Definirajte matricu. Vrste matrica

Matrice. Vrste matrica. Operacije nad matricama i njihovim svojstvima.

Determinanta matrice n-tog reda. N, Z, Q, R, C,

Matrica reda m*n je pravokutna tablica brojeva koja sadrži m-redova i n-kolona.

Jednakost matrice:

Dvije matrice se nazivaju jednakima ako je broj redova i stupaca jedne od njih jednak broju redova i stupaca druge i, respektivno. elementi ovih matrica su jednaki.

Napomena: Elementi sa istim indeksima se podudaraju.

Vrste matrica:

Kvadratna matrica: kaže se da je matrica kvadratna ako je broj redaka jednak broju stupaca.

Pravokutni: kaže se da je matrica pravokutna ako broj redova nije jednak broju stupaca.

Matrica reda: matrica reda 1*n (m=1) ima oblik a11,a12,a13 i naziva se matrica reda.

Kolona matrice:………….

Dijagonala: dijagonala kvadratne matrice, koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog kuta, odnosno koja se sastoji od elemenata a11, a22 ...... - naziva se glavna dijagonala. (definicija: kvadratna matrica, čiji su svi elementi jednaki nuli, osim onih koji se nalaze na glavnoj dijagonali, naziva se dijagonalna matrica.

Identitet: Dijagonalna matrica se naziva identitetom ako se svi elementi nalaze na glavnoj dijagonali i jednaki su 1.

Gornji trokutasti: A=||aij|| naziva se gornja trokutasta matrica ako je aij=0. Pod uslovom i>j.

Donji trougaoni: aij=0. i

Nula: Ovo je matrica čiji su Els 0.

Operacije na matricama.

1. Transpozicija.

2. Množenje matrice brojem.

3. Sabiranje matrice.

4. Množenje matrice.

Osnovna sv-va akcija na matrice.

1.A+B=B+A (komutativnost)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (asocijativnost)

3.a(A+B)=aA+aB (distributivnost)

4.(a+b)A=aA+bA (distributivna)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (bez komun.)

7.A(BC)=(AB)C (asocijativno) – izvršava se ako je def. Izvode se matrični proizvodi.

8.A(B+C)=AB+AC (distributivni)

(B+C)A=BA+CA (distributivna)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Determinanta kvadratne matrice - definicija i njena svojstva. Dekompozicija determinante u redove i kolone. Metode za izračunavanje determinanti.

Ako matrica A ima red m>1, tada je determinanta ove matrice broj.

Algebarski komplement Aij elementa aij matrice A je manji Mij pomnožen brojem

TEOREMA 1: Determinanta matrice A jednaka je zbiru proizvoda svih elemenata proizvoljnog reda (kolone) i njihovih algebarskih komplementa.

Osnovna svojstva determinanti.

1. Determinanta matrice se neće promijeniti kada se transponira.

2. Prilikom permutiranja dva reda (kolone) determinanta mijenja predznak, ali se njena apsolutna vrijednost ne mijenja.

3. Determinanta matrice koja ima dva identična reda (kolone) je 0.

4. Kada se red (kolona) matrice množi brojem, njena determinanta se množi ovim brojem.

5. Ako se jedan od redova (kolona) matrice sastoji od 0, tada je determinanta ove matrice 0.

6. Ako su svi elementi i-tog reda (kolone) matrice predstavljeni kao zbir dva člana, onda se njena determinanta može predstaviti kao zbir determinanti dvije matrice.

7. Determinanta se neće promeniti ako se, odnosno, elementi jedne kolone (reda) dodaju elementima druge kolone (reda) prethodnim množenjem. za isti broj.

8. Zbir proizvoljnih elemenata bilo kojeg stupca (reda) determinante na odgovarajući algebarski komplement elemenata drugog stupca (reda) je 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metode za izračunavanje determinante:

1. Po definiciji ili teoremi 1.

2. Redukcija na trouglasti oblik.

Definicija i svojstva inverzne matrice. Izračunavanje inverzne matrice. Matrične jednačine.

Definicija: Kvadratna matrica reda n naziva se inverzna matrici A istog reda i označava se

Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da je determinanta matrice A različita od 0.

Svojstva inverzne matrice:

1. Jedinstvenost: za datu matricu A njen inverz je jedinstven.

2. matrična determinanta

3. Operacija uzimanja transpozicije i uzimanja inverzne matrice.

Matrične jednadžbe:

Neka su A i B dvije kvadratne matrice istog reda.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Koncept linearne zavisnosti i nezavisnosti matričnih kolona. Svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema stubova.

Kolone A1,A2…An se nazivaju linearno zavisne ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. koloni.

Kolone A1,A2…An se nazivaju linearno nezavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka 0. koloni.

Linearna kombinacija se naziva trivijalna ako su svi koeficijenti S(l) jednaki 0 i netrivijalna u suprotnom.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Da bi kolone bile linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da neka kolona bude linearna kombinacija drugih kolona.

Neka 1 od kolona https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> bude linearna kombinacija drugih kolona.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> su linearno zavisne, tada su svi stupci linearno zavisni.

4. Ako je sistem kolona linearno nezavisan, onda je i bilo koji njegov podsistem linearno nezavisan.

(Sve što se kaže o kolonama važi i za redove).

Matrix minors. Osnovni maloljetnici. Matrični rang. Metoda rubnih minora za izračunavanje ranga matrice.

Minor reda matrice A je determinanta čiji se elementi nalaze na presjeku k-redova i k-redova matrice A.

Ako su svi minori reda k matrice A = 0, tada je i svaki minor reda k + 1 jednak 0.

Osnovni mol.

Rang matrice A je red njenog baznog minora.

Metoda graničnih minora: - Biramo element matrice A koji nije nula (ako takav element ne postoji, tada je rang A = 0)

Graničimo prethodni mol 1. reda sa molom 2. reda. (Ako ovaj minor nije jednak 0, tada je rang >=2) Ako je rang ovog minora =0, tada graničimo odabrani minor 1. reda sa ostalim minorima 2. reda. (Ako su svi minori 2. reda = 0, tada je rang matrice = 1).

Matrični rang. Metode za određivanje ranga matrice.

Rang matrice A je red njenog baznog minora.

Metode obračuna:

1) Metoda obrubljivanja minora: -Izaberite element matrice A koji nije nula (ako takvog elementa nema, onda je rang = 0) - Obrubite prethodni minor 1. reda sa minorom 2. reda..gif" width= "40" visina="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Dovođenje matrice u stepenasti oblik: ova metoda se zasniva na elementarnim transformacijama. Pod elementarnim transformacijama, rang matrice se ne mijenja.

Sljedeće transformacije se nazivaju elementarne transformacije:

Permutacija dva reda (kolona).

Množenje svih elemenata neke kolone (reda) brojem koji nije =0.

Zbrajanje svim elementima određene kolone (reda) elemenata druge kolone (reda), prethodno pomnoženih istim brojem.

Osnovna mala teorema. Neophodan i dovoljan uslov da determinanta bude jednaka nuli.

Osnovni minor matrice A je minor najvećeg k-tog reda različitog od 0.

Osnovna mala teorema:

Osnovni redovi (kolone) su linearno nezavisni. Svaki red (kolona) matrice A je linearna kombinacija osnovnih redova (kolona).

Napomene: Redovi i kolone na čijem presjeku se nalazi osnovni minor nazivaju se osnovnim redovima, odnosno stupcima.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Neophodni i dovoljni uslovi da determinanta bude jednaka nuli:

Da bi determinanta n-tog reda = 0, potrebno je i dovoljno da njeni redovi (kolone) budu linearno zavisni.

Sistemi linearnih jednadžbi, njihova klasifikacija i oblici označavanja. Cramerovo pravilo.

Razmotrimo sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

naziva se determinanta sistema.

Sastavljamo još tri determinante na sljedeći način: zamjenjujemo sukcesivno 1, 2 i 3 stupca u determinanti D kolonom slobodnih članova

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Dokaz. Dakle, razmotrite sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate. Pomnožimo prvu jednačinu sistema sa algebarskim komplementom A11 elementa a11, drugu jednačinu sa A21 i treću sa A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Razmotrimo svaku od zagrada i desnu stranu ove jednačine. Po teoremi o proširenju determinante u smislu elemenata 1. stupca

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Slično, može se pokazati da i .

Konačno, to je lako uočiti

Dakle, dobijamo jednakost: .

Shodno tome, .

Jednakosti i se izvode na sličan način, odakle slijedi tvrdnja teoreme.

Sistemi linearnih jednačina. Uvjet kompatibilnosti za linearne jednadžbe. Kronecker-Capelli teorema.

Rješenje sistema algebarskih jednačina je takav skup od n brojeva C1,C2,C3……Cn, koji, kada se zameni u originalni sistem umjesto x1,x2,x3…..xn, pretvara sve jednačine sistem u identitete.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje.

Zajednički sistem se naziva definitivnim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima beskonačno mnogo rješenja.

Uslovi kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednačina.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREMA: Da bi sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih bio konzistentan, neophodno je i dovoljno da rang proširene matrice bude jednak rangu matrice A.

Napomena: Ova teorema daje samo kriterije za postojanje rješenja, ali ne ukazuje na način pronalaženja rješenja.

10 pitanje.

Sistemi linearnih jednačina. Osnovna metoda je opšta metoda za pronalaženje svih rješenja sistema linearnih jednačina.

A=a21 a22…..a2n

Osnovni manji metod:

Neka je sistem kompatibilan i RgA=RgA’=r. Neka je osnovni mol naslikan u gornjem lijevom uglu matrice A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Napomene: Ako je rang glavne matrice i razmatrane jednak r=n, tada je u ovom slučaju dj=bj i sistem ima jedinstveno rješenje.

Homogeni sistemi linearnih jednačina.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

AX=0 je homogen sistem.

AX = B je nehomogen sistem.

Homogeni sistemi su uvijek konzistentni.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorema 1.

Homogeni sistemi imaju nehomogena rješenja kada je rang matrice sistema manji od broja nepoznatih.

Teorema 2.

Homogeni sistem n-linearnih jednačina sa n-nepoznatima ima rešenje različito od nule kada je determinanta matrice A jednaka nuli. (detA=0)

Osobine rješenja homogenih sistema.

Svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema sama je rješenje za ovaj sistem.

α1C1 +α2C2 ; α1 i α2 su neki brojevi.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, tj. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

Za nehomogen sistem ovo svojstvo ne vrijedi.

Fundamentalni sistem odlučivanja.

Teorema 3.

Ako je rang matričnog sistema jednačine sa n-nepoznatima r, onda ovaj sistem ima n-r linearno nezavisnih rješenja.

Neka je osnovni mol u gornjem lijevom uglu. Ako je r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Sistem od n-r linearno nezavisnih rješenja homogenog sistema linearnih jednačina sa n-nepoznatima ranga r naziva se osnovni sistem rješenja.

Teorema 4.

Svako rješenje sistema linearnih jednačina je linearna kombinacija rješenja osnovnog sistema.

S = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Ako je r

12 pitanje.

Opšte rješenje nehomogenog sistema.

Spavanje (generalno neuniformno) \u003d COO + SCH (privatno)

AX=B (heterogeni sistem); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, jer je (ASoo) = 0

Spavanje \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Gaussova metoda.

Ovo je metoda sukcesivnog eliminacije nepoznanica (varijabli) - sastoji se u tome da se uz pomoć elementarnih transformacija izvorni sistem jednadžbi svodi na ekvivalentni sistem postupnog oblika, iz kojeg se sve ostale varijable nalaze sekvencijalno. , počevši od posljednjih varijabli.

Neka je a≠0 (ako to nije slučaj, onda se to postiže preuređivanjem jednačina).

1) isključimo varijablu x1 iz druge, treće ... n-te jednačine, pomnožimo prvu jednačinu odgovarajućim brojevima i dobijene rezultate dodamo 2., 3. ... n-toj jednadžbi, tada dobijamo:

Dobijamo sistem koji je ekvivalentan originalnom.

2) isključiti varijablu x2

3) izuzimamo varijablu x3, itd.

Nastavljajući proces sekvencijalne eliminacije varijabli x4;x5...xr-1 dobijamo za (r-1)-ti korak.

Broj nula posljednjeg n-r u jednadžbi znači da njihova lijeva strana izgleda ovako: 0x1 +0x2+..+0xn

Ako barem jedan od brojeva vr+1, vr+2… nije jednak nuli, tada je odgovarajuća jednakost nekonzistentna i sistem (1) nije konzistentan. Dakle, za bilo koji konzistentan sistem, ovaj vr+1 … vm je jednak nuli.

Posljednje n-r jednačine u sistemu (1;r-1) su identiteti i mogu se zanemariti.

Moguća su dva slučaja:

a) broj jednačina sistema (1; r-1) jednak je broju nepoznatih, tj. r = n (u ovom slučaju sistem ima trouglasti oblik).

b)r

Prelazak iz sistema (1) u ekvivalentni sistem (1; r-1) naziva se direktnim potezom Gaussove metode.

O pronalaženju varijable iz sistema (1; r-1) - obrnutim tokom Gaussove metode.

Gaussove transformacije se zgodno izvode tako što se ne implementiraju pomoću jednačina, već s proširenom matricom njihovih koeficijenata.

13 pitanje.

slične matrice.

Razmotrićemo samo kvadratne matrice reda n/

Za matricu A se kaže da je slična matrici B (A~B) ako postoji nesingularna matrica S takva da je A=S-1BS.

Svojstva sličnih matrica.

1) Matrica A je slična samoj sebi. (A~A)

Ako je S=E onda EAE=E-1AE=A

2) Ako je A~B, onda B~A

Ako je A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Ako je A~B i istovremeno B~C, onda A~C

S obzirom da je A=S1-1BS1, i B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, gdje je S3 = S2S1

4) Determinante sličnih matrica su jednake.

S obzirom da je A~B, potrebno je dokazati da je detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (smanjenje) = detB.

5) Rangovi sličnih matrica su isti.

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrica.

Broj λ se naziva svojstvena vrijednost matrice A ako postoji vektor X različit od nule (stupac matrice) takav da je AX = λ X, vektor X se naziva svojstveni vektor matrice A, a skup svih svojstvenih vrijednosti naziva se spektar matrice A.

Svojstva sopstvenih vektora.

1) Kada množimo svojstveni vektor brojem, dobijamo svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrednošću.

AX \u003d λ X; H≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) = α (λ X) = \u003d λ (α X)

2) Sopstveni vektori sa parom različitim sopstvenim vrednostima su linearno nezavisni λ1, λ2,.. λk.

Neka se sistem sastoji od 1. vektora, napravimo induktivni korak:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - pomnožite sa A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn = 0

Pomnožite sa λn+1 i oduzmite

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

S1 λ1 H1 +S2 λ2 H2 + .. +Sn λn Hn+ Sn+1 λn+1 Hn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Potrebno je da C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Karakteristična jednačina.

A-λE se zove karakteristična matrica za matricu A.

Da bi vektor X različit od nule bio svojstveni vektor matrice A, koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, potrebno je da bude rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi (A - λE)X = 0

Sistem ima netrivijalno rješenje kada je det (A - XE) = 0 - ovo je karakteristična jednačina.

Izjava!

Karakteristične jednadžbe sličnih matrica se poklapaju.

det(S-1AS - λE) = det(S-1AS - λ S-1ES) = det(S-1 (A - λE)S) = det S-1 det(A - λE) detS= det(A - λE)

Karakteristični polinom.

det(A – λE) - funkcija u odnosu na parametar λ

det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Ovaj polinom se naziva karakterističnim polinomom matrice A.

Posljedica:

1) Ako su matrice A~B, onda je zbir njihovih dijagonalnih elemenata isti.

a11+a22+..+ann = v11+v22+..+vnn

2) Skup svojstvenih vrijednosti sličnih matrica se poklapa.

Ako su karakteristične jednadžbe matrica iste, onda one nisu nužno slične.

Za matricu A

Za matricu B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Da bi se matrica A reda n mogla dijagonalizovati, potrebno je da postoje linearno nezavisni sopstveni vektori matrice A.

Posljedica.

Ako su sve vlastite vrijednosti matrice A različite, onda je ona dijagonalizirana.

Algoritam za pronalaženje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti.

1) sastaviti karakterističnu jednačinu

2) pronaći korijene jednačina

3) sastaviti sistem jednačina za određivanje sopstvenog vektora.

λi (A-λi E)X = 0

4) pronaći osnovni sistem rješenja

x1,x2..xn-r, gdje je r rang karakteristične matrice.

r = Rg(A - λi E)

5) svojstveni vektor, svojstvene vrijednosti λi se zapisuju kao:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, gdje je C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) provjeravamo da li se matrica može svesti na dijagonalni oblik.

7) pronaći Ag

Ag = S-1AS S=

15 pitanje.

Osnova linije, ravni, prostora.

DIV_ADBLOCK371">

Modul vektora je njegova dužina, odnosno udaljenost između A i B (││, ││). Modul vektora je jednak nuli, kada je ovaj vektor nula (│ō│=0)

4.Ort vektor.

Orth datog vektora je vektor koji ima isti smjer kao i dati vektor i ima modul jednak jedan.

Jednaki vektori imaju jednake ortove.

5. Ugao između dva vektora.

Ovo je manji dio površine, ograničen sa dvije zrake koje izlaze iz iste tačke i usmjerene su u istom smjeru kao i dati vektori.

Sabiranje vektora. Množenje vektora brojem.

1) Sabiranje dva vektora

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Množenje vektora skalarom.

Proizvod vektora i skalara je novi vektor koji ima:

a) = proizvodi modula pomnoženog vektora sa apsolutnom vrijednošću skalara.

b) smjer je isti kao pomnoženi vektor ako je skalar pozitivan, a suprotan ako je skalar negativan.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Svojstva linearnih operacija na vektorima.

1. Zakon o komunitativnosti.

2. Zakon asocijativnosti.

3. Sabiranje sa nulom.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Sabiranje sa suprotnim.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Zakon distributivnosti.

Izraz vektora u smislu njegovog modula i jediničnog vektora.

Maksimalni broj linearno nezavisnih vektora naziva se baza.

Osnova na liniji je bilo koji vektor različit od nule.

Osnova na ravni su bilo koja dva nekalenarna vektora.

Baza u prostoru je sistem bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Koeficijent proširenja vektora u nekoj bazi nazivamo komponente ili koordinate vektora u datoj bazi.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> izvrši sabiranje i množenje skalarom, a zatim kao rezultat bilo koji broj takvih radnji koje dobijamo:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se nazivaju linearno zavisnim ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija jednaka ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> se nazivaju linearno nezavisnim ako ne postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija.

Svojstva linearno zavisnih i nezavisnih vektora:

1) sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> su linearno zavisne, neki vektor mora biti linearna kombinacija drugih vektora.

3) ako su neki od vektora iz sistema a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) linearno zavisni, tada su svi vektori linearno zavisni.

4) ako su svi vektori https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Linearne operacije u koordinatama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λa3)DIV_ADBLOCK374">

Skalarni proizvod 2 vektora je broj jednak proizvodu vektora i kosinusa ugla između njih.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 ako i samo ako su vektori ortogonalni ili je bilo koji od vektora jednak 0.

4. Distributivnost (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Izraz skalarnog proizvoda a i b u smislu njihovih koordinata

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Kada je uslov () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> i zove se treći vektor koji zadovoljava sljedeće jednačine:

3. - tačno

Vektorska svojstva proizvoda:

4. Vektorski proizvod koordinatnih vektora

ortonormalna osnova.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Često se koriste 3 simbola za označavanje ortonormalne osnove

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Ako je ortonormalna baza, onda

DIV_ADBLOCK375">

Prava linija u avionu. Međusobni raspored 2 prave linije. Udaljenost od tačke do prave linije. Ugao između dvije linije. Uslov paralelnosti i okomitosti 2 prave.

1. Poseban slučaj lokacije 2 prave na ravni.

1) - jednačina ravne paralelne ose OX

2) - jednačina prave paralelne osi OS

2. Međusobni raspored 2 prave linije.

Teorema 1 Neka su jednačine pravih date u odnosu na afini koordinatni sistem

A) Tada je potreban i dovoljan uslov kada se sijeku:

B) Tada je neophodan i dovoljan uslov za činjenicu da su prave paralelne uslov:

B) Tada je neophodan i dovoljan uslov da se linije spoje u jednu je uslov:

3. Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Udaljenost od tačke do prave u odnosu na kartezijanski koordinatni sistem:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Ugao između dvije prave linije. Okomito stanje.

Neka su 2 prave date u odnosu na Dekartov koordinatni sistem opštim jednačinama.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Ako , tada su linije okomite.

24 pitanje.

avion u svemiru. Uvjet komplonarnosti za vektor i ravan. Udaljenost od tačke do ravni. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije ravni.

1. Uvjet komplonarnosti za vektor i ravan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Ugao između 2 ravni. Okomito stanje.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Ako , tada su ravnine okomite.

25 pitanje.

Prava linija u prostoru. Različite vrste jednačina prave u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektorska jednadžba prave linije u prostoru.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Kanonska jednadžba je direktna.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 pitanje.

Elipsa. Izvođenje jednadžbe kanonske elipse. Forma. Svojstva

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dvije fiksne udaljenosti, koje se nazivaju fokusi, za dati broj 2a veći od udaljenosti 2c između žarišta.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

na sl.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e tangenta na elipsu

DIV_ADBLOCK378">

Kanonska jednadžba hiperbole

Forma i sv.

y=±b/a pomnožiti s korijenom (x2-a2)

Osa simetrije hiperbole su njene ose

Segment 2a - realna osa hiperbole

Ekscentricitet e=2c/2a=c/a

Ako je b=a dobijamo jednakokračnu hiperbolu

Asimptota je prava ako, uz neograničeno uklanjanje tačke M1 duž krive, udaljenost od tačke do prave teži nuli.

lim d=0 za x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangent hiperbole

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabola - lokus tačaka jednako udaljenih od tačke koja se zove fokus i date prave koja se zove direktrisa

Kanonska parabola jednadžba

svojstva

os simetrije parabole prolazi kroz njen fokus i okomita je na direktrisu

ako rotirate parabolu, dobićete eliptični paraboloid

sve parabole su slične

Pitanje 30. Istraživanje jednačine opšteg oblika krive drugog reda.

Tip krivulje def. sa vodećim pojmovima A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->kriva paraboličnog tipa

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Ako je E=0 => Ax2+2Dx+F=0

tada se x1=x2 - spaja u jedno

x1≠x2 - prave su paralelne Oy

x1≠x2 i imaginarne korijene, nema geometrijsku sliku

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Zaključak: parabolična kriva je ili parabola, ili 2 paralelne prave, ili imaginarna, ili se spajaju u jednu.

2.AC>0 -> kriva eliptičkog tipa

Dopunjujući originalnu jednačinu punim kvadratom, transformiramo je u kanonski, zatim dobivamo slučajeve

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elipsa

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - imaginarna elipsa

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - tačka sa koordinatom x0 y0

Zaključak: kriva el. tip je ili elipsa, ili imaginarni, ili tačka

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, realna os je paralelna

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, realna osa paralelna sa Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e od dva reda

Zaključak: kriva hiperboličkog tipa je ili hiperbola ili dvije prave

Matrix dimenzija se naziva tablica brojeva koja sadrži redove i stupce. Brojevi se nazivaju elementi ove matrice, gdje je broj reda, a broj kolone na čijem se presjeku nalazi ovaj element. Matrica koja sadrži redove i stupce izgleda ovako: .

Vrste matrica:

1) u - kvadrat , i oni zovu matrični red ;

2) kvadratna matrica u kojoj su svi vandijagonalni elementi jednaki nuli

– dijagonala ;

3) dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki

jedinica - single i označava se sa ;

4) u - pravougaona ;

5) at - matrica-red (vektor-red);

6) at - matrica-kolona (vektor-kolona);

7) za sve je nula matrica.

Imajte na umu da je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice njena determinanta. Determinanta koja odgovara matrici th reda ima i th red.

Determinanta matrice 1. reda se zove broj.

Matrična determinanta 2. reda nazvao broj . (1.1)

Matrična determinanta 3. reda nazvao broj . (1.2)

Dajemo definicije potrebne za dalje izlaganje.

Maloljetni M ij element a ij matrice n- red A naziva se determinanta matrice ( n-1)- red dobijen iz matrice A brisanjem i-ti red i j-th kolona.

Algebarski komplement A ij element a ij matrice n- reda A naziva se minor ovog elementa, uzet sa predznakom .

Formulirajmo glavna svojstva determinanti koje su svojstvene determinantama svih redova i pojednostavimo njihovo izračunavanje.

1. Prilikom transponiranja matrice, njena determinanta se ne mijenja.

2. Kada se dva reda (kolone) matrice zamijene, njena determinanta mijenja predznak.

3. Determinanta koja ima dva proporcionalna (jednaka) reda (kolone) jednaka je nuli.

4. Zajednički faktor elemenata bilo kojeg reda (kolone) determinante može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Ako su elementi bilo kojeg reda (kolone) determinante zbir dva člana, onda se determinanta može rastaviti u zbir dvije odgovarajuće determinante.

6. Determinanta se neće promijeniti ako se elementi bilo kojeg njenog reda (kolone) dodaju odgovarajućim elementima njenog drugog reda (kolone), prethodno pomnožene bilo kojim brojem.

7. Determinanta matrice jednaka je zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg njenog reda (kolona) i algebarskih komplemenata ovih elemenata.

Objasnimo ovo svojstvo na primjeru determinante trećeg reda. U ovom slučaju svojstvo 7 to znači – proširenje determinante elementima 1. reda. Imajte na umu da je red (kolona) u kojem ima nula elemenata odabran za proširenje, pošto članovi koji im odgovaraju u proširenju nestaju.

Svojstvo 7 je Laplaceova teorema o dekompoziciji determinante.

8. Zbir proizvoda bilo kojeg reda (kolone) determinante i algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata njegovog drugog reda (kolone) jednak je nuli.

Ovo posljednje svojstvo se često naziva pseudodekompozicijom determinante.

Pitanja za samoispitivanje.

1. Šta se naziva matrica?

2. Koja matrica se zove kvadrat? Šta se podrazumeva pod njegovim redosledom?

3. Koja matrica se zove dijagonala, identitet?

4. Koja matrica se zove matrica reda i matrica stupaca?

5. Koja je glavna numerička karakteristika kvadratne matrice?

6. Koji broj se zove determinanta 1., 2. i 3. reda?

7. Šta se naziva sporednim i algebarskim komplementom matričnog elementa?

8. Koja su glavna svojstva determinanti?

9. Koje svojstvo se može koristiti za izračunavanje determinante bilo kojeg reda?

Matrične akcije(šema 2)

Na skupu matrica definiran je niz operacija, a glavne su sljedeće:

1) transpozicija – zamjena redova matrice kolonama, a kolona redovima;

2) množenje matrice brojem vrši se element po element, tj , gdje , ;

3) sabiranje matrice, definisano samo za matrice iste dimenzije;

4) množenje dve matrice, definisano samo za konzistentne matrice.

Zbir (razlika) dvije matrice naziva se takva rezultirajuća matrica čiji je svaki element jednak zbroju (razlici) odgovarajućih elemenata matričnih članova.

Pozivaju se dvije matrice pristao ako je broj kolona prvog jednak broju redova drugog. Proizvod dvije konzistentne matrice i takva rezultujuća matrica se zove , šta , (1.4)

gdje, . Iz toga slijedi da je element -tog reda i -tog stupca matrice jednak zbroju parnih proizvoda elemenata -tog reda matrice i elemenata -tog stupca matrice matrica .

Proizvod matrica nije komutativan, odnosno A . B B . O. Izuzetak je, na primjer, proizvod kvadratnih matrica po identitetu A . E = E . ALI.

Primjer 1.1. Pomnožite matrice A i B ako:

Rješenje. Pošto su matrice konzistentne (broj stupaca matrice je jednak broju redova matrice), koristimo formulu (1.4):

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koje se radnje izvode na matricama?

2. Šta se zove zbir (razlika) dvije matrice?

3. Šta se naziva proizvodom dvije matrice?

Cramerova metoda za rješavanje kvadratnih sistema linearnih algebarskih jednačina(šema 3)

Dajemo nekoliko potrebnih definicija.

Sistem linearnih jednačina se naziva heterogena , ako je barem jedan od njegovih slobodnih članova različit od nule, i homogena ako su svi slobodni članovi jednaki nuli.

Rješavanje sistema jednačina naziva se uređeni skup brojeva, koji, budući da je zamijenjen promjenljivim u sistemu, pretvara svaku od njegovih jednačina u identitet.

Sistem jednačina se zove joint ako ima barem jedno rješenje, i nekompatibilno ako nema rješenja.

Zajednički sistem jednačina se zove siguran ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjesno ako ima više od jednog rješenja.

Razmotrimo nehomogeni kvadratni sistem linearnih algebarskih jednadžbi, koji ima sljedeći opći oblik:

. (1.5) Glavna matrica sistema linearne algebarske jednadžbe nazivaju se matrica sastavljena od koeficijenata u nepoznanicama: .

Determinanta glavne matrice sistema se zove glavna odrednica i označava se.

Pomoćna determinanta se dobija iz glavne determinante zamenom i-te kolone sa kolonom slobodnih članova.

Teorema 1.1 (Cramerova teorema). Ako je glavna determinanta kvadratnog sistema linearnih algebarskih jednadžbi različita od nule, tada sistem ima jedinstveno rešenje izračunato po formulama:

Ako je glavna determinanta, onda sistem ili ima beskonačan skup rješenja (za sve nulte pomoćne determinante) ili uopće nema rješenja (ako se barem jedna od pomoćnih determinanti razlikuje od nule)

U svjetlu gornjih definicija, Cramerova teorema se može formulirati drugačije: ako je glavna determinanta sistema linearnih algebarskih jednačina različita od nule, tada je sistem zajednički definiran i, štaviše, ; ako je glavna determinanta nula, tada je sistem ili konzistentan neodređen (za sve) ili nekonzistentan (ako je barem jedan od njih različit od nule).

Nakon toga, dobiveno rješenje treba provjeriti.

Primjer 1.2. Riješite sistem Cramerovom metodom

Rješenje. Pošto je glavna determinanta sistema

je različit od nule, onda sistem ima jedinstveno rješenje. Izračunajte pomoćne determinante

Koristimo Cramerove formule (1.6): , ,

Pitanja za samoispitivanje.

1. Šta se naziva rješenjem sistema jednačina?

2. Koji sistem jednačina se naziva kompatibilnim, nekompatibilnim?

3. Koji sistem jednačina se naziva definitivnim, neodređenim?

4. Koja matrica sistema jednačina se zove glavna?

5. Kako izračunati pomoćne determinante sistema linearnih algebarskih jednačina?

6. Koja je suština Cramerove metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina?

7. Šta može biti sistem linearnih algebarskih jednačina ako mu je glavna determinanta jednaka nuli?

Rješenje kvadratnih sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom inverzne matrice(šema 4)

Poziva se matrica koja ima determinantu različitu od nule nedegenerisan ; imajući determinantu jednaku nuli - degenerisati .

Matrica se naziva inverzna za datu kvadratnu matricu, ako se množenjem matrice njenim inverzom i na desnoj i na lijevoj strani, dobije matrica identiteta, tj. (1.7)

Imajte na umu da je u ovom slučaju proizvod matrica i komutativan.

Teorema 1.2. Neophodan i dovoljan uslov za postojanje inverzne matrice za datu kvadratnu matricu je razlika od nule determinante date matrice

Ako se glavna matrica sistema ispostavi da je degenerisana tokom verifikacije, onda za nju ne postoji inverzna, a metoda koja se razmatra ne može se primeniti.

Ako je glavna matrica nesingularna, odnosno determinanta je 0, tada za nju možete pronaći inverznu matricu koristeći sljedeći algoritam.

1. Izračunajte algebarske komplemente svih elemenata matrice .

2. Zapišite pronađene algebarske dodatke transponiranoj matrici.

3. Sastavite inverznu matricu prema formuli: (1.8)

4. Provjerite ispravnost pronađene matrice A-1 prema formuli (1.7). Imajte na umu da ova provjera može biti uključena u završnu provjeru samog sistemskog rješenja.

Sistem (1.5) linearnih algebarskih jednačina može se predstaviti kao matrična jednačina: , gdje je glavna matrica sistema, je stupac nepoznanica, a kolona slobodnih članova. Pomnožimo ovu jednačinu na lijevoj strani inverznom matricom, dobićemo:

Budući da po definiciji inverzne matrice, jednadžba poprima oblik ili . (1.9)

Dakle, da biste riješili kvadratni sistem linearnih algebarskih jednačina, trebate pomnožiti stupac slobodnih članova lijevo sa matricom inverznom za glavnu matricu sistema. Nakon toga treba provjeriti dobiveno rješenje.

Primjer 1.3. Rešite sistem metodom inverzne matrice

Rješenje. Izračunajte glavnu determinantu sistema

. Dakle, matrica je nesingularna i njena inverzna matrica postoji.

Pronađite algebarske komplemente svih elemenata glavne matrice:

Zapisujemo algebarske sabirke transponovane u matricu

. Koristimo formule (1.8) i (1.9) da pronađemo rješenje za sistem

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koja matrica se zove degenerisana, nedegenerisana?

2. Koja matrica se zove inverzna za datu? Šta je uslov za njegovo postojanje?

3. Koji je algoritam za pronalaženje inverzne matrice za datu?

4. Kojoj matričnoj jednačini je ekvivalentan sistem linearnih algebarskih jednačina?

5. Kako riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina koristeći inverznu matricu za glavnu matricu sistema?

Proučavanje nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina(šema 5)

Proučavanje bilo kojeg sistema linearnih algebarskih jednačina počinje transformacijom njegove proširene matrice Gausovom metodom. Neka je dimenzija glavne matrice sistema .

Matrix zove proširena sistemska matrica , ako, zajedno sa koeficijentima nepoznatih, sadrži kolonu slobodnih pojmova. Dakle, dimenzija je .

Gaussova metoda se zasniva na elementarne transformacije , koji uključuju:

– permutacija redova matrice;

– množenje redova matrice brojem koji se razlikuje od volana;

– elementarno sabiranje redova matrice;

- brisanje nulte linije;

– transpozicija matrice (u ovom slučaju transformacije se izvode po kolonama).

Elementarne transformacije dovode originalni sistem u sistem koji mu je ekvivalentan. Sistemi nazivaju se ekvivalentnim ako imaju isti skup rješenja.

Matrix rang je najviši red njegovih minora koji nisu nula. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.

Sljedeća teorema odgovara na pitanje da li nehomogen sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Teorema 1.3 (Kronecker-Capelli teorem). Nehomogen sistem linearnih algebarskih jednačina je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sistema jednak rangu njegove glavne matrice, tj.

Označimo broj redova preostalih u matrici nakon Gaussove metode kao (odnosno, sistem ostaje jednačinama). Ove linije matrice se pozivaju osnovni .

Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje (zajedno je definirano), njegova matrica se elementarnim transformacijama svodi na trokutast oblik. Takav sistem se može riješiti Cramerovom metodom, korištenjem inverzne matrice, ili univerzalnom Gaussovom metodom.

Ako je (broj varijabli u sistemu veći od jednačina), matrica se elementarnim transformacijama svodi na stepenasti oblik. Takav sistem ima mnogo rješenja i zajednički je neodređen. U ovom slučaju, za pronalaženje rješenja za sistem, potrebno je izvršiti niz operacija.

1. Ostavite u lijevim dijelovima jednadžbe sistema nepoznanica ( bazne varijable ), premjestiti preostale nepoznanice na desnu stranu ( slobodne varijable ). Nakon podjele varijabli na osnovne i slobodne, sistem poprima oblik:

. (1.10)

2. Od koeficijenata na osnovnim varijablama napravite minor ( osnovni mol ), koji mora biti različit od nule.

3. Ako je osnovni minor sistema (1.10) jednak nuli, tada se jedna od osnovnih varijabli zamjenjuje slobodnom; provjeriti dobijeni bazni minor različit od nule.

4. Primjenom formula (1.6) Cramerove metode, smatrajući desnu stranu jednačina kao njihove slobodne članove, naći izraz osnovnih varijabli u terminima slobodnih u opštem obliku. Rezultirajući uređeni skup sistemskih varijabli je njegov zajedničko rešenje .

5. Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim varijablama u (1.10), izračunajte odgovarajuće vrijednosti osnovnih varijabli. Poziva se rezultirajući uređeni skup vrijednosti svih varijabli privatna odluka sistema koji odgovaraju datim vrijednostima slobodnih varijabli. Sistem ima beskonačan broj konkretnih rješenja.

6. Get osnovno rešenje sistem je određeno rješenje dobiveno pri nultim vrijednostima slobodnih varijabli.

Imajte na umu da je broj osnovnih skupova varijabli sistema (1.10) jednak broju kombinacija elemenata po elementima. Kako svaki osnovni skup varijabli ima svoje osnovno rješenje, tako i sistem ima osnovna rješenja.

Homogeni sistem jednačina je uvijek kompatibilan, jer ima najmanje jedno - nulto (trivijalno) rješenje. Da bi homogeni sistem linearnih jednadžbi sa varijablama imao rješenja različita od nule, potrebno je i dovoljno da mu glavna determinanta bude jednaka nuli. To znači da je rang njegove glavne matrice manji od broja nepoznanica. U ovom slučaju, proučavanje homogenog sistema jednačina za opšta i pojedinačna rješenja se izvodi slično kao i proučavanje nehomogenog sistema. Rješenja homogenog sistema jednačina imaju važno svojstvo: ako su poznata dva različita rješenja homogenog sistema linearnih jednačina, onda je i njihova linearna kombinacija rješenje ovog sistema. Lako je provjeriti valjanost sljedeće teoreme.

Teorema 1.4. Opšte rješenje nehomogenog sistema jednačina je zbir opšteg rješenja odgovarajućeg homogenog sistema i nekog posebnog rješenja nehomogenog sistema jednačina

Primjer 1.4.

Istražite dati sistem i pronađite jedno konkretno rješenje:

Rješenje. Hajde da napišemo proširenu matricu sistema i primenimo elementarne transformacije na nju:

. Pošto i , onda je prema teoremi 1.3 (Kronecker-Capelli) dati sistem linearnih algebarskih jednačina konzistentan. Broj varijabli, odnosno , znači da je sistem neodređen. Broj osnovnih skupova sistemskih varijabli je jednak

. Prema tome, 6 skupova varijabli mogu biti osnovni: . Hajde da razmotrimo jednu od njih. Tada se sistem dobijen kao rezultat Gaussove metode može prepisati u formu

. Glavna odrednica . Koristeći Cramerovu metodu, tražimo opšte rješenje sistema. Pomoćne odrednice

Po formulama (1.6) imamo

. Ovaj izraz osnovnih varijabli u terminima slobodnih je opšte rešenje sistema:

Za određene vrijednosti slobodnih varijabli, iz opšteg rješenja dobijamo posebno rješenje sistema. Na primjer, određeno rješenje odgovara vrijednostima slobodnih varijabli . Za , dobijamo osnovno rješenje sistema

Pitanja za samoispitivanje.

1. Koji sistem jednačina se naziva homogenim, nehomogenim?

2. Koja matrica se zove proširena?

3. Navedite osnovne elementarne transformacije matrica. Koja metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina se zasniva na ovim transformacijama?

4. Šta se naziva rangom matrice? Na koji način se može izračunati?

5. Šta kaže Kronecker-Capelli teorema?

6. U koji se oblik može svesti sistem linearnih algebarskih jednačina kao rezultat njegovog rješavanja Gaussovom metodom? Šta to znači?

7. Koji se redovi matrice nazivaju osnovnim?

8. Koje varijable sistema se nazivaju osnovnim, a koje su slobodne?

9. Koje rješenje nehomogenog sistema se naziva privatnim?

10. Koje rješenje se naziva osnovnim? Koliko osnovnih rješenja ima nehomogeni sistem linearnih jednačina?

11. Koje rješenje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina se naziva općim? Formulisati teoremu o opštem rešenju nehomogenog sistema jednačina.

12. Koja su glavna svojstva rješenja homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina?

Imajte na umu da elementi matrice ne mogu biti samo brojevi. Zamislite da opisujete knjige koje se nalaze na vašoj polici. Neka vaša polica bude uredna i sve knjige stoje na strogo određenim mjestima. Tabela koja će sadržavati opis vaše biblioteke (prema policama i redoslijedu knjiga na polici) također će biti matrica. Ali takva matrica neće biti numerička. Još jedan primjer. Umjesto brojeva, postoje različite funkcije koje su međusobno povezane nekom ovisnošću. Rezultirajuća tabela će se takođe zvati matrica. Drugim riječima, Matrix je bilo koji pravokutni sto sastavljen od homogena elementi. Ovdje i u nastavku ćemo govoriti o matricama sastavljenim od brojeva.

Umjesto zagrada, matrice se pišu uglastim zagradama ili ravnim dvostrukim okomitim linijama.

(2.1*)

Definicija 2. Ako u izrazu(1) m = n , onda pričaju o tome kvadratna matrica, šta ako , nešto o tome pravougaona.

Ovisno o vrijednostima m i n, postoje neke posebne vrste matrica:

Najvažnija karakteristika kvadrat matrica je njegova odrednica ili odrednica, koji se sastoji od matričnih elemenata i označava se

Očigledno, D E =1; .

Definicija 3. Ako a , zatim matrica A pozvao nedegenerisan ili nije posebno.

Definicija 4. Ako a detA = 0 , zatim matrica A pozvao degenerisati ili poseban.

Definicija 5. Dvije matrice A i B pozvao jednaka i pisati A=B ako su iste dimenzije i njihovi odgovarajući elementi su jednaki, tj..

Na primjer, matrice i su jednake, jer jednake su veličine i svaki element jedne matrice jednak je odgovarajućem elementu druge matrice. Ali matrice se ne mogu nazvati jednakim, iako su determinante obje matrice jednake, a dimenzije matrica su iste, ali nisu svi elementi na istim mjestima jednaki. Matrice su različite jer imaju različite veličine. Prva matrica je 2x3, a druga 3x2. Iako je broj elemenata isti - 6 i sami elementi su isti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ali se nalaze na različitim mjestima u svakoj matrici. Ali matrice i su jednake, prema definiciji 5.

Definicija 6. Ako popravimo određeni broj stupaca matrice A i isti broj njegovih redova, tada elementi na presjeku navedenih stupaca i redova formiraju kvadratnu matricu n- reda, čija je odrednica pozvao minor k- matrica th reda A.

Primjer. Napišite tri minora drugog reda matrice

Tačke u prostoru, proizvod Rv daje drugi vektor koji definira položaj točke nakon rotacije. Ako a v je vektor reda, ista transformacija se može dobiti pomoću vR T, gdje R T - transponirano u R matrica.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

C# - Konzola - Olimpijske igre - Square Spiral

Matrica: definicija i osnovni pojmovi

Gdje dobiti snagu i inspiraciju Recharging 4 square matrix

Zbir i razlika matrica, množenje matrice brojem

Transponovana matrica / Transponovana matrica

Titlovi

Glavna dijagonala

Elementi a ii (i = 1, ..., n) čine glavnu dijagonalu kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj pravoj liniji koja prolazi od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog ugla matrice. Na primjer, glavna dijagonala matrice 4x4 na slici sadrži elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Dijagonala kvadratne matrice koja prolazi kroz donji lijevi i gornji desni ugao naziva se strana.

Posebne vrste

Ime	Primjer sa n = 3
Dijagonalna matrica	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))))
Donja trouglasta matrica	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Gornja trouglasta matrica	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Dijagonalne i trokutaste matrice

Ako su svi elementi izvan glavne dijagonale nula, A zove se dijagonala. Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale nula, A naziva se donja (gornja) trouglasta matrica.

Matrica identiteta

Q(x) = x T Sjekira

uzima samo pozitivne vrijednosti (odnosno, negativne vrijednosti ili oboje). Ako kvadratni oblik uzima samo ne-negativne (odnosno, samo nepozitivne) vrijednosti, kaže se da je simetrična matrica pozitivno poludefinirana (odnosno, negativna poludefinirana). Matrica je neodređena ako nije ni pozitivna ni negativna poludefinirana.

Simetrična matrica je pozitivno određena ako i samo ako su sve njene vlastite vrijednosti pozitivne. Tabela desno prikazuje dva moguća slučaja za 2×2 matrice.

Ako koristimo dva različita vektora, dobićemo bilinearni oblik povezan sa A:

B A (x, y) = x T Ay.

ortogonalna matrica

ortogonalna matrica je kvadratna matrica sa realnim elementima čiji su stupci i redovi ortogonalni jedinični vektori (odnosno, ortonormalni). Ortogonalnu matricu također možemo definirati kao matricu čiji je inverz jednak transponu:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

odakle sledi

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

ortogonalna matrica A uvijek reverzibilno ( A −1 = A T), jedinstveni ( A −1 = A*), i normalno ( A*A = aa*). Determinanta bilo koje ortonormalne matrice je ili +1 ili -1. Kao linearna mapa, svaka ortonormirana matrica sa determinantom +1 je jednostavna rotacija, dok je svaka ortonormirana matrica sa determinantom −1 ili jednostavna refleksija ili kompozicija refleksije i rotacije.

Operacije

Track

Odrednica det( A) ili | A| kvadratna matrica A je broj koji definira neka svojstva matrice. Matrica je invertibilna samo ako je njena determinanta različita od nule.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica, u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog ugla, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice koje imaju isti broj redova i stupaca.

Teorema uslova postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, neophodno je i dovoljno da bude nedegenerisana.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

U tabelu za rešavanje sistema jednačina Gausovom metodom upisati matricu A i sa desne strane (umesto desnih delova jednačina) dodeliti joj matricu E.
Koristeći Jordan transformacije, dovedite matricu A u matricu koja se sastoji od pojedinačnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
Ako je potrebno, preuredite redove (jednačine) posljednje tablice tako da se matrica identiteta E dobije ispod matrice A originalne tablice.
Napišite inverznu matricu A -1, koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E originalne tablice.

Primjer 1

Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Zapisujemo matricu A i na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta E. Koristeći Jordanove transformacije, matricu A svodimo na matricu identiteta E. Proračuni su prikazani u tabeli 31.1.

Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrice, dobija se matrica identiteta. Dakle, proračuni su tačni.

odgovor:

Rješenje matričnih jednačina

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, XA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C date matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate ovu jednačinu pomnožiti sa lijevom.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe.

Ostale jednadžbe se rješavaju slično.

Primjer 2

Riješite jednačinu AX = B ako

Rješenje: Pošto je inverz matrice jednak (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Zajedno s drugima, oni također nalaze primjenu matrične metode. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno uporediti funkcionisanje organizacija i njihovih strukturnih podjela.

U procesu primjene matričnih metoda analize može se izdvojiti nekoliko faza.

U prvoj fazi vrši se formiranje sistema ekonomskih indikatora i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), a duž vertikalnih grafikona - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi za svaki vertikalni stupac otkriva se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedinica.

Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom indikatoru matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje stručnjak.

Na poslednjem četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena Rj grupisane po rastućem ili opadajućem redu.

Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, u komparativnoj analizi različitih investicionih projekata, kao iu procjeni drugih pokazatelja ekonomskog učinka organizacija.