Diferencijalni račun. Diferencijalni i integralni račun

Nastaje krug čiji su najistaknutiji predstavnici bili braća Bernuli (Jakov i Johan) i Lopital. Godine, koristeći predavanja I. Bernoullija, L'Hopital je napisao prvi udžbenik koji opisuje novu metodu primijenjenu na teoriju ravnih krivih. Zvao ga je Analiza infinitezimala, dajući tako jedno od imena novoj grani matematike. Prezentacija se zasniva na konceptu varijabli, između kojih postoji neka veza, zbog čega promjena jedne povlači promjenu u drugoj. U Lopitalu je ova veza data uz pomoć ravnih krivulja: if M (\displaystyle M) je pokretna tačka ravne krive, zatim njene kartezijanske koordinate x (\displaystyle x) i y (\displaystyle y), koje se nazivaju apscisa i ordinata krive, su varijable i promjena x (\displaystyle x) povlači za sobom promjenu y (\displaystyle y). Koncept funkcije je odsutan: želeći da kaže da je zavisnost varijabli data, Lopital kaže da je "priroda krive poznata". Koncept diferencijala se uvodi na sljedeći način:

Infinitezimalni dio, kojim se varijabla kontinuirano povećava ili smanjuje, naziva se njezin diferencijal... Da bismo označili diferencijal varijable, koji je i sam izražen jednim slovom, koristit ćemo znak ili simbol d (\displaystyle d). ... Infinitezimalni dio, kojim se diferencijal varijabilne vrijednosti kontinuirano povećava ili smanjuje, naziva se ... drugi diferencijal.

Ove definicije su objašnjene geometrijski, sa sl. beskonačno mali priraštaji su prikazani kao konačni. Razmatranje se zasniva na dva zahtjeva (aksioma). prvo:

Zahteva se da se dve veličine, koje se razlikuju jedna od druge samo za beskonačno mali iznos, mogu uzeti [prilikom pojednostavljivanja izraza?] ravnodušno jedna umesto druge.

Otuda ispada x + d x = x (\displaystyle x+dx=x), dalje

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)- xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx)

Drugi uslov je:

Zahtijeva se da se kriva linija može smatrati zbirkom beskonačnog skupa beskonačno malih pravih linija.

Nastavak svake takve linije naziva se tangenta na krivulju. Istraživanje tangente kroz tačku M = (x, y) (\displaystyle M=(x,y)), L'Hopital pridaje veliku važnost količini

y d x d y − x (\displaystyle y(\frac (dx)(dy))-x),

dostizanje ekstremnih vrijednosti na tačkama pregiba krive, dok je omjer d y (\displaystyle dy) to d x (\displaystyle dx) ne pridaje se nikakav poseban značaj.

Pronalaženje ekstremnih tačaka je vrijedno pažnje. Ako uz kontinuirano povećanje apscise x (\displaystyle x) ordinate y (\displaystyle y) prvo raste, a zatim opada, a zatim diferencijal d y (\displaystyle dy) u početku pozitivno u poređenju sa d x (\displaystyle dx) a zatim negativan.

Ali bilo koja veličina koja se kontinuirano povećava ili smanjuje ne može se iz pozitivne u negativnu pretvoriti bez prolaska kroz beskonačnost ili nulu... Iz toga slijedi da diferencijal najveće i najmanje veličine mora biti jednak nuli ili beskonačnosti.

Ova formulacija vjerovatno nije besprijekorna, ako se prisjetimo prvog zahtjeva: neka, recimo, y = x 2 (\displaystyle y=x^(2)), zatim na osnovu prvog zahtjeva

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\displaystyle 2xdx+dx^(2)=2xdx);

na nuli, desna strana je nula, ali lijeva nije. Očigledno je to trebalo reći d y (\displaystyle dy) može se transformisati u skladu sa prvim zahtevom tako da se u tački maksimuma d y = 0 (\displaystyle dy=0). . U primjerima je sve samo po sebi razumljivo, a samo u teoriji prevojnih tačaka Lopital piše da d y (\displaystyle dy) jednaka nuli u tački maksimuma, kada se podijeli sa d x (\displaystyle dx) .

Dalje, samo uz pomoć diferencijala, formulišu se uslovi za ekstrem i razmatraju veliki broj složenih problema, uglavnom vezanih za diferencijalnu geometriju na ravni. Na kraju knjige, u pogl. 10, navedeno je ono što se danas zove L'Hopitalovo pravilo, iako u ne sasvim običnom obliku. Neka vrijednost ordinate y (\displaystyle y) kriva se izražava kao razlomak čiji brojnik i imenilac nestaju na . Zatim tačka krive sa x = a (\displaystyle x=a) ima ordinatu y (\displaystyle y), jednako omjeru diferencijala brojnika i diferencijala nazivnika, uzetog u x = a (\displaystyle x=a).

Prema L'Hopitalovoj zamisli, ono što je napisao bio je prvi dio Analize, dok je drugi trebao sadržavati integralni račun, odnosno metodu za pronalaženje veze varijabli poznatom vezom njihovih diferencijala. Njegovo prvo izlaganje daje Johann Bernoulli u svojoj Matematička predavanja o integralnoj metodi. Ovdje je data metoda za uzimanje većine elementarnih integrala i naznačene metode za rješavanje mnogih diferencijalnih jednačina prvog reda.

Ukazujući na praktičnu korisnost i jednostavnost nove metode, Leibniz je napisao:

Ono što čovek upućen u ovu računicu može da dobije tačno u tri reda, drugi najučeniji ljudi bili su primorani da traže, prateći složene zaobilaznice.

Euler

Leonard Euler

Promene koje su se desile tokom narednih pola veka ogledaju se u Ojlerovoj opsežnoj raspravi. Prezentacijom analize otvara se dvotomni "Uvod", koji sadrži istraživanja o različitim prikazima elementarnih funkcija. Termin "funkcija" prvi put se pojavljuje samo kod Leibniza, ali ga je Euler postavio za prve uloge. Prvobitno tumačenje koncepta funkcije bilo je da je funkcija izraz za brojanje (njemački Rechnungsausdrϋck) ili analitički izraz.

Funkcija varijabilne količine je analitički izraz sastavljen na neki način od ove promjenljive količine i brojeva ili konstantnih veličina.

Naglašavajući da „glavna razlika između funkcija leži u načinu na koji su sastavljene od varijabli i konstanti“, Euler nabraja radnje „pomoću kojih se veličine mogu kombinovati i miješati jedna s drugom; ove radnje su: sabiranje i oduzimanje, množenje i dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena; ovdje treba uključiti i rješenje [algebarskih] jednačina. Pored ovih operacija, zvanih algebarske, postoje mnoge druge, transcendentalne, kao što su: eksponencijalne, logaritamske i bezbrojne druge, koje se isporučuju integralnim računom. Takvo tumačenje omogućilo je lako rješavanje viševrijednih funkcija i nije zahtijevalo objašnjenje nad kojim poljem se funkcija smatra: izraz za brojanje je definiran za složene vrijednosti varijabli čak i kada to nije potrebno za problem u razmatranju.

Operacije u izrazu bile su dozvoljene samo u konačnom broju, a transcendentno je prodiralo uz pomoć beskonačno velikog broja ∞ (\displaystyle \infty ). U izrazima se ovaj broj koristi zajedno s prirodnim brojevima. Na primjer, takav izraz za eksponent se smatra valjanim

e x = (1 + x ∞) ∞ (\displaystyle e^(x)=\left(1+(\frac (x)(\infty ))\right)^(\infty )),

u kojoj su tek kasniji autori videli prelaz do granice. Urađene su različite transformacije sa analitičkim izrazima, što je omogućilo Euleru da pronađe reprezentacije za elementarne funkcije u obliku nizova, beskonačnih proizvoda, itd. izračunavanje vrijednosti funkcije u tački za svaku iz napisanih formula.

Za razliku od L'Hôpitala, Euler detaljno razmatra transcendentalne funkcije, a posebno dvije najproučavanije klase njih - eksponencijalnu i trigonometrijsku. On otkriva da se sve elementarne funkcije mogu izraziti pomoću aritmetičkih operacija i dvije operacije - uzimajući logaritam i eksponent.

Sam tok dokaza savršeno pokazuje tehniku korištenja beskonačno velikog. Nakon što je pomoću trigonometrijskog kruga odredio sinus i kosinus, Euler iz formula za sabiranje izvodi sljedeće:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , (\displaystyle (\cos x+(\ sqrt (-1))\sin x)(\cos y+(\sqrt (-1))\sin y)=\cos ((x+y))+(\sqrt (-1))\sin ((x +y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n (\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+(\sqrt (-1)) \sin x)^(n)+(\cos x-(\sqrt (-1))\sin x)^(n))

Pretpostavljam n = ∞ (\displaystyle n=\infty ) i z = n x (\displaystyle z=nx), on prima

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z (\displaystyle 2\cos z=\left(1+(\ frac ((\sqrt (-1))z)(\infty ))\desno)^(\infty )+\left(1-(\frac ((\sqrt (-1))z)(\infty )) \desno)^(\infty )=e^((\sqrt (-1))z)+e^(-(\sqrt (-1))z)),

odbacivanje infinitezimalnih vrijednosti višeg reda. Koristeći ovaj i sličan izraz, Ojler takođe dobija svoju čuvenu formulu

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x (\displaystyle e^((\sqrt (-1))x)=\cos (x)+(\sqrt (-1))\sin (x) ).

Nakon što je naznačio različite izraze za funkcije koje se sada nazivaju elementarnim, Ojler nastavlja sa razmatranjem krivulja u ravni, nacrtanih slobodnim kretanjem ruke. Po njegovom mišljenju, nije moguće pronaći jedinstveni analitički izraz za svaku takvu krivu (vidi i Kontroverzu o strunama). U 19. stoljeću, na prijedlog Casoratija, ova tvrdnja je smatrana pogrešnom: prema Weierstrassovoj teoremi, svaka kontinuirana kriva u modernom smislu može se približno opisati polinomima. U stvari, Euler se jedva uvjerio u to, jer još uvijek moramo prepisati odlomak do granice koristeći simbol ∞ (\displaystyle \infty ).

Ojlerovo predstavljanje diferencijalnog računa počinje teorijom konačnih razlika, nakon čega u trećem poglavlju slijedi filozofsko objašnjenje da je „beskonačno mala veličina upravo nula“, što najviše nije odgovaralo Ojlerovim savremenicima. Zatim se diferencijali formiraju iz konačnih razlika sa beskonačno malim prirastom i iz Newtonove interpolacijske formule, Taylorove formule. Ova metoda u suštini seže do Taylora (1715). U ovom slučaju, Euler ima stabilnu vezu d k y d x k (\displaystyle (\frac (d^(k)y)(dx^(k)))), što se, međutim, smatra omjerom dvije infinitezimale. Posljednja poglavlja posvećena su približnom proračunu pomoću serija.

U trovolumenskom integralnom računu, Euler uvodi koncept integrala na sljedeći način:

Funkcija čiji diferencijal = X d x (\displaystyle =Xdx), naziva se njegov integral i označava se znakom S (\displaystyle S) postavljen ispred.

U cjelini, ovaj dio Ojlerove rasprave posvećen je opštijem problemu integracije diferencijalnih jednačina sa moderne tačke gledišta. Čineći to, Euler pronalazi niz integrala i diferencijalnih jednadžbi koje dovode do novih funkcija, npr. Γ (\displaystyle \gama )-funkcije, eliptičke funkcije, itd. Rigorozan dokaz njihove neelementarnosti dali su 1830-ih Jacobi za eliptičke funkcije i Liouville (vidi elementarne funkcije).

Lagrange

Sljedeći veliki rad, koji je odigrao značajnu ulogu u razvoju koncepta analize, bio je Teorija analitičkih funkcija Lagrangea i opsežno prepričavanje Lagrangeovog djela, koje je Lacroix uradio na pomalo eklektičan način.

U želji da se potpuno riješi beskonačno malog, Lagrange je obrnuo vezu između izvoda i Taylorovog reda. Pod analitičkom funkcijom, Lagrange je shvatio proizvoljnu funkciju koja se istražuje metodama analize. On je samu funkciju označio kao , dajući grafički način za pisanje zavisnosti - ranije je Euler upravljao samo varijablama. Za primjenu metoda analize, prema Lagrangeu, potrebno je da se funkcija proširi u niz

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … (\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^(2)+\dots ),

čiji će koeficijenti biti nove funkcije x (\displaystyle x). Ostaje da se imenuje p (\displaystyle p) derivat (diferencijalni koeficijent) i označimo ga kao f ′ (x) (\displaystyle f"(x)). Dakle, koncept derivata je uveden na drugoj stranici rasprave i to bez pomoći infinitezimala. Ostaje to primijetiti

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … (\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots ),

pa koeficijent q (\displaystyle q) je dvostruki izvod izvoda f (x) (\displaystyle f(x)), to je

q = 1 2 ! f ″ (x) (\displaystyle q=(\frac (1)(2}f""(x)} !} itd.

Ovaj pristup tumačenju pojma derivacije koristi se u modernoj algebri i poslužio je kao osnova za stvaranje Weierstrassove teorije analitičkih funkcija.

Lagrange je operisao takve serije kao formalne i dobio niz izvanrednih teorema. Konkretno, po prvi put i prilično rigorozno dokazao je rješivost početnog problema za obične diferencijalne jednadžbe u formalnim redovima stepena.

Pitanje procjene tačnosti aproksimacija dobivenih parcijalnim zbrojima Taylorovog niza prvi je postavio Lagrange: na kraju Teorije analitičkih funkcija izveo je ono što se danas zove Taylorova Lagrangeova formula ostatka. Međutim, za razliku od modernih autora, Lagrange nije vidio potrebu da koristi ovaj rezultat da bi opravdao konvergenciju Taylorovog niza.

Pitanje da li se funkcije koje se koriste u analizi zaista mogu proširiti u niz stepena kasnije je postalo predmet rasprave. Naravno, Lagrange je znao da se u nekim točkama elementarne funkcije možda neće proširiti u niz stepena, ali u tim tačkama one se ni u kom smislu ne mogu razlikovati. Koshy u njegovom Algebarska analiza dao je funkciju kao kontraprimjer

f (x) = e − 1 / x 2 , (\displaystyle f(x)=e^(-1/x^(2)),)

produženo za nulu na nuli. Ova funkcija je svuda glatka na realnoj osi i ima nulti Maclaurinov niz na nuli, koji, prema tome, ne konvergira vrijednosti f (x) (\displaystyle f(x)). Protiv ovog primjera, Poisson je prigovorio da je Lagrange definirao funkciju kao jedan analitički izraz, dok je u Cauchyjevom primjeru funkcija drugačije data na nuli, a kada x ≠ 0 (\displaystyle x\not =0). Tek na kraju 19. stoljeća Pringsheim je dokazao da postoji beskonačno diferencibilna funkcija data jednim izrazom za koji Maclaurinov red divergira. Primjer takve funkcije je izraz

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! (\displaystyle \Psi (x)=\suma \limits _(k=0)^(\infty )(\frac (\cos ((3^(k)x)))(k}} !}.

Dalji razvoj

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun proučava definiciju, svojstva i primjene derivacijskih funkcija. Proces nalaženja derivata se zove diferencijaciju. S obzirom na funkciju i tačku u njenoj domeni, derivacija u toj tački je način kodiranja finog ponašanja te funkcije u blizini te tačke. Pronalaženjem derivacije funkcije u svakoj tački u domeni, može se definirati nova funkcija koja se zove derivirajuća funkcija ili jednostavno derivat od originalne funkcije. U matematičkom jeziku, derivat je linearno preslikavanje koje ima jednu funkciju kao ulaz, a drugu kao izlaz. Ovaj koncept je apstraktniji od većine procesa koji se proučavaju u elementarnoj algebri, gdje funkcije obično imaju jedan broj kao ulaz, a drugi kao izlaz. Na primjer, ako je funkciji udvostručavanja dat ulaz od tri, izlaz će biti šest; ako je ulaz u kvadratnu funkciju tri, izlaz će biti devet. Izvod također može imati kvadratnu funkciju kao ulaz. To znači da derivacija uzima sve informacije o funkciji kvadriranja, tj. kada je dva ulaz, daje četiri kao izlaz, pretvara tri u devet, četiri u šesnaest i tako dalje, i koristi te informacije da dobije drugu funkciju . (Izvod kvadratne funkcije je samo funkcija udvostručavanja.)

Najčešći simbol za označavanje izvedenice je znak nalik apostrofu koji se naziva prost. Dakle, derivacija funkcije f tu je f', izgovara se "f stroke". Na primjer, ako f(x) = x 2 je dakle funkcija kvadriranja f'(x) = 2x je njegov derivat, ovo je funkcija udvostručavanja.

Ako je ulaz funkcije vrijeme, onda je derivacija promjena u odnosu na vrijeme. Na primjer, ako f je funkcija koja ovisi o vremenu, i daje izlaz položaja lopte u vremenu, zatim izvod f određuje promjenu položaja lopte tokom vremena, odnosno brzinu lopte.

Neodređeni integral je primitivno, odnosno operacija inverzna od izvoda. F je neodređeni integral od f u slučaju kada f je derivat od F. (Ova upotreba velikih i malih slova za funkciju i njen neodređeni integral je uobičajena u računanju.)

Definitivni integral ulazna funkcija i izlazne vrijednosti je broj koji je jednak površini površine ograničene grafom funkcije, x-osom i dva pravolinijska segmenta od grafa funkcije do x-ose u tačkama izlazne vrijednosti. U tehničkom smislu, definitivni integral je granica zbira površina pravougaonika, koja se naziva Riemannov zbir.

Primjer iz fizike je izračunavanje udaljenosti prijeđene hodanjem u bilo kojem trenutku.

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e (\displaystyle \mathrm (udaljenost) =\mathrm (brzina) \cdot \mathrm (vrijeme))

Ako je brzina konstantna, operacija množenja je dovoljna, ali ako brzina varira, onda moramo primijeniti snažniju metodu izračunavanja udaljenosti. Jedna od ovih metoda je približan proračun razbijanjem vremena na odvojene kratke periode. Zatim pomnožimo vrijeme u svakom intervalu s bilo kojom brzinom u tom intervalu i zatim zbrojimo sve približne udaljenosti (Riemannov zbir) prijeđenih u svakom intervalu, dobićemo ukupnu pređenu udaljenost. Osnovna ideja je da ako koristite vrlo kratke intervale, tada će brzina na svakom od njih ostati manje-više konstantna. Međutim, Riemannov zbir daje samo približnu udaljenost. Da bismo pronašli tačnu udaljenost, moramo pronaći granicu svih takvih Riemannovih suma.

Ako a f(x) na dijagramu lijevo predstavlja promjenu brzine tokom vremena, zatim prijeđenog puta (između trenutaka a i b) je površina zasjenjenog područja s.

Za približnu procjenu ove površine, moguća je intuitivna metoda koja se sastoji u podjeli udaljenosti između a i b na određeni broj jednakih segmenata (segmenata) dužine Δx. Za svaki segment možemo odabrati jednu vrijednost funkcije f(x). Nazovimo ovu vrijednost h. Zatim površina pravougaonika sa bazom Δx i visina h daje udaljenost (vrijeme Δx pomnoženo sa brzinom h) prošao u ovom segmentu. Svaki segment je povezan sa prosječnom vrijednošću funkcije na njemu f(x)=h. Zbir svih takvih pravougaonika daje aproksimaciju površine ispod krive, što je procjena ukupnog prijeđenog puta. Smanjenje Δxće dati više pravokutnika iu većini slučajeva biti bolja aproksimacija, ali da bismo dobili tačan odgovor moramo izračunati granicu na Δx teži nuli.

Simbol integracije je ∫ (\displaystyle \int ), prošireno pismo S(S znači "suma"). Definitivni integral se piše kao:

∫ a b f (x) d x . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx.)

i glasi: "integral od a prije b funkcije f od x on x". Oznaka koju je predložio Leibniz dx je namijenjena za podjelu površine ispod krive na beskonačan broj pravokutnika tako da njihova širina Δx je beskonačno mala količina dx. U formulaciji računa zasnovanog na granicama, notacija

∫ a b … d x (\displaystyle \int _(a)^(b)\ldots \,dx)

treba shvatiti kao operator koji uzima funkciju kao ulaz i izlazi broj jednak površini. dx nije broj i ne može se množiti sa f(x).

Neodređeni integral ili antiderivat se piše kao:

∫ f (x) d x . (\displaystyle \int f(x)\,dx.)

Funkcije koje se razlikuju po konstanti imaju iste izvode, pa je stoga antiderivat date funkcije zapravo porodica funkcija koje se razlikuju samo po konstanti. Budući da je derivacija funkcije y = x² + C, gdje C- bilo koja konstanta, jednaka y' = 2x, tada je antiderivat potonjeg određen formulom:

∫ 2 x d x = x 2 + C . (\displaystyle \int 2x\,dx=x^(2)+C.)

Konstanta nedefinisanog tipa C u antiderivatu je poznata kao konstanta integracije.

Newton-Leibnizova teorema

Njutnova - Lajbnizova teorema, koja se još naziva glavna teorema analize navodi da su diferencijacija i integracija međusobno inverzne operacije. Tačnije, radi se o vrijednosti antiderivata za određene integrale. Budući da je općenito lakše izračunati antiderivativ nego primijeniti formulu određenog integrala, teorema pruža praktičan način za izračunavanje definitivnih integrala. Takođe se može tumačiti kao tačna izjava da je diferencijacija inverzna od integracije.

Teorema kaže: ako je funkcija f kontinuirano na segmentu [ a, b] i ako F postoji funkcija čiji je izvod jednak f na intervalu ( a, b), zatim:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . (\displaystyle \int _(a)^(b)f(x)\,dx=F(b)-F(a).)

Osim toga, za bilo koji x iz intervala ( a, b)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . (\displaystyle (\frac (d)(dx))\int _(a)^(x)f(t)\,dt=f(x).)

Ovaj uvid, koji su napravili i Newton i Leibniz, koji su svoje rezultate zasnovali na ranijem radu Isaaca Barrowa, bio je ključ za brzu diseminaciju analitičkih rezultata nakon što je njihov rad postao poznat. Osnovna teorema daje algebarsku metodu za izračunavanje mnogih definitivnih integrala bez ograničavajućih procesa, pronalaženjem antiderivativne formule. Osim toga, pojavio se prototip za rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe povezuju nepoznate funkcije sa njihovim derivatima, koriste se svuda u mnogim naukama.

Prijave

Matematička analiza ima široku primenu u fizici, računarstvu, statistici, inženjerstvu, ekonomiji, biznisu, finansijama, medicini, demografiji i drugim oblastima u kojima se može izgraditi matematički model za rešavanje problema i potrebno je pronaći njegovo optimalno rešenje.

Konkretno, gotovo svi pojmovi u klasičnoj mehanici i elektromagnetizmu su neraskidivo povezani jedni s drugima upravo pomoću klasične matematičke analize. Na primjer, s obzirom na poznatu distribuciju gustine objekta, njegovu masu, momente inercije, kao i ukupnu energiju u potencijalnom polju, mogu se pronaći pomoću diferencijalnog računa. Još jedan upečatljiv primjer primjene matematičke analize u mehanici je drugi Newtonov zakon: povijesno gledano, on direktno koristi izraz "brzina promjene" u formulaciji "Sila = masa × ubrzanje", budući da je ubrzanje vremenski derivat brzine ili druga derivacija vremena iz trajektorije ili prostornog položaja.

Matematička analiza se također koristi za pronalaženje približnih rješenja jednačina. U praksi, ovo je standardni način rješavanja diferencijalnih jednadžbi i pronalaženja korijena u većini aplikacija. Primjeri su Newtonova metoda, jednostavna metoda iteracije i metoda linearne aproksimacije. Na primjer, prilikom izračunavanja putanje svemirskog broda, varijanta Ojlerove metode koristi se za aproksimaciju krivolinijskih kurseva kretanja u odsustvu gravitacije.

Bibliografija

enciklopedijski članci

// Enciklopedijski leksikon: U 17 tomova. - St. Petersburg. : Vrstu. A. Plushard, 1835-1841.
// Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Efrona: u 86 svezaka (82 sveska i 4 dodatna). - St. Petersburg. , 1890-1907.

Obrazovna literatura

Standardni udžbenici

Već dugi niz godina u Rusiji su popularni sljedeći udžbenici:

Kurant, R. Kurs diferencijalnog i integralnog računa (u dva toma). Glavni metodološki nalaz kursa: prvo se jednostavno iznesu glavne ideje, a zatim im se daju rigorozni dokazi. Napisao ga je Courant dok je bio profesor na Univerzitetu u Getingenu 1920-ih pod uticajem Klajnovih ideja, a zatim prenet na američko tlo 1930-ih. Ruski prijevod iz 1934. i njegovo ponovno štampanje daje tekst prema njemačkom izdanju, prijevod iz 1960-ih (tzv. 4. izdanje) je kompilacija iz njemačke i američke verzije udžbenika i stoga je vrlo opsežan.
Fikhtengolts G. M. Kurs diferencijalnog i integralnog računa (u tri toma) i knjiga zadataka.
Demidovich B.P. Zbirka zadataka i vježbi iz matematičke analize.
Lyashko I. I. i drugi. Priručnik za višu matematiku, tom 1-5.

Neki univerziteti imaju svoje vlastite smjernice za analizu:

Moskovski državni univerzitet, MehMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Predavanja iz matematike. analiza.
Zorich V. A. Matematička analiza. I. dio: Nauka, 1981. 544 str.
Zorich V. A. Matematička analiza. Dio II. M.: Nauka, 1984. 640 str.
Kamynin L.I. Kurs matematičke analize (u dva toma). Moskva: Moscow University Press, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. Matematička analiza / Ed.

Učenik mora:

znati:

definicija granice funkcije u tački;

svojstva granice funkcije u tački;

Izvanredne formule granica;

određivanje kontinuiteta funkcije u tački,

svojstva kontinuiranih funkcija;

definicija izvedenice, njenog geometrijskog i fizičkog značenja; tablične izvedenice, pravila diferencijacije;

pravilo za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije; definicija diferencijala funkcije, njena svojstva; definicija izvoda i diferencijala višeg reda; određivanje ekstrema funkcije, konveksne funkcije, prevojnih tačaka, asimptota;

definicija neodređenog integrala, njegova svojstva, tabelarni integrali;

· formule za integraciju pomoću promjene varijable i po dijelovima za neodređeni integral;

definicija određenog integrala, njegova svojstva, osnovna formula integralnog računa - Newton-Leibnizova formula;

· formule za integraciju pomoću promjene varijable i po dijelovima za određeni integral;

· geometrijsko značenje određenog integrala, primjena određenog integrala.

biti u stanju:

Izračunati granice sekvenci i funkcija; otkriti nesigurnosti;

· izračunati izvode kompleksnih funkcija, izvode i diferencijale višeg reda;

pronalaženje ekstrema i prelomnih tačaka funkcija;

· provesti proučavanje funkcija uz pomoć izvoda i izgraditi njihove grafove.

Izračunati neodređene i određene integrale metodom promjene promjenljive i po dijelovima;

· integrirati racionalne, iracionalne i neke trigonometrijske funkcije, primijeniti univerzalnu supstituciju; primijenite definitivni integral da pronađete površine ravnih figura.

Ograničenje funkcije. Svojstva ograničenja funkcije. Jednostrane granice. Granica zbira, proizvoda i količnika dvije funkcije. Kontinuirane funkcije, njihova svojstva. Kontinuitet elementarnih i složenih funkcija. Izvanredne granice.

Definicija derivacije funkcije. Derivati osnovnih elementarnih funkcija. Diferencijalnost funkcije. Funkcijski diferencijal. Derivat kompleksne funkcije. Pravila diferencijacije: derivacija zbira, proizvoda i količnika. Derivati i diferencijali višeg reda. Otkrivanje neizvjesnosti. Rastuće i opadajuće funkcije, uslovi za povećanje i smanjenje. Ekstremumi funkcija, neophodan uslov za postojanje ekstrema. Pronalaženje ekstrema pomoću prvog izvoda. Konveksne funkcije. Pregibne tačke. Asimptote. Studija pune funkcije.

Neodređeni integral, njegova svojstva. Tabela osnovnih integrala. Metoda promjene varijabli. Integracija po dijelovima. Integracija racionalnih funkcija. Integracija nekih iracionalnih funkcija. Univerzalna zamjena.

Definitivni integral, njegova svojstva. Osnovna formula integralnog računa. Integracija promjenom varijable i po dijelovima u određenom integralu. Primjena određenog integrala.

DIFERENCIJALNI RAČUN, grana matematičke analize koja proučava derivacije, diferencijale i njihovu primenu u proučavanju funkcija. Diferencijalni račun se kao samostalna disciplina razvio u 2. polovini 17. stoljeća pod utjecajem radova I. Newtona i G. W. Leibniza, u kojima su formulirali glavne odredbe diferencijalnog računa i uočili međusobno inverznu prirodu diferencijacije i integracije. Od tog vremena, diferencijalni račun se razvio u bliskoj vezi sa integralnim računom, čineći sa njim glavni deo matematičke analize (ili analize infinitezimala). Stvaranje diferencijalnog i integralnog računa otvorilo je novu eru u razvoju matematike, dovelo do pojave niza novih matematičkih disciplina (teorija nizova, teorija diferencijalnih jednadžbi, diferencijalna geometrija, varijacijski račun, funkcionalna analiza) i značajno proširio mogućnosti primene matematike na pitanja prirodnih nauka i tehnologije.

Diferencijalni račun se temelji na takvim fundamentalnim konceptima kao što su realni broj, funkcija, granica, kontinuitet. Ovi koncepti su poprimili moderan oblik u toku razvoja diferencijalnog i integralnog računa. Glavne ideje i koncepti diferencijalnog računa povezani su sa proučavanjem funkcija u malom, odnosno u malim susedstvima pojedinačnih tačaka, što zahteva stvaranje matematičkog aparata za proučavanje funkcija čije ponašanje u dovoljno malom okruženju svake tačke od njihov domen definicije je blizak ponašanju linearne funkcije ili polinom. Ovaj aparat se zasniva na konceptima derivacije i diferencijala. Koncept derivacije nastao je u vezi sa velikim brojem različitih problema u prirodno-matematičkim naukama, koji su doveli do izračunavanja granica istog tipa. Najvažniji od ovih zadataka je određivanje brzine kretanja materijalne tačke duž prave i konstrukcija tangente na krivulju. Koncept diferencijala povezan je sa mogućnošću aproksimacije funkcije u maloj okolini tačke koja se razmatra linearnom funkcijom. Za razliku od koncepta derivacije funkcije realne varijable, koncept diferencijala se može lako prenijeti na funkcije općenitije prirode, uključujući preslikavanja iz jednog euklidskog prostora u drugi, preslikavanja Banahovih prostora u druge Banahove prostore i služi kao jedan od osnovnih koncepata funkcionalne analize.

Derivat. Neka se materijalna tačka kreće duž ose Oy, a x označava vrijeme koje se računa od nekog početnog trenutka. Opis ovog kretanja je dat funkcijom y = f(x), koja svakom trenutku vremena x dodjeljuje koordinatu y pokretne tačke. Ova funkcija u mehanici se naziva zakon kretanja. Važna karakteristika kretanja (naročito ako je neravnomjerna) je brzina pokretne tačke u svakom trenutku vremena x (ova brzina se naziva i trenutna brzina). Ako se tačka kreće duž ose Oy prema zakonu y = f (x), tada u proizvoljno vrijeme x ima koordinatu f (x), a u trenutku x + Δx - koordinatu f (x + Δx ), gdje je Δx prirast vremena. Broj Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koji se naziva inkrement funkcije, je put koji prolazi pokretna točka u vremenu od x do x + Δx. Stav

koji se naziva omjer razlike, je prosječna brzina tačke u vremenskom intervalu od x do x + Δx. Trenutna brzina (ili jednostavno brzina) pokretne tačke u trenutku x je granica kojoj teži prosječna brzina (1) kada vremenski interval Δx teži nuli, tj. granica (2)

Koncept trenutne brzine dovodi do koncepta derivacije. Derivat proizvoljne funkcije y = f (x) u datoj fiksnoj tački x naziva se granica (2) (pod uvjetom da ova granica postoji). Derivat funkcije y \u003d f (x) u datoj tački x označava se jednim od simbola f '(x), y ', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Operacija pronalaženja derivacije (ili prijelaza iz funkcije u njen izvod) naziva se diferencijacija.

Problem konstruiranja tangente na ravnu krivulju, definiranu u Dekartovom koordinatnom sistemu Oxy jednadžbom y = f (x), u nekoj tački M (x, y) (sl.) također dovodi do granice (2) . Dajući prirast Δx argumentu x i uzevši tačku M' sa koordinatama (x + Δx, f(x) + Δx) na krivulji), odredite tangentu u tački M kao graničnu poziciju sekante MM' kako tačka M' teži ka M (tj. kako Δx teži nuli). Pošto je data tačka M kroz koju prolazi tangenta, konstrukcija tangente se svodi na određivanje njenog nagiba (tj. tangente njenog nagibnog ugla prema osi Ox). Povlačenjem prave linije MR paralelno sa Ox osi, dobija se da je nagib sekante MM' jednak omjeru

U granici pri Δx → 0, nagib sekansa prelazi u nagib tangente, što se ispostavlja da je jednako granici (2), odnosno izvodu f’(x).

Brojni drugi problemi prirodnih nauka takođe dovode do koncepta derivata. Na primjer, jačina struje u provodniku je definirana kao granica lim Δt→0 Δq/Δt, gdje je Δq pozitivni električni naboj prenesen kroz poprečni presjek provodnika u vremenu Δt, brzina kemijske reakcije je definirana kao lim Δt→0 ΔQ/Δt, gdje je ΔQ promjena količine materije tokom vremena Δt i, općenito, derivat neke fizičke veličine u odnosu na vrijeme je brzina promjene ove količine.

Ako je funkcija y = f (x) definirana i u samoj tački x i u nekom njenom susjedstvu, i ima derivaciju u tački x, tada je ova funkcija kontinuirana u tački x. Primjer funkcije y \u003d |x|, definirane u bilo kojem susjedstvu točke x = 0, kontinuirane u ovoj tački, ali koja nema izvod u x = 0, pokazuje da postojanje funkcije u ovoj tački , općenito, ne slijedi iz kontinuiteta funkcije u ovoj tački izvoda. Štaviše, postoje funkcije koje su kontinuirane u svakoj tački svog domena definicije, ali nemaju derivaciju ni u jednoj tački ovog domena.

U slučaju kada je funkcija y \u003d f (x) definirana samo desno ili samo lijevo od točke x (na primjer, kada je x granična točka segmenta na kojem je data ova funkcija), koncepti desnog i lijevog izvoda funkcije y = f (x) uvode se u točku x. Desni izvod funkcije y \u003d f (x) u tački x definiran je kao granica (2) pod uvjetom da Δx teži nuli, ostajući pozitivan, a lijevi izvod je definiran kao granica (2) pod uvjetom da Δx teži nuli, a ostaje negativan. Funkcija y \u003d f (x) ima izvod u tački x ako i samo ako ima desni i lijevi izvod jednake jedan drugom u ovoj tački. Gornja funkcija y = |x| ima desni izvod jednak 1 u tački x = 0 i levi izvod jednak -1, a pošto desni i levi izvod nisu jednaki, ova funkcija nema izvod u tački x = 0. U klasa funkcija koje imaju derivaciju, diferencijacija operacija je linearna, tj. (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x), i (αf(x))' = αf '(x) za bilo koji broj a. Osim toga, vrijede sljedeća pravila diferencijacije:

Derivati nekih elementarnih funkcija su:

α - bilo koji broj, x > 0;

n = 0, ±1, ±2,

Derivat bilo koje elementarne funkcije je opet elementarna funkcija.

Ako derivacija f'(x), zauzvrat, ima izvod u datoj tački x, onda se izvod funkcije f'(x) naziva drugim izvodom funkcije y = f(x) u tački x i označava se jednim od simbola f''(x), y'', ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Za materijalnu tačku koja se kreće duž ose Oy prema zakonu y = f (x), drugi izvod je ubrzanje ove točke u vrijeme x. Derivati bilo kojeg cjelobrojnog reda n definiraju se na sličan način, označeni simbolima f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f (x).

Diferencijal. Funkcija y \u003d f (x), čija domena sadrži neku okolinu tačke x, naziva se diferencijabilnom u tački x ako njen prirast u ovoj tački odgovara prirastu argumenta Δx, tj. vrednosti Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) može se predstaviti u obliku i označava se simbolom dy ili df(x). Geometrijski, za fiksnu vrijednost x i promjenjivi prirast Δx, diferencijal je povećanje ordinate tangente, tj. segmenta PM" (Sl.). Diferencijal dy je funkcija i tačke x i inkrement Δx Diferencijal se naziva glavnim linearnim dijelom prirasta funkcije, jer kada je fiksna vrijednost x magnitude dy je linearna funkcija Δh, a razlika Δu - dy je beskonačno mala u odnosu na Δh kao Δh → 0. Za funkciju f(h) = x, po definiciji, dx = Δh, odnosno diferencijal nezavisna varijabla dx poklapa se sa njenim prirastom Δh. Ovo omogućava da se izraz za diferencijal prepiše kao dy=Adx.

Za funkciju jedne varijable, koncept diferencijala je usko povezan s konceptom derivacije: da bi funkcija y = f (x) imala diferencijal u točki x, potrebno je i dovoljno da ona ima konačan izvod f '(x) u ovoj tački, dok je jednakost dy = f'(x)dx. Vizuelno značenje ove izjave je da tangenta na krivulju y = f (x) u tački sa apscisom x nije samo granični položaj sekante, već i prava linija, koja je u beskonačno malom susjedstvu tačka x je susjedna krivulji y = f (x ) bliže od bilo koje druge prave linije. Dakle, uvijek A(x) = f'(x) i notacija dy/dx može se shvatiti ne samo kao notacija za derivaciju f'(x), već i kao omjer diferencijala funkcije i argumenta . Na osnovu jednakosti dy = f'(x)dx, pravila za pronalaženje diferencijala direktno slijede iz odgovarajućih pravila za derivacije. Razmatraju se i diferencijali drugog i višeg reda.

Prijave. Diferencijalni račun uspostavlja veze između svojstava funkcije f(x) i njenih derivata (ili njenih diferencijala), što je sadržaj glavnih teorema diferencijalnog računa. Ove teoreme uključuju tvrdnju da su sve tačke ekstrema diferencijabilne funkcije f(x) koje leže unutar njene domene definicije među korijenima jednačine f'(x) = 0, i često korištenu formulu konačnog priraštaja (Lagrangeova formula) f (b ) - f(a) = f'(ξ)(b - a), gdje je a<ξ0 podrazumijeva strogo povećanje funkcije, a uvjet f '' (x)\u003e 0 - njegovu strogu konveksnost. Osim toga, diferencijalni račun omogućava da se izračunaju različite vrste granica funkcija, posebno granice omjera dvije funkcije, koje su nesigurnosti oblika 0/0 ili oblika ∞/∞ (vidi Otkrivanje nesigurnosti) . Diferencijalni račun je posebno pogodan za proučavanje elementarnih funkcija čiji su derivati eksplicitno ispisani.

Diferencijalni račun funkcija više varijabli. Metode diferencijalnog računa koriste se za proučavanje funkcija nekoliko varijabli. Za funkciju dvije varijable u = f(x, y), njen parcijalni izvod u odnosu na x u tački M(x, y) je izvod ove funkcije u odnosu na x za fiksni y, definiran kao

i označeno jednim od simbola f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ili ∂f(x,y)'/∂x. Parcijalni izvod funkcije u = f(x,y) u odnosu na y definiran je i označen na sličan način. Vrijednost Δu \u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) naziva se ukupni prirast funkcije i to u tački M (x, y). Ako se ova vrijednost može predstaviti kao

gdje A i B ne zavise od Δh i Δu, a α teži nuli na

tada se funkcija u = f(x, y) naziva diferencijabilnom u tački M(x, y). Zbir AΔx + BΔy naziva se ukupni diferencijal funkcije u = f(x, y) u tački M(x, y) i označava se simbolom du. Budući da se A = f’x (x, y), B = f’y (x, y) i inkrementi Δx i Δy mogu uzeti jednakima njihovim diferencijalima dx i dy, ukupni diferencijal du se može napisati kao

Geometrijski gledano, diferencijabilnost funkcije dvije varijable u = f(x, y) u datoj tački M (x, y) znači da njen graf postoji u ovoj tački tangentne ravni, a diferencijal ove funkcije je prirast primjene tačke tangentne ravni koja odgovara inkrementima dx i dy nezavisnih varijabli. Za funkciju dvije varijable, koncept diferencijala je mnogo važniji i prirodniji od koncepta parcijalnih izvoda. Za razliku od funkcije jedne varijable, da bi funkcija dvije varijable u = f(x, y) bila diferencijabilna u datoj tački M(x, y), nije dovoljno da konačni parcijalni izvod f'x( x, y) i f' y(x, y). Neophodan i dovoljan uslov da funkcija u = f(x, y) bude diferencijabilna u tački M(x, y) je postojanje konačnih parcijalnih izvoda f'x(x, y) i f'y(x, y) i teži nuli u

količine

Brojač ove veličine se dobija tako što se prvo uzme prirast funkcije f(x, y), koji odgovara prirastu Δx njenog prvog argumenta, a zatim se uzme prirast rezultujuće razlike f(x + Δx, y) - f(x, y), što odgovara inkrementu Δy njegovih drugih argumenata. Dovoljan jednostavan uslov za diferencijabilnost funkcije u = f(x, y) u tački M(x, y) je postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda f'x(x, y) i f'y(x, y) ) na ovom mjestu.

Slično se definiraju parcijalni derivati viših redova. Parcijalne derivacije ∂ 2 f/∂h 2 i ∂ 2 f/∂u 2 , u kojima se obje diferencijacije provode u jednoj varijabli, nazivaju se čistim, a parcijalne derivacije ∂ 2 f/∂h∂u i ∂ 2 f/∂ u∂h - mješovito. U svakoj tački gdje su obje mješovite parcijalne derivacije kontinuirane, one su jedna drugoj jednake. Ove definicije i notacije se prenose na slučaj većeg broja varijabli.

Istorijski pregled. Odvojene probleme određivanja tangenti na krivulje i pronalaženja maksimalnih i minimalnih vrijednosti varijabli rješavali su matematičari antičke Grčke. Na primjer, pronađeni su načini da se konstruiraju tangente na konusne presjeke i neke druge krivulje. Međutim, metode koje su razvili drevni matematičari bile su daleko od ideja diferencijalnog računa i mogle su se primijeniti samo u vrlo posebnim slučajevima. Sredinom 17. stoljeća postalo je jasno da se mnogi od spomenutih problema, zajedno s ostalima (na primjer, problem određivanja trenutne brzine) mogu riješiti korištenjem istog matematičkog aparata, koristeći derivate i diferencijale. Oko 1666. I. Newton je razvio metodu fluksa (vidi račun fluksa). Njutn je posebno razmatrao dva problema mehanike: problem određivanja trenutne brzine kretanja iz poznate zavisnosti puta od vremena i problem određivanja puta pređenog u datom vremenu iz poznate trenutne brzine. Newton je kontinuirane funkcije vremena nazvao fluentima, a stope njihove promjene - fluktuacijama. Dakle, glavni Njutnovi koncepti su bili derivat (fluksija) i neodređeno integral(tečno). Pokušao je da potkrijepi metodu fluksija uz pomoć teorije granica, koja je u to vrijeme bila nedovoljno razvijena.

Sredinom 1670-ih G. W. Leibniz je razvio pogodne algoritme za diferencijalni račun. Osnovni koncepti Leibniza bili su diferencijal kao beskonačno mali prirast funkcije i definitivni integral kao zbir beskonačno velikog broja diferencijala. Uveo je notaciju diferencijala i integrala, termin "diferencijalni račun", primio niz pravila za diferencijaciju i predložio pogodan simbolizam. Dalji razvoj diferencijalnog računa u 17. veku odvijao se uglavnom putem koji je zacrtao Lajbnic; radovi J. i I. Bernoullija, B. Taylora i drugih igrali su važnu ulogu u ovoj fazi.

Sljedeća faza u razvoju diferencijalnog računa povezana je s radovima L. Eulera i J. Lagrangea (18. vijek). Ojler je prvi počeo da predstavlja diferencijalni račun kao analitičku disciplinu, nezavisnu od geometrije i mehanike. Ponovo je koristio derivat kao osnovni koncept diferencijalnog računa. Lagrange je pokušao da izgradi diferencijalni račun algebarski, koristeći proširenja funkcija u nizove stepena; uveo je termin "derivacija" i oznake y' i f'(x). Početkom 19. vijeka problem utemeljenja diferencijalnog računa na osnovu teorije granica je u osnovi riješen, uglavnom zahvaljujući radovima O. Cauchyja, B. Bolzana i C. Gausa. Duboko analiza Početni koncepti diferencijalnog računa bili su povezani sa razvojem teorije skupova i teorije funkcija realnih promenljivih krajem 19. - početkom 20. veka.

Lit.: Istorija matematike: U 3 sv. M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Istorija matematike. 2nd ed. M., 1974; Nikolsky S. M. Kurs matematičke analize. 6th ed. M., 2001: Zorich V. A. Matematička analiza: U 2. dijelu 4. izd. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Kurs matematičke analize: U 3 toma, 5. izd. M., 2003-2006; Fikhtengolts G. M. Tok diferencijalnog i integralnog računa: U 3 toma, 8. izd. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Osnove matematičke analize. 7th ed. M., 2004. Dio 1. 5. izd. M., 2004. Dio 2; Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Matematička analiza. 3rd ed. M., 2004. Dio 1. 2. izd. M., 2004. Dio 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Viša matematika. 2nd ed. M., 2005.

Račun je grana računa koja proučava derivaciju, diferencijale i njihovu upotrebu u proučavanju funkcije.

Istorija izgleda

Diferencijalni račun se kao samostalna disciplina pojavio u drugoj polovini 17. stoljeća, zahvaljujući radu Newtona i Leibniza, koji su formulirali osnovne odredbe u računu diferencijala i uočili vezu između integracije i diferencijacije. Od tog trenutka, disciplina se razvija zajedno sa računom integrala, čineći tako osnovu matematičke analize. Pojava ovih računa otvorila je novo moderno razdoblje u matematičkom svijetu i izazvala pojavu novih disciplina u nauci. Takođe je proširena mogućnost primene matematičke nauke u prirodnim naukama i tehnologiji.

Osnovni koncepti

Diferencijalni račun se zasniva na osnovnim konceptima matematike. To su: kontinuitet, funkcija i granica. Nakon nekog vremena poprimili su moderan izgled zahvaljujući integralnom i diferencijalnom računu.

Proces stvaranja

Formiranje diferencijalnog računa u obliku primijenjene, a potom i naučne metode dogodilo se prije pojave filozofske teorije, koju je stvorio Nikola Kuzanski. Njegovi se radovi smatraju evolucijskim razvojem na osnovu sudova drevne nauke. Uprkos činjenici da sam filozof nije bio matematičar, njegov doprinos razvoju matematičke nauke je neosporan. Kuzanski je bio jedan od prvih koji je napustio razmatranje aritmetike kao najtačnije oblasti nauke, dovodeći matematiku tog vremena u sumnju.

Za antičke matematičare jedinica je bila univerzalni kriterijum, dok je filozof predložio beskonačnost kao novu meru umesto tačnog broja. U tom smislu, reprezentacija preciznosti u matematičkoj nauci je obrnuta. Naučno znanje se, po njemu, deli na racionalno i intelektualno. Drugi je tačniji, prema naučniku, jer prvi daje samo približan rezultat.

Ideja

Glavna ideja i koncept diferencijalnog računa se odnosi na funkciju u malim četvrtima određenih tačaka. Da bi se to postiglo, potrebno je kreirati matematički aparat za proučavanje funkcije čije je ponašanje u maloj okolini utvrđenih tačaka blisko ponašanju polinoma ili linearne funkcije. Ovo se zasniva na definiciji derivacije i diferencijala.

Pojava je uzrokovana velikim brojem problema iz prirodnih nauka i matematike, što je dovelo do pronalaženja vrijednosti granica istog tipa.

Jedan od glavnih zadataka koji se daju kao primjer, počevši od srednje škole, je odrediti brzinu kretanja tačke duž prave i konstruirati tangentu na ovu krivu. Diferencijal je povezan s tim, jer je moguće aproksimirati funkciju u malom susjedstvu razmatrane točke linearne funkcije.

U poređenju sa konceptom derivacije funkcije realne varijable, definicija diferencijala jednostavno prelazi na funkciju opšte prirode, posebno na reprezentaciju jednog euklidskog prostora na drugi.

Derivat

Neka se tačka kreće u smjeru ose Oy, za vrijeme koje uzimamo x, koje se računa od određenog početka trenutka. Takvo kretanje se može opisati funkcijom y=f(x), koja je dodijeljena svakom vremenskom trenutku x koordinate tačke koja se pomiče. U mehanici se ova funkcija naziva zakon kretanja. Glavna karakteristika kretanja, posebno neravnomjernog, je kada se tačka kreće duž ose Oy prema zakonu mehanike, tada u slučajnom trenutku x dobija koordinatu f (x). U trenutku x + Δx, gdje Δx označava inkrement vremena, njegova koordinata će biti f(x + Δx). Tako se formira formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), koja se naziva inkrement funkcije. Predstavlja putanju koju pređe tačka u vremenu od x do x + Δx.

U vezi sa pojavom ove brzine u trenutku vremena, uvodi se izvod. U proizvoljnoj funkciji, izvod u fiksnoj tački naziva se granica (pod uslovom da postoji). Može se označiti određenim simbolima:

f'(x), y', ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proces izračunavanja derivacije naziva se diferencijacija.

Diferencijalni račun funkcije više varijabli

Ova metoda računanja koristi se u proučavanju funkcije s nekoliko varijabli. U prisustvu dvije varijable x i y, parcijalni izvod u odnosu na x u tački A naziva se izvod ove funkcije u odnosu na x sa fiksnim y.

Može se predstaviti sljedećim simbolima:

f'(x)(x,y), u'(x), ∂u/∂x ili ∂f(x,y)'/∂x.

Potrebne vještine

Za uspješno proučavanje i sposobnost rješavanja difuzije potrebne su vještine integracije i diferencijacije. Da biste lakše razumjeli diferencijalne jednadžbe, trebali biste dobro razumjeti temu derivacije i također ne škodi naučiti kako tražiti izvod implicitno zadane funkcije. To je zbog činjenice da će u procesu proučavanja često biti potrebno koristiti integrale i diferencijaciju.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

U skoro svim testovima koji se odnose na postoje 3 vrste jednadžbi: homogene, sa odvojivim varijablama, linearne nehomogene.

Postoje i rjeđe varijante jednačina: sa totalnim diferencijalima, Bernoullijeve jednačine i druge.

Osnove rješenja

Prvo morate zapamtiti algebarske jednadžbe iz školskog kursa. Sadrže varijable i brojeve. Da biste riješili običnu jednačinu, potrebno je pronaći skup brojeva koji zadovoljavaju dati uvjet. Takve jednadžbe su po pravilu imale jedan korijen, a za provjeru ispravnosti trebalo je samo zamijeniti ovu vrijednost nepoznatom.

Diferencijalna jednadžba je slična ovoj. Općenito, takva jednačina prvog reda uključuje:

nezavisna varijabla.
Izvod prve funkcije.
funkcija ili zavisna varijabla.

U nekim slučajevima može nedostajati jedna od nepoznanica, x ili y, ali to nije toliko važno, jer je prisustvo prvog izvoda, bez izvoda višeg reda, neophodno da bi rješenje i diferencijalni račun bili tačni.

Riješiti diferencijalnu jednadžbu znači pronaći skup svih funkcija koje odgovaraju datom izrazu. Takav skup funkcija se često naziva općim rješenjem diferencijalne jednadžbe.

Integralni račun

Integralni račun je jedna od grana matematičke analize koja proučava pojam integrala, svojstva i metode za njegovo izračunavanje.

Često se izračunavanje integrala događa prilikom izračunavanja površine krivolinijske figure. Ovo područje označava granicu kojoj teži površina poligona upisanog u datu figuru uz postupno povećanje njegove stranice, dok ove stranice mogu biti manje od bilo koje prethodno određene proizvoljne male vrijednosti.

Glavna ideja u izračunavanju površine proizvoljne geometrijske figure je izračunati površinu pravokutnika, odnosno dokazati da je njegova površina jednaka proizvodu dužine i širine. Kada je u pitanju geometrija, sve konstrukcije se prave pomoću ravnala i šestara, a onda je odnos dužine i širine racionalna vrednost. Prilikom izračunavanja površine pravokutnog trokuta, možete odrediti da ako stavite isti trokut pored njega, tada se formira pravokutnik. U paralelogramu se površina izračunava sličnom, ali malo složenijom metodom, kroz pravougaonik i trokut. U poligonima, površina se izračunava kroz trouglove koji su u njemu uključeni.

Prilikom određivanja milosti proizvoljne krivulje, ova metoda neće raditi. Ako ga razbijete na pojedinačne kvadrate, tada će biti nepopunjenih mjesta. U ovom slučaju, pokušava se koristiti dvije korice, sa pravokutnicima na vrhu i dnu, kao rezultat, one uključuju graf funkcije, a ne. Metoda podjele na ove pravokutnike ostaje ovdje važna. Također, ako uzmemo podjele koje se sve više smanjuju, onda se područje iznad i ispod mora konvergirati na određenoj vrijednosti.

Trebali biste se vratiti na metodu podjele na pravokutnike. Postoje dvije popularne metode.

Riemann je formalizirao definiciju integrala, koju su kreirali Leibniz i Newton, kao površinu podgrafa. U ovom slučaju su razmatrane figure koje se sastoje od određenog broja okomitih pravokutnika i dobivene dijeljenjem segmenta. Kada, kako se particija smanjuje, postoji granica do koje se smanjuje površina slične figure, ova granica se naziva Riemannovim integralom funkcije na datom intervalu.

Druga metoda je konstrukcija Lebesgueovog integrala, koja se sastoji u tome da se za mjesto dijeljenja definirane regije na dijelove integrala i zatim kompiliranje integralne sume od vrijednosti dobijenih u tim dijelovima, njegov raspon vrijednosti se dijeli na intervale, a zatim se sabira sa odgovarajućim mjerama inverznih slika ovih integrala.

Moderne pogodnosti

Jedan od glavnih priručnika za proučavanje diferencijalnog i integralnog računa napisao je Fikhtengolts - "Kurs diferencijalnog i integralnog računa". Njegov udžbenik je temeljni vodič za proučavanje matematičke analize, koji je doživio mnoga izdanja i prijevode na druge jezike. Napravljen za studente i dugo se koristi u mnogim obrazovnim institucijama kao jedno od glavnih pomagala za učenje. Daje teorijske podatke i praktične vještine. Prvi put objavljeno 1948.

Algoritam istraživanja funkcija

Za istraživanje funkcije metodama diferencijalnog računa potrebno je slijediti već zadati algoritam:

Pronađite opseg funkcije.
Pronađite korijene date jednadžbe.
Izračunajte ekstreme. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju i tačke u kojima je jednaka nuli.
Zamijenite rezultirajuću vrijednost u jednačinu.

Vrste diferencijalnih jednadžbi

DE prvog reda (inače diferencijalni račun jedne varijable) i njihovi tipovi:

Jednačina odvojene varijable: f(y)dy=g(x)dx.
Najjednostavnije jednadžbe, ili diferencijalni račun funkcije jedne varijable, koji imaju formulu: y"=f(x).
Linearni nehomogeni DE prvog reda: y"+P(x)y=Q(x).
Bernulijeva diferencijalna jednadžba: y"+P(x)y=Q(x)y a .
Jednadžba sa ukupnim diferencijalima: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.

Diferencijalne jednadžbe drugog reda i njihovi tipovi:

Linearna homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim vrijednostima koeficijenta: y n +py"+qy=0 p, q pripada R.
Linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnom vrijednošću koeficijenata: y n +py"+qy=f(x).
Linearna homogena diferencijalna jednačina: y n +p(x)y"+q(x)y=0, i nehomogena jednačina drugog reda: y n +p(x)y"+q(x)y=f(x).

Diferencijalne jednadžbe višeg reda i njihovi tipovi:

Diferencijalna jednačina koja dozvoljava niži red: F(x,y (k) ,y (k+1) ,..,y (n) =0.
Linearna jednačina višeg reda je homogena: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=0, i nehomogeno: y (n) +f (n-1) y (n-1) +...+f 1 y"+f 0 y=f(x).

Faze rješavanja problema s diferencijalnom jednačinom

Uz pomoć daljinskog upravljača rješavaju se ne samo matematička ili fizička pitanja, već i razni problemi iz biologije, ekonomije, sociologije i drugih stvari. Unatoč velikoj raznolikosti tema, pri rješavanju ovakvih problema treba se pridržavati jednog logičkog slijeda:

Kompilacija DU. Jedan od najtežih koraka koji zahtijeva maksimalnu preciznost, jer će svaka greška dovesti do potpuno pogrešnih rezultata. Treba uzeti u obzir sve faktore koji utiču na proces i odrediti početne uslove. Takođe bi trebalo da se zasniva na činjenicama i logičkim zaključcima.
Rješenje formulirane jednačine. Ovaj proces je jednostavniji od prve tačke, jer zahtijeva samo stroge matematičke proračune.
Analiza i evaluacija dobijenih rezultata. Izvedeno rješenje treba procijeniti kako bi se utvrdila praktična i teorijska vrijednost rezultata.

Primjer upotrebe diferencijalnih jednadžbi u medicini

Upotreba daljinskog upravljanja u oblasti medicine javlja se prilikom izgradnje epidemiološkog matematičkog modela. Pritom, ne treba zaboraviti da se ove jednadžbe nalaze i u biologiji i hemiji, koje su bliske medicini, jer proučavanje različitih bioloških populacija i hemijskih procesa u ljudskom tijelu igra važnu ulogu u tome.

U gornjem primjeru epidemije može se razmotriti širenje infekcije u izolovanom društvu. Stanovnici se dijele na tri tipa:

Zaraženi, broj x(t), čine jedinke, nosioci infekcije, od kojih je svaki zarazan (period inkubacije je kratak).
Druga vrsta uključuje osjetljive jedinke y(t) koje se mogu zaraziti kontaktom sa zaraženim osobama.
Treća vrsta uključuje imune jedinke z(t), koje su imune ili su umrle zbog bolesti.

Broj jedinki je konstantan, ne uzimaju se u obzir rođeni, prirodni umrli i migracije. Zasnovat će se na dvije hipoteze.

Postotak incidencije u određenom vremenskom trenutku jednak je x(t)y(t) (na osnovu pretpostavke da je broj slučajeva proporcionalan broju raskrsnica između oboljelih i osjetljivih predstavnika, što će u prvoj aproksimaciji biti proporcionalno x(t)y(t)), u Dakle, broj oboljelih raste, a broj osjetljivih opada brzinom koja se izračunava formulom ax(t)y(t) (a > 0 ).

Broj imunih pojedinaca koji su stekli imunitet ili umrli raste brzinom koja je proporcionalna broju oboljelih, bx(t) (b > 0).

Kao rezultat, moguće je sastaviti sistem jednadžbi uzimajući u obzir sva tri indikatora i na osnovu toga donositi zaključke.

Primjer upotrebe u ekonomiji

Diferencijalni račun se često koristi u ekonomskoj analizi. Glavni zadatak ekonomske analize je proučavanje veličina iz ekonomije, koje se zapisuju u obliku funkcije. Ovo se koristi kada se rješavaju problemi kao što su promjena prihoda odmah nakon povećanja poreza, uvođenje dažbina, promjena prihoda preduzeća kada se promijeni trošak proizvodnje, u kojoj mjeri se penzionisani radnici mogu zamijeniti novom opremom. Za rješavanje takvih pitanja potrebno je konstruirati funkciju veze od ulaznih varijabli, koje se zatim proučavaju pomoću diferencijalnog računa.

U ekonomskoj sferi često je potrebno pronaći najoptimalnije pokazatelje: maksimalnu produktivnost rada, najveći prihod, najniže troškove i tako dalje. Svaki takav indikator je funkcija jednog ili više argumenata. Na primjer, proizvodnja se može posmatrati kao funkcija rada i inputa kapitala. U tom smislu, pronalaženje odgovarajuće vrijednosti može se svesti na pronalaženje maksimuma ili minimuma funkcije iz jedne ili više varijabli.

Problemi ove vrste stvaraju klasu ekstremnih problema u ekonomskom polju, za čije rješenje je potreban diferencijalni račun. Kada ekonomski indikator treba minimizirati ili maksimizirati kao funkciju drugog indikatora, tada će u tački maksimuma, omjer prirasta funkcije i argumenata težiti nuli ako prirast argumenta teži nuli. U suprotnom, kada takav omjer teži nekoj pozitivnoj ili negativnoj vrijednosti, navedena tačka nije prikladna, jer povećanjem ili smanjenjem argumenta možete promijeniti zavisnu vrijednost u traženom smjeru. U terminologiji diferencijalnog računa, to će značiti da je traženi uslov za maksimum funkcije nulta vrijednost njenog izvoda.

U ekonomiji se često javljaju zadaci za pronalaženje ekstrema funkcije sa više varijabli, jer su ekonomski pokazatelji sastavljeni od mnogo faktora. Ovakva pitanja su dobro proučavana u teoriji funkcija nekoliko varijabli, primjenom metoda diferencijalnog proračuna. Takvi problemi uključuju ne samo maksimizirane i minimizirane funkcije, već i ograničenja. Ovakva pitanja se odnose na matematičko programiranje, a rješavaju se uz pomoć posebno razvijenih metoda, također zasnovanih na ovoj grani nauke.

Među metodama diferencijalnog računa koje se koriste u ekonomiji, važan dio je marginalna analiza. U ekonomskoj sferi, ovaj termin se odnosi na skup metoda za proučavanje varijabilnih indikatora i rezultata pri promeni obima stvaranja, potrošnje, na osnovu analize njihovih marginalnih pokazatelja. Ograničavajući indikator je derivat ili parcijalni derivati sa više varijabli.

Diferencijalni račun nekoliko varijabli važna je tema u području matematičke analize. Za detaljnu studiju možete koristiti razne udžbenike za visoko obrazovanje. Jedan od najpoznatijih kreirao je Fikhtengolts - "Kurs diferencijalnog i integralnog računa". Kao što naziv govori, vještine rada sa integralima su od velike važnosti za rješavanje diferencijalnih jednačina. Kada se izvrši diferencijalni račun funkcije jedne varijable, rješenje postaje jednostavnije. Iako, treba napomenuti, poštuje ista osnovna pravila. Da bi se neka funkcija u praksi proučavala diferencijalnim računom, dovoljno je slijediti već postojeći algoritam koji je dat u srednjoj školi i tek se malo komplikuje kada se uvedu nove varijable.