Empirijske formule za izračunavanje površina jednostavnih figura. Kako pronaći područje geometrijskih oblika

Sve formule za površinu ravnih figura

Područje jednakokračnog trapeza

1. Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu stranica i ugla

a - donja baza

b - gornja osnova

c - jednake strane

α - ugao na donjoj bazi

Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu stranica, (S):

Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu stranica i kuta, (S):

2. Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice

R- radijus upisane kružnice

D- prečnik upisane kružnice

O - centar upisane kružnice

H- visina trapeza

α, β - uglovi trapeza

Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice, (S):

FAIR, za upisan krug u jednakokraki trapez:

3. Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu dijagonala i ugla između njih

d-dijagonala trapeza

α,β- uglovi između dijagonala

Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu dijagonala i ugla između njih, (S):

4. Formula za površinu jednakokrakog trapeza u terminima srednja linija, bočna strana i ugao na bazi

c- strana

m- srednja linija trapeza

α, β - uglovi u osnovi

Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu srednje linije, bočne strane i ugla u osnovi,

(S):

5. Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu osnova i visine

a - donja osnova

b - gornja osnova

h - visina trapeza

Formula za površinu jednakokrakog trapeza u smislu osnova i visine, (S):

Površina trokuta sa stranicom i dva ugla, formula.

a, b, c - stranice trougla

α, β, γ - suprotni uglovi

Površina trokuta kroz stranu i dva ugla (S):

Formula za površinu pravilnog poligona

a - strana poligona

n - broj strana

Površina pravilnog poligona, (S):

(Heronova) formula za površinu trokuta u smislu poluperimetra (S):

Površina jednakostraničnog trougla je:

Formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.

a - stranica trougla

h - visina

Kako izračunati površinu jednakokračnog trougla?

b - osnova trougla

a - jednake strane

h - visina

3. Formula za površinu trapeza u smislu četiri strane

a - donja osnova

b - gornja osnova

c, d - strane

Polumjer opisane kružnice trapeza na stranicama i dijagonalama

a - stranice trapeza

c - donja osnova

b - gornja osnova

d - dijagonala

h - visina

Formula za polumjer opisane kružnice trapeza, (R)

pronađite poluprečnik opisane kružnice jednakokračnog trougla na stranicama

Poznavajući stranice jednakokračnog trokuta, možete koristiti formulu da pronađete polumjer opisane kružnice oko ovog trokuta.

a, b - stranice trougla

Poluprečnik opisane kružnice jednakokračnog trokuta (R):

Poluprečnik upisane kružnice u šesterokut

a - strana heksagona

Poluprečnik upisane kružnice u šesterokut, (r):

Poluprečnik upisane kružnice u romb

r - poluprečnik upisane kružnice

a - strana romba

D, d - dijagonale

h - visina dijamanta

Poluprečnik upisane kružnice u jednakokraki trapez

c - donja baza

b - gornja osnova

a - strane

h - visina

Poluprečnik upisane kružnice u pravougli trokut

a, b - noge trougla

c - hipotenuza

Poluprečnik upisane kružnice u jednakokraki trokut

a, b - stranice trougla

Dokazati da je površina upisanog četvorougla

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

gdje je p poluperimetar, a a, b, c i d su stranice četverougla.

Dokazati da je površina četvorougla upisanog u krug

1/2 (ab + cb) sin α, gdje su a, b, c i d stranice četverougla, a α ugao između stranica a i b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Pročitajte više na FB.ru:

Površina proizvoljnog četverokuta (slika 1.13) može se izraziti u smislu njegovih stranica a, b, c i sume para suprotnih uglova:

gdje je p poluperimetar četvorougla.

Površina četverokuta upisanog u krug () (slika 1.14, a) izračunava se pomoću Brahmaguptine formule

i opisano (slika 1.14, b) () - prema formuli

Ako je četverokut upisan i opisan u isto vrijeme (slika 1.14, c), tada formula postaje prilično jednostavna:

Peak Formula

Da biste procijenili površinu poligona na kariranom papiru, dovoljno je izračunati koliko ćelija pokriva ovaj poligon (površinu ćelije uzimamo kao jedinicu). Preciznije, ako je S površina poligona, to je broj ćelija koje leže u potpunosti unutar poligona, i broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.

U nastavku ćemo razmotriti samo takve poligone, čiji svi vrhovi leže na čvorovima kariranog papira - u onima gdje se linije mreže sijeku. Ispada da za takve poligone možete odrediti sljedeću formulu:

gdje je površina, r je broj čvorova koji leže striktno unutar poligona.

Ova formula se zove „Formula vrha“ po matematičaru koji ju je otkrio 1899.

Da biste riješili probleme geometrije, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavni trikovi o čemu ćemo pričati.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih sakupili u zgodnu tabelu. Štampajte, naučite i prijavite se!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tabeli. Na primjer, za rješavanje problema iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilni ispit u matematici se koriste i druge formule za površinu trokuta. Definitivno ćemo vam pričati o njima.

Ali što ako trebate pronaći ne površinu trapeza ili trokuta, već površinu nekog složena figura? Tu je univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći površinu nestandardne figure? Na primjer, proizvoljan četverougao? Jednostavna tehnika - hajde da ovu cifru razbijemo na one za koje svi znamo, i pronađemo njenu površinu - kao zbir površina ovih figura.

Podijelite ovaj četverougao vodoravnom linijom na dva trokuta sa zajedničko tlo, jednak . Visine ovih trokuta su jednake i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dva trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, površina figure može se predstaviti kao razlika bilo koje površine.

Nije tako lako izračunati koliko su osnova i visina u ovom trouglu! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici između površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trougla. Vidite ih na slici? Dobijamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad je u zadatku potrebno pronaći površinu ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijelu kružnice.Nađite površinu sektora kružnice polumjera, čija je dužina luka jednaka.

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je , budući da je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je dužina cijelog kruga (od), a dužina luka ovog sektora jednaka, dakle, dužina luka je nekoliko puta manja od dužine cijelog kruga. Ugao na koji počiva ovaj luk je također puta manji od punog kruga (tj. stepeni). To znači da će površina sektora biti nekoliko puta manja od površine cijelog kruga.

Šta je oblast?

Područje - karakteristika zatvorene geometrijske figure (krug, kvadrat, trokut, itd.), koja pokazuje njegovu veličinu. Površina se mjeri u kvadratnim centimetrima, metrima itd. Označava se slovom S(kvadrat).

Kako pronaći površinu trougla?

S= a h

gdje a- dužina osnove h je visina trougla povučena do osnove.

Štaviše, baza ne mora biti na dnu. I to će biti dovoljno.

Ako je trougao tupo, tada visina pada na nastavak osnove:

Ako je trougao pravougaona, tada su osnova i visina njegove noge:

2. Još jedna formula, koja nije ništa manje korisna, ali se iz nekog razloga uvijek zaboravlja:

S= a b sinα

gdje a i b dvije strane trougla sinα je sinus ugla između ovih stranica.

Glavni uvjet je da se ugao uzme između dvije poznate stranice.

3. Formula za površinu na tri strane (Heronova formula):

S=

gdje a, b i sa su stranice trougla, i R - semiperimetar. str = (a+b+c)/2.

4. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera opisane kružnice:

S=

gdje a, b i sa su stranice trougla, i R- poluprečnik opisane kružnice.

5. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera upisane kružnice:

S= p r

gdje R - poluperimetar trougla, i r- poluprečnik upisane kružnice.

Kako pronaći površinu pravougaonika?

1. Površina pravokutnika je prilično jednostavna:

S=a b

Nema trikova.

Kako pronaći površinu kvadrata?

1. Kako je kvadrat pravougaonik sa svim stranama jednakim, na njega se primjenjuje ista formula:

S=a a = a2

2. Također, površina kvadrata se može pronaći kroz njegovu dijagonala:

S= d 2

Kako pronaći površinu paralelograma?

1. Površina paralelograma se nalazi po formuli:

S=a h

To je zbog činjenice da ako se odvojite od toga pravougaonog trougla sa desne strane i pričvrstite ga na lijevu, dobijete pravougaonik:

2. Također, površina paralelograma se može naći kroz ugao između dvije stranice:

S=a b sinα

Kako pronaći površinu romba?

Romb je u suštini paralelogram u kojem su sve strane jednake. Stoga se na njega primjenjuju iste formule površine.

1. Površina romba u smislu visine:

S=a h