ograničen broj skupa

Skup realnih brojeva se zove omeđen odozgo, ako postoji broj takav da svi elementi ne prelaze:

Wikimedia Foundation. 2010 .

Pogledajte šta je "Limited Set" u drugim rječnicima:

1) O. m. u metričkom prostoru X (sa metrikom) je skup A čiji je prečnik konačan. 2) O. m. u topološkom. u vektorskom prostoru E (nad poljem k) skup B, koji je apsorbovan u svakom susjedstvu nule U (tj. postoji jedan). M.I.… … Mathematical Encyclopedia

U metričkom prostoru, isto što i potpuno ograničeni podprostor datog metričkog prostora. prostor. Vidite prilično ograničen prostor. A. V. Arkhangelsky ... Mathematical Encyclopedia

U računanju i srodnim granama matematike, ograničeni skup je skup koji, u određenom smislu, ima konačnu veličinu. Osnovni koncept je ograničenost numeričkog skupa, koji je generalizovan na slučaj ... ... Wikipedia

mnogo- skup skup - skup Jedan od osnovnih koncepata moderne matematike, "proizvoljna kolekcija određenih i prepoznatljivih objekata, mentalno spojenih u jednu ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

Mnogo- jedan od osnovnih pojmova moderne matematike, "proizvoljna kolekcija određenih i prepoznatljivih objekata, mentalno spojenih u jednu cjelinu." (Tako je skup definisao osnivač teorije skupova, čuveni Nemac ... ... Ekonomsko-matematički rječnik

Vidi klasu u logici. Filozofski enciklopedijski rječnik. Moskva: Sovjetska enciklopedija. Ch. urednici: L. F. Iljičev, P. N. Fedosejev, S. M. Kovalev, V. G. Panov. 1983. VIŠE... Philosophical Encyclopedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Skup (značenja). Skup je vrsta i struktura podataka u računarskoj nauci, implementacija je matematičkog skupa objekata. Postavljeni tip podataka vam omogućava pohranjivanje ograničenog broja vrijednosti... ... Wikipedia

1) P. m. analitičke funkcije f(z) kompleksnih varijabli z=(z1,...,zn), n 1, je takav skup P tačaka neke domene D kompleksnog prostora C n da : a) f(z) je holomorfna svuda u; b) f(z) se ne nastavlja analitički ni u jednu tačku P; c) za ... ... Mathematical Encyclopedia

opšti skup (um) tekstova- predmet samog proučavanja nije sam podjezik, već određeni skup tekstova, koji je u principu beskonačan ili, u svakom slučaju, otvoren. Postavljena je deskriptivno, karakterizacijom izvora ovih tekstova. To su oni…… Eksplanatorni prijevodni rječnik

Razmotrite lokaciju grafova međusobno inverznih funkcija u Dekartovom koordinatnom sistemu i dokažite sljedeću tvrdnju.

Lema 1.1. Ako su a, b R , tada su tačke M 1 (a, b), M 2 (b, a) ravni simetrične u odnosu na pravu liniju y = x .

Ako je a = b, tada se tačke M1, M2 poklapaju i leže na pravoj y = x. Pretpostavićemo da je a 6= b. Prava koja prolazi kroz tačke M1, M2 ima jednačinu y = −x+a+b i stoga je okomita na pravu y = x.

Pošto središte segmenta M1 M2 ima koordinate a + 2 b ,a + 2 b ! , onda

leži na pravoj y = x. Dakle, tačke M1 , M2

Posljedica. Ako su funkcije f: X −→ Y i ϕ : Y −→ X međusobno inverzne, onda su njihovi grafovi simetrični u odnosu na pravu liniju y = x ako su izgrađene u istom koordinatnom sistemu.

Neka su f = ((x, f(x)) | x X),ϕ = ((y, ϕ(y)) | y Y ) grafovi funkcija f i ϕ, respektivno. Jer

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

onda, na osnovu dokazane leme, grafovi f i ϕ su simetrične u odnosu na pravu liniju y = x.

1.6 Svojstva skupova brojeva

1.6.1 Ograničeni numerički skupovi

Definicija 1.26. Neka je X neprazan numerički skup. Za skup X se kaže da je ograničen odozgo (odozdo) ako postoji broj a takav da je x 6 a (x > a ) za bilo koji element x X . U ovom slučaju, broj a naziva se gornja (donja) granica skupa X. Skup omeđen odozgo i odozdo naziva se ograničenim.

Uz pomoć logičkih simbola, ograničenost skupa X odozgo se zapisuje na sljedeći način:

a R: x 6 a, x X.

Uzimajući u obzir svojstva modula broja, možemo dati sljedeću ekvivalentnu definiciju ograničenog skupa.

Definicija 1.27. Neprazan skup brojeva X naziva se ograničen ako postoji pozitivan broj M takav da

Definicija 1.28. Element iz numeričkog skupa X naziva se maksimalni (minimalni) element u X ako je x 6 a (odnosno, x > a ) za bilo koji x iz X, i pišu: a = max X (odnosno, a = min X) .

Na osnovu aksioma reda (3.b), lako je pokazati da ako skup X u R ima maksimalni (minimalni) element, onda je jedinstven.

Imajte na umu da ako numerički skup X ima maksimalni (minimalni) element a, onda je on omeđen odozgo (odozdo) i broj a je gornja (donja) granica skupa X. Međutim, nije svaki numerički skup omeđen od iznad (odozdo) ima maksimalni (minimalni) element .

Primjer 1.5. Pokažimo da je skup X = inf (a, b) = a.

Ovi primjeri posebno pokazuju da donja i gornja strana mogu, ali i ne moraju pripadati samom skupu.

Po samoj njihovoj definiciji, gornja i donja granica skupa su jedinstvene. Zaista, ako postoji najmanji (najveći) element u nekom skupu koji pripada čak i produženoj realnoj liniji, onda je on jedinstven, jer od dva različita elementa skupa, veći od njih ne može biti najmanji element, a manji ne može biti najveća.

Da li skup omeđen odozgo (odozdo) uvijek ima tačnu gornju (donju) granicu? Zaista, budući da postoji beskonačno mnogo gornjih (donjih) granica, a među beskonačnim skupom brojeva ne postoji uvijek najveći (najmanji), postojanje supremuma (infinuma) zahtijeva poseban dokaz.

Teorema 7.3(1)

Svaki neprazan skup omeđen odozgo ima gornju granicu, a svaki neprazan skup omeđen odozdo ima donju granicu.

Dokaz

Neka je neprazan numerički skup A ograničen odozgo, B je skup svih brojeva koji ograničavaju skup A odozgo. Ako je onda iz definicije broja koji graniči odozgo

skupa, slijedi da je a≤b. Prema tome, prema svojstvu kontinuiteta realnih brojeva, postoji broj β takav da će nejednakost a≤β≤b vrijediti za sve. Nejednakost , znači da broj β ograničava skup A odozgo, a nejednakost znači da je broj β najmanji od svih brojeva koji ograničavaju skup A odozgo. Dakle, β= sup A.

Slično se dokazuje da numerički skup omeđen odozdo ima infimum.

Skupovi čiji su elementi tačke nazivaju se skupovi tačaka. Dakle, može se govoriti o skupovima tačaka na pravoj, na ravni, u bilo kom prostoru. Radi jednostavnosti, ograničavamo se na skupove tačaka na pravoj.

Postoji blizak odnos između realnih brojeva i tačaka na pravoj: svakom realnom broju može se dodeliti tačka na pravoj i obrnuto. Dakle, kada govorimo o skupovima tačaka, uključićemo i skupove koji se sastoje od realnih brojeva - skupove na realnoj pravoj. Suprotno tome, da bismo definirali skup tačaka na pravoj, obično ćemo dati koordinate svih tačaka u našem skupu.

Skupovi tačaka (a posebno skupovi tačaka na pravoj) imaju niz posebnih svojstava koja ih razlikuju od proizvoljnih skupova i izdvajaju teoriju skupova tačaka u nezavisnu matematičku disciplinu. Prije svega, ima smisla govoriti o udaljenosti između dvije tačke. Nadalje, između tačaka na pravoj mogu se uspostaviti relacije reda (lijevo, desno); u skladu s tim, skup tačaka na pravoj se kaže da je uređen skup. Konačno, kao što je gore navedeno, Cantorov princip vrijedi za pravu liniju; ovo svojstvo prave linije obično se karakteriše kao potpunost prave linije.

Hajde da uvedemo notaciju za najjednostavnije skupove na liniji.

Segment je skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju nejednakosti.

Interval je skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju uslove.

Polu-intervali i određuju se respektivno uslovima: i .

Intervali i polu-intervali možda nisu ispravni. Naime, označava cijelu liniju, i, na primjer, označava skup svih točaka za koje .

Počinjemo razmatranjem različitih mogućnosti za smještaj kompleta kao cjeline na liniji.

Ograničeni i neograničeni skupovi

Skup tačaka na pravoj može se sastojati od tačaka čije udaljenosti od početka ne prelaze neki pozitivan broj, ili imaju tačke proizvoljno udaljene od početka. U prvom slučaju skup se naziva ograničenim, au drugom - neograničenim. Primer ograničenog skupa je skup svih tačaka segmenta, a primer neograničenog skupa je skup svih tačaka sa celobrojnim koordinatama.

Lako je vidjeti da ako je fiksna tačka na pravoj, onda će skup biti ograničen ako i samo ako udaljenosti od tačke do bilo koje tačke ne prelaze neki pozitivan broj.

Skupovi ograničeni odozgo i odozdo

Neka biti skup točaka na liniji. Ako postoji tačka na liniji takva da se bilo koja točka nalazi lijevo od točke , onda kažemo da je skup ograničeno odozgo. Slično, ako postoji tačka na liniji takva da se bilo koja tačka nalazi desno od tačke , tada se skup naziva ograničeno odozdo. Dakle, skup svih tačaka na pravoj sa pozitivnim koordinatama je omeđen odozdo, a skup svih tačaka sa negativnim koordinatama omeđen odozgo.

Jasno je da je gornja definicija ograničenog skupa ekvivalentna sljedećem: skup tačaka na pravoj se naziva ograničenim ako je ograničen iznad i ispod. Uprkos činjenici da su ove dvije definicije vrlo slične jedna drugoj, postoji suštinska razlika između njih: prva se zasniva na činjenici da je razmak između tačaka na pravoj definirana, a druga je da su te tačke; formiraju uređeni skup.

Također možemo reći da je skup ograničen ako se u cijelosti nalazi na nekom segmentu.

Gornje i donje granice skupa

Neka je skup omeđen odozgo. Zatim postoje točke na pravoj desno od kojih nema točke skupa . Koristeći Cantorov princip, može se pokazati da među svim tačkama sa ovim svojstvom postoji najlijeva. Ova tačka se zove gornja granica skupa. Infimum skupa tačaka je definisan slično.

Ako postoji krajnja desna tačka u skupu, onda će ona, očigledno, biti gornja granica skupa. Međutim, može se desiti da u setu nema krajnje desne tačke. Na primjer, skup tačaka sa koordinatama

ograničeno odozgo i nema krajnju desnu tačku. U ovom slučaju, gornja granica ne pripada skupu , ali postoje točke skupa proizvoljno blizu . U primjeru iznad.

Lokacija tačke postavljene blizu tačke na liniji

Neka biti tačka skup i biti neka tačka na liniji. Razmotrimo različite mogućnosti lociranja skupa u blizini tačke. Mogući su sljedeći slučajevi:

1. Ni tačka ni dovoljno bliske tačke njoj ne pripadaju skupu .

2. Tačka ne pripada , ali postoje točke skupa proizvoljno blizu njega.

3. Točka pripada , ali sve točke dovoljno blizu njega ne pripadaju .

4. Tačka pripada , i postoje druge točke skupa proizvoljno blizu njega.

U slučaju 1 tačka se poziva eksterno u odnosu na set, u slučaju 3 - izolovana tačka skupa , au slučajevima 2 i 4 - granična tačka skupa .

Dakle, ako , tada tačka može biti ili vanjska ili granična za nju, a ako , onda može biti ili izolirana točka skupa ili njegova granična točka.

Granična tačka može ili ne mora pripadati skupu i karakteriše se uslovom da postoje tačke skupa proizvoljno blizu njemu. Drugim riječima, tačka je granična tačka skupa ako bilo koji interval koji sadrži tačku sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa. Koncept granične tačke je jedan od veoma važnih koncepata u teoriji skupova tačaka.

Ako tačka i sve tačke dovoljno blizu njoj pripadaju skupu , tada se takva tačka zove unutrašnja tačka kompleta. Svaka tačka koja nije ni vanjska ni unutrašnja se zove granična tačka skupa .

Navedimo nekoliko primjera koji objašnjavaju sve ove koncepte.

Primjer 1. Neka se skup sastoji od tačaka sa koordinatama

Tada je svaka tačka ovog skupa njena izolovana tačka, tačka 0 je granična tačka (ne pripada ovom skupu), a sve ostale tačke na liniji su vanjske za .

Primjer 2. Neka se skup sastoji od svih racionalne tačke segment . Ovaj skup nema izolovanih tačaka, svaka tačka segmenta je granična tačka, a sve ostale tačke na liniji su vanjske za . Jasno je da među graničnim tačkama skupa postoje i one koje mu pripadaju i one koje mu ne pripadaju.

Primjer 3. Neka se skup sastoji od svih tačaka segmenta . Kao iu prethodnom primjeru, skup nema izolovanih tačaka, a svaka tačka segmenta je njegova granična tačka. Međutim, za razliku od prethodnog primjera, sve granične točke pripadaju ovom skupu.

Primjer 4. Neka se skup sastoji od svih tačaka sa cjelobrojnim koordinatama na pravoj. Svaka tačka je njena izolovana tačka; set nema granične tačke.

Imajte na umu da je u primjeru 3 svaka tačka intervala unutrašnja tačka, au primjeru 2 bilo koja tačka segmenta je granična tačka.

Iz gornjih primjera se može vidjeti da beskonačan skup tačaka na pravoj može, ali ne mora imati izolovane tačke; na isti način, može, ali i ne mora imati unutrašnje tačke. Što se tiče graničnih tačaka, samo skup iz Primera 4 nema granične tačke. Kao što pokazuje sljedeća važna teorema, to je zbog činjenice da je skup neograničen.

Bolzano-Weierstrassova teorema

Svaki ograničeni beskonačan skup tačaka na pravoj ima barem jednu graničnu tačku.

Dokažimo ovu teoremu. Neka biti ograničen beskonačan skup točaka na liniji. Pošto je skup ograničen, on se u potpunosti nalazi na nekom segmentu . Podijelimo ovaj dio na pola. Pošto je skup beskonačan, onda barem jedan od rezultujućih segmenata sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Označimo ovaj segment sa (ako postoji beskonačno mnogo tačaka skupa u obe polovine segmenta, onda se, na primer, leva može označiti sa). Zatim segment dijelimo na dva jednaka segmenta. Budući da je dio skupa koji se nalazi na segmentu beskonačan, onda barem jedan od dobivenih segmenata sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Označimo ovaj segment sa . Nastavimo beskonačno proces dijeljenja segmenata na pola i svaki put ćemo uzeti polovinu koja sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa. Dobićemo niz segmenata. Ovaj niz segmenata ima sljedeća svojstva: svaki sljedeći segment je sadržan u prethodnom; svaki segment sadrži beskonačno mnogo tačaka skupa; dužine segmenata teže nuli. Prva dva svojstva niza slijede direktno iz njegove konstrukcije, a da bi se dokazalo posljednje svojstvo, dovoljno je primijetiti da ako je dužina segmenta , onda je dužina segmenta . Na osnovu Cantorovog principa, postoji jedna tačka koja pripada svim segmentima. Pokažimo da je ova tačka granična točka skupa . Da bismo to učinili, dovoljno je ustanoviti da ako postoji neki interval koji sadrži točku , onda on sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Pošto svaki segment sadrži tačku i dužine segmenata teže nuli, za dovoljno veliki segment, segment će u potpunosti biti sadržan u intervalu . Ali po uvjetu sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Dakle, sadrži beskonačno mnogo točaka skupa . Dakle, tačka je zaista granična tačka skupa , i Bolzano-Weierstrassova teorema je dokazana.