Kvadratna matrica identiteta. (35) 84. Šta su pravougaone i kvadratne matrice? Primjeri

ODA. Pravougaoni sto sa t linije i P kolone realnih brojeva se zove matrica veličina t×n. Matrice se označavaju velikim latiničnim slovima: A, B, ..., a niz brojeva se razlikuje okruglim ili uglastim zagradama.

Brojevi uključeni u tablicu nazivaju se matričnim elementima i označavaju se malim latiničnim slovima s dvostrukim indeksom, gdje i- broj reda j– broj kolone na čijem se preseku element nalazi. Općenito, matrica se piše na sljedeći način:

Razmatraju se dvije matrice jednaka ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Ako je broj redova matrice t jednak broju njegovih kolona P, tada se matrica zove kvadrat(inače pravougaone).

Size Matrix
naziva se matrica reda. Size Matrix

naziva se matrica stupaca.

Elementi matrice sa jednakim indeksima (
itd.), obrazac glavna dijagonala matrice. Druga dijagonala se zove bočna dijagonala.

Kvadratna matrica se zove dijagonala ako su svi njegovi elementi koji se nalaze izvan glavne dijagonale jednaki nuli.

Poziva se dijagonalna matrica čiji su dijagonalni unosi jednaki jedan single matricu i ima standardnu ​​oznaku E:

Ako su svi elementi matrice koji se nalaze iznad (ili ispod) glavne dijagonale jednaki nuli, kaže se da matrica ima trokutasti oblik:

§2. Matrične operacije

1. Transpozicija matrice - transformacija u kojoj se redovi matrice zapisuju kao kolone uz zadržavanje njihovog poretka. Za kvadratnu matricu, ova transformacija je ekvivalentna simetričnom preslikavanju u odnosu na glavnu dijagonalu:

.

2. Matrice iste dimenzije mogu se sabrati (oduzeti). Zbir (razlika) matrica je matrica iste dimenzije, čiji je svaki element jednak zbiru (razlici) odgovarajućih elemenata originalnih matrica:

3. Bilo koja matrica se može pomnožiti brojem. Proizvod matrice brojem je matrica istog reda, čiji je svaki element jednak umnošku odgovarajućeg elementa originalne matrice ovim brojem:

.

4. Ako je broj stupaca jedne matrice jednak broju redova druge, tada možete prvu matricu pomnožiti drugom. Proizvod takvih matrica je matrica, čiji je svaki element jednak zbroju parnih proizvoda elemenata odgovarajućeg reda prve matrice i elemenata odgovarajuće kolone druge matrice.

Posljedica. Eksponencijacija matrice to>1 je proizvod matrice A to jednom. Definirano samo za kvadratne matrice.

Primjer.

Svojstva operacija nad matricama.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T =B T A T;

Gore navedena svojstva su slična svojstvima operacija nad brojevima. Postoje i specifična svojstva matrica. To uključuje, na primjer, karakteristično svojstvo množenja matrice. Ako proizvod AB postoji, onda proizvod BA

Možda ne postoji

Može se razlikovati od AB.

Primjer. Kompanija proizvodi proizvode dva tipa A i B i koristi tri vrste sirovina S 1 , S 2 i S 3 . Stope potrošnje sirovina date su matricom N=
, gdje n ij- količina sirovina j potrošeno na proizvodnju jedinice proizvoda i. Plan proizvodnje je dat matricom C = (100 200), a jedinični trošak svake vrste sirovine je dat matricom . Odrediti troškove sirovina potrebnih za planiranu proizvodnju i ukupne troškove sirovina.

Rješenje. Trošak sirovina definiran je kao proizvod matrica C i N:

Ukupni trošak sirovina izračunavamo kao proizvod S i P.

U ovoj temi ćemo razmotriti koncept matrice, kao i vrste matrica. Pošto u ovoj temi ima dosta pojmova, dodaću sažetak kako bih olakšao snalaženje u materijalu.

Definicija matrice i njenog elementa. Notacija.

Matrix je tabela sa $m$ redova i $n$ kolona. Elementi matrice mogu biti objekti potpuno različite prirode: brojevi, varijable ili, na primjer, druge matrice. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ima 3 reda i 2 stupca; njegovi elementi su cijeli brojevi. Matrica $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ sadrži 2 reda i 4 kolone.

Različiti načini pisanja matrica: prikaži\sakrij

Matrica se može pisati ne samo u okruglim zagradama, već iu uglatim ili dvostrukim ravnim zagradama. To jest, unosi ispod znače istu matricu:

$$ \left(\begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right]; \;\; \left \Vert \begin(niz) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(niz) \right \Vert $$

Poziva se proizvod $m\puta n$ veličina matrice. Na primjer, ako matrica sadrži 5 redaka i 3 stupca, onda se govori o matrici $5\puta 3$. Matrica $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ ima veličinu $3 \puta 2$.

Matrice se obično označavaju velikim slovima latinične abecede: $A$, $B$, $C$ i tako dalje. Na primjer, $B=\left(\begin(niz) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracija redova ide od vrha do dna; kolone - s lijeva na desno. Na primjer, prvi red matrice $B$ sadrži elemente 5 i 3, a drugi stupac sadrži elemente 3, -87, 0.

Elementi matrica se obično označavaju malim slovima. Na primjer, elementi matrice $A$ su označeni sa $a_(ij)$. Dvostruki indeks $ij$ sadrži informacije o poziciji elementa u matrici. Broj $i$ je broj reda, a broj $j$ je broj kolone na čijem se presjeku nalazi element $a_(ij)$. Na primjer, na presjeku drugog reda i pete kolone matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $ a_(25)= 59 dolara:

Slično, na presjeku prvog reda i prve kolone, imamo element $a_(11)=51$; na preseku trećeg reda i druge kolone - element $a_(32)=-15$ i tako dalje. Imajte na umu da se $a_(32)$ čita kao "tri dva", ali ne i "trideset dva".

Za skraćenu oznaku matrice $A$, čija je veličina jednaka $m\puta n$, koristi se notacija $A_(m\times n)$. Možete napisati malo detaljnije:

$$ A_(m\puta n)=(a_(ij)) $$

gdje notacija $(a_(ij))$ označava elemente matrice $A$. U potpuno proširenom obliku, matrica $A_(m\times n)=(a_(ij))$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Hajde da uvedemo još jedan termin - jednake matrice.

Dvije matrice iste veličine $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se nazivaju jednaka ako su im odgovarajući elementi jednaki, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ za sve $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objašnjenje za unos $i=\overline(1,m)$: show\hide

Unos "$i=\overline(1,m)$" znači da se parametar $i$ mijenja sa 1 na m. Na primjer, unos $i=\overline(1,5)$ kaže da parametar $i$ uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5.

Dakle, za jednakost matrica potrebna su dva uslova: podudarnost veličina i jednakost odgovarajućih elemenata. Na primjer, matrica $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$ nije jednaka matrici $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ jer je matrica $A$ $3\puta 2$, a matrica $B$ je $2\put 2$. Takođe matrica $A$ nije jednaka matrici $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right) $ jer $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ali za matricu $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(array)\right)$, možemo sigurno napisati $A =F$ jer se i veličine i odgovarajući elementi matrica $A$ i $F$ poklapaju.

Primjer #1

Odredite veličinu matrice $A=\left(\begin(niz) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(niz) \desno)$. Navedite čemu su jednaki elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Ova matrica sadrži 5 redaka i 3 kolone, tako da je njena veličina $5\put 3$. Za ovu matricu se također može koristiti notacija $A_(5\times 3)$.

Element $a_(12)$ je na raskrsnici prvog reda i druge kolone, tako da je $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ je na raskrsnici trećeg reda i treće kolone, tako da je $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ je na raskrsnici četvrtog reda i treće kolone, tako da je $a_(43)=-5$.

Odgovori: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Vrste matrica ovisno o njihovoj veličini. Glavna i bočna dijagonala. Matrični trag.

Neka je data neka matrica $A_(m\times n)$. Ako je $m=1$ (matrica se sastoji od jednog reda), tada se data matrica naziva matrica-red. Ako je $n=1$ (matrica se sastoji od jednog stupca), onda se takva matrica naziva matrica stupaca. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ je matrica reda, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - matrica stupaca.

Ako je uslov $m\neq n$ tačan za matricu $A_(m\times n)$ (to jest, broj redova nije jednak broju kolona), onda se često kaže da je $A$ je pravougaona matrica. Na primjer, matrica $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ima veličinu $2\puta 4 $, one. sadrži 2 reda i 4 kolone. Pošto broj redova nije jednak broju kolona, ​​ova matrica je pravokutna.

Ako je uslov $m=n$ tačan za matricu $A_(m\puta n)$ (tj. broj redova je jednak broju kolona), onda se kaže da je $A$ kvadratna matrica naručite $n$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica drugog reda; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ je kvadratna matrica 3. reda. Općenito, kvadratna matrica $A_(n\puta n)$ može se napisati na sljedeći način:

$$ A_(n\puta n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Za elemente $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se kaže da su na glavna dijagonala matrice $A_(n\puta n)$. Ovi elementi se nazivaju glavni dijagonalni elementi(ili samo dijagonalni elementi). Elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ su na bočna (sekundarna) dijagonala; oni se nazivaju sekundarni dijagonalni elementi. Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( niz) \desno)$ imamo:

Elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ su glavni dijagonalni elementi; elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ su sekundarni dijagonalni elementi.

Zove se zbir glavnih dijagonalnih elemenata nakon čega slijedi matrica i označeno sa $\Tr A$ (ili $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na primjer, za matricu $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ imamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Koncept dijagonalnih elemenata se također koristi za nekvadratne matrice. Na primjer, za matricu $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ glavni dijagonalni elementi će biti $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Vrste matrica ovisno o vrijednostima njihovih elemenata.

Ako su svi elementi matrice $A_(m\times n)$ jednaki nuli, tada se takva matrica naziva null i obično se označava slovom $O$. Na primjer, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su nula matrice.

Neka matrica $A_(m\times n)$ izgleda ovako:

Tada se ova matrica zove trapezoidno. Možda ne sadrži nula redova, ali ako jesu, nalaze se na dnu matrice. U opštijem obliku, trapezoidna matrica se može napisati kao:

Opet, prateći null stringovi su opcioni. One. formalno možemo izdvojiti sljedeće uslove za trapezoidnu matricu:

1. Svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki su nuli.
2. Svi elementi od $a_(11)$ do $a_(rr)$ koji leže na glavnoj dijagonali nisu jednaki nuli: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Ili su svi elementi posljednjih $m-r$ redova jednaki nuli, ili $m=r$ (tj. uopće nema nula redova).

Primjeri trapeznih matrica:

Pređimo na sljedeću definiciju. Poziva se matrica $A_(m\times n)$ stupio ako ispunjava sledeće uslove:

Na primjer, matrice koraka bi bile:

Za poređenje, matrica $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nije stepenasto jer treći red ima isti nulti dio kao drugi red. Odnosno, krši se princip "što je niža linija - veći je nulti dio". Dodaću da je trapezoidna matrica poseban slučaj stepenaste matrice.

Pređimo na sljedeću definiciju. Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva gornja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - gornja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija gornje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata koji se nalaze iznad glavne dijagonale ili na glavnoj dijagonali. Mogu ili ne moraju biti nula, nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ je također gornja trokutna matrica.

Ako su svi elementi kvadratne matrice koji se nalaze iznad glavne dijagonale jednaki nuli, tada se takva matrica naziva donja trokutasta matrica. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - donja trokutasta matrica. Imajte na umu da definicija donje trokutaste matrice ne govori ništa o vrijednostima elemenata ispod ili na glavnoj dijagonali. Mogu ili ne moraju biti nulte, nije bitno. Na primjer, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ begin (niz) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ su također niže trokutaste matrice.

Kvadratna matrica se zove dijagonala ako su svi elementi ove matrice koji nisu na glavnoj dijagonali jednaki nuli. Primjer: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ kraj(niz)\desno)$. Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji (jednaki nuli ili ne) - to nije bitno.

Dijagonalna matrica se zove single ako su svi elementi ove matrice koji se nalaze na glavnoj dijagonali jednaki 1. Na primjer, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrica identiteta 4. reda; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ je matrica identiteta drugog reda.

Matrice u matematici su jedan od najvažnijih objekata od primijenjenog značaja. Često izlet u teoriju matrica počinje riječima: "Matrica je pravokutna tablica ...". Ovu ekskurziju ćemo započeti iz malo drugačijeg ugla.

Telefonski imenici bilo koje veličine i sa bilo kojim brojem pretplatničkih podataka nisu ništa drugo do matrice. Ove matrice izgledaju ovako:

Jasno je da svi koristimo takve matrice skoro svaki dan. Ove matrice dolaze u različitim brojevima redova (razlikuje se kao imenik koji izdaje telefonska kompanija, koji može sadržavati hiljade, stotine hiljada, pa čak i milione redova, i novu bilježnicu koju ste upravo započeli, koja ima manje od deset redova) i kolone (imenik službenika neke organizacije u kojem mogu postojati kolone kao što su pozicija i broj kancelarije i ista vaša bilježnica, gdje možda nema podataka osim imena, pa samim tim ima samo dvije kolone - ime i broj telefona).

Sve vrste matrica se mogu sabirati i množiti, a na njima se mogu izvoditi i druge operacije, ali nema potrebe za sabiranjem i množenjem telefonskih imenika, nema koristi od toga, a osim toga, možete pomjerati svoj um.

Ali vrlo mnogo matrica se može i treba sabirati i množiti i na ovaj način se mogu rješavati razni hitni zadaci. U nastavku su primjeri takvih matrica.

Matrice u kojima su stupci proizvodnja jedinica određene vrste proizvoda, a redovi su godine u kojima se bilježi proizvodnja ovog proizvoda:

Možete dodati matrice ove vrste, koje uzimaju u obzir proizvodnju sličnih proizvoda različitih preduzeća, kako biste dobili zbirne podatke za industriju.

Ili matrice koje se sastoje, na primjer, od jedne kolone, u kojoj su redovi prosječna cijena određene vrste proizvoda:

Matrice posljednje dvije vrste mogu se množiti, a rezultat je matrica reda koja sadrži troškove svih vrsta proizvoda po godinama.

Matrice, osnovne definicije

Pravougaona tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u m linije i n kolone se zove mn-matrica (ili jednostavno matrica ) i napisano ovako:

(1)

U matrici (1) brojevi se nazivaju svojim elementi (kao u odrednici, prvi indeks označava broj reda, drugi - stupca, na čijem se presjeku nalazi element; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrica se zove pravougaona , ako .

Ako m = n, tada se matrica zove kvadrat , a broj n je njegov u redu .

Determinanta kvadratne matrice A naziva se determinanta čiji su elementi elementi matrice A. Označava se simbolom | A|.

Kvadratna matrica se zove nespecijalan (ili nedegenerisan , ne-jednina ) ako njegova determinanta nije jednaka nuli, i poseban (ili degenerisati , jednina ) ako je njegova determinanta nula.

Matrice se pozivaju jednaka ako imaju isti broj redova i kolona i svi odgovarajući elementi su isti.

Matrica se zove null ako su svi njegovi elementi jednaki nuli. Nulta matrica će biti označena simbolom 0 ili .

Na primjer,

matrica redova (ili mala slova ) se zove 1 n-matrica, i matrica stupaca (ili columnar ) – m 1-matrica.

Matrix A", koji se dobija iz matrice A zamena redova i kolona u njemu se zove transponovano u odnosu na matricu A. Dakle, za matricu (1), transponovana matrica je

Prijelaz na matrični rad A", transponirano u odnosu na matricu A, naziva se transpozicija matrice A. Za mn-matrica transponovana je nm-matrica.

Matrica transponovana u odnosu na matricu je A, to je

(A")" = A .

Primjer 1 Pronađite Matrix A", transponirano u odnosu na matricu

i saznati da li su determinante originalne i transponovane matrice jednake.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je zamišljena linija koja povezuje njene elemente, za koju su oba indeksa ista. Ovi elementi se nazivaju dijagonala .

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli se naziva dijagonala . Nisu svi dijagonalni elementi dijagonalne matrice nužno različiti od nule. Neki od njih mogu biti jednaki nuli.

Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki istom broju različitom od nule, a svi ostali jednaki nuli naziva se skalarna matrica .

matrica identiteta naziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki jedinici. Na primjer, matrica identiteta trećeg reda je matrica

Primjer 2 Podaci matrice:

Rješenje. Izračunajmo determinante ovih matrica. Koristeći pravilo trouglova, nalazimo

Matrična determinanta B izračunaj po formuli

To lako dobijamo

Dakle, matrice A i su nesingularni (nedegenerirani, nesingularni) i matrica B- poseban (degenerisan, jednina).

Determinanta matrice identiteta bilo kojeg reda očito je jednaka jedan.

Riješite sami problem matrice, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 3 Matrični podaci

,

,

Odredi koji su od njih nesingularni (nedegenerisani, nesingularni).

Primjena matrica u matematičkom i ekonomskom modeliranju

U obliku matrica, strukturirani podaci o određenom objektu se jednostavno i zgodno zapisuju. Matrični modeli se kreiraju ne samo za pohranjivanje ovih strukturiranih podataka, već i za rješavanje raznih problema s tim podacima korištenjem linearne algebre.

Dakle, dobro poznati matrični model ekonomije je input-output model koji je uveo američki ekonomista ruskog porijekla Vasilij Leontijev. Ovaj model se zasniva na pretpostavci da je ceo proizvodni sektor privrede podeljen na nčiste industrije. Svaka od industrija proizvodi samo jednu vrstu proizvoda, a različite industrije proizvode različite proizvode. Zbog ovakve podjele rada između industrija, postoje međuindustrijski odnosi, čiji je smisao da se dio proizvodnje svake industrije prenosi u druge industrije kao proizvodni resurs.

Obim proizvodnje i-ta industrija (mjerena određenom jedinicom mjere) koja je proizvedena u izvještajnom periodu, označava se i naziva se ukupna proizvodnja i th industrija. Problemi su prikladno smješteni n-komponentni red matrice.

Broj jedinica proizvoda i-th industrija koju treba potrošiti j-th industrija za proizvodnju jedinice svoje proizvodnje, označava se i naziva koeficijent direktnih troškova.

Tačke u prostoru, proizvod Rv daje drugi vektor koji definira položaj točke nakon rotacije. Ako a v je vektor reda, ista transformacija se može dobiti pomoću vR T, gdje R T - transponirano u R matrica.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

C# - Konzola - Olimpijske igre - Square Spiral

Matrica: definicija i osnovni pojmovi

Gdje dobiti snagu i inspiraciju Recharging 4 square matrix

Zbir i razlika matrica, množenje matrice brojem

Transponovana matrica / Transponovana matrica

Titlovi

Glavna dijagonala

Elementi a ii (i = 1, ..., n) čine glavnu dijagonalu kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj pravoj liniji koja prolazi od gornjeg lijevog ugla do donjeg desnog ugla matrice. Na primjer, glavna dijagonala matrice 4x4 na slici sadrži elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Dijagonala kvadratne matrice koja prolazi kroz donji lijevi i gornji desni ugao naziva se strana.

Posebne vrste

Ime	Primjer sa n = 3
Dijagonalna matrica	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix))))
Donja trouglasta matrica	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrix)))
Gornja trouglasta matrica	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrix)))

Dijagonalne i trokutaste matrice

Ako su svi elementi izvan glavne dijagonale nula, A zove se dijagonala. Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne dijagonale nula, A naziva se donja (gornja) trouglasta matrica.

Matrica identiteta

Q(x) = x T Sjekira

uzima samo pozitivne vrijednosti (odnosno, negativne vrijednosti ili oboje). Ako kvadratni oblik uzima samo ne-negativne (odnosno, samo nepozitivne) vrijednosti, kaže se da je simetrična matrica pozitivno poludefinirana (odnosno, negativna poludefinirana). Matrica je neodređena ako nije ni pozitivna ni negativna poludefinirana.

Simetrična matrica je pozitivno određena ako i samo ako su sve njene vlastite vrijednosti pozitivne. Tabela desno prikazuje dva moguća slučaja za 2×2 matrice.

Ako koristimo dva različita vektora, dobićemo bilinearni oblik povezan sa A:

B A (x, y) = x T Ay.

ortogonalna matrica

ortogonalna matrica je kvadratna matrica sa realnim elementima čiji su stupci i redovi ortogonalni jedinični vektori (odnosno, ortonormalni). Ortogonalnu matricu možemo definirati i kao matricu čiji je inverz jednak transponu:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

odakle sledi

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

ortogonalna matrica A uvijek reverzibilno ( A −1 = A T), jedinstveni ( A −1 = A*), i normalno ( A*A = aa*). Determinanta bilo koje ortonormalne matrice je ili +1 ili -1. Kao linearna mapa, svaka ortonormirana matrica sa determinantom +1 je jednostavna rotacija, dok je svaka ortonormirana matrica sa determinantom −1 ili jednostavna refleksija ili kompozicija refleksije i rotacije.

Operacije

Track

Odrednica det( A) ili | A| kvadratna matrica A je broj koji definira neka svojstva matrice. Matrica je invertibilna samo ako je njena determinanta različita od nule.

DEFINICIJA MATRICE. VRSTE MATRICA

Veličina matrice m× n naziva se totalitet m n brojevi raspoređeni u pravougaonu tabelu m linije i n kolone. Ova tabela je obično zatvorena u zagradama. Na primjer, matrica može izgledati ovako:

Radi kratkoće, matrica se može označiti jednim velikim slovom, na primjer, ALI ili AT.

Općenito, matrica veličine m× n napiši ovako

.

Pozivaju se brojevi koji čine matricu matričnih elemenata. Pogodno je opskrbiti elemente matrice sa dva indeksa aij: Prvi označava broj reda, a drugi broj kolone. Na primjer, a 23– element je u 2. redu, 3. koloni.

Ako je broj redaka u matrici jednak broju stupaca, tada se matrica naziva kvadrat, a broj njegovih redova ili stupaca se poziva u redu matrice. U gornjim primjerima, druga matrica je kvadratna - njen red je 3, a četvrta matrica - njen red je 1.

Poziva se matrica u kojoj broj redova nije jednak broju stupaca pravougaona. U primjerima, ovo je prva matrica i treća.

Postoje i matrice koje imaju samo jedan red ili jednu kolonu.

Poziva se matrica sa samo jednim redom matrica - red(ili niz) i matrica koja ima samo jedan stupac, matrica - kolona.

Poziva se matrica u kojoj su svi elementi jednaki nuli null i označava se sa (0), ili jednostavno 0. Na primjer,

.

glavna dijagonala Kvadratna matrica je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog do donjeg desnog ugla.

Zove se kvadratna matrica u kojoj su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trouglasti matrica.

.

Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi, osim možda onih na glavnoj dijagonali, jednaki nuli, naziva se dijagonala matrica. Na primjer, ili.

Poziva se dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedan single matrica i označena je slovom E. Na primjer, matrica identiteta 3. reda ima oblik .

AKCIJE NA MATRICE

Matrična jednakost. Dvije matrice A i B se kaže da su jednaki ako imaju isti broj redova i kolona i ako su im odgovarajući elementi jednaki aij = b ij. Sta ako i , onda A=B, ako a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 i a 22 = b 22.

transpozicija. Razmotrimo proizvoljnu matricu A od m linije i n kolone. Može se povezati sa sljedećom matricom B od n linije i m kolone, gdje je svaki red stupac matrice A sa istim brojem (dakle, svaka kolona je red matrice A sa istim brojem). Sta ako , onda .

Ova matrica B pozvao transponovano matrica A, i prijelaz iz A to B transpozicija.

Dakle, transpozicija je zamjena uloga redova i stupaca matrice. Matrica transponovana u matricu A, obično se označava A T.

Komunikacija između matrice A i njegova transponovana se može napisati kao .

Na primjer. Naći matricu transponovanu u datu.

Matrično dodavanje. Neka matrice A i B sastoje se od istog broja redova i istog broja kolona, ​​tj. imati iste veličine. Zatim da biste dodali matrice A i B potreba za matričnim elementima A dodati elemente matrice B stoje na istim mestima. Dakle, zbir dvije matrice A i B zove se matrica C, što je određeno pravilom, npr.

Primjeri. Pronađite zbir matrica:

Lako je provjeriti da se sabiranje matrice pridržava sljedećih zakona: komutativno A+B=B+A i asocijativno ( A+B)+C=A+(B+C).

Množenje matrice brojem. Za množenje matrice A po broju k treba svaki element matrice A pomnoži sa tim brojem. Dakle, matrični proizvod A po broju k postoji nova matrica, koja je određena pravilom ili .

Za bilo koje brojeve a i b i matrice A i B jednakosti su ispunjene:

Primjeri.

Množenje matrice. Ova operacija se izvodi prema posebnom zakonu. Prije svega, napominjemo da veličine faktora matrice moraju biti konzistentne. Možete množiti samo one matrice čiji broj stupaca prve matrice odgovara broju redova druge matrice (tj. dužina prvog reda je jednaka visini druge kolone). rad matrice A nije matrica B nazvana nova matrica C=AB, čiji su elementi sastavljeni na sljedeći način:

Tako, na primjer, da bismo dobili proizvod (tj. u matrici C) element u 1. redu i 3. koloni od 13, trebate uzeti 1. red u 1. matrici, 3. stupac u 2., a zatim pomnožiti elemente reda sa odgovarajućim elementima kolone i dodati rezultirajuće proizvode. I drugi elementi matrice proizvoda se dobijaju korišćenjem sličnog proizvoda redova prve matrice sa kolonama druge matrice.

Općenito, ako pomnožimo matricu A = (aij) veličina m× n na matricu B = (bij) veličina n× str, tada dobijamo matricu C veličina m× str, čiji se elementi izračunavaju na sljedeći način: element c ij dobija se kao rezultat proizvoda elemenata i th red matrice A na relevantne elemente j-ti stupac matrice B i njihovo sumiranje.

Iz ovog pravila slijedi da uvijek možete pomnožiti dvije kvadratne matrice istog reda, kao rezultat dobijamo kvadratnu matricu istog reda. Konkretno, kvadratna matrica se uvijek može množiti sama sa sobom, tj. kvadrat gore.

Drugi važan slučaj je množenje reda matrice sa matričnom kolonom, a širina prvog mora biti jednaka visini drugog, kao rezultat dobijamo matricu prvog reda (tj. jedan element). stvarno,

.

Primjeri.

Dakle, ovi jednostavni primjeri pokazuju da matrice, općenito govoreći, ne komutiraju jedna s drugom, tj. A∙B ≠ B∙A . Stoga, prilikom množenja matrica, morate pažljivo pratiti redoslijed faktora.

Može se potvrditi da se množenje matrice pridržava asocijativnih i distributivnih zakona, tj. (AB)C=A(BC) i (A+B)C=AC+BC.

To je također lako provjeriti prilikom množenja kvadratne matrice A na matricu identiteta E istog reda, opet dobijamo matricu A, štaviše AE=EA=A.

Može se primijetiti sljedeća zanimljiva činjenica. Kao što je poznato, proizvod 2 broja različita od nule nije jednak 0. Za matrice to možda nije slučaj, tj. proizvod 2 matrice koje nisu nula može biti jednak nultoj matrici.

Na primjer, ako , onda

.

KONCEPT ODREĐIVAČA

Neka je data matrica drugog reda - kvadratna matrica koja se sastoji od dva reda i dva stupca .

Odrednica drugog reda koji odgovara ovoj matrici je broj dobijen na sljedeći način: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Odrednica je označena simbolom .

Dakle, da biste pronašli determinantu drugog reda, potrebno je da oduzmete proizvod elemenata duž druge dijagonale od proizvoda elemenata glavne dijagonale.

Primjeri. Izračunajte determinante drugog reda.

Slično, možemo razmotriti matricu trećeg reda i odgovarajuću determinantu.

Odrednica trećeg reda, koji odgovara datoj kvadratnoj matrici trećeg reda, je broj označen i dobiven na sljedeći način:

.

Dakle, ova formula daje proširenje determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda a 11, a 12, a 13 i svodi izračunavanje determinante trećeg reda na izračunavanje determinante drugog reda.

Primjeri. Izračunajte determinantu trećeg reda.

Slično, mogu se uvesti koncepti determinanti četvrte, pete itd. redosleda, snižavajući njihov poredak proširenjem na elemente 1. reda, dok se znaci "+" i "-" za pojmove smenjuju.

Dakle, za razliku od matrice, koja je tabela brojeva, determinanta je broj koji je na određeni način dodijeljen matrici.