zatim pretvaranjem mješovitog broja u običan razlomak i dijeljenjem običnih razlomaka:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

Ukratko napišite rješenje na sljedeći način:

3 8 x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

odgovor: 1) x- bilo koji broj, 2) jednačina nema korijena, 3) x = 10 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter