Šta znače cijeli izrazi. Lekcija „Algebarski razlomci, racionalni i frakcioni izrazi

“Polinomska lekcija” - I provjerite: 2. Izvršite množenje polinoma: 4. Izvršite dijeljenje polinoma A (x) sa B (x). 3. Faktorizirajte polinom. 1. Izvršite sabiranje i oduzimanje polinoma: P(x)=-2x3 + x2 -x-12 i Q(x)= x3 -3x2 -4x+1. Radnje s polinomima. Lekcija 15

"Pretvaranje celobrojnog izraza u polinom" - Razvijati računske sposobnosti učenika. Uvedite koncept cijelog izraza. Pretvaranje celobrojnih izraza. Polinomi i, posebno, monomi su cjelobrojni izrazi. Vježbajte učenike u donošenju sličnih pojmova. Primeri celobrojnih izraza su: 10y?+(3x+y)(x?-10y?), 2b(b?-10c?)-(b?+2c?), 3a?-(a(a+2c) ) /5+2.5ac.

"Množenje polinoma" - -x6+3x7-2x4+5x2 3 -1 0 -2 0 5 0 0 7 -8 3 5 -6 7x4-8x3+3x2+5x-6. Prezentacija. Pozicioni broj polinoma. Množenje polinoma pomoću pozicijskog broja. Ryabov Pavel Yurievich. Rukovodilac: Kaleturina A. S.

"Polinom standardnog oblika" - Standardni oblik polinoma. Primjeri. 3x4 + 2x3 - x2 + 5. Sabiranje polinoma. Priprema za s/r br. 6. Rječnik. Poglavlje 2, §1b. Za polinome sa jednim slovom, vodeći pojam je jednoznačno definisan. Provjerite sami. 6x4 - x3y + x2y2 + 2y4.

"Polinomi" - monom se smatra polinomom koji se sastoji od jednog člana. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. Algebra. Polinomi. Pomnožite polinom a+b sa polinomom c+d. Umnožak monoma i polinoma Množenje monoma polinomom. Slični pojmovi su članovi 2 i -7, koji nemaju dio slova. Članovi polinoma 4xz-5xy+3x-1 su 4xz, -5xy, 3x i -1.

"Faktoring lekcija" - Primjena FSU. Skraćene formule za množenje. Tema lekcije: Odgovori: var 1: b, d, b, d, c; var 2: a, d, c, b, a; var 3: c, c, c, a, b; Opcija 4: d, d, c, b, d. Pa kako? Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada. 3. Dovršite faktorizaciju: Grupni rad: Stavite zajednički faktor iz zagrada. 1. Završite faktorizaciju: a).

Zahvaljujući kursu algebre, poznato je da svi izrazi zahtijevaju transformaciju za pogodnije rješenje. Definiranje cjelobrojnih izraza potiče identične transformacije za početak. Izraz ćemo transformisati u polinom. U zaključku, pogledajmo nekoliko primjera.

Definicija i primjeri cjelobrojnih izraza

Definicija 1

Cjelobrojni izrazi su brojevi, varijable ili izrazi sa sabiranjem ili oduzimanjem, koji se zapisuju kao stepen s prirodnim eksponentom, koji također imaju zagrade ili podjele osim nule.

Na osnovu definicije imamo primjere cjelobrojnih izraza: 7 , 0 , − 12 , 7 11 , 2 , 73 , - 3 5 6 i tako dalje, te varijable oblika a , b , p , q , x , z se smatraju izrazima cijelih brojeva. Nakon njihove transformacije zbira, razlika, proizvoda, izrazi će poprimiti oblik

x + 1 , 5 y 3 2 3 7 − 2 y − 3 , 3 − x y z 4 , - 6 7 , 5 (2 x + 3 y 2) 2 − - ( 1 − x) (1 + x) (1 + x 2)

Ako izraz sadrži podjelu brojem različitom od nule u obliku x: 5 + 8: 2: 4 ili (x + y) : 6, tada se podjela može označiti kosom crtom, kao x + 3 5 - 3 , 2 x + 2 . Kada se razmatraju izrazi oblika x: 5 + 5: x ili 4 + a 2 + 2 a - 6 a + b + 2 c, jasno je da takvi izrazi ne mogu biti cijeli brojevi, jer u prvom postoji podjela sa varijabla x, au drugom na izraz s promjenljivom.

Polinom i monom su cjelobrojni izrazi koje srećemo u školi kada radimo s racionalnim brojevima. Drugim riječima, cjelobrojni izrazi ne uključuju iracionalne razlomke. Drugo ime su čitavi iracionalni izrazi.

Koje su transformacije celobrojnih izraza moguće?

Cjelobrojni izrazi se pri rješavanju posmatraju kao osnovne identične transformacije, otvarajuće zagrade, grupisanje, redukcija sličnih.

Primjer 1

Otvorite zagrade i dovedite slične članove u 2 · (a 3 + 3 · a · b − 2 · a) − 2 · a 3 − (5 · a · b − 6 · a + b) .

Rješenje

Prvo morate primijeniti pravilo za otvaranje zagrada. Dobijamo izraz forme 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = = 2 a 3 + 2 3 a b + 2 (− 2 a) − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = 2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b

Tada možemo dodati slične pojmove:

2 a 3 + 6 a b − 4 a − 2 a 3 − 5 a b + 6 a − b = = (2 a 3 − 2 a 3) + (6 a b − 5 a b) + (− 4 a + 6 a) − b = = 0 + a b + 2 a − b = a b + 2 a − b .

Nakon što ih reduciramo, dobijamo polinom oblika a · b + 2 · a − b .

Odgovori: 2 (a 3 + 3 a b − 2 a) − 2 a 3 − (5 a b − 6 a + b) = a b + 2 a − b.

Primjer 2

Napravite transformacije (x - 1) : 2 3 + 2 · (x 2 + 1) : 3: 7 .

Rješenje

Postojeće dijeljenje se može zamijeniti množenjem, ali recipročnim brojem. Zatim je potrebno izvršiti transformacije, nakon čega će izraz dobiti oblik (x - 1) · 3 2 + 2 · (x 2 + 1) · 1 3 · 1 7 . Sada bi trebalo da se pozabavimo redukcijom sličnih pojmova. Shvatili smo to

(x - 1) 3 2 + 2 (x 2 + 1) 1 3 1 7 = 3 2 (x - 1) + 2 21 x 2 + 1 = = 3 2 x - 3 2 + 2 21 x 2 + 2 21 = 2 21 x 2 + 3 2 x - 59 42 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42

Odgovori: (x - 1) : 2 3 + 2 (x 2 + 1) : 3: 7 = 2 21 x 2 + 1 1 2 x - 1 17 42 .

Primjer 3

Izraz 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) izraziti kao proizvod.

Rješenje

Nakon što smo ispitali izraz, jasno je da prva tri člana imaju zajednički faktor oblika 6 · y , koji treba izvaditi iz zagrada tokom transformacije. Onda to shvatamo 6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = 6 y (x 2 + 3 x − 1) - (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x)

Vidi se da smo dobili razliku dva izraza oblika 6 y (x 2 + 3 x - 1) i (x 2 + 3 x - 1) (x 3 + 4 x) sa zajedničkim faktorom x 2 + 3 x − 1, koji se mora izvaditi iz zagrada. Shvatili smo to

6 y (x 2 + 3 x − 1) − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) (6 y − (x 3 + 4 x) )

Otvarajući zagrade, imamo izraz oblika (x 2 + 3 x - 1) (6 y - x 3 - 4 x) , koji je trebalo pronaći po uslovu.

odgovor:6 x 2 y + 18 x y − 6 y − (x 2 + 3 x − 1) (x 3 + 4 x) = = (x 2 + 3 x − 1) ( 6 y − x 3 − 4 x)

Identične transformacije zahtevaju striktno sprovođenje redosleda operacija.

Primjer 4

Pretvori izraz (3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8.

Rješenje

Prvo izvodite radnje u zagradama. Onda imamo to 3 2 - 6 2: 9 = 3 2 - 3 6: 9 = 6 - 4 = 2. Nakon transformacije, izraz postaje 2 3 · (x 2) 4 + 4 · x: 8 . To je poznato 2 3 = 8 i (x 2) 4 = x 2 4 = x 8, tada možete doći do izraza kao što je 8 x 8 + 4 x: 8 . Drugi član zahtijeva zamjenu dijeljenja množenjem iz 4x:8. Grupisanjem faktora dobijamo to

8 x 8 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 4 x 1 8 = 8 x 8 + 4 1 8 x = 8 x 8 + 1 2 x

odgovor:(3 2 − 6 2: 9) 3 (x 2) 4 + 4 x: 8 = 8 x 8 + 1 2 x .

Polinomska konverzija

Većina konverzija celobrojnih izraza su polinomske reprezentacije. Svaki izraz se može predstaviti kao polinom, a svaki izraz se može smatrati polinomima povezanim aritmetičkim znakovima. Svaka operacija nad polinomima rezultira polinomom.

Da bi izraz bio predstavljen kao polinom, potrebno je izvršiti sve radnje sa polinomima, prema algoritmu.

Primjer 5

Izrazite kao polinom 2 · (2 · x 3 − 1) + (2 · x − 1) 2 · (3 − x) + (4 · x − x · (15 · x + 1)) .

Rješenje

U ovom izrazu transformacije započnite izrazom oblika 4 x - x (15 x + 1) , a po pravilu na početku množenjem ili dijeljenjem, nakon čega sabiranje ili oduzimanje. Pomnožimo - x sa 15 x + 1, onda dobijamo 4 x - x (15 x + 1) = 4 x - 15 x 2 - x = (4 x - x) - 15 x 2 = 3 x - 15 x 2. Dati izraz će imati oblik 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (3 x - 15 x 2) .

Zatim morate podići polinom na 2. stepen 2x-1, dobijamo izraz forme (2 x − 1) 2 = (2 x − 1) (2 x − 1) = 4 x 2 + 2 x (− 1) − 1 2 x − 1 (− 1 ) = = 4 x 2 − 4 x + 1

Sada možemo ići na pogled 2 (2 x 3 - 1) + (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) + (3 x - 15 x 2).

Pogledajmo množenje. Može se vidjeti da je 2 (2 x 3 - 1) = 4 x 3 - 2 i (4 x 2 - 4 x + 1) (3 - x) = 12 x 2 - 4 x 3 - 12 x + 4 x 2 + 3 - x = = 16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3

tada možete napraviti prijelaz na izraz forme (4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2).

Izvodimo sabiranje, nakon čega dolazimo do izraza:

(4 x 3 - 2) + (16 x 2 - 4 x 3 - 13 x + 3) + (3 x - 15 x 2) = = 4 x 3 - 2 + 16 x 2 − 4 x 3 − 13 x + 3 + 3 x − 15 x 2 = = (4 x 3 − 4 x 3) + (16 x 2 − 15 x 2) + (− 13 x + 3 x) + (− 2 + 3) = = 0 + x 2 − 10 x + 1 = x 2 − 10 x + 1 .

Iz toga slijedi da izvorni izraz ima oblik x 2 − 10 x + 1.

odgovor: 2 (2 x 3 - 1) + (2 x - 1) 2 (3 - x) + (4 x - x (15 x + 1)) = x 2 - 10 x + 1.

Množenje i eksponencijacija polinoma ukazuje na to da je potrebno koristiti skraćene formule za množenje kako bi se ubrzao proces konverzije. To doprinosi činjenici da će se radnje izvršiti racionalno i ispravno.

Primjer 6

Pretvori 4 · (2 · m + n) 2 + (m − 2 · n) · (m + 2 · n) .

Rješenje

Iz formule kvadrata dobijamo to (2 m + n) 2 = (2 m) 2 + 2 (2 m) n + n 2 = 4 m 2 + 4 m n + n 2, tada je proizvod (m − 2 n) (m + 2 n) jednak razlici kvadrata m i 2 n , dakle jednak m 2 − 4 n 2. Dobijamo da originalni izraz poprima oblik 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 4 (4 m 2 + 4 m n + n 2) + (m 2 − 4 n 2) = = 16 m 2 + 16 m n + 4 n 2 + m 2 − 4 n 2 = 17 m 2 + 16 m n

odgovor: 4 (2 m + n) 2 + (m − 2 n) (m + 2 n) = 17 m 2 + 16 m n.

Da transformacija ne bi bila preduga, potrebno je dati izraz dovesti u standardni oblik.

Primjer 7

Pojednostavite izraz (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + (5 a b (− 3) b 2)

Rješenje

Najčešće, polinomi i monomi nisu dati u standardnom obliku, tako da morate izvršiti transformacije. Treba se pretvoriti da bi se dobio izraz forme − 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3. Da bi se donijeli slični, potrebno je prvo izvršiti množenje po pravilima za transformaciju složenog izraza. Dobijamo izraz kao

− 6 a 3 b (2 a + 5 b 2) + a b (2 a 2 + 1) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + (2 a 3 b + a b) (6 a + 15 b 2) − 15 a b 3 = = − 12 a 4 b − 30 a 3 b 3 + 12 a 4 b + 30 a 3 b 3 + 6 a 2 b + 15 a b 3 − 15 a b 3 = = (− 12 a 4 b + 12 a 4 b) + (− 30 a 3 b 3 + 30 a 3 b 3) + 6 a 2 b + (15 a b 3 − 15 a b 3) = 6 a 2 b

odgovor: (2 a (− 3) a 2 b) (2 a + 5 b 2) + a b (a 2 + 1 + a 2) (6 a + 15 b 2 ) + + (5 a b (− 3) b 2) = 6 a 2 b

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

"Algebarski razlomci, racionalni i frakcioni izrazi."

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: upoznavanje pojma algebarskog razlomka, racionalnih i frakcionih izraza, raspona prihvatljivih vrijednosti,

Razvijanje: formiranje vještina kritičkog mišljenja, samostalnog traženja informacija, istraživačkih vještina.

Vaspitno: vaspitanje svjesnog odnosa prema poslu, formiranje komunikacijskih vještina, formiranje samopoštovanja.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat:

Pozdrav. Najava teme časa.

2. Motivacija časa.

Nemci imaju takvu izreku „Ući u šut“, što znači ući u ćorsokak, tešku situaciju. To se objašnjava činjenicom da su se dugo vremena radnje s frakcijskim brojevima, koje su ponekad nazivale "izlomljenim linijama", s pravom smatrale vrlo složenim.

Ali sada je uobičajeno uzeti u obzir ne samo numeričke, već i algebarske razlomke, što ćemo učiniti danas.

Uspjeh nije odredište. Ovaj pokret

T. Brže.

3. Aktuelizacija osnovnih znanja.

front poll.

Šta su celobrojni izrazi? od čega su napravljeni? Cjelobrojni izraz ima smisla za sve vrijednosti njegovih varijabli.

Navedite primjere.

Šta je razlomak?

Šta znači smanjiti razlomak?

Šta znači faktorizirati?

Koje metode razgradnje poznajete?

Koliki je kvadrat zbira (razlike)?

Koja je razlika između kvadrata?

4. Učenje novog gradiva.

U 8. razredu ćemo se upoznati sa frakcijskim izrazima.

Oni se razlikuju od cijelih brojeva po tome što sadrže akciju dijeljenja izrazom s promjenljivom.

Ako je algebarski izraz sastavljen od brojeva i varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, stepenovanja prirodnim eksponentom i dijeljenjem, te korištenjem dijeljenja na izraze s varijablama, onda se naziva frakcijskim izrazom.

Frakcijski izrazi nemaju smisla za one vrijednosti varijabli koje pretvaraju nazivnik na nulu.

Domen dopuštenih vrijednosti (ODV) algebarskog izraza je skup svih dopuštenih skupova vrijednosti slova uključenih u ovaj izraz.

Cjelobrojni i razlomci nazivaju se racionalni izrazi

zasebna vrsta racionalnog izraza je racionalni razlomak. Ovo je razlomak čiji su brojilac i imenilac polinomi.

Koji su izrazi cijeli brojevi, a koji razlomci? (ili #1)

5. Fizička minuta

6. Konsolidacija novog materijala.

Riješi #2, 3(1), 5(1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11), 7(1).

7. Samostalni rad učenika (u grupama).

Riješi #3(2), 5(2, 5, 8, 12), 7(2).

8. Refleksija.

Da li vam je materijal lekcije bio težak?

U kojoj fazi lekcije je bilo najteže, najlakše?

Šta ste novo naučili na lekciji? šta si naučio?

Da li ste naporno radili na času?

Koliko ste se emotivno osjećali tokom lekcije?

D/z: naučiti 1. pitanje, pitanja str.7, riješiti br. 4, 6, 8.

Sincwine.

Svaka grupa pravi sinkvin za riječ "razlomak".

Ako znate razlomke

Da razumemo njihovo tačno značenje

Čak i teški zadaci postaju laki.

Cjelobrojni izraz je matematički izraz sastavljen od brojeva i literalnih varijabli koristeći operacije sabiranja, oduzimanja i množenja. Cijeli brojevi također uključuju izraze koji uključuju dijeljenje nekim brojem koji nije nula.

Primjeri cjelobrojnog izraza

Ispod su neki primjeri cjelobrojnih izraza:

1. 12*a^3 + 5*(2*a -1);

3. 4*y- ((5*y+3)/5) -1;

Fractional Expressions

Ako izraz sadrži podjelu promjenljivom ili drugim izrazom koji sadrži varijablu, onda takav izraz nije cijeli broj. Takav izraz se naziva frakcijski izraz. Hajde da damo potpunu definiciju frakcionog izraza.

Frakcijski izraz je matematički izraz koji pored operacija sabiranja, oduzimanja i množenja koje se obavljaju brojevima i literalnim varijablama, kao i dijeljenja brojem koji nije jednak nuli, sadrži i podjelu na izraze s literalnim varijablama.

Primjeri frakcijskih izraza:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x- ((5*y+3)/(5-y)) +1;

Frakcijski i cjelobrojni izrazi čine dva velika skupa matematičkih izraza. Ako se ovi skupovi kombinuju, onda dobijamo novi skup, koji se zove racionalni izrazi. To jest, racionalni izrazi su svi cijeli brojevi i razlomci.

Znamo da cjelobrojni izrazi imaju smisla za sve vrijednosti varijabli koje su uključene u njih. To proizilazi iz činjenice da je za pronalaženje vrijednosti cjelobrojnog izraza potrebno izvršiti radnje koje su uvijek moguće: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje brojem koji nije nula.

Frakcijski izrazi, za razliku od cjelobrojnih, možda nemaju smisla. Budući da postoji operacija dijeljenja promjenljivom ili izrazom koji sadrži varijable, i taj izraz se može pretvoriti u nulu, ali je dijeljenje nulom nemoguće. Vrijednosti varijable za koje će frakcioni izraz imati smisla nazivaju se valjane vrijednosti varijabli.

racionalni razlomak

Jedan od posebnih slučajeva racionalnih izraza bit će razlomak, čiji su brojnik i nazivnik polinomi. Za takav razlomak u matematici postoji i naziv - racionalni razlomak.

Racionalni razlomak će imati smisla ako njegov nazivnik nije jednak nuli. Odnosno, vrijedit će sve vrijednosti varijabli za koje je nazivnik razlomka različit od nule.