Svojstva pravouglog trougla

Dragi učenici sedmog razreda, već znate koji se geometrijski oblici nazivaju trouglovi, znate kako dokazati znakove njihove jednakosti. Također znate za posebne slučajeve trokuta: jednakokrake i pravokutne. Osobine jednakokračnih trouglova su vam dobro poznate.

Ali čak i pravougli trougli imaju mnoga svojstva. Jedna očigledna vezana je za teoremu o zbiru unutrašnjih uglova trougla: u pravouglom trokutu, zbir oštrih uglova je 90°. Najnevjerovatnije osobine pravouglog trougla naučit ćete u 8. razredu kada budete proučavali poznatu Pitagorinu teoremu.

A sada ćemo govoriti o još dva važna svojstva. Jedan od njih se odnosi na pravokutne trougle s uglom od 30°, a drugi na proizvoljne pravokutne trokute. Hajde da formulišemo i dokažemo ova svojstva.

Dobro vam je poznato da je u geometriji uobičajeno formulisati tvrdnje obrnute od dokazanih, kada su uslov i zaključak u tvrdnji obrnuti. Obratne tvrdnje nisu uvijek tačne. U našem slučaju, oba suprotna iskaza su tačna.

Svojstvo 1.1 U pravokutnom trokutu krak nasuprot kuta od 30° jednak je polovini hipotenuze.

Dokaz: Razmotrimo pravougaoni ∆ ABC, u kojem je ÐA=90°, ÐB=30°, zatim ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, dakle, što je trebalo dokazati.

Svojstvo 1.2 (obrnuto svojstvu 1.1) Ako je krak pravokutnog trokuta polovina hipotenuze, onda je suprotni ugao 30°.

Svojstvo 2.1 U pravokutnom trokutu medijana povučena do hipotenuze je polovina hipotenuze.

Posmatrajmo pravougaonik ∆ ABC, u kojem je ÐB=90°.

BD-medijan, tj. AD=DC. Dokažimo to.

Da bismo to dokazali, napravimo dodatnu konstrukciju: nastavimo BD preko tačke D tako da je BD=DN i spojimo N sa A i C..gif" width="616" height="372 src=">

Zadato: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, pošto je u pravougaonom ∆BCE zbir oštrih uglova 90o

2.BE=14cm (osobina 1)

3. ÐABE=30o, pošto je ÐA+ÐABE=ÐBEC (osobina spoljašnjeg ugla trougla) dakle ∆AEB- jednakokračan AE=EB=14cm.

3. (svojstvo 1).

BC=2AN=20 cm (svojstvo 2).

Zadatak 3. Dokazati da visina i medijan pravokutnog trokuta povučeni hipotenuzom čine ugao jednak razlici oštrih uglova trokuta.

Dato: ∆ ABC, RVAS=90°, AM-medijan, AH-visina.

Dokazati: RMAN=RS-RV.

dokaz:

1) RMAS=RS (po svojstvu 2 ∆ AMC-jednakokraki, AM=CM)

2) RMAN=RMAS-RNAS=Rs-RNAS.

Ostaje dokazati da je PNAS=PB. Ovo proizilazi iz činjenice da su RV+RS=90° (u ∆ ABC) i RNAS+RS=90° (od ∆ ANS).

Dakle, RMAN=RS-RV, što je i trebalo dokazati.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dato: ∆ABC, ÐBAC=90°, AH-visina, .

Pronađi: RV, RS.

Rješenje: Nacrtajte medijanu AM. Neka je AH=x, tada je BC=4x i

VM=MS=AM=2x.

U pravougaonom ∆ AMN hipotenuza AM je 2 puta veća od kraka AH, pa je ÐAMN=30°. Pošto je VM=AM,

RV=RVAM100%">

Dokaz: Neka u ∆ABC ÐA=900 i AC=1/2BC

Nastavimo AC izvan tačke A tako da je AD=AC. Tada je ∆ABC=∆ABD (za 2 noge). BD=BC=2AC=CD, dakle ∆DBC je jednakostraničan, ÐC=60o i RABC=30o.

Zadatak 5

U jednakokračnom trouglu jedan od uglova je 120o, osnova je 10 cm Nađite visinu povučenu u stranu.

Rješenje: za početak napominjemo da ugao od 120o može biti samo na vrhu trokuta i da će visina povučena u stranu padati na njegovom nastavku.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image019_27.gif" height="26">Lerdevine su bile naslonjene na okomiti zid. Mačić sedi na sredini merdevina. Odjednom merdevine počela kliziti niz zid. Koju će putanju opisati Kitty?

AB - ljestve, K - mače.

Na bilo kojoj poziciji ljestvi, sve dok konačno ne padnu na tlo ∆ABC-pravokutni. SC - medijan ∆ABC.

Po svojstvu 2 SK=1/2AB. To jest, u svakom trenutku, dužina SC segmenta je konstantna.

Odgovor: tačka K će se kretati duž luka kružnice sa centrom C i poluprečnikom SK=1/2AB.

Zadaci za samostalno rješavanje.

Jedan od uglova pravokutnog trokuta je 60°, a razlika između hipotenuze i manjeg kraka je 4 cm. naći dužinu hipotenuze. U pravougaoniku ∆ ABC sa hipotenuzom BC i uglom B jednakim 60o, povučena je visina AD. Pronađite DC ako je DB=2cm. U ∆AVS RS=90o, SD - visine, VS=2VD. Dokazati da je AD=3BD. Visina pravokutnog trougla dijeli hipotenuzu na dijelove 3cm i 9cm. Pronađite uglove trokuta i udaljenost od sredine hipotenuze do većeg kraka. Simetrala dijeli trougao na dva jednakokračna trougla. Pronađite uglove originalnog trougla. Medijan dijeli trokut na dva jednakokračna trougla. Da li je moguće pronaći uglove

originalni trougao?

Za rješavanje geometrijskih problema potrebno je ogromno znanje. Jedna od osnovnih definicija ove nauke je pravougli trougao.

Ovaj koncept znači da se sastoji od tri ugla i

stranice, a vrijednost jednog od uglova je 90 stepeni. Stranice koje čine pravi ugao nazivaju se katetama, dok se treća strana koja je nasuprot njoj naziva hipotenuza.

Ako su katete u takvoj figuri jednake, naziva se jednakokraki pravokutni trokut. U ovom slučaju postoji pripadnost dvema, što znači da se posmatraju svojstva obe grupe. Podsjetimo da su uglovi u osnovi jednakokračnog trougla apsolutno uvijek jednaki, stoga će oštri uglovi takve figure uključivati ​​po 45 stupnjeva.

Prisustvo jednog od sljedećih svojstava nam omogućava da tvrdimo da je jedan pravokutni trokut jednak drugom:

1. noge dva trougla su jednake;
2. figure imaju istu hipotenuzu i jedan od krakova;
3. hipotenuza i bilo koji od oštrih uglova su jednaki;
4. posmatra se uslov jednakosti kraka i oštrog ugla.

Površina pravokutnog trokuta može se lako izračunati i pomoću standardnih formula i kao vrijednost jednaka polovini proizvoda njegovih nogu.

U pravouglom trokutu primećuju se sledeći odnosi:

1. katet nije ništa drugo do srednja vrijednost proporcionalna hipotenuzi i njenoj projekciji na nju;
2. ako opišete krug oko pravokutnog trokuta, njegovo središte će biti u sredini hipotenuze;
3. visina povučena iz pravog ugla je srednja vrednost proporcionalna projekcijama krakova trougla na njegovu hipotenuzu.

Zanimljivo je da bez obzira na to koji je pravougao trougao, ova svojstva se uvek posmatraju.

Pitagorina teorema

Pored gore navedenih svojstava, pravokutni trokut karakterizira sljedeći uvjet:

Ova teorema je dobila ime po svom osnivaču - Pitagorinoj teoremi. Ovu relaciju je otkrio kada je proučavao svojstva izgrađenih kvadrata

Da bismo dokazali teoremu, konstruišemo trougao ABC, čije noge označavamo a i b, i hipotenuzu c. Zatim ćemo izgraditi dva kvadrata. Jedna strana će biti hipotenuza, druga zbir dva kraka.

Tada se površina prvog kvadrata može naći na dva načina: kao zbir površina četiri trokuta ABC i drugog kvadrata, ili kao kvadrat stranice, naravno, ovi omjeri će biti jednaki. To je:

sa 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2 transformiramo rezultirajući izraz:

c 2 +2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

Kao rezultat, dobijamo: c 2 \u003d a 2 + b 2

Dakle, geometrijska figura pravokutnog trokuta ne odgovara samo svim svojstvima karakterističnim za trokut. Prisutnost pravog ugla dovodi do činjenice da figura ima druge jedinstvene odnose. Njihovo proučavanje je korisno ne samo u nauci, već iu svakodnevnom životu, jer se takva figura kao pravokutni trokut nalazi posvuda.

Trokut u geometriji predstavlja jedan od osnovnih oblika. Iz prethodnih lekcija znate da je trokut poligonalna figura koja ima tri ugla i tri stranice.

Trougao je pozvan pravougaona ako ima pravi ugao od 90 stepeni.
Pravougli trokut ima dvije međusobno okomite stranice tzv noge ; treća strana se zove hipotenuza . Hipotenuza je najveća stranica ovog trougla.

• Prema svojstvima okomite i kose hipotenuze, svaki od krakova je duži (ali manji od njihovog zbira).
• Zbir dva oštra ugla pravouglog trougla jednak je pravom uglu.
• Dvije visine pravokutnog trougla poklapaju se s njegovim katetama. Dakle, jedna od četiri izuzetne tačke pada na vrhove pravog ugla trougla.
• Središte opisane kružnice pravokutnog trougla leži u sredini hipotenuze.
• Medijan pravouglog trougla povučen iz vrha pravog ugla do hipotenuze je poluprečnik kružnice opisane oko ovog trougla.

Svojstva i karakteristike pravouglog trougla

I - vlasništvo. U pravokutnom trokutu zbir njegovih oštrih uglova je 90°. Veća stranica trokuta je nasuprot većeg ugla, a veća strana nasuprot većeg ugla. U pravokutnom trokutu najveći ugao je pravi ugao. Ako u trokutu najveći ugao ima više od 90 °, onda takav trokut prestaje biti pravokutni, jer zbir svih uglova prelazi 180 stepeni. Iz svega ovoga slijedi da je hipotenuza najveća stranica trokuta.

II - e imovine. Krak pravouglog trougla koji leži nasuprot ugla od 30 stepeni jednak je polovini hipotenuze.

III - e imovine. Ako je u pravokutnom trokutu kateta jednaka polovini hipotenuze, tada će ugao koji leži nasuprot ovoj kraci biti jednak 30 stepeni.

Prosječan nivo

Pravokutni trokut. Kompletan ilustrovani vodič (2019.)

PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.

U problemima pravi ugao uopće nije neophodan - donji lijevi, tako da morate naučiti kako prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvim

i u takvim

Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa... prije svega, postoje posebna lijepa imena za njegove zabave.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je donio mnoge koristi onima koji ga poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

dakle, Pitagorina teorema:

Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?

Hajde da nacrtamo ove pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.

Da li zaista izgleda kao šorc? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to formulisao ovako:

"Suma površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađen na hipotenuzi.

Zar ne zvuči malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. I da bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, neko je duhovit izmislio ovaj vic o pitagorejskim pantalonama.

Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu

Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u davna vremena nije postojala ... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da sve napamet riječima??! I može nam biti drago da imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo to još jednom da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Pa, raspravljalo se o najvažnijoj teoremi o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali ti stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto je sve u uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Šta je sa uglom? Da li postoji noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna noga (za ugao)? Naravno! Ovo je katet!

Ali šta je sa uglom? Pogledaj izbliza. Koja noga je uz ugao? Naravno, mačka. Dakle, za ugao, noga je susjedna, i

A sada, pažnja! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako to sada pretočiti u riječi? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" naspram ugla. A katet? U blizini ugla. Pa šta smo dobili?

Vidite kako su brojnik i imenilac obrnuti?

A sada opet uglovi i napravljena razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo šta smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema pravouglog trougla je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorinu teoremu, ali da li ste se ikada zapitali zašto je takva teorema tačna. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente dužina i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Šta je sa manjom površinom? Naravno, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne noge i susjedne noge.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve ovo u obliku ploče:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Na dvije noge

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

a)

b)

Pažnja! Ovdje je jako bitno da noge "odgovaraju". Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGLOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla noga je bila susedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da je za jednakost „običnih“ trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trouglova dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično je, zar ne?

Približno ista situacija sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Akutni ugao

II. Na dvije noge

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je tako?

Razmotrite ceo pravougaonik umesto pravougaonog trougla.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo

1. - medijana:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakva korist se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj izbliza. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, rastojanja od kojih su otprilike sva tri vrha trougla jednaka, a to je CENTAR opisane KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trouglovima svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakva korist se može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se dobro zapamtiti i ona koja je pogodnija za primjenu. Hajde da ih ponovo zapišemo.

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• na dvije noge:
• duž kraka i hipotenuze: ili
• duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
• hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar ugao: ili
• iz proporcionalnosti dvije noge:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka i susjednog:
• Kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta je omjer susednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .

Površina pravouglog trougla:

• kroz katetere:

Prosječan nivo

Pravokutni trokut. Kompletan ilustrovani vodič (2019.)

PRAVI TROUGAO. PRVI NIVO.

U problemima pravi ugao uopće nije neophodan - donji lijevi, tako da morate naučiti kako prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvim

i u takvim

Šta je dobro kod pravouglog trougla? Pa... prije svega, postoje posebna lijepa imena za njegove zabave.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorina teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je donio mnoge koristi onima koji ga poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

dakle, Pitagorina teorema:

Sjećate li se vica: “Pitagorine pantalone su jednake na sve strane!”?

Hajde da nacrtamo ove pitagorejske pantalone i pogledajmo ih.

Da li zaista izgleda kao šorc? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova šala je povezana upravo sa Pitagorinom teoremom, tačnije sa načinom na koji je sam Pitagora formulisao svoju teoremu. A on je to formulisao ovako:

"Suma površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađen na hipotenuzi.

Zar ne zvuči malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svoje teoreme, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici, zbir površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. I da bi djeca bolje zapamtila da je zbir kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, neko je duhovit izmislio ovaj vic o pitagorejskim pantalonama.

Zašto sada formulišemo Pitagorinu teoremu

Da li je Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u davna vremena nije postojala ... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno za jadne drevne studente da sve napamet riječima??! I može nam biti drago da imamo jednostavnu formulaciju Pitagorine teoreme. Ponovimo to još jednom da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta.

Pa, raspravljalo se o najvažnijoj teoremi o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće nivoe teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

U stvari, sve uopšte nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali ti stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto je sve u uglu? Gdje je ugao? Da biste ovo razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledajte, shvatite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Šta je sa uglom? Da li postoji noga koja je nasuprot uglu, odnosno suprotna noga (za ugao)? Naravno! Ovo je katet!

Ali šta je sa uglom? Pogledaj izbliza. Koja noga je uz ugao? Naravno, mačka. Dakle, za ugao, noga je susjedna, i

A sada, pažnja! Pogledajte šta imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada pređimo na tangentu i kotangens.

Kako to sada pretočiti u riječi? Šta je noga u odnosu na ugao? Nasuprot, naravno - "leži" naspram ugla. A katet? U blizini ugla. Pa šta smo dobili?

Vidite kako su brojnik i imenilac obrnuti?

A sada opet uglovi i napravljena razmjena:

Sažetak

Hajde da ukratko zapišemo šta smo naučili.

Pitagorina teorema:

Glavna teorema pravouglog trougla je Pitagorina teorema.

Pitagorina teorema

Usput, da li se dobro sjećate šta su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorinu teoremu, ali da li ste se ikada zapitali zašto je takva teorema tačna. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente dužina i!

Sada spojimo označene tačke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Šta je sa manjom površinom? Naravno, . Ukupna površina četiri ugla ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Šta se desilo? Dva pravougaonika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Hajde da sve to spojimo sada.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru - dokazali smo njegovu teoremu na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravougli trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog ugla jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog ugla jednak je omjeru suprotne noge i susjedne noge.

Kotangens oštrog ugla jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve ovo u obliku ploče:

Veoma je udobno!

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

I. Na dvije noge

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim uglom

IV. Duž noge i oštrog ugla

a)

b)

Pažnja! Ovdje je jako bitno da noge "odgovaraju". Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROUGLOVI NISU JEDNAKI, uprkos činjenici da imaju jedan identičan oštar ugao.

Treba u oba trougla noga je bila susedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trouglova razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na to da je za jednakost „običnih“ trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i ugao između njih, dva ugla i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trouglova dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Odlično je, zar ne?

Približno ista situacija sa znacima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trougla

I. Akutni ugao

II. Na dvije noge

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je tako?

Razmotrite ceo pravougaonik umesto pravougaonog trougla.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo tačku - tačku presjeka dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika?

I šta iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo

1. - medijana:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je i obrnuto.

Kakva korist se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovini hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj izbliza. Imamo: , to jest, udaljenosti od tačke do sva tri vrha trougla su se pokazale jednake. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, rastojanja od kojih su otprilike sva tri vrha trougla jednaka, a to je CENTAR opisane KRUŽNICE. Šta se desilo?

Pa počnimo sa ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trouglovima svi uglovi su jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakva korist se može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Šta će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se dobro zapamtiti i ona koja je pogodnija za primjenu. Hajde da ih ponovo zapišemo.

Pitagorina teorema:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

• na dvije noge:
• duž kraka i hipotenuze: ili
• duž kraka i susjednog oštrog ugla: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog ugla: ili
• hipotenuzom i oštrim uglom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar ugao: ili
• iz proporcionalnosti dvije noge:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangens oštrog ugla pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka i susjednog:
• Kotangens oštrog ugla pravouglog trokuta je omjer susednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trokutu medijana povučena iz vrha pravog ugla jednaka je polovini hipotenuze: .

Površina pravouglog trougla:

• kroz katetere: