Može se napisati u parametarskom obliku pomoću hiperboličkih funkcija (ovo objašnjava njihov naziv).

Označimo y= b·sht , zatim x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Otuda x=± a·cht .

Tako dolazimo do sljedećih parametarskih jednačina hiperbole:

Y= u sht , –< t < . (6)

Rice. jedan.

Znak "+" u gornjoj formuli (6) odgovara desnoj grani hiperbole, a znak ""– "" lijevoj grani (vidi sliku 1). Vrhovi hiperbole A(– a; 0) i B(a; 0) odgovaraju vrijednosti parametra t=0.

Za poređenje, možemo dati parametarske jednadžbe elipse koristeći trigonometrijske funkcije:

X=a trošak ,

Y=in sint , 0 t 2p . (7)

3. Očigledno, funkcija y=chx je parna i uzima samo pozitivne vrijednosti. Funkcija y=shx je neparna, jer :

Funkcije y=thx i y=cthx su neparne kao količnik parne i neparne funkcije. Imajte na umu da za razliku od trigonometrijskih funkcija, hiperboličke funkcije nisu periodične.

4. Proučimo ponašanje funkcije y= cthx u okolini tačke diskontinuiteta x=0:

Tako je y-osa vertikalna asimptota grafa funkcije y=cthx. Definirajmo kose (horizontalne) asimptote:

Dakle, prava y=1 je desna horizontalna asimptota grafa funkcije y=cthx. Zbog neparnosti ove funkcije, njena lijeva horizontalna asimptota je prava linija y= –1. Lako je pokazati da su ove linije istovremeno asimptote za funkciju y=thx. Funkcije shx i chx nemaju asimptote.

2) (chx)"=shx (prikazano slično).

4)

Postoji i određena analogija sa trigonometrijskim funkcijama. Potpuna tabela izvoda svih hiperboličkih funkcija data je u odjeljku IV.

Tangenta, kotangens

Definicije hiperboličkih funkcija, njihovi domeni definicija i vrijednosti

sh x- hiperbolički sinus
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hiperbolički kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
hvala- hiperbolička tangenta
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hiperbolički kotangens
, x ≠ 0; y< -1 или y > +1 .

Grafovi hiperboličkih funkcija

Grafikon hiperboličkog sinusa y = sh x

Grafikon hiperboličkog kosinusa y = ch x

Grafikon hiperboličke tangente y= hvala

Grafikon hiperboličkog kotangensa y = cth x

Formule s hiperboličkim funkcijama

Veza sa trigonometrijskim funkcijama

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = - 1 .

Primjenom ovih formula na trigonometrijske funkcije dobijamo formule koje se odnose na hiperboličke funkcije.

Paritet

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

Funkcija ch(x)- čak. Funkcije sh(x), hvala), cth(x)- čudno.

Razlika kvadrata

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Formule za zbir i razliku argumenata

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Formule za proizvode hiperboličkog sinusa i kosinusa

,
,
,

,
,
.

Formule za zbir i razliku hiperboličkih funkcija

,
,
,
,
.

Odnos hiperboličkog sinusa i kosinusa sa tangentom i kotangensom

, ,
, .

Derivati

,

Integrali od sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Proširenja u serije

Inverzne funkcije

Areasine

Na - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areacosine

At 1 ≤ x< ∞ i 0 ≤ y< ∞ postoje formule:
,
.

Druga grana areakosinusa nalazi se na 1 ≤ x< ∞ i - ∞< y ≤ 0 :
.

Areatangent

u - 1 < x < 1 i - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Ostale oznake: sinh x, Sh x, cosh x, Ch x, tgh x, tanh x, Th x. Grafikoni videti na sl. jedan.

Osnovni omjeri:

Geometrijski G. f. slično tumačenju trigonometrijskih funkcija (slika 2). Parametrijski jednadžbe hiperbole nam omogućavaju da tumačimo apscisu i ordinatu tačke jednakostranične hiperbole kao hiperbole. kosinus i sinus; hiperbolično tangentni segment AB. Parametar t jednak je dvostrukoj površini sektora OAM, gdje AM- luk hiperbole. Za tačku (na ), parametar t je negativan. Inverzne hiperboličke funkcije definisani su formulama:

Derivati ​​i osnovni integrali G. f.:

U cijeloj ravni kompleksne varijable z, G. f. i može se definirati nizom:

dakle,

Postoje opsežne tabele za G. f. Vrijednosti G. f. može se dobiti i iz tabela za e x i e-x.

Lit.: Yanke E., Emde F., Lesh F., Posebne funkcije. Formule, grafikoni, tabele, 2. izd., Per. iz njemačkog, M., 1968; Tablice kružnih i hiperboličkih sinusa i kosinusa u mjeri kutnog zračenja, M., 1958; stolovi e x i e-x, M., 1955. V. I. Bityutskov.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "HIPERBOLIČKE FUNKCIJE" u drugim rječnicima:

Funkcije definirane formulama: (hiperbolički sinus), (hiperbolički kosinus). Ponekad se razmatra i hiperbolička tangenta: G. f. ... ...

Funkcije definirane formulama: (hiperbolički sinus), (hiperbolički kosinus), (hiperbolički tangent) ... Veliki enciklopedijski rječnik

Funkcije definirane formulama: shx = (ex e x) / 2 (hinerbolički sinus), chx (ex + e k) / 2 (hiperbolički kosinus), thx = shx / chx (hiperbolički tangent). Grafikoni G. f. vidi na slici...

Porodica elementarnih funkcija izraženih eksponentom i blisko povezana sa trigonometrijskim funkcijama. Sadržaj 1 Definicija 1.1 Geometrijska definicija ... Wikipedia

Funkcije definisane formulama: shx = (ex - e x)/2 (hiperbolički sinus), chx = (ex + e x)/2 (hiperbolički kosinus), thx = shx/chx (hiperbolički tangent). Grafovi hiperboličkih funkcija, vidi sl. * * * HIPERBOLIČKE FUNKCIJE… … enciklopedijski rječnik

Funkcije. definisane zastavicama: (hiperbolički sinus), (hiperbolički kosinus), (ubacite slike!!!) Grafovi hiperboličkih funkcija ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Po analogiji s trigonometrijskim funkcijama Sinx, cosx, za koje se zna da se određuju korištenjem Eulerovih formula sinx = (exi e xi)/2i, cosx = (exi + e xi)/2 (gdje je e baza Napierovih logaritama , a i = √[ jedan]); ponekad uzeti u obzir ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

Funkcije inverzne hiperboličkim funkcijama (Vidi Hiperboličke funkcije) sh x, ch x, th x; izražavaju se formulama (čitaj: hiperbolički aresin, hiperbolički kosinus površine, aretangens ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Funkcije inverzne hiperboličkim. funkcije; izraženo formulama... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Inverzne hiperboličke funkcije definiraju se kao inverzi hiperboličkih funkcija. Ove funkcije određuju površinu jediničnog hiperbola sektora x2 − y2 = 1 na isti način na koji inverzne trigonometrijske funkcije određuju dužinu ... ... Wikipedia

Knjige

• Hiperboličke funkcije, Yanpolsky A.R. Knjiga opisuje svojstva hiperboličkih i inverznih hiperboličkih funkcija i daje odnos između njih i drugih elementarnih funkcija. Primjena hiperboličkih funkcija na…

Uvod

U matematici i njenoj primjeni na prirodne nauke i tehnologiju, eksponencijalne funkcije se široko koriste. To se posebno objašnjava činjenicom da su mnoge pojave koje proučava prirodne nauke među takozvanim procesima organskog rasta, u kojima su stope promjene funkcija uključenih u njih proporcionalne vrijednostima same funkcije.

Ako se označi funkcijom i argumentom, onda se diferencijalni zakon procesa organskog rasta može zapisati u obliku gdje je neki konstantni koeficijent proporcionalnosti.

Integracija ove jednadžbe dovodi do općeg rješenja u obliku eksponencijalne funkcije

Ako postavite početni uslov na, tada možete odrediti proizvoljnu konstantu i na taj način pronaći određeno rješenje, koje je integralni zakon procesa koji se razmatra.

Pod nekim pojednostavljenim pretpostavkama, procesi organskog rasta uključuju fenomene kao što su, na primjer, promjena atmosferskog tlaka ovisno o visini iznad površine Zemlje, radioaktivni raspad, hlađenje ili zagrijavanje tijela u okruženju konstantne temperature, unimolekularna kemijska reakcija (na primjer, otapanje tvari u vodi), u kojem se odvija zakon djelovanja mase (brzina reakcije je proporcionalna količini prisutnog reaktanta), reprodukcija mikroorganizama i mnogi drugi.

Povećanje iznosa novca zbog obračunavanja složene kamate na njega (kamate na kamatu) takođe je proces organskog rasta.

Ovi primjeri bi se mogli nastaviti.

Uz pojedinačne eksponencijalne funkcije u matematici i njenim primjenama, koriste se različite kombinacije eksponencijalnih funkcija, među kojima su od posebne važnosti određene linearne i razlomno-linearne kombinacije funkcija i tzv. hiperboličke funkcije. Postoji šest ovih funkcija, za njih su uvedeni sljedeći posebni nazivi i oznake:

(hiperbolički sinus),

(hiperbolički kosinus),

(hiperbolički tangent),

(hiperbolički kotangens),

(hiperbolički sekans),

(hiperbolički sekans).

Postavlja se pitanje zašto su dati baš takvi nazivi, a ovdje je hiperbola i nazivi funkcija poznatih iz trigonometrije: sinus, kosinus itd.? Pokazalo se da su relacije koje povezuju trigonometrijske funkcije sa koordinatama tačaka kruga jediničnog poluprečnika slične relacijama koje povezuju hiperboličke funkcije sa koordinatama tačaka jednakostranične hiperbole sa jediničnom poluosi. Ovo opravdava naziv hiperboličkih funkcija.

Hiperboličke funkcije

Funkcije date formulama nazivaju se hiperbolički kosinus i hiperbolički sinus, respektivno.

Ove funkcije su definirane i kontinuirane, i parna je funkcija i neparna funkcija.

Slika 1.1 - Grafikoni funkcija

Iz definicije hiperboličkih funkcija slijedi:

Po analogiji sa trigonometrijskim funkcijama, hiperbolički tangent i kotangens su definisani formulama

Funkcija je definirana i kontinuirana na, a funkcija je definirana i kontinuirana na skupu s probijenom točkom; obje funkcije su neparne, njihovi grafikoni su prikazani na slikama ispod.

Slika 1.2 - Grafikon funkcije

Slika 1.3 - Grafikon funkcije

Može se pokazati da su funkcije i striktno rastuće, dok je funkcija striktno opadajuća. Stoga su ove funkcije reverzibilne. Funkcije inverzne njima, respektivno, označimo sa.

Razmotrimo funkciju inverznu funkciji, tj. funkcija. Izražavamo to elementarnim. Rješavajući jednačinu u odnosu na, dobijamo Od, dakle, odakle

Zamjenom sa i sa, nalazimo formulu za inverznu funkciju za hiperbolički sinus.

HIPERBOLIČKE FUNKCIJE- Hiperbolički sinus (sh x) i kosinus (ch x) definirani su sljedećim jednakostima:

Hiperbolički tangent i kotangens definirani su analogno trigonometrijskom tangentu i kotangensu:

Hiperbolički sekans i kosekans su definisani slično:

Postoje formule:

Svojstva hiperboličkih funkcija su u mnogim aspektima slična svojstvima (vidi). Jednačine x=cos t, y=sin t određuju kružnicu x²+y² = 1; jednačine x=sh t, y=sh t definišu hiperbolu x² - y²=1. Kako se trigonometrijske funkcije određuju iz kruga jediničnog polumjera, tako se hiperboličke funkcije određuju iz jednakokračne hiperbole x² - y² = 1. Argument t je dvostruka površina zasjenjenog krivolinijskog trokuta OME (slika 48), slično kao što je za kružne (trigonometrijske) funkcije argument t numerički jednak dvostrukoj površini krivolinijskog trokuta OKE ( Slika 49):

za krug

za hiperbolu

Teoreme sabiranja za hiperboličke funkcije slične su teoremama sabiranja za trigonometrijske funkcije:

Ove analogije se lako vide ako se kao argument x uzme kompleksna varijabla r. Hiperboličke funkcije su povezane s trigonometrijskim funkcijama sljedećim formulama: sh x = - i sin ix, ch x = cos ix, gdje je i jedna od vrijednosti korijena √-1. Hiperboličke funkcije sh x, kao i ch x: mogu uzeti bilo koje velike vrijednosti (dakle, naravno, velike jedinice), za razliku od trigonometrijskih funkcija sin x, cos x, koje za realne vrijednosti ​​ ne može biti veći od jedan u apsolutnoj vrijednosti.
Hiperboličke funkcije igraju ulogu u geometriji Lobačevskog (vidi), koriste se u proučavanju otpornosti materijala, u elektrotehnici i drugim granama znanja. U literaturi postoje i oznake hiperboličkih funkcija kao što su sinh x; cosh x; tghx.